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13/04/23 03:15
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS
F Í S I C A 2ELASTICIDADAutor: Segundo Lizardo Gallardo Zamora
Trujillo-2011
La elasticidad es el estudio del grado de deformaciones (transito-rias o permanentes) que sufren los cuerpos cuando son someti-dos a fuerzas externas.
ELASTICIDAD
13/04/23 2Segundo L. Gallardo Zamora
Estas deformaciones se deben a la variación de las posición relativa de las moléculas o enlace interatómico de los átomos de un cuerpo bajo la acción de una fuerza mecánica neta externa del tipo tracción, compresión o torsión.
En la Fig.1 se muestra un modelo simplifica-do de estas deforma-ciones, considerando a los enlaces como resortes que unen átomos y moléculas
F
-F
Deformación por
compresión
-F F
Deformación por tracción
Figura 1
Deformación por torsión
En las Fig.2, Fig. 3 y Fig.4, se muestran algunos tipos de deforma-ciones que realizamos o vemos en la vida práctica
ELASTICIDAD
13/04/23 3Segundo L. Gallardo Zamora
Si el cuerpo deformado recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo elástico o que tuvo una deformación transitoria.
Figura 2. Deformación por Estiramiento
Figura 3. Deformación por aplastamiento
Figura 4. Deformación por torsión
En cambio, si el cuerpo deformado no recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo plástico o que tuvo una deformación permanente
ELASTICIDAD
13/04/23 4Segundo L. Gallardo Zamora
Los cuerpos de comportamiento plástico pueden romperse si la fuerza deformadora sigue actuando sobre estos, tal como se muestra en la Fig.5
Figura 4. Deformación Permanente y rotura
Esfuerzo (Fatiga o Tensor de esfuerzo: ). Es la relación entre la fuerza deformadora y el área de la superficie sobre la cual actúa.
ELASTICIDAD
13/04/23 5Segundo L. Gallardo Zamora
Unidades: N/m2, din/cm2 , pd/pie2 , Kgf/m2 , Lbf/pie2
Deformación (Tensor de Deformación o deformación unitaria).
La deformación es un número sin unidades
Esfuerzo =Fuerza
Área
Deformación = =Variación de la dimensión
Dimensión inicial
= F
A(1)
Es la medida del grado de deformación que sufre una determina-da dimensión del cuerpo cuando es sometida a un esfuerzo.
Según la dimensión que se tome en cuenta la deformación puede ser varios tipos
I. Deformación longitudinal. Es la deformación que sufre la di-mensión paralela a la dirección de la fuerza deformadora.
ELASTICIDAD
13/04/23 6Segundo L. Gallardo Zamora
Deformación longitudinal =Variación de la longitud
Longitud inicial
Ejemplo 1. Un cable deformado por estiramiento como el mostrado en la Fig.6 y Fig.7
Do
Lo
DL
F
F
Figura 7. Vista ampliada del estiramiento del cable
Cable estirado por tensión
Figura 6
F = Tensión = T
F = m g
L = =L – L0
L0
L
L0
(2)
ELASTICIDAD
13/04/23 7Segundo L. Gallardo Zamora
En todos los cuerpos, la deformación en una determinada dimensión implica también deformaciones en las dimensiones transversales a la dirección de la fuerza, como se ilustra en la Fig.7 para una barra cilíndrica.
Deformación transversal =Variación de la dimensión transversal
Dimensión transversal inicial
II. Deformación transversal. Es la deformación que sufre la di-mensión transversal (perpendicular) a la dirección de la fuerza deformadora.
T = =D – D0
D0
D
D0
(3)
Por ejemplo, en una varilla cilíndrica la deformación transversal está definida por el diámetro. Por lo tanto:
Razón de Poisson.
Es la relación entre la deformación transversal y la deformación longitudinal.
ELASTICIDAD
13/04/23 8Segundo L. Gallardo Zamora
Razón de Poisson = Deformación transversal
Deformación longitudinal
= - = -D / D0
L / L0
D Lo
L D0
(4)
Para una barra cilíndrica de diámetro inicial Do y longitud inicial Lo, como el de la Fig.7, la razón de Poisson es:
La razón de Poisson es un número sin unidades y el signo negativo permite cancelar el signo negativo que puede surgir en la deformación lineal o en la deformación transversal. Su valor está entre 0.0 y 0.5.
Pregunta. ¿Cómo definiría: a) la deforma-ción longitudinal, b) la deformación trans-versal y c) la razón de Poisson de la barra rectangular de la Fig.8, sometida a la fuer-za deformadora F paralela a la arista b. Figura 8.
aobo
co
- F F
III. Deformación por torsión (corte o cizalladura). Es la deforma-ción o desplazamiento que sufren los planos o capas de un cuer-po por efecto de una fuerza tangencial que produce un torque.
ELASTICIDAD
13/04/23 9Segundo L. Gallardo Zamora
Ejemplo 3. La deformación por torsión que sufre el alambre atado a un disco, como el de la Fig.9 se mide mediante el pequeño ángulo que gira el disco
por acción del torque .
Figura 4
IV. Deformación volumétrica. Es la deformación de volumen de un cuerpo como consecuencia de la variación de la presión externa que actúa sobre el cuerpo.
c = Tan (5)
Deformación por Corte Cizalladura o Torsión
Tangente del ángulo de la deformación por torsión=
Figura 9.
F
Alambre
ELASTICIDAD
13/04/23 10Segundo L. Gallardo Zamora
Módulo de Elasticidad.
El módulo de elasticidad se define como la razón entre el esfuerzo y la deformación correspondiente.
Figura 9. Submarino sujeto a deformación volumétrica por la presión del agua
Agua
F = P A
Módulo de Elasticidad = = Esfuerzo
Deformación
(7)
Deformación Volumétrica =Variación del volumen
Volumen inicial
V = =V – V0
V0
V
V0
(6)
ELASTICIDAD
13/04/23 11Segundo L. Gallardo Zamora
El módulo de elasticidad es una constante característica del material del cual esta hecho un cuerpo. Esta constante es igual a la pendiente del gráfico del esfuerzo vs la deformación, como se muestra en la Fig.10
Límite elástico
Límite de ruptura
Esf
uer
zo
Deformación
Comporta
mie
nto
elást
ico
Figura 10
Tipos de módulos.
Módulo de Young.
Este módulo mide la resistencia de un sólido a un cambio de longitud, como el de la varilla mostrada en la Fig. 11.
La relación lineal entre y se denomina la Ley de Hooke y es válida dentro del límite de elasticidad
EsfuerzoDeformación
= constante
Esfuerzo = (const) Deformación
ELASTICIDAD
13/04/23 12Segundo L. Gallardo Zamora
Unidades:
N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2
Módulo de Young = Esfuerzo longitudinal
Deformación longitudinal
F/A
L/Lo
E =D
Do
A
LLo
F
F
Figura 11
L
E = (8)
Módulo de Torsión (Corte,Rigidez o Cizalladura)
Este módulo mide la resistencia que presentan los planos (o capas) de un sólido a ser desplazados unos con respecto a otros por acción de una fuerza tangencial que actúa sobre la superficie del cuerpo.
ELASTICIDAD
13/04/23 Segundo L. Gallardo Zamora
Ejemplo 4.
Si mediante la fuerza F, que actúa tangencialmente a la superficie de área A, deformamos el bloque de la Fig.12, se tiene que: h
A F
x
-F
Figura 12
Esfuerzo por corte =
F
A
Módulo de Torsión
Esfuerzo por torsión Deformación por
torsión
= G =
y la deformación por corte es:
c = Tan = x / h
c = rad.Entonces:
Si el ángulo de deformación es pequeño: Tan rad.
ELASTICIDAD
13/04/23 14Segundo L. Gallardo Zamora
Por lo tanto, el módulo de corte se define como:
Módulo Volumétrico.
Mide la resistencia que presentan los sólidos o líquidos a cambiar de forma cuando son sometidos a un cambio de presión.
G =
F / A
(9)
F
FF
F
F
A
Figura 13
vo
v
Módulo Volumétrico
Esfuerzo volumétrico
Deformación Volumétrica= B =
Ejemplo 5. En la Fig.13 tenemos un parale-lepípedo sujeto a la acción del esfuerzo volumétrico definido por:
Esfuerzo volumétrico
Variación de presión
=
ELASTICIDAD
13/04/23 15Segundo L. Gallardo Zamora
Módulo Volumétrico = B = -
P
V / Vo
Como B siempre debe ser (+), se incluye el signo (-) en la expresión anterior para cancelar el signo (-) que puede surgir en P o en V.
B = - Vo ( ) P
V (10)
Que produce la:
Deformación Volumétrica = V
Vo
F
A P =
Entonces:
Por lo tanto:
Las unidades del módulo volumétrico son iguales a las del módulo de Young.
N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2
ELASTICIDAD
13/04/23 16Segundo L. Gallardo Zamora
La unidades del módulo de compresibilidad son el inverso de la unidades del módulo volumétrico
Los valores de los módulos de elasticidad y la razón de Poisson, para diversos materiales, se dan en los textos de Física, tal como se muestran en la Tabla 1.
m2 / N, cm2 / din, pie2 / pd, m2 / kgf, pie2 / lbf
K = = - ( ) V
P
1
B
1
Vo (11)
Módulo de Compresibilidad.
Este módulo se define como el inverso del módulo volumétrico
TABLA 1. Módulos de Elasticidad de algunos materiales
MaterialMódulo de Young [N/m2]
Módulo de Corte [N/m2]
Módulo Volu-métrico [N/m2]
Razón de Poisson
Aluminio
Bronce
Cobre
Acero
Oro
Plata
Estaño
Cuarzo
Vidrio
Agua
Mercurio
7,0 x 1010
9,1 x 1010
11 x 1010
20 x 1010
8,0 x 1010
7,8 x 1010
4,5 x 1010
5,6 x 1010
6,5 – 7,8 x 1010
- - - - - -
2,5 x 1010
3,5 x 1010
4,2 x 1010
8,4 x 1010
2,8 x 1010
2,8 x 1010
1,67 x 1010
2,6 x 1010
2,6 – 3,2 x 1010
- - - - - -
7,0 x 1010
6,1 x 1010
14 x 1010
16 x 1010
16,6 x 1010
10,9 x 1010
5,1 x 1010
2,7 x 1010
5,0 – 5,6 x 1010
0,21 x 1010
2,8 x 1010
0,34
- - - - - - - - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
0,18
0,34
0,33
0,42
0,37
0,31
0,37
0,24
13/04/23 17Segundo L. Gallardo Zamora
ELASTICIDAD
Relaciones entre módulos de elasticidad.
ELASTICIDAD
13/04/23 18Segundo L. Gallardo Zamora
Usando la Tabla 1, se puede verificar que en cuerpos Isotrópi-cos (de igual propiedad en todas direcciones) y Homogéneos (igual densidad) los tres módulos de elasticidad se relacionan mediante la expresión:
E = 3 B ( 1 – 2 ) = 2 G ( 1 + ) (12)
Ejemplo 1Un alambre de 100 [cm] de longitud y 0,64 [cm] de radio es sujetado en su extremo superior y tiene una carga de 1,2 [kgf] en su extremo inferior. Si el módulo de Young es 9,0x1011 [din/cm2] y la razón de Poisson es 0,30, calcular: a) la deformación por extensión, b) la disminución en el radio y c) la disminución en el área de la sección transversal del alambre.
Datos: L = 100 [cm] = 1,00 [m]; ro = 0,64 [cm] = 0,0064 [m]; F = 1,2 [kgf] = 11,772 [N]; E = 9,0x1011 [din/cm2] = 9,0x1010 [N/m2] y = 0,30
Solución
ELASTICIDAD
01/05/2009 20:13 19Segundo L. Gallardo Zamora
13/04/23 19Segundo L. Gallardo Zamora
a) La deformación por extensión L = L/Lo , se puede obtener del módulo de Young es: E = (F/A)/(L/Lo)
de donde L = (L/Lo) = F/AE
y como el área de la sección transversal es: A = (0,0064)2 = ……... m2
Entonces: L = (11,772/[( ………….. )(9,0x1010 )] L = ………b) La disminución en el radio se obtiene de = – (D/Do)/(L/Lo),
de donde: D = – Do(L/Lo) = – Do L
y como D = 2 r, se demuestra que: D = 2r = – 2 ro L
Entonces r = – ro L = ………… [m] c) La disminución en la sección transversal del áre es:
A = (r2 – r2
o) = [(ro + r )2 – r2o] ≈ 2 ro r
Se obtiene esta expresión porque al calcular A, no se ha consi-derado potencias de segundo o mayor orden en ( r), por ser una cantidad muy pequeña.
Por lo tanto, usando valores se tiene: A ≈ . . . . . . . . m2
ELASTICIDAD
01/05/2009 20:13 20Segundo L. Gallardo Zamora
13/04/23 20Segundo L. Gallardo Zamora
Un martillo de 0,300 [kg] golpea con una rapidez de 20 [m/s] en un clavo de acero de 2,5 [mm] de diámetro. Rebota con una rapidez de 10 [m/s] en 0,11 [s]. ¿Cuál es la deformación longitudinal promedio del clavo durante cada impacto?
Ejemplo 2
Datos: m = 0,300 [kg]; V1 = 20 [m/s]; Do= 2,5 [mm] = 2,5 x10-3 [m]; V2 = 10 [m/s]; t = 0,11[s].Solución.La deformación es por compresión es L = L/Lo , y como el módulo de Young es: E = (F/A)/(L/Lo)
Entonces : (L/Lo) = L = F/AE.
Para calcular la fuerza usamos la relación entre impulso y mo-mento lineal: Ft = m v. F = m v/t.
ELASTICIDAD
01/05/2009 20:13 21Segundo L. Gallardo Zamora
13/04/23 21Segundo L. Gallardo Zamora
Ejemplo 3
Dos placas metálicas se mantienen juntas por medio de cuatro remaches de diámetro 0,50 [cm], como se muestra en la Fig.15. Si el esfuerzo máximo de corte que puede soportar cada remache es de 3,0x108 [N/m2]. ¿Cuánta fuerza paralela a las placas es necesaria aplicar para desprender los remaches?
Datos: D = 0,50 [cm] = 0,0050 [m]; c = 3,0x108 [N/m2]
Donde el cambio de velocidad se obtiene usando la Fig.14.
v = v2 – v1 = (10j-(-20j)) = 30 j = 30 m/s Entonces: F = 0,300(30)/0,11= …………
Finalmente: (L/Lo) = ………….
v1 v2
Figura 14
Solución
ELASTICIDAD
01/05/2009 20:13 22Segundo L. Gallardo Zamora
13/04/23 22Segundo L. Gallardo Zamora
El esfuerzo por corte aplicado sobre un remache es: c = FT /A
y para “n” remaches es:
F = n A , con A = D2/4
Ejemplo 4Una esfera de vidrio tiene un radio de 10,0 [cm] a la presión atmosférica normal. (1,013x105 [Pa]). Calcular el cambio de radio “a” de la esfera si: a) es llevada a la luna (presión esencialmente igual a cero) y b) es colocada en el fondo del océano, donde la presión es de 8,0x107 [Pa].
Usando valores: F = …………..[N]
F
-F
remaches
Figura 15
De donde la fuerza tangencial o paralela que se aplica a las placas para desprender un remaches es:
FT = A
Datos: ro = 10,0 [cm] = 0,100 [m]; Po = 1,013x105 [Pa] = 1,013x105 [N/m2] = 1 atm; P1 ≈ 0, P2 = 8,0 x107 [Pa] y Bvidrio = 5,6x1010 [N/m2]
ELASTICIDAD
01/05/2009 20:13 23Segundo L. Gallardo Zamora
13/04/23 23Segundo L. Gallardo Zamora
Solución
a) El cambio en el radio se obtiene del módulo volumétrico: B = – Vo P/V.
de donde: V = – Vo P/B.
Pero: V = (4/3)(r3 – r3o) ≈ 4 r2
o rpor lo tanto: V = 4 ro
2 r = – (4/3)ro
3 (Po – P)/Bque simplificando se tiene: r = – (ro/3)(Po – P)/B
b) En esta pregunta se usa la misma fórmula anterior.
“El uso de valores numéricos y operaciones matemáticas queda como ejercicio para el alumno”
ELASTICIDAD
01/05/2009 20:13 24Segundo L. Gallardo Zamora
13/04/23 24Segundo L. Gallardo Zamora
Trabajo de grupo en aula N° 01
2. Un peso de 450 kgf es suspendido del extremo libre de un cable cuya diáme-tro es 2,54 cm. ¿Cuál es el esfuerzo en el cable?
3. Un alambre circular tiene un esfuerzo de 9,06x105 kgf/m2 producido por un peso de 4,80 kgf. ¿Cuál es el diámetro del alambre?
1. Una alambre de 35 cm de longitud se estira hasta alcanzar una longitud de 35.07 cm. ¿Cuál es la deformación lineal del alambre?
4. Una viga cuadrada de acero, de 4 cm de lado y 5,20 m de longitud soporta una carga que la comprime longitudinalmente en 6,25 mm. ¿Cuál es la magnitud de la carga?
5. Un semáforo de 50 kgf es sostenido mediante dos cables iguales de acero cuyo radio es 1 cm. Si los cables forman un ángulo de 14° con la horizontal, ¿cuál es la deformación longitudinal y la deformación transversal del alambre?
6. Un cubo de latón de 6 cm de lado es sometido a una fuerza uniforme de 2,5x102 N en cada una de sus caras. Calcular la deformación volumétrica del cubo. FIN
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