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TEMA 2: Ecuaciones y principios electromagnéticos en radiación y dispersión
Índice:1. Ecuaciones de Maxwell y condiciones de frontera2. Obtención de los potenciales retardados3. Radiación de un elemento de corriente 4. Principios y teoremas del electromagnetismo
4.1 Teorema de dualidad 4.2 Teorema de unicidad 4.3 Teoría de imágenes 4.4 Teorema de reciprocidad 4.5 Teorema de reacción4.6 Teorema de equivalencia volumétrica4.7 Teorema de equivalencia superficial 4.8 Teorema de inducción 4.9 Teorema de equivalencia física
Bibliografía: C.A. Balanis. “Advanced Engineering Electromagnetics”. Capítulos 6 y 7. Ed. John Wiley and Sons. 1989.
2
EJ
HB
ED
0jJ
0B
D
JDjH
BjE
c
rr
rr
rr
r
r
r
rrr
rr
σ=
µ=
ε=
=ωρ+⋅∇
=⋅∇
ρ=⋅∇
+ω=×∇
ω−=×∇ Ley de FaradayLey de Amper generalizadaLey de GaussContinuidad de Flujo Magnético
Ecuación de ContinuidadEcuacionesConstitutivasde la Materia
FUENTESρ: Densidad de carga eléctrica
J: Densidad de corrienteJc: D. de Corriente de Conducción
MEDIOε: Permitividad eléctrica
µ: Permeabilidad magnéticaσ: Conductividad
CAMPOSE: Intensidad de campo eléctrico
H: Intensidad de campo magnéticoD: Inducción de campo eléctrico
B: Inducción de campo magnético
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ωεσ
−ε=ε ′′−ε′=ε⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωσ
+εω=×∇
σ=
j1jJE
jjH
EJ
cext
c
rrr
rr
Permitividad Complejaen un medio con pérdidas
1. Ecuaciones de Maxwell
3
Condiciones de Frontera deConductor Perfecto.
Condiciones de Frontera deConductor Real
Condiciones de Fronteraentre dos Dieléctricos
0H0Hn
0E0En
nor
tan
=⇒=⋅
=⇒=×rr
r
Dn
HnJ
s
sr
rr
⋅=ρ
×=
n
∞=σ
sJ
tanH0H
0E
=
=r
r
n
1ε 2ε
21
21
21
21
BnBn
DnDn
HnHn
EnEn
rr
rr
rr
rr
⋅=⋅
⋅=⋅
×=×
×=×
0H0Hn
HZEn
nor
tans
=⇒=⋅
−=×rr
rrn
∞≠σ
J
tanHδ
−∝
⎪⎭
⎪⎬
⎫ z
eJHE
r
r
r
σδ+
=µσπ=δj1Zf1 s
[ ] [ ] 2
sdis JZRe21HERe
21P
rrr=×=
tanEz
1. Condiciones de frontera
4
1. Ecuaciones de Maxwell
5
2. Potenciales retardados (I)
6
• Los problemas electromagnéticos de geometría abierta como los de antenas se resuelven más fácilmente si se introducen unos potenciales auxiliares derivados de las Ecuaciones de Maxwell
– (potencial vector magnético)
– (potencial escalar)
Ar
Φ
AB0Brrr
×∇=⇒=⋅∇ ya que ( ) 0A ≡×∇⋅∇r
( ) Φ−∇=ω+⇒=ω+×∇
×∇ω−=×∇
ω−=×∇
AjE0AjE
AjE
BjE
rrrr
rr
rr
ya que ( ) 0≡Φ∇×∇
AjErr
ω−Φ−∇=
2. Potenciales retardados (II)
7
• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos potenciales:
( ) ( )( ) ( )
( )Φεωµ+⋅∇∇+µ−=εµω+∆⇒
∆−⋅∇∇≡×∇×∇
ω−Φ∇−εωµ+µ=×∇×∇
εωµ+µ=µ×∇ωε+=×∇
000002
000
00000
jAJAA
AAA
AjjJA
EjJHEjJH
rrrr
rrr
rrr
rrrrrr
JAA
0jA
002
00rrr
r
µ−=εµω+∆
=Φεωµ+⋅∇• Condición de Lorentz (fijación de ∇⋅A)• Ecuación de Helmholtz para A
( )
000
2
00
0
0
0 0jA
Aj
AjED
ερ
−=Φεµω+∆Φ
⇓
=Φ∇εωµ+⋅∇
ερ
−=⋅∇ω+∆Φ
ρ=ω−Φ∇−ε⋅∇
ρ=ε⋅∇ρ=⋅∇r
r
r
rr
( )0000
jAAjE
0jA
AjEεωµ
⋅∇∇+ω−=⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
=Φεωµ+⋅∇
ω−Φ−∇=r
rrr
rr
Hj
1E0
rr×∇
ωε=Fuera de
las Fuentes
2. Potenciales retardados (III)
8
2. Potenciales retardados (IV)
9
2. Potenciales retardados (V)
10
3. Radiación de un elemento de corriente (I)
• La fuente de radiación más simple es un elemento lineal de corriente situado en elseno de un medio isótropo, homogéneo, indefinido y sin pérdidas.
• Como en la ec. escalar la fuente se puede considerar puntual, el problema presenta simetría esférica y queda:
• La parte homogénea es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:
Idlx y
z rr
00 ,εµJ I dSdV dl dS
z == ⋅ Idl
x y
z rr
00 ,εµJ I dSdV dl dS
z == ⋅
Ec. escalar, con fuente Jz puntual
z0z20
z22 JAk
drdAr
drd
r1 µ−=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Propagación hacia el ∞
Propagación hacia el origen
La solución física del problema de radiación
Idl4
dVJ4
C 0z
01 π
µ=
πµ
=Integrando la Ecuación Completasobre una esfera de r → 0
La solución física del problema de reflexión
( ) ( ) ( ) ( ) z0z20
0022
0
020 JAk
krJrAkrA
µ−=+∆⎭⎬⎫
εµω=
′µ−=+∆rrrrrr
( )
( )r
eCrA
reCrA
rjk
22z
rjk
11z
0
0
=
=−
11
3. Radiación de un elemento de corriente (II)
• Los campos que produce el elemento de corriente son:
• La densidad de Potencia Radiada (dada por el vector de Poynting) está dirigida radialmente hacia afuera y decrece como 1/r2 (onda esférica progresiva):
Hj
1E
A1H
0
0rr
rr
×∇ωε
=
×∇µ
=( )
44 844 76rz
senˆcosrIdlr
e4
Arjk
00
θθ−θπ
µ=
−
( )
rjk32
020
320
0
rjk0r
0
0
er1
rjk
rk
2senˆ
r1
rjkcosr
k2IdljE
er1jk
r4senIdlˆArA
rˆH
−
−θ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
θθ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +θ
πη
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
πθ
φ=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂θ∂
−∂∂
φ=
r
r
θπ
θη=
φπ
θ=−
−
ˆr4
esendlIkjE
ˆr4
esendlIjkHrjk
0
rjk
0
0
0
r
r
Sustituyendo
Si k0r>>1 (r>>λ) predominan los términos en 1/r frente a 1/r2 o 1/r3
Campos de radiación:E ⊥ r, H⊥ r, E⊥ H
[ ] ( ) ( )< >= × =r r rS E H r I dl
kr
12 32
2 22 2
2 2Re $sen* η θπ
12
3. Radiación de un elemento de corriente (III)
• Una distribución real de corrientese supone formada por infinitos elementosdV de corriente J situados en r’.
• El potencial total radiado será la superposición.
( ) ( )∫ ′
′−−
′′−
′π
µ=
V
rrjk0 Vd
rrerJ
4rA
0
rr
rrrr
rr
( ) ( )dVrJrr
e4
rAdrrjk
00 rrrr
rrrr
′′−π
µ=
′−−
( ) ( )∫ ′
′−−
′′−
′π
µ=
S
rrjks0 Sd
rrerJ
4rA
0
rr
rrrr
rr
( ) ( )∫ ′
′−−
′′−
′π
µ=
L
rrjk0 ld
rrerI
4rA
0 rrr
rrr
rr
Volumen Superficie Línea
′rr
P
x y
z
j
rr
( )r rJ r′ r rr r− ′
'rr
dV
′rr
P
x y
z
j
rr
( )r rJ r′ r rr r− ′
'rr
dV
13
3. Radiación de un elemento de corriente (IV)
• Estamos en Campo lejano cuando k0 r >>1 y r>>r’max ⇔ r >>λ , r ≥ (2D2)/λ
• Los campos de Radiación cuando k0r >>1 valen:
[ ]R r r r r r r r rr
r rr
= − ′ = + ′ − ⋅ ′ = +′⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
−⋅ ′⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
r r r rr
2 2 1 22 1 2
2 1 2$
( ) ( )∫∫ ′′π
µ= ′⋅
−
S
rrjks
rjk0 SderJ
re
4rA 0
0 rrrrrR r r r
rr r r≈ −
⋅ ′⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = − ⋅ ′1 1
22$
$r
r
( ) ( )∫ ′
′−′
πµ
=′−−
S
rrjks0 Sd
rrerJ
4rA
0
rr
rrrr
rr
r rr rmax>> ′
( )( )( ) ( )
r r rr
r r r r
H j r A H r E
E j r A r E H r
= − × =×
= − × × = ×
ωη ηω η
$$
$ $ $
r r
r
r
E HE rH r
⊥⊥⊥
$
$
′rr
P
x y
z
j
rr
( )r rJ r′ r rr r− ′
'rr′rr
P
x y
z
j
rr
( )r rJ r′ r rr r− ′
'rr
14
3. Radiación de un elemento de corriente (V)
• La interpretación geométrica de la aproximación de campo lejano es la que se da en la figura– Si el punto de observación se considera a distancia infinita el vector de distancia R se
considera paralelo a la dirección de observación r por lo que entonces:
r′r
$r r⋅ ′r
R r r= − ′r r
rr
rJs
P
r′r
$r r⋅ ′r
R r r= − ′r r
rr
rJs
PR r r r r r= − ′ ≈ − ⋅ ′
r r r$
15
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (I)
1. Teorema de dualidad
16
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (II)
2. Teorema de unicidad
E,Hv
S
Et, Ht “ En una región V, sin fuentes, los campos E y H en dicha región quedan determinadossi se conocen las componentes tangencialesde E y de H (Et y Ht) en la frontera S de dicharegión”.
17
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (III)
3. Teoría de imágenes
18
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (IV)
4. Teorema de reciprocidad
Dados dos conjuntos de corrientes eléctricas y magnéticas, el teorema de reciprocidadrelaciona los campos creados por ambos conjuntos con dichas corrientes.
11 M,J 11 H,E22 M,J 22 H,E
( ) ( )dvMHJEdvMHJEv 1212v 2121 ∫∫∫∫∫∫ ⋅−⋅=⋅−⋅
rrrrrrrr
Si
19
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (V)
5. Teorema de reacción
( )∫∫∫ ⋅−⋅=v 2121 dvMHJE2,1
rrrr
( )∫∫∫ ⋅−⋅=v 1212 dvMHJE1,2
rrrr 1,22,1 =
En términos de corrientes y voltajes: la corriente inducida en una fuente j debida a unafuente i multiplicada por el voltaje aplicado a dicha fuente i, es igual a la corriente inducidaen la fuente i, debida a la fuente j, multiplicada por el voltaje aplicado a la fuente j.
20
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (VI)
6. Teorema de equivalencia volumétrica
11 M,J oo H,E
11 M,J so EEErrr
+=
so HHHrrr
+=
En el vacío:
Si se introduceun material (ε,µ) :
eqeqss M,JH,Errrr
⇔ ( )EjJ oeq
rrε−εω=
( )HjM oeq
rrµ−µω=
21
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (VII)
7. Teorema de equivalencia superficial: principio de Huygens
22
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (VIII)
Principios de equivalencia para una apertura sobre un plano conductor perfecto:
23
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (IX)
8. Teorema de inducción (para dispersión)
Caso general: Conductor eléctrico perfecto:
24
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (X)
Teorema equivalente de inducción para la dispersión de una placa conductora infinitamente extensa:
25
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (XI)
9. Teorema de equivalencia física (para dispersión)
Caso general: Placa conductora infinita:
26
2. Potenciales retardados (II)
27
2. Potenciales retardados (III)
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