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7/25/2019 02integracion por sustitucion y por partes [Modo de compatibilidad].pptx
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MÉTODOS DE INTEGRACION
Temas:• Integración por sustitución
(cambio e !ariab"e#• Integración por partes
Ing. Ms. David Uscamayta
Verástegui
AnálisisMatemático II
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Propósit os: Resuelve ejercicios de integrales
usando el cambio de variables eintegración por partes.
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M$toos e integración¿Cómo reconocer cuál técnica
emplear para integrar ?
No se pueden dar reglas inalterables yefectivas respecto a cuál método aplicar en
determinado caso, pero uno de los prerrequisitos
para seleccionar una estrategia es el conocimiento
de las fórmulas básicas de integración
Tabla de fórmulas de integración
3. ∫ e x dx = e x + C
5. ∫ sen xdx = - cos x +
C
6. ∫ cos xdx = sen x + C
4. ∫ a dx = ln a
+
C
1. ∫ x dx = n + 1
2. ∫ x
dx = ln x + C + C ( n ≠
-1 )
xn +1
a x x
n 1
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Tab"a e %órmu"as e integración
= sen
−1
x
+ C a a2 − x2= tan
−1
x
+ C a x2
+ a2
a
8. ∫ csc2 xdx = − cot x + C
10.. ∫ csc x cot xdx = − csc x + C
12 ∫ csc xdx = ln cscx - cotx +
C
14. ∫ cot xdx = ln sen x + C
16. ∫ cosh xdx = senh x + C
7. ∫ sec2 xdx = tanx + C
9. ∫ sec xtanxdx = sec x + C
11. ∫ sec xdx = ln secx + tanx +
C
13. ∫ tanxdx = ln secx + C
15. ∫ senh xdx = cosh+ C
18.
∫
17.
∫
dx1dx
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Desarrollaremosnospermitirán
t$cnicas queemplearlasfórmulas básicas con objeto
de llegar a integrales indefinidasde funciones más complicadas
No podríamos hacerla directamente con las fórmulas deintegración dadas anteriormente,en este caso es
conveniente conocer algunos m$toos e integración,entre ellos el m!todo de integración por sustitución o
cambio e !ariab"e
"i tuvi!ramos que determinar la siguiente integral
∫ 2 x 3 + x2 dx
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La regla de sustitución para integrar
corresponde a la regla de la cadena paradiferenciar. ebemos tener presente que si
! " g #$%, entonces d u " g & #$% d$
&' M$too e Integración porsustitución o cambio e !ariab"e
"i u # g$%& es una función diferenciablecu'o rango es un intervalo ( ' la funciónf es contínua en el intervalo (, entonces)
*f$g$%&&g+$%&d% # *f$u&du
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Ejercicio: Determine las siguientes integrales
∫ 4( x2 + 3 x + 7)(2 x +
3)dx
∫ x3e x +3dx
4
∫ 2 x2 + 8 x +
3
3 x + 6 dx
(ln( x))∫ dx
x
2
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EEM)*OS
Determine:
1) ∫ ( x + 8)7 dx
2) ∫ 6 x − 3dx
4) ∫ ( x2 + 2 x − 4)3 ( x
+1)dx
1+ x
3
dx3) ∫ x2
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EEM)*OS
Determine:
5) ∫ ( x + 4) 2 x −
3dx
dx(2 +
senx)3
6 cos
x
7) ∫ x.cos(3 x2 )
dx
dz z 2
+1
3 z
8) ∫
6) ∫ 3
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EEM)*OS
Determine:
, sug ,: hacer u
= tgx
11) ∫ sec2
x.tgxdx
, sug ,: hacer u = cos
x10) ∫ tgxdx
1
xcos2 dx , sug ,: hacer u =
x ∫ x 2 1
19)
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INTEGRACION DE E!RE"IONE" DE #A $OR%A:
∫ u 2
+
a2
= arc tan+ C a a
du 1 u
∫ a2 − u 2 =
2a a − u+
C
1 Ln
a
+ u
du
∫ ax2
+ bx +
c
dx
"e resuel&e mediante las fórmulas:
∫ u2 − a2 = 2a u + a +
1 Ln
u
− a
du
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INTEGRACION DE E!RE"IONE" DE #A $OR%A:
∫
∫
= arc sen +
C
a
a2 − u2
du
du u
+ u ) + C = Ln(u + aa2 + u 2
22
∫ ax2 + bx +
c
dx
"e resuel&e mediante las fórmulas:
∫ u2 − a2 ) +
C
= Ln(u
+u2
− a2
du
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EEM)*OS
∫
∫
2 )
∫
∫
dx x + 1
x
− 1
−
1
( 2 x + 3 )dx
− x 2 −
1
− 6 x +25
xdx
x 2
x 4
x 2
d x
4
)
3
)
1
)
Determine:
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Reordenando la expresión anterior se
tiene la fórmula de integración por partes
Es ecir:
∫ f ( x) g ′( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f
′( x) g ( x)dx
"ean u # f $%& ' v # g $%& entonces du # f ($%&d%' dv # g($%&d%, así, segn la regla desustitución, la fórmula de integración por partes se
transforma en)
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