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2-1
CAPTULO 2 - CONCEPTOS BASICOS DE DINAMICA ES-TRUCTURAL
En un sentido amplio, un sistema dinmico es aquel cuyas variables experimentan varia-ciones en el tiempo y, si se conocen las influencias externas que actan sobre el sistema,
podr predecirse el comportamiento de este.
influencias externas
sobre el sistema
SISTEMADINAMICO
conocidas estas accionesexternas, permiten
"predecir" el comportamiento
de las variables temporales
variables con variaciones
temporales
En nuestro curso, los sistemas a estudiar sern sistemas estructurales, las variaciones en el
tiempo sern vibraciones producidas por cargas dinmicas.
permiten evaluar el
comportamiento de
la estructura frente
a acciones dinmicas
cargas dinmicas
SISTEMASESTRUCTURALES
resolucin de las
ecuaciones diferenciales
ecuaciones diferenciales
que gobiernan el
comportamiento de las
vibraciones
vibraciones
Definicin de la accin dinmica
Una accin tiene carcter dinmico cuando su variacin con el tiempo es rpida y da ori-
gen a fuerzas de inercia comparables en magnitud con las fuerzas estticas. Algunas fuen-tes importantes de vibraciones estructurales son:
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2-2
- sismos
- viento
- olas y corrientes de agua
- explosiones e impactos
-
cargas mviles (vehculos, personas, etc.)
La definicin de estas cargas externas puede distinguirse entre: determinista y no determi-
nista, sta ltima denominada tambin estocstica o aleatoria.
determinista: cuando su variacin temporal es perfectamente conocida
no determinista: cuando alguno o todos sus parmetros son definidos estadsticamente
En nuestro curso trabajaremos con cargas definidas en forma DETERMINISTA.
Respuesta dinmica cualquier magnitud que pueda caracterizar el efecto de una carga
dinmica sobre la estructura
Una carga definida determinsticamente da origen a una respuesta, tambin determinista.
Fig. 2.1- Definicin de la respuesta dinmica: para un punto considerado se calculan:
deformaciones, aceleraciones, tensiones, etc.
Acciones y fuerzas dinmicasLas acciones dinmicas definidas utilizando representaciones deterministas, son funciones
del tiempo cuyo valor en cada instante ES CONOCIDO.
Este tipo de representacin es apropiado para evaluar el comportamiento de una estructuraA POSTERIORI del acontecimiento que dio lugar a dicha accin. Por ejemplo, evaluar el
comportamiento de un edificio nuevo ante el terremoto ocurrido en Mxico en 1986 (del
que se poseen registros). El diseo de una estructura NO PUEDE encararse en base a ac-
ciones deterministas, pues nada nos asegura que la accin estudiada volver a repetirse.
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2-3
F(t)
M(t1)
M(t2)
M(t3)
t3
t1
t2
F(t2)
F(t1)F(t3)
t1 t2 t3 t
F
ACCION
RESPUESTA
este esquema temporalde carga debe ser
perfectamente conocido
Fig. 2.2 - Accin y respuesta determinista
No considerada como
"carga" sino como una
propiedad intrnseca de
la estructura
da origen a fuerzas
de "inercia" comparables
con las estticas
ACCIONDINAMICA
rigidez K
masa M
ESTRUCTURA
a(t)
depende deK , M
la comparacin se
basa en: - velocidad de
la accin
- periodo propio
de la estructura
Fig. 2.3 - Accin dinmica y propiedades de la estructura
Importancia de la masa en el problema dinmico
Aunque la carga vare con el tiempo, la respuesta de una estructura vara radicalmente se-
gn la masa que vibra con ella. Ante una misma funcin de carga, una estructura SIN
MASA y una CON MASA responden de la siguiente manera:
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2-4
b) Estructura CON MASA CON INERCIA
a) Estructura SIN MASA SIN INERCIA
Se desarrolla energa
cintica, que modifica
la respuesta y deja vibracionesremanentes
rigidez: Kmasa: m
F(t) m/2x(t)
m/2
x
F
rigidez: Kmasa: m = 0
K x(t) = F(t)
La respuesta seguir
exactamente la forma
de la carga
F(t)
x
x(t)
A A'F
vibraciones
remanentes
t2> t1!!
t1 t2
xmx
t1
F0
x0
t
t
x0= F0/K
t1
t1
F0
t
t
( ) ( ) ( )tFtxktxm =+
Fig. 2.4 - Importancia de la masa en la respuesta
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2-5
Velocidad de reaccin de una estructura
Ante una accin exterior, distintas estructuras reaccionarn de formas diferentes. Esta res-
puesta est ntimamente relacionada con las formas o modos de vibrar y sus correspon-
dientes frecuencias o periodos propios. En el caso de un oscilador de 1 grado de libertad,este periodo propio se obtiene fcilmente. No as para estructuras de mltiples GLD.
Como veremos en los captulos siguientes, los periodos y formas de vibrar dependen de las
caractersticas geomtricas y de materiales (rigidez) y de la inercia que la estructura opone
al movimiento (masa).
En general si tD>> T no es necesario un anlisis dinmico si tDT PROBLEMA DINAMICO
T
m
k
F(t)
tD
F
vibraciones
libres
m
k x0
x
x0
el periodo propio permanece
prcticamente constante
tDt
F
t
F0
ESTRUCTURA CONAMORTIGUAMIENTO
ESTRUCTURA SINAMORTIGUAMIENTO
con AMORTIGUAMIENTOla amplitud decrece en cada ciclo
t
Fig. 2.5 - Velocidad de reaccin T vs. tD
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2-6
k
m x0
2
T1
a masa constante
k1> k2
a rigidez constante
m2> m1
T21
t
x0
etc,k
m
k
mvariables
;k;m
2
2
2
1
1
1TT
Fig. 2.6 - Velocidad de reaccin; varios Ti
Modelos dinmicos caractersticos
Desde el punto de vista del clculo numrico, obtener la respuesta dinmica de una estruc-
tura, es el resultado de "filtrar" la seal de excitacin a travs de la misma estructura y ob-tener las variaciones de las magnitudes de anlisis (desplazamientos, velocidades, acelera-ciones, momentos, tensiones, etc.) respecto del tiempo.
La obtencin de la respuesta requiere, previamente, la definicin del movimiento del te-rreno (en caso ssmico) tanto como de las caractersticas estructurales del mismo y de laestructura propiamente dicha. El anlisis es practicado, no a la propia estructura sino a unmodelo mecnico de la misma. La definicin del modelo depende del tipo de estructura
analizado y pretende brindar una serie de relaciones entre acciones y respuesta que descri-ban un modelo matemtico del problema.
Este modelo matemtico puede ser resuelto mediante diversas tcnicas. En nuestro casoharemos hincapi en los mtodos numricos de anlisis.
Segn la certeza con que fueron formulados los modelos y procedimientos o algoritmos declculo durante el anlisis, ser la precisin de la respuesta obtenida.
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a3a1
a1
onda
original
t
onda ssmica
original
onda
reflejada
onda
refractada a2 discontinuidad
en el suelo
respuesta
axed
t
respuesta en un punto
en particular
ayed
axed
Fig. 2.7 - Filtrado de una seal ssmica
Se brindan, a continuacin, algunas definiciones tpicas del anlisis estructural dinmicode una estructura:
Grados de libertad (GL)
Se definen como grados de libertad (GL) a los puntos de la estructura en los cuales seidentifica algn desplazamiento y permiten brindar una deformada de la estructura.
Grados de libertad dinmicos (GLD)
Son los grados de libertad que tienen asociada masa y para los cuales puede conocerse las
vibraciones o movimientos a lo largo del tiempo.
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2-8
menos exacta
RESPUESTA (desplaz. en el piso 1)
k2
k1
MODELODINAMICO
x1
t
mas exacta
EXCITACIONSISMICA
ESTRUCTURAREAL
x1 m1
x2 m2
PROCEDIMIENTOSNUMERICOS
MODELOMATEMATICO
[ ] [ ] [ ]aMxKxM =+
Fig. 2.8- Modelizacin de una estructura
Mtodos de modelizacin dinmica
Pueden distinguirse modelos dinmicos exactos y modelos dinmicos discretos.
En general, para la primera clase, solo pueden resolverse casos muy sencillos y con pocaaplicacin practica, por lo que a lo largo del curso profundizaremos en modelos discretos.
Para estos mtodos modelos discretos, se debe tener en cuenta que la subdivisin en domi-nios finitos es tanto espacial (discretizacin estructural) como temporal (solucin para ins-tantes de tiempo determinados).
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2-9
n FINITO DE INSTANTES
DE TIEMPO donde
se calcula la respuesta
(para cada GLD)
n FINITO DE PUNTOS ESPACIALES (GLD)
respuesta dinmica
en CADA PUNTO n infinito de
DE LA ESTRUCTURA puntos espaciales
en CADA INSTANTE n imfinito de
DE TIEMPO puntos temporales
Modelo
dinmicoDISCRETO
Modelo
dinmico
EXACTO
DISCRETIZACIONTEMPORAL
DISCRETIZACIONESPACIAL
Fig. 2.9 - Modelos dinmicos
Discretizacin espacial de las estructuras
Fundamentalmente, la diferencia con lo visto en otros cursos de anlisis estructural (estti-
co) radica en que en dinmica estructural, cuando hablamos de discretizar espacialmente,
nos referimos a los GLD.
Un modelo dinmico exacto (con infinitos GLD) acarreara ms inconvenientes en la reso-
lucin matemtica que beneficios en su precisin. Adems, en estructuras de edificios y en
la mayora de las estructuras civiles, las masas se encuentran ms o menos concentradas en
lugares conocidos. Es por esto que nuestro principal mtodo de modelizacin dinmicaser el de las MASAS CONCENTRADAS.
No obstante, existen otros, como ser:
- mtodo de los DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS
- mtodo de los ELEMENTOS FINITOS
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2-10
Mtodo de las masas concentradas
n total de componentes
de desplazamiento segnlos cuales vibran las masas
concentradas
tensiones y deformacionesespecficas pueden conocerse
mediante los procedimientos
del anlisis esttico
se calcula la "deformada"
del modelo en cada instantese distinguen:- MODELOS DE 1 GLD
- MODELOS DEMULTIPLES GLD
n de GLDdel modelo
Modelos con 1 GLD:
k
m
cc
m
k
x
k
m
a(t)
(c)(b)(a)
Fig. 2.10 - Modelos con un solo grado de libertad. (a) modelo conservativo; (b) modelo
con amortiguamiento; (c) modelo ssmico.
x
k
m
a(t)
(c)(b)(a)
Fig. 2.11 - Estructuras modelizadas como un sistema de un solo grado de libertad. (a)
prtico; (b) el mismo prtico con la masa concentrada al nivel de la viga; (c) modelo di-nmico.
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2-11
Modelos con mltiples GLD:
xr
c1
mn
kn
kr
mr
k2
m2
k1
m1
c1
cr
cncn
cr
c1
m1
k1
xr
m2
k2
mr
kr
kn
mnmn
kn
kr
mr
k2
m2
c1
xr
k1
m1
a(t)
(c)(b)(a)
Fig. 2.12 -Modelos con varios grados de libertad. (a) modelo conservativo; (b) modelo
con amortiguamiento; (c) modelo ssmico.
Fig. 2.13 - Estructura con dos grados de libertad: Prtico de dos pisos y su modelo din-
mico.
a(t)
Fig. 2.14 - Estructura con masa distribuida (antena) y su modelo dinmico discreto con n
grados de libertad.
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2-12
Fig. 2.15 - Modelo dinmico de un prtico de cortante y prtico espacial modelizado co-
mo un sistema completo (10 grados de libertad) y simplificado ( dos grados de libertad).
Fig. 2.16 - Modelo dinmico con grados de libertas de rotacin.
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2-13
Ecuaciones de movimiento
Las ecuaciones de movimiento son las expresiones matemticas que gobiernan la respues-
ta dinmica de las estructuras. Pueden obtenerse a partir de cualquiera de los principios dela mecnica clsica:
Principio de Hamilton
( ) 0;2
1
2
1
=+= Ht
t
d
t
t
cpH ddtEdtEE (2.1)
La primera expresin se denomina funcional de Hamilton; donde Epes la energa poten-
cial, Eces la energa cintica y Edla correspondiente a fuerzas no conservativas. La segun-
da expresin permite establecer el equilibrio a travs de una variacin funcional nula.Principio de los trabajos virtuales
Se trabaja en forma similar a lo visto en anlisis esttico pero incluyendo las fuerzas de
inercia y disipativas.
eiww = (2.2)
Principio de DAlembert
Proporciona el mtodo ms directo para obtener las ecuaciones de movimiento de un sis-
tema dinmico.
Puede formularse como sigue: un sistema dinmico esta en equilibrio cuando todas las
fuerzas que actan en el mismo, incluidas las de inercia y disipativas, cumplen las ecua-
ciones de equilibrio esttico en cada instante de tiempo.
Formulacin de la ecuacin de movimiento para un sistema de 1GLD
Tomando el sistema de la figura 2-10, podemos distinguir dos casos:
Fig. 2.17- (a) fuerza aplicada; (b) modelo ssmico
Para el modelo (a), aplicando el principio de DAlembert, tendramos:
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2-14
F(t) Fi(t) Fa(t) Fe(t)
F(t) = Fi(t) + Fa(t) + Fe(t) equilibrio
( )tx
( )tx
x(t)
inercia amort. elstica
Fig. 2.18 - Equilibrio de fuerzas para 1 GLD
Al aplicar una fuerza exterior F(t), se genera aceleracin, velocidad y desplazamiento para
un cierto instante t; a causa de esto se producen fuerzas:
i-
de inercia( ) ( )txmtFi = (2.3)
ii- de amortiguamiento
( ) ( )txctFa = (2.4)
iii- elsticas
( ) ( )txktFe = (2.5)
equilibrio en el instante t
( ) ( ) ( ) ( ) 0= tFtFtFtFeai
(2.6)
( ) ( ) ( ) ( )tFtFtFtFeai
=++ (2.7)
Fxkxcxm =++ (2.8)
Se omite (por simplicidad de notacin) la dependencia del tiempo, pero de aqu en adelan-
te sta se encontrar implcita en toda variable temporal.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) .;;
;;:ej
etcFtFata
xtxxtxxtx
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2-15
La ecuacin (2.8) es la de movimiento correspondiente a 1 GLD con carga exterior y
amortiguamiento.
Para el modelo (b) de la figura 2-17, el planteo es similar, solo que no tiene fuerza exterior
aplicada y la fuerza de inercia se ve afectada por la aceleracin total de la masa:
[ ]xamFi += (2.9)
entonces, la ecuacin de movimiento queda:
[ ] 0=+ xkxcxam (2.10)
amxkxcxm =++ (2.11)
La (2.11) es la ecuacin de movimiento para 1 GLD con aceleracin de apoyo (ssmico) yamortiguamiento. Un caso general sera la inclusin de aceleracin de apoyo y fuerza exte-
rior:
amFxkxcxm =++ (2.12)
Formulacin de las ecuaciones de movimiento para modelos conmltiples GLD
El modelo con varios grados de libertad ms sencillo es el de edificios de cortante (fig. 2-
12). Est basado en que las plantas son infinitamente rgidas y en que los nicos movi-
mientos posibles de stas son los desplazamientos horizontales.
Aplicando el principio de DAlembert en cada GLD (uno por piso) se obtiene:
0=erarirr
FFFF (2.13)
para el piso (r).
Planteando el equilibrio para todos los GLD, nos queda un sistema de ecuaciones (vecto-
rial)
0=eai
TFFFF (2.14)
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2-16
#Nota: en adelante, los vectores y matrices sern representados(en general) con mins-
culas y maysculas en negrita, respectivamente.
[ ]nT
fff ,..., 21=F vector de fuerzas externas
{ }ai
JxMF += vector de fuerzas de inercia
xCF =a
vector de fuerzas disipativas
xKF =e
vector de fuerzas elsticas
entonces, el sistema (2.14) puede escribirse:
{ }aJMFxKxCxM =++ (2.15)
Mmatriz de masas
Cmatriz de amortiguamiento
Kmatriz de rigidez
JT= [1,1,1] vector con todos sus elementos igual a uno
Si bien la (2.15) fue deducida para un modelo de edificio cortante, es una expresin AB-
SOLUTAMENTE GENERAL, inclusive para modelos de elementos finitos, y solo varan
las formas deM, CyK.
Para un modelo ssmico, la (2.15) se reduce a:
{ }aJMxKxCxM =++ (2.16)
Y en caso general de prticos 3D, o modelos de elementos finitos, suele sustituirsexporDpara indicar que cada GLD puede sufrir desplazamientos en 3 direcciones y respectivos
giros.
{ }aJMFDKDCDM =++ (2.17)
Nota: en este ltimo caso,J llevar unos en las componentes a las cuales se quiera aplicar
el acelerograma a, por ejemplo componentex:J= [1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,..,1,0,0,0,0,0,..,1,0,0,0,0,0] etc.
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3-1
CAPTULO 3 - RESPUESTA DE UN OSCILADOR SIMPLE
Ecuacin de movimiento y equilibrio dinmico
Las caractersticas dinmicas de un oscilador de 1 GLD pueden estudiarse mediante unmodelo no amortiguado con vibraciones libres, cuya ecuacin de movimiento es
0=+ xkxm (3.1)
Fig. 3.1 - Modelo de 1 GLD, no amortiguado.
La vibracin, del modelo de la fig. 3.1, es inducida por algunas condiciones iniciales, seandesplazamiento, velocidad o aceleracin en el instante t = 0.
Luego, durante las vibraciones no recibe ningn tipo de perturbacin.
Dividiendo (3.1) por m y usando la notacin:
m
k=2 ;
m
k= (3.2)
se obtiene:
02
=+ xx (3.3)es la pulsacin o frecuencia circular o simplemente frecuenciadel modelo estudia-do. Viene expresada en radianes por segundo (1/s).
Lafrecuencia cclicaviene dada por
2=f (3.4)
y se expresa en ciclos por segundo o hertz.
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3-2
Finalmente, otra caracterstica es el perodo natural
fT
1= (3.5)
2=T (3.6)
La solucin general de la (3.1) o (3.3) puede escribirse:
( )+= tAx sen (3.7)
donde A es la amplitud del movimiento y el ngulo de fase. Los valores de A y se cal-culan a partir de las condiciones iniciales del problema, por ejemplo para
( ) 00 xx = ; ( ) 00 xx =
resulta:
2
020
+=
xxA
0
0
x
xtan
=
Frmula de Geiger
Sustituyendo
g
Gm=
G: peso de m
g: aceleracin de la gra-vedad
kGggG
k 1==
SGX
k
G= : desplazamiento esttico producido
por el peso G en la direccin del grado de libertad
entonces:
SGX
g1
= (3.9)
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3-3
SGX
gT =
2 (3.10)
Utilizando unidades de S.I. la (3.10) queda:
SGXT 00,2= (3.11)
con XSGexpresado en metros para un peso G en Newton.
Caractersticas dinmicas con amortiguamientoEl amortiguamiento puede definirse estudiando las vibraciones libres del modelo de la fi-gura 3-2:
Fig. 3.2 - Modelo de 1 GLD con amortiguamiento (vibraciones libres)
Si se toma la ecuacin (2.12) sin cargas ni aceleraciones de apoyo (vibraciones libres) y sedivide por m se obtiene:
02 2 =++ xxx (3.12)
m
c=2 (3.13)
la solucin de (3.12) est dada en la forma:
rtex= (3.14)
que proporciona la ecuacin caracterstica:
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3-4
02 22 =++ rr (3.15)
Ya que (3.12) es una ecuacin diferencial de segundo orden, lineal, homognea a coefi-cientes constantes.
Las soluciones de (3.15) son
0222,1 == r (3.16)
Segn sea el radicando 2- 2se encuentran tres tipos de amortiguamiento:
2
-2
> 0 SUPERCRITICO: la estructura NO VIBRA2-2= 0 CRTICO: caso lmite = mrc 2=
2-2< 0 SUBCRITICO: la estructura VIBRA con amplitud decreciente
Este es el caso ms frecuente en ingeniera civil, por lo que enfatizaremos suestudio. Para este caso (subcrtico), la cantidad (2- 2) es negativa, lo quehace que (3.16) tenga races complejas:
01 22,1 == ir (3.17)
con 1=i
Llamando frecuencia de vibracin amortiguada a:
21 =v
(3.18)
se obtiene:
vir =2,1 (3.19)
vir =2,1 (3.20)
En las ecuaciones anteriores aparece la magnitud
mm
cc
r
22== (3.21)
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3-5
conocida como fraccin de amortiguamiento crtico (en estructuras corrientes0.02
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3-6
Los reglamentos brindan los coeficientes de amortiguamiento para cada tipo de estructura,pero puede obtenerse en forma experimental y con un mtodo relativamente simple:
Determinacin prctica de
Para amortiguamientos bajos (del orden del 10% de crtico) la relacin entre dos picos su-cesivos puede aproximarse:
( )
( )
( )
( )+
+=
+ +
+1
11nv
t
nvt
mx
mx
tseneA
tseneA
nx
nx
n
n
(3.24)
perovnn
Ttt +=+1 ; con vvT 2=
v
nntt
21 +=+ , entonces
( )
( )
( )
++
+=
+
+
v
vnv
t
nvt
mx
mx
tsene
tsene
nx
nx
vn
n
212
(3.25)
( )
( )
( )
( )++
+=
+
21 2
nvt
nv
t
mx
mx
tsenee
tsene
nx
nx
vn
n
( )
( ) venx
nx
mx
mx
2
1
1 =
+ (3.26)
tomando logaritmo natural:
( )
( ) [ ]ve
nx
nx
mx
mx 2ln1
ln =
+ (3.27)
#notar que para amortiguamientos del orden de
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3-7
211,0 ==v
=vv
995,0
Entonces
( )
( ) 2
1ln
mx
mx =
+nx
nx (3.28)
Para el caso de lecturas separadas por N ciclos:
( ) ( )[ ]N
Nnxnx
2ln mxmx += (3.29)
Excitacin peridica
En la figura 3-4 pueden observarse diversas funciones de carga. De stas, nos interesan porahora, las peridicas y ms particularmente las excitaciones armnicas ya que mediante
series de Fourier cualquier excitacin peridica puede llevarse a una suma de armnicassimples.
Fig. 3.4 - Tipos de cargas dinmicas. (a) armnica; (b) peridicas; (c) cuasi peridicas;
(d), (e) fuerzas impulsivas; (f) carga dinmica general; (g) aceleracin ssmica del terre-
no.
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3-8
Excitacin armnica
Si la carga es de tipo:
( )tPP = sen0
Entonces, la ecuacin de movimiento ser:
( )tsenPxkxcxm =++ 0 (3.30)
: frecuencia de la excitacin
la (3.30) puede escribirse tambin:
( )tsenm
Pxxx =++ 022 (3.31)
La solucin general de esta ecuacin viene dada por
phgxxx += (3.32)
trtrh ececx
2121 += (3.22)
Es la solucin de la ecuacin diferencial homognea.
tittith
vv eeceecx += 21 (3.33)
Utilizando matemtica para nmeros complejos, esta ltima ecuacin puede escribirse:
( )tctsencex vvt
h cos'' 21 +=
(3.34)
xpen la (3.32) es la solucin particular y lleva la forma
tBtAxp += cossen (3.35)
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Derivando y reemplazando en (3.30) se obtienen las constantes A y B:
Denotando = (3.36)
( ) ( )2222
0
211
+
=k
PA (3.37)
( ) ( )2220
21
2
+
=
k
PB (3.38)
Condiciones iniciales
Para el caso en que ( )0
0 xx = ; ( )0
0 xx =
Pueden calcularse las partes correspondientes a la solucin particular (para t = 0)
( )( ) ( )2
22
00
21
2
+
=
k
Px
p (3.39)
( )
( )( ) ( )222
20
021
1
+
=
k
Pxp (3.40)
Basados en stas y en (3.32) y (3.34) podemos plantear las siguientes ecuaciones:
( ) 020 '0 pg xcxx +== (3.41)
( ) 01000 '0 pvpg xcxxxx +++== (3.42)
y despejarse c1 y c2:
[ ]000011
' ppv
xxxxc
+= (3.43)
002 ' pxxc = (3.44)
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