1. Relatividad

FÍSICA MODERNA

Héctor CastroProfesor Asociado

Departamento de Física

Texto guía: R. Serway M. Clement, C. Moyer

Física Moderna, 3 edición

Of edif. 404 sala 353 ext. 13056Email: hfcastros@unal.edu.co

RELATIVIDAD

Relatividad, el principio de la relatividad. (Relatividad de Galileo).

Experimento de Michelson & Morley

Postulados de la Relatividad Especial

Consecuencias de la Relatividad Especial

Transformaciones de Lorentz, transformación de velocidad.

Especio-Tiempo, causalidad y aplicaciones.

Momento relativista y energía relativista.

Equivalencia de Masa y energía. Conservación del momento y la energía.

Relatividad General. Relatividad y Electromagnetismo.

ÍNDICE

RELATIVIDAD

1. Galileo / Newton

2. R. Especial

3. R. General

“An Introduction to mechanics” Kleppner and Kolenkov

Caps. 8 y 11

1905 Einstein y otros.

Sistemas inerciales.

V = constante

1916 Einstein y otros

Sistemas acelerados.

V = variable

v

1. SISTEMAS INERCIALES

A. Principio de invarianza de Galileo.

B. Principio de relatividad de Newton

C. Sistema s’ con v =cte respecto s es inercial.

A’. No Existe sistema inercial absoluto: Relatividad Newton / Galileo (s. XVII).

TRANSFORMACIONES DE GALILEO

Invarianza de las leyes de Newton

1ra Ley

2da Ley

3ra Ley

FmamaF xx === ''

Inerciadtdvm

dtdPF ==

Acción - Reacción

v

a’x = ax

t’ = t

Problemas

• Relatividad en problemas planetarios

• Geocéntrico / Heliocéntrico / Galaxia

• Movimiento Aceleración

skmkm

hRV 30)10(

242 4 ≈==πωViajamos en la tierra a

Principio de Ernst Mach: Alemania 1883

“La ciencia de la mecánica”

Tiempo: Matemático y verdaderoIsaac Newton

Espacio: Invariable

Ernst Mach• Tiempo y espacio: Dependen de las propiedades físicas de los relojes y metros.

• Análisis de la mecánica newtoniana.

• Movimiento absoluto y relativo.

• Principio de inercia dep. del universo

• Tiempo y espacio newtonianos son solo

postulados.

EL PROBLEMATICO ETER

Electromagnetismo de Maxwell (1861):

smc 8103×≈

smv Aires 340. =>>

smv Hierros 1000. =

HierroEther ρρ >> Contradicción con la física de fluidos!

Nuevos Fundamentos• Einstein se interesa en ideas de Mach

• Relatividad Galileana no incluye Electromagnetismo! c = cte.

• Ec. Maxwell luz = onda EM, v = c

• Exp. Michelson(1881): nuevas evidencias

• Transf. De Lorentz Nuevos resultados

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

C + V

C - V V

BASES DEL EXPERIMENTO DE MICHELSON

Con , y ml 1=smc 8103×≈

(7)

(8)

INTERFERÓMETRO DE MICHELSON

Patrón de Interferencia

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

k( )

k( )

Para luz azul , reemplazando en (15)mµλ 3.0≈

Para corrimientos distinguibles de λ100

1≈

Resultados: No se observó ningún corrimiento !

st 16min 105 −×≈

∆=∆ωθ

st 18min 105 −×≈∆

(16)

(17)

(18)

(19)

L

3

3L LA

B

CALCULO DETALLADO EXPERIMENTO DE MICHELSON

B

A

∆tB =

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Utilizando

A

AB

B

A

PRINCIPIOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

1. constante.

2. Las leyes de la física y electromagnetismo son invariantes

cvluz =

Transformaciones de Lorentz

tal que

Transformada inversa

VELOCIDAD DEL FRENTE DE ONDA DE LUZ

En S

En S’

Reemplazando x’, y’, z’ y t’ se obtiene

r 222

222

tcr

tcr′=′

=

Utilizando la condición:

Se obtiene

despejando2γ

Transformaciones de Lorentz

−=′ 2c

vxtt γ

γ > 1

DILATACIÓN DEL TIEMPO

Evento puntual (∆x’ = 0)∆t’ = tiempo propio

Se calcula ∆t en terminos de ∆t’

tt ′∆=∆ γ

2

21

122

2

12

cxvtt

cxvt

cxvtt

ttt

′∆+′∆=∆

′

+′−

′

+′=∆

−=∆

γγ

γγ

PÉRDIDA DE LA SIMULTANEIDAD- 2 Relojes sincronizados en S, vistos desde S’

- Ubicados en x1 y x2. En t’o se observan t1 y t2

→−=′−=′ )();( 22

221

1 cvxtt

cvxtt oo γγ

x1 x2

2cxvt ∆

=∆

S

t1 t2

t’o

S’

CONTRACCIÓN DE LAS DISTANCIAS

xx ′∆=∆γ1( ) ( )

xxttvtxvtxx

xxx

∆=′∆⇒=−−−=′∆

′−′=′∆

γγγ

12

1122

12

CONSECUENCIAS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

1. EVENTOS • Son independientes.

• Dependen del sistema de referencia del observador.

2. SINCRONIZACIÓN • Hay sincronización en el mismo sistema de referencia inercial.

• No hay sincronización en diferentes sistemas de referencia.

3. SIMULTANEIDAD Dos eventos simultáneos en un sistema dereferencia que están separados una distancia Xno son simultáneos en otro sistema que semueve a una velocidad V

TRANSFORMACIÓN DE VELOCIDADES

TRANSFORMACIÓN DE VELOCIDADES

Casos límites

−

=′

−

=′

−

−=′

2

2

2

1

1

1

cvu

uu

cvu

uu

cvu

vuu

x

zz

x

yy

x

xx

γ

γ

si ux = c ux’ = c

Ejemplos sobre la contracción de x y la dilatación de t

0

En el sistema s

-

Contracción de una varilla inclinada

'θ

θ

)tan()tan(/

)tan(

arctan

θγθγ

θ

θ

′=′∆′∆

=

∆∆

=

xyxy

Movimiento relativo en X y Y

A

B

Vy

V

Vx

C

x

y

γ

DETECCIÓN DE MUONES

h’

Tiempo de vida y recorrido propios

Distancia recorrida y tiempo visto desde la tierra

PARADOJA DE LOS GEMELOS

A

B 0.99c

B envejece menos:

tt ′∆=∆ γAmbos astronautas pueden pensar que es el otro el que esta en reposo.Ambos piensan que envejeceran menos.Pero efectivamente B envejece menos. Porque?

FORMA RELATIVISTA DE LAS

ECUACIONES DE NEWTONEl momento y la energía se conservan

donde m Newton: Constante

Einstein: función m(v)

SEGUNDA LEY DE NEWTON

La aceleración generada por una fuerza constante decrece!

ENERGÍA RELATIVISTA

Energía total

Energía en reposo

Para una partícula en reposo Para una partícula sin masa

Energías en reposo del electrón y el protón

Ejemplo: fotón

Despejando la energía total

2

ET

moc2

Pc

TRANSFORMACIÓN DEL MOMENTO Y LA ENERGÍA

Momento Energía

Cuadrivectores

LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MASA Y LA ENERGÍA

La relatividad unifica la masa y la energía, entonces la energía total se conserva

Energía de desintegración

1v

2v

3v

calorQ∆0=v

M 3m

2m

1m

2033

2022

2011

2 cmcmcmcM o γγγ ++=

como

Pérdida de masa en reposo: se transforma en energía cinética de los subproductos

A cuánta energía corresponde 1gr de masa?

1,, 321 >γγγ

Energia de desintegracion:

220302010 )( mccmmmMQ ∆≡−−−=

FISIÓN NUCLEAR

Bombas atómicas de Hiroshima y Nagasaki:

Reacción de Fisión Radiactividad

XAz

A: Número de nucleones o masa atómica.

Z: Número atómico o número de protones.

Debe conservarse la carga y el número de nucleones.

236 = 90 + 143 + 3

92 = 37 + 55 + 0

Núcleos inestables.

Interacción débil

n10 3

DEFECTO DE MASA

TM

1m 2mE∆

=U1 Kg2710660.1 −×2/5.931 cMeV

m0

m0

m0

m0

umauma

umauma

m0 U m0 m0 m0

0,177537 uma ~

1 uma

Cuánta energía libera 1Kg de ?U236

Permite encender un bombillo de 100 Watt por 8500 años !

1 Ton (TNT) = 4.18 GJHiroshima 18 KtonNagasaki 25 KTon

= 20000 GJ ~ 5 KTon

FISIÓN NUCLEAR

FISIÓN NUCLEAR

PRIMERAS BOMBAS ATOMICAS

REACTORES NUCLEARES (desechos radiactivos)

FUSIÓN NUCLEAR

Núcleos estables / inestables.

Interacción Fuerte

Se libera FusiónEjemplo: Deuterio Helio

TM

FUSIÓN NUCLEAR

PRODUCCION DE ENERGIA EN EL SOL Y LAS ESTRELLAS

CONFINAMIENTO DE PLASMA: ENERGIA NUCLEAR LIMPIA

PRODUCCIÓN DE PARES

M es necesario para que se conserve el momento.

Un solo fotón no puede crear una sola partícula porque no se conserva la carga.

Conservación de la energía

Conservación del momento

Sin un tercer cuerpo

Sin un tercer cuerpo no se satisfacen las ecuaciones de conservación

)

γ_

γ_

APLICACIONES: PET, Análisis de materiales, Interacción Rad. Materia

TRANSFORMACIÓN RELATIVISTA DE LOS CAMPOS E Y B

Si las placas se desplazan con velocidad v

B

+JJ

kEo

εσ

=

vEc

vEB oo 21)( == εµ

Deducción de E

Deducción de B

jvB o

σµ=

CONDENSADOR DE PLACAS PARALELAS EN MOVIMIENTO

E

y

x

zy

xz

jvB

JlBl

o

o

σµ

µ

=

=

CUÁLES SON LOS CAMPOS MEDIDOS EN S’?

La deducción general es larga. Los resultados son:

si

si

CAMPOS ELECTRICO Y MAGNETICO SE MEXCLAN

DE LA LEY DE COULOMB A LA DE BIOT-SAVART

Ley de Coulomb

0'=B

Para un flujo de cargas

x

'x

'yy

q

v

Ley de Biot-Savart

Evc

B′×−= 2

1

rvrqB

rvrq

cB

o

o

′×′

−=

′×′

−=

2

22

4

41

πµπε

Relatividad unifica BE

, Fuerza electromagnética

Espacio-tiempo

Energía, masa y momento relativista

Cuadrivectores

),(invariante222 ctrtcr →=−

2µA

Norma invariante

RELATIVIDAD GENERAL

Principio de equivalencia

Todas las leyes de la física son válidas en sistemas de referencia

inerciales y no inerciales.

Sistemas no inerciales Acelerados

No se puede distinguir entre un sistema acelerado y un sistema con campo gravitatorio.

Mach

Einstein

Principio 1

Relatividad especial

1905Relatividad general

(1916)

Sistemas de referencia inerciales

Sistemas de referencia no inerciales: Gravedad.

Sistema acelerado:

Fuerza ficticia

Principio de Equivalencia

BA ≡A B

Curvatura de la luz

Sistema no inercialHaz de luz visto desde un sistema inercial

Detectado por Eddington 1919

a

aa

S∆

α

LA LUZ TIENE MASA !

Corrimiento al rojo gravitacional

- Corrimiento al rojo de la luz que emiten los átomos en estrellas

- Relojes corren más lento en un campo G

Verificado experimentalmente por: - Pound et al. 1960, ef. Mossbauer, tierra- Shapiro et al. 1971, radar planetas

HUECOS NEGROS

Nada, ni siquiera la luz, puede escapar!

2

2cMGRG =

“Singularidad del espacio-tiempo”

Radio de Shwarzschild

(para el sol RG= 3Km)

Predichos teóricamente por

R. Oppenheimer (1939)

PREDICCIONES Y PRUEBAS DE LA RELATIVIDAD GENERAL

- PRECESION DEL PERIHELIO DE LA ORBITA MERCURIO 191643 ARC/SEC POR CADA 100 AÑOS (conocido experimentalmente desde antes)

- CURVATURA DE LA LUZ EDDINGTON 1919

- CORRIMIENTO AL ROJO POUND 1960

- HUECOS NEGROS (comprobado)

- ONDAS GRAVITACIONALES (aun no detectadas!)

PARTÍCULAS MEDIADORAS DE LAS FUERZAS

• Electromagnética:

• Gravitacional:

• Fuerte:

• Débil:

• ¿Quinta fuerza?

• Fotón

• Gravitón

• Bosón de Higgs

• mesones0,, ZWW −+

Unificación?

CONSECUENCIAS Y APLICACIONES DE LA RELATIVIDAD GENERAL

• Ondas gravitacionales

• Partículas gravitacionales: Gravitón

• Masa causa curvatura del espacio

• Luz viaja siguiendo la geometría del espacio: Geodésica

Geometría Riemanniana• Líneas paralelas se cruzan: Meridianos.

∑=

>3

1º180

iiθ

∑=

<3

1º180

iiθ

Curva positiva

Curva negativa