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Solución Desafío 36
Si la afirmación del enunciado es correcta implica que el triángulo EFH es isósceles por simetría
de EH y FH respecto de la mediatriz, y al ser HF la bisectriz de se cumple .
De la misma forma si se cumple implica que el triángulo EFH es isósceles,
entonces se cierta la afirmación del enunciado
Distintas formas de demostrar la relación de igualdad en los ángulos:
1.- Por suposición inicial
Suponiendo que se cumple
En el triángulo resultante, por teorema de senos; → →
Por teorema de cosenos; sustituyendo coseno y simplificando
queda
Al ser e = n, f = h y g = m-n tenemos → teorema de la altura
en el triángulo rectángulo inicial
Entonces se cumple el supuesto
2.- Por suposición en igualdad
El triángulo resultante de lados FG=n, EG=h y EF=m-n y ángulos opuestos α, β y γ
Por teorema de altura en el triángulo rectángulo y por teorema de senos en el
resultante >>>
Entonces de donde por proporcionalidad
desarrollando queda
, haciendo resulta
igualdad que se convierte en identidad si α=γ entonces
3.- Por teorema del coseno
Por Pitágoras AC=
Por teorema del cateto
Entonces
Entonces el triángulo EFG sus lados miden:
Este triángulo es semejante al triángulo de lados:
Por teorema del coseno
y
Por coseno de ángulo doble
entonces
4.- Por geometría analítica
Situamos el gráfico resultante del enunciado sobre unos ejes de coordenadas cartesianas de modo que la diagonal coincida con el eje de abscisas y su punto medio con el origen, siendo las coordenadas de los puntos A, E, F y C las que se reflejan en el gráfico
En el triangulo rectángulo ABC, AE=a-b y CE=a+b, por teorema de la altura y
siendo E(-b,0) el centro de la circunferencia de radio BE su ecuación es
,
la ecuación de la circunferencia de centro F(b,0) y radio CF=a-b es
, siendo G el punto de intersección de ambas cuyas cordenadas son
Calculadas la coordenadas del punto G y observando el gráfico es fácil por varios caminos
llegar a la demostración de
Por pendientes:
La tangente del ángulo es la pendiente (signo contrario) de la recta FG, entonces
, de la misma forma la tangente del ángulo es la pendiente de la
recta EG, entonces , y a partir de la relación
Entonces
Por rombo:
Si G’ es el simétrico de G respecto del eje de ordenadas, por sus coordenadas vemos que
por tanto FGG’J es un rombo en el cual FG’ es su diagonal y también bisectriz
de y por construcción simetrico del lado EG, por lo tanto
Por arco capaz:
El triángulo CEG por sus coordenadas calculadas anteriormente vemos fácilmente que es
isósceles, por arco capaz por tanto
Sebas
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