1° medio Prismas + Teorema de Pitagoras

Objetivo: Desarrollar fórmulas para encontrar el área de superficies y el volumen de prismas

rectos con diferentes bases y cilindros

¿Qué es un prisma?

Cuerpo geométrico formado por dos caras planas poligonales, paralelas e iguales, que se llaman bases, y tantas caras rectangulares como lados tiene cada base.

PRISMA RECTO: Prisma cuyas caras laterales están perpendicular a la base.

¿Qué son los vértices de un prisma?Los vértices son los puntos amarillos del GIF¿Qué son las aristas de un prisma?Son los lados del prisma¿Cuántos vértices y aristas tiene el prisma de

la imagen? 12 vértices y 18 aristas

¿Qué son los vértices de un prisma?Los vértices son los puntos amarillos del GIF¿Qué son las aristas de un prisma?Son los lados del prisma¿Cuántos vértices y aristas tiene el prisma de

la imagen? 12 vértices y 18 aristas

Calculemos el área de superficie de los siguientes paralelepípedos.

¿Qué es el área?

El área es la medida de la región o superficie encerrada por una figura geométrica.

Área de un lado:𝐴 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 = 3 3 = 9 𝑐𝑚

Existen 6 lados o caras del cubo y cada una tiene área de 9. Por lo tanto:

𝐴 = 9 𝑐𝑚 6 = 54 𝑐𝑚

Área de la base:𝐴 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 = 3 2 = 6

Existen 2 bases por lo tanto:𝐴 = 6 2 = 𝟏𝟐

Área de los lados:𝐴 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 = 6 3 = 18

Existen 4 lados laterales, por lo tanto:𝐴 = 18 4 = 𝟕𝟐

Área total prisma: 𝟏𝟐 + 𝟕𝟐 = 84

¿Cómo calcular el volumen de prismas y cilindros?

¿Cómo calcular el volumen de prismas y cilindros?

¿Qué es el VOLUMEN?

Cualquier figura TRIDIMENSIONAL puede llenarse completamente con cubos congruentes y partes de cubos. El volumen de una figura geométrica es la cantidad de cubos que pueden contener. Cada cubo, representa una unidad de medida llamada unidad cúbica.

¿Cómo calcular el volumen de prismas y cilindros?

¿Cómo calcular el volumen de prismas y cilindros?

Para calcular el VOLUMEN de un prisma recto, debemos identificar su base y calcular su área. Luego el área lo multiplicamos por su altura.

¿Cómo calcular el volumen de un cilindro?

VOLUMEN DEL CILINDRO

1. Área de la base circunferencial

𝐴 = 𝜋 𝑟 = 3,14 2 = 3,14 4 = 12,56 𝑚

2. Multiplicar el área basal por altura del cilindro

𝑉 = á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 12,56 𝑚 5 𝑚 = 62,8 𝑚

Actividades: Páginas 202 y 203

Calcula el volumen de cada cuerpo geométrico según su descripción.

a) Cubo de arista

b) Cubo de arista

c) Prisma rectangular de aristas y

d) Cilindro de área basal 𝟐 y altura

1.Calcula: un prisma tiene de altura y una base

cuadrada. Tiene un volumen de 𝟑, ¿Cuál es la longitud de su arista basal?

2.Un cilindro tiene de altura y radio . ¿Cuál es su volumen?

Para estimar el área de un prisma o cilindro se pueden elaborar sus redes en el plano y estimar el área de las figuras 2D que la forman.

Los prismas reciben su nombre de acuerdo a la base poligonal.

Ejemplo:

Un prisma de base poligonal cuadrada, se llama prisma cuadrangular.

Objetivo: Desarrollar fórmulas para encontrar el área de superficies y el

volumen de prismas rectos con diferentes bases y cilindros

Identifiquemos los siguientes prismas

¿Qué son las redes de los prismas?

Las redes de los prismas son las siguientes, identifícalas:

Área de prismas rectos y cilindros

El área A de un triángulo de base b y altura correspondiente a h, se calcula como:

𝑨 =𝒃 𝒉

𝟐

Área de las cara triangular:

𝐴 =𝑏 ℎ

2=

12 8

2= 48 𝑐𝑚

Existen 2 caras triangulares, por lo tanto:𝐴 = 48 2 = 96 𝑐𝑚

Área de lados rectangulares de 4cm x 10cm:𝐴 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 = 4 10 = 40 𝑐𝑚

Existen 2 lados de 4cm x 10cm, por lo tanto:𝐴 = 40 2 = 80 𝑐𝑚

Área base rectangular 4cm x 12cm:𝐴 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 = 4 12 = 48 𝑐𝑚

Área total del prisma: 96 + 80 + 48 = 224 𝑐𝑚

Área de un cilindro

Consideramos 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒

Suponga que el radio de las bases mide 4 cm.

La altura h mide 6 cm y el largo del cilindro mide 25,12 cm.

Calcule el área del cilindro.

“TEOREMA DE PITÁGORAS”

¿Quien fue Pitágoras?

Filosofo y matemático griego.La comunidad pitagórica estaba rodeada de misterio. Losdiscípulos debían esperar varios años antes de serpresentados al maestro que permanecía oculto detrás deuna cortina y tenían que guardar estricto secreto de lasenseñanzas recibidas. Las doctrinas pitagóricasrepresentaban un estilo de vida, su objetivo era lapurificación de sus miembros por medio de la sabiduría.Afirmaban que la estructura del Universo era aritmética ygeométrica, por lo que las matemáticas y la músicaconstituían disciplinas fundamentales para comprender laarmonía del Universo.

Triángulo rectángulo

Para comprender el Teorema de Pitágoras, primero debemos entender el triángulo rectángulo.

Sabemos que el triángulo rectángulo debe tener un ángulo: _________, lo que quiere decir que mide: ______ grados.

Además, los LADOS de un triángulo rectángulo tienen nombres, y se definen en la siguiente figura.

El lado opuesto al ángulo recto se llama ____________, y los otros dos lados se llaman _____________

El teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras dice:

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

Es decir:

Aplicación del teorema de Pitágoras

Por ejemplo:

Si tenemos un triángulo rectángulo en donde la medida de los catetos son 3 cm y 4 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Calcular:3 + 4 = ℎ9 + 16 = ℎ

25 = ℎ /

25 = ℎ5 = ℎ

Una nadadora decide cruzar el río que se representa en la figura, siguiendo la trayectoria que se señala.

a) ¿Qué distancia recorre la nadadora al cruzar el río?

Objetivo: Aplicar el Teorema de Pitágoras a la resolución de problemas

¿Qué aplicaciones tiene el Teorema de Pitágoras?

¿Qué aplicaciones tiene el Teorema de Pitágoras?

Se desea sostener una carpa con una varilla a la entrada, como se muestra en la figura. ¿Cuál debe ser la longitud de la varilla?

Objetivo: Aplicar el Teorema de Pitágoras a la resolución de problemas

¿Qué aplicaciones tiene el Teorema de Pitágoras?

¿Qué aplicaciones tiene el Teorema de Pitágoras?

Recuerda:

En todo triángulo, la altura cae de manera perpendicular a la base. Además en un triángulo equilátero, la altura divide en dos partes iguales a la base.

Recuerda:

En todo triángulo, la altura cae de manera perpendicular a la base. Además en un triángulo equilátero, la altura divide en dos partes iguales a la base.

¿Cuál es la longitud de la diagonal del ortoedro de la figura?

Objetivo: Aplicar el Teorema de Pitágoras a la resolución de problemas

¿Qué aplicaciones tiene el Teorema de Pitágoras?

¿Qué aplicaciones tiene el Teorema de Pitágoras?

Primero: Calculamos la diagonal del rectángulo de 6 m x 8 m:

6 + 8 = ℎ36 + 64 = ℎ100 = ℎ10 = ℎ

Luego calculamos, la diagonal que se ve de color rojo. Fíjate que los catetos en ese triángulo rectángulo que se forma tiene medidas 10 m y 24 m, por lo tanto:

10 + 24 = ℎ100 + 576 = ℎ676 = ℎ26 = ℎ