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Gua de Matemticas para el examen de ingreso a la UNAM (Parte I) Jorge Galeazzi A. galeunam1972@hotmail.com
1. Aritmtica 2. lgebra 3. Ecuaciones 4. lgebra de funciones 5. Geometra euclidiana 6. Trigonometra 7. Respuestas a Reactivos de Matemticas
MATEMTICAS (PARTE I)
UNIDAD 1.
Aritmtica 1.1 Nmeros Reales
esIrracionalMixtospropiosImopiosPr
Racionales
NegativosCero
PositivosEnteros
CompuestosimosPr
Naturales
Reales
- Naturales: Son los que se utilizan para contar. 1,2, 3, 4, 5,, 19, 20, 21, - Primos: Son los nmeros que solo son divisibles entre si mismos y la unidad.
Ejem: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, - Compuestos: Son los que no son primos, es decir que tienen ms divisores
Ejem: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, - Enteros: Son los nmeros positivos, negativos y el cero.
Ejem: 1,-2, 0, 4, -5, etc, - Racionales Fraccionarios: Son los nmeros compuestos por un numerador y un divisor.
o Propios: Nmeros cuyo denominador es mayor que el numerador de una fraccin. Ejem:
3315,
98,
43,
61,
32
o Impropios: Nmeros cuyo denominador es menor que el numerador de una fraccin. Ejem:
1533,
89,
34,
16,
23
o Mixtos: Nmeros compuestos de nmeros enteros y propios. Ejem:
33159,
985,
438,
613,
322
- Irracionales: Son los nmeros que en su forma decimal son una serie infinita de dgitos.
Ejem:
2
,22
,23
,4
,5,37
Propiedades de los nmeros reales
Propiedad Suma Producto Cerradura ba ba Conmutativa abba abba Asociativa cbacba cbacba
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Distributiva cabacba Neutro a0a a1a
Inverso 0aa 1a1a
Recta Numrica
Todos los nmeros reales se pueden representar en la recta numrica.
Ejem: Representar en recta numrica:
4,76,
211,
23,
41,75.0,,
37
1.2 Divisibilidad Los principales criterios de divisibilidad son: - Divisibles entre 2: Todos los nmeros pares. Ejem. 2, 4, 6, 8, 10,.. - Divisibles entre 3: Suma de sus dgitos son: 3, 6 9. Ejem. 543 = 5+4+3 = 12 = 1+2 = 3 - Divisibles entre 5: Todos los nmeros terminados en 5 0. Ejem. 235, 520, 1425, etc. Mnimo comn mltiplo (m.c.m.).- Es el nmero menor de los mltiplos en comn de un grupo de nmeros. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los nmeros hasta que todos sean uno y se multiplican los primos obtenidos.
Mximo comn divisor (M.C.D.).- Es el nmero mayor de los mltiplos en comn de un grupo de nmeros. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los nmeros hasta que no tengan un divisor primo comn y se multiplican los primos obtenidos.
1.3. Operaciones con nmeros racionales:
Suma y resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de los diferentes denominadores, y se divide entre cada denominador y multiplicando por cada numerador. Al final los nmeros obtenidos se suman o restan, dependiendo del caso. Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces solo se suman o restan los numeradores.
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Multiplicacin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador y denominador por denominador.
Divisin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundo denominador, colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primer denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en el denominador.
Potencia y Raz
Potencia: Es el nmero de veces en que debe multiplicarse la base por si misma, segn su exponente.
Raz: Es el valor que al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el ndice, se obtiene el valor que esta dentro del radical.
Ejem: 27333porque3273 Ejem: 102444444porque410245
1.4 Razones y Proporciones Razn: Es el cociente de dos nmeros, es decir una fraccin, donde el numerador se llama antecedente y al denominador consecuente. La razn se representa como sigue:
Ejem: 4:343
Proporcin: Es la igualdad de dos razones. La razn se representa como sigue: Ejem: 6:14::3:7
614
37
donde los nmeros 7 y 6 son extremos y los nmeros 3 y 14 son medios.
1.5 Regla de Tres Regla de tres directa Proporcin directa.- Cuando comparamos dos razones del mismo tipo establecemos una equivalencia, obtenemos una proporcin, es decir, si una aumenta o disminuye, la otra tambin aumenta o disminuye en la misma proporcin.
Ejem: Si en una empresa un empleado gana $4400 por 20 das trabajados. Cuanto ganar por 30 das?
3020
x4400
6600$das20
das304400$x
Regla de tres inversa Proporcin inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de los parmetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy claro en casos de produccin con respecto al tiempo.
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Ejem: Si en una empresa 20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 das. Cuantos obreros se requieren para producir la misma cantidad de fusibles en 4 das?
das5das4
xobreros20
obreros25das4
das5obreros20x
1.6 Tanto por Ciento
Definicin: Es una fraccin cuyo denominador es 100, es decir la centsima parte de algo. Se expresa con el smbolo %. Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar por una fraccin o por un decimal equivalente.
Ejem: 18% 0.18 509
10018
33.5% 0.335 20067
1000335
Clculo del porcentaje: Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en forma decimal.
Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 1655 1450(0.32) = 464 1655(0.03) = 49.65
Tambin se puede obtener un nmero en especfico con regla de tres directa.
Ejem: Hallar el nmero del cual 400 es el 8%
%100%8
x400
5000%8
%100400x
Ejem: Hallar el nmero del cual 4590 es el 60%
%100%60
x4590
7650%60
%1004590x
Tambin se puede aplicar para resolver problemas como los siguientes:.
Ejem: Un vendedor recibe de comisin el 12% por venta realizada. Si vende mercanca por un total de $44000. Cuanto recibir de comisin?
$44000(0.12) = $5280
Ejem: Un producto que cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una ganancia del 8.5%. En cuanto debe venderse?
%5.108
%100x
120$ 20.130$
%100%5.108120$x
Reactivos Unidad 1:
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UNIDAD 2.
lgebra 2.1 Propiedades y Definiciones
Trmino Algebraico.- Es la expresin algebraica, que se compone de: signo, coeficiente, base literal y exponente.
Trmino Semejante.- Es la expresin algebraica, que se compone de misma base y mismo exponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes.
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Ejem: 3x4 es semejante a 3x5
Ejem: 23ba74
es semejante a 23ba35
Clasificacin de Trminos Algebraicos.- Se clasifican segn su nmero de trminos, de la siguiente manera:
Monomio = un solo trmino Ejem: 3x3 Binomio = dos trminos Ejem: x3x7 2 Trinomio = tres trminos Ejem: 9x3x2 2 Polinomio = 2 ms trminos Ejem: 8x5x4x2 23
2.2 Leyes de los signos Suma y Resta: sumanseysignosuconservan,igualesSignos
Ejem: 1284 Ejem: 21183 Ejem: x13x10x3 Ejem: 222 y20y12y8
menorelmenosmayorelrestaseymayordelsigno,diferentesSignos
Ejem: 102212 Ejem: 15183 Ejem: x5x20x15 Ejem: 222 y7y12y5
Multiplicacin y Divisin:
essiempre,igualesSignos
essiempre,diferentesSignos
Ejem: 60512 Ejem: 1553 Ejem: 3248 Ejem: 5469
2.3 Signos de Agrupacin
Definicin.- Son los signos que nos sirven para agrupar trminos u operaciones entre ellos, los principales son:
Parntesis Corchete Llave Cuando se aplican en operaciones, el objetivo es suprimirlos multiplicando por el trmino signo que le antecede. Si en una expresin matemtica existen varios signos de agrupacin, se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera.
Ejem: 534 Ejem: 78347 24 7547
24 7207 2 137 137 20
Ejem: 1x3x6xx2x49
xx3x12x2x49 22
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x13xx49 2 x13xx49 2 x14x49 2 x56x49 2
2.4 Evaluacin de expresiones algebraicas El valor numrico de una expresin algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o literales por un valor especfico.
Ejem: Si x =2 & y = -1 de la expresin: 22 yxy5x3 sustituyendo: 22 112523 11043 11012 1
Ejem: Si 21a &
32b de la expresin:
41ab
43a2 2
sustituyendo: 41
32
21
43
212
2
41
32
21
43
412
41
246
42
41
41
21
2.5 Lenguaje algebraico Definicin.- Es la forma de expresin comn o coloquial que se expresa de forma algebraica.
Ejem:
Un nmero cualquiera x Un nmero cualquiera aumentado en dos 2x La diferencia de dos nmeros cualquiera yx
El triple de un nmero disminuido en cuatro 4x3
La cuarta parte de un nmero 4a
Las tres cuartas partes de la suma de dos nmeros cb43
La suma de tres nmeros naturales consecutivo 2x1xx Las dos quintas partes de un nmero disminuido en
cuatro es igual a 24 244b
52
La suma de tres nmeros pares consecutivos, es igual al cudruple del menor ms la mitad del mayor
2
4xx44x2xx
2.6 Leyes de los Exponentes
Multiplicacin: baba xxx Sumar los exponentes
Ejem: 52323 2222 Ejem: 75252 xxxx
Divisin: baba
xxx Restar los exponentes
Ejem: 42626
2222
Ejem: 52727
xxxx
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Potencia : baba xx Multiplicar los exponentes
Ejem: 62323 333 Ejem: 153535 xxx
Inverso: aaa
a xx1x
x1
Cambiar signo de exponente
Ejem: 22 221 Ejem: 22 xx
1
Unitario: 1x0 Siempre es igual a uno
Ejem: 113 0 Ejem: 1y 0
2.7 Operaciones algebraicas
Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen de sumar restar trminos semejantes.
Ejem: Sumar b5a3 & b3a2 b3a2b5a3 b3a2b5a3 b2a
Ejem: Restar b8a4 de b7a6 b8a4b7a6 b8a4b7a6 ba2
Multiplicacin.- La operacin algebraica de multiplicar, bsicamente puede efectuarse, como sigue: Monomio por monomio
Ejem: 242 bca3ab2 21241 cbbaa32 21241 cba6 235 cba6 Monomio por polinomio
Ejem: 2xx3x2 22 2x2xx2x3x2 2222 x22xx12xx32 222 x4x2x6 1222 x4x2x6 34
Ejem: 231262 ba6ba3ba4 23621262 ba6ba4ba3ba4
26321622 ba24ba12 4174 ba24ba12 4174 ba24ba12
474
ab24
ba12
Polinomio por polinomio
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Ejem: 1x2x3x2 2 1x2x31x2xx2 22 13x23x13x12xx22xx12 22 3x6x3x2x4x2 21121 3x6x3x2x4x2 223
3x8x7x2 23 Divisin.- La operacin algebraica de dividir, bsicamente puede efectuarse, como sigue:
Monomio entre monomio
Ejem: 4223
ba12ba30 Ejem:
22332
ab3
bca2
4223 ba1230 422
9363
ba3cba2
2ab25 94326 cba
98
2b2a5
9
cba8 914
b9ca8 94
Polinomio entre monomio
Ejem: x6
x18x6x12 23
x6x18
x6x6
x6x12 23
111213 x3x1x2 3xx2 2 Polinomio entre polinomio
Ejem: 3x
15x2x2
5x
15x2x3x 2
xxx2
3xx x3x2
15x5
5xx5
3x5 15x5
0
2.8 Radicales Propiedades de los radicales:
ndice = potencia: xxx aa
a a
Ejem: 444 22
2 Ejem: 222 33
3 3
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ndice potencia: ba
b a xx
Ejem: 16444 236
3 6 Ejem: 4222 248
4 8
Multiplicacin con mismo ndice: aaa xyyx
Ejem: 4168282 Ejem: 464322322 3333 Ejem: 1448273282327829478182824182284 22
Multiplicacin con diferente ndice: ab abba yxyx
Ejem: 6623 323 72892323
Ejem: 8842 244 562596253535
Raz de una raz: aba b xx
Ejem: 12433 4 303030 Ejem: 10525 223223223
Divisin con ndices iguales: aa
a
yx
yx
Ejem: 8643
192
3
192 Ejem: 5125
2250
2250 333
3
Divisin con ndices diferentes: ab ab
b
a
yx
yx
Ejem:
33 23 56 1068
186
24
3632
2
3
3 42222222
2
21664
1664
Ejem:
11555
5
5125
5125
5 2727 0279
927 33
993
3
9
9
3
Operaciones con radicales: Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen de sumar restar radicales semejantes, es decir, con el mismo ndice y la misma base, segn la siguiente regla:
nnnn atsratasar
Ejem: Resolver: 323938393338
Ejem: Resolver: 33333 383965393635
Ejem: Resolver: 982185504 24922952254
272235254 222
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272235254 214215220 2141520 221
Ejem: Resolver: 3 43 43 x244x3753x3x2
3 33 33 xx644xx15253x3x2
3 23 23 x322x4x355x3x3x2
3 33 33 x32x4x35x3x3x2 333 x3x24x3x53x3x2 333 x3x8x3x15x3x2 3 x3x9
Racionalizacin.- Es el convertir una fraccin con denominador en forma de radical, en otra fraccin equivalente, donde su denominador sea un nmero entero.
De un denominador monomio:
Forma: b ax
y , se multiplica por b ab
b ab
x
x
, y se simplifica.
Ejem: 3
3 , se multiplica por: 33 12 , el numerador y el denominador, obtenindose:
3333
3
3333
33
2
Ejem: 3 26 , se multiplica por: 3 23 13 22 , el numerador y el denominador,
obtenindose:
33
3 3
3
3 2
3 2
3 43246
2
46
2
22
6
De un denominador binomio:
Forma: ba
c
, se multiplica por el conjugado del denominador
baba
, y se simplifica.
Ejem: 31
3
, se multiplica por: 31 , el numerador y el denominador, obtenindose:
2
33331
333
31
3333131
313
22
Ejem: 22
6
, se multiplica por: 22 , el numerador y el denominador, obtenindose:
2362
261224
2612
22
26122222
226
22
Nmeros Imaginarios.- Es el expresado como i , significa la raz cuadrada de -1, es decir:
1i .
Entonces tambin: 11i 22
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ii1iii 23 111iii 224 ii11iiii 225
Ejem: i816416464
Ejem: i76i
49361
4936
49136
4936
Ejem: i76i
49361
4936
49136
4936
Operaciones con nmeros imaginarios Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen aplicando:
idcbadicibiai Ejem: Resolver: 257499813364 1257149918131364 1257149918131364 i57i79i93i64 i35i63i27i24 i35632724 i23
Ejem: Resolver: 123631184752
13413631129413252
i32i631i234i352 2222
i32i631i234i352
i32i2i212i310 i2i212i3210 i2i212i312 Ejem: Resolver: 9i8i4i2 23 9i8i4ii2 22 9i814i12 9i84i2 94i82 5i10
2.9 Productos Notables Definicin.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemos llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:
Binomio al cuadrado Binomios conjugados Binomios con trmino comn Binomio al cubo
Binomio al cuadrado Regla: 222 bab2aba 222 bab2aba
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Ejem: 222 33x2x3x Ejem: 222 22x2x2x 9x6x2 4x4x 2
Binomios conjugados
Regla: 22 bababa
Ejem: 16x4x4x 2 Ejem: 4x42x22x2 2
Binomios con trmino comn Regla: abxbaxbxax 2
Ejem: 25x25x2x5x 2 10x3x2 Ejem: 57x57x5x7x 2 35x12x2
Binomio al cubo
Regla: 32233 bab3ba3aba 32223 bab3ba3aba
Ejem: 32233 44x34x3x4x 6416x3x12x 23
64x48x12x 23 Ejem: 32233 22x32x3x2x 84x3x6x 23
8x12x6x 23 2.10 Factorizacin
Definicin.- Es la forma ms simple de presentar una suma o resta de trminos como un producto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:
Factor comn Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma cbxx2 Trinomio de la forma cbxax 2
Factor comn
Regla: Paso 1: Obtener el mximo comn divisor ( MCD ) Paso 2: Menor exponente de las literales comunes Paso 3: Dividir cada trmino entre el factor comn obtenido
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Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x2+bx+c
Regla: bxaxabxbax2
Ejem: 15x8x2 Ejem: 24x10x2 3x5x 6x4x
Trinomio de la forma ax2+bx+c
Simplificacin de fracciones algebraicas.- Es la aplicacin de los conocimientos de productos notables y factorizacin, tanto en el numerador como en el denominador, se simplifica a su mnima expresin.
Suma y resta con denominadores diferentes
Ejem: 2a
76a5a
a52
Ejem: 4xx3
3x2x
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2a7
3a2aa5
4x3x
3xx34x2x
3a2a
3a7a5
4x3x
x3x9x38x6x 22
3a2a
21a7a5
4x3x
x3x9x38x6x 22
3a2a21a12
4x3x
17x2 2
Divisin
Ejem: 3x2x6x5x
2
2
Ejem: yx4
xy2x22
2
3x1x3x2x
xyx4yxx2
1x2x
xy2
yx
Ejem: 9a10a
27a12a3a2a
9a2
2
2
2
Ejem: 322
b7a2
b6a4
1a9a
3a9a1a3a3a3a
2
32
b6a2b7a4
1a3a
1a3a
2
32
ab12ba28
1a3a1a3a
3ab7
1 Multiplicacin
Ejem:
15a525a5
5a18a9a2 Ejem:
50x107x7
1425x5
3a55a5
5a3a6a
5x101x7
145x5
3a5a55a3a6a5
5x1401x5x35
6a 4
1x
Reactivos Unidad 2:
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UNIDAD 3.
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Ecuaciones 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incgnita
Definicin.- Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la incgnita debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su valor, por lo que se deben tener las siguientes consideraciones:
3.2 Desigualdades de primer grado con una incgnita
Definicin.- Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la variable debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su conjunto solucin, se aplican bsicamente las mismas reglas que para una ecuacin, adems de las siguientes consideraciones:
Regla: Cada vez que un trmino se multiplique divida entre un nmero negativo, cambia el sentido de la desigualdad
Signos de Desigualdad y Grfica
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3.3 Sistema de Ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incgnitas) Definicin.- Es el llamado Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incgnitas, en que el objetivo es encontrar los valores de stas 2 variables. Existen varios mtodos para su solucin, entre los cuales estn los llamados Reduccin (Suma y Resta) y Determinantes (Regla de Kramer), que se explican a continuacin: Mtodo de Reduccin (Suma y Resta)
Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una las 2 ecuaciones por un factor factores que hagan que la suma de una de las variables sea cero y despejar la variable restante para obtener su valor, posteriormente sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales y obtener el valor de la segunda variable.
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Mtodo por Determinantes (Regla de Kramer)
Problemas de Aplicacin Dentro del proceso de resolucin de problemas, se pueden diferenciar seis etapas:
1. Leer el problema 2. Definir las incgnitas principales de forma precisa 3. Traduccin matemtica del problema 4. Resolucin del problema matemtico 5. Interpretar las soluciones 6. Contrastar la adecuacin de esas soluciones
Ejem: En un zoolgico hay aves (de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoolgico contiene 60 cabezas y 200 patas, cuntas aves y cuntos tigres viven en l?
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3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incgnitas)
Definicin.- Es el llamado Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incgnitas, en que el objetivo es encontrar los valores de stas 3 variables. Los mtodos para su solucin, son: Reduccin (Suma y Resta) y Determinantes (Regla de Kramer): Mtodo por Determinantes (Regla de Kramer)
Realizar los pasos siguientes: 1. Se escribe el determinante de tres por tres. 2. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales. 3. Se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha. 4. Se multiplican entre si los tres nmeros por los que pasa cada diagonal. 5. Los productos de los nmeros que estn en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los de derecha a izquierda con el signo cambiado.
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3z1030
6181862611811826
14314
21
121
21121
114
1311
4
221
121
1121
zz
3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incgnita
Clasificacin
0cax:Puras0bxax:MixtassIncompleta
0cbxax:Completas
gradodo2deEcuaciones
2
2
2
Mtodos de solucin
Completas: forma ax2 + bx + c = 0 Es cuando, la ecuacin est compuesta por un trinomio, donde existen los valores de a, b y c , y para encontrar sus dos races soluciones, se utilizan los mtodos siguientes:
Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0
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Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de a y b, pero no de c, y para encontrar sus dos races soluciones, se utiliza el mtodo de factorizacin por trmino comn y se despeja, como sigue:
Incompletas puras: forma ax2 + c = 0 Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de a y c, pero no de b, y para encontrar sus dos races soluciones, se utiliza el mtodo de despeje, como sigue:
Reactivos Unidad 3:
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1. Cul es el valor de x que satisface la ecuacin 12x863x3x ?
a) 41
b) 4 c) 4 d) 1 e) 41
2. Cul es el valor de x que satisface la ecuacin 7x65x8 ?
a) 6 b) 61 c)
61
d) 3 e) 6
3. Al resolver la ecuacin 4x7103xx2 , se obtiene:
a) 2 b) 32 c)
23
d) 32
e) 23
4. Al resolver la ecuacin 3x521x23 , se obtiene:
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a) 2 b) 31 c)
21 d)
21
e) 2
5. Al resolver la ecuacin 3x2461x3x , se obtiene:
a) 4 b) 41 c) 2 d)
41
e) 4
6. El valor de x que cumple con la igualdad 41x
61x
35
es:
a) 125
b) 85
c) 83
d) 85 e)
125
7. El valor de x que cumple con la igualdad 23
2x
8x3
es:
a) 12 b) 83
c) 121
d) 83 e) 12
8. Al resolver la ecuacin 23
1x24
5x3
se obtiene:
a) 5x b) 52x c) 5x d)
52x e)
121
9. Al resolver la ecuacin 3
8x39
2x
se obtiene:
a) 2x b) 23x c)
21x d) 2x e)
21
10. Al resolver la ecuacin 4
2x34
63x
se obtiene:
a) 41x b)
61x c) 4x d) 4x e)
41
11. De la ecuacin 12x3
9
el valor de x que satisface es:
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a) 21 b)
311
c) 113 d)
311 e)
113
12. De la ecuacin x3
54
x2
el valor de x que satisface es:
a) 53
b) 45
c) 43 d)
45 e)
43
13. Al resolver la siguiente ecuacin 25
x54
57
x23
se obtiene:
a) 51
b) 117
c) 117 d) 7 e) 11
14. :La suma de dos nmeros naturales enteros consecutivos es 183, hallar los nmeros:
a) 93y90 b) 92y91 c) 93y90 d) 92y91 e) 92y91
15. El menor de dos nmeros impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en 15. Hallar los nmeros a) 17y11 b) 11y9 c) 13y11 d) 15y11 e) 15y13
16. El triple de la suma de un nmero con su mitad igual a las 2/3 partes del mismo nmero aumentado en 46.
a) 46x32
2x23
b) 46x32
2xx3
c) 46x3
2xx
32
d) 46x32
2xx3
e) 46x
32
2x23
17. Cul es el nmero que sumado con su duplo da 261?
a) 78 b) 45 c) 87 d) 97 e) 89 18. La suma de dos nmeros es 450 y su cociente 8. Hallar los nmeros.
a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40 e) 420 y 30 19. Si a un nmero aado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo 122. Cul
es el nmero? a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58
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20. La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo, Si ste tiene 30 aos Cul es la edad de Roberto?
a) 14 aos b) 18 aos c) 13 aos d) 10 aos e) 12 aos 21. La suma de dos nmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Cules son los nmeros?
a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54 22. Encontrar los tres nmeros consecutivos cuya suma sea 186. a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69 d) 32,33 y 34 e) 62,62 y 62 23. La suma de las edades de Sonia y Too es 84 aos y Too tiene 8 aos menos que Sonia. Hallar
ambas edades. a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y 41 24. Un cateto de un tringulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto .Hallar las
longitudes de los lados desconocidos a) 25y15 b) 21y17 c) 22y16 d) 11y24 e) 16y25
25. Cules son las races de 012xx2 ?
a) 4y3 b) 4y3 c) 41y3 d) 4y3 e) 4y3
26. Al resolver la ecuacin 12xx6 2 se obtiene:
a) 34y
23
b) 4y3 c) 34y
23
d) 32y
43
e) 32y
43
27. Al resolver la ecuacin 2x3x2 2 se obtiene:
a) 2y21
b) 2y2 c) 21y
21
d) 21y2 e) 2y
21
28. El conjunto solucin de 01x4x4 2 es:
a)
23,
21 b)
21,
21 c)
21,
21 d)
21,
23 e)
21,
23
29. El conjunto solucin de 05x2 es:
a) 5,5 b) 5,5 c)
51,
51 d) 10,10 e) 5.2,5.2
30. El conjunto solucin de 02x3 2 es:
a)
23,
23 b) 3,3 c)
31,
31 d) 2,2 e)
32,
32
31. El conjunto solucin de 4x5 2 es:
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a)
i52,i
52 b)
i52,i
52 c)
i52,i
52 d)
52,
52 e)
52,
52
32. Al resolver la ecuacin 0xx2 se obtiene:
a) 2y21
b) 1y1 c) 0y1 d) 0y2 e) 0y1
33. Al resolver la ecuacin 0x3x2 2 se obtiene:
a) 0y23 b) 0y
32
c) 23y
23
d) 0y23 e) 0y
23
34. Al resolver la ecuacin 0xx4 2 se obtiene:
a) 0y41 b) 0y4 c)
41y
41
d) 0y2 e) 0y41
35. Al resolver la ecuacin 0x15x10 2 se obtiene:
a) 0y23
b) 0y32
c) 23y
23
d) 0y32 e) 0y
23
36. Cul de los siguientes valores cumple con: 7x
a) 27
b) 7 c) 7 d) 71
e) 01
37. Cul de los siguientes afirmaciones es verdadera, si 90x10
a) 9x b) 9x c) 9x d) 9x e) 9x
38. El conjunto solucin de 3x21x3 es: a) 2x b) 2x c) 2x d) 2x e) 2x
39. El conjunto solucin de la desigualdad x344x175x23 es: a) 6x b) 6x c) 6x d) 6x e) 6x
40. El conjunto solucin de la desigualdad 93
1x42
4x5
es:
a) 2x b) 2x c) 2x d) 2x e) 2x
41. El conjunto solucin de la desigualdad 1411
7x
2x
23
es:
a) 9
10x b) 9
10x c) 109x d)
109x e)
910x
42. El intervalo que satisface a 14x3
65
8x7
es:
a)
34, b)
,
34 c)
34, d)
,
34 e)
34,
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43. La expresin que representa a lo ms tengo 250 es: a) 250x b) 250x c) 250x d) 250x e) 250x
44. La expresin que representa por lo menos tengo 500 es:
a) 500x b) 500x c) 500x d) 500x e) 500x
45. El conjunto solucin de 025x2 es: a) 5,5 b) ,55, c) 5, d) ,55, e) 5,5
46. Los valores de las incgnitas del sistema
5y4x37yx2 son:
47. a) 1y,3x b) 1y,3x c) 1y,3x d) 1y,3x e) 3y,1x
48. Los valores de las incgnitas del sistema
1y3x512y2x3 son:
a) 3y,2x b) 3y,2x c) 2y,3x d) 3y,2x e) 3y,2x
49. El valor de x del sistema de ecuaciones
2yx36yx es:
a) 4 b) 2 c) 2 d) 4 e) 3
50. El valor de y del sistema de ecuaciones
1y6x212y9x4 es:
a) 32 b)
32
c) 23
d) 2 e) 23
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51. Si x = 2 y y = 3 . La solucin del sistema de ecuaciones simultneas es:
a)
2yx5yx b)
2yx5yx2 c)
3yx7yx2
d)
2yx1yx e)
1yx25yx
52. Un perro y su collar han costado $54, y el perro cost 8 veces lo que el collar. Cunto cost el perro y
cunto el collar?
a) Perro $48 y collar $6 b) Perro $32 y collar $22 c) Perro $50 y collar $4 d) Perro $46 y collar $8 e) Perro $47 y collar $7
53. La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 aos. Hallar ambas edades.
a) Juan 12, Pedro 24 b) Juan 24, Pedro 12 c) Juan 12, Pedro 12 d) Juan 21, Pedro 15 e) Juan 15, pedro 21
54. El valor de x , por medio de determinantes
1yx22yx es:
a)
1211
1112
b)
1211
1211
c)
1211
1111
d)
1112
1221
e)
2111
1112
55. El valor de y , por medio de determinantes
2x6y21yx3 es:
a)
2613
2231
b)
6213
2613
c)
6213
2213
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UNIDAD 4.
lgebra de funciones Valor de una funcin Se obtiene, al sustituir el valor de x en la funcin f(x):
Ejem: Si f(x) = 9x2 , obtener el valor de f(-4) y f(3) 2591694)4(f 2 189993)3(f 2
Ejem: Si f(x) = 4x
2x9x2
, obtener el valor de f(-2) y f(4)
38
616
62184
422292)2(f
2
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050
023616
442494)4(f
2
4.1 Dominio y Rango Dominio, es el conjunto de todos los valores de x admisibles para una funcin. Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de y al sustituir cada una de los elementos del
dominio en la funcin.
Ejem: El dominio de la funcin racional 24x11x
1)x(f 2
0)8(324112 xxxx , entonces, sus races son: 8xy3x 21 8,3x/xiominDo
Ejem: El dominio de la funcin racional 81x
1)x(f 2
0)9(9812 xxx , entonces, sus races son: 9xy9x 21 9,9x/xiominDo
Ejem: Para que valor de x la funcin 7x
1)x(f
se indetermina:
07 x , entonces, para: 7x la funcin se indetermina Funcin cuadrtica Es de la forma cbxax2 y representa una parbola, donde su concavidad es hacia arriba cuando a
es positiva y es hacia abajo cuando a es negativa.
El vrtice de la parbola, se obtiene en el punto:
a4bac4,
a2bV
2
Los puntos donde la grfica interseca al eje x, son la solucin de la ecuacin. Dependiendo de su
concavidad y la coordenada de su vrtice, se puede obtener el dominio y el rango de la funcin. Ejem: Sea la funcin 3x4x)x(f 2 , obtener su dominio y rango.
El vrtice es:
144314,
124V
2entonces, 1,2V y la curva es cncava hacia arriba
ahora, las races de: 01x3x3x4x)x(f 2 sus races son: 1xy3x 21 entonces: ,1Rangoy,iominDo
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Ejem: Graficar las siguientes funciones indicando dominio y rango.
4.2 Funciones y relaciones
Definicin Se le llama relacin, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2 conjuntos. Se le llama funcin, a la relacin entre dos conjuntos, de tal manera que para cada x, corresponda un solo elemento de y.
Regla: Para determinar si una grfica es una funcin relacin, basta con trazar una vertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de interseccin. Es decir, si slo toca un punto, se refiere a una funcin; si toca ms de un punto se refiere a una relacin.
Clasificacin de Funciones
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xlnxf:Ejem.lnlogexistaDonde:asLogartmic5xf:Ejem.onenteexpcomoestiablevarlaDonde:lesExponencia
6x2xxf:Ejem.gradodo2deSon:sCuadrtica
2x5xf:Ejem.gradoer1deSon:Lineales4xf:Ejem.cambiannoqueLas:testanCons
Funcionesx
2
4.3 Funcin Logartmica y exponencial:
Es de la forma xlogy)x(f a , donde: onenteexpy)x(fumentoargxbasea
Forma logartmica: xlogy a corresponde a: Forma exponencial: yax
Ejem: Al convertir xlog3 4 , en forma exponencial, obtenemos: 644x 3
Ejem: Al convertir 36log2 x , en forma exponencial, obtenemos: 6xx36 2
Ejem: Al convertir 225log23
x , en forma exponencial, obtenemos: 23
x27
entonces: 9x729x729x27x27x 33233
Ejem: Al convertir 36log2 x , en forma exponencial, obtenemos: 6xx36 2
Reactivos Unidad 4:
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UNIDAD 5.
Geometra euclidiana 5.1 ngulos
Clasificacin Bsica
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Se le llama ngulo complementario, son los ngulo cuya suma es igual a 90o .
Ejem: El complemento de 70o es 20o , porque ooo 902070 Ejem: El complemento de 35o es 55o , porque ooo 905535
Se le llama ngulo suplementario, los ngulo cuya suma es igual a 180o . Ejem: El suplemento de 40o es 140o , porque ooo 18014040 Ejem: El suplemento de 135o es 45o , porque ooo 18045135
5.2 Conversin de grados a radianes y viceversa
Reactivos Unidad 5:
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UNIDAD 6.
Trigonometra 6.1 Teorema de Pitgoras
Definicin.- Aplicado para todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa ( c ) es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos (a y b ).
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6.2 Funciones Trigonomtricas
Definicin.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un tringulo rectngulo y son:
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1. Una oficina de forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m, Cunto mide el otro lado? a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2
2. Segn la figura, la razn107 , corresponde a la funcin:
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3. Segn la figura, la razn : 8
17 , corresponde a la funcin:
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Respuestas a Reactivos de Matemticas
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Autor: Lic. Jorge Galeazzi A. galeunam1972@hotmail.com Mxico, Enero de 2009
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