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Yo, Alfredo Nicolás Samaniego Burneo, declaro que el trabajo aquí descrito es de miautoría; que no ha sido previamente presentada para ningún grado o calificaciónprofesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en estedocumento.
La Escuela Politécnica Nacional, puede hacer uso de los derechos correspondientes aeste trabajo, según lo establecido por la Ley, Reglamento de Propiedad Intelectual y porla normaíividad institucional vigente.
-u-
Dios por sobre todo, al Dr. Jesús Jáíiva por su apoyo,y a todos quienes de alguna forma colaboraron
en el desarrollo de este trabajo.
XIII
1.11.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.6
1.3.7
1.3.8
1.3.9
1.4 ^
1.5 N
1.5.1 K1.5.2 N
1.5.2.1
1.5.2.2
1.5.2.3
1.5.2.4
1.5.2.5
1ÉTODOS DE PRONÓSTICO POR SERIES DE TIEMPO
resivo (AR)Móvil (MA)
todelo
todelo S.
vi
1
2
3
5
5
13
13
20
21
22
23
23
25
50
VII
4.2.3.3
4.2.3.4
4.2.3.5
1759l75B75) 6t
odelo 3: (l-B-Kl-B
+ SasB ÍI + 9175B175) e,
525
>17S
5:(1-175
B)(1-
85
esincí + e17SB175\t
90
91
1.11.2 ASPECTOS GENERALES SOBRE LA DEMANDA ELÉCTRICA 2
1.2.1 FACTORES DE INFLUENCIA EN LA DEMANDA 3
1.2.2 CURVA DE CARGA DIARIA 5
1.2.3 CURVA DE DURACIÓN DE CARGA 5
1.3 ALGUNOS CONCEPTOS ESTADÍSTICOS ÚTILES 7
1.3.1 VARIANZA 7
1.3.2 DESVIACIÓN ESTÁNDAR 8
1.3.3 DISTRIBUCIÓN NORMAL, FUNCIÓN DE DENSIDAD 8
1.3.4 COVARIANZA 10
1.3.5 CORRELACIÓN 10
1.3.6 AUTOCOVARIANZA 11
1.3.7 FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN 11
1.3.8 FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN PARCIAL 12
1.3.9 ESTACIONARIEDAD 13
1.4 MÉTODOS DE PRONÓSTICO 13
1.5 MÉTODOS DE PRONÓSTICO POR SERIES DE TIEMPO 16
1.5.1 MÉTODOS DE SUAVIZAMIENTO O ALISAMIENTO 16
1.5.2 MODELOS DE PRONÓSTICO ARMA 18
1.5.2.1 El Modelo Autorregresivo (AR) 18
1.5.2.2 El Modelo de Media Móvil (MA) 20
1.5.2.3 El Modelo ARMA 21
1.5.2.3 El Modelo ARIMA 22
1.5.2.4 El Modelo SARIMA 23
1.5.2.5 El Modelo SARIMA . 23
1.6 VARIABLES EXTERNAS 25
2.2 IDENTIF1
2.2.1.1 Determinación y Consecución de Estacionariedad 28
2.2.1.2 Determinación y Remoción de la Estacionalidad 28
2.2.2 ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES DE AUTOCORRELACIÓN
Y AUTOCORRELACIÓN PARCIAL 30
2.2.2.1 Función de Auíocorrelación 30
2.2.2.2 Función de Autocorrelación Parcial 31
2.2.2.3 Funciones de Autocorrelación y Autocorrelación
Parcial en Procesos ARMA 32
2.2.3 IDENTIFICACIÓN DE LOS COEFICIENTES P Y Q
2.2.3.1 Estadística Semejanza T (T - Like) 35
2.2.3.2 Prueba Q 36
2.2.3.3 Identificación de los Coeficientes para
un Modelo Estacional 36
2.2.4 IDENTIFICACIÓN DE LA INFLUENCIA DE
LAS VARIABLES EXTERNAS 37
2.2.4.1 Aplicación de la Función de Correlación Cruzada 38
3.1
3.2 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
3.3 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS RECURSIVO
3.3.1 ALGORITMO PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
3.4 MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD 49
3.4.1 PROCESOS ESTOCÁSTICOS 50
3.4.1.1 Consistencia 50
VII
3.4.1.2 Sin Sesgo (Unbiased) 50
3.4.1.3 Mejor Estimador Lineal Sin Sesgo
o BLUE (Best Linear Unbiased Estímate) 51
3.4.2 APROXIMACIÓN NUMÉRICA AL ESTIMADOR
DE MÁXIMA VEROSIMILITUD 57
3.4.3 ALGORITMO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD 62
4.1 INTRODUCCIÓN
LA METODOLOGÍA DE BOX Y JENKINS 70
4.2.1 ANÁLISIS DE CONSISTENCIA DE DATOS 70
4.2.2 ANÁLISIS DE ESTACIONARIEDAD Y ESTACIONALIDAD 72
4.2.2.1 Serie de la Demanda 72
4.2.2.2 Series de la Temperatura 77
4.2.3 IDENTIFICACIÓN DE MODELOS SARIMA TENTATIVOS 83
4.2.3.1 Modelo 1: (1 - Bs)(1 - B175)(1 - frB) yt = et 83
4.2.3.2 Modelo 2: (1 - B25)^ - B175)(1 + frB) yt =1*1 «4- Hocn M I *t* H'f'TKH 1 P* rír^\ ViíSJ*-* / \ i O*-' / "t ww
4.2.3.3 Modelo 3: (1 - B^Í! - B175)(1 + <t>iB)(1 + feB25) yt =
(1 + 82sB2B)(1 + SiTsB175) et 86
4.2.3.4 Modelo 4: (1 - B25)^ - B175)(1 -i- <t>iB)(1 + 4>rab175) yt =
(He1B)(1+e^B25)et 90
4.2.3.5 Modelo 5: (1 - B25)^ - B175)(1 + frB +
(1 + <|)175B175 + faaEF0)* =(1 + 6iB)(1 + easB^CI + e175B175) et 91
4.2.4 IDENTIFICACIÓN DE MODELOS SARIMAX TENTATIVOS 95
4.2.4.1 Modelo 6: (1 - B23)^ - B175)(1 + foB)(1 + feB25) yt=
(po + piB) ut + (1 + ftaB^ÍI + eTOB175) et. 95
7: (1 - B25)(1 - B175)(1 + <|HB)(1 + <])175B175) yt =
JiB) ut + (1 + 6iB) (1 +
VIII
El pronóstico de demanda es un proceso esencial como entrada para la
elaboración de programas de operación óptima y económica y de expansión de
los sistemas eléctricos de potencia. La precisión de este pronóstico tiene un
significativo impacto en las decisiones que se toman para la planificación y
operación del sistema de potencia y en sus costos de producción, cualquier
desviación sea en exceso o en defecto lleva a producir sobrecostos
considerables. Si, por ejemplo, se predice una demanda más baja a la real, la
programación no tomará en cuenta el posible arranque de unidades de base que
son más baratas y llevará a cubrir el déficit provocado en demanda media con
unidades de pico más costosas. En el caso opuesto de que el pronóstico sea
debajo de su potencia óptima, generando también sobrecosías.
Hasta aproximadamente mediados de los años 70, antes de que la eficiencia
energética empiece a llamar la atención de la opinión pública demandando un
medio ambiente más limpio y energía más barata, el pronóstico de la demanda
eléctrica era un proceso relativamente simple. Era un reflejo directo de los
requerimientos instantáneos de potencia por parte de los consumidores en base a
datos históricos, pero esto ha venido cambiando hasta llegar a los actuales
modelos de mercado. Entonces, es muy importante que el pronóstico sea lo más
preciso, considerando los dramáticos cambios estructurales que se están
presentando en el sector eléctrico y la introducción de competencia entre actores
como resultado de la desregulación normativa, donde entran en juego intereses
económicos que pueden ser afectados por un error en la programación. La
privatización y competencia obligan a los agentes y al propio operador del sistema
a trabajar con el mayor nivel de eficiencia, esto exige pronósticos precisos.
El sector eléctrico tiene como característica la preocupación por mantener y
satisfacer las condiciones de seguridad y calidad en la programación de la
operación y el propio proceso de suministro de energía a los usuarios. El Centro
Nacional de Control de Energía, CENACE, como organismo encargado de la
I) y laadministración comercial del Mercado Eléctrico Mayorista (MEM) debe velar
porque dichas condiciones se cumplan eficientemente. Los resultados de el
presente trabajo podrán ser de utilidad en varios de sus procesos de
programación a corto y mediano plazo.
El horizonte de tiempo para el pronóstico se puede clasificar según el tipo de
programación que se esté ejecutando, como de corto. Mediano y largo plazo. En
el caso de programación de expansión del sistema se tiene:
1. Corto plazo: 6 meses a 1 año,
2. Mediano plazo: 1 año a 3 años,
3. Largo Plazo: mayor a 3 años.
Para la planificación de la operación los horizontes de tiempo son más cortos, así:
1. Corto plazo: de fracciones de hora a 2 días,
2» Mediano plazo: de 1 semana a 1 mes,
3. Largo plazo: de 1 mes a 1 año.
Para el caso ecuatoriano, el CONELEC define estos plazos en la Regulación
008/2000, Procedimientos de Despacho y Operación, Se ha fijado como horizonte
de largo plazo un año, para el mediano plazo una semana y a corto plazo un día;
aunque en forma más general, la selección de los rangos es subjetiva
dependiendo de los objetivos de quien realiza la programación.
En el pronóstico de demanda se presentan dos problemas distintos, pronosticar la
demanda de energía y pronosticar la demanda de potencia o carga. Cada uno de
ellos depende del plazo u horizonte de tiempo y del tipo de programación que se
El interés de este trabajo es establecer un método de predicción para la demanda
de carga a corto y mediano plazo, a ser utilizada en la programación de la
operación del Sistema Nacional Interconectado, SNI, por el, CENACE, que
minimice los errores o desviaciones en la predicción y que sea capaz de seguir la
tendencia una serie continua.
Los métodos de pronóstico tradicionalmente utilizados, como técnicas regresivas
o patrones estandarizados, han tenido cierto grado de éxito aunque sus
estructuras rígidas e inflexibles acarrean errores frente a variaciones rápidas de la
demanda. La aplicación de modelos ARMA con variables externas climatológicas,
permite crear modelos bajos en complejidad y que no representen cargas
computacionales demasiado grandes y sus resultados son de excelente precisión.
XII
El presente trabajo se ocupa del pronóstico de demanda a corto y mediano plazo
para el Sistema Nacional Iníerconectado (SNI). Como metodología de predicción
se trabaja con modelos ARMA, sus variaciones para series estacionales y
además se incluye al modelo como variable externa la temperatura ambiente, muy
influyente en la demanda relacionada con sistemas de refrigeración y
enfriamiento. Se intenta con modelar la demanda como una serie de tiempo
continua sin desglosarla en series individuales para cada día de la semana. El
modelo final presentado entrega resultados satisfactorios con errores menores a
1.7 % en el período de prueba para el pronóstico de corto plazo (un día), y 2,3 %
para el pronóstico a mediano plazo (una semana).
Objetivo General:
Presentar y probar un método de pronóstico de demanda que pueda
entregar resultados confiables minimizando ios errores en la
proyección.
Objetivos Específicos:
i. Estudiar los modelos ARMA y sus variaciones
ii. Realizar ios pronósticos necesarios para el estudio,
iii. Probar la influencia de la temperatura en la Demanda.
Pronosticar es emitir un enunciado sobre lo que es probable que ocurra en el
futuro, basándose en análisis y en consideraciones de juicio, su propósito es
obtener conocimiento sobre eventos inciertos que son importantes en la toma de
decisiones presentes. Las técnicas de pronósticos disminuyen la inceríidumbre
sobre el futuro, permitiendo estructurar planes y acciones congruentes con los
objetivos que se persigue y permiten también tomar acciones correctivas
apropiadas y a tiempo cuando ocurren situaciones fuera de lo pronosticado,
A lo largo de este capítulo se presentan algunas características de la demanda
eléctrica, la clasificación de los modelos de pronóstico y algunas herramientas
estadísticas de utilidad para el pronóstico.
La demanda de potencia eléctrica y su consumo de energía asociado son
variables en el tiempo con una cierta característica de aleatoriedad y que,
además, se comportan de manera diferente para cada punto de la red eléctrica.
Este comportamiento es típico de cada sistema eléctrico y se debe a la naturaleza
y composición de los usuarios y a la intensidad y modos de uso de la potencia.
Una forma característica de variación de la demanda eléctrica diaria se muestra
en la siguiente figura:
2
Prned Pmin
Tn
Esta curva representa los valores instantáneos de la demanda para un período Tn,
en este caso de un día presenta un mínimo, un máximo y es bastante irregular.
Su forma depende fuertemente de varios factores de influencia.
Costumbres de los consumidores: Sea por ejemplo el caso de ceñiros
urbanos con características diferentes, por ejemplo Quito, Guayaquil, o
Máchala; evidentemente, las costumbres en cada uno de ellos dan como
resultado variaciones en el consumo muy distintas. En el caso de la
Empresa Eléctrica Quito, la necesidad de calentamiento de agua hace
que la demanda empiece a crecer a partir de las 04:30, casi dos horas
antes de lo que ocurre en las otras ciudades que son de la costa y donde
la carga inicia su subida a partir de las 08:00 coincidiendo con el inicio de
la jornada laboral. Los días de la semana también influencian en el
comportamiento de los usuarios, la carga de un día miércoles es mayor
que la de un domingo por tratarse de un día de descanso.
Tipo de Usuarios Predominantes: Las características de consumo de una
zona eminentemente industrial será distinta de una zona agrícola o de una
zona residencial o turística. Las zonas de carga predominantemente
industrial tienen una curva de carga con un factor de carga mucho más
alto del que puede presentar la curva de una zona predominantemente
residencial, donde el mayor consumo de electricidad ocurre en la noche
durante las horas pico,
© Condiciones Climáticas: Bastaría comparar la característica del consumo
de dos zonas, como la sierra y la costa, en una se presentan fríos durante
casi todo el año y en la otra al contrario temperaturas altas,
evidentemente ambas zonas tienen curvas de carga distintas a lo largo
del día y del año, provocadas por el uso de equipos de calefacción o de
enfriamiento.
• Tarifa como elemento regulador: La tarifa eléctrica puede ser utilizada
como elemento regulador, tendiendo a orientar las características del
consumo, por ejemplo haciendo que sea más conveniente para las
industrias efectuar sus mayores consumos en las zonas de valle de la
curva de carga, lo que podría conducir a un mejor factor de utilización de
las unidades generadoras.
Para distinguir un tipo de demanda se definen algunos valores característicos. Se
puede definir la energía asociada correspondiente a un día, semana, mes o año.
Cualquiera sea el período de tiempo que se considere, el consumo está dado por
la integral de la curva que da la variación de potencia instantánea de la carga P(t).
También queda definido un valor mínimo, máximo y un valor medio de la potencia,
este último obtenido de la división de la energía calculada de la integral para el
valor de tiempo del período analizado.
E= ÍP(t)dt (1.1)jo
P = Í- (1.2)
Además, se define el factor de carga nA que da una idea de la variación de la
carga; cuanto más se aproxime a !a unidad significa que la carga varía menos y si
es pequeño indica que la demanda varía entre valores máximo y mínimo que
difieren fuertemente entre sí y que durante el período de tiempo considerado se
tienen cargas próximas al valor mínimo y en consecuencia una potencia media
(P) pequeña.
n A = (1.3)A p Tmax. n
El denominador es la energía que se consumiría, si todo el tiempo el valor de
potencia de la demanda coincidiera con el valor Pmax. y E es la energía que
corresponde a la curva de carga instantánea dada por P = f(t).
Generalmente las curvas de carga se interpretan como diagramas que dan la
variación de potencia instantánea de la carga, podrían ser curvas diarias,
semanales, anuales o algunas correspondientes a períodos intermedios, las
mismos se presentan en la práctica como funciones escalonadas, donde cada
escalón corresponde a un período de tiempo pequeño, en general períodos
horarios. Se procede de esta manera, puesto que es costoso efectuar un registro
continuo. Además, para efectuar la mayoría de los cálculos o estudios que
incluyen la consideración de modelos de demanda con curvas de carga diaria es
suficiente una representación de valores medios horarios o de 30 min. En otros
casos, por ejemplo en estudios de previsión que utilizan modelos que requieren la
consideración de la energía anual consumida dividida en sectores de consumo y
en 8760 potencias horarias.
5
En general la curva de carga caracterizada hasta ahora constituye la forma de
modelación de la demanda para un día (curva de carga diaria). Si se desea
modelar la demanda para una semana, una posibilidad está constituida por las 7
(siete) curvas de carga diaria correspondientes o , como sucede en la mayoría de
los casos es suficiente modelarla a través de 3 (tres) diagramas típicos
correspondientes a día hábil laborable, día sábado y día domingo. En general esta
misma modalidad puede utilizarse para modelar la demanda mensual.
Otra forma de modelar la demanda es a través de curvas que condensan la
información con ciertas ventajas e inconvenientes; puesto que, al condensar la
información se pierde parte de la misma. Una forma usual de sintetizar la
información se logra a través de las curvas de duración de carga.
Estos diagramas se construyen de la siguiente manera: supóngase una curva de
carga cualquiera, y se representa la potencia en función del valor de tiempo que
resulta de acumular las duraciones correspondientes al valor de potencia de que
se trata, así este diagrama define el valor de potencia en la ordenada con la
duración definida en la abscisa.
Si se toma un valor de potencia cualquiera tendrá una duración asociada
correspondiente; los valores de potencia mayores o iguales que el citado tendrán
una duración menor o igual asociada, y los valores menores una duración mayor
o igual, en definitiva lo que se hace es acumular a partir del origen de tiempos las
duraciones para cada nivel de potencia .
I Pman
PI
TI
Pmed Pmh
T1 Tn
Así para valores de potencia mayores, la duración es menor; cuando se considera
P < Pmin la duración será de 24 horas para el caso de un día o 168 horas para la
semana, etc.
Una de las características de este diagrama es que conserva el valor máximo y
también el valor mínimo de potencia de demanda; a la vez que tiene el mismo
contenido de energía que la curva de carga diaria, pero se pierde alguna
información que para algunos tipos de estudios es muy importante y para otros no
es necesaria. La información que se pierde es la secuencia en la escala de tiempo
en que se producen los distintos valores de carga.
Para hacer la programación de despacho diario de unidades de generación se
requiere que la demanda pronosticada mantenga su relación real de tiempo, por
lo que la representación de la demanda por medio de la curva de duración de
carga no es útil para el propósito de este trabajo.
Cuando se tiene aleatoriedad presente en un proceso, como en la demanda
eléctrica, lo mejor que se puede hacer es aislar esta aleaíoríedad. El hecho de
que se presenten errores en el pronóstico requiere de métodos y variables
estadísticas para medirlos y determinar su magnitud.
Generalmente la medición de la magnitud de ios errores se realiza por medio de
las medidas estadísticas de dispersión, de las cuales la más común es la
varianza.
La varianza muesíral (pues es solamente de la muestra que se esta utilizando) se
define como:
s=^ir~ (1-4)
Donde:
S2 es la varianza,
x¡ es la iésima observación,
x es la media de los datos, x = -^, yn
n es el número de observaciones de los datos.
La ecuación (1.4) expresa la varianza como una relación de los errores o
desviaciones entre cada una de las observaciones x¡ y el valor de su media.
La varianza S2 es un estadístico (medida estadística) que indica la dispersión de
los datos alrededor de su media. La varianza es peculiarmente importante porque
cuando la distribución es "normal", la varianza junto con la media especifican
única y completamente dicha distribución de datos. En la mayoría de casos de
métodos de pronóstico se asume una cierta distribución en la muestra.
Otro estadístico importante es la Desviación Estándar, denotada por S, es la raíz
cuadrada de la varianza.
(1.5)
Una variable aleatoria escalar x se dice que tiene una distribución normal si es
caracterizada por una función densidad de probabilidad dada por:
fx (£) =J X \^/
y que cumple con las siguientes propiedades de las funciones de distribución:
(1.7)
(1.8)
(1.9)
En el caso de tener un vector con n variables aleatorias que tienen una
distribución normal común se define el vector de medias X y la matriz de
covarianza (no singular, conformada por las varianzas de cada variable en la
diagonal) como:
£(X) = X (1.10)
E((X~X)(X-X)r) = R (1.11)
entonces:
[(27c)ndetRf(1.12)
Si los elementos del vector X no están mutuamente correlacionados y tienen
medias y varianzas S2 idénticas, entonces R = S2 y deí R = (S2)n, entonces ia
función de distribución de probabilidad se escribe como:
(1.13)
En muchos casos intuitivamente se detecta que los valores de una variable
fluctúan con cierta relación a las fluctuaciones de otra variable distinta, como
puede ser el caso del peso de una persona y su estatura. Para determinar la
relación entre estas dos variables se utiliza una medida estadística que describe
como dos variables varían una en relación con la otra. Este estadístico se
denomina covariante denotada por cov( X, Y):
(1.14)
Mientras más grande sea la variación conjunta de dos variables, mayor será su
covarianza, esta puede ser positiva si existe una relación positiva, cero si no
existe relación alguna y, negativa si la relación es negativa.
Esta forma de representación de la relación es un poco ambigua y no permite
determinar diferencias cuando se esta analizando más de dos variables debido a
10
las diferencias en las escalas de medición, por ello, es necesaria una
normalización.
La medida normalizada de la covarianza se denomina correlación (denotada por
p) y se determina dividiendo la covarianza para el producto de las desviaciones
estándar de las variables :
correlación = p(X,Y) 9 (1.15)
Se puede demostrar que ahora esta medida solo varía entre +1 y- 1 y de manera
similar, la relación es más fuerte cuando la correlación se acerca a 1 pudiendo ser
relación negativa o positiva.
Los coeficientes de covarianza y correlación son medidas estadísticas que indican
la magnitud de la relación entre dos variables. Como tales, se los usa para medir
relaciones explicativas o causales. Para el mismo propósito, se han creado los
estadísticos denominados autocovarianza y aotocorralacién que cumplen el
mismo propósito de los anteriores pero para el análisis de series de tiempo.
Eí objetivo de estas medidas es encontrar la relación que existe entre un valor
actual de una variable y sus valores anteriores, por ejemplo en el caso de la
demanda, cual sería la relación entre la demanda a las 18:00 de un día cualquiera
y sus valores pasados como los registrados a las 17:00 ,16:00 de aquel día o a
las 18:00 del día anterior.
Entonces para encontrar la autocovarianza entre una serie Xt con su primer
retardo de tiempo (es decir una medición anterior), denominada serie XHI, se
tiene:
n — l
Si a la autocovarianza se la transforma a su valor estandarizado, la
autocorrelación está dada por:
autocov1
La correlación entre valores sucesivos se llama autocorr©lac¡ón debido a que
ambas variables provienen de un mismo conjunto de datos y que son mediciones
del mismo fenómeno, pero referidas a distintos instantes o períodos de tiempo.
Para los valores en el límite, cuando n H*> <*>» se tiene:
(1.18)
(1.19)
Dado que el proceso de donde se obtiene la serie es infinito, solamente se
pueden estimar estos estadísticos tomando una muestra lo suficientemente
grande, de donde se obtiene la función de autocorrelación muestral :
-- - - - A.T • • ,uutuwrr = rt = ' .T, - - (1 .20
2
12
Donde: k es el período de tiempo con el que se quiere
encontrar la relación.
La función muestral de auíocotrelaeüón parcial es un estadístico creado por Box
y Jenkins con el objetivo de medir la relación entre dos mediciones de la serie que
están separados k períodos, sin tomar en cuenta las mediciones comprendidas
entre ellas. Para calcular la autocorrelación parcial se tiene:
r, si k = 1
(1.21)2,3,.
— T f- rjkftrít_1>fc_y
Estos dos estadísticos, autocorralacién y autocorrelación parcials son de
mucha utilidad para encontrar la relación que puede existir en la serie de tiempo
entre datos de diferentes períodos, y usando estas relaciones como base se
puede hacer los análisis preliminares para determinar los parámetros iniciales que
rigen el comportamiento de la serie de tiempo.
La estacionariedad de una serie de tiempo juega un papel crucial en su análisis, la
selección de un método de análisis u otro se basa en si dicha serie es
estacionaria o no. Las características estadísticas de la serie (Media y Varianza)
sirven para determinar su estacionariedad.
13
Cuando una serie tiene un valor de media constante y su varianza es finita se dice
que esta serie de tiempo es estacionaria.
Algunos oíros conceptos estadístico se definen más adelante según sean
necesarios.
Existe un número virtualmente infinito de situaciones para las que se requiere
hacer un pronóstico y sus rangos de horizontes, factores dominantes,
comportamiento de los datos y varios oíros aspectos varían ampliamente- Por
esta razón íambién se han desarrollado muchas íécnicas de pronóstico. Estas
técnicas se pueden dividir en dos grandes grupos a saber: métodos cuaníiíativos
y métodos cualitativos o tecnológicos.
Las técnicas cualitativas no requieren de muchos artificios matemáticos y más
bien se basan principalmente en el conocimiento, capacidad de juicio y
experiencia adquirida. Generalmente, requieren el aporte de gente especializada.
Algunos ejemplos de estas técnicas son el método Delphi, matrices de decisión y
árboles de relevancia.
Las íécnicas cuantitativas, en cambio, son básicamente maíemáíicas y sus
pronósíicos van a depender de los resulíados de algún proceso maíemático o
estadístico. Estas técnicas se pueden aplicar bajo íres condiciones :
1. Exisíe información histórica disponible.
2. Esía información se puede cuaníificar en forma de datos.
3. Se puede asumir que el comportamiento histórico de la
variable se repetirá en el futuro.
La ultima condición se trata de una premisa inicial en la que se basan muchos de
los métodos, sean cualitativos o cuantiíaíivos, se conoce como asumir constancia
y se aplica especialmente en aquellos métodos que utilizan el comportamiento
histórico de la variable a pronosticar como una entrada.
Estas técnicas cuantitativas varían considerablemente en precisión, propósitos
para los que fueron desarrolladas, y costos computacionales. Los métodos de
pronóstico cuantitativo se subdividen a su vez en dos categorías principales : ios
métodos intuitivos, basados en experiencia empírica, y los formales, basados en
principios estadísticos.
Otro tipo de clasificación de las técnicas cuantitativas las subdivide en modelos
causales y de series de tiempo.
Los modelos causales asumen que el fenómeno a ser pronosticado mantiene una
relación de causa-efecto con una o más variables independientes, como por
ejemplo la velocidad de un objeto es función de su desplazamiento y el tiempo
que íe tomo hacerlo v = f(x, t). El propósito de los modelos causales es descubrir
la forma de la relación y usarla a ésta para pronosticar valores futuros de la
variable dependiente.
En los modelos de series de tiempo, el pronóstico de los valores futuros de la
variable se logra a través de sus valores pasados, y también basándose en
errores anteriores. Para hacer una selección correcta del método de series de
tiempo que se usará para el pronóstico es necesario considerar los patrones de
comportamiento que pueden contener los datos, estos patrones pueden ser
cuatro, como se indica a continuación :
a) Tendencia. Identifica los movimientos hacia arriba o abajo del total de la
serie, se trata de movimientos lineales de la serie que se relacionan, por
ejemplo, con el continuo incremento de usuarios. En lo que se refiere a
la demanda eléctrica, esta tendencia se la detecta principalmente en
períodos mensuales o anuales.
15
b) Patrón Cíclico. Se da por movimientos ascendentes o descendentes de
la serie en forma global, cada cierto período que en general es en el
orden de lustros o décadas. Esta componente es una influencia de los
ciclos económicos.
c) Patrón Estacional. Representa movimientos de la serie asociados con el
comportamiento estacional del clima, aunque también se la usa para
representar variaciones en períodos menores, como por ejemplo las
variaciones diarias o semanales de la demanda. Se diferencia del
patrón cíclico porque éste mantiene un período constante mientras que
el del cíclico puede ser variable, de acuerdo al fenómeno que lo
provoca.
d) Patrón Irregular. Aquí se acumulan todos los movimientos erráticos o
impredecibles de la serie que no pueden ser identificados de forma
regular. Se la conoce como error aleatorio o en algunos casos como
Una serie de tiempo no es nada más que un conjunto de observaciones de alguna
variable Xf, cada una de ellas correspondientes a un tiempo especifico t Una
serie de tiempo discreta, que es el tipo de series con las que se trata en este
trabajo, es la que el conjunto To en el cual se obtiene las mediciones, es un
conjunto discreto, de mediciones a intervalos fijos de tiempo. Una serie de tiempo
es continua cuando las observaciones se registran continuamente en algún
intervalo de tiempo.
Como se indicó anteriormente los métodos de pronostico por medio de series de
tiempo se los ha clasificado dentro de las técnicas cuantitativas que se subdividen
en los modelos causales y los de series de tiempo.
Dentro de los modelos de series de tiempo se pueden encontrar tres grupos :
1. Métodos de suavizamiento o alisamiento,
2. Métodos de descomposición, y
3. Modelos ARMA.
La media estadística de una serie de tiempo puede ser un excelente pronóstico
cuando se cumplen ciertas condiciones especiales como por ejemplo que dicha
serie sea estacionaria y aleatoria, sin embargo, esta técnica de pronóstico no es
adecuada.
Una mejora sustancial es la técnica de la media mó¥ils que consiste en tomar un
conjunto fijo de valores observados, encontrar el promedio de dichos valores y
usar ese promedio como pronóstico. Se denomina media móvil pues cada vez
que se tiene una observación disponible esta se incluye en el cálculo del
promedio y se desecha la última.
Para no calcular el promedio cada vez que se tenga una nueva observación
disponible, se puede usar la siguiente ecuación para calcular la media móvil:
p L_N N
En la técnica de media móvil se asigna igual peso a cada una de las N
observaciones que se utilicen para el promedio, esto trae algunas complicaciones
pues las observaciones más nuevas contienen más información de lo que puede
ocurrir en el futuro. Así que las observaciones más recientes deberían tener más
peso que las anteriores.
17
La técnica del alisamiento exponencial parte de la ecuación del cálculo de ia
media móvil (1.22), suponiendo que el valor (t - N) no existe, lo más lógico seriareemplazarlo por el valor de Ft:
Reemplazando 1 / N por a y reagrupando, se tiene:
(l~a)Ft (1.24)
Esta ecuación es la forma general del alisamiento exponencial. Como se observa
es necesario solamente almacenar la última observación, el último pronóstico y e!
valor de a, sin necesidad de almacenar toda la información histórica de las H
observaciones.
Para entender toda la implicación que tiene este método a continuación se
desarrolla la ecuación 1 .24 :
(1.25)
donde se nota que cada observación pierde peso según se aleja en el tiempo. Si
a la ecuación 1.25 se la reordena nuevamente agrupando la observación con su
valor pronosticado se llega a la ecuación 1,26:
(1.26)
Como Xt - Ft = et , donde et es el error en el pronóstico la ecuación 1 .26 se reduce
a :
(1.27)
18
Los modelos ARMA son una combinación de las técnicas autorregresivas y de
media móvil, y de ahí sale su denominación como una abreviación del inglés Auto
Regresiva Moving Average (ARMA). Estos modelos ARMA parten de la
suposición de que la serie de tiempo en análisis es el resultado de aplicar un filtro
lineal a una señal de ruido blanco.
Ruido Blanco Filtro Lineal Serie de Tiempo
Se define como ruido blanco a aquel proceso estocástico estacionario con una
distribución normal que tiene media cero, varianza S2, N(0,S2), y que es generado
por variables aleatorias, independientes (función de covarianza igual a cero) e
idénticamente distribuidas (v.a.i.i.d.).
Con la función de transferencia del filtro correctamente modelada, el proceso
inverso tendría como resultado una serie de tiempo que sea ruido blanco, lo que
significaría que se esta aislando toda la aleaíoriedad que contiene la serie de
Una técnica causal que se usa para el pronóstico es la regresión múltiple, es
tratar de pronosticar los valores de una variable dependiente en base a los
valores de un número de variables independientes de esta manera :
+u (1.28)
19
Cada una de estas variables X pueden representar muy distintos factores que
afecten a la variable Y. Supóngase que los factores X se reemplazan por valores
anteriores de la misma variable Y de tal manera que la ecuación 1.28 quedaría de
la siguiente forma:
Yt = *i/t-i + <t>2yf-2 +-+<t>pyf-p +ef (129)
Aunque se han aplicado algunos pequeños cambios, como aquel de notación
para los coeficientes (4> por b) y se ha eliminado la constante, dejando solamente
un valor de error, esta es aún una ecuación de regresión, pero, por ser función de
los valores anteriores se denomina autorregreslén. La ecuación 1.29 define un
modelo autorregresivo de orden p o AR (p), donde p indica el orden del modelo
con el número de términos a ser incluidos. Para seleccionar un valor apropiado de
p se requiere examinar la función de autocorrelación.
Analizando el modelo AR (1), se escribiría de la siguiente forma:
Si en la ecuación 1.30 se reemplaza
y así sucesivamente hasta llegar a la primera observación se tiene:
Yt = <K~Vf-n+i +*?~20r^a +».+*?e« +*A-i +ef (1-32)
Se observa claramente que el modelo AR pondera los errores en las
observaciones pasadas en una manera exponencialmente decreciente, esto es
algo similar a lo que ocurre con el alisamiento exponencial que en cambio
pondera las observaciones.
20
El modelo de media m©¥¡Is de manera semejante al modelo autorregresivo,
provee el pronóstico de una variable como una combinación lineal de los errores
obtenidos para las observaciones anteriores. Aunque a este método se lo conoce
como de media móvil, no tiene ninguna relación con aquel descrito en los
métodos de alisamienío. Se representa de la siguiente manera:
(1.33)
Aquí se pueden anotar algunas características que diferencian a este modelo de!
método de alisamiento. La suma de los coeficieníes 91 + 02 + — + ®q n° t'ene 3ue
necesariameníe ser igual a 1, de igual manera los valores de 6, no se actualizan
cada vez que se íiene una nueva observación disponible como ocurre en el
méíodo de alisamienío, si no que son valores fijos que se obtienen mediante una
estimación.
Como se hizo en el caso autorregresivo, desarrollando la ecuación del modelo MA
(1), se tiene:
si se toma en cuenta que:
(1.35)
Sustituyendo ew de la ecuación 1.35 en la ecuación 1.34, y así sucesivamente
Y —o — ÑY — £) Y — _¿3n~Iy —ÑnY M ^f^\ ~— tZ-t 1/1J. + 1 IX1 JL f O ... \s\ f __n_i,1 1/1 JL t M I 1 ,\J\J I¿ 1 1 í—J, 1 t,—¿. i. f~rtTL L i—n \
21
se nota que cada observación de la serie pierde peso exponencialmente según se
aleja en el tiempo, de manera similar como ocurre en el alisamienío exponencial.
Finalmente y, como se ha indicado anteriormente, los modelos auto regresivo de
orden p y de media móvil de orden q pueden combinarse para llegar al modelo
mucho más generalizado autorregreslvo de media móvil de orden (p, q) o
ARMA (p, q) y cuya forma general sería la siguiente :
yt = *i/M + <t>2yf-2 + - + $pYt-p + ~ e^ - e^^ - ... - &qet_q (1 .37)
Por ejemplo, para un modelo ARMA (2,3) :
Yt = *I/M + $2yt-2 + e, - 9,eM - 62ef_2 - 93ef_3 (1 .38)
Para facilitar la notación de los modelos, se ha definido un operador denominado
"operador de paso regresivo" o simplemente "operador regresivo" B cuyo efecto
es dar retardos de tiempo a la serie, retardos definidos por la potencia de B, así:
(1.39)
entonces el modelo general ARMA quedaría de la siguiente manera :
22
(1.40)
El análisis de series de tiempo por medio de modelos ARMA requiere que la serie
de tiempo cumpla con la condición de estacionariedad. Cuando la serie no es
estacionaria se pueden utilizar algunos métodos para alcanzar esta
estacionaridad. El método más comúnmente aplicado para conseguri
estacionariedad es la diferenciación, que consiste en restar los valores que
pertenecen a retardos de tiempo consecutivos así:
(1-41)
a este proceso se denomina diferenciación de primer orden. Se ha creado una
nueva serie Xt que tendrá n - 1 elementos y que será estacionaria si la tendencia
en la primera serie era lineal. En caso de que la serie continúe manteniendo
tendencia, será necesario una segunda diferenciación de primer orden de la
primera diferenciación, es decir encontrar la serie de las segundas diferencias.
En general para conseguir estacionaridad es necesario aplicar diferenciaciones
sucesivas hasta que los coeficientes de correlación de la serie resultante caigan a
cero o dejen de ser significativamente distintos de cero después del segundo o
tercer retardo de tiempo. En la práctica no es necesario aplicar más de dos
diferenciaciones consecutivas pues los datos no contienen un nivel de no
estacionaridad mayor al segundo orden. Usando el operador regresivo se puede
indicar el número de diferenciaciones de la siguiente manera:
23
(1.42)
Así, un modelo AR (2) con una diferenciación ordinaria se escribiría
<|)1B-(t,2B2)yf = ef. (1.43)
El modelo final en el que se aplica diferenciación a la serie original para alcanzar
estacionariedad, se denomina Autorregresivo de Media Móvil Integrativo o sus
siglas en inglés ARIÜA (AutoRegressive Integrative Moving Average). La notación
que se aplica para definir el modelo es ARIMA (p, d, q) donde p y q son los
parámetros ya conocidos del modelo ARMA y cí indica el número de
diferenciaciones que han sido necesarias de aplicar.
Como se definió anteriormente, la serie puede tener un patrón de comportamiento
estacional creado por ciclos repetitivos de altos y bajos en factores que son de
alta influencia en la demanda como por ejemplo el día y la noche, horarios de
trabajo, etc. Para poder identificar adecuadamente el período de dichos ciclos es
necesario que primero se haya alcanzado la estacionaridad para la serie en
análisis.
Si la serie es estacionaria, los períodos de esíacionalidad se pueden determinar
examinando ios coeficientes de autocorrelación e identificando aquellos para los
que después de 2 o 3 retardos de tiempo, sus valores son significativamente
distintos de cero, y el período es determinado por el coeficiente que tenga el
mayor valor entre retardos adyacentes.
Cuando se ha determinado que la serie contiene un comportamiento estacional de
período S y para analizar sus características estacionales, se genera una serie
que solo contendrá los valores de los retardos de tiempo múltiplos de S. Se
puede encontrar un modelo ARSMA (P, D, Qf ajustable a ese período, ignorando
la parte no estacional previamente establecida. Este modelo se denomina ARMA
estacional o del inglés Seasonal AR1MA.
Para conseguir estacionariedad entre ios períodos estacionales sucesivos es
necesario aplicar una diferenciación de período largo o estacional que se notaría
de la siguiente manera :
(1.44)
De manera ilustrativa, suponiendo que se tiene un modelo SARIMA (1,1,1) x
(I,!,!)12, su notación seria la siguiente :
Hasta aquí, se ha analizado la demanda eléctrica de potencia como un proceso
estocástico dependiente solamente de sus valores anteriores, pero, como ya ha
sido indicado anteriormente, la demanda eléctrica es función de muchos factores
o variables que afectan a su evolución en el tiempo.
Algunos de estos factores mencionados son condiciones climáticas, como la
temperatura ambiente, intensidad luminosa y humedad- De entre ellas se destaca
la temperatura ambiente, dado que de su magnitud depende el funcionamiento de
sistemas de calefacción o de aire acondicionado y refrigeración, que pueden
representar cargas significativas, especialmente en sistemas como el ecuatoriano
donde la carga de tipo residencial (que es donde se instalan la mayoría de estos
sistemas) tiene gran peso en el total de la demanda.
25
Para poder incluir el efecto de la temperatura ambiente, se debe considerarla
como una variable externa al proceso, así :
Yt = ®(P)Yt + ®(<7)ef + ¥(r)t/f (1 .46)
2 f _ 2
Donde : Ut es la serie de tiempo de la variable externa.
Usando la función de correlación cruzada o autocorrelación cruzada y en forma
similar a lo realizado para encontrar el orden de los procesos AR y MA se puede
encontrar el polinomio de diferencias ^(r) de orden r (ecuación 1.47) que
describa de la mejor manera el comportamiento de la serie de tiempo que se
intenta pronosticar.
La teoría sobre los modelos ARMA ha sido desarrollada desde principios del siglo
XX por muchos investigadores en forma teórica. Los investigadores G. Box y G.
y sistematizado para
Su método consiste de tres fases:
2. Estimación y Pruebas, y
3. Aplicación o Pronóstico.
En las secciones subsiguientes se desarrolla
fases, excepto por la de la estimación de
capítulo 3.
En la figura 2.1 se puede observar un gráfico esquemático del proceso aplicado
por Box y Jenkins.
metodología de cada una de las
¡e desarrollará en el
Este método asume que la serie de
representativa del fenómeno del cual se quiere
no válidos y así mejorar los resultados
aleatoriedad en la serie.
utilizada es una muestra
;icar su
posibles errores o datos
o la
26
27
El propósito en la etapa de identificación es determinar un modelo ARMA
específico basándose en las funciones de auíocorrelación y autocorrelación
parcial. Cuando se trabaja con series estacionales se debe identificar el
correspondiente modelo SARIMA (p, d, q) x (P, D, Q)s o, con los períodos
estacionales que sean convenientes.
Fase 1IdMiftificacifin
F«se2E filmacióny Prueba»
Fase 3aplicación
Postular un modelode caraterfstieas
generales
*i 'Identificar el
modelo tentativo aser probado
\Estimación de
parámetros en elmodelo tentativo
>/Diagnóstico del
modelo,es adecuado?
\itUso del modelopara pronósticos
No
Modelo Esquemático del Método de Box y Jenkins
Como se indicó en el capítulo 1, los modelos ARMA exigen
a ser analizada sea estacionaria, es decir que su media
su varíanza sea finita. Si una serie es no estacionaria
incluyen una cierta tendencia a lo largo del tiempo.
la serie de tiempo
constante y
que los datos
28
La esíacionariedad de una serie de tiempo puede ser determinada analizando los
coeficientes de la función de autocorrelación de la serie. En una serie estacionaria
estos coeficientes decaen a cero luego del segundo o tercer retardo de tiempo,
mientras que en una serie no estacionaria se mantienen significativamente
diferentes de cero por muchos períodos de tiempo. En la figura 2.2 se puede
observar las funciones de autocorrelación de una serie estacionaria y de una serieno estacionaria.
Si una serie de tiempo es no estacionaria, los modelos ARMA no pueden ser
utilizados para su análisis; entonces es necesario alcanzar la estacionariedad en
los datos de la serie, esto se consigue aplicando diferenciaciones a la serie.
Generalmente cualquier componente de tendencia que pueda incluir una serie se
elimina con una primera diferenciación o máximo con un segundo nivel de
diferenciación dado que los datos reales no incluyen componentes de tendenciamás allá del primer o segundo nivel.
retardos de tiempo retardos de tiempo
Funciones de Autocorrelación: (a) de una Serie no Estacionaria y (b) de una SerieEstacionaria
La estacionaiidad de una serie de tiempo se define como un patrón en ios datos
que se repite cada cierto intervalo provocado por ciclos en el comportamiento de
los consumidores que dependen de características ciimáíicas como el día y la
29
noche o propias de la sociedad como los horarios de trabajo o los días de la
semana. Como se nota claramente, una serie de tiempo puede tener más de un
patrón estacional.
Los patrones estacionales se reflejan directamente en los coeficientes de
autocorrelación con frecuencias de repetición iguales. En una serie de tiempo
estacionaria, los patrones estacionales se pueden identificar analizando los
coeficientes de autocorrelación con retardos de tiempo mayores a 3 o 4 períodos.
Cualquier coeficiente significativamente mayor que cero indicaría la existencia de
algún patrón en los datos. En el gráfico de la función de autocorrelación se puede
identificar fácilmente el comportamiento estacional de una serie, siempre y
cuando esta serie sea estacionaria, pues una componente de tendencia puede
esconder el comportamiento estacional, de esta manera, en el análisis de series
de tiempo es conveniente primero alcanzar la esíacionariedad de la serie para
luego analizar su comportamiento estacional. La figura 2.3 presenta la función de
autocorrelación de una serie de tiempo con un período estacional de orden 4.
Que una serie de tiempo sea estacional i
patrón de tendencia de período largo, por lo
mediante el uso de diferenciaciones de
estacionales. Este patrón de tendencia se
10
indica que contiene un
debe ser removido de la serie
largo o diferenciaciones
calificar como estacionariedad
|Tj nn r^
retardos de tiempo
Función de Autocorrelación de una Serie de Tiempo con Estacionaíídad
Período 4
30
Los coeficientes de las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial de
un proceso Auíoregresivo (ÁR) o de Media Móvil (MA) se comportan de forma
muy distinta según el proceso y su orden, de tal manera que conociendo el
comportamiento, se puede lograr identificar el proceso de una serie de tiempo a
partir de estos coeficientes. Aunque los patrones de comportamiento de los
coeficientes de estas funciones son típicos, el proceso de identificación del
modelo no puede ser reducido a un nivel mecánico. Se requiere de análisis y
juicio para llegar a identificar correctamente un modelo. Este requerimiento se
debe básicamente a 2 razones:
1. Las funciones de Autocorrelación y Autocorrelación Parcial no pueden
ser suficientemente claras como para identificar el modelo, esto se debe
a que las series tienen una influencia aleatoria suficientemente fuerte
como para alterar los patrones de las funciones, y
2. Las funciones pueden indicar más de un modelo.
Los coeficientes de la función de autocorrelación de un proceso MA tienen valores
significativos para los primeros q retardos (siendo q el orden del proceso)
mientras que para un proceso AR decaen exponencialmente hasta cero, como se
puede observar en la figura 2.4, donde se ha graficado el comportamiento de la
función de autocorrelación para un proceso AR (nótese que aún no se puede
decir nada sobre su orden) y para un proceso MA de segundo orden (para el caso
MA es posible identificar el orden del proceso).
31
retardos de tiempo
(a}
i i i iretardos de tiempo
(b)
Funciones de Áutocorrelación: (a) Coeficientes decaen exponencialmente a cero,
indicando un modelo AR, (b) Coeficientes se cortan después de 2 retardos
sugiriendo un modelo MA(2)
Los coeficientes de la función de Áutocorrelación Parcial se comportan de manera
inversa que los de la función de autocorrelación, en la figura 2.5 se puede
observar que estos coeficientes decaen exponencialmeníe para indicar un
proceso MA o se cortan luego de p retardos de tiempo indicando que se puede
relardos de tiempo
(a)
retardos de tiempo
(b)
Figura 2.5 Funciones de Autocorrelación Parcial: (a) Coeficientes se cortan luego de 3
retardos indicando un modelo AR(3); (b) Coeficientes decaen exponencialmeníe sugiriendo un
modelo MA.
32
La información que se desprende de analizar independientemente las funciones
de Auíocorrelación y Autocorrelación Parcial es complementaria, así usando
ambas funciones es posible determinar con más exactiíud el íipo de proceso
involucrado.
En especial, los procesos ARMA combinan las características de los esquemas
Auíoregresivo y Media Móvil. Como se puede apreciar en la figura 2.6, que indica
las funciones de Auíocorrelación y Auíocorrelación Parcial de un proceso ARMA
(1, 1), se podría decir que liíeralmente se han sumado las funciones de un
proceso AR con las de un proceso MA, decayendo ambas exponencialmeníe
hacia cero.
En la figura 2.7 se grafican oíros posibles comportamientos de las funciones de
Autocorrelación adicionales al de la figura 2.6 para un proceso ARMA (1,1).
retardos de tiempo
(a)
retardos de tiempo
ib)
¡ Funciones de (a) Auíocorrelacíón y (b) Auíocorrelación Parcial de un Proceso
ARMA(1,1)
33
A A A A
/u* A A A A A.v v %
A_A
Posibles Combinaciones de Funciones de Autocorrelación y Auíocorreiación
Parcial de un Proceso ARMA (1,1)
36
Para determinar si un determinado número de coeficientes de Autocorrelación son
significativamente distintos de cero, Box y Pierce [1] desarrollaron una prueba
estadística basada en la distribución *2 (Chi cuadrado) denominada como la
prueba Q.
Si el valor calculado para la prueba es menor que el valor de la función *2,
significa que las autocorrelaciones usadas para calcular la prueba no son
significativamente distintas de cero.
La prueba Q se calcula como
/i2 (2.4)k=l
donde m es el mayor retado de tiempo considerado.
Mientras menores sean las correlaciones menor será el resultado de X2. Si el
valor calculado para X2 con las correlaciones tomadas en cuenta es menor que el
valor de las tablas de la función X2, para el número de grados de libertad dado, se
diría que la hipótesis de que esas correlaciones no son significativamente distintas
de cero es verdadera.
Identificar, y en general pronosticar, una serie de tiempo estacional es mucho más
complejo que hacerlo para una serie de tiempo no estacional, dado que además
del patrón repetitivo entre retardos de tiempo seguidos, existen uno o más
patrones repetitivos de período Si, Sa, etc. (donde S es la longitud en retardos de
tiempo del período estacional) más largos que los normales y que necesitan ser
representados por modelos ARIMA propios. El proceso de identificación de los
37
componentes estacionales de la serie es semejante a la identificación de ios
componentes normales, se analiza los retardos de tiempo que sean múltiplos del
período de la esíacionalidad y se determina cual es el modelo que la rige.
La identificación de los procesos estacionales siempre se realiza después de
haber identificado el modelo ARSMA de período normal, y en orden creciente
desde el período más corto hasta el más largo. Los períodos más cortos son más
fáciles de identificar puesto que pueden estar contenidos más de una vez en los
períodos largos y su comportamiento puede ser más claro, así las influencias de
los períodos más cortos son eliminadas facilitando también la identificación de los
más largos.
Se ha elegido a la temperatura ambiente como la variable externa a ser incluida
en el pronóstico de demanda. Esta inclusión no es una simple elección del autor
realizada sin fundamento; de todas las variables climáticas que tienen efecto
sobre la demanda eléctrica, la temperatura ambiente es la que tiene el
comportamiento más predecible y su pronóstico no es complicado a diferencia de,
por ejemplo, la nubosidad que también tiene un efecto interesante sobre la
demanda, afectando en especial a la carga de iluminación, pero su
comportamiento es mucho menos predecible y acarrea errores significativos y por
tanto en lugar de ser útil para el pronóstico de demanda puede distorsionarlo.
Para identificar como afecta la temperatura a la demanda eléctrica se han
desarrollado algunas metodologías, entre ellas se pueden destacar:
1. Análisis de Fourier, usado en general para el análisis de series de
38
2. Efecto proporcional a la temperatura, se identifica dos valores umbral de
temperatura entre los cuales se desarrolla el efecto de la temperatura
en la demanda y el valor máximo en que varía la demanda con el valor
máximo de temperatura y mediante una función lineal se asigna valores
de demanda proporcionales a la temperatura.
3. Series de tiempo con ecuaciones de diferencias, se realiza mediante
técnicas de regresión múltiple.
En concordancia con los modelos ARMA, en este trabajo se utilizarán las técnicas
de series de tiempo con ecuaciones de diferencias.
La función de correlación cruzada o auíocorrelación cruzada como la llaman
algunos autores [1], es el resultado de combinar los conceptos de correlación
simple, que define el grado de relación entre dos variables X y Y, y el concepto de
autocorrelación, que indica el grado de relación o asociación entre valores
correspondientes a distintos puntos en la serie de tiempo. La función de
correlación cruzada es útil para determinar cuando las series Xt y Yt son
estacionarias y aun más importante, es utilizada para determinar la influencia de
las variables externas sobre una serie de tiempo y así poder postular un modelo
ARMAX, en general, apropiado.
Para definir la función de correlación cruzada es preciso definir primero la función
de covarianza cruzada. La función de covarianza cruzada entre Xt y Yt define los
niveles de asociación entre el valor de X en el instante t y el valor de Y en el
instante t + k ( K = O, 1, 2, 3, .....). Inversamente, la función de covarianza
cruzada entre Yt y Xt, indica los niveles de asociación entre el valor de Y en el
instante t y el valor de X en el instante t + k (k = 0,1,2,3,...).
La expresión para el cálculo de la función de Covarianza Cruzada entre Xt y Yt se
indica a continuación:
39
Se puede comprobar que Cvx(k) = Cxv(-k) o Cxv(k), k = ~1, -2, -3,.... entonces la
función de covarianza cruzada entre Yt y Xt se convierte en:
t+k -x)
La función de covarianza cruzada es una medida absoluta que puede ser
estandarizada dividiéndola para la desviación estándar de X y la desviación
estándar de Y. La función de covarianza cruzada una vez estandarizada se llama
función de correlación cruzada y se expresa por:
= 0,±1,±2,±3,... (2.7)
Donde Sx y Sy son las desviaciones estándar de Xt y Yt respectivamente.
La función de correlación cruzada puede ser utilizada en forma semejante como
se hace con la función de auíocorrelación para determinar el patrón de
comportamiento entre las series en análisis.
El pronóstico es la etapa mas sencilla de todo el proceso, puesto que se trata de
modelos lineales, una vez que se dispone de un modelo apto y sus parámetros
han sido estimados, el pronóstico se hace reemplazando en el modelo los valores
de cada retardo de tiempo que se considere y multiplicarlo por su correspondiente
Si la serie en análisis ha sido diferenciada, con el pronóstico de la serie
estacionaria simplemente se aplica el proceso inverso a la diferenciación a partir
de los más recientes valores conocidos de la serie. Por ejemplo, si se tiene una
diferenciación de orden m:
yí'=(1-Bm)yf = yf-yí.m (2.8)
entonces el valor original de yt se consigue de la siguiente manera:
Los algoritmos de estimación y pronóstico se han implementado a manera de
rutinas escritas para ei software MATLAB, especializado en el trabajo con
vectores y matrices de grandes dimensiones, como las series utilizadas en este
trabajo, y aprovechando las ventajas que ofrece este software para la realización
de rutinas que involucren cálculos numéricos de alta carga computacional. En el
anexo 1 se presentan las rutinas de pronóstico, estimación de parámetros y
cálculo de funciones de auíocorrelación y autocorreiación parcial.
Al final de la etapa de identificación se obtienen varios modelos preliminares de la
serie de tiempo, luego para probar su eficiencia y hacer los pronósticos es
necesario primero estimar los parámetros correspondientes a cada modelo.
La técnica básica que se ha seleccionado para estimar los parámetros es el
método de mínimos cuadrados optimizada mediante técnicas recursivas y el
seleccionado entrega los mejores resultados, la distribución de la muestra de los
parámetros estimados, tiene una media igual a los parámetros reales y su
varianza es igual o menor que la de cualquier otro estimador, es decir no tiene
sesgo y es de mínima varianza .
Supóngase que se quiere estimar los parámetros del modelo ARMA descrito a
continuación:
(3.1)
donde p y r son los ordenes de los parámetros autorregresivos y de la variable
externa u respectivamente, y que se dispone de un conjunto de observaciones:
(3.2)
Se debe calcular los valores del vector de parámetros:
(3-3)
que mejor se ajuste a los datos observados. Dado que y(k) depende de datos
anteriores hasta en n retardos (donde n es el mayor número entre p y r), el error
más anterior que se puede conseguir es e(N - n) y dado que se puede definir elx/potnr HP prmrpsí p<5("T¡hipnrln la pr*uarMÓn *3 "1 nna w rvfra Y/PT nsara lrs<s \/alrirp«s HPVG^UJI uc oí i ui wo cowi IMIGI luu la cwucawiwii w« i ui id y LILI o v&¿. poíd iuo vaiui co uc
= xr(0)9
y(n) = xr (n)9 + e(rí)
donde x se define como el vector de estado del modelo de la siguiente forma:
x(/í) = [y(/c + 1) y(k+2)-y(k + p) u(k)-u(k + r)f (3.5)
Para pasar a notación matricial, se definen los vectores siguientes:
= [x(0)-.x(A/~n)]r(3.6)
= [e(0)-e(A/-n)f
En términos de estas definiciones se puede rescribir la ecuación de errores:
(3.7)
La expresión de los mínimos cuadrados significa que se debe encontrar un valor
para 9 de tal manera que minimice la suma de los cuadrados de los errores. Para
ello se define la función:
(3.8)
y, usando la notación matricial anterior, la ecuación 3.8 se puede escribir como:
(3.9)
El objetivo es encontrar un vector 9MC de tal manera que minimice la función J,
pero como J es una función cuadrática, para minimizarla, §MC debe hacer cero su
algebraicas se llega a esta ecuación:
A __* u ur. — (3.10)
7MC
0 ——
fi "w\~*\pT (3.11)
expresión es la solución para la minimización de J, y como se puede
observar es explícita y de aplicación directa.
En el caso anterior intencionalmente se desarrolló el cálculo de los parámetros
por mínimos cuadrados para un modelo ARMA de parámetros MA cero es decir,
se analizó el caso de un modelo AR con una variable externa (i/t), pero ahora se
plantea un modelo ARMA más general, que en este caso ya incluirá parámetros
de Media Móvil así:
(3.12)
los nuevos vectores de parámetros y de estado o información están definidos por:
6 = (fh — $p \i/0 — vr 0! "-egF (3.13)
x(í) = |y(í + l)y(t+2)—y(t+p)u(t) — u(t+r)e(t + l)—e(t + q)f (3.14)
Aquí es donde se presenta el problema, los valores de los errores e(t+1)... e(t+q)
son desconocidos al momento de hacer la estimación; el error es igual a:
(3.15)
donde y(t) es el valor estimado para y en el instante t, y que solamente se puede
conocer cuando se ha realizado la estimación y el cálculo respectivo. Para
corregir este problema se utiliza la técnica de los mínimos cuadrados recursivos
de la siguiente forma:
1. Para la primera iteración se supone que todos los errores en la
estimación son iguales a cero, lo cual no está muy lejano de la
realidad pues se supone que los parámetros estimados son la mejor
aproximación a la realidad.
2. Se hace la primera estimación de parámetros para la medición más
lejana posible es decir, t + N - n, donde n es el mayor número entre
3. Con la primera estimación ya es posible calcular el error
t + N - n, y se actualiza el vector de los errores.
4. Ahora se hace la estimación para t *N- (n- f1 )yse procede como
en el numeral 3, de esta manera se hace una aproximación
recursiva hasta t = t y se obtiene el vector final de parámetros de la
Cada vez que se añade una nueva medición se redefine la matriz de estado con
el nuevo vector de información así:
; = [x(N-n-l)x(N-n)...x(N)]
entonces:
x(k)w(k)xr (k) = J^x(k)ayN-kxT(k) (3.17)I /C=A/-/í-1
donde w(k) es una función de ponderación de las observaciones definida por
ayw~* siendo a una ganancia del factor y y el factor de ponderación u olvido. La
como w(k) multiplicado por l¡
La ecuación 3.17 puede quedar escrita en dos términos como :
r i" T"
X %BJV «,'V' / A / n\yH/A/ n\V/A/ rA_i_Y/A/ n 'ftoY /A/ n *\\ "1 Gl\A = VA i /v — n j w w t / v — niAi/v — n i + AI/V — n— ijaji t /v — n — n lo. l o jl \\ \ \ \ \
para la solución de los mínimos cuadrados se requiere la inversa de la matriz
anterior, entonces por conveniencia se define una matriz P como :
P(A/-n-1) = [X/(A/~n-l)WX(A/-n-1)f (3.19)
Entonces la ecuación 3.19 se puede rescribir:
_ 1 -f
(3.20)
Aplicando el lema de inversión de matrices:
r~l ¿a ~iffisí!iíl**~-J . @=% ¿a ~iE=a 1 "B-siík"! /Q O*i\a ecuación 3.18 puede llegar a la siguiente expresión equivalente:
(3.22)
que representa el primer término de la ecuación normal ponderada (mínimos
cuadrados ponderados) donde I representa la matriz identidad y L(N-n-l) se
define como:
(3.23)a
Análogamente, la ecuación 3.18 se puede escribir:
f-n-l) (3.24)
Para la nueva medición en (N-n-1), la ecuación normal de solución de mínimos
cuadrados, se expresa de la siguiente manera:
W¥(N-n~l) (3.25)
Si en la ecuación anterior se sustituyen las expresiones 3.22 y 3.24 y, haciendo
algunas operaciones algebraicas se llega a obtener la expresión normal para la
solución por mínimos cuadrados recursivo:
(3.26)
(3.27)
Como es claro observar, en el proceso de estimación de parámetros po el método
de mínimos cuadrados recursivo no es necesario invertir ninguna matriz, lo que lo
hace un método rápido y efectivo.
A continuación se plantea un algoritmo para estimación de parámetros utilizando
las expresiones 3.14, 3.19, 3.23 y, 3.26, planteadas en el punto anterior:
1. Seleccionar un valor adecuado para a y el factor de olvido gamma.
Generalmente se selecciona un valor cercano a uno (p.e. gamma =
O*J,
2. ¡nicializar los valores de la matriz P y el vector de parámetros estimadosn
6 . Estos se inicializan con valores cero para la primera iteración.
3. Seleccionar el número de iteraciones K. En todo caso tiene que
menor que N-n-1.
4. Coleccionar ios n primeros (más antiguos) datos (y(N~n), ......
n),...,u(N)) y formar xT(N-n-1).
5. Iniciar el proceso de estimación con k = N-n.
,-1I T f
X(k -1) - + XT (k -1) í- i x(k -
7. Coleccionar y(k~1) y u(k-1).
8.
9.
10. Formar x(k-2)
^>'ac'^^, caso
La demanda eléctrica es función de muchos factores dependientes, como ya se
indicó anteriormente, de las costumbres y características de ios usuarios
ciertamente imposibles de determinar con exactitud. Cualquier pequeña variación
de uno de estos factores induce en la demanda un comportamiento diferente al
esperado, pero tomando las variaciones globales de todos los parámetros se
puede identificar que las desviaciones provocadas pueden ser asociadas con una
señal de ruido sobre la serie de la demanda.
Esta señal de ruido que afecta a las variables involucradas (en nuestro caso
demanda y temperatura) se representan con una función de densidad de
probabilidad y, en función del teorema del límite central que dice que "si una
variable aleatoria x es la suma de n variables aleatorias independientes que
satisfacen ciertas condiciones generales, entonces para un n suficientemente
grande, x se encuentra aproximadamente distribuida en forma normal o
gaussiana" [ ], se puede decir que la señal de error o ruido que afecta a la serie de
demanda cumple con las condiciones del teorema del limite central, es decir que
tiene una distribución normal.
A procesos como el que se analiza, donde están presentes variables aleatorias
regidas por una función de probabilidad, se los denomina procesos esíocásticos.
El error en la estimación de parámetros en procesos esíocásticos no solamente
depende de cuan bien esté el cálculo de los parámetros sino también del ruido o
aleaíoriedad presente en el sistema. Para que un estimador de procesos
esíocásticos se desempeñe adecuadamente, debe cumplir con algunas
características como consistencia, sin sesgo y mejor estimador, que se detallan
en los puntos siguientes.
Un estimador esíocástico es consistente si los parámetros estimados 9 cumplen
con la condición de que la diferencia con el valor real 9° después de un número
de iteraciones N es despreciable, es decir, se dice que el estimador es
consistente si se cumple la condición siguiente:
50
YT í-»-
w 1 ír\/&¡\9UJ Í9(A/)~9U!=Q (3.28)
Un estimador estocástico no presenta sesgo si la diferencia entre el valor medio
de las estimaciones, es decir el valor esperado, y el valor real es igual a cero
-9°= O
estimación es necesario que ios valores estimados se acerquen a los valores
reales en un número de iteraciones N finito. Desafortunadamente, no es posible
obtener un estimador que calcule el mínimo de 9 - 9° sin incluir el valor de 9°
(desconocido) directamente. Lo que se puede hacer es obtener un estimador que
sea el mejor, en el sentido de error medio cuadrático, que también sea lineal y sin
sesgo: el resultado es un BUJE.
El método de máxima verosimilitud es un método de estimación de parámetros
estocástico en el que se trabaja con cualquier función de distribución de
probabilidad. En la aplicación presente se asume una función de distribución
normal.
En la estimación se asume una estructura para la función de densidad de
probabilidad de las observaciones disponibles. Supóngase, por ejemplo, que los
datos consisten en un conjunto de observaciones que tienen una densidad de
probabilidad definida por la ecuación 1.6, pero con valor medio desconocido. El
es entonces 9° = x.
La función
\-7c/21=1 (3-30)
que es la función de probabilidad de £ dado 8, se representa como una función
de 0 y expresa la densidad de probabilidad de un conjunto x¡ para cualquier valor
0 de la media de la población. Como la probabilidad de que un x¡ cualquiera este
en el rango entre a y b es igual a :
(3.31)
Entonces la función de densidad de probabilidad resulta ser una medida de la
"verosimilitud" para un valor particular. Cuando fes grande en la cercanía de x°,
se espera encontrar muchas muestras de la población con valores cercanos a x°.
A esta función/x(£|9°) de densidad de probabilidad, función de los parámetros
0, se la denomina función de verosimilitud,
Si los datos reales vienen de una población con una densidad de probabilidad
/:C(£|00)I entonces se espera que las muestras reflejen este hecho y que un
buen valor estimado de 9° dadas las observaciones x = {xi, x2,...,Xn}T sea 9 = 9,
donde 9 es aquel que hace que la función de verosimilitud fx(& \) sea lo mayor
posible. Un valor estimado con estas características se denomina un valory,
,es
fx(x|0w)>fx(x!9) (3.32)
de la ecuación 2.30 se puede calcular 0^ para la media x, haciendo
derivada parcial de fx(x\Q) con respecto a 6 sea igual a cero.
, se obtiene lo siguiente :
1 (3.33)
de tal manera que la derivada del logaritmo de f es cero cuando df/dQ es cero,
puesto que no es posible para f ser cero en la cercanía de su máximo. Como el
logaritmo natural de la función de densidad es una función mucho más sencilla
que la propia función, en adelante, y por facilidad, se trabaja con el negativo del
logaritmo. Así, para el parámetro escalar í se tiene:
si se obtiene la derivada con respecto a 6:
/=!(3.34)
(3.35)
/o o¿>\)
di i
e igualando a cero se llega a:
/=!(3.37)
(3.38)
53
De lo anterior se llega a la conclusión de que para una distribución normal, donde
se desconoce la media, su valor estimado de máxima verosimilitud es la media
muestral, que también es consistente, sin sesgo y BLUE, además de cumplir con
los mínimos cuadrados. Ahora, el siguiente paso es aplicar esto al sistema
Considérese un modelo ARMA que contiene solamente el efecto del ruido blanco
en el período actual representado por el error e(t), semejante al descrito en la
ecuación 3.1:
(3.39)
y si se asume que la distribución del vector de los errores en la serie,
E = [e(0)...e(JV-iz)]r, es normal N(0,S21), esto significa que cada e(t) está
normalmente distribuido con media cero y varianza S2 y además que la relación
de covarianza entre e(i) y e(¡) es cero para todo / j. Si se conocen los valores de
y(t), u(t)t <j> , y \i/ se puede calcular e(t) de los valores observados, y la
distribución de y(t) se conoce inmediatamente por la distribución de e(í). Usando
la notación que se utilizó para los mínimos cuadrados, se define:
-n
= [x(0)-x(A/-n)f
= fe(0)*-e(/V-n
Eníonces para la ecuación 2.31 tenemos:
0+!
Para obtener la función de densidad de probabilidad /(Y|6°) necesaria en el
método de máxima verosimilitud, es necesario calcular directamente el vector E,
para lo que es necesario el modelo inverso del sistema, es decir
que resulta ser de cálculo trivial. Como se ha asumido una distribución normal
para el vector de errores E, la función de distribución de probabilidad se escribe
directamente de lo anterior:
)°) = (27i;S2rm/2eL 2 s2 J (3.43)
donde m = N - n, el número de retardos para los que hay valores disponibles.
0° por un 8 más general. Si se procede como en el ejemplo elemental
anteriormente expuesto, obteniendo el logaritmo natural de f se llega a:
2
Claro está que los valores estimados 8^ y S*w son aquellos que hacen que
¿(Y 18) tome su valor máximo posible. La manera de obtenerlos es igualando a
cero las derivadas parciales de ¿(Y 18) con respecto a 8 y S2. Estas derivadas
son:
1 I T * T IA iw-í -VQ v^'vl— nAü i/»- — A 1M = U
s2
• H : = O
La ecuación 3.45 que da la solución de los valores estimados de 6 es idéntica a
la ecuación normal que se obtiene con la solución a través del método de los
mínimos cuadrados, y por tanto esta solución es asintóticamente consistente y sin
sesgo. La solución para S2 se despeja de la ecuación 3.46, y resolviendo se llega
1
m
Hasta aquí, no se tiene una nueva solución excepto el valor estimado para S2,
pues se nota que el método de máxima verosimilitud para el caso analizado
entrega la misma solución que el método de los mínimos cuadrados.
Autorregresivos y de la variable exfcerna, sin tomar en cuenta aquellos
correspondientes a la parte de Media Móvil. A continuación considérese un
modelo ARMA más general descrito en la ecuación 3.12:
la función de distribución de probabilidad de E = [e(Q)...e(N-ri)Y es considerada
nuevamente como normal, A/fO, S2!). La diferencia entre el modelo planteado en
la ecuación 3.39 y el nuevo modelo de la ecuación 3.48, radica en que ahora se
incluye la influencia de los valores anteriores de la serie del error, afectados por
coeficientes de ponderación 9¡. Sí los coeficientes de ponderación de ios errores
son distintos de cero, en este caso el estimador de mínimos cuadrados será
sesgado [9] y por lo tanto es necesario recurrir a otro método de estimación como
el de máxima verosimilitud.
En el momento de la estimación, los valores de los errores pasados que se
podrían cometer con el modelo al cual se está estimando los parámetros son
desconocidos y, esto no permite que se pueda hacer la estimación de parámetros
y por tanto, no se puede encontrar una ecuación con la cual calcular
directamente los parámetros. Para solucionar este problema circular lo que se
debe hacer es una aproximación numérica hacia la solución por medio de un
algoritmo recursivo similar al planteado para el método de los mínimos cuadrados.
Como no es posible plantear una expresión que permita hacer el cálculo directo
del estimador de Máxima Verosimilitud, a continuación se plantea un algoritmo por
medio del cual se hace la aproximación numérica para el vector de parámetros/\s 9^ . Partiendo de la ecuación 2.37 y formando el modelo inverso, es
decir despejando e(t), se llega a la siguiente expresión:
donde se asume que e(t) tiene una distribución normal con media zero y varianza
escalar desconocida Se. De igual manera el vector E = [<0)...e(JV-ii)]r también
cero y covarianza S = Selm = E(Wr), donde lm
m = N-n + l,o sea, el número de elementos en
Así, se puede escribir la función de densidad de E como una función de los
parámetros reales 0° =kl—<|>. \ivVr er"^
57
•f/c i Q\\ (E | 9) = ((27C) (3.50)
para encontrar la función de verosimilitud se sustituyen parámetros cualesquiera,
9, en la ecuación 3.50 y suponiendo que e(t) es la salida de la ecuación 3.49
cuando 8 * 9°, entonces:
(3.51)2 2 2SP t=N-n
El valor estimado de Se, que se puede calcular directamente igualando a cero la
derivada de la función de verosimilitud con respecto a Se, es igual a :
N
Para calcular los parámetros del vector 9 que maximicen la función de
verosimilitud se utiliza una técnica recursiva basada en el método de Newton.
Básicamente la técnica parte de una estimación k-ésima dada y se pretende
obtener una (k+1)-ésima estimación que haga que la función de verosimilitud sea
mayor que en la iteración anterior. El método expande I alrededor de 9(£) y/-,
busca 9(& + l) de tal manera que los términos cuadráticos (los tres primeros
términos en la expansión de I sean maximizados. El proceso es el siguiente. Sea
9(/c +1) = é(*)+69, entonces:
(3.53)
di
e=0(/c)
8=9(/c)
Es necesario encontrar 59 de tal manera que la aproximación hacia i sea lo
mayor posible. La condición para que I tenga un máximo es aquella donde
d£/d$Q = Q. Diferenciando la expresión 2.42 e igualando la derivada a cero
(ignorando los términos de órdenes superiores), el resultado es:
380
Usando el resultado de la expresión 3.55 se puede calcular 0(£+l) como:
(3.56)
Usando los términos de la expresión 3.54 se puede escribir el algoritmo así:
(3.57)
es necesario
términos de las series
de la expresión 3.57 en
observadas y(t) y u(t). Para lograr esto se debe utilizar la
59
expresión 3.51 y, suponiendo que S6 es una constante, formalmente ei proceso
es el siquie
^e2(/0
2S6 ft=W-n
f 1 v- ~,,,W<?
(3.59)
dze
Se nota que la expresión 3.58 y el primer término de la expresión 3.59 dependensolamente de la primera derivada de e(t) respecto de G . Puesto que se espera
que el algoritmo solamente haga un acercamiento hacia el valor real de 9,y
además, como se esta trabajando cerca del máximo de la función de
verosimilitud, se asume que los términos correspondientes a la primera derivadasean los que dominan y se simplifica, por facilidad matemática y compuíacional, elalgoritmo eliminando de la expresión 3.59 el término que contiene la segunda
\eeft
Con la simplificación anterior, solamente es necesario calcular los valores
relacionados con 5e(í)/58- A estas derivadas parciales se las conoce como
sensitividades de e respecto de 9 y se las puede calcular a partir de las
expresiones escritas a continuación:
a*/ -yd-n-^Qj^r^1 0.60a)
(3.60b)
- rff n Vfl— ~Sli — / J — 7 O ;^ ' ¿**¿ J
(3.60c)
Para fines del algoritmo, es necesario expresar las ecuaciones 3.60 en forma
matricial, por esto se define la matriz denominada gradiente del error así:
(3.61)
Y utilizando el vector de información (x), las ecuaciones 3.60, en forma iterativa,
(3.62)
reemplazando la expresión anterior en las expresiones 3.58 y 3.59 y despreciando
la segunda derivada del error utilizada en 3.59, se tiene la nueva forma de escribir
SW e,
(3.63)-iT
,,(K)
H de(k)
aeQ frtTnVCíy; OT O frTT»wg K-¡v-n N ^ Og K-/v~n
(3.65)
estimado de la varianza del ruido blanco Se utilizado en las expresiones
se puede definir en forma recursiva a partir de su definición en la
3.52 como:
(3-67)
vector de información y el gradiente del error sirven para expresar el error de
icción en forma recursiva:
Con las expresiones antes expuestas de la aproximación numérica, se puede
plantear el algoritmo necesario para los cálculos computacionales.
Una vez representadas todas las expresiones en forma recursiva se plantea el
algoritmo de máximo de verosimilitud, para mejorar el desempeño del algoritmo y
aumentar su estabilidad numérica es necesario hacer algunas aproximaciones
que se indican al final del algoritmo.
1. Cálculo del error de predicción:
e(k +1) = y(k +1) - XT (k
2. Cálculo del gradiente del error de predicción:
(3.69b)
3. Cálculo de la varianza del ruido blanco:
K + 1(3.69o)
4. Cálculo de la primera derivada de la función de verosimilitud:
Se(/c + 1)
5. Cálculo de la segunda derivada de la función de verosimilitud:
(3.69d)
(3.69e)
6. Cálculo de los parámetros estimados :
63
7.
El algoritmo básico de estimación indicado en las líneas anteriores, puede
mejorarse en algunos aspectos matemáticos.
1. En la expresión para el cálculo de los parámetros estimados 3.89f se
requiere la inversa de la segunda derivada de la función de verosimilitud,
V". Para evitar el complejo proceso de cálculo de la inversa de la matriz V"
se utiliza el lema de inversión de matrices de la siguiente manera:
Sea P(k+l) =[V"(k* I)]"1, y por ende P(k+1) =IV"(k-M)r1; entonces:
Se(/c+1)(3.70)
Para encontrar esta matriz inversa, se aplica a la expresión 3.70 el lema de
inversión de matrices, ya mencionado anteriormente, llegando a lo
>(*)r (k (3.71)
(3.72)
El último término entre paréntesis de la expresión anterior no es más que
un término escalar. De esta manera, el cálculo de la inversa de la segunda
derivada se reduce al cálculo de la matriz P(k), donde solamente se
requiere la inversión de un término escalar.
2. En el cálculo del error de predicción e(k*1) en 3.69a se usa los valores
estimados en el instante k, 6(£) . Sin embargo, después de calcular la
nueva estimación 9(&+l), se puede actualizar el error de predicción para
formar el vector de información x(k*1) y con ello mejorar el cálculo del
gradiente del error ®(A;+1). Esta actualización del error de predicción se
denomina error residual:
/(* + 1) = y(k + 1) - xT(k + 1)0(¿ + 1) (3.73)
Con este cálculo mejorado del error se define un nuevo vector de
información:
(3.74)
3. En la expresión 2.55d es posible hacer que V'(k) = o, ya que para valores
de k suficientemente grandes se considera que se trabaja en la vecindad
de 0° y para instantes anteriores a k*l se supone que ya se ha minimizado
la función de costo. Entonces la expresión 3.69d se puede escribir como:
(3.75)
kCuando k alcanza valores grandes se puede considerar que - = 1,
£ + 1
entonces la expresión 3.69c se puede rescribir como:
(3.76)
5. Otro punto a tomar en cuenta es que el valor de Se(/c + 1) es muy
semejante a Se(k)f por consiguiente se puede aproximar las expresiones
3.71 y 3.72 haciendo esos términos iguales:
(3.77)
1)IS6 (3.78)
Dado que los datos más cercanos en el tiempo tienen mayor influencia o
son un mejor indicativo del proceso real, es posible hacer una ponderación
de los datos para que tengan mayor peso aquellos que están más
cercanos. Para esto se define una función de ponderación w(k) ~ ayk que
se introduce en la ecuación 2.40
2S0 k=N~n
3.79 se
y que como
nuevamente el algoritmo de máxima
las expresiones 3.75, 3.76 y 3.77
S.(/c(3.80)
+1) = - I - L(k+1)<5r (k + 1)P(/c)Y
(3.81)
'1\1
(3.82)
entonces la estimación será:
= é(/c) - F(/c + 1)[V (k + 1)f (3.83)
El factor de ponderación y incluido en ésta ultima adecuación del algoritmo,
además de cumplir su función de ponderar los datos, evita inestabilidad
numérica en los cálculos del algoritmo, pues evita que la matriz Pf en algún
momento de la estimación, llegue a ser igual a cero.
7. En el proceso recursivo de estimación de parámetros para series de
tiempo, es necesario iniciar el proceso de estimación a partir de los
primeros datos de la serie, es decir los más antiguos. En la notación
generalmente utilizada para series de tiempo, que es la que se utiliza para
este trabajo, ios primeros datos de la serie se marcan con los índices
mayores y, el último dato con el índice cero; por esto, los pasos de las
iteraciones en lugar de avanzar desde el punto k hacia el punto k+1 lo
harán hacia el punto k-1, acercándose de ésta manera al último dato de la
serie.
Con todas las aproximaciones e innovaciones añadidas al algoritmo original, se
está en condiciones de plantear el algoritmo definitivo:
1 . Seleccionar un valor adecuado para los factores de ponderación, a y y „
El valor a se inicializa con a = 1 que se mantiene durante todo el proceso,
pues en la función de ponderación solo se toma en cuenta el término
exponencial y que para este caso se inicializa con un valor de 0,998.
2. Inicializar la matriz F y el vector de parámetros estimados 9, inicializar
también la matriz del gradiente del error y la varianza del error.
Como la matriz P está relacionada con la varianza del error, es aconsejableinicializarla con un valor alto, haciendo P = al, donde alfa es igual a un
número grande como 10000. También, el gradiente del error se puedeinicializar con un valor de cero. La varianza del error se debe inicializar conun valor muy cercano a cero, por ejemplo 0,001, para evitar problemas de
3. Seleccionar el número de iteraciones K, con la condición de que K < N-n-1,
4. Obtener n datos de las series de tiempo y con ello iniciar el proceso deestimación, para k= N-n.
5. Leer los datos y(k-l) y u(k-l) y con ellos actualizar x(k-l).
1) - XT (k
Cálculo del gradiente del error:
HA la v/nnaíTya Hpl niirin hlanrU O Id VOI IOI I¿_C1 UCI I UIV-HJ UIOIIWJ
9. Cálculo de la primera derivada de V:
10.Cálculo de la matriz L:
68
y a\1 .Cálculo de la matriz P:
+1) «e- -l-T
IS.CálcuIo del error residual:
s(/c + 1) <- y (/c + 1) - XT (k + 1)9(/c + 1)
1 4. Incrementar k.
15.Iral paso 5.
Este algoritmo ha sido i
En el anexo 1 se presentan en
como una subruíina en el
las subruíinas utilizadas.
La serie de tiempo estudiada en este trabajo se compone por 24 observaciones
diarias realizadas sobre el estado de la demanda de potencia del SNI al final de
cada hora, más una observación adicional realizada a las 19:30. Esta
observación adicional es necesaria debido a que en el período comprendido entre
las 19:00 y 20:00 es donde generalmente se presenta la demanda máxima diaria.
Al final, la serie de tiempo queda conformada por 25 observaciones diarias
recopiladas durante los 365 días del año.
Los datos que se han utilizado para conformar la serie se han obtenido de las
estadísticas del SNI correspondientes al año 2000 entre el 1 de enero y el 31 de
diciembre.
Como variable externa al modelo se ha seleccionado la temperatura ambiente por
ser la que afecta en mayor manera a la demanda y además es mas factible
obtener los datos necesarios.
La carga dependiente de la temperatura se puede dividir en dos grupos, la que se
utiliza para calefacción y la que es necesaria para refrigeración. Con esta
clasificación, la carga instalada en el SNI se agruparía en dos tipos generales:
1. La carga de la Región Sierra, donde los rangos de temperatura son bajos
en todo el año lo que hace que la carga dependiente de la temperatura
predominante sea del tipo de calefacción, y
2. La carga de la Región Cosía, en este caso los rangos de temperatura son
altos y consecuentemente la carga será para efectos de refrigeración y
acondicionamiento de aire.
69
70
Esta clasificación hace necesario dos muestras de temperatura, una
correspondiente a cada región como mínimo. Los puntos donde se han obtenido
las muestras son las subestaciones Pascuales y Viceníina, ubicadas en los
centros de carga de cada región.
Por dificultades técnicas no ha sido posible obtener un óptimo de muestras
ubicadas por lo menos en las cabeceras provinciales, pero para efectos de
estudio las dos muestras serán suficientes.
Estas series han sido muesíreadas en forma similar a la demanda, de manera que
se dispone de 25 observaciones diarias en cada una de las dos regiones.
La calidad de los productos resultados de cualquier proceso depende
principalmente de la calidad de la materia prima que se le suministra, en este
aspecto, los pronósticos que se puedan generar desde un modelo ARIMA también
dependen en gran medida de los datos incluidos en las series de tiempo que
conforman sus entradas.
Para confirmar la consistencia de los datos, se utiliza en la regla que en
estadística se denomina como "empírica", que señala, que para una distribución
de datos que en general se parezca a una distribución normal se puede decir que
el 99% de los datos estarán dentro del intervalo comprendido entre la media de la
distribución menos 3 veces su desviación estándar y la media más 3 veces su
desviación estándar.
Para el caso específico de la serie de tiempo de la demanda de potencia, no es
posible aplicar la regla empírica en forma directa, es decir determinando la media
71
y desviación estándar de la serie a partir de todo el conjunto de datos, puesto que
esto llevaría a que los valores de la desviación estándar se presenten muy altos y
la clasificación de los datos sea incorrecta.
Este problema se presenta por la naturaleza estacional de la serie. La influencia
de estacionalidades diaria así como semanal hace que no sea apropiado
comparar, por ejemplo, la demanda de un día martes con la de un día domingo, o
la demanda de cualquier día a las 07:00 con su valor a las 19:00. La forma de
análisis que se adopta consiste en separar la serie original en series más*
pequeñas conformadas con las observaciones correspondientes a cada período
horario y para cada día de la semana, en total 175 series conformadas por 52
datos correspondientes a las 52 semanas del año.
Con los datos clasificados de una manera que permita agruparlos con valores
más similares se aplicó la regla empírica a cada una de las series. La figura 4.1
representa la distribución de datos correspondiente a la subserie de los días
viernes a las 07:00.
10 -
- 8 '
i 6 -2 -
0 -.*•
n.n.n.n, . . . . . .
Las observaciones que son rechazadas por la regla empírica se consideran como
datos aíípicos que no son representativos del comportamiento real de la serie en
condiciones normales. Los datos atípleos pueden deberse a muy variadas
72
causas, pero para efectos de análisis se los ha clasificado en las siguientes
categorías:
1. Días feriados o de paro.
2. Fallas o desconexiones en el sistema de potencia,
3. Errores de digitación.
Los valores atípicos son reemplazados para mejorar el desempeño del modelo
procediendo de la siguiente forma:
1. Cuando se trata de días feriados o de paro y de fallas en el sistema de
potencia con duración mayor a 2 períodos, se reemplaza los valores
aíípicos por la media correspondiente a cada período.
2. Cuando se traía de fallas en el sistema de potencia con duración igual a un
período o errores de digitación, se reemplaza el valor atípico por el
promedio entre los valores correspondientes a los períodos anterior y
posterior al periodo de dicho valor.
Después de que los datos son verificados se los organiza nuevamente según la
serie de tiempo original.
Con las series correspondientes a la temperatura el proceso es menos complejo,
puesto que los rangos de variación son menores y el proceso de adquisición es
más confiable, se aplica la regla empírica en forma directa a cada serie.
Una vez que se cuenta con una serie de tiempo conformada por datos confiables,
se puede iniciar el análisis y modelación de la serie siguiendo la metodología
indicada en el capítulo 2.
73
En primera instancia es necesario conocer si la serie es estacionaria. Para ello se
utiliza la función de autocorrelación de la serie y sus características estadísticas,
media y desviación estándar, estas dos últimas se presentan en la tabla 4.1.
estadístico
Media
S
Q352
A (0.05.352)
Valor
1145.93
260.59
3933918
396.74
En la figura 4.2 se presenta la gráfica correspondiente a la función de
autocorrelación, aquí se puede observar que los coeficientes decaen rápidamente
dentro de los primeros períodos, además, su media es distinta de cero en un valor
apreciablemeníe alto, demostrando el comportamiento de una serie estacionaria
en el corto plazo.
La estadística Q de Box y Pierce también tiene un valor mucho más alto que el de
la distribución X2 para los valores dados, esto indica que los períodos
considerados de la función de autocorrelación son significativamente distintos de
cero.
Luego de los primeros períodos se observa que los coeficientes de ia serie tienen
tendencia a crecer cíclicamente con una frecuencia de 25 períodos, se puede
decir entonces que la serie contiene una estacionalidad de período 25
(esíacionalidad diaria).
Para remover la esíacionalidad de la serie es necesario que esta sea
diferenciada. Se aplica una diferenciación estacional de período 25. Los
resultados de dicha diferenciación se pueden observar en la figura 4.3, los
incrementos cíclicos cada 25 períodos han desaparecido.
—i 1 •" i 1 \ 1 1 1 r-
1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476
1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 35
101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 35
75
1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476
1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 35
T- Va or Aufo&orrelación
1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 35
76
150
-100-
-1501 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476
T - Va or Autocorre ación
T- Valor Autocorrelación
77
Luego de aplicar la diferenciación de período 25 se encuentra que la serie aun
contiene otra componente estacional, pero esta vez la frecuencia es cada 175
períodos (estacionalidad semanal) y, al igual que en el caso anterior, debe ser
removida aplicando una diferenciación estacional con idéntico período, es decir de
período 175.
En la figura 4.4 se presenta la función de autocorrelación de la serie resultante de
aplicar las dos diferenciaciones estacionales a la serie original. La tabla 4.2
presenta la media y desviación estándar de dicha serie. Los resultados indican
variaciones más moderadas de los coeficientes con frecuencias de 25 y 175
períodos, variaciones propias del comportamiento de la serie estacionaria, y a
partir de estos resultados se puede decir que la serie ha alcanzado la
esíacionariedad a largo y corto plazo.
0.244
114.85
El efecto de la temperatura sobre la demanda depende, como ya ha sido indicado,
de la región geográfica del país en donde este ubicada la carga. En el SNI la
mayor parte de la demanda esta distribuida entre las zonas costa y sierra, y de
ellas se cuenta con medición de temperatura en el centro de carga de cada
región, es decir: Guayaquil (subestación Pascuales) y Quito (subestación
Vicentina).
Para estudiar cual es el efecto de la temperatura en cada región, se ha graficado
la demanda de dos días correspondientes ai mismo día de la semana pero en
78
fechas distintas, diferentes temperaturas promedio y para cada ciudad. En las
figuras 4.5 y 4.6 se presentan los resultados de este análisis.
Sep-00
Sábado 11-Nov-OO
11-Nov-OO
•Temperatura23-Sep-OO
CM
E.E.
500
350
300
250
200
150
100CO N- O> CO LO
i iK
35
30
25
20
15
•Martes 18-Jul-00
•Martes 31-Oct-00
•Temperatura18-Jul-OO
• Temperatura31-Oct-OO
T- CO IOCM CM CN
De lo presentado en las figuras 4.5 y 4.6 se puede inferir que en la región sierra la
carga dependiente de la temperatura es mínima y no afecta en mayor escala a la
demanda de la región; mientras que en la región costa es clara la influencia que
la temperatura ambiente tiene sobre la demanda.
79
La serie de temperatura incluye patrones de comportamiento estacional con
período de 25 retardos de tiempo como se puede apreciar en la figura 4.5. Para
eliminar dicho comportamiento, se aplica una diferenciación estacional de orden 1
y período 25, La figura 4^ presenta la serie de temperatura diferenciada y suv.
función de auíocorrelación. \¡ '
La serie de temperatura diferenciada es útil para un modelo de pronóstico de
temperatura, pero en el caso del pronóstico de la demanda, al diferenciar la serie
de temperatura se pierde la información que actúa como indicativo para la
evolución de la demanda. Es necesario entonces aplicar otro tipo de
transformación a la serie de temperatura.
En la referencia [12] se determina que la porción de demanda dependiente de la
temperatura sigue una curva por segmentos, la carga se activa proporcionalmente
a una temperatura umbral debajo de la cual es cero y hasta un valor de
temperatura techo sobre la cual la demanda será el valor máximo:
Dr =
O s¡T<T1
Y^V-Tj s¡T1<T<T2 (41)
DTM si
donde:
T! es la temperatura umbral bajo la cual la
demanda dependiente de la temperatura es casi
nula, y se asume que su valor es cero. En otros
términos, TI sería la temperatura de comfort a
partir de la cual se incrementa este tipo de
es la temperatura de saturación a la que se
supone que todos los aparatos de
80
acondicionamiento de aire y refrigeración están
encendidos.
DTM es el valor máximo de este tipo de carga.
Los valores de TI y Ta determinados en la referencia son 22 y 32 °C
respectivamente. Por haber sido calculados para una zona tropical como Brasil,
se asume (sin cometer mayores errores) que estos valores son también
representativos del comportamientos de los consumidores en la región costa
ecuatoriana.
En la metodología de pronóstico utilizada en este trabajo no se utilizara la
ecuación 4., sino solamente la transformación de la temperatura a valores entre O
y (T2-Ti), así:
O siT<T,
T-T, s!T1<T<T2
T2-Tj siT>T2
35.0Sene de la Temperatura
26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326
Autocorrelacion de Temperatura
26 51 76 101 126 151 176
Figura 4.7 S
15.0
10.0 -
-10.0 -
-15.0
82
Sene Diferenciada de Temperatura
1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326
Auíocorrelacíón
76 101 126 151 176
Figura 4.8 Serie de Tempo de Ba Temperatura Diferenciada y su Función de
83
Seleccionar el modelo que mejor se ajuste a una serie es un proceso que requiere
el planteamiento de varios modelos tentativos que satisfagan las condiciones de
la identificación para posteriormente seleccionar de entre ellos el mejor.
En el caso de la serie de la demanda, como un primer paso se parte de las
funciones de auíocorrelación y autocorrelación parcial correspondientes a la serie
resultante del proceso de remoción de estacionariedad y estacionalidad. Estas
funciones están presentadas en la figura 4.4. A continuación se presentan varios
modelos tentativos, algunos utilizados simplemente como base de desarrollo de
los que son efectivamente escogidos para obtener pronósticos.
Este modelo se plantea como primer paso en el proceso de análisis. En la función
de auíocorrelación correspondiente a la serie estacionaria presentada en la figura
4.4 se observa que los coeficientes de los primeros períodos decaen con
tendencia exponencial, lo que puede indicar que la serie contiene un proceso
auíorregresivo de primer orden. El modelo comprende: dos diferenciaciones
estacionales de la serie original, una de período 25, notada (1-B25), y otra de
período 175, notada (1-B176); y un parámetro autorregresivo de primero orden y
período 1, se escribe como (1 - <)>iB). Una vez planteado el modelo, se realiza la
estimación de parámetros utilizando el algoritmo de máxima verosimilitud para
determinar el valor del parámetro <|>i.
*1Media
S
Q
X¿
0.823
0.1
23.6
3208
395.6
Tabla 4.3
1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301
0.4
0.3
0.2
0.1
O
-0.1
-0.2
•0.3
•0.4
351 376 401 426 451 476
Autocorrelación
T- tf> V-
T-Va or Autoc irrelación Parcial
« m r- o íuY- •£> *-u\ of •*- íH
Figura 4.9 Residuales del Modelo 1, sus Funciones de Autocorrelación y
85
La figura 4.9 presenta los residuales correspondientes a la serie después de
aplicar el modelo 1, las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial de
los residuales, y sus estadísticas semejanza T con altos valores repetitivos que
indican que varios de los coeficientes de las funciones de autocorrelación y
autocorrelación parcial son distintos de cero.
S25- + <|>iB) yt = (í + 6»B*) (I + 9175B175)
En las gráficas de las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial
correspondientes a los residuales del modelo 1 se observan dos cosas:
1. Fue una decisión correcta incluir el parámetro auíorregresivo de orden 1,
puesto que se ha eliminado el comportamiento exponencial decreciente de
los coeficientes correspondientes a los primeros retardos de tiempo, y
2. Los picos presentes en la función de autocorrelación en los períodos 25 y
175, combinados con el decrecimiento de sus múltiplos en la función de
autocorrelación parcial, indican la necesidad de incluir dos parámetros de
media móvil correspondientes a estos dos períodos,
Finalmente el modelo 2 queda conformado por 2 diferenciaciones estacionales a
la serie de demanda, notadas por (1 - B25) y (1 - B175), un polinomio
auíorregresivo de orden uno y período 1, (1 + <(>iB), y dos polinomios de media
móvil, el primero de orden 1 y período 25, (1 + GasB25), y el segundo también de
orden 1 pero periodo 175, (1 +
Los resultados de la estimación de parámetros del modelo 2, así como las
características de la serie de residuales se presentan en la tabla 4.4.
<t>1
625e175
0.7433
-0.8076
-0.6713
86
Tabla 4.4
Media
S
Q(352)
X (0.05, 352)
-0.02
9.81
9854.56
393.56
La media y la desviación estándar de los residuales podrían indicar que se trata
de ruido blanco, pero observando las funciones de autocorrelación y
autocorrelación parcial, presentadas en la figura ^9, es claro que la serie aún
contiene información que no puede ser atribuida al ruido blanco.
I175) + = (1 + I25)
En las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial de los residuales del
modelo 2 se nota que los picos presentados en los primeros períodos múltiplos de
25 indican la necesidad de añadir un coeficiente autorregresivo de orden 25
dentro del modelo 3.
Este tercer modelo lleva, igual que los anteriores, dos diferenciaciones
estacionales a la serie original, (1 - B25) y (1 - B175). Dos polinomios de
parámetros auíorregresivos de primer orden y períodos 1 y 25, (1 + <)>iB) (1 +
<t>2sB25) y los dos polinomios de primer orden de parámetros de media móvil con
períodos 25 y 175 respectivamente, (1 + 025B25) (1 +
La figura 4.9 presenta los residuales obtenidos a partir del modelo 3 y cuales son
sus funciones de Autocorrelación y Autocorrelación Parcial.
Los resultados de la estimación de parámetros y las propiedades estadísticas de
la serie de residuales son:
87
+1<|>25
925
8175
Media
S
Q352
X (0.05, 348)
0.8687
-0.048
-0.7627
-0.746
-0.14
23.94
10291
395
La serie de residuales aparentemente se comporta como ruido blanco
confirmando esto con las funciones de autocorreiación y autocorreiación parcial.
Dichas funciones presentan coeficientes con valores bastante bajos y que pueden
indicar que el modelo es adecuado para usarlo en el pronóstico de la serie de
demanda eléctrica.
200
-200
88
1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476 50
T - Valor Autocorrelación
T ' l & T - l O r - t O f i O ' r - l & f l O - r - l i í - r -« m i v o o j i r t r w o í u i f t r w o t u i f j* - T - ^ T - < y c a « W t > t 7 W
T - I Ú T - l O ^ - l Ü T - í O l — ( O T - l f l y - U j T -p j t n r ^ o í y i r t i s - o o J i n r t a O í y i r t
T - T - ^ . Y - w f t | í y í y « ' f > * > 1
T-Valor Autocorrelación Parcial
(« « W ÍU
Figura 4.10 Residuales del modelo 2 y sus funciones de Autocorrelación y
89
100
50-
-50 -
-100-
-150
Residuales!
1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476 50
T - Valor Autocorrelación
T- Valor Autocorrelación Parcial
Figura 4.11 Residuales del modelo 3 y sus funciones de AutocorreBación y
90
+ + 175W -)yt- + 25v
En las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial de la serie
diferenciada estacionalmente se observan picos en los períodos 175 y sus
múltiplos lo que sugiere que se puede incluir un parámetro estacional
auíorregresivo de orden 1 y período 175, y retirar el parámetro de media móvil de
período 175. Además, el comportamiento de las funciones de autocorrelación de
los residuales de los modelos 2 y 3 en sus primeros períodos sugieren la
posibilidad de que se trate de un modelo combinado ARMA (1,1) por lo que se
incluye también un parámetro de media móvil regular. El modelo finalmente
contiene las dos diferenciaciones a la serie original, (1 - B25) (1 - B175), dos
polinomios autorregresivos de primer orden, (1 + <j>-iB) (1 + <JM75b175), con períodos
de 1 y 175 retardos. El modelo también incluye 2 polinomios de media móvil de
primer orden con periodos de 1 y 25 retardos, (1+0-iB) (1 +
Las propiedades estadísticas de los residuales resultantes de aplicar el modelo 4
pueden observarse en la tabla 4.12. Su gráfica, así como las de sus funciones de
autocorrelación y autocorrelación parcial con sus respectivos coeficientes de
semejanza T están presentados en la figura 4.12.
*1<j>173
61
825
Media
S
Q352
X (0.05, 348)
0.7628
-0.462
-0.108
-0.861
0.41
22.08
1860
392
91
,25t
25-
al75\v
Este modelo se deriva del número 4. A dicho modelo se le ha incrementado el
orden de los procesos auíorregresivos y además se ha incluido un parámetro de
media móvil de orden 1 y período 175, con la intención de disminuir los picos de
las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial que se presentan en los
primeros periodos y en los múltiplos de 175, que sugieren un posible
comportamiento combinado autorregresivo y media móvil.
El modelo queda conformado por dos polinomios de segundo orden y con
retardos de 1 y 175 , (1 + faB + fcB2) (1 + $m&m + feoB350), las diferenciaciones
estacionales, y tres polinomios de primer orden y de retardos de tiempo 1, 25 y
175.
La tabla 4.7 contiene los resultados de la estimación de parámetros y las
propiedades estadísticas de la serie de los residuales.
<j>1
<j>2
<|>175
<t>350
61
e25
6175Media
S
Q352
X (0.05, 348)
1.405
-0.4783
-1.14
-0.4681
-0.6755
-0.9184
-0.6288
0.28
18.48
712
396
92
En la figura 4.13 se puede observar los residuales correspondientes , así como
sus funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial, aquí se observa que
los residuales guardan una correlación muy baja, aunque en el período 175 aún
hay influencia.
93
100
50 -
-50 -
-100 -
-1501 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476 50
T - Va or Autocorre ación
T-Valor Autocorrelaclon Parcial
Figura 4.12 Residuales del Modelo 4 y sus Funciones de AutocorreEación y
100
50-
0 -
-50-
-100 -
-150 -
-200
Residuales
1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476 50
0.4
0.3
0.2
0.1
O
-0.1
-0.2
•0.3
•0.4
Autocorrelación T - Valor Autocorrelación
« m r - o í a i f i r - O í u m r - o í n i í f t
0.4
0.2
0.1
O
•0.1
•0.2
•0.3
-0.4
Autocorrelación Parcial T-Valor Autocorrelación Parcial
T - l f i - r - l f i T - l D - r - l i j T -« i n i v o c a i n i v o nj -r- >o « i ñ r w o w i f t r - Q í y i n t . o o i j f jT - - r - T - - r - o i í y < y w * > « ' | { T
Figura 4.13 Residuales del Modelo 5 y sus Funciones de Autocorrelación y
95
La influencia de las variables externas dentro de los modelos ARMA no se puede
identificar directamente utilizando las funciones de autocorrelación y
auíocorrelación parcial. Como se ha indicado en los capítulos aníeriores, para
esíe efecto es necesario utilizar la función de autocorrelación cruzada.
Cuando se calcula la función de autocorrelación cruzada de dos series
directameníe, el efecío de los procesos esíacionales incluidos deníro de la series
esconde la influencia real que una serie puede íener sobre oirá, además, los
propios procesos (sean auíorregresivos o de media móvil) que incluya la serie en
análisis íambién opacaran la verdadera relación entre las series. Entonces, para
identificar modelos SARIMAX que se ajusíen efecíivameníe al proceso real se
deberá partir de las series íransformadas.
i; (1 - B25) (1 - B175) (1 + (j>iB) (1 + <j>25B25) yt =( p0 + PiB) nt + (1 +
En la figura 43% se gráfica la función de correlación cruzada entre la serie
diferenciada de la demanda y la serie diferenciada de temperatura donde se
observa un comportamiento de influencia a partir del retardo de tiempo O, que en
este caso es el valor de la temperatura a la misma hora. Se selecciona para la
aplicación 2 coeficientes de regresión con orden O y 1.
Al incluir variables externas dentro dei modelo ARMA, el análisis de los residuales
puede ser distorsionado. Las funciones de autocorrelación y auíocorrelación
parcial ahora incluyen el efecto de dichas variables, siendo solamente un
indicativo del comportamiento de los residuales.
96
=(
La propuesta presente se obtiene a partir del modelo 4, que es uno de los de
mejor ajuste para la serie de demanda. Se trabaja con la función de correlación
cruzada entre la serie diferenciada de la demanda y la serie transformada de
temperatura. Al igual que en el caso anterior, se añaden 2 coeficientes regresivos
a la serie de la temperatura de período O y 1.
El modelo resultante contiene entonces dos polinomios autorregresivos de primer
orden y 1 y 175reíardos de tiempo, (1 + <j>iB) (1 + «jMysB175), más dos polinomios de
media móvil de primero orden y periodos 1 y 25, (1 + 9iB) (1 + SasB25) y además el
polinomio de primer orden con parámetros en el período Oye! período 1. La figura
4.16 muestra los residuales que entrega el modelo y las funciones de
autocorrelación y autocorrelación parcial correspondientes. Se observan
coeficientes de correlación bajos con niveles de significancia en el l{imite.
0.05
Correlación Cruzada
1 2 3 4 5 6 7 8 S 10 11 12 13 14 15 16 17 18 192021 22232425262728293031 32333435363738384041 42 434445464748496051 £2
Figura 4.14 Función de autocorreiación cruzada entre las serles diferenciadas de
97
1 26 61 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476 50
0.4
0.3
0.2
0.1
o
•0.1
•0.2
•0.3
•0.4
Auto correlación T - Valor Autocorrelación
Autocorrelación Parcial10 i
i - T - T - T - C U O J O J Q l t t
T-Va orAutocorre ación Parcial
Figura 4.15 Residuales del RñodeBo 6 y sus Funciones de Autocorrelación y
98
-150
1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476 50
T - Valor Autocorre ación
T- Valor Autocorrt lación Parcia
o a i n r w O í y m r w o o d i n r w p o i i f t
Figura 4.16 Residuales deB Modelo 7 y sus Funciones de Auíocorrelación y
La efectividad de los modelos
pronósticos en dos horizontes
el segundo a una semana o
jo: conseguir un
en el capítulo 4 se prueba realizando
distintos, uno a 24 horas (25 períodos) y
horas (175 períodos), según los objetivos del
para pronóstico diario y semanal de la
Como medida de la precisión del pronóstico se calcula su error promedio
porcentual absoluto (eppa), obtenido a partir de la ecuación 5.1. El modelo
seleccionado será el que genere el menor eppa.
(5-1)
y/c demanda real en el período k,
yk demanda pronosticada para el período k,
N número de períodos del pronóstico.
Además, en caso de que dos modelos tuvieren resultados semejantes, se
selecciona el de menor número de parámetros según el criterio de parsimonia,
que dice:
"Un modelo parsimonioso es un modelo lineal general con un número pequeño de
parámetros. En situaciones en que dos modelos en competencia tienen
esencialmente la misma capacidad de predicción, conviene escoger el más
parsimonioso de los dos". [4]
99
100
En este punto se evalúa la calidad de los resultados que entregan los modelos
con un horizonte de 24 horas, para esto se utilizan ios pronósticos realizados
entre los días 17 y 31 de octubre de 2000. Dado que la demanda del sistema se
comporta de manera similar durante el año, el número de pronósticos utilizados
se considera suficiente para evaluar los resultados y definir el mejor modelo de
ajuste sin cometer errores. Los 5 modelos a los que se prueba su efectividad son;
Modelo 3: (1 - B25) (1 - B175) (1 + frB) (1 + feB25) yt = (1 + e^B25) (1 + GiTsB175) et,
4: (1 - B25) (1 - B175) (1 + frB) (1 * <j)175b175) yt = (l+8iB) (1 + G^B25) et,
5: (1 - B25) (1 - B175) (1 + faB + fcB2) (1 + ^nsB175 +
25 175odelo 6: (1 - B ) (1 - B ) (1 + 4iB) (1 + feB) yt =( Po+ piB) ut + (1 +
7: (1 - B25) (1 - B175) (1 + <i)iB) (1 + TsB175) yt =( po+ piB) ut + (1 + 9iB) (1
25) et.
Todos ellos distintos y con un análisis de residuales que sugiere que podrían ser
buenos predictores de la demanda eléctrica.
En la figura 5.1 se presenta la gráfica de comparación entre la demanda real y los
pronósticos obtenidos para el día 25 de octubre de 2000. En el anexo 2 se
incluyen todos los resultados obtenidos para el grupo de días analizado. La tabla
5.1 contiene los valores de eppa para cada modelo y su valor promedio total,
además, a manera de comparación se incluye el eppa para los pronósticos
realizados por el CENACE.
I «fea
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ÍÍ1 NI £ M ba oí
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o
102
Los resultados presentados en la tabla 5.1 indican que los errores de la predicción
de cada uno de los modelos varían para cada día, pero se puede notar una
tendencia general en cada caso, tendencia similar ai promedio total.
El modelo 6 es el que entrega resultados con los menores errores en la mayoría
de los casos, y además su promedio en total es el menor de entre todos, por
tanto, es el escogido para el pronóstico de demanda del SNI. Sus resultados
también entregan errores menores a los obtenidos por el CENACE.
De la tabla 5.1 también se puede observar que el modelo 5, que en la etapa de
identificación parecía ser el de mejor ajuste por tener los residuales con menor
nivel de correlación, no tiene un buen desempeño y es superado por el resto de
modelos de menor número de parámetros.
Para evaluar los resultados del modelo con horizonte de una semana, deben
hacerse pronósticos de la serie de trabajo para 175 periodos hacia adelante. Se
realiza los pronósticos en el mismo lapso de tiempo que para el caso del horizonte
de 24 horas. Aquí se trabajará solamente con ios dos mejores modelos para el
pronóstico horario, estos son los modelos 3 y 6.
En la tabla 5.2 se presentan los valores de eppa resultantes de cada pronóstico y
su valor promedio total. Como resultado se tiene que el modelo 3 se comporta
mejor en el pronóstico a mediano plazo que el modelo 6, que incluye la
temperatura. La figura 5.2 contiene la demanda pronosticada para los días 19 al
25 de octubre de 2000. En el anexo 3 se encuentran todos los resultados
obtenidos de los pronósticos a 168 horas.
103
11 -17 Oct
12 -18 Oct
13 -19 Oct
14 -20 Oct
15-21 Oct
16-220CÍ
17 -23 Oct
18 -24 Oct
19 -25 Oct
20 - 26 Oci
21 - 27 Oct
22 - 28 Oct
23 - 29 Oct
24 - 30 Oct
25 - 31 Oct
Promedio
2.517
2,304
2.569
2,094
2.622
2.184
2.639
2.450
1.785
1.925
2,049
1.963
2.612
1.991
1.701
2.27S
2.790
2.629
2.925
2.451
2.704
2.240
2.766
2.408
1.772
1.908
2.064
2.020
2.875
2.020
1.672
2.578
1900
50026 76 101 126 151
El modelo de pronóstico ARMA no es un modelo apto para pronóstico de
demanda de días feriados. Sus propiedades de seguimiento de las características
periódicas de la serie hacen que cuando se realice el pronóstico para días que
serán feriados el modelo entregue los resultados que corresponderían a un día
normal. En las figuras 5.3 y 5.4 se presenta los resultados del pronóstico para los
días 2 y 3 de noviembre de 2000, ambos días feriados y consecutivos. Se puede
apreciar dos cosas:
1. Los errores del pronóstico son demasiado altos e inaceptables, para el
jueves 2 de noviembre se tiene un error del orden del 23 % y para día
viernes 3 del orden del 7 %.
2. El error en el pronostico del día viernes 3 es mucho menor al anterior,
menos de la mitad. Esto evidencia la capacidad de adaptación del
modelo a los cambios que se presentan en la serie.
20001800 -
1600-
1200-
1000-
800 -
600-
200 -
o
-Demanda Real-Pronóstico
1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425
105
1700
1500-
1300-
1100-
900-
700-
500
-Demanda
•Pronóstico
1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425
Sin embargo, se puede adaptar la serie para que el modelo optimice la predicción
de los días feriados "engañándolo", mediante el se cambio de los datos de
demanda de los días correspondientes al día a pronosticar en las semanas
anteriores por los datos de un día feriado con características semejantes y luego
se hacen los pronósticos respectivos.
Los resultados de aplicar esta técnica son mucho mejores, ya que se obtienen
errores promedio de 5,9 % para el día jueves 2 de noviembre y de 4,8 % para el
día viernes 3 de noviembre de 2000, Las figuras 5.5 y 5.6 presentan los
resultados obtenidos para ambos días.
1700
1500-
1300-
1100-
900-
700 -
500
-Demanda Real- Pronóstico
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425
1700
1500-
1300-
1100-
900 -
700 -
500
Demanda RealPronóstico
1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425
El método de estimación de parámetros seleccionado es de tipo recursivo. Los
parámetros no son calculados en un solo paso, sino en un número grande de
pasos recuri ivos igual al número de datos que se le entrega al modelo. Para
107
optimizar los recursos compuíacionales, es preciso conocer cual es el ritmo de
convergencia de los parámetros del modelo. En la figura 5.3 se presentan las
curvas de tendencia de los parámetros del modelo 6 a lo largo del número de
iteraciones.
Se observa que los parámetros correspondientes al modelo ARMA, es decir <j>i,
fe 025» y BITS convergen en alrededor de 1500 recursiones, pero los parámetros
correspondientes a la variable externa tienen una convergencia mucho más lenta,
puesto que Po y Pi alcanzan valores estables después de casi 2800 recursiones.
Las variaciones menores en los valores de los parámetros después del punto de
convergencia se relacionan con el estado de la demanda en ese punto, indicando
la capacidad del algoritmo de hacer seguimiento al comportamiento de la serie, y
no representan problemas de inestabilidad numérica.
Como conclusión, en este punto se puede decir que el número de datos necesario
para obtener una estimación confiable de los parámetros del modelo debe ser
superior a las 2900 observaciones, esto a razón de 175 observaciones por
semana es igual a las observaciones correspondientes a aproximadamente 4
meses y una semana.
Para asegurar que los parámetros sean estimados con precisión, especialmente
los relacionados con la variable externa, es preferible ingresar a la serie el mayor
número de datos disponible hasta llegar alrededor del doble del mínimo, ingresar
un mayor número de datos no mejoraría efectivamente los pronósticos y afectaría
al tiempo de ejecución del proceso alargándolo innecesariamente.
108
21.510.5
-1.5
4» 25-825
•6175
-po-Pl
Los parámetros autorregresivos y de media móvil del modelo tienen una etapa de
oscilación que toma alrededor de 1000 recursiones y en las cuales aun no
presentan ninguna tendencia de convergencia, es después de las 1000
recursiones que se estabilizan en un valor cercano al definitivo y tienden hacia
este. Los parámetros de temperatura tardan mucho más, alrededor de 2800
iteraciones, para estabilizarse, este comportamiento es justificable en razón de
que el efecto de la temperatura sobre la demanda es muy sutil comparado con ei
efecto de los oíros parámetros, y es por eso que su convergencia es bastante
más lenta.
109
Una vez expuesta la teoría de los modelos ARMA y sus variaciones como ARMA,
SARiMA y SARIMAX; presentado el desarrollo de los métodos de estimación de
parámetros por mínimos cuadrados, mínimos cuadrados recursivo y mínimos
cuadrados recursivo con máxima verosimilitud; planteados varios modelos
tentativos desarrollados para modelar y hacer pronósticos de la serie de
demanda; y finalmente presentados los resultados obtenidos, se extrae a
continuación las conclusiones resultantes del trabajo.
• Los objetivos propuestos para el trabajo han sido alcanzados con
resultados satisfactorios. Se ha expuesto la teoría de pronósticos mediante
modelos ARMA; la influencia de la temperatura sobre la demanda ha sido
probada, obteniendo un modelo de pronóstico que entrega resultados
apreciablemeníe buenos; se han desarrollado subrutinas por medio de las
cuales se han realizado los pronósticos de demanda, y finalmente, se ha
desarrollado un modelo de pronóstico de demanda que entrega buenos
resultados y es capaz de seguir a la serie de demanda en forma continua.
» La demanda eléctrica como variable en el tiempo es un proceso
esíocásíico que resulta de la combinación de infinidad de variables
aleatorias con probabilidad de distribución aproximada a la normal,
pudiendo decirse que cada usuario conectado a la red eléctrica
corresponde a una variable del proceso lo que influye en la gran
aleaíoriedad de la demanda en el corto plazo. Finalmente esta
aleatoriedad esta enmarcada dentro de un patrón general de
comportamiento de los usuarios que hace que la demanda eléctrica sea
predecible en el tiempo con desviaciones despreciables.
• Los modelos ARMA exigen que la serie de tiempo de trabajo sea
estacionaria para poder entregar resultados libres de errores, en el caso de
que dicha serie no cumpla con tal condición es necesario que se aplique un
método de transformación para obtener esíacionariedad. El método de
transformación que se utiliza con mayor frecuencia es la diferenciación y se
adopta en este trabajo por su facilidad de aplicación. La demanda eléctrica
no cumple con esta condición de primera mano, por lo que es necesario
aplicar a dicha serie varias diferenciaciones para conseguir esíacionariedad
en el corto y largo plazo.
Al analizar la esíacionariedad y esíacionalidad de la serie, se concluye que
la serie es esíacíonaria en el corto plazo, pero no así en el largo plazo,
puesto que coníiene dos paírones de comportamiento esíacional. Un
patrón diario, que se repite con periodicidad de 24 horas, y un patrón
semanal, este con periodicidad de 168 horas. Para remover la
esíacionalidad de la serie se uíilizan dos niveles de diferenciación
esíacionales, uno a 24 horas y el segundo a 168 horas. Con los dos niveles
de diferenciación aplicados la serie resulíaníe pasa a ser estacionaria y por
tanto apta para ser procesada con modelos ARMA.
Los patrones estacionales detectados en la serie indican claramente cuan
sensible es la demanda eléctrica al comportamiento de los usuarios. El
ciclo diario corresponde a las variaciones de la carga duraníe el día y la
noche, relacionadas con los períodos de descanso y actividad de los
usuarios, de donde se puede jusíificar que el pico de la demanda se
presenía en las primeras horas de la noche donde la demanda de
iluminación y de equipos domésticos, como televisores, es mayor.
Igualmente, el ciclo semanal se asocia directamente con el período
semanal de írabajo y descanso siendo los días eníre el lunes y viernes los
de mayor demanda.
Los resulíados de predicciones que enírega un modelo ARMA son
íotalmeníe dependientes de los datos que se han ingresado al modelo a
íravés de la serie de trabajo, esto exige que dichos datos sean alíameníe
confiables sin coníener valores fuera de los rangos reales de variación de
los datos, caso contrario las predicciones tendrían errores proporcionales a
los ingresados a la serie. Para cumplir con esta condición y entregar al
proceso de estimación y pronóstico datos que sean confiables, es
necesario realizar un análisis de consistencia de los datos de la serie.
El análisis de consistencia no puede realizarse de forma directa con todos
los datos de la serie, sino que es necesario clasificarlos en series parciales
por día de la semana y hora del día, de manera que la media de la serie
parcial sea cercana a los valores de cada hora y día y la desviación
estándar sea menor facilitando ia identificación de posibles datos erróneos
o
Siendo la demanda muy dinámica a lo largo del tiempo, para su
modelación sería conveniente disponer de una función continua de donde
se pueda obtener su valor puntual en cualquier instante requerido. Como
esto no es posible, la demanda es muesíreada con cierta frecuencia para
mantener los registros necesarios en los procesos estadísticos, de
planificación o de análisis en general. Para el caso del SN1 se dispone de
una serie de tiempo muestreada cada hora, lo que entrega 24
observaciones diarias que resultan suficientes para hacer un seguimiento
de la demanda con aceptable precisión. Además, esta serie incluye una
observación adicional muestreada a las 19:30 de cada día con la intención
de tener una mejor referencia del período de pico que se presenta entre las
19:00 y 20:00.
Utilizando los modelos ARMA se puede modelar la demanda eléctrica
como una serie continua en el tiempo, sin necesidad de descomponerla en
series pequeñas relacionadas con cada día de la semana. Así, el modelo
de pronóstico tendrá una característica de seguimiento de las variaciones
de la carga en forma continua de tal manera que si en un día se presenta
alguna desviación no prevista, ésta podrá ser incluida directamente en el
pronóstico siguiente sin necesidad de reajustar los valores de ia serie como
ocurre en el caso de la descomposición en series diarias.
Encontrar el mejor modelo que represente el comportamiento de la serie de
tiempo es una tarea compleja que depende en gran medida de experticia
de la persona encargada del análisis. La metodología de identificación del
modelo correcto planteada por Box y Jenkins es un proceso de prueba y
error, que entrega solamente los lineamientos generales a seguir, siendo
los resultados altamente dependientes del analista. Afortunadamente, las
funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial presentadas son
herramientas de gran utilidad para identificar los modelos tentativos que
después serán probados y aceptados o rechazados según los resultados
que entreguen.
Aunque en los coeficientes de las funciones de autocorrelación y
autocorrelación se han identificado patrones de comportamiento típicos
para ciertos tipos de modelos, la mayoría de las veces estos coeficientes
pueden indicar más de un modelo, no todos ajusíables a la realidad. Es por
eso que necesariamente la etapa de identificación del modelo correcto
tiene que pasar por un ciclo de prueba y error donde se evalúen los
distintos modelos que las funciones de autocorrelación puedan sugerir.
El método de estimación de parámetros de máxima verosimilitud es una
extensión probabilística del método de mínimos cuadrados recursivo que
permite una mejor estimación de procesos estocásticos reales, al contrario
de la forma deíerminísíica de los mínimos cuadrados. Por esta razón es
ventajosa su aplicación en el pronóstico de la demanda siendo ésta un
proceso estocástico en el tiempo.
Otra ventaja del método de estimación de parámetros por máxima
verosimilitud es que, siendo un estimador de mínima varianza, los
parámetros resultantes de la estimación van a tener la menor desviación
estándar posible, y por tratarse de un estimador sin sesgo, la media de la
distribución de los parámetros estimados va a ser igual al valor real de
estos. Estas dos propiedades hacen que los parámetros estimados por
este método estén lo más cerca posible de sus valores reales.
113
Cuando se trabaja con series de datos grandes, el método de estimación
de parámetros por mínimos cuadrados recursivos presenta una gran
ventaja frente al método normal puesto que al no requerirse la inversión de
ninguna matriz los cálculos computacionales son mucho más rápidos y
exigen menor capacidad en equipos de computación.
El método de estimación de parámetros también incluye un factor de
ponderación u olvido de las observaciones. Se ha fijado para este factor un
valor por defecto de 0,998, muy cercano al valor de uno, el que significaría
que no se hace ninguna ponderación. El factor de olvido, además de evitar
inestabilidad numérica en los cálculos de los algoritmos, permite que los
algoritmos se adapten con mayor rapidez a las variaciones repentinas que
se podrían presentar en la serie. Además el factor de olvido también sirve
como un mecanismo de filtrado de los datos entregados en la serie dando
una ponderación mayor a los más recientes que pueden decir más sobre el
comportamiento reciente de la serie.
La estimación de parámetros, por tratarse de un método recursivo, requiere
de un cierto número de recursiones para que los parámetros converjan
hacia los valores definitivos, aquí se ha determinado luego de
aproximadamente 2900 iteraciones los parámetros se estabilizan cerca de
sus valores finales, manteniendo variaciones por las propias características
de adaptación del método de estimación a las condiciones reales de la
serie. El número de iteraciones señalado corresponde a una serie con los
datos muesíreados para 4 meses y una semana.
Puesto que el modelo desarrollado es apto para entregar pronósticos
desde 1 hora hasta una semana, su aplicación es útil en los procesos de
Despacho Diario, Programación Semanal y Redespacho realizados en el
Ct "M A/"*r^EN AGE.
La temperatura, como variable externa al modelo, afecta de muy distintas
formas a la demanda según las características de la región donde se
ubique la carga. En el SNI se determina que el efecto de la temperatura
sobre la demanda tiene valores significativos en la carga de la región
Cosía, mientras que en la región Sierra, la temperatura tiene un efecto casi
imperceptible. Por esta razón se modela la demanda del SNI tomando
como referencia la temperatura registrada en la subestación Pascuales
ubicada en el área de Guayaquil.
Al modelar la demanda de un área muy distribuida con el valor de la
temperatura de una zona pequeña se puede cometer errores
considerables, pero por tratarse de la zona de Guayaquil, centro de carga
de la región Costa, su efecto sobre la demanda será el predominante y así
el error cometido se reduce sustancialmente.
Como se ha anotado anteriormente, las funciones de autocorrelación y
autocorrelación parcial de las series y sus residuales no siempre pueden
indicar directamente el mejor modelo para la serie en análisis, por esta
razón en este trabajo se han planteado 7 modelos distintos, de los cuales
se escogerá el de mejor ajuste midiendo el promedio de errores que
presenten en los pronósticos.
Los pronósticos realizados a corto plazo con los modelos tentativos llevan
a la conclusión de que, efectivamente, la temperatura afecta directamente
a cierta porción de la carga del sistema, pues uno de los modelos donde se
ha incluido la temperatura como variable externa resulta ser el que entrega
resultados con los menores errores en el orden de 1,6 %.
En los pronósticos a mediano plazo los errores son bastante bajos,
alrededor de 2,3 % para el modelo ARMA y 2,6 % para el caso donde se
incluye la temperatura. Por ser mayor el horizonte de tiempo los errores
acumulados hacen que el efecto de la temperatura se distorsione
incrementando los errores en los pronósticos.
Se ha llegado finalmente a obtener un modelo de pronóstico que modela la
demanda eléctrica como una serie continua en el tiempo con capacidad de
seguimiento de las fluctuaciones de la demanda en el tiempo, que puede ser
utilizado efectivamente para el pronóstico de demanda a corto y mediano plazo,
con errores muy bajos- A continuación se hacen algunas recomendaciones sobre
la base de los resultados obtenidos y la experiencia adquirida:
© Es preciso mantener información estadística sobre todos los eventos que
ocurran en el sistema y que afecten a la demanda, registrando el valor de
la desviación así como el tipo de evento. Esto serviría en el futuro para
modelos de pronóstico más avanzados, que con conocimiento de las
desviaciones relacionadas con la demanda y sus características pueda
incluirlas en los pronósticos y así disminuir los errores,
• Como desarrollo futuro del modelo se puede trabajar en la adaptividad de
la estimación de parámetros y su robustecimiento. Además también se
puede trabajar en mejorar el sistema de ponderación de los datos para
incluir una técnica de "olvido selectivo" de los datos con menor
Se recomienda estudiar las técnicas de pronóstico basadas en redes
neuronales, aunque la mejora que pueden dar al pronóstico de demanda
no es significativa comparada con los resultados de los modelos ARMA en
días normales, en combinación con estos se puede desarrollar una técnica
efectiva para el pronóstico de demanda de días feriados o irregulares.
Se recomienda trabajar en el desarrollo de una base de datos apta para el
modelo y su propia interfaz de aplicación.
116
Jhon Wiiey &sons, New York, 1981.
2. Brockweii, P., R. Davis, Time Seríes: Theory and Methods, Springer-
3. Downie, N. ML, R. W., Heaí, Métodos Estadísticos Aplicados, Edicionesdel Castillo S. A., Madrid 1981, sexta impresión.
4. Mendenhall, W., Sincich, T., Probabilidad y Estadística para Ingeniería yCiencias, Preníice Hall, México, 1997, cuarta edición.
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6. Brillinger, David, Time Seríes: Data Análisis and Theory, Molden Day,San Francisco, E.E. U.U-, 1981.
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8. El Desouky, Á, EIKateb, ML, Hybrid Adaptive Techniques for Eiectric-Load Forecast Using ANN and ARIMA, IEEE proceedings on generationtransmisión and disíribuíion, IEEE, 2000.
9. Mantilla. Pablo, Método de Máximo de Verosimilitud para Identificaciónde Sistemas, Tesis de Grado, EPN, 2000
10-Fanklin, G., Poweil, J, Digital Control of Dynamic Systems, Terceraedición, Addison-Wesley, E.E. U.U., 1998
11. Ogata, Kaísuhito, Sistemas de Control en Tiempo Discreto, Preníice Hall
12.Afranio, L, Kelman, J., y otros, Modelo Estocástico de Demanda, Centrode Pesquisas de Energía Eléctrica, Brasil, 1979
13.The Maíh Works Inc., MATLAB User Guide, Maíiab 5.1, 1995
Los algoritmos para la estimación de parámetros, pronóstico de demanda, así
como los correspondientes al cálculo de las funciones de auíocorrelación y
auíocorrelación parcial fueron implementados en el software MATLAB versión 5.1.yp-
Todos ellos trabajan archivos planos de texto para la entrada y salida de datos. A
Se desarrollo dos subrutinas para estimación de parámetros, para la estimación
de modelos SARIGA y para modelos SARIMAX.
% Estimación de parámetros por algoritmo de máxima verosimilitud% Alfredo Samaniego B.% 2001 - 06 - 03
load('c:\matlabrll\work\datosY.txt1);disp (' ')disp {' ')disp ('ingresar los vectores de parámetros autorregresivos y1)disp ('de media móvil en orden descendente :')disp (' ')disp (' ')
vectar = input(" vector de parámetros autoregresivos. ...'};% vectar = vectar +1;vectma = input ('vector de parámetros de media móvil...1);% vectma = vectma + 1;
disp (r ')disp (' '}disp ('ingresar el valor seleccionado de factor de olvido')disp (f ')disp í 1 '}
gamma = input( ' gamma = ');
maximoar = max (vectar) ;maximoma = max( vectma);máximo = max ( maximoar, maximoma) ;largoar = length(vectar);largoma = length(vectma);
coefi = [0] ;N = length(datosY);eresl = datosY;a=1.01;sigmar =0;% inicializar los datos de parámetros estimados
param(l:(largoar+largoma)} = 0.99;x(l:(largoar+largoma)) = 0;grad(l:(largoar+largoma)) = 0;x= x1;grad = grad1;
param = param1;
% inicializar matriz P
P = 10000 * eye(largoar+largoma);
% inicializar matriz gradigradil(l:largoma+ largoar,l:maximoma) = 0;gradi (1:largoma + largoar, l:largorna) = 0 ;
^ *********************************% se inician las N - n recursiones^ *********************************
for k = 1:(N-maximo-1);% x = datosY((vectar(l)}:(end-maximo+vectar(1)});%x(1:(largoar+largoma)} = 0;paramchek = param?y = datosY (N-maximo-k) ;for cont = Itlargoar,
numero = vectar(cont);x(cont)= datosY(N-maximo-k +n-umero) ;
end;for cont= (largoar+1):(largoar+largoma)f
numero = vectma(cont-largoar);x(cont) = eresl(N-maximo-k + numero);coefi(cont-largoar) = param(cont);
end;
% calculo del error de predicción
error = y - x1 * param;^calculo del gradiente de errorfor cont = 1: largoma,
numero =vectma(cont);gradi(:r cont)=gradil(:T numero);
end
grad = x - gradi * coefi';gradil = [ grad gradi!(;,!: maximoma -1)];% calculo de la varianza del ruido blanco
sigmar = sigmar + error*error"/(k+1) ;
% calculo de la primera derivada de VVprima = (- grad *a*error / sigmar)1;
119
% calculo de L
L = (P/gamma) * grad * inv(sigmar/ a + (grad1*P*grad)/gamma);
% calculo de PI = eyeísize (L,1),size(L,1));P = inv(gamma)*( I - L * grad1)* P;
% calculo de los parámetros
param = param - P * Vprima';
% calculo del error residual
eres = y - x1* param;eresl(N-maximo-k) = eres;
end
% calculo de los residualesresiduales = datosY(l:end-maximo);for cont = l:largoar,
numero — vectar(cont);residuales = residuales - param(cont)* datosY(numero+l:end-
maximo+numero);erid;for cont = largoar + l:largoar + largoma,
numero = vectma(cont-largoar);residuales = residuales - param(cont)* eresl(numero+l:end-
maximo+numero) ;end;
save 'c:\matlabrll\work\residuales.txt1 residuales -ascii -double -tabs;save fc:\matlabrll\work\param.txt' param -ascii -double -tabs;
% algoritmo de máxima verosimilitud para modelos% Alfredo Samaniego B.% 2001 - 06 - 03
loadí'c:\matlabrllXwork\datosY.txt');load(*c:\matlabrll\work\datosB.txt1);disp (' ')disp (' f)disp ("ingresar los vectores de parámetros autoregresivos y1)disp ('de media móvil en orden descendente :")disp (' ')disp (' ')
vectar = input(r vector de parámetros autoregresivos....");
vectma = input (' vector de parámetros de media móvil....1);
120
vectb — input(' vector de parámetros de variable externa....');
disp (f f)disp (' ')disp (Tingresar el valor seleccionado de factor de olvido1)disp (' ')disp (! '}
gamma = input( f gamma = ');
maximoar = max (vectar);maximoma = max( vectma) ;maximob = max ( vectb);máximo - max ( maximoar, max ( maximoma, maximob));máximo = max (201, máximo) ;largoar = length(vectar);largoma = length{vectma);largob = length(vectb);coefi = [0];N = length(datosY);eresl = datosY;a=l;sigmar =0;% inicializar los datos de parámetros estimadosclear gradparam(l:(largoar+largob+largoma)) =0.1;xfl:(largoar+ largob +largoma)) = 0;grad(l:(largoar+ largob +largoma)) = 0;x= x1;
grad = grad1;
param = param1;
% inicializar matriz P
P = 10000 * eye(largoar+largob+largoma);
% inicializar matriz gradigradil(l:largoma+ largob + largoar,1:maximoma)- 0;gradi(Irlargoma + largob + largoar,1:largoma) = 0;
s *********************************% se inician las N - n recursiones
for k = 1:(N-maximo-1);% x = datosY((vectar(l)):(end-maximo+vectar(1)));paramchek = param;y = datosY(N-maximo-k);for cont = 1:largoar,
numero = vectar(cont);x(cont)= datosY(N-maximo-k +numero);
end;
for cont = largoar+l:largoar+ largob,numero = vectb(cont~ largoar);x(cont)= datosB (N-maxirno-k +numero);
end;
for cont= (largoar+ largob +1}:(largoar+ largob +largoma)numero = vectma(cont - largoar - largob);x(cont) = eresl(N-maximo-k + numero);coefi(cont - largoar - largob) = param(cont);
end;
% calculo del error de predicción
error = y - x! * parara;%calculo del gradiente de errorfor cont = 1; largoma,
numero =vectma (cont) ;gradi(:, cont)=gradil(i, numero);
end
grad - x - gradi * coefi1;gradi1 = [ grad gradi!(;,!: maximoma -1)];% calculo de la varianza del ruido blanco
sigmar - sigmar + error*error"/(k+1) ;
% calculo de la primera derivada de VVprima = (- grad *a*error / sigmar)';
% calculo de L
L = (P/gamma) * grad * inv{sigmar/ a + (grad' *P*gra.d) /gamma) ;
% calculo de PI — eyefsize (L,l),size(L,l));P = inv(gamma)*( I - L * grad1)* P;
% calculo de los parámetros
param = param - P * Vprima1;%paramX = [param1;% paramX];% calculo del error residual
x1
eresl(N-maximo-k) = eres;
% if k >(N-N/2) & (normtparam - paramchek) <= 0.0001),% break;%end
end
% calculo de los residualesresiduales = datosY(l:end-maximo);for cont = l:largoarr
numero = vectar(cont);residuales = residuales - param(cont)* datosY(numero-M:end-
maximo+numero);
122
end;
%residuales = datosY(l:end~maximo) ;for cont = largoar + l:largoar + largob,
numero = vectbfcont - largoar);residuales = residuales - param(cont)* datosB(numero+l:end~
maximo+numero);end;
for cont = largoar + largob + 1;largoar + largob + largoma,numero = vectma(cont-largoar - largob);residuales - residuales - param(cont)* eresl(numero+l:end-
maximo+numero) ;end;
save 'c:\matlabrll\work\residualest.txt' residuales -ascii -double ~tabs;save ' c:\matlabrll\work\paramt.txt* param -ascii -double -tabs;
load("c:\matlabrll\work\param. txt');load("c:\matlabrll\work\residuales.txt1);load(!c:\matlabrll\work\datosY.txt1);load(rc:\matlabrll\work\Yoriginal.txt1);
disp (' - '}disp (' Mdisp (fingresar los vectores de parámetros autorregresivos y1)disp {'de media móvil en orden descendente :')disp (' Mdisp (' f)
vectar = input(! vector de parámetros autoregresivos...!);vectma = input ('vector de parámetros de media móvil..»1);lengthprono = input('longitud del pronóstico...1);
maximoar = max (vectar) ;maximoma = max( vectma);máximo = max ( maximoar, maximoma);largoar = length(vectar);largoraa = length (vectma) ;máximo = max(201, máximo); % agregado para cuando se utiliza periodosmenores a 200
% pronostico de YYactual = 0;Ynuevo = datosY(l:maximo) ;Rnuevo = residuales (l:maximo) ;Ynuevol = Yoriginal(l:maximo);for contprono = 1:lengthprono,
for cont = 1:largoar,
123
numero = vectar(cont);Tactual = Tactual - param(cont)* Ynuevo(numero);
end;for cont = largoar + 1;largoar + largoma,
numero = vectma(cont-largoar);Yactual = Yactual + param(cont)* Rnuevo(numero);
end;Ractual = Yactual;Ynuevo = [ Yactual;
Ynuevo];
for cont = 1:largoar,numero = vectar(cont);Ractual = Ractual - param(cont)* Ynuevo(numero);
end;for cont = largoar + 1:largoar + largoma,
numero = vectma(cont-largoar);if numero == 1
Ractual = Ractual - param(cont)* Ractualelse
Ractual = Ractual - param(cont)* Rnuevo(numero-1);end
end;
Rnuevo = [Ractual;Rnuevo];
% Integración de la serie a partir de 2 diferenciaciones estacionales
Yactuall - Yactual + Ynuevol(25) + Ynuevol(175) - Ynuevol(200);YnuevoI — [ Yactuall;
Ynuevol]?end;save "c:\matlabrll\work\pronostico.txt1 Ynuevol -ascii -double -tabs;
load("c:\matlabrll\work\paramt.txt1);load("cüYmatlabrllXworkVresidualest.txt1);load('c:\matlabrll\work\datosY.txt1);load('c:\matlabrll\work\Yoriginal.txt1);load('c:\matlabrll\work\datosBprono.txt1);disp ('disp (M 1 ')disp ('1 ingresar los vectores de parámetros autoregresivos y 1 ')disp (' 1 de media móvil en orden descendente : |')disp ('I i')disp (' ')
vectar = input(* vector de parámetros autoregresivos...');vectma = input (fvector de parámetros de media móvil...');disp (' Mdisp (M I')disp ('| ingresar el vector de observaciones de variable externa, i f)disp (f| recuerde que este debe llevar incluidas las observaciones !T)disp (M para el periodo a pronosticar: i 1 )disp (M I')disp (' ')
vectb - inputí1 vector de parámetros de variable externa....');
lengthprono = input(* longitud del pronóstico...');
param^paramtclear paramtmaximoar = max (vectar);maximoma = max( vectma);maximob = max( vectb);máximo - max ( maximob, max (maximoar, maximoma)};largoar = length(vectar);largoma = length(vectma) ;largob = length(vectb);máximo = max( 201, máximo); % agregado para cuando se utilizan periodosmenores a 200
% pronostico de YYactual =0;Ynuevo = datosY(l:maximo) ;Rnuevo = residualest (l:maximo) ;Ynuevol = Yoriginal (l:maximo) ;for contprono = 1:lengthprono,
datosB = datosBprono(lengthprono+1 - contprono:maximo+ lengthprono+1contprono);
for cont = 1:largoar,numero — vectar(cont);Yactual = Yactual - param(cont)* Ynuevo(numero);
end;for cont = largoar+l:largoar+ largob,
numero = vectb(cont- largoar);Yactual = Yactual + param(cont)*datosB(numero+1);
end;for cont - largoar + largob + 1:largoar + largob + largoma,
numero — vectma (cont-largoar - largob};Yactual = Yactual + param(cont)* Rnuevo(numero)?
end;Ractual = Yactual;Ynuevo = [ Yactual;
Ynuevo];
for cont = 1:largoar,numero = vectar(cont);Ractual = Ractual - param(cont)* Ynuevo(numero);
end;for cont = largoar+l:largoar+ largob,
numero = vectb(cont- largoar);Ractual = Ractual - param(cont)*datosB(numero+1);
end;
for cont = largoar + largob + 1:largoar + largob + largoma,numero *= vectma (cont-largoar - largob);if numero = 1
Ractual - Ractual - param(cont)* Ractualelse
Ractual = Ractual - param(cont)* Rnuevo (numero-1) ;end
end;
125
Rnuevo = [Ractual;Rnuevo];
% esta parte esta hecha suponiendo dos diferenciaciones estacionales 1de 25 y 1 de 175
Yactuall = Yactual + Ynuevol (25) + Yriuevol (175) - Ynuevol (200) ;Ynuevol = [ Yactuall;
Ynuevol3 ;end;save !c:\matlabrll\work\pronostico.txt1 Ynuevol -ascii -double -tabs;
% cálculo de funciones de autocorrelación y% autocorrelación parcial% ANSB 03-2001
c = load(*c:\matlabrll\work\datos.txt");c= c1;a=input {'grado de diferenciación de la serie ?....");agraficar = input ('que longitud quieres graficar...');Er_kfstderrsrlpqFrqpvalq] = acorrí(c,agraficar);b= (l:length(r_k));
[r_kk] = pací (c, agraficar);bl =(l:length(r_kk));stem(bf r_k,'-b1);hold;Stemíbl, r_kk,'-g1};r__k = r_k";r_kk = r_kk" ?qpvalq = qpvalq";
% T-like
r_km = [O ; r_k(l:length(r_k)-l)];Sr_k = sqrt(l+2*(cumsum(r_km.'s2) ) 3 ./ sqrt ( length(c) - a +1) ;
tr_k = r_k./Sr_k;
tr_kk = r_kk./(l/sqrt(length(c) - a +1)};
% Estadística Q%linea = (linspace(I7length(r_k)r length(r_k)))J;q= {length{c)-a )*sum(r_k.A2);
save 'c:\matlabrll\work\ACF_PACF.txt1 r_k r_kk -ascii -double -tabs;save "c:\matlabrll\work\tlikeacf.txt1 tr_k -ascii -double -tabs;save 'G:\matlabrll\work\tlikepacf.txt1 tr__kk -ascii -double -tabs;save rc:\matlabrll\work\qstat.txtf q -ascii -double -tabs;
En esta sección están
realizados en el capítuio4
los días 17 y 31 de
pronósticos a 168 horas
las tablas con los resultados de los pronósticos
. Primero se presentan los pronósticos a 24 horas entre
de 2000, y a continuación los resultados de los
entre los días 11 y 31 de octubre de 2000.
Pro
nóst
ico
a 24
Hor
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arte
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0/20
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0/20
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17/1
0/20
0021
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17/1
0/20
0020
:00
17/1
0/20
0019
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17/1
0/20
00 1
9:00
17/1
0/20
0018
:00
17/1
0/20
00 1
7:00
17/1
0/20
00 1
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2000
15:0
017
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2000
14:0
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/10/
2000
13:0
017
/10/
2000
12:
0017
/10/
2000
11:0
017
/10/
2000
10:
0017
/10/
2000
09:0
017
/10/
2000
08:0
017
/10*
2000
07:0
017
/10/
2000
05:0
017
/10/
2000
05:0
017
/10/
2000
04:
0017
/10/
2000
03:0
017
/10/
2000
02:0
017
/10/
2000
01:0
0
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30.3
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52.3
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77.2
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46.8
0017
56.3
0013
50.0
0012
33.4
0012
35.6
0012
39.5
0012
15.3
0012
07.2
0012
49.3
0012
43.9
0012
29.8
0011
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24.6
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23.2
0040
.600
25.4
0051
.550
67.8
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23.5
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24.3
7524
550
25.5
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.750
27.2
0027
.450
27.0
5027
.000
27.5
4426
.075
26.0
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.450
23.1
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22.4
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00.
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00.
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1.52
52.
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5.45
05.
050
5.00
05.
544
4.07
54.
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2.45
01.
150
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.749
1801
.145
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.162
1254
.323
1263
.213
1280
.628
1252
.132
1228
.581
1258
.394
1249
.190
1213
.117
1156
.955
1055
.193
1026
.179
1031
.713
897.
556
860.
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585
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608
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-44.
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-34.
162
-20.
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-27.
613
-41.
128
-36.
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-21.
381
-9.0
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17.9
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5.58
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.344
15.3
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30.9
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41.
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1.85
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2.55
32.
530
1.69
62.
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3.31
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031
1.77
10.
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0.42
51.
357
1.97
01.
669
1.24
30.
539
1.68
11.
747
2.50
03.
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8.29
1
Mod
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1.21
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315
89.3
4317
32.7
5917
66.4
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54.2
9814
60.1
1212
53.3
1812
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1312
24.1
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70.6
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58.0
1612
08.3
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4410
42.6
0110
12.1
4710
49.3
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7.17
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3.64
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6.99
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6.85
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1.28
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11.
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1.74
11.
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32.
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1.16
61.
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1.42
22.
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05.1
0644
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30.0
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417
97.2
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717
53.7
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414
42.9
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512
71.5
1120
712
43.3
7334
412
6858
3061
1281
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908
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60S
1281
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1251
.365
268
1219
.942
198
1148
.076
511
1037
.622
307
1043
.264
677
1056
.174
849
888.
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2786
0.95
7339
486
2.33
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884.
8831
495
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2.58
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2.93
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8.11
1-7
.773
-49.
083
-66.
070
-15.
878
-32.
389
-7.4
659.
658
32.1
2335
.478
-4.1
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8.87
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15.1
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25.6
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53.4
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53.4
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7.07
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