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Teorica de Recta y Plano
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Geometra PlanaGeometra PlanaLugar Geomtrico
S ll L G t i l j t dSe llama Lugar Geomtrico al conjunto depuntos del plano o del espacio que cumplen
una determinada propiedaduna determinada propiedad.
0),( yxFLugar geomtrico en el plano o en el
espacioespacio
L t i l i0),,( zyxF
Lugar geomtrico en el espacio1
La Recta en el PlanoLa Recta en el PlanoLa Recta es un lugar geomtrico, por ello, responde auna ecuacinuna ecuacin.
Para poder expresarla sern necesarios:Para poder expresarla sern necesarios:
1) Un punto perteneciente a la recta y una direccin1) Un punto perteneciente a la recta y una direccin (vector Director), o
2) Dos puntos pertenecientes a ella, o ) p p ,3) Un punto perteneciente a la recta y su pendiente
2
Ecuacin Vectorial de la RectaEcuacin Vectorial de la RectaI. Un Punto perteneciente a la recta y una direccin
P=(p1;p2)u
PX
O1
1OP X=(x;y)
OX
E i V t i l d l R t
Por sumas de Vectores: PXOPOX Ecuacin Vectorial de la Recta
Pero: entonces uPX uOPOX
Ecuacin Vectorial de la Recta
3
Ecuacin Paramtrica de la Recta en el lplano
Para deducirla se partir de la expresin vectorial:Para deducirla se partir de la expresin vectorial:uOPOX
);();();( 2121 uuppyx
Por igualdad de vectores debe verificarse:
);();();( 2121 ppy);();( 2211 upupyx
g
11upyupx
Ecuacin Paramtrica de la Recta
22 upy
4
Ecuacin Simtrica de la Recta en el lplano
Partiendo de la ecuacin paramtrica, despejamos :Partiendo de la ecuacin paramtrica, despejamos : 21
upy
upx
21 uu00 21 uu
Igualando lo anterior:
21 pypx 2
2
1
1
uu
Ecuacin Simtrica de la Recta5
Ecuacin General o Implcita de la R tRecta
Se partir de la ecuacin simtrica:
)()( 21112221122
2
1
1 puyupuxupyupxuupy
upx
Si en la ecuacin anterior llamamos:
00 211212211122 pupuyuxupuyupuxu
N d
211212 pupuCuBuA
Nos quedar:
E i G l I l it
0 CyBxAEcuacin General o Implcita
6
Ecuacin a partir de un punto y la di t d R tpendiente de una Recta
Se deber partir de la forma simtrica:
)()( 11
22
2
2
1
1 pxuupy
upy
upx
Si llamamos: rectapuntoppPypendienteuum );( 212
Quedar:
u1
)(Ecuacin de la Recta dados un punto y su pendiente
)( 12 pxmpy
7
Ecuacin Explcita de la RectaEcuacin Explcita de la RectaPartiremos de la ecuacin implcita, consideramos variable independiente e como variable dependiente:
)(x
)(variable independiente e como variable dependiente:)(y
BCx
BAyCAxByCByAx 0
Si llamamos se obtiene:
BB
CbASi llamamos, se obtiene: B
bB
m
bmxy Ecuacin Explcita de la Recta 8
Ecuacin de la Recta dados dos tpuntos
Sean y dos puntos de la recta y),( 11 yxA ),( 22 yxB Sean y dos puntos de la recta y sea un punto genrico de la recta anterior:
),( 11 y ),( 22 y),( yxP
Se consideran los tringulos ARB y ASP. De laproporcionalidad de sus lados resulta:
9
ASPS (1) i dARAS
BRPS (1) siendo
1yyPS 1xxAS
12 yyBR 12 xxAR
Reemplazando en (1) queda:
xxyy12
1
12
1
xxxx
yyyy
(2) con
12 xx 12 yy ; Ecuacin de la recta dada por dos puntosEcuacin de la recta dada por dos puntos
10
Llamando al ngulo que forma la recta con eli j iti d l
semieje positivo de las x:
yyt 12 mxxyytg 12
12 Se llama PendienteSi ahora en la ecuacin (2) hacemos:Si ahora en la ecuacin (2) hacemos:
12 yy yy 112
121 xxxx
yyyy
siendo mxxyy 12
12
S btiSe obtiene:)( 11 xxmyy
Ecuacin de la recta dado un punto y su pendiente11
Tipos de RectasTipos de RectasI) Recta que corta a los 2 ejes
0000 CByAxCBA
II) Recta paralela al eje x (Recta horizontal)C
III) Recta paralela al eje y (Recta vertical)BCyCByCBA 0000
III) Recta paralela al eje y (Recta vertical)
CCACA 0000ACXCAxCBA 000012
Ejemplos:241) 32
340234 xyyx
22)
)
3223023 yyy
1240243) 224024 xxx
13
Ecuacin Segmentaria de la RectaEcuacin Segmentaria de la RectaCuando la recta corta a los dos ejes, una forma de encontrar los puntos de corte es:
000 CBAuna forma de encontrar los puntos de corte es:
10 yCBx
CACByAxCByAx
1
Cy
Cx
CC
con 00 BA
BA00 BA
si ahora llamamos: tenemos:CbyCa si ahora llamamos: tenemos:B
byA
a
1byxba
Ecuacin Segmentaria de la recta14
ngulo entre dos rectasngulo entre dos rectasDesde el punto de vista vectorial el ngulo formado entre dos rectas es equivalente al ngulo formado porentre dos rectas es equivalente al ngulo formado porsus respectivos vectores directores:
S l t d i t i lSean las rectas de ecuaciones vectoriales:
vbbyxruaayxr );();(:);();(: 212211 yy );();();();( 212211El ngulo formado por estas rectas estar determinado por:
|v||u|
v u cos arc |v||u|
v u cos
|v| |u||v| |u|
15
Desde el punto de vista cartesiano, el problema seresolvera as sean:resolvera as, sean:
222111 :: bxmyrbxmyr
16
Todo ngulo exterior de un tringulo es igual a lasuma de los ngulos interiores no adyacentes,segn esta propiedad:
Aplicando la frmula de la tg de la diferencia de 2 ngulos:
12)()( mmtgtgtt
Aplicando la frmula de la tg de la diferencia de 2 ngulos:
12
12
11)()(
mmtgtgggtgtg
.
)( Segn el orden en que se consideren las rectas se obtendr:
o el suplementario )( o el suplementario17
Condiciones de Paralelismo y P di l id dPerpendicularidad
En forma Vectorial, sean las rectas en forma vectorial:
vbbyxruaayxr );();(:);();(: 212211Diremos que:I) Dos rectas son paralelas si lo son vurr //// 21
sus vectores directores
II) D t di l iII) Dos rectas son perpendiculares si lo son sus vectores directores
vurr 21
18
En forma cartesiana el problema se resuelve de lai i tsiguiente manera:
I) Dos rectas son paralelas si forman un ngulo de 0I) Dos rectas son paralelas si forman un ngulo de 0
001
0 1212 mmmmtg
12 mm 1 1212 mmg 12 mm 012 tgmm 0 Recprocamente si
Es condicin necesaria y suficiente para que dosy p qrectas sean paralelas que sus pendientes seaniguales.
19
II) Dos rectas son perpendiculares si forman un ngulo de90
12
12
1290
mmmmtgtg
La tangente de 90 no est definida, por lo tanto debe ser cero el denominador:
01 12 mm1
21m
m
01 12 mm 2 Recprocamente si
Es condicin necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares que sus p p qpendientes sean recprocas y opuestas.
20
Haz de Rectas que pasan por un puntoHaz de Rectas que pasan por un puntoEs evidente que por un punto pasan infinitas rectas, si alpunto en cuestin lo simbolizamos con las yxApunto en cuestin lo simbolizamos con las infinitas rectas que pasan por l forman un haz de rectas
f l i d d
00 , yxA
cuya frmula viene dada por: 00 xxmyy
21
Ecuacin de la Recta en el EspacioEcuacin Vectorial, Paramtrica y Simtrica
Por suma de vectores: peroE t
PPOPOP 00 uPP 0OPOP Entonces: con
Ecuacin Vectorial de la Recta
uOPOP 0 );;();;();;( 000 zyx uuuzyxzyx
Ecuacin Vectorial de la Recta22
Ecuacin Paramtrica y SimtricaPartiendo de la ecuacin anterior y despejando cadauna de las variables: xuxx 0
z
yuzzuyy
0
0
Ecuacin Paramtrica de la RectaDespejando de cada ecuacin el parmetro e igualando:
000 zyx uzz
uyy
uxx
, , 0 000
zyxzyx
y
uuuuzz
uyy
uxx
Ecuacin Simtrica de la Recta
y
23
Ecuacin Vectorial, Paramtrica y Simtrica d l R t d d d tde la Recta dados dos puntos
Obtenemos el vector director:
con2101212121221 );;( PPOPOPzzyyxxPPPPu
);;();;();;( 121212000 zzyyxxzyxzyx
)( 121 xxxx con
)()()(
121
121
121
zzzzyyyy
12
1
12
1
12
1 zzzz
yyyy
xxxx
121212
121212
con zzyyxx
yy
24
Ecuacin de primer grado en x, y, zEl PlanoEl Plano
Ecuacin del plano, dados un punto y una direccinnormalnormal
El vector pertenece al plano, por ello, es perpendicular al vector (normal) entonces:
PP1uperpendicular al vector (normal) , entonces:u
01 uPP 25
Expresiones de la ecuacin del Plano
Escribiendo a cada vector en funcin de sus componentes
0);;();;( uuuzzyyxx0)()()(
0);;();;(
111
111
zzuyyuxxuuuuzzyyxx
zyx
zyx
Aplicando propiedad distributiva y agrupando los trminos Independientes:
0)( zuyuxuzuyuxuHaciendo: trmino independiente
0)( 111 zuyuxuzuyuxu zyxzyx DuCuBuA zyx
0 DCzByAxEcuacin General del Plano
26
Ecuacin Segmentaria del PlanoSi entonces en hacemos:0D 0 DCzByAx
1 zDCy
DBx
DA 1
CDz
BDy
ADx
Llamando:entonces
CBA
DcDbDa C
cB
bA
a
zyx 1cz
by
ax
Ecuacin Segmentaria del Plano27
Interseccin del Plano con los ejes d dcoordenados
Si entonces: axzy 0,0 )0;0;(1 aP Si entonces: Si entonces:
byzx 0,0);0;0(3 cP )0;;0(2 bP
czyx 0,0
28
Ecuacin del Plano determinado por tres t li dpuntos no alineados
Sean los puntos );;();;;();;;( 222211110000 zyxPzyxPzyxP No alineados:
29
Ecuacin del plano determinado por tres puntos no alineadosalineados
La ecuacin del plano determinado por esos tres puntos no alineados est dada por:no alineados est dada por:
000 zzyyxx0
020202
010101
000
zzyyxxzzyyxx
yy
020202 yy
30
Posiciones del Plano respecto de los ejes y l l d dlos planos coordenados
Si en la ecuacin (A) hacemos:0 DCzByAx
Plano que pasa por (0,0,0) 00 CzByAxD
Si en la ecuacin (A) se cumple que:
1) Plano paralelo al eje Z2) Pl l l l j Y
00 DByAxC00 DCAB2) Plano paralelo al eje Y
3) Plano paralelo al eje X00 DCzAxB00 DCzByA
31
Posiciones del Plano respecto de los ejes y l l d dlos planos coordenados
Si en la ecuacin (A) hacemos:1)
Plano que contiene al Eje X000 CzByDA
2) 000 CzAxDBPlano que contiene al Eje Y
3)3) Plano que contiene al Eje Z
000 ByAxDC
32
Posiciones del Plano respecto de los planos d dcoordenados
Si en la ecuacin (A) se considera siempre y: 0D
1) ADxDAxACB 0000
Plano paralelo al plano YZ
) D2)Plano paralelo al plano XZ B
DyDByBCA 0000
3)Pl l l l l XY
CDzDCzCBA 0000
Plano paralelo al plano XY 33
Ecuaciones de los Planos CoordenadosSi en la ecuacin (A) se considera siempre y: 0D
1) Ecuacin del Plano Coordenado YZ
0000 xAxCB
2) 0000 yByCAEcuacin del Plano Coordenado XZ
3) Ecuacin del Plano Coordenado XY
0000 zCzBA
34
Trazas de un PlanoSon las intersecciones del plano con cada uno de losSon las intersecciones del plano con cada uno de losPlanos coordenados, analticamente es resolver:Ecuacin de la traza sobre el plano XYEcuacin de la traza sobre el plano XY
00
0 DByAxDCzByAx
Ecuacin de la traza sobre el plano XZ0 yz
0 DCzByAx
Ecuacin de la traza sobre el plano YZ
00
0
DCzAxy
DCzByAx
Ecuacin de la traza sobre el plano YZ
00
DCzByDCzByAx
0 y
x35
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