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Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
1
Beatriz Mattar
2009
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
2
Fecha de catalogación: 05/06/2009 UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN
Rector:
Dr. Ing. Benjamin Kuchen
FACULTAD DE FILOSOFÍA, HUMANIDADES Y ARTES
Decano: Lic. Paolo Landini
Vice Decana:
Prof. Selva Yaraví Sugo
Secretaria de Extensión Magíster Adelina Itatí Peinado
Editor: effha
Jefe Departamento Publicaciones: Alfredo Ginbert Publicación autorizada por el Consejo Editorial de la Facultad de Filosofía, Humanidades y Artes Tirada: 150 ejemplares Edición: primera Impreso en San Juan, Argentina – Printed in San Juan, Argentina Hecho el depósito que determina la Ley 11.723 ISBN- 978-950-605-580-6 Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida en forma total ni parcial por cualquier medio de impresión o digital, en forma idéntica, extractada o modificada en español o en cualquier otro idioma, sin autorización previa por escrito del autor y de la editorial.
Diseño de tapa: Juan Ignacio Zini y Maria Sol Mattar
Mattar, Beatríz Enseñar y aprender lógica. - 1a ed. - San Juan : Univ. Nacional de San Juan, 2009. CD-ROM. ISBN 978-950-605-580-6 1. Lógica.Enseñanza. I. Título CDD 160.071 1
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
3
A mis hijos Germán, Carolina,
Gabriela y Gerardo. De ellos aprendí
que enseñar es también amar.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
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INDICE
Introducción 5
¿Qué es la Lógica? 9
Recursos Simbólicos y Formas de Silogismos 23
Fórmulas, Esquemas, Leyes y Reglas del Cálculo Proposicional 29
Proposiciones e Inferencias Disyuntivas 36
Condicional e Implicación. Bicondicional y Equivalencia 43
Relaciones Lógicas entre Proposiciones 50
Propuesta de Evaluación del Aprendizaje de Lógica Formal 74
Trabajos Prácticos para Lógica Formal 95
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
5
INTRODUCCIÓN
La lógica es una disciplina que se encuentra incorporada en los planes de estudios
de pocas carreras universitarias. Fundamentalmente se considera un contenido necesario
para los alumnos de matemáticas, informática o alguna otra carrera relacionada con las
ciencias exactas.
En el ámbito de las ciencias humanas figura en los planes de estudios de filosofía y
en algunos casos está incorporada como conocimiento complementario en la formación
académica de abogados y educadores.
Ciertas instituciones universitarias con carreras humanistas o sociales la entienden
como un conocimiento propedéutico útil y por lo mismo constituye un módulo de
enseñanza en el curso de ingreso.
En el nivel de educación medio también está incluida como una unidad de
aprendizaje en la materia ―Filosofía‖.
El escaso espacio académico dedicado a la enseñanza de la lógica en el sistema de
educación formal humanista generalmente se encuentra fundamentado en la consideración
de la lógica como un saber demasiado abstracto, alejado de las necesidades de formación de
tales profesionales e ―inútil‖ para la vida cotidiana.
Resulta paradójico que en cualquier contexto de actividad se demanda la necesidad
de ―personas lógicas‖, que sean capaces de encontrar ―soluciones razonables‖ a los
problemas de la vida cotidiana.
Por su parte el sistema de educación formal espera que al ingresar al nivel
universitario, el alumno sea capaz de manejar el pensamiento abstracto y que pueda pensar
crítica, reflexiva y creativamente.
La reforma del Sistema de Educación formal argentina promovida a partir de 1993
fijó contenidos curriculares básicos. La propuesta de contenidos conceptuales para la
formación filosófica incluyó un bloque de contenidos de lógica con la expectativa de que
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
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los futuros docentes conozcan, comprendan y apliquen los métodos de análisis de los
argumentos propios de la lógica a partir del lenguaje natural y de lenguajes formalizados.
Además de estar contemplada para la formación orientada en filosofía, la lógica
estaba implícita en los contenidos procedimentales de otros capítulos de contenidos. Allí
figuraba como expectativas de logro que los docentes adquirieran las disposiciones
intelectuales para el pensamiento crítico y reflexivo acerca de los problemas de otras áreas
disciplinares. Gran parte de estos contenidos procedimentales están relacionados inmediata
o mediatamente con la lógica: detectar ambigüedades y/o vaguedades, identificar tesis
principales y secundarias, identificar y explicitar supuestos, construir y reconstruir
argumentos, comprender críticamente ideas y teorías, comparar tesis divergentes, emitir un
juicio fundamentado, etc. Todos ellos son procedimientos lógicos y/o con fundamento
lógico.
En efecto, los procedimientos propios de la lógica son instrumentos que favorecen
la comprensión y el tratamiento de los contenidos de otras áreas de conocimiento porque en
gran medida fundamentan la educación para el pensamiento.
Esta paradójica cuestión de reconocimiento y falta de reconocimiento de la lógica
en la educación formal quizás se explique por el doble carácter de la lógica: ciencia y arte.
En la enseñanza de la lógica, los conocimientos y habilidades prácticos conviven con los
conocimientos teóricos. Por ello, pensar en la enseñanza de la lógica es pensar en la
formación de alumnos que no sólo conozca las técnicas, ni sólo la teoría sobre ellas, sino
que desarrollen los recursos adecuados para la especulación teórica y la habilidad de
aplicación.
La búsqueda de la formación de ―personas razonables‖ no constituye una empresa
educativa simple sino muy ambiciosa. Es efecto, es necesario que el alumno pueda: ofrecer
razones; organizar una discusión; valorar consecuencias; clarificar conceptos; reconocer la
estructura de un argumento; buscar alternativas de argumentación; distinguir entre una
discusión crítica, una justificación, una defensa, una búsqueda de información, una
búsqueda de prueba, una explicación y una deliberación. Parafrasear, dar ejemplos,
contraejemplos, saber identificar la ambigüedad y vaguedad, distinguir extensión e
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
7
intensión de un concepto, manejar distintos tipos de definición, distinguir entre validez y
verdad, entre falacias formales e informales etc.
La cuestión de la enseñanza de la lógica pensada para alumnos de carreras
humanistas es un motivo de inquietud personal que ha abierto diversos interrogantes y
originado algunos intentos de solución, expresados en ciertas modificaciones operadas en
las planificaciones de cátedra y en la práctica áulica. Resulta casi imposible enseñar lógica
a estudiantes de humanidades y no preguntarse, entre otras cosas, por el qué, el cómo y el
para qué de la lógica en este campo disciplinar.
Este libro busca ofrecer algunas respuestas a tales interrogantes generadas a partir
de la reflexión sobre la práctica docente. Por ello se aborda algunos temas que con cierta
frecuencia despiertan perplejidad en los alumnos o generan dificultades de comprensión.
No es un manual de lógica ni pretende suplirlos sino acompañar la lectura de la bibliografía
existente y contribuir a la exposición didáctica de algunos temas. El texto está pensado
principalmente para alumnos de carreras humanistas sin ningún conocimiento previo de
lógica. El acento está puesto en la lógica aristotélica y desde allí se anticipan algunas
vinculaciones con los desarrollos contemporáneos de la lógica formal. Se trata de revalorar
la riqueza que hay en el sentido de la lógica aristotélica y medieval por esto la principal
fuente original indicada desde la cátedra es el Organon.
En ¿Qué es la lógica? se propone y se justifica que recuperar el sentido amplio de la
concepción lógica de Aristóteles permite determinar el qué enseñar de lógica a estudiantes
de humanidades.
Los seis temas que siguen expresan cómo son abordados desde la cátedra para
desarrollar la lógica aristotélica y vincularla con la forma de presentación simbólica.
Recursos simbólicos y formas de silogismos tiene el propósito de puntualizar la
fundamentación lógica del cambio de notación simbólica. Fórmulas, Esquemas, Leyes y
Reglas del cálculo proposicional es una exposición didáctica de clarificación conceptual
que atiende a la dificultad de los alumnos para comprender los niveles del lenguaje lógico-
simbólico. Proposiciones e inferencias disyuntivas compara el tratamiento clásico y
contemporáneo del tema y destaca que el segundo no agrega nueva información.
Condicional e Implicación. Bicondicional y Equivalencia es una presentación didáctica del
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
8
―extraño‖ sentido de la conectiva condicional y acentúa la diferencia entre ―forma
proposicional‖ y ―forma inferencial‖. En Relaciones lógicas entre proposiciones se atiende
a la dificultad que suelen tener los alumnos para vincular información sobre un mismo tema
pero que figuran en diferentes libros de texto o en diferentes lugares de un mismo texto. El
título Evaluación del aprendizaje de la lógica formal expresa claramente que se ofrece una
respuesta a la cuestión de para qué enseñar y aprender lógica en el contexto educativo de
las ciencias humanas. Finalmente se incorpora un conjunto de ejercicios sobre algunos
temas de lógica formal trabajados conjuntamente con el alumno Rolando Mercado para la
realización de Trabajos Prácticos de Lógica I.
El título del libro Enseñar y Aprender Lógica tiene un doble sentido. En primer
lugar busca expresar la idea de que la enseñanza de la lógica me ha conducido a
comprenderla mejor y la reflexión sobre la práctica docente me va enseñando a enseñarla.
En segundo lugar el aprendizaje del alumno manifiesta su nivel de comprensión pero
también enseña sobre las fortalezas y debilidades de la enseñanza recibida. Por ello, el libro
está pensado como un aporte útil a docentes y a estudiantes de carreras humanistas.
En esta presentación no se agota la amplia inquietud que ha ido despertando la
reflexión sobre la enseñanza de la lógica sino que queda abierta al abordaje de otros temas
y a la propuesta de mejores formas de tratamiento áulico.
Agradezco a los alumnos que año tras año, han incentivado mi interés por enseñar
mejor y que me han enseñado a disfrutar de la función docente; a mis profesores y colegas
que me enseñaron a valorar la actitud de indagación y la honestidad intelectual. Finalmente
agradezco a la Facultad de Filosofía, Humanidades y Artes de la Universidad Nacional de
San Juan que posibilita esta publicación.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
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¿QUÉ ES LA LÓGICA?
La definición de ―Lógica‖ se convierte en una cuestión de indagación si se
entiende que ella puede estar condicionada por la perspectiva teórica desde la cual se la
conciba. Diferencias significativas se harán presentes si se la define desde Aristóteles1,
Gottlob Frege2 o John Dewey
3 (sólo por mencionar algunas concepciones diferentes).
La historia de la filosofía da cuenta de diferentes definiciones de lógica derivadas
de cuestiones relativas al modo como se entienda su naturaleza y a la demarcación que se
haga de su campo disciplinar. Así pueden señalarse el surgimiento de algunas dicotomías:
lógica formal/lógica material, lógica docens/lógica utens, lógica clásica/lógica
contemporánea, lógica/lógicas, lógica formal/lógica informal, lógica normativa/lógica
descriptiva, lógica formal/lógica dialéctica, lógica simbólica/lógica filosófica.
A partir de ello es posible abrir algunas cuestiones: ¿cuál es el cuerpo de
conocimientos reconocido bajo cada una de estas denominaciones?, ¿es posible establecer
semejanzas, diferencias y relaciones entre ellas?, ¿cuál es la relación de cada una de ellas
con la filosofía?, ¿la lógica es una disciplina formal y sólo formal?, ¿hay una lógica para
las ciencias exactas y una lógica para las humanidades?
Carlos Alchurrón reconoce que en los textos contemporáneos de lógica se “ha
perdido la costumbre” de comenzar caracterizando la lógica y deslindarla de otras
disciplinas. También interpreta este hecho como un síntoma de madurez de la lógica
puesto que:
“... la disminución de la extensión dedicada a la definición de la disciplina y su
comparación con otras es un rasgo que acompaña el enriquecimiento intrínseco de toda
ciencia. Cuanto más abundante es el material a exponer en una ciencia menos es el
espacio que se reserva a la definición de su área temática y al deslinde con otras
ciencias”.
Sin embargo, podría resultar también pertinente interpretar la falta de espacio
dedicado a la definición de la lógica en los textos contemporáneos, como el reflejo de
1 Aristóteles. 1977. Tratados de Lógica. México. Porrúa. p. 71 y 223
2 Frege, Gottlob. 1984. Investigaciones Lógicas. Tecnos. Madrid. p. 49
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
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producciones científicas ubicadas bajo un determinado ―paradigma‖. Es decir, de
producciones científicas correspondientes a un período de ―ciencia normal‖4 y por lo
mismo es superfluo detenerse en la delimitación del campo disciplinar. Sin embargo, en
ciertas ocasiones resulta necesario hacerlo. El mismo autor reconoce que:
“... no son pocos los momentos en que el desarrollo mismo de una ciencia
depende de una adecuada reflexión filosófica sobre el área temática de la disciplina. Tal
es el caso de la lógica en su último siglo de vida”. 5
Por una parte, la ruptura del auge del modelo neopositivista, producida alrededor
del siglo XX, se asocia claramente al señalamiento de las limitaciones de la lógica formal
para fundamentar el proceso epistemológico de las ciencias humanas, a la vez, se renueva
la vinculación con la retórica y la argumentación no formal.
Por otra parte, en Argentina, la pasada reforma educativa motivó discusiones
sobre los límites disciplinares. La propuesta de contenidos básicos curriculares
promovidos finalizó incluyendo bajo el epígrafe de Lógica, no sólo contenidos de lógica
formal sino también contenidos de argumentación informal y temas de filosofía de la
lógica. Esta definición de contenidos impone adoptar una concepción amplia de Lógica.
La historia de la filosofía de algún modo refleja que las discusiones acerca de lo
que es la lógica no es una cuestión nueva. La exposición exhaustiva de las diferentes
concepciones de ―lógica‖6 no es el propósito de este trabajo, sólo se busca destacar que
han existido diferentes modos de concebirla.
Platón7 no habla de lógica sino de Dialéctica, y en el contexto de una reflexión
sobre la forma de razonar, señala los procedimientos de análisis y síntesis conceptual
como forma de garantizar el rigor del conocimiento de lo que ―realmente‖ existe, es decir,
las ideas. Sin dudas, en esta concepción no es posible separar la ―técnica de argumentar‖
3 Dewey, John. 1955. La reconstrucción de la filosofía. Madrid-Buenos Aires-México. Aguilar. p. 195-222
4 Se hace referencia a la concepción de Kuhn sobre la historia de la ciencia y a sus momentos.
5 Alchurrón, Carlos E. 1995. ―Concepciones de la lógica‖ en Lógica, Enciclopedia Iberoamericana de
Filosofía. Madrid. Ed. Trotta. 6 Para una exposición y clasificación de concepciones de la lógica se puede consultar Deaño, A. 1980. Las
concepciones de la Lógica. Madrid. Ed. Taurus. 7 Platón, El Sofista o del Ser en Diálogos Escogidos. Buenos Aires – México – Río de Janeiro. Ed. El Ateneo.
1957.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
11
de la metafísica. Su discípulo, Aristóteles, es el primer sistematizador de las diferentes
formas de argumentación y es quien refleja la más rica y amplia concepción de la lógica.
Durante el medioevo, gran parte de los problemas lógicos fueron tratados
conjuntamente con problemas del lenguaje, reservándose el uso del término ―lógica‖ para
referirse a los temas que Aristóteles desarrolla fundamentalmente en los Primeros
Analíticos. Santo Tomás de Aquino entiende a la lógica como “ciencia de las segundas
Intenciones”.8 Esto significa que su objeto de estudio no es la realidad exterior, ni la
materialidad lingüística, ni el mecanismo mental, sino las obras del entendimiento. En
este sentido se ubica en línea de continuidad con el propósito aristotélico de deslindar el
ámbito lógico, del psicológico y lingüístico pero restringe la concepción aristotélica
limitándola al tratamiento de la argumentación analítica.
Lógica como ciencia formal
En la lógica es imprescindible considerar su sentido formal porque está presente
desde el planteo aristotélico, porque configura el cuerpo de conocimientos ampliamente
desarrollado por la lógica contemporánea y porque está indiscutiblemente reconocido
como tal.
La Lógica Formal es la ciencia de la validez formal de la inferencia. Ello implica
reconocer una serie de características que producen ya una delimitación de su campo
disciplinar.
Desde las primeras obras lógicas de Aristóteles aparece con claridad la naturaleza
formal y universal de la lógica. Así, puede decirse de ella que es la ciencia que reconoce y
sistematiza los esquemas de inferencia prescindiendo del contenido de los razonamientos.
Por lo mismo, dichos esquemas o formas de razonamiento adquieren el carácter de
universal ya que pueden ―llenarse‖ con cualquier contenido. En decir que la universalidad
se deriva de la formalidad. Si en Aristóteles no estuviera presente el carácter formal de la
lógica no podría ser universal porque lo formal tiene que ver con considerar sólo la
estructura de los razonamientos sin prestar atención a los contenidos y la universalidad de
una estructura de razonamiento es su posibilidad de ser usada en cualquier campo de
8 Santo Tomás de Aquino. Metafísica. Lect. IV en Bochenski, (1968). p. 166.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
12
conocimientos. Esta es una idea muy clara en Aristóteles, por eso distingue entre
razonamiento válido y demostrativo. En la Primeros Analíticos trata sobre el razonamiento
válido y en los Segundos Analíticos trata del razonamiento demostrativo. Si se parte de
primeros principios verdaderos (propios de cada ciencia) y se razona analíticamente, se
pasa de verdad a verdad. Se pasa del razonamiento válido al razonamiento demostrativo.
Para Aristóteles, el filósofo, el biólogo, el físico, el matemático, etc. usan las mismas
estructuras de razonamiento por eso es una formalidad universal. De ahí que las formas de
silogismos válidos son ―estructuras de razonamientos típicas‖.
Pero el cometido de la lógica formal no es constituir una colección de esquemas
válidos de inferencias sino que es la ciencia de la validez formal, y como tal constituye un
Sistema Deductivo cuyos enunciados expresan los principios de los modos válidos de
inferir. Ellos son los modelos válidos en cualquier campo de raciocinio, y por lo tanto son
modelos abstractos. Por eso la lógica es también una ciencia abstracta.
Ahora bien, si los principios lógicos valen para cualquier contenido y son el
marco formal para cualquier conocimiento de objetos entonces los principios lógicos
gobiernan los principios del inferir válido de todas las demás disciplinas y también
gobierna los propios. En este sentido, se dice que la lógica es una Ciencia pura pero
también una Metaciencia.
Además, en la medida que esa ciencia proporciona la ―habilidad‖ para formular
argumentaciones correctas, se dice que es un Arte, y por lo mismo, tiene un irrenunciable
sentido instrumental. De ahí que, la lógica no sólo es ciencia y metaciencia, sino también
instrumento de toda actividad de pensamiento.
Todo lo dicho acerca de la lógica hasta el momento es una consecuencia de su
naturaleza formal y está presente en la concepción aristotélica.
Sin embargo es posible encontrar algunas diferencias significativas entre la
formalidad de la lógica aristotélica y la formalidad de la lógica simbólica, propia del
siglo XX.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
13
Suele señalarse como diferencia entre la lógica aristotélica y la lógica
contemporánea, el uso del simbolismo en la segunda. Colbert9 señala que salta a la vista
la diferencia entre una página de Principia Mathematica de Russell y una página del
Organon de Aristóteles por el enorme aparato simbólico de la primera.
Agazzi destaca que el paso de la lógica formal a la lógica simbólica está dado
porque en la primera se simbolizan sólo los términos no lógicos (términos
categoremáticos) de los razonamientos, mientras que en la segunda se avanza en la
simbolización de los términos no-lógicos (términos sincategoremáticos). Reconoce la
línea de continuidad entre la lógica aristotélica y la lógica simbólica, pero el simbolismo
marca una diferencia, un quiebre entre la formalidad tradicional y la actual. La imagen
gráfica podría ser así:
Formalidad Formalidad
Clásica Contemporánea
Sin embargo, creo que ésta no es una diferencia sustantiva, puesto que si bien la
formalidad contemporánea es ―simbólica‖, podría decirse que la formalidad aristotélica es
―simbolizable‖. En los Primeros Analíticos, Aristóteles presenta la teoría del silogismo
categórico introduciendo símbolos sólo para los términos categoremáticos,10
pero en La
Silogística Aristotélica Luckasiewicz presenta la misma teoría en forma totalmente
simbólica. Ello constituye el más claro indicador de que el carácter de ―simbólica‖ es sólo
un derivado del carácter ―formal‖ de la lógica. La simbolización de la lógica significa el
perfeccionamiento del lenguaje utilizado para expresar la teoría. No puede, en este caso,
hablarse de diferencia cuando no marca ningún quiebre con relación a la naturaleza
formal de la lógica. El simbolismo es como el ropaje más adecuado para el desarrollo de
9 Colbert, J. 1968. La evolución de la lógica simbólica y sus implicancias filosóficas. Pamplona. Ed.
Universidad de Navarra. p. 15 10
La historia de la lógica registra que el uso de simbolismo en la lógica se da también en los estoicos que
emplearon números para representar proposiciones. Consultar Kneale, W. y M. 1980. El Desarrollo de la
Lógica. Madrid. Técnos.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
14
la lógica formal; del mismo modo que si a un atleta se le eliminan todos aquellas
limitaciones externas que le dificultan sus movimientos entonces se le brinda la
posibilidad de tener un mejor y mayor rendimiento físico. Lo que se quiere destacar es
que la posibilidad de simbolización radica en el carácter formal de la lógica. La lógica
contemporánea puede ser simbólica porque la lógica desde Aristóteles es formal.
Los desarrollos contemporáneos suman la adaptación de la lógica al modelo
matemático de organización y presentación en forma de cálculo.11
Contemporáneamente se acentúa y extrema la formalidad de la lógica aunque se
limita su universalidad. Los principios lógicos ya no son considerados omniaplicables,
sino que aparece la idea de ―principios relativos a un determinado sistema‖. Se inicia un
proceso de creación de una diversidad de Sistemas Lógicos, por ello es posible hablar de
Lógicas y no de Lógica.
Generalmente se habla de “Lógicas Clásicas” para hacer referencia a los sistemas
de lógica asertórica, bivalente y extensional; y de “Lógicas No-Clásicas” para referirse
a otros sistemas que son alternativas globales o parciales de la lógica clásica.12
La
limitación de la omniaplicabilidad de la lógica no significa una limitación de la
formalidad ni la deductibilidad de los sistemas.
Para la formalidad simbólica, el ámbito de la lógica contemporánea se superpone
con la lógica formal. Es decir que la lógica simbólica es en toda su extensión, lógica
formal. En este caso, la expresión gráfica debiera ser la siguiente:
11
Boole, George, 1979, El Análisis Matemático de la Lógica, Madrid, Cátedra, p. 3/5. 12
Haack, Susan. 1982. Filosofía de las Lógicas. Madrid. Cátedra. p. 23/30.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
15
El cuadro que sigue puntualiza las diferencias significativas entre la formalidad
aristotélica y la formalidad contemporánea:
Lógica formal
Lógica Formal Clásica Lógica Formal Matemática
Lógica Formal Matemática
Clásica
Lógica Formal
Matemática No-Clásica
Formal
Universal
Abstracta
Deductiva-Inductiva
Formal
Universal
Abstracta
Deductiva
Formal
Abstracta
Deductiva
Sistema Axiomático Sistema Axiomático
Sistema Simbólico
Sistema de Cálculo
Sistemas Axiomáticos
Sistemas Simbólicos
Sistemas de Cálculo
Principios formales de
Todas las ciencias
Principios formales de
Todas las ciencias
Principios formales de
Porciones de
Conocimiento Científico
Instrumento de Toda
actividad de
Pensamiento
Instrumento de Toda actividad
de pensamiento
Instrumento de Tipos de
actividad de pensamiento
En el contexto de la comunidad científica de lógicos no hay dudas respecto al
reconocimiento de todos los desarrollos (clásicos o contemporáneos) de lógica formal,
como pertenecientes al campo disciplinar de la lógica. Por lo mismo constituyen
contenidos transpuestos desde las cátedras de Lógica, tanto en el nivel de educación
media como universitaria.
Pero la lógica ¿es sólo lógica formal o es más que lógica formal?
Lógica: ciencia y filosofía
Para Deaño “la lógica puede y debe ser más que lógica formal pero ha de ser
también y necesariamente lógica formal y ha de serlo en esa forma matematizada que ha
adoptado contemporáneamente”.13
Ahora bien, ¿qué es ese ―algo más‖ de la lógica
formal que es parte de la Lógica?
13
Deaño, A. 1980. Las Concepciones de la Lógica. Taurus. Madrid. p. 295/299.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
16
Una posible respuesta pasa por la consideración de la ―autocriticidad‖ de la lógica,
derivación necesaria de su omniaplicabilidad y metacientificidad. En efecto, si la lógica
es ciencia de las ciencias su omniaplicabilidad la alcanza a ella misma. Es decir que es
una ciencia que se dobla sobre sí misma, estudia sus propias leyes formales y
conceptualiza sus propias condiciones de posibilidad. Esto hace de la lógica una
disciplina Filosófica, y esta Lógica Filosófica es el ―algo más‖ de la lógica formal.
Es decir que, para este autor, la lógica como ciencia positiva es lógica formal y la
auto-reflexividad sobre el despliegue de sus supuestos e implicaciones, sobre sus
fundamentos no formales, sobre su trascendencia filosófica, etc. le da su carácter de
disciplina filosófica.14
Sostiene Deaño:
“ ... se me antoja deseable concebir una Lógica General, una Lógica a secas –
una lógica filosófica, y, en sentido más específico, una lógica trascendentalizada – que
pasando necesariamente por la lógica formal formalizada despliegue hasta el final las
implicaciones filosóficas de esta” 15
Así distingue tres planos de consideración de la lógica formal: un nivel técnico,
otro nivel conceptual y un tercer nivel trascendental. Los dos segundos constituyen la
lógica filosófica pero presuponen y necesitan de la lógica formal formalizada. Es decir
que se daría la siguiente configuración de la Lógica General propuesta por este pensador:
Lógica General:
Lógica formal: ciencia positiva (análisis y definición de la validez formal de
los razonamientos)
Lógica filosófica:
Conceptual: lógica como instrumento de análisis y exploración conceptual
(análisis formal del lenguaje con la función de reconstruir conceptos)
14
Deaño, Alfredo. 1980. op. cit. p. 336/345. 15
Deaño, Alfredo. 1980. op. cit. p. 339/340
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
17
Trascendental: lógica como ontología y gnoseología formal (análisis de las
condiciones formales de posibilidad del conocimiento)
Lógica
Lógica General Filosófica
(Nivel Conceptual)
Lógica
Formal
(Nivel técnico)
Lógica
Filosófica
(Nivel Trascendental)
La opinión de Deaño es que la lógica puede y debe ser más que lógica formal,
aunque ha de ser también y necesariamente lógica formal matematizada.
Sin embargo entiende que considerar a la lógica matemática como algo ajeno a la
filosofía y alejado de la verdadera lógica es desconocer la historia y el proceso de
gestación de la lógica contemporánea. Además, entenderla sólo como la construcción y el
manejo de lenguajes formales es olvidar que ―lógica‖ viene de ―logos‖ y que no toda
racionalidad es racionalidad formal.
Lorenzen expresa una posición semejante a la de Deaño. Entiende que la lógica
formal es parte de una lógica general. Dice:
“La lógica, como disciplina filosófica, es, esencialmente, la teoría de la
fundamentación de todas las ciencias. La lógica formal es una parte especial, aunque
imprescindible de aquella” 16
Esta idea de la lógica puede quedar expresada gráficamente del siguiente modo:
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
18
Lógica General
Lógica Formal
Desde esta perspectiva, la ampliación del campo disciplinar de la lógica no pasa
por la ampliación del su campo como ciencia positiva, es decir incorporando como objeto
de estudio lógico a otras formas inferenciales además de las formales, sino que busca
retomar la tradición filosófica que la considera como una disciplina del campo filosófico.
Esta dimensión comienza a cuestionarse a partir de los desarrollos contemporáneos que la
aproximan a la matemática y parecen independizarla de la filosofía.
Lógica formal y lógica informal
Otra línea de respuesta posible ha consistido en ampliar el campo disciplinar en su
nivel técnico. Es decir, ampliar el campo de la lógica como ciencia positiva.
La presentación de la lógica como cálculo plantea el conflicto entre lenguajes
artificiales (formales) y lenguaje natural, entre la lógica de los lógicos y la lógica natural
o lógica del sujeto, entre la teoría lógica pura y la lógica en ejercicio en diferentes
campos de conocimiento. Este conflicto hace presente el problema de la fertilidad
instrumental de la lógica en los campos de conocimiento señalados, y abre la puerta a la
―Teoría de la argumentación‖.17
Pero, ¿la lógica informal, pertenece por derecho propio
al campo disciplinar de la lógica o sólo se le llama lógica por analogía con la lógica
formal?
Entre las obras lógicas aristotélicas, los Tópicos y las Argumentaciones Sofísticas
frecuentemente son presentadas como muestra del pensamiento lógico de Aristóteles en
su estado de inmadurez, sin embargo son las obras donde aparece la más amplia, rica y
16
Lorenzen, Paul. Pensamiento Metódico. p. 20 17
Perelman, Ch. y Olbrechts-Tyteca. 1989. Tratado de la Argumentación. Madrid. Gredos. p. 30/43
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
19
ambiciosa concepción de la lógica. Aquí se muestra que la lógica formal es la
sistematización simplificada de la actividad ―natural‖ de estimación de la validez de los
argumentos que los sujetos realizan espontáneamente; que además de los razonamientos
apodícticos están los razonamientos dialécticos y que la diferencia entre ambos está dada
en función del contenido del razonamiento.
La distinción entre el razonamiento apodíctico y el razonamiento dialéctico abre
desde Aristóteles, un doble camino a la investigación lógica. Sin embargo el desarrollo
del razonamiento dialéctico ha quedado como el ―miembro atrofiado‖ de su cuerpo
teórico. El siguiente cuadro sintetiza la caracterización que Mauricio Beuchot18
realiza de
la concepción aristotélica de la argumentación:
Analítica Tópica – Dialéctica Tópica – Retórica Fuerza inferencial: Deductiva
Suposición sobre la verdad de los puntos de Partida ( principios o premisas)
Carácter Dialógico (oponente y proponente)
Objetivo: convencer (demostrando/Persuadiendo)
Premisas Evidentes
Axiomas
Reglas de Inferencia
Verdad Evidente
Sistema Axiomático
Premisas Contingentes y Opinables
Reglas de Inferencia
Verdad Pragmática, por Convención
Sistema de Reglas/Esquemas de Procedimiento
Teoría de la Demostración Teoría de la Persuasión Dialógica
(Método de la disputa)
Teoría de la Acción con
fundamento Ético
T. de la argumentación
(intelecto)
+
Psicología (emociones y
pasiones)
(para la verdad y del bien)
Objetivo: Demostrar
por medio de un solo acto
Objetivo: Persuadir y movilizar las
creencias
Por medio de un Proceso
Objetivo: Movilizar la
inteligencia y la voluntad (bien
público)
Silogismo Categórico
Silogismo Hipotético
Conclusión Necesaria
Silogismo Tópico
Conclusión
Probable/Plausible/Verosímil
Razonamiento Entimemático o
Deducción Retórica
Paradigma/Ejemplo o
Inducción Retórica
Conclusión Persuasiva
18
Beuchot, M. 1985. ―Teoría de la argumentación en Aristóteles‖ en Revista de Filosofía. Nº 52. México.
Universidad Iberoamericana. p. 79/88.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
20
Los desarrollos contemporáneos de la lógica formal retoman y hacen avanzar la
sistematización de la inferencia apodíctica, y actualmente nadie se atrevería a negar,
como ya se dijo, que este campo de investigación es propiamente lógica. Sin embargo, los
desarrollos de la argumentación cotidiana parecen inscribirse en un capítulo aparte con la
denominación de Lógica Informal.
Si la lógica nace y se desarrolla como disciplina formal, aparentemente la lógica
informal estaría fuera de su ámbito, pues no se ajustaría a alguna de las características de
la ciencia lógica. Sin embargo la originaria preocupación lógica aristotélica fue el estudio
de las formas de pensamiento cotidiano. Nadie puede negar que los hombres usan más
formas de razonamiento que las que sistematiza la lógica formal tanto en el uso
argumentativo cotidiano como en el proceso de investigación filosófica y científica.
Nadie puede negar que Aristóteles desarrolla formas de argumentación dialéctica.
Lo que se pretende destacar es que originariamente la lógica era considerada una
disciplina filosófica mientras que en la actualidad se la ubica como una ciencia
independiente y más próxima a la matemática. Hoy la lógica se vincula con el desarrollo
de sistemas formales deductivos, aunque también se señalan las limitaciones de estos para
modelizar las formas de razonamiento cotidiano y que se usan en el campo de las ciencias
humanas. Por ello, a partir de mediados del siglo XX, Perelman propone la necesidad de
recuperar la dialéctica y la retórica aristotélica y comienza a hablarse de una lógica
informal diferente pero complementaria la lógica formal.
Lógica: ¿ciencia normativa o descriptiva?
Una dirección diferente parece darse a la lógica desde la filosofía del empirismo
inglés, a partir de la acentuación del inductivismo.19
Como forma de reacción al
formalismo lógico, Dewey plantea la necesidad de una lógica empírica que refleje las
formas de razonamiento de la investigación científica.20
En este caso, la concepción de la
lógica pierde su carácter de ciencia normativa y pasa a ser concebida como ciencia
descriptiva.
19
Mill, Stuart. 1917. Sistema de Lógica. Madrid. Daniel Jorro Editor. 20
Dewey, John. 1970. La reconstrucción de la Filosofía. Buenos Aires. Aguilar. cap. VII
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21
La lógica de los lógicos matemáticos (desde Boole hasta la actualidad), a pesar de
algunas particularidades, podría considerarse como un bloque de concepciones
homogéneo, en el sentido de que la lógica es el conjunto de Sistemas Formales
Deductivos (clásicos, extendidos o divergentes). Se trata de diversos sistemas de signos y
reglas de derivación que se apoyan en determinados conjuntos de principios lógicos
convencionalmente indemostrados. Tales sistemas prescriben las formas del razonar
correcto, es decir que la lógica es entendida como ciencia normativa.
Paralelamente a los desarrollos formales, ya se mencionó que en el siglo XX
Perelman inicia un camino de rescate de los Tópicos y la Retórica aristotélica. Este autor
entiende que la argumentación no formal es complementaria a la lógica formal y no
rompe con la normatividad de la lógica.
La actual línea de la Teoría de la Argumentación contiene el tratamiento de una
variada gama de aspectos de la argumentación no formal21
pero la oponen a la
argumentación formal y ello lleva a desligarla de cualquier carácter de normatividad.
El siguiente cuadro sintetiza las semejanzas y diferencias entre las posiciones
teóricas con relación al carácter normativo o descriptivo de la lógica:
Formalismo Antiformalismo No Formalismo
Lógica o Lógicas Lógica de la Investigación Lógica Informal Objeto: Estructuras del
Producto de Pensamiento
Objeto: Proceso y Producto de
Pensamiento
Objeto: Estructura no-formal de
toda argumentación
Razonamiento deductivo e
inductivo
Métodos del Pensamiento Toda forma de razonamiento
Criterio de Validez:
coherencia lógica formal
Criterio de Validez: efectividad en
la investigación
Criterio de Validez: adecuación al
tipo de conclusión
Normativa Descriptiva Normativa y Descriptiva
Estructural Histórica Estructural Contextual (psicosocial)
Lógica Formal Lógica experimental Lógica comparativa
21
Johnson y Blair. "Informal Logic: the past five years 1978-1983" en 1985. American Philosophical
Quarterly. Volumen 22. Nº 3. Se presenta bajo el nombre de "Lógica Informal" un amplio campo de
cuestiones, aún no claramente deslindado, y ofrece una organización provisoria de una serie de
monografías, artículos de revistas y libros de textos producidos hasta 1983, referidos a diversos temas
relacionados con las argumentos usados en el lenguaje natural. Todos coinciden en señalar las limitaciones de
la lógica formal y abren la necesidad de repensar la naturaleza del argumento, su estructura, evaluación y
enseñanza.
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22
Las concepciones de la lógica restringidas a lógica formal parecen dejar de lado
parte del sentido del Organon Aristotélico. En efecto, la obra lógica de Aristóteles22
no
puede ser reducida a la teoría del silogismo analítico sino que incorpora las formas de la
conceptualización (Categorías) y de la enunciación (Perí Hermeneia); incluye no solo el
razonamiento formal deductivo (Analíticos Primeros) y demostrativo (Analíticos
Posteriores) sino el razonamiento inductivo, abductivo y analógico, además del
razonamiento dialéctico (Tópicos), sofístico (Refutaciones Sofísticas) y retórico (Retórica).
Además resulta imposible comprender el sentido de la lógica aristotélica sin la Metafísica y
la Ética.
La propuesta que en este trabajo se hace consiste en retomar el sentido de la lógica
aristotélica. Ello no significa limitar la enseñanza a la lógica al estudio de Aristóteles, sino
recuperar una concepción lógica que no la reduce a lógica formal deductiva.
22
Aristóteles, Tratados de Lógica. (El Organon), Editorial Porrúa. México. 1993.
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23
RECURSOS SIMBÓLICOS Y FORMAS DE SILOGISMO
Aristóteles en Primeros Analíticos desarrolla la teoría del silogismo
categórico y de los estoicos proviene el silogismo hipotético. Cualquier manual de lógica
clásica presenta ambas formas de razonamiento en una ―unidad didáctica‖ pero los
manuales de lógica contemporánea rompen con esta unidad expositiva. El tratamiento del
silogismo categórico está incluido en el capítulo de Lógica de Funciones y en el capítulo de
Lógica de Clases; el silogismo hipotético es una forma de razonamiento tratada bajo la
denominación de Lógica Proposicional.
Uno de los propósitos de la enseñanza de la lógica a alumnos de filosofía es que
conozcan la obra lógica de Aristóteles y la reconozcan como raíz conceptual de la lógica
matemática. Por ello en la exposición áulica de la teoría clásica del silogismo se van
anticipando los recursos simbólicos propios de la forma de presentación de la lógica
contemporánea. Esto conduce a los alumnos a comprender una misma cuestión desde
enfoques alternativos y por lo mismo contribuye al desarrollo de varias capacidades
lógicas. Esta presentación refleja la mejor estrategia expositiva que hemos encontrado.
La validez de las formas de silogismo
La fuerza lógica de la deducción radica en que la conclusión de un razonamiento no
afirma más de lo que ya se ha establecido en el antecedente, es decir que implícitamente la
conclusión está contenida en el antecedente. De ahí que en una deducción correcta si se ha
dado el asentimiento al antecedente no se puede dejar de asentir el consecuente. A esta
fuerza de concluir un determinado consecuente de un determinado antecedente se hace
referencia cuando se habla de ―necesidad lógica‖ de la deducción.
Esta necesidad lógica puede deberse a causas lógicas diferentes. La lógica clásica
diferencia entre silogismo categórico y silogismo hipotético. La validez lógica del primero
está dada por la relación que los ―términos‖ mantienen entre sí, mientras que la validez
lógica del segundo radica en la relación entre las ―proposiciones‖ que componen el
silogismo.
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24
A comienzos del siglo XX los desarrollos lógicos contemporáneos aportan los
recursos simbólicos suficientes y necesarios para expresar la forma lógica de estos
razonamientos. La gran ventaja de los recursos simbólicos es que permiten destacar la
estructura de la inferencia y consecuentemente facilitan el análisis de la validez inferencial.
El silogismo hipotético es la forma típica básica de los razonamientos trabajados
contemporáneamente en la ―lógica proposicional‖ y el silogismo categórico es la forma
típica básica de los razonamientos tratados en ―lógica funcional‖ y ―lógica de clases‖.
Para la expresión simbólica de las inferencias en cada uno de estos capítulos de la
lógica se usan diferentes recursos simbólicos.
El cambio de notación simbólica suele conducir a algunos alumnos a preguntar si es
una convención arbitraria y una complicación innecesaria. La respuesta inmediata es que
los recursos simbólicos son una convención arbitraria pero la variación de expresión
simbólica no es una complicación innecesaria. Es necesario comprender el sentido del
cambio de notación simbólica y su inmediata relación con la validez.
Un sencillo ejemplo muestra claramente lo dicho:
―Si los salarios suben, suben los precios‖
―Los salarios suben‖ (1)
―Suben los precios‖
Este razonamiento es un silogismo hipotético formado por una ―proposición
condicional‖ (si los salarios suben entonces suben los precios) y dos ―proposiciones
atómicas‖ o ―proposiciones simples‖ (Los salarios suben y Suben los precios).
En este ejemplo se podría variar no solo los contenidos informativos de las
proposiciones atómicas, sino también su cualidad y cantidad y se observará que la validez
de la inferencia no se altera, si se respeta la estructura. Ella consiste en colocar como
premisa mayor una proposición condicional, como premisa menor la condición de ese
condicional (estableciéndolo) y como conclusión el condicionado del condicional
(estableciéndolo).
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25
Por ejemplo:
―Si todos los salarios no bajan, los precios bajan‖
―Todos los salarios no bajan‖ (1*)
―Los precios bajan‖
―Si algunas plantas florecen sólo en primavera, algunas plantas no son perennes‖
―Algunas plantas florecen sólo en primavera‖ (1**)
―Algunas plantas no son perennes‖
Se podría seguir efectuando indefinidamente cambios en los contenidos y en las
estructuras internas de la proposiciones atómicas sin que por ello se afecte la validez de la
inferencia porque ésta depende de las relaciones que la proposiciones atómicas,
consideradas como una totalidad, mantengan entre sí.
Si se usan los siguientes recursos simbólicos:
―p‖ (expresa simbólicamente la condición de la proposición condicional)
―q‖ (expresa simbólicamente el condicionado de la proposición condicional)
―−‖ (expresa simbólicamente ―no‖)
―→‖ (expresa simbólicamente la conectiva proposicional ―si… entonces‖)
Las formas lógicas de los ejemplos son las siguientes:
1) p → q (1*) − p → q (1**) p → − q
p − p p
q q − q
Si se considera ahora otro ejemplo de razonamiento:
―Algunas serpientes (M) son venenosas (T)‖
―Todas las serpientes (M) son reptiles (t)‖ (2)
―Algunos reptiles (t) son venenosos (T)‖
En este ejemplo se podría variar cuantas veces se quiera los términos ―reptiles‖,
―venenosos‖ y ―serpientes‖ y no se alteraría la validez de la inferencia.
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26
Por ejemplo:
―Algunos herederos de grandes fortunas (M) son empresarios (T)‖
―Todos los herederos de grandes fortunas (M) son respetados‖ (2*)
―Algunas personas respetadas son herederos de grandes fortunas‖
Si se quiere mantener la validez de este tipo de razonamiento no se puede cambiar la
cantidad de la enunciación (todos/algunos), la cualidad de la enunciación
(afirmativa/negativa) ni la ubicación de los términos en la premisas (M - T / M - t).
Del mismo modo que en las inferencias anteriores se debe conservar la estructura
lógica para mantener la validez. La diferencia radica en que la validez de los segundos
ejemplos presentados depende de la relación que tengan los términos diferentes (T y t) con
un mismo tercer término (M). Es decir que la validez esta dada por las relaciones que
mantienen los términos dentro de las proposiciones simples (categóricas o atómicas) y no
por las relaciones que mantienen las proposiciones atómicas.
Por lo tanto en los ejemplos (1), (1*) y (1**) no es necesario considerar la estructura
interna de las proposiciones atómicas porque es irrelevante para la validez de la inferencia;
mientras que en el caso (2) y (2*) es absolutamente necesario tener en cuenta la estructura
interna de las proposiciones simples.
Ahora bien, si se formalizan las dos últimas inferencias con los mismos recursos
simbólicos utilizados para formalizar las tres primeras, la simbolización quedaría expresada
del siguiente modo:
p
q
r
La lógica simbólica también ofrece un método para demostrar la validez inferencial
denominado ―método del condicional asociado‖.23
Si se hace uso del mismo se verá que la
forma proposicional construida es una ―contingencia‖ y no una ―tautología‖24
, lo que indica
23
El método del condicional asociado consiste en formar un condicional que lleva como condición la
conjunción de las premisas y como condicionado la conclusión de la inferencia. Si el análisis veritativo de esa
función proposicional es tautológico entonces la forma inferencial es válida. 24
Una ―contingencia‖ es una forma proposicional cuyo valor de verdad será verdadero o falso según el valor
de verdad de sus partes componentes; y una ―tautología‖ es una forma proposicional siempre verdadera,
independientemente del valor de verdad de sus partes componentes.
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27
que la forma de inferencia es inválida. Sin embargo los ejemplos de razonamientos
presentados son formas válidas.
La razón de este resultado es que los recursos simbólicos utilizados para
formalizarlas son insuficientes, porque no ponen ―sobre relieve‖ los elementos lógicos
pertinentes para poder determinar la validez o invalidez de la inferencia.
Para la formalización de silogismos categóricos resulta necesario distinguir:
a) Sujetos de predicación: Constantes individuales (a, b, c...) (indiv. determinados)
Variables individuales (x, y, z...) (indiv. indeterminados)
b) Predicados lógicos: F, G, H... (no confundir con predicados gramaticales)
c) Cuantificadores: Universal (x) (todo)
Existencial (Ex) (al menos uno)
Una misma proposición debe ser formalizada de diferente manera si va a ser
utilizada en uno u otro tipo de inferencia. Veamos algunos ejemplos:
Proporcionales Funcionales
Pedro es estudiante p Fa
Pedro no es estudiante − p − Fa
Algunos gobernantes son responsables p (Ex) (Fx . Gx)
Algunos gobernantes no son responsables − p (Ex) (Fx . − Gx)
Todos lo ciudadanos tienen derechos p (x) (Fx → Gx)
Ningún ciudadano tiene derecho − p (x) (Fx → − Gx)
La formalización de la estructura lógica de los silogismos categóricos antes
presentados queda expresada adecuadamente introduciendo estos nuevos recursos
simbólicos:
(Ex) (Fx . Gx)
(x) (Fx Hx) (2*) y (2**)
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28
(Ex) (Hx . Gx)
Un nuevo conjunto de recursos simbólicos necesita ser introducido para expresar la
estructura silogística categórica desde el punto de vista de la ―lógica de clases‖. Cada
―predicado lógico‖ se corresponde con una ―clase‖. En efecto, la proposición ―algunas
serpientes son venenosas‖ puede expresar una relación entre los predicados ―ser serpiente‖
y ―ser cosa venenosa‖ o puede expresar una relación entre la ―clase de las serpientes‖ y la
―clase de las cosas venenosas‖. La ―comprensión‖ y la ―extensión‖ son propiedades lógicas
del concepto, por ello se trata de dos formas de mirar el concepto, se trata de mostrar dos
caras de una misma moneda.
Los nuevos elementos de simbolización son:
Clase: A, B, C…
Operaciones entre clases: (intersección)
(unión)
− (diferencia)
Relaciones entre clases: (inclusión)
= y ≠ (igualdad/desigualdad)
Los silogismos categóricos anteriores se simbolizan adecuadamente del siguiente
modo:
A B ≠ Λ
A Ē = Λ
E B ≠ Λ
En síntesis, las razones lógicas que validan a las inferencias ―proposicionales‖ y a
las inferencias ―funcionales/de clases‖ son diferentes y de ellas se deduce la necesidad de
una simbología diferente. Por ello, es importante comprender que el uso de diferentes
recursos para formalizar el lenguaje que expresa las formas de silogismos no es una
arbitrariedad ni una complicación sin fundamento. Por el contrario es una necesidad
derivada de la naturaleza de la inferencia.
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29
FORMULAS, ESQUEMAS, LEYES Y REGLAS EN EL
CÁLCULO PROPOSICIONAL
En las ciencias que versan sobre el lenguaje resulta necesario distinguir entre el
lenguaje por ella investigado, denominado ―lenguaje objeto‖ y el lenguaje en el que se
desenvuelven las investigación, denominado ―metalenguaje‖. Se trata de diferentes niveles
de lenguaje. Los alumnos en general comprenden estos diferentes niveles de lenguaje, sin
embargo suelen manifestar dificultad para relacionar esta información con las nociones de
―formulas‖ y ―esquemas‖, ―leyes‖ y ―reglas‖.
El desarrollo de los contenidos en el aula demanda la presentación de estos
conceptos en diferentes instancias explicativas pero algunas expresiones de incomprensión
de los estudiantes muestra la conveniencia de organizar una exposición que retome e
integre todas estas nociones.
Fórmulas y Esquemas
El lenguaje objeto de la lógica está integrado por expresiones simbólicas formadas
por variables proporcionales. Por ej.: p, (p . q), − (p . q), etc.
Las expresiones simbólicas pueden representar: a) Proposiciones simples o
atómicas, que son la mínima estructura de asentimiento y b) Proposiciones compuestas o
moleculares, que son dos o más asentimientos conectados de diversos modos.
Por ejemplo:
r (1)
Fórmulas atómicas
q (2)
(p . q) (3)
Fórmulas moleculares
(p v q) . (p → r) (4)
Las fórmulas pueden estar bien formadas o mal formadas. Están bien formadas
(FBF) cuando satisfacen las siguientes condiciones:
1) Cuando aparece una variable proporcional sola. Por ej.: p, q, r
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30
2) Cuando la conectiva monádica (negación) precede a la variable
proposicional o a los signo de puntuación. Por ej.: − p, − (p . q)
3) Cuando las conectivas diádicas aparecen ubicadas entre dos variables
proposicionales. Por ej.: (p . q), (p v q), (p → q), (p ↔ q)
Son fórmulas mal formadas por ej.: p −, (. pq), (p . q) −
Las fórmulas (1) y (2) tienen una misma estructura lógica y uno podría referirse a
ellas usando otra expresión, por ej. ―A‖, que las incluye a ambas y a cualquier otra forma
con esa misma estructura. Lo mismo puede hacerse con la formulas (3) y (4) porque ambas
fórmulas tienen la estructura lógica de una conjunción y se podrían representar a través de
la expresión ―(A . B)‖.
Las expresiones simbólicas ―A‖ y ―(A . B)‖ no son fórmulas del lenguaje objeto
sino el nombre o la etiqueta metalingüística de ellas. Son los esquemas de las fórmulas.
Es decir que los esquemas de las fórmulas están formados por variables sintácticas
y no por variables proposicionales, pertenecen al metalenguaje y representan a las FBF
dentro del sistema. Reflejan la estructura de un conjunto infinito de fórmulas y la jerarquía
de las conectivas.
Por ejemplo:
(A . B) v C es el Esquema correspondiente a las siguientes fórmulas:
a) (p . q) v r
b) (r . t) v (s → t)
c) [(s → p) . r] v (s → p)
La sustitución uniforme
La sustitución uniforme es la transformación operada en una fórmula cuando se
cambia una variable proposicional en todas sus apariciones por una fórmula cualquiera. Por
ejemplo, si se parte de la fórmula A:
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31
A: (p . q) v r
(sustituir ―p‖ por ―(r → s)‖ en la fórmula (A)
Se obtiene la fórmula A'
A': (r → s) . q v r
En toda sustitución se mantiene la estructura de la expresión simbólica y por lo
tanto la jerarquía de las conectivas. Cuando la sustitución es de variables proporcionales
por variables sintácticas lo que se obtiene es el esquema correlativo a dicha fórmula. Cabe
destacar que es necesario asignar a iguales variables proposicionales, iguales variables
sintácticas y a diferentes variables proposicionales, diferentes variables sintácticas.
El esquema correlativo a una fórmula representa a un conjunto infinito de fórmulas
que tienen una determinada estructura lógica. La fórmula correlativa al esquema es sólo una
de esas estructuras.
Es decir que:
Si se parte de una fórmula y se realizan las sustituciones pertinentes se alcanza el
esquema correlativo de la fórmula.
(p . q) v r Fórmula
(A)
S p : (A . q) v r
(B)
S q : (A . B) v A Esquema correlativo
Leyes y Reglas
Toda tautología o fórmula lógicamente verdadera constituye una Ley del cálculo
proposicional, por lo tanto el esquema correlativo a una fórmula tautológica constituirá el
(r → s)
S p
(A)
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32
esquema de una ley del cálculo proposicional. Por lo mismo representa a un conjunto
infinito de tautologías porque todas sus sustituciones conducirán a fórmulas tautológicas.
Por ejemplo:
(p → q) ↔ (− p v q) Fórmula tautológica o ley
(A → B) ↔ (−A v B) Esquema correlativo o Esquema – Ley
(p . q)
S p : [(p . q) q ≡ [− (p . q) v q] Fórmula tautológica con el mismo esquema.
De forma análoga si se sustituyen las variables proposicionales por variables
sintácticas en un razonamiento, se pasa del razonamiento al esquema correlativo a dicho
razonamiento que representa a un número infinito de razonamientos con esa estructura.
Por ejemplo:
p → q A → B
p A
q B
(Razonamiento) (Razonamiento-esquema)
La diferencia entre razonamiento y razonamiento-esquema es exactamente la misma
que hay entre fórmula y esquema. Es decir que la fórmula es al esquema lo que el
razonamiento es al razonamiento-esquema. Es decir:
p → q
(p → q) . p → q p
q
/
A → B
(A → B) . A → B A
B
Cuando el razonamiento es válido su forma lógica constituye una Regla del cálculo
proposicional y por lo tanto el esquema correlativo a dicho razonamiento representa un
conjunto infinito de razonamientos válidos.
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33
Por ejemplo:
(A diferentes
razonamientos con igual
Representa a estructura
les corresponde el
mismo esquema)
Ahora bien, a un razonamiento se le puede asociar dos tipos de fórmulas y sólo dos:
a) Fórmulas donde la conectiva principal es el condicional (→). Ello
significa que el antecedente implica el consecuente. En este caso se habla de Reglas de
inferencia. Por ejemplo:
(1) A . B
A
(2) A → B
B → C
A → C
(3) A → B
A
B
b) Fórmulas donde la conectiva principal es el bicondicional (↔). Ello
significa no sólo que el antecedente implica el consecuente sino también que el consecuente
implica el antecedente, es decir que hay equivalencias entre ambas fórmulas.
A → B
A
B
p → q
p
q
(p ↔ q) → (r v s)
p ↔ q
r v s
Una conjunción implica una cualquiera
de sus partes
La conjunción de dos condicionales, cuando el
condicionado del 1º es el mismo que la condición del 2º,
implica el condicional formado por la condición del 1º y el
condicionado del 2º
Un condicional y su condición implican su condicionado
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34
En este caso se puede reemplazar una fórmula por la otra (aunque sean parte de otra
fórmula). Si se reemplaza una parte de una fórmula por una expresión equivalente a ella, la
nueva expresión resultante es equivalente a la primera. Así:
B ↔ C
A(B) ↔ A(C)
Cuando se efectúa esta operación se está en presencia de Reglas de reemplazo.
Por ejemplo:
(4) − (A v B) − A . − B
↔
− A . − B − (A v B)
(5) (A → B) − A v B
↔
− A v B A → B
Las reglas de inferencia y de reemplazo mencionadas anteriormente reciben
nombres determinados para poder referirse a ellas más cómoda y brevemente. Así se habla
de ―Regla de Simplificación‖ (1), ―Regla del Silogismo Hipotético‖ (2), ―Regla del Modus
Ponens‖ (3), ―Regla de De Morgan‖ (4) y ―Regla de ―Definición de la Implicación
material‖ (5).
Toda forma de razonamiento serán válida si y sólo si no es posible que sea
verdadero su antecedente y falso su consecuente, por ello se pueden expresar de otro modo.
Las reglas de inferencia se pueden expresar formando un condicional que lleve por
condición la conjunción de las premisas que constituyen el antecedente y por consecuente,
la conclusión.
Por ejemplo la regla (2) puede formularse del siguiente modo:
[(A → B) . (B → C)] → (A → C) Ley del Silogismo Hipotético.
De una disyunción negativa se infiere una
conjunción de negaciones. Y de una
conjunción de negaciones se infiere una
disyunción negativa
De un condicional se infiere la disyunción
entre la negación del antecedente y el
consecuente. Y de una disyunción cuyo primer
término es negativo se infiere un condicional
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35
Las reglas de reemplazo se pueden expresar formando un bicondicional con las dos
fórmulas que figuran en la regla.
Por ejemplo la regla (4) puede formularse del siguiente modo:
− (A v B) ↔ (− A . − B) Ley de De Morgan
De éste modo se transforman las formas de razonamiento en formas proposicionales
o dicho de otro modo, se transforman las reglas en leyes. Es necesario aclarar que aunque
haya leyes y reglas que tengan las mismas estructuras y el mismo nombre difieren en el
nivel del lenguaje en el que están formuladas. Las primeras pertenecen al lenguaje-objeto y
las segundas pertenecen al metalenguaje.
El esquema conceptual que sigue muestra una síntesis de las nociones presentadas y
las relaciones de vinculación entre ellas.
Lenguaje Metalenguaje Meta-metalenguaje
Fórmulas Esquema de fórmula
Fórmulas Tautológicas Ley:
Condicional
Conectiva Bicondicional
Otras
Razonamientos Razonamiento-esquema
Razonamientos válidos Regla
Implicación simple Regla de inferencia
Doble implicación Regla de reemplazo
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36
PROPOSICIONES E INFERENCIAS DISYUNTIVAS
Esta exposición tiene un doble propósito. Por una parte, busca mostrar que el
tratamiento de las proposiciones e inferencias disyuntivas está completamente definido en
la antigüedad clásica y por otra parte, quiere hacer explicita la razón por la que la lógica
clásica reconoce dos formas válidas de inferencia disyuntiva.
Proposiciones disyuntivas
La clasificación de las proposiciones disyuntivas que ofrece la lógica clásica
muestra que la lógica simbólica no incorpora ninguna variación de sentido en la conectiva
de la disyunción. En el más completo y profundo manual de lógica clásica25
se define las
siguientes formas de proposiciones disyuntivas:
propiamente disyuntivas (a)
Abiertamente disyuntivas
impropiamente disyuntivas (b)
Ocultamente disyuntivas extremo disyuntivas (c)
(a) Disyuntivas propias: son aquellas en las que la cópula ―o‖ significa “la
necesidad de una cierta consecuencia”
(b) Disyuntivas impropias: son aquellas en las que la cópula ―o‖ significa “el hecho
de una equivalencia o de una sustitución posible”
(c) De extremo disyunto: son aquellas que se resuelven en alguno de los dos tipos de
proposiciones abiertamente disyuntivas. Por ello se considerará solamente las dos
anteriores.
Ejemplos:
Iré al trabajo o me quedaré en casa (a)
Comeré postre o comeré fruta (b)
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37
Esta clasificación se mantendrá en la lógica contemporánea bajo el nombre de
“disyunción excluyente” y “disyunción incluyente”. La forma de expresar simbólicamente
ambos sentidos del ―o‖ es a través de los signos ―w‖ y ―v‖ respectivamente.
El signo ―w‖ indica una disyunción fuerte y tiene el sentido de ―un enunciado o el
otro pero no ambos‖. El signo ―v‖ indica una disyunción débil y tiene el sentido de ―un
enunciado, el otro o ambos‖. Contiene el sentido del ―y/o‖.
Si se acuerda en simbolizar cada proposición atómica que forma la proposición
disyuntiva por las letras ―p‖ y ―q‖, las disyunciones antes expresadas quedarían
simbolizadas del siguiente modo:
p w q propia o excluyente
p v q impropia o incluyente
Si por otra parte se admite que cada proposición atómica tiene la posibilidad de ser
verdadera o falsa, se comprende que todas las posibilidades de combinación de valores de
verdad entre las dos partes de la disyunción son las siguientes:
p q
V V (1)
F V (2) V: verdadero
V F (3) F: falso
F F (4)
(1) Expresa que ambas son verdaderas
(2) Expresa que la 1º es verdadera y la 2º falsa
(3) Expresa que la 1º es falsa y la 2º verdadera
(4) Expresa que ambas son falsas
25
Maritain, J., 1967, El orden de los conceptos, trad. Gilberte Motteau de Buedo y Mariano Argüello, Buenos
Aires, Club de Lectores.
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38
Ahora bien, ¿cuál es el valor de verdad de la proposición disyuntiva completa en
función de estos valores de verdad de las atómicas componentes? Para responder a esta
cuestión basta con fijarse en el sentido que se ha establecido anteriormente a la cópula ―o‖
en ambos tipos de disyunción.
(1) Si en la disyunción propia el ―o‖ significa ―es verdadero un enunciado o el otro
pero no ambos‖ entonces no habrá disyunción excluyente cuando ambas partes sean
verdaderas o cuando no lo sea ninguna. Una proposición disyuntiva propia será verdadera
únicamente cuando la primera atómica componente sea verdadera y la segunda falsa, o
cuando la primera sea falsa y la segunda verdadera. Este sentido es el que recoge y expresa
lo que la lógica contemporánea llama ―tabla de verdad‖.
p w q
V F V
F V V
V V F
F F F
(2) Si en la disyunción impropia la cópula ―o‖ significa ―es verdadero un
enunciado, el otro, o lo son ambos‖ entonces el único caso en el que no habrá disyunción
incluyente es cuando ambos enunciados atómicos sean falsos. Esta combinación de valores
dará por resultado una disyunción impropia falsa. De este modo la tabla de verdad
correspondiente es la siguiente:
p v q
V V V
F V V
V V F
F F F
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39
Todo esto es lo que Maritain expresa tan sintética y exactamente cuando define la
ley que rige la verdad de las proposiciones disyuntivas:
“Para que una proposición disyuntiva sea verdadera, basta que una de sus partes
sea verdadera; para que sea falsa es necesario que sus dos partes sean falsas”.26
Subrayo el término ―basta‖ por que no es éste el único caso en que una disyunción
es verdadera sino también cuando ambas son verdaderas; y subrayo el término ―necesario‖
porque éste es el único caso en una disyunción es falsa. (obsérvese las tablas de verdad)
Inferencias disyuntivas
La presentación clásica de la lógica realizada por Maritain también ofrece la regla
de argumentación disyuntiva.
Dice el autor:
“Suponed verdadera una parte de una disyuntiva, tenéis derecho por lo mismo de
afirmar el todo.”27
Esta regla corresponde a lo que la lógica contemporánea llama “Regla de la
adición”. Ella expresa que una disyunción es implicada por un cualquiera de sus partes.
En efecto si se admite como verdadera una proposición (p) no se puede dejar de dar
asentimiento a la disyunción entre esa proposición y cualquier otra.
Simbólicamente:
p
p v (q, r, s,...)
A continuación expresa:
“Suponed verdadera una proposición disyuntiva y destruid una de sus partes,
establecéis por lo mismo la otra parte… Esta regla vale para toda proposición disyuntiva,
ya sea propia o impropiamente disyuntiva”.28
(1)
26
Maritain, J. op. cit., p. 147 27
Maritain, J., op. cit., p. 147
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40
“En una proposición propiamente disyuntiva, suponed verdadera la proposición y
estableced una de sus partes, por lo mismo destruís la otra parte...” (2)
“En una proposición impropiamente disyuntiva, suponed verdadera la proposición
y estableced una de sus partes; no destruís por lo mismo la otra parte...”29
(3)
En este texto queda expresado en forma de ley, lo que la lógica contemporánea
llama “Regla del Silogismo disyuntivo” y también la aclaración de la forma de la
disyunción según los diferentes sentidos de la cópula ―o‖.
El primer parágrafo podría expresarse simbólicamente del siguiente modo:
p w q p v q
− p − p
q q
También puede ser:
p w q p v q
− q − q
p p
En efecto si se asiente a una disyunción y también se admite que no se asiente a una
de las proposiciones atómicas componentes, hay necesidad lógica de asentir a la otra
proposición atómica. De lo contrario la disyunción no podría ser verdadera y habiéndola ya
admitido como tal, se caería en contradicción.
Esta forma de silogismo disyuntivo es la única posible cuando la disyunción
ubicada en la premisa mayor es impropia, y es lo que afirma Maritain en el párrafo (3). En
efecto, en la disyunción impropia o incluyente si se establece una de las partes, la
disyunción seguirá siendo verdadera independientemente de que la otra parte sea
establecida o destruida. Es decir que si en la premisa menor se establece una parte de la
disyunción no hay necesariedad lógica para concluir nada con relación a la otra parte.
28
Maritain, J. op. cit., p. 147
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41
No ocurre lo mismo en un silogismo disyuntivo que tiene como premisa mayor a
una disyunción propia. En tal caso admite además otra forma que está expresada en el
párrafo (2).
Simbólicamente:
p w q p w q
p También puede ser q
− q − p
En una disyunción propia, si se asiente una de sus partes necesariamente se
destruye la otra, y si se destruye una no se puede dejar de asentir la otra.
Figuras y modos del silogismo disyuntivo
La lógica clásica reconoce dos figuras del silogismo disyuntivo denominadas
Ponendo Tollens y Tollendo Ponens.30
a) Ponendo – Tollens: estableciendo (en la premisa menor) se destruye (en la
conclusión)
b) Tollendo – Ponens: destruyendo (en la premisa menor) se establece (en la
conclusión)
Estas son formas válidas de inferir siempre que la disyunción de la premisa mayor
sea propia o excluyente, de lo contrario sólo es válida la figura Tollendo – Ponens. Por eso
la lógica contemporánea denomina ―Regla del silogismo disyuntivo‖ a la estructura
Tollendo - Ponens.
p v q p v q
− p − q
q p
29
Maritain, J., op. cit., p. 148 30
Maritain, J., op. cit., p. 306
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42
Los distintos modos del silogismo disyuntivo surgen de las posibilidades de
combinación según la cualidad de ambas proposiciones. Puesto que cada una puede ser
afirmativa o negativa se obtienen los siguientes cuatro modos:
1º proposición 2º proposición
Af. Af.
Af. Neg.
Neg. Af.
Neg. Neg.
Por ello para comprender las formas correctas de inferencia disyuntiva resulta
necesario tener en cuenta:
a) El tipo de disyunción que contiene la premisa mayor.
b) Tener claro que ―establecer‖ significa ―mantener la cualidad‖ de la
proposición que se infiere y ―destruir‖ significa ―cambiar la cualidad‖ de la proposición que
se infiere.
Es posible construir inferencias disyuntivas de los cuatro modos en las dos
figuras. Expresadas en forma simbólica las formas lógicas de los posibles silogismos
disyuntivos de primera figura en sus cuatro modos son los siguientes:
p w q
p 1º modo
− q
p w − q
p 2º modo
q
− p w q
− p 3º modo
− q
− p w − q
− p 4º modo
q
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43
De igual modo podrían haberse formado con el disyunto ―q‖ en la premisa menor y
―p‖ en la conclusión, sin afectar la validez de la inferencia.
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44
CONDICIONAL E IMPLICACIÓN
BICONDICIONAL Y EQUIVALENCIA
Condicional e Implicación
La comprensión del sentido de la conectiva ―si ... entonces‖ o conectiva condicional
ofrece una dificultad adicional para los alumnos, por ello demanda una presentación más
analítica. Desde la cátedra se propone que el sentido de las conectivas proposicionales no es
una convención absolutamente arbitraria sino que se comprenden a partir del uso que de
ellas se hace en el lenguaje corriente. Surge de la reflexión e interpretación del lenguaje.
Las ―tablas de verdad‖ básicas reflejan el sentido de las conectivas, lo fijan, de tal modo
que cada vez que se hace uso de ellas se les da una interpretación unívoca.
Esta estrategia didáctica para explicar el sentido de las conectivas no resulta
operativa cuando se trata de la conectiva condicional. En efecto esta conectiva ofrece cierta
dificultad para establecer su sentido a partir del uso que de ella se hace en el lenguaje
corriente. Ello se debe a que se ―aleja‖ en ciertos aspectos del uso lingüístico del sentido
común. Veamos:
(A) En el lenguaje ordinario se construyen normalmente condicionales que tienen
una cierta relación (generalmente causal) entre el contenido semántico expresado en la
condición y en el condicionado. Sin embargo esta conexión semántica no es requisito
lógico para la formación de una proposición condicional.
Por ejemplo:
Si llueve entonces hay cosecha
Si la luna es un satélite entonces dos más dos es igual a cuatro
Ambas expresiones conforman proposiciones condicionales. Si el ―si... entonces‖ es
una conectiva del mismo carácter que las otras conectivas sólo debería exigírsele conectar
proposiciones. Así como en ninguna de las otras conectivas se ha tomado en consideración
los contenidos informativos de las proposiciones que se conectan, sino solamente su valor
de verdad, no habría razón lógica que exija tomarlo en consideración para esta conectiva en
particular.
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45
Las conectivas proposicionales cumplen con la propiedad lógica de ser
―extensionales‖ cuando dan lugar a una ―función de verdad‖. Es decir cuando es posible
calcular el valor de verdad de la proposición molecular a partir del valor de verdad de las
proposiciones atómicas componentes. Desde este punto de vista formal la verdad de una
proposición molecular es independiente del contenido de las atómicas, depende sólo del
valor de verdad de ellas. Este es el sentido ―material‖ del condicional.31
B) La ―tabla de verdad‖ a través de la que queda fijado el sentido de la conectiva
también ―choca‖ con el sentido común en algunas de las combinaciones posibles de valores
de verdad.
Cualquier manual de lógica estable la siguiente tabla de verdad para el condicional:
p → q (si llueve entonces hay cosecha)
1) V V V
2) F V V
3) V F F
4) F V F
No hay dificultad en aceptar de acuerdo con el uso habitual del lenguaje la líneas 1
y 3, pues es intuitivamente aceptable que si es verdad que llueve y es verdad que hay
cosecha entonces es verdad la proposición condicional completa (línea 1). Lo mismo ocurre
cuando la tabla de verdad expresa que si es verdad que llueve y es falso que haya cosecha
entonces es falsa toda la proposición condicional (línea 3).
La dificultad se presenta para aceptar intuitivamente las líneas 2 y 4. Estas expresan
que si la condición es falsa el condicional resulta verdadero independientemente del valor
de verdad del condicionado (verdadero o falso).
31 Este sentido del condicional es el que está presente en la noción de ―implicación material‖. Desde el mismo
ámbito de la lógica formal algunos reaccionan contra este ―sentido material de la implicación‖ y surge la
lógica relevante, que sostiene que no hay deducibilidad si no existe conexión entre los contenidos de las
premisas y la conclusión.
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46
Willard Quine32
se detiene en la presentación de la conectiva condicional y ofrece
una explicación que resulta intuitivamente más convincente que la simple presentación de
la tabla de verdad, tal como figura en otros autores. Dicha explicación se puede sintetizar
en las siguientes afirmaciones:
a) Sostiene que en estos casos (líneas 2 y 4) es como si no se hubiera formado el
condicional, ya que en éste se afirma el condicionado si se afirma la condición. Por lo tanto
si no se afirma la condición entonces el condicionado no tiene ningún valor.
b) Utiliza para la justificación de estos ―casos extraños‖ un procedimiento
sintáctico, recurriendo al uso del ―cálculo‖ lógico y a la noción de ―equivalencia‖ entre
expresiones simbólicas.
Expresado de forma rápida se puede decir que dos expresiones son equivalentes
cuando tienen la misma tabla de verdad. Así, se podría buscar otra expresión del lenguaje
que refleje el sentido del condicional y donde no figure esta conectiva sino alguna otra que
no presente dificultad para su comprensión intuitiva.
Ahora bien, ¿qué es lo que se quiere decir cuando se construye un condicional? Si
como ya se dijo, se afirma el condicionado si se da la condición entonces es imposible que
sea verdadera la condición y que sea falso el condicionado.
Expresado simbólicamente: − (p . − q).
Si ambas expresiones dicen lo mismo, tienen el mismo sentido, las tablas de verdad
correspondientes deben coincidir en todas sus líneas. Luego se recurre al cálculo y se
comparan ambas tablas de verdad.
p → q − (p . − q)
V V V V V F F V
F V V V F F F V
V F F F V V V F
F V F V F F V F
1º 3º 2º 5º 1º 4º 3º 2º
32
Quine, W. 1958. El sentido de la nueva lógica. Buenos Aires. Ed Nueva Visión. p. 32/36
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47
Si se observan las columnas 3º y 5º de ambas tablas de verdad se advierte que todas
las líneas coinciden en la asignación final del valor de verdad. Por lo tanto las expresiones
son equivalentes. De esta manera llega a establecer a través del cálculo y de la noción de
expresiones equivalente que la tabla de verdad presentada primeramente es la adecuada
para establecer del sentido del condicional.
(C) Algunos leen indistintamente el signo ―→‖ como ―implica‖ o como ―si...
entonces‖. Sin embargo es necesario marcar la diferencia entre el condicional y la
implicación. El ―→‖ es el signo de una conectiva lógica y debe leerse ―si... entonces‖ y sus
partes componentes se denominan ―condición‖ y ―condicionado‖.
La implicación es una relación lógica de tal modo que en ella se afirma que de un
―antecedente‖ se infiere un ―consecuente‖. Las comillas utilizadas son significativas porque
indican que se está hablando acerca de las proposiciones que constituyen el antecedente y el
consecuente.
Otra diferencia entre conectar y relacionar proposiciones es que se trata de
operaciones lógicas que se ubican diferentes niveles del lenguaje. Al formular un
condicional se ―usan‖ las proposiciones conectándolas, se está a un nivel de lenguaje
objeto. Mientras que en la implicación se ―menciona‖ a las proposiciones, se está a un
nivel de meta lenguaje.33
El sentido del condicional que se expresa a través de esta tabla de verdad se
denomina “interpretación material del condicional”. Este sentido ya fue conocido por
Filón de Megara (s. IV a. C.) y utilizado por los estoicos y medievales. Luego cayó en el
olvido y vuelve a cobrar vigencia con el desarrollo contemporáneo de la lógica.
La “implicación estricta” de Lewis (cuyo desarrollo está vinculado a la lógica
modal) se opone al sentido material del condicional. Lewis señala que aquella tabla de
verdad es fuente de paradojas porque establece que:
1) un enunciado falso ―implica‖ cualquier enunciado (verdadero o falso). Está
expresado en las líneas 2 y 4 de la tabla.
33
Ferrater Mora y Leblac. 1985. Lógica matemática. México. F.C.E. p. 20
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48
2) un enunciado verdadero ―es implicado‖ por cualquier enunciado (verdadero o
falso). Expresado en las líneas 1 y 3 de la tabla.
El concepto de ―implicación‖ es fundamental para la lógica y reclama un profundo
tratamiento que excede el propósito de esta exposición. Por ahora basta señalar que es
necesario no confundir el condicional y la implicación. El siguiente cuadro puntualiza las
diferencias más importantes:
Condicional Implicación
conectiva lógica relación lógica
uso del lenguaje mención del lenguaje
estructura lógica de proposición estructura lógica de razonamiento
sus partes se denominan ―condición‖ y
―condicionado‖
sus parte se denominan ―antecedente‖
y ―consecuente‖
Ej. Si San Martín cruzó la cordillera de los
Andes entonces 2 más 2 es igual a 4 (es un
condicional verdadero)
Ej. ―San Martín cruzó la cordillera de
los Andes ―implica‖ dos más dos es
igual a cuatro (es una implicación
incorrecta)
Dos aclaraciones finales sobre este tema:
a) en el caso de que el condicional sea tautológico es una implicación. En ese caso
es indistinto leer: si A entonces B o ―A‖ implica ―B‖.
b) la razón de esta confusión está en que las razones lógicas que hace verdadero un
condicional (no es posible que la condición sea verdadera y el condicionado sea falso) son
las mismas razones lógicas que hacen correcta a una implicación (no es posible que se de
asentimiento al antecedente y no de asentimiento al consecuente).
Bicondicional y Equivalencia
La relación entre el bicondicional y la equivalencia reclama reflexiones similares a
las realizadas con relación al condicional y la implicación.
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49
a) Usualmente se piensan y se construyen bicondicionales con el sentido de
equivalencia. De acuerdo al uso cotidiano del lenguaje se cree que estos enunciados
expresan igualdad entre los contenidos informativo de ambas partes del bicondicional.
Estos es cierto en el sentido de que cuando se formula una proposición bicondicional se
está de hecho estableciendo la equivalencia entre ambos. Sin embargo es necesario aclarar
que las razones fácticas por las que se estableció la equivalencia entre las enunciaciones es
una cuestión de extra-lógica. Por ejemplo:
―Una figura tiene tres lados si y solo si es un triángulo‖
―La naturaleza es mutable si y solo si Buenos Aires es capital de la Argentina‖
Ambas proposiciones son bicondicionales. Desde el punto de vista lógico es un
bicondicional aquella proposición donde sus contenidos informativos muestren claramente
la equivalencia como aquella que no lo hace. Es cierto que nadie encontraría equivalencia
entre los contenidos de los enunciados atómicos de la segunda proposición bicondicional,
pero lo que interesa lógicamente es que la conectiva ―si y solo si‖ conecta dos
proposiciones cualesquiera y que establece por lo mismo la conexión condicional en ambos
sentidos. Y esto basta para constituir un bicondicional. Así:
A ↔ B equivale a (A → B) y (B → A)
b) Con relación a su tabla de verdad no es necesario detenerse en
explicaciones porque es intuitivamente claro el sentido de la bicondicionalidad. Una
proposición bicondicional será verdadera cuando ambos enunciados sean verdaderos o
ambos enunciados sean falsos. Ella no ofrece la dificultad de comprensión intuitiva que se
señaló en la conectiva del condicional.
c) Para distinguir el bicondicional de la equivalencia basta señalar razones
análogas a la expresadas con relación a la diferencia entre condicional e implicación.
No corresponde leer indistintamente el signo ―↔‖ como equivalencia o como ―si y
solo si‖. El ―↔‖ es el signo de una conectiva lógica y se lo debe leer ―si y solo si‖. Por el
contrario la equivalencia es una relación lógica.
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50
La diferencia entre el bicondicional y la equivalencia es la misma que establecimos
entre condicional e implicación. Se puede establecer una analogía de proporcionalidad
propia.
Condicional Bicondicional
Implicación Equivalencia
Para finalizar conviene puntualizar las siguientes aclaraciones:
a) En el bicondicional no puede hablarse de condición y condicionado sino de ―1º
término‖ y ―2º término‖ del bicondicional o equivalencia.
b) El sentido del bicondicional corresponde a una doble implicación del ―1º
término‖ respecto al ―2º término‖ y de este respecto al anterior.
c) La tabla de verdad del bicondicional no es fuente de paradoja explícitamente pero
lo es implícitamente (en tanto equivale a una doble implicación) si no se distinguen los
nivele de lenguaje.
d) Para el bicondicional/equivalencia valen las otras diferencias establecidas para el
condicional/implicación.
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51
RELACIONES LÓGICAS ENTRE PROPOSICIONES
El objetivo es presentar las relaciones lógicas entre proposiciones, integrando
didácticamente la información existente en obras lógicas y manuales de lógica clásica y
contemporánea.
La experiencia docente con alumnos que ingresan al nivel de educación
universitario ha permitido advertir que frecuentemente tienen dificultades para confrontar
enfoques o tratamientos diferentes de un mismo tema y para integrar la información
dispersa, aunque se trate del mismo contenido. Los hábitos de estudio que han desarrollado
en el nivel de educación anterior no favorecen suficientemente la adquisición de las
habilidades intelectuales de comparación, distinción, confrontación e integración. Por ello
el aporte del documento es fundamentalmente didáctico. Por una parte, busca favorecer el
desarrollo de la capacidad de comparación e integración, proponiendo a los alumnos
transitar el camino inverso: se procede a la presentación de los contenidos integrados y se
indica como actividad final la identificación de los enfoques y abordajes integrantes. Por
otra parte, satisface el cumplimiento del objetivo de facilitar la comprensión integral de las
relaciones lógicas entre proposiciones.
Clases de proposiciones
En primer lugar es necesario recordar las distintas clases de proposiciones, ya que
las relaciones lógicas pueden establecerse entre distintos tipos de proposiciones. En esta
oportunidad se realizará entre proposiciones simples, compuestas y modales.
Aristóteles sostiene en el Peri Hermeneia que las proposiciones simples se dividen
desde el punto de vista de la cualidad, en ―afirmativas‖ y ―negativas‖34
y desde el punto de
vista la cantidad, en ―universales‖, ―particulares‖, ―indefinidas‖ y ―singulares‖.35
En el
mismo lugar produce la combinación de ambos criterios clasificatorios dando lugar a las
cuatro siguientes clases de proposiciones: ―afirmativa universal‖, ―negativa universal‖,
―particular afirmativa‖ y ―particular negativa‖.
34
Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 6 35
Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 5
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
52
Estas cuatro clases de proposiciones son representadas en la lógica medieval con las
letras A, I, E, 0, de tal modo que la "A" representa a la afirmativa universal, la ―I‖ a la
afirmativa particular, la "E" a la negativa universal, y la "0" a la negativa particular.
En Primeros Analíticos36
establece la diferencia entre proposiciones ―simplemente
atributivas‖ y ―proposiciones modales‖. Reconoce los modos de ―necesidad‖ y
―contingencia‖ como básicos, ya que lo ―imposible‖ puede definirse desde lo ―necesario‖ y
lo ―posible‖ puede equipararse a lo ―contingente‖.
Jacques Maritain37
trata ampliamente el tema de las diversas clases de proposiciones
utilizando varios criterios clasificatorios. El cuadro siguiente presenta la clasificación
completa.
Cla
ses
de
Pro
po
sici
on
es
Cla
ses
de
Pro
po
sici
on
es
Seg
ún
el
tip
o d
e c
óp
ula
Seg
ún
la
cla
se d
e C
óp
ula
Simples o Categóricas
Afirmativa Según la Cualidad
Negativa
Universal
Según la Cantidad Particular
Singular
Indefinida
Universal Afirmativa
Según la Cualidad y
la Cantidad
Universal Negativa
Particular Afirmativa
Particular Negativa
Co
mp
ues
tas
o H
ipo
téti
cas
Abiertamente
Compuestas
Copulativa
Disyuntiva
Propia
Impropia
Condicional
En sentido riguroso
En sentido amplio
Impropiamente condicional
Ocultamente
Compuestas
o Exponibles
Exclusiva
Exceptiva
Reduplicativa
Seg
ún
la
fu
nci
ón
de
la c
óp
ula
De Inesse
(En todas las clases de proposiciones anteriores la cópula ―es‖ cumple una
función simplemente atributiva)
Modales
De Posibilidad
De Imposibilidad
De Contingencia
De Necesidad
36
Aristóteles, Primeros Analíticos, I, cap. 8-22 37
Maritain, J., 1967, op. cit., p. 143/165
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
53
Establecer la cantidad y la cualidad de las proposiciones modales ofrece una
dificultad adicional. En efecto, aclara Maritain que en ellas hay que considerar dos partes:
el dictum y el modo. Por consiguiente, es necesario tomar en cuenta dos cualidades y dos
cantidades.
Los modos necesario e imposible dicen universalidad, los modos posible y
contingente dicen particularidad. Los modos imposible, no posible y no contingente son
negativos y los modos necesario, posible y contingente, son afirmativos. De esta forma se
establece el siguiente grupo de proposiciones modales:
Proposiciones Universales: Es necesario que sea
Es necesario de no sea
Es imposible que sea
Es imposible que no sea
Proposiciones Particulares: Es posible que sea
Es posible que no sea
Es contingente que sea
Es contingente que no sea
Proposiciones Afirmativas: Es necesario (Af.) que sea (Af.)
Es posible (Af.) que sea (Af.)
Es contingente (Af.) que sea (Af.)
Es imposible (Neg.) que no sea (Neg.)
Proposiciones Negativas: Es necesario (Af.) que no sea (Neg.)
Es posible (Af.) que no sea (Neg.)
Es contingente (Af.) que no sea (Neg.)
Es imposible (Neg.) que sea (Af.)
La relación de oposición entre proposiciones simples
Tratar la relación de oposición entre proposiciones simples reclama hacer algunas
aclaraciones previas.
Dos proposiciones de contenido informativo totalmente distinto es posible que
tengan algún tipo de relación lógica o que sean independientes.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
54
Por ejemplo: la proposición ―Todos los hombres son vivientes‖ está relacionada
lógicamente con la proposición ―todos los gatos son animales domésticos‖. La relación se
hace patente en la medida que se expliciten los enunciados que las vinculan:
―Todos los hombres son vivientes‖
―todos los vivientes son sensibles‖
―algunos seres sensibles son animales‖
―algunos animales son cuadrúpedos‖ enunciados
―algunos cuadrúpedos son felinos‖ vinculantes
―algunos felinos son gatos‖
―todos los gatos son animales domésticos‖
En este trabajo se tratará sobre las relaciones inmediatas entre enunciados por lo
tanto, estos pares de enunciados relacionados remotamente quedarán fuera de
consideración. Se tomarán como enunciados no relacionados o enunciados independientes.
Otro tipo de enunciados relacionados que no se tomará en cuenta serán aquellos que
expresan afirmaciones opuestas en función del contenido.
Por ejemplo: ―La vocación debe orientar la elección profesional‖ y ―Cualquier
elección profesional es buena si permite vivir holgadamente‖.
Estos enunciados son opuestos en razón de la materia, es decir que expresan
mensajes opuestos.
Los enunciados que serán considerados son los que a pesar de no tener la misma
forma lógica (cambian en cantidad y/o en cualidad) utilizan los mismos términos y se
ajustan a las formas típicas de la lógica clásica. Son proposiciones que expresan lo mismo
acerca de lo mismo. De esta manera, se entiende por oposición lo que expresa la noción
aristotélica. Dice Aristóteles:
“Pero si se enuncia una cosa diferente de la misma cosa, o bien la misma cosa de
una cosa diferente, entonces ya no es una enunciación opuesta, es una enunciación distinta
de la primera.”38
38
Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 7, § 11
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
55
Además, la oposición lógica es una relación que proviene de la forma o estructura
de las proposiciones independientemente de la materia. Es decir que si dos proposiciones
tienen una determinada relación de oposición y se cambia el contenido de ambas
proposiciones, la relación lógica sigue siendo la misma si se mantiene la estructura
proposicional.
Por ejemplo: ―Todo gato es animal felino‖ es contradictoria a ―Algún gato no es
animal felino‖. Y, ―Todas las computadoras de última generación son máquinas que
caducarán a corto plazo‖, también se opone contradictoriamente a ―Algunas computadoras
de última generación no son máquinas que caducarán a corto plazo‖
Cuadro de oposición de proposiciones simples
Aristóteles presenta las relaciones de oposición entre proposiciones simples en el
capítulo 7 del Perí Hermeneia. Allí reconoce como opuestas a las proposiciones contrarias,
contradictorias y subcontrarias39
. Establece que las proposiciones:
―Todo hombre es blanco‖
son contrarias
―Ningún hombre es blanco‖
―Todo hombre es blanco‖
―Algún Hombre no es blanco‖
son contradictorias
―Ningún hombre es blanco‖
―Tal hombre no es blanco‖
―Algún hombre no es blanco‖
son subcontrarias
―Tal hombre es blanco‖
Aristóteles define cada una de estas relaciones a través de la Ley que rige la relación
(más adelante nos detendremos en ellas) y haciendo mención al tipo y modo de
enunciación. Por ejemplo, distingue si se enuncia un universal de un modo universal o se
39
Aristóteles no utiliza el término ―Subcontrarias‖ aunque la enunciación de la relación queda reconocida en
la presentación del ejemplo y la formulación de la ley que rige la relación.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
56
enuncia un universal de una manera no universal (se refiere a las proposiciones universales
y particulares).
Se puede advertir en la lectura de la obra lógica de Aristóteles que las
denominaciones de ―A‖, ―E‖, ―I‖ y ―O‖, usadas constantemente en libros de lógica, es un
aporte posterior. Esta denominación procede de los términos latinos AffIrmo y nEgO. Se
utilizan para abreviar el lenguaje y por lo mismo cumplen una función mnemotécnica.
La relación de subalternación no está reconocida por Aristóteles en el Perí
Hermenéia, porque esta relación no es propiamente una relación de oposición entre
proposiciones sino una relación entre una enunciación universal y la respectiva
enunciación particular. Sin embargo, como dice Maritain:
“... para reunir en una misma clasificación todas las especies de relaciones que
pueden sostener entre ellas dos proposiciones teniendo el mismo S y el mismo Pr, se dice a
menudo que hay CUATRO clases de oposición lógica ... entonces la palabra oposición
está tomada, en lo que respecta a la subalternación, en un sentido impropio.”40
Por ello en el siguiente esquema, reconocido como “Cuadro lógico de Oposición”
en todos los manuales de lógica, aparecen todas las oposiciones posibles entre
proposiciones categóricas:
Inmediatamente puede verse que la oposición de contradictoriedad se da entre las
proposiciones que difieren en cantidad y cualidad. Así, se da entre A y O, y entre E e I.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
57
La oposición de contrariedad se da entre aquellas proposiciones universales que
difieren en cualidad, una niega a la otra. Se da entre A y E
La oposición de subcontrariedad se cumple entre las proposiciones particulares que
difieren en cualidad, una niega a la otra. Se da entre I y O
La oposición de subalternación se da entre las proposiciones que difieren
solamente en la cantidad. Se da entre A e I y E y O.
Una situación particular se produce entre dos proposiciones singulares, una
afirmativa y otra negativa. Entre ellas hay oposición de contradictoriedad y no de
contrariedad. "Sócrates es blanco" es la contradictoria de "Sócrates no es blanco"41
.
Ahora bien, la identificación de las relaciones de oposición establecida según la
cualidad y cantidad de las proposiciones es una caracterización insuficiente ya que sólo es
operativa cuando se trata de proposiciones simples, mientras que deja de ser distintiva en
las proposiciones compuestas y modales. La verdadera definición de las relaciones de
oposición se establece a través de la enunciación de la ley que rige la relación.
Las relaciones de Oposición entre proposiciones Modales Aléticas
Las relaciones de oposición establecidas entre proposiciones simples o categóricas
se cumplen de modo análogo entre proposiciones modales.
Aristóteles trata las relaciones entre posiciones modales en el capítulo 12 y 13 del
Peri Hermeneia. En el capítulo 12 desarrolla el concepto de proposición modal, los tipos de
modalidad (posibilidad, contingencia, imposibilidad y necesidad) y las relaciones de
oposición entre ellas (contradictoriedad, contrariedad y subcontrariedad42
). Además,
presenta las relaciones de equivalencia entre enunciados modales usando las distintas
modalidades (la relación de equivalencia se tratará más adelante).
Aristóteles plantea que la negación de una proposición modal no resulta tal clara
como en las proposiciones simples porque:
40
Maritain, Jacques, op. cit., p. 181 41
Para aclarar el sentido de las proposiciones singulares y su utilización en las teorías de la conversión y
oposición de proposiciones y en la teoría del silogismo, consultar Maritain, J., op.cit, p. 62/63; p. 194, nº 58c
y p. 252, nota 28.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
58
“... una misma cosa puede ser y no ser; ... Y la razón de esto es que todo lo que es
posible no lo es siempre en acto, de suerte que lleva en sí también la negación. En efecto lo
que es capaz de andar, puede muy bien no andar, y lo que es visible, no ser visto. Sin
embargo es imposible que las afirmaciones y negaciones contradictorias sean verdaderas
con relación a un solo y mismo objeto...”43
Además, es necesario diferenciar la parte de la oración que debe ser negada:
“... en igual forma, en aquella (proposición modal) ser y no ser se hacen sujetos,
poder y ser contingente se hacen modificaciones, que determinan respecto de las frases:
ser posible, no ser posible, la verdad o el error, como ser y no ser la determinan para los
otros (proposiciones simples).”44
De la lectura de Aristóteles, surge claramente el siguiente cuadro de oposición entre
proposiciones modales:
No posible de no ser No posible de ser
Necesario de ser No contingente de ser
Imposible de no ser Imposible de ser
Posible de ser Posible de no ser
Ser contingente No necesario de ser
No imposible de ser No imposible de no ser
Por su parte, Jacques Maritain desarrolla la oposición de las proposiciones modales
incorporando además los aportes realizados por lógicos medievales. Presenta dos cuadros
de oposición entre proposiciones modales.
El primero, haciendo abstracción de la cantidad del dictum y suponiendo el sujeto
singular, queda representado en el siguiente esquema de oposición modal:
42
La relación de subcontrariedad es considerada como la relación entre enunciados de posibilidad en su forma
afirmativa y negativa, pero sin designarla con el nombre de subcontrariedad. 43
Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 12, § 3 44
Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 12, § 5
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
59
El segundo, teniendo en cuenta la cantidad del dictum, conforma un cuadro de
oposición más complejo.
Las relaciones de oposición entre Proposiciones Modales Deónticas
Von Wright observa que existe una analogía formal o isomorfismo entre los
cuantificadores y las nociones modales tradicionales. Esto lo lleva al descubrimiento de
Es necesario
que Pedro se
cure
Es posible
que Pedro se
cure
Es posible que Pedro no
se cure
Es imposible
que Pedro se
cure
Es necesario
que todo
hombre sea metafísico
Es imposible
que ningún
hombre sea metafísico
Es necesario
que algún
hombre sea metafísico
Es imposible
que algún
hombre sea metafísico
Es posible
que todo
hombre sea metafísico
Es posible que
todo hombre
no sea metafísico
Es posible a
algún hombre
ser metafísico
Es posible a
algún hombre
no ser metafísico
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
60
nuevas familias de conceptos modales, generando de este modo la idea de una lógica modal
generalizada.45
Distingue cuatro clases de modi: a) Modos Aléticos o modos de verdad;46
b) Modos
Epistémicos o modos de conocer; c) Modos Deónticos e modos de obligación; y d) Modos
Existenciales o modos de existencia47
Las semejanzas entre estas cuatro familias de conceptos modales quedan exhibidas
esquemáticamente en la siguiente tabla:
Aléticas Epistémicas Deónticas Existenciales
necesario verificado obligatorio universal
posible permitido existente
contingente No decidido Indiferente
Imposible falsificado prohibido vacío
Los operadores aléticos afectan a descripciones de estados de cosas mientras que los
operadores deónticos afectan a descripciones de conductas o acciones. Los enunciados que
surgen de un operador deóntico seguido de la descripción de una acción, es una norma.
Por ejemplo:
Op: ―Es obligatorio respetar las señales viales‖
Php: ―Está prohibido robar‖
Pp: ―Está permitido estudiar en la universidad‖
Las analogías señaladas permiten a Von Wright el tratamiento lógico formal de los
conceptos normativos en forma análoga a los conceptos aléticos.
Sin embargo, no es posible desconocer que inmediatamente surge una dificultad: a
las normas o prescripciones no se las puede valorar como verdaderas o falsas.
45
Von Wright, G. H, 1970, Ensayo de Lógica Modal, Buenos Aires, Editorial Rueda. 46
Von Wright, G. H., op. cit, “Son las modalidades de las cuales tradicionalmente se ocupó la llamada
lógica modal.” p. 15 47
Von Wright, G. H., op. cit, “A veces se los considera bajo el nombre de teoría de la cuantificación, no
siendo usual tratarlos como rama de la lógica modal. Si universalidad, existencia y vacuidad deben ser
considerados como atributos modales o no, es principalmente un problema de conveniencia terminológica.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
61
La dificultad puede salvarse si, por ejemplo a la expresión Op se la considera como
―existe una norma que obliga a respetar las señales de tránsito”. De este modo se
transforma una norma en una proposición que expresa una norma que obliga, y por esto se
le puede asignar valores de verdad.48
Si se acepta esta solución, es posible establecer las mismas relaciones de oposición
entre proposiciones modales deónticas usando ahora los operadores: obligatorio, prohibido
y permitido.
Además resulta necesario tener presente que los modos de obligatoriedad y
prohibición dicen universalidad y la permisión expresa particularidad. Lo obligatorio y lo
permitido son modos afirmativos y lo prohibido y lo permitido de no hacer son modos
negativos.
Hasta el momento, para identificar las relaciones lógicas, ha sido suficiente
ubicarlas en los polos ―universal‖ o ―particular‖ y ―afirmativo‖ o ―negativo‖ del cuadro de
oposición. Sin embargo, para presentar las relaciones entre proposiciones compuestas, el
No debe perderse de vista, sin embargo, que hay similitudes esenciales entre las modalidades aléticas,
epistémicas y deónticas por un lado, y los cuantificadores por otro”. p. 16/17 48
Esta dificultad es una cuestión importante pero avanzar en su tratamiento desviaría la exposición. Consultar
Ross, A. 1971, Lógica de las normas, Madrid, Editorial Tecnos, p. 130/134
Es
obligatorio
Está
permitido Está
permitido no ...
Está
prohibido
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
62
recurso empleado resulta insuficiente. Es necesario detenerse ahora en las leyes que rigen
las relaciones.
Leyes que rigen las relaciones lógicas49
En primer lugar conviene destacar que se ha presentado a las relaciones lógicas
haciendo referencia al Peri Hermeneia con la expresa intención de destacar que las
relaciones lógicas de oposición han sido establecidas desde Aristóteles. Del mismo modo
las leyes que rigen dichas relaciones fueron definidas por la genialidad lógica aristotélica.
En los mismos textos indicados del Peri Hermeneia se puede encontrar la enunciación de
las leyes correspondientes.
En segundo lugar, para completar todas las relaciones lógicas entre proposiciones es
necesario agregar las relaciones de Implicación, Deducibilidad y Equivalencia. Estas
relaciones están también presentes en Aristóteles de forma explícita e implícita, en
numerosos lugares de su obra.
En tercer lugar, se presentarán las leyes correspondientes a los distintos tipos de
relaciones lógicas con la siguiente estructura de formulación:
―A‖ está relacionada a ―B‖ si y sólo si es imposible que ...
El propósito de hacerlo de acuerdo a esta estructura es puramente didáctico, ya que
ayuda a comprender y probar la relación entre proposiciones compuestas e identificar las
proposiciones independientes. Así las leyes de cada una de las relaciones podrían
enunciarse de la siguiente manera:
Relación de contrariedad: una proposición A es contraria a una proposición B si y
sólo si es imposible que A y B sean verdaderas.
49
Es conveniente que los alumnos recuerden que las relaciones entre proporciones pertenecen al
metalenguaje. Cuando se afirma que una proposición ―A‖ tiene respecto a una proposición ―B‖ la relación de
contrariedad, lo que se hace es hablar acerca de las proposiciones A y B. No se usa el lenguaje para informar
sino que se lo menciona. Por esta razón representaremos a los enunciados integrantes de las relaciones
usando ―variables sintéticas‖ o ―variables metalingüísticas‖ tales como ―A‖, ―B‖, ―C‖, ―D‖, etc.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
63
Relación de contradictoriedad: una proposición A es contradictoria a una
proposición B si y sólo si es imposible que ambas sean verdaderas o que ambas sean falsas.
Relación de subcontrariedad: una proposición A es subcontraria a una proposición
B si y sólo si es imposible que ambas sean falsas.
Relación de implicación: una proposición A implica a una proposición B si y sólo
si es imposible que A sea verdadera y B sea falsa.
Relación de deducibilidad: una proposición A se deduce de una proposición B si y
sólo si es imposible que B sea verdadera y A sea falsa.
Relación de equivalencia: una proposición A es equivalente a una proposición B si
y sólo si es imposible que A sea verdadera y B sea falsa, y que B sea verdadera y A sea
falsa.
Relación de Equivalencia entre enunciados
La relación de equivalencia entre proposiciones se puede deducir a partir de la
comprensión de la ley que rige la relación de contradictoriedad. En efecto si dos
proposiciones son contradictorias cuando es imposible que ambas sean verdaderas y que
ambas sean falsas, negar una de las proposiciones significa cambiarle el valor de verdad y
por lo tanto se la convierte en equivalente a la otra. Ello transforma a ambas proposiciones
en verdaderas o a ambas en falsas, y esto es lo que expresa la ley que rige la relación de
equivalencia.
De esta manera surgen los distintos grupos de proposiciones equivalentes.
Proposiciones categóricas
Desde Aristóteles hasta la actualidad se mantiene el mismo grupo de equivalencias
entre proposiciones categóricas. Expresadas en términos de la lógica clásica pueden
formularse del siguiente modo:
A es equivalente a − O
E es equivalente a − I
I es equivalente a − E
O es equivalente a − A
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
64
Por ejemplo:
Toda persona generosa es una persona solidaria (A)
No es cierto que alguna persona generosa no es una persona solidaria (− O)
Ninguna persona generosa es una persona destructiva (E)
No es cierto que alguna persona generosa es una persona destructiva (− I)
Alguna persona generosa es una persona participativa (I)
No es cierto que ninguna persona generosa es una persona participativa (− E)
Alguna persona generosa no es una persona famosa (O)
No es cierto que toda persona generosa sea una persona famosa (− A)
La lógica contemporánea incorpora la simbolización de todos los componentes de
una proposición categórica. Así surgen el siguiente grupo de expresiones equivalentes
expresadas en términos de la lógica de funciones (Fx y Gx representan los dos predicados
lógicos que se vinculan en la enunciación):
Las mismas relaciones de equivalencia entre proposiciones categóricas se
expresan del siguiente modo en términos de la lógica de clases (A y E representan a las
dos clases que se vinculan en la enunciación):
(x) (Fx → Gx) ↔ − ( x) (Fx . – Gx)
(x) (Fx → − Gx) ↔ − ( x) (Fx . Gx)
( x) (Fx . Gx) ↔ − (x) (Fx → − Gx)
( x) (Fx . – Gx) ↔ − (x) (Fx → Gx)
A ∩ Ē ↔ A ∩ Ē ≠
A ∩ E ↔ A ∩ E ≠
A ∩ E ≠ ↔ A ∩ E
A ∩ E ≠ ↔ A ∩ Ē
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
65
Proposiciones modales aléticas
Los lógicos medievales idearon términos mnemotécnicos que expresan las
equivalencias o equipolencia entre proposiciones con distintas modalidades. En dichos
términos, la primera vocal expresa el modo de posibilidad; la segunda, el modo de
contingencia; la tercera, el modo de imposibilidad y la cuarta, el modo de necesidad.
Además,
A es una proposición afirmativa en cuanto al dictum y en cuanto al modo
E es una proposición afirmativa en cuanto al dictum y negativa en cuanto al modo
I es una proposición negativa en cuanto al dictum y afirmativa en cuanto al modo.
U es una proposición negativa en cuanto al dictum y en cuanto al modo
Con estas indicaciones se comprende claramente la función de los términos
mnemotécnicos. Cada uno representa las proposiciones equivalentes expresadas en
diferentes modalidades y permite organizar las relaciones entre proposiciones modales
aléticas. De este modo cada término se ubica en un vértice del cuadro de oposición:
Purpurea Iliace
Amabimus Edentuli
Las referencias convencionales señaladas precedentemente permiten formular las
proposiciones modales aléticas equivalentes de una forma ―mecánica‖, sin prestar atención
al contenido de las proposiciones sino solamente a su forma lógica. Sin embargo, desde el
punto de vista didáctico permite luego ejercitar las relaciones lógicas utilizando
proposiciones expresadas en diferentes modalidades. Esta estrategia motiva la actividad de
pensamiento y enriquece la instancia de aplicación.
Utilizando los términos mnemotécnicos los enunciados equivalentes son los
siguientes:
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66
No es posible que el sol no brille Pur
No es contingente que el sol no brille pu
Es imposible que el sol no brille re
Es necesario que el sol brille a
No es posible que el sol brille I
No es contingente que el sol brille li
Es imposible que el sol brille a
Es necesario que el sol no brille ce
Es posible que el sol brille A
Es contingente que el sol brille ma
No es imposible que el sol no brille bi
No es necesario que el sol no brille mus
Es posible que el sol no brille E
Es contingente que el sol no brille den
No es imposible que el sol no brille tu
No es necesario que el sol brille li
Así, Purpurea es contradictorio a Edentuli, contrario a Iliace y subalternante de
Amabimus y Edentuli es contradictorio a Pupurea, subcontrario a Amabimus y subalterno
de Iliace.
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67
En términos de la lógica contemporánea50
las equivalencias entre operadores
modales aléticos y deónticos quedan expresadas en los siguientes cuadros:
Proposiciones compuestas relacionadas e independientes
Todas las relaciones lógicas nombradas también se cumplen entre proposiciones
compuestas, aunque para identificarlas resulta necesario hacer uso del recurso de las ―tablas
de verdad‖. Del mismo modo que las proposiciones simples, las proposiciones compuestas
pueden ser lógicamente independientes y puede utilizarse el mismo recurso para probar su
independencia.
Dos proposiciones están lógicamente relacionadas cuando aparece en sus ―tablas de
verdad‖ al menos una de las imposibilidades expresadas en las leyes de las relaciones. En
caso contrario son proposiciones lógicamente independientes.
Por ejemplo, entre:
―Si el cielo está nublado, lloverá‖
existe relación de subcontrariedad.
―El cielo está nublado o lloverá‖
50
Se sigue la simbología de Von Wright en Ensayo de Lógica Modal
Np es equivalente a − M − p
N − p es equivalente a − M p
M p es equivalente a − N − p
M − p es equivalente a − N p
O p es equivalente a − P − p
O − p es equivalente a − P p
P p es equivalente a − O − p
P − p es equivalente a − O p
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
68
Las formas lógicas y las tablas de verdad de ambos enunciados son respectivamente
las siguientes:
(p → q) (p v q)
1) V V V 1) V V V
2) F V V 2) F V V
3) V F F 3) V V F
4) F V F 4) F F F
1º 3º 2º 4º 6º 5º (51
)
Si se observa las columnas 3º y 6º de las tablas de verdad de ambas formas lógicas
puede verse que:
a) la imposibilidad que expresa la ley de las Contrarias no se cumple en las líneas 1
y 2 (es imposible que ambas puedan ser verdaderas).
b) la imposibilidad que expresa la ley de las contradictorias no se cumple en las
líneas 1 y 2 (es imposible que puedan ser ambas verdaderas o ambas falsas).
c) la imposibilidad que expresa la ley de la implicación y la deducibilidad no se
cumple en la línea 4 (es imposible que la condición sea verdadera y que el condicionado sea
falso).
d) la imposibilidad que expresa la ley de la equivalencia no se cumple en la líneas 3
y 4 (es imposible que una sea verdadera y la otra sea falsa).
e) se cumple la imposibilidad que expresa la ley de las subcontrarias (es imposible
que ambas sean falsas).
Es decir que lo que no ocurre entre las posibles combinaciones de valores de verdad
es que ambos enunciados sean falsos. Por lo tanto existe relación de subcontrariedad entre
ambas proposiciones.
Mientras que si tomamos los siguientes dos enunciados:
51
El orden de numeración de las columnas en las tablas de verdad indica el orden de resolución de las
mismas.
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69
―La lógica es difícil pero interesa a lo estudiantes‖
―La luna es un satélite y la tierra es un planeta‖
Puede verse que existe entre ellos una identidad de estructura lógica (ambos son
enunciados copulativos) pero no mantienen ninguna relación lógica, pues no se cumple la
imposibilidad en ninguno de los sentidos establecidos anteriormente.
Las tablas de verdad correspondientes despliegan todas las posibilidades de
combinación entre valores de verdad de los cuatro enunciados que en ellas figuran y ponen
de manifiesto la independencia de los enunciados compuestos o moleculares:
(p . q) (r . s)
1) V V V 1) V V V
2) F F V 2) V V V
3) V F F 3) V V V
4) F F F 4) V V V
5) V V V 5) F F V
6) F F V 6) F F V
7) V F F 7) F F V
8) F F F 8) F F V
9) V V V 9) V F F
10) F F V 10) V F F
11) V F F 11) V F F
12) F F F 12) V F F
13) V V V 13) F F F
14) F F V 14) F F F
15) V F F 15) F F F
16) F F F 16) F F F
1º 3º 2º 4º 6º 5º
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70
Dado que son cuatro enunciados atómicos diferentes las combinaciones lógicamente
posibles entre sus valores de verdad son 16.
Si se observa las columnas 3º y 6º de las tablas de verdad de ambas formas
proposicionales puede verse que:
a) la imposibilidad de las contrarias no se cumple en la línea 1
b) la imposibilidad de las contradictorias no se cumple en las líneas 1, 6, 7, 8, 10,
11, 12, 14, 15 y 16
c) la imposibilidad de las subcontrarias no se cumple en las líneas 6, 7, 8, 10, 11,
12, 14, 15 y 16
d) la imposibilidad de la implicación no se cumple en la líneas 5, 9 y 13, lo mismo
que la imposibilidad de la deducibilidad
e) la imposibilidad de la equivalencia no se cumple en la líneas 2, 3, 4, 5, 9 y 13.
Este segundo ejemplo nos muestra dos enunciados independientes. La
independencia entre ambos enunciados se produce porque las proposiciones simples o
atómicas que la conforman no son las mismas. Cuando se trata de relacionar enunciados
compuestos o moleculares es necesario que las proposiciones atómicas intervinientes sean
las mismas.
Es importante destacar que para identificar la relación lógica existente entre dos
enunciados compuestos o moleculares no incide que la estructura lógica de los mismos sea
más o menos amplia, ello no condiciona el cumplimiento de la ley que rige la relación
lógica. Por ejemplo:
[(p . q) → p] [p ↔ (p v q)]
V V V V V V V V V V
F F V V F F F F V V
V F F V V V V V V F
F F F V F F V F F F
1º 3º 2º 5º 4º 9º 10º 6º 8º 7º
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71
Si se observa las columnas 5º y 10º de las tablas de verdad puede verse que la
relación lógica existente es la subcontrariedad, pues no se presenta nunca el caso de que
ambas fórmulas sean falsas.
Comprobación de una relación lógica entre proposiciones moleculares
Hasta el momento se ha comprobado la presencia a ausencia de las relaciones
lógicas entre enunciados moleculares controlando el cumplimiento o no cumplimiento de
las imposibilidades indicadas en la expresión de las leyes. Sin embargo es posible realizarlo
de un modo más ajustado a la naturaleza del cálculo lógico.
El procedimiento consiste en poner en comparación el sentido de las leyes que rigen
cada relación y el sentido de las conectivas lógicas. En algunos casos expresan el mismo
sentido y en otros casos expresan el sentido exactamente inverso.
Si hay coincidencia entre ambos sentidos y se conectan los enunciados, el análisis
veritativo de la función proposicional resultará una tautología. Mientras que si el sentido de
la ley es inverso al sentido de la conectiva, el resultado veritativo de la función
proposicional dará una contradicción.
Por ejemplo:
Relación de contradictoriedad: La Ley expresa que es Imposible que VV y FF
sentido coincidente sentido contrario
Disyunción Excluyente Conectivas Equivalencia
Sentido: es imposible VV y FF Sentido: es imposible V y F
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72
Comprobemos en dos fórmulas:
[(p → q) w (p . –q)]
V V V V V F F
F V V V F F F
V F F V V V V
F V F V F F V
(p → q) ↔ (p . –q)
V V V F V F F
F V V F F F F
V F F F V V V
F V F F F F V
En el primer caso la unión de ambas fórmulas con la conectiva de la disyunción
excluyente nuestra una tautología porque el sentido de la ley que rige la relación de
contradictoriedad coincide con el sentido de la conectiva de la disyunción excluyente (es
imposible que ambas proposiciones sean verdaderas o falsas). Si ambas formas
proposicionales se unen con la conectiva bicondicional se llega a una contradicción porque
el sentido de la ley y el sentido de la conectiva es opuesto.
Cuadro General
Ley Conectiva Conectiva
Relación Caso/s Imposibles Sentido Coincidente Sentido Opuesto
Contrariedad V-V A B A . B
Contradictoriedad V V - F F A w B A ↔ B
Subcontrariedad F - F A v B A / B
Implicación V - F A → B —
Deducibilidad F - V A → B —
Equivalencia V F - F V A ↔ B A w B
Resultado de las tablas de verdad Tautología Contradicción
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73
La observación atenta de las expresiones de formulación de las leyes que rigen las
relaciones permite destacar al menos dos consecuencias:
Existen relaciones que se excluyen mutuamente de tal modo que si dos
enunciados cualesquiera mantienen una determinada relación no pueden mantener otra.
Este es el caso de las relaciones de contradictoriedad y de equivalencia. Dos enunciados
contradictorios no pueden ser equivalentes a la vez y dos enunciados equivalentes no
pueden ser contradictorios a la vez. Las respectivas leyes expresan relaciones de valores de
verdad absolutamente opuestos.
Existen relaciones que no se excluyen sino que se implican. La relación de
contradictoriedad implica a la relacione de contrariedad y a la de subcontrariedad. Es
decir que todo par de enunciados contradictorios son también contrarios y subcontrarios,
aunque no se cumple que enunciados contrarios o subcontrarios sean contradictorios. Lo
mismo ocurre entre las relaciones de implicación y deducibilidad. Si un enunciado implica
a otro, el segundo se deduce del primero.
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74
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DE LA LÓGICA
FORMAL
La exploración de antecedentes teóricos sobre enseñanza de la lógica pone de
manifiesto que este tema constituye un campo de conocimiento poco explorado. Una reseña
bibliográfica amplia respecto al tema de la enseñanza de la filosofía en la que se incorpora
referencias bibliográficas con relación a la didáctica de la lógica,52
muestra que en algunos
casos sólo se presentan indicaciones didácticas tangenciales53
o se concentran en el
aprendizaje de la lógica en el nivel medio del sistema educativo.54
Recientemente, desde la
Universidad Autónoma de México se ha encarado específicamente esta cuestión a través de
la organización de un espacio denominado ―Taller de Didáctica de la Lógica‖ (TDL).
Desde su página web se ofrece un documento55
que presenta un interesante panorama de
todos los recursos existentes actualmente sobre didáctica de la lógica, favoreciendo y
orientando la definición de futuras investigaciones.
El autor muestra un amplio espectro de temas abiertos a la investigación, menciona
los recursos humanos en el TDL que se están ocupando de distintas áreas temáticas y
detalla los trabajos que en cada uno se han presentado en tres ámbitos diferentes: TDL,
Rutgers y ARACNE. El espacio temático relacionado a la cuestión: ¿cuáles son los efectos
comprobables de la enseñanza de la lógica? aparece casi inexplorado.
Como docente de cátedras de lógica para alumnos universitarios de humanidades he
reflexionado sobre este tema y realizando algunos trabajos escritos. En uno de ellos56
se
reseñó principalmente el decurso del recorte disciplinar que desde las cátedras se fue
realizando para dar respuesta a un doble interrogante: qué enseñar de lógica y para qué
52
Ver Obiols, G. Bibliografía acerca de la enseñanza, el aprendizaje y el estudio de la filosofía.
http://www.ilgiardinodeipensiero.com/obiols-1.htm.#(1) 53
Copi, I. 1974. ―Prefacio‖ de Introducción a la Lógica. Buenos Aires. Eudeba. Lungarzo, C. 1986.
―Presentación de la colección Lógica y Lenguaje‖ en Introducción a la teoría de la deducción. Buenos
Aires. Biblos. Vaz Ferreira, C. ―Prologo a la primera edición‖ de 1951. Lógica viva. Buenos Aires. Lozada.
José, E. T. 1986. "La enseñanza de la lógica en la escuela media" en Actas del V Congreso Nacional de
Filosofía. Revista de Filosofía y Teoría Política. La Plata. Nro. 26-27. 54
José, E. T. 1986. op. cit. 55
Morado, R. La investigación sobre la didáctica de la lógica en el mundo entero, en Taller de Didáctica de
la Lógica. Ciclo 2000-2 y 1999. La razón comunicada. Materiales del Taller de Didáctica de la Lógica.
México. Universidad de Xapala. Ed Torres Asociados. http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/razon.htm
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
75
enseñar lógica a alumnos de carreras de formación docente. Allí se propuso potenciar su
carácter instrumental para favorecer la formación del pensamiento lógico y crítico, el
aprovechamiento de sus recursos técnicos en otras áreas de conocimiento y el cumplimiento
de su función de disciplina auxiliar para la metodología de la investigación educativa.
Un antecedente específico sobre el tema de la evaluación de la lógica es la ponencia
presentada en el Congreso de Filosofía del 2001.57
Allí se comunicó algunos criterios de
evaluación elaborados como respuesta a la siguiente cuestión: ¿cómo y qué valorar del
aprendizaje de la lógica en alumnos de filosofía? Ahora se recupera y profundiza en
aquella comunicación.
La evaluación educativa
La evaluación educativa es un tema pedagógico y didáctico de gran amplitud y
profundidad. Este trabajo no tiene el propósito profundizar en su estudio ni valorar los
tratamientos teóricos realizados. Sólo toma algunos conceptos generales que permitan
contextualizar y justificar una propuesta de criterios de evaluación surgidos de la
experiencia docente en lógica para humanistas.
La exploración bibliográfica58
que se ha realizado para la elaboración de este trabajo
pone de manifiesto que el concepto de ―evaluación del aprendizaje‖ se toma como
equivalente a ―evaluación educativa‖ cuando el problema de la evaluación queda
restringido a la valoración de los aprendizajes en el aula en el marco de la interacción
docente-alumno.
Sin embargo actualmente el concepto ―evaluación educativa‖ abarca un campo de
investigación más extenso. Aparecen estudios que buscan dar respuesta a una amplia gama
de aspectos que condicionan la evaluación: sociales, políticos, económicos y científicos. De
este modo se ubican bajo este rubro estudios de diversa índole, tales como trabajos relativos
a los sistemas educativos y sus condiciones socio-políticas, estudios sobre el rendimiento
56
Mattar, B. 1998. La enseñanza de la lógica en carreras de formación docente. Ponencia presentada en la II
Reunión sobre investigación de cátedra. San Juan. Inédito. 57
Mattar, Beatriz y Palacio Mercedes, ―Reflexiones en torno a la necesidad de la Filosofía: Implicancias
educativas y su vinculación con el mundo de la Lógica‖. XI Congreso Nacional de Filosofía. Universidad
Nacional de Salta. Noviembre 2001 58
RELIEVE es una publicación española sobre el tema específico de la evaluación educativa. Allí figuran
importantes publicaciones que validan el actual amplio campo de la evaluación educativa.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
76
académico y el comportamiento de los docentes, investigaciones sobre cuestiones de
gestión institucional, tratamientos sobre aspectos curriculares etc. Puede verse además que
la ampliación del concepto de la evaluación educativa no significa el abandono de la
problemática de la evaluación de los aprendizajes en el aula sino que significa una
ampliación conceptual y metodológica del abordaje del tema.
Las concepciones y las prácticas evaluativas dependen de la teoría de la inteligencia
y del aprendizaje que sostienen quienes la implementan. Un análisis realizado por Gipps59
sobre la evolución de estas perspectivas muestra que se ha producido un cambio desde
enfoques psicométricos y conductistas hacia los marcos teóricos propuestos por el
constructivismo y la psicología cognitiva.
En la primera mitad del siglo XX el interés por las cuestiones referidas a la
evaluación de los aprendizajes estuvo ligado a la idea de ―medición‖ del aprovechamiento
de los resultados finales alcanzado por los alumnos. Se produjo un auge de los ―test‖ y de
las pruebas de evaluación de contenidos. Bajo esta concepción, los componentes del
proceso educativo priorizados son los objetivos. En efecto la aplicación de procedimientos
técnicos apunta a valorar el logro de los ―objetivos‖ (parciales o finales), previamente
concebidos y especificados, del modo más preciso, detallado y objetivo posible.
Desde esta perspectiva psicométrica, las preguntas básicas de la evaluación ¿para
qué evaluar?, ¿qué evaluar? y ¿cómo evaluar? estarán dadas desde la idea de una
evaluación normativa que permita valorar a los alumnos comparativamente.
El enfoque psicométrico se ve acompañado por la psicología conductista del
aprendizaje que entiende que todo aprendizaje complejo puede descomponerse en
habilidades que pueden aprenderse por separado. Por ello atiende a las conductas
observables y descuida las capacidades más generales de los estudiantes y también olvida
los procesos internos.60
Por lo mismo este enfoque da prioridad a los aspectos técnicos de las pruebas de
evaluación y a su validez, fiabilidad y capacidad de generalización.
59
Gipps, C. 1994. Beyond Testing: Towards a Theory of Educational Assessment en Marchesi, A. y Martín,
E. 1999. Calidad de la enseñanza en tiempos de cambio. Madrid. Editorial Alianza. p. 405/410.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
77
En los años sesenta el campo de la evaluación se amplía sustancialmente. Desplaza
el interés por los resultados a los procesos. Corresponde a una etapa en la que se cuestionan
las propias metas de la educación y por lo tanto la evaluación no puede reducirse sólo a la
comprobación del cumplimiento de los objetivos propuestos. Se subraya la importancia del
contexto que da sentido a los objetivos y a las estrategias que el docente selecciona para la
consecución de los mismos.
En esta etapa se reinicia el debate entre enfoques cuantitativos, experimentales,
nomotéticos y los enfoques cualitativos, naturalistas, hermenéuticos. La aparición y
desarrollo del enfoque de la Pedagogía Crítica, vinculado en gran medida a la reflexión
sociológica y filosófica, apunta a producir un cambio en las concepciones y prácticas de
evaluación. Por su parte los avances de la Psicología Cognitiva contemporánea significan
un aporte de relevancia para la definición del objeto de evaluación del aprendizaje y para la
elaboración de métodos y técnicas orientadas a tal fin.
Desde el enfoque Histórico Cultural se aporta la idea de ―evaluación dinámica‖,
inspirada en el concepto de “zona de desarrollo próximo” y contribuye al enriquecimiento
de los indicadores de evaluación del aprendizaje.
El paradigma de la Pedagogía Crítica, de la Psicología Cognitiva y el Enfoque
Histórico Cultural de la educación destacan la importancia de los conocimientos previos y
su valoración inicial, el papel de la organización y estructuración de los conocimientos en
la calidad de los aprendizajes, las estrategias de control y autoevaluación de los estudiantes,
etc.
Para los enfoques constructivistas el aprendizaje es un proceso de transformación de
estructuras cognitivas cada vez más desarrolladas y adecuadas para la adquisición de
nuevos conocimientos. De ahí que no tiene sentido la evaluación de conocimientos aislados
sino las capacidades para la construcción de sistemas de contenidos de conocimiento.
Los enfoques cognitivos acentúan la importancia de evaluar la generalización del
aprendizaje en el sentido de transcontextualización. Es decir que presta atención a la
60
Resnick y Resnick. 1992. Assessing the thinking curriculum: Neu tolls for educational reform en Marchesi,
A. y Martín, E. op.cit. p. 407
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
78
comprobación del uso de las capacidades en muchos contextos y áreas de contenidos
distintos.
Por otra parte desde estos marcos teóricos se le otorga gran importancia a la
metacognición. El progreso en el aprendizaje se entiende como un proceso de toma de
conciencia de los alumnos sobre los procedimientos que han permitido la resolución de
problemas y las dificultades que lo han impedido. Así, la capacidad de ―aprender a
aprender‖ pasa fundamentalmente por el conocimiento y regulación de los procesos
cognitivos de los alumnos. La autoevaluación y la coevaluación son consideradas como
actividades que permiten analizar tanto el proceso como el producto del aprendizaje, sin
que ello signifique dejar de lado la importancia de las devoluciones que los docentes hagan
a sus alumnos.
Lo señalado anteriormente muestra claramente que las últimas concepciones de la
evaluación opone al enfoque normativo del modelo psicométrico, un enfoque criterial de la
evaluación.
Para estos modelos de aprendizaje lo que corresponde evaluar es la capacidad de
razonamiento de nivel superior, la significatividad de los aprendizajes y la funcionalidad
de nuevos conocimientos.
Los conceptos de fiabilidad, validez y generalización del enfoque psicométrico son
reemplazados por los conceptos de credibilidad, transferencia y confianza.61
Una evaluación con credibilidad impone la implementación de una evaluación
continua, la transferencia de los resultados a otros contextos supone tomar en
consideración los contextos de producción y la confianza de la evaluación supone valorar
el currículo establecido, la claridad y concreción en los criterios de evaluación y el
seguimiento del proceso de evaluación.
Finalmente, para los modelos constructivistas y cognitivos el interés de la
evaluación no está en la obtención de una medida y la ubicación del alumno en una escala
clasificatoria sino en mejorar el aprendizaje y la enseñanza. Consiguientemente, los
61
Guba y Lincoln. 1989. Fourth Generation Evaluation. en Marchesi, A y Martín, E. op.cit. p. 409
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
79
procedimientos e instrumentos de evaluación deben contribuir al desarrollo de las
capacidades de alto nivel, los procesos de pensamiento y la resolución de problemas.
Tipos de evaluación
La evaluación de los aprendizajes en el marco de las instituciones educativas
cumple una doble función. Por una parte busca promover la adquisición de determinadas
capacidades en los alumnos y por otra parte busca acreditar ante la sociedad sus logros
académicos.62
La función pedagógica de la evaluación exige comprender el proceso de enseñanza
y aprendizaje además de servir para reajustar dicho proceso. Demanda una evaluación
continua que valore la evolución de los alumnos en función de determinados criterios y
tomando en consideración la situación inicial de cada alumno.
La función social-acreditativa de la evaluación supone valorar los resultados, obliga
a la comparación de los alumnos con un criterio común y se expresa mediante una
calificación.
La información requerida es obligadamente diferente en cada caso. La función
pedagógica demanda un informe descriptivo con indicadores de logro detallado que refleje
la evolución del proceso de cada alumno. Mientras que la función social-acreditativa
reclama una información cuantitativa (calificación) que exprese los logros
comparativamente alcanzados por los alumnos.
Estas funciones se corresponden con tipos de evaluación diferentes: la evaluación
formativa y la evaluación sumativa. Sin embargo no deben considerarse como excluyentes
sino como complementarias y sucesivas. Es decir que según la etapa en la cual se encuentre
el proceso educativo cobra mayor peso uno u otro tipo de evaluación. Los informes de
evaluación debieran ir transformándose desde la descripción cualitativa a la valoración
cuantitativa. 63
62
Coll C. y Martín E. 1996. ―La evaluación de los aprendizajes: una perspectiva de conjunto‖ en Signos. Nº
18. pp. 64-77. 63
Gimeno J. 1996. La transición a la educación secundaria. Madrid. Morata.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
80
Cuando las prácticas de evaluación implementadas priorizan la evaluación sumativa
expresan la confusión entre ambos tipos de evaluación, conducen al desmedro de la función
pedagógica e impiden las prácticas de evaluación en el aula. Además significa un deterioro
en la calidad de los procesos educativos porque si el docente solamente tiene en cuenta la
evaluación sumativa no puede tomar decisiones pedagógicas de replanificación de la
enseñanza en función del grupo de alumnos.
La evaluación inicial o diagnóstica es el tipo de evaluación que aporta la
información necesaria para ajustar las planificaciones educativas a los conocimientos
previos de los alumnos y a las particulares formas de aprender que ponga de manifiesto el
grupo. De este modo permite la implementación posterior de la evaluación formativa que
aporta una información continua.
La información obtenida por los tres tipos de evaluación: inicial, formativa y
sumativa no sólo tiene que ser dominio del docente sino también del alumno, con la
finalidad de que ellos tomen conciencia de hasta qué punto están logrando los objetivos
deseados.
La evaluación puede cumplir para el docente y para los alumnos una función
reguladora. Si ello ocurre permite la reorganización de la tarea docente porque orienta en
las modificaciones necesarias de los procesos de enseñanza; y sirve a los alumnos como
instrumento de autoregulación del aprendizaje en la medida que le aporta la información
para constatar su aprendizaje y los obstáculos que necesita salvar.
¿Qué evaluar del aprendizaje de la lógica formal?
Las nociones precedentes permitieron determinar qué evaluar en el aprendizaje de la
lógica formal. Muchas situaciones de evaluación pusieron de manifiesto que los alumnos
repiten conceptos disciplinares, muestran dificultades para vincularlos y usarlos. Por ello,
desde la cátedra se comenzó a acentuar la evaluación de la capacidad de pensamiento
formal y consecuentemente la vinculación de los contenidos en redes de conocimientos
significativos (al menos con epistemología y metodología de la investigación) y el uso de
las habilidades lógicas en otros contextos curriculares y extra-curriculares. La capacidad de
pensamiento formal es la condición indispensable para el aprendizaje de la lógica formal.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
81
Jean Piaget explica y describe las características de la capacidad operatoria formal.
Si el alumno ha alcanzado el nivel operatorio formal puede imaginar todas las
combinaciones posibles entre elementos o factores, puede disociar los factores de la
combinatoria y puede razonar deductivamente las consecuencias observacionales
partiendo de la asociación hipotética entre los factores. En efecto, la combinatoria se
obtiene disociando factores de un todo es decir variando uno por vez y manteniendo
constantes los demás. La capacidad para la combinatoria permite que el alumno:
a) conciba todos los casos posibles sin seleccionar aquéllos que conforman los casos
reales, es decir los que se dan en la observación.
b) razone deductivamente las consecuencias observacionales partiendo de la
disociación hipotética de todos los factores puestos en juego.
c) pueda reconocer y formular razonamientos hipotético-deductivos, donde las
proposiciones plantean los datos como hipótesis o suposiciones.
d) pueda realizar las operaciones entre proposiciones.
El logro de la combinatoria hace posible las operaciones entre proposiciones y el
razonamiento proposicional pero las operaciones entre proposiciones pueden registrarse en
diferentes niveles: operaciones intraproposicionales y operaciones interproposicionales.
En el período de operaciones concretas, el razonamiento se apoya también en
proposiciones aunque éstas no se relacionan con otras proposiciones, sino que se
descomponen en clases y relaciones que constituyen el "contenido" de las proposiciones
simples.64
En esta etapa evolutiva del pensamiento, las operaciones son
intraproposicionales es decir que el niño realiza operación entre clases y relaciones. Las
estructuras intraproposicionales son: intersección, unión, diferencia, pertenencia,
inclusión e igualdad entre clases y relaciones, y Piaget las denomina operaciones de
primera potencia.
64
Las proposiciones simples desde el punto de vista de la lógica formal son la mínima estructura de
enunciación. Los elementos que la componen son términos y analizadas desde el punto de vista de la
―extensión‖ hacen referencia a la relación de pertenencia de un individuo a una clase o a una relación, y
también a la relación entre clases o entre relaciones. El tratamiento lógico de este tipo de proposiciones y las
formas inferenciales correspondientes, figuran en los libros de lógica bajo el epígrafe ―Lógica de clases‖ y
―Lógica de relaciones‖.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
82
En el período de operaciones formales las proposiciones se relacionan con otras
proposiciones formando proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples,
mediante el uso de "conectores lógicos" tales como: negación, conjunción, disyunción,
implicación, bicondicional, etc.65
Si las operaciones entre clases y relaciones constituyen el contenido de las
operaciones intraproposicionales, éstas constituyen el "contenido" de las operaciones
interproposicionales, que Piaget denomina operaciones de segunda potencia puesto que
son operaciones sobre otras operaciones.
Las operaciones interproposicionales propias del nivel de pensamiento formal
configuran un sistema de conjunto, es decir que todas las operaciones entre proposiciones
están relacionadas entre sí conformando una estructura de conjunto de 16 operaciones
proposicionales posibles con dos proposiciones y logradas mediante la aplicación de
alguna acción de transformación.66
El grupo INRC describe los mecanismos operatorios fundamentales de las
transformaciones proposicionales por esto describe la estructura operatoria del nivel de
pensamiento formal. Estas transformaciones son: identidad (I), inversión (N), reciprocidad
(R) y correlatividad (C).
Las cuatro transformaciones proposicionales se operan sobre operaciones
interproposicionales y la aplicación sistemática de ellas muestra cómo se obtienen las
operaciones proposicionales, unas a partir de otras. Las 16 operaciones binarias son
resultado de las cuatro operaciones de transformación. Por ejemplo, si a la operación
interproposicional "incompatibilidad" (p/q) se aplica la operación de transformación
correlativa da por resultado la operación interproposicional "negación conjunta" (p↓q).
Comparando las relaciones entre las transformaciones proposicionales ―inversa‖,
―recíproca‖ y ―correlativa‖ se advierte que es posible conformar:
65
En cualquier libro de lógica elemental puede encontrarse el desarrollo explicativo de la composición de
enunciados proposicionales y el tratamiento de la forma de razonamiento proposicional, en el capítulo
correspondiente a ―Lógica Proposicional‖ (también puede denominarse ―Lógica de enunciados‖, ―Lógica de
juntores‖ y otros) 66
Para un detalle explicativo de las 16 operaciones interproposicionales, su estructura de conjunto y el
isomorfismo con el agrupamiento intraproposicional, consultar: Piaget, J. 1977. Ensayo de Lógica
Operatoria. Buenos Aires. Editorial Guadalupe. p. 251/266.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
83
Dos grupos de cuatro operaciones (ocho operaciones) en los cuales para cada
operación componente hay una inversa, una recíproca y una correlativa distinta.
Un grupo de cuatro operaciones que se caracteriza por tener operaciones
inversas distintas pero operaciones recíprocas y correlativas idénticas entre sí.
Un grupo de cuatro operaciones caracterizado por operaciones recíprocas
distintas pero idénticas a las inversas y operaciones correlativas idénticas entre sí.
Las cuatro transformaciones están interrelacionadas conformando una estructura de
conjunto, el grupo INRC, donde los elementos son las transformaciones y no las
operaciones interproposicionales. Si a una transformación se le aplica otra transformación
da por resultado otra transformación del mismo grupo, por ejemplo la transformación
"reciprocidad" es igual a la inversa de la correlativa (R = NC).67
Críticas al estadio de las operaciones formales
La teoría piagetiana de los estadios de pensamiento y su caracterización ha recibido
numerosas observaciones críticas y muchas investigaciones parecen no confirmarla. A
pesar de esto, se considera que no ha sido invalidada ni existe una teoría alternativa que
desarrolle desde este punto de vista, las condiciones de posibilidad del pensamiento
formal. Rita Vuyk68
, recoge las críticas y las organiza en dos grupos: críticas e
investigaciones irrelevantes y problemas y críticas relevantes.
El primer grupo de críticas hace referencia a algunas investigaciones que cuestionan
diversos aspectos de la teoría piagetiana del estadio de pensamiento lógico formal pero en
general son críticas ―débiles‖.69
La autora entiende que son críticas relevantes aquellas que cuestionan la
caracterización misma del estadio formal y la relación entre sus aspectos. Ya se ha señalado
que la combinatoria y el grupo INRC describen la capacidad operatoria del nivel formal.
Ello supone la capacidad para plantear hipótesis sobre lo posible y utilizar el enfoque
"permaneciendo igual en todo lo demás” (disociación de factores). Si esto es así, Piaget
67
Piaget, J., op. cit., p. 317/318. 68
Vuyk, R. 1981. Panorama crítico de la epistemología genética de Piaget 1965-1980, II. Versión española
de Cristina del Barrio. Madrid. Editorial Alianza. 69
Consultar Vuyk, R. op. cit. 507/512.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
84
debiera haber planteado criterios claros para interpretar las pruebas experimentales
dirigidas a controlar la relación entre la combinatoria y aquellos aspectos. Sin embargo
piagetianos y antipiagetianos consideran que el ―significado de operaciones formales" y los
"criterios para diagnosticar su presencia", no están tan claros y explícitos en la obra de
Piaget. Al respecto Rita Vuyk70
hace referencia a la crítica de Ennis71
quien sostiene que
ninguno de los cuatro criterios que establece Piaget (utilización del lenguaje de la lógica
proposicionnal; razonamiento en términos de suposiciones; distinción entre operaciones y
disociación de variables) son satisfactorios. De tal manera no aparece clara la relación entre
el planteamiento de hipótesis y la disociación de factores con la combinatoria.
A pesar de la relevancia de esta crítica es razonable pensar como esta autora y sobre
la base de textos de Piaget, que hay razones para dudar de la interpretación de Ennis. Puesto
que "rechazar la combinatoria implica un rechazo de todo el estadio formal en todas sus
manifestaciones y entonces ya no hay necesidad de seguir discutiendo sobre él".72
Procedimiento e Indicadores para el estudio empírico del nivel de pensamiento
lógico formal.
La teoría piagetiana sobre el nivel de pensamiento formal no deja dudas acerca de
que las pruebas aisladas no proporcionan buenos indicadores del nivel de pensamiento sino
que el indicador es significativo cuando se presenta en una situación total. El
comportamiento de conjunto es lo que se vuelve indicador de la estructura. Esta
característica se hace especialmente manifiesta en el estudio del pensamiento formal.
En este nivel el indicador fundamental es el manejo de la combinatoria
proposicional. Por esto un indicador confiable es la disociación de factores ya que la
combinatoria supone el aislamiento de variables. Es decir que dejar invariante uno y variar
los otros es el indicador de que el alumno maneja la combinatoria proposicional y ha
construido un pensamiento hipotético-deductivo.
70
Vuyk, R. op. cit. pág. 513-517. 71
Ennis, R. H. ―Conceptualización de la competencia lógica de los niños: la lógica proposicional de Piaget y
una propuesta alternativa‖ en Siegel, L. Y Brainerd, C. (ed.) 1983. Alternativas a Piaget. Madrid. Ed.
Pirámide. 72
Vuyk, R. op. cit. p. 517.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
85
Castorina y Palau destacan que el procedimiento apropiado para estudios sobre los
niveles operatorios es el método clínico. La evaluación se hace a partir del conjunto de
comportamientos y respuestas dadas en el marco de encuentros planeados sin tópicos ni
secuencia rígida. Es conveniente tener solamente previstas ciertas cuestiones básicas
ligadas a las hipótesis e ir avanzando en la búsqueda de indicadores a medida que las
respuestas a los planteos van surgiendo. El procedimiento reclama una secuencia de
pruebas variando la pregunta siguiente, según la respuesta precedente y su justificación.
Corresponde introducir contra-ejemplos, indagar la solidez de los argumentos, la
susceptibilidad del sujeto a las contradicciones y modificar el material en el transcurso de la
prueba para constatar si continúa juzgando la situación de acuerdo a los mismos criterios73
.
Es decir que se procede: criticando los argumentos del entrevistado y modificando la
situación experimental a través de la variación de los factores en juego.
Una propuesta de indicadores empíricos de pensamiento formal
Modelo de Prueba de Evaluación
El objetivo general de estas pruebas es indagar las operaciones de pensamiento
lógico que se efectúan para resolverlas.
Es muy importante que el alumno justifique sus respuestas, es decir que expliques el
motivo por el cual piensa que está dando la respuesta correcta y proponga una o más
formas para controlar dicha corrección.
Problema N° 1
Un arquitecto está diseñando un pequeño centro de compras que tendrá cuatro
negocios: una confitería ―C‖, una disquería ―D‖, una juguetería ―J‖, y una boutique ―B‖.
Cada uno de los negocios puede ubicarse en cualquiera de los cuatro locales del centro de
compras. Por ejemplo, la distribución que se muestra abajo es una de las posibles.
73
Castorina, J. Y Palau, G. 1981. Introducción a la Lógica operatoria de Jean Piaget. Editorial Paidós.
Barcelona, Buenos Aires.
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86
CONFITERIA
C
DISQUERIA
D
JUGUETERIA
J
BOUTIQUE
B
¿Cuántas son las formas posibles de distribución?............................................................
¿Porqué?:.............................................................................................................................
El arquitecto, ¿podría pensar otras formas? .......................................................................
¿Porqué?:.............................................................................................................................
Usando las abreviaturas ―C‖, ―D‖, ―J‖ y ―B‖ para representar los cuatro negocios,
¿podrías hacer una lista de las distribuciones posibles? ………...............................................
Problema N° 2
La siguiente es una curiosa máquina que tiene cuatro entradas: E1, E2, E3, E4, y también
cuatro salidas: S1, S2, S3 y S4.
Cada entrada está conectada solo con su respectiva salida del mismo número.
Cada salida está relacionada con su correspondiente entrada, de la siguiente manera:
E1 S1 * Las figuras introducidas por E1 salen por la salida S1 invertidas de derecha a izquierda
E2 S2 * Las figuras introducidas por E2 salen por la salida S2
al revés (patas arriba)
E3 S3 * Las figuras introducidas por E3 salen por S3 al revés
(patas arriba) e invertidas de derecha a izquierda
E4 S4 * Las figuras introducidas por E4 salen por S4
derechas pero amplificadas por el factor 3
a) Si se introdujera la figura por E1, ¿qué aparecería en su respectiva salida S1?
b) ¿Cómo debería introducirse la figura en E3 para que salga por S3 tal como se ve en la
figura?
c) ¿Cómo saldría la figura por la salida S2, si se la introduce por la entrada E2?
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
87
d) ¿Cómo saldría la figura por S4 si se la hace pasar por E1, luego por E2, luego por E3,
y por último por E4?
e) ¿Cuál de las siguientes figuras no se vería afectada si se las hace
pasar por cualquiera de las tres primeras entradas de la caja?
f) Enuncia una o más formas de controlar la corrección de tus respuestas..............................
Problema N° 3
En esta situación se trata de controlar la flotabilidad de un conjunto de cuerpos de
distintos materiales y tamaños en un medio líquido constante.
Considera el siguiente conjunto de cuerpos.
Corcho Goma Madera 1 3 5 7 9 11
2 4 6 8 10 12
a) ¿Cuáles de los cuerpos puedes comparar para encontrar si los más chicos
flotan más que los grandes?.....................................................................................................
¿Por qué........................................................................................................................
b) ¿Puedes comparar las esferas 6 y 9 para averiguar si las esferas grandes
flotan más que las chicas?.........................................................................................................
¿Por qué?.......................................................................................................................
c) ¿Qué cuerpos compararías para saber si los de corcho flotan más que los de
goma?........................................................................................................................................
¿Por qué eliges esos cuerpos y no otros?................................................................
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
88
d) ¿Puedes comparar los conos 4 y 12 para controlar si los conos de corcho
flotan más que los conos de madera?........................................................................................
¿Por qué?.......................................................................................................................
e) ¿Qué cuerpos elegirías para establecer cual es el material que flota más?........
¿Por qué?.......................................................................................................................
Descripción de las Pruebas
El diseño de esta prueba de evaluación no se ajusta al método clínico sino que
corresponde a un diseño de procedimiento ―pre-planeado‖. A pesar de ello resulta de
utilidad, si se aplica a la totalidad de los alumnos con el propósito de identificar casos
problemáticos para diseñar estrategias pedagógicas que contribuyan positivamente a
desarrollo de las estructuras de pensamiento lógico formal. Además, se contrarresta la
incidencia de la limitación procedimental teniendo en cuenta especialmente los siguientes
aspectos:
Las pruebas están orientadas hacia la detección de un aspecto central: control de la
capacidad de disociar factores y capacidad para operar la inversión
(reversibilidad), como condiciones de posibilidad de la combinatoria proposicional
y del razonamiento hipotético deductivo.
El criterio general para la valoración de los resultados debe ser la aparición de
indicadores de ―competencias‖ y no necesariamente el ―logro de resultados‖, dado
que lo que se intenta indagar son capacidades y no desempeños.
Es necesaria la previsión de espacios para la ―justificación‖ de cada una de las
respuestas a fin de poder apreciar si los alumnos razonan mediante operaciones
entre clases y relaciones o lo hacen con operaciones proposicionales.
El diseño debe incluir preguntas recurrentes como una forma de confirmación de
las respuestas, y además para probar la susceptibilidad a la contradicción.
Se debe prestar atención a las preguntas de los alumnos durante la realización de la
prueba. El propósito es advertir si están razonando en forma hipotético-deductiva.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
89
El registro de observación durante la realización de la prueba constituye un dato
complementario a otros indicadores.
Prueba N° 1
Es la prueba central. Busca diagnosticar la capacidad para operar la combinatoria.
Los alumnos debieran advertir: a) que se trata de posibilidades lógicas y no de posibilidades
reales, b) operar la disociación de factores y c) ―calcular‖ el número de posibilidades de
combinación.
La pregunta ―a‖ es la ―pregunta básica‖.
Las preguntas b, c, d y e son recurrentes y tienen la finalidad de constatar la solidez
de las respuestas y la susceptibilidad a la contradicción.
La “capacidad de cálculo” se pone de manifiesto en ―a‖ y ―c‖. Se toma como
indicador de esta capacidad: 1) Si el alumno indica en ―a‖ una cifra mayor que el número
de posibilidades de distribución que desarrolla en ―e‖; 2) Si el alumno despliega en ―e‖ el
mismo número de distribuciones que indica en ―a‖ pero explica en ―b‖ el proceso de
cálculo y 3) Si el alumno indica alguna cifra de posibilidades de distribución en ―a‖, y
contesta ―no‖ en ―c‖.
La “capacidad para operar con posibilidades lógicas” (y no reales) se manifiesta
en ―b‖ y ―d‖. Se toma como indicador la ausencia de referencia a cualquier orden de
cuestiones reales (al arquitecto, al mejor manejo comercial, a la mejor distribución estética
etc.)
La “capacidad para operar la disociación de factores” se muestra en ―e‖. El
indicador inequívoco es el mantenimiento constante de un elemento y la variación de otros.
Criterio de Evaluación
Para evaluar la capacidad de operar la disociación de elementos, la capacidad para
operar la inversión, la capacidad para calcular permutaciones y la capacidad para operar
con posibilidades lógicas (diferenciándolas de las posibilidades reales) es suficiente que los
alumnos logren realizar "algún" cálculo, aunque no señalen la cifra exacta ni expliciten
todas las permutaciones posibles (preguntas ―a‖ y ―e‖)
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
90
La capacidad para pensar en posibilidades lógicas y no en posibilidades reales se
pone de manifiesto en la justificación de las respuestas (preguntas ―b‖ y ―d‖)
La pregunta ―c‖ es confirmatoria de la pregunta ―a‖ y revisa la susceptibilidad a la
contradicción, ya que es contradictorio contestar a la pregunta ―a‖ dando una cifra y
contestar ―si‖ a la pregunta ―c‖. Además, si el alumno advierte que se trata de
posibilidades lógicas y no reales no puede contestar que habría más posibilidades de
combinación.
A partir de esto se pueden establecer las siguientes categorías clasificatorias:
1. Capacidad para el logro de la operatoria formal: si el alumno alcanza los
resultados correctos o si opera con posibilidades lógicas y no reales, si opera la
permutación (disociación de factores, inversión), aunque no formule los resultados
correctos y completos.
2. Capacidad para “enfrentar” la operatoria formal: si responde al menos a
algunas de las preguntas que exprese alguna capacidad para operar formalmente.
3. Incapacidad para “enfrentar” la operatoria formal: si no contesta a ninguna
de las preguntas o lo hace desde un punto de vista no formal.
Prueba N° 2
Esta prueba busca evaluar la capacidad para operar la reversibilidad en el espacio
incluyendo la operación directa, inversa y recíproca. En esta prueba no es posible asignar a
cada item una operación dado que en los items ―a‖, ―b‖, ―c‖ y ―d‖ se efectúan las diversas
operaciones. El item ―f‖, está dirigido a probar la capacidad reflexiva sobre las operaciones
efectuadas a través de la formulación de alguna hipótesis de control de corrección.
Criterio de evaluación
La ―capacidad para operar la reversibilidad” se puede considerar lograda si el
alumno es capaz de operar alguna forma de transformación a las figuras aunque no logre en
todos los casos la forma correcta.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
91
La “capacidad de reflexión sobre la operación” se puede considerar alcanzad si el
alumno menciona alguna hipótesis de control.
A partir de ello se pueden establecer 3 categorías de clasificación:
1. Capacidad para operar la reversibilidad y reflexión: si el alumno es capaz
de efectuar la operación directa, inversa y recíproca y además es capaz de reflexionar sobre
la operación proponiendo alguna forma para el control de la corrección de la operación
2. Capacidad para operar en forma incompleta la reversibilidad: si el alumno
es capaz de operar alguna forma de transformación a las figuras.
3. Incapacidad para operar la reversibilidad: si el alumno no contesta.
Prueba N° 3
La prueba busca evaluar la “capacidad para disociar factores” y refuerza la Prueba
N°1.
En la consigna está expresamente señalado que las variables intervinientes son el
―material‖ y el ―tamaño‖.
Es conveniente destacar que para la resolución de la prueba no es necesario conocer
el valor de flotabilidad de cada material, de cada tamaño ni de cada forma. Solo es
necesario disociar los factores.
La prueba muestra también la capacidad para operar con posibilidades lógicas y no
reales y consecuentemente la capacidad para razonar hipotética deductivamente.
Todos los items indican las tres capacidades señalada por esto las preguntas
recurrentes y la justificación a cada respuesta indicará la existencia o no de la capacidad.
Criterio de evaluación
Además del manejo de las variables señaladas pueden considerarse adecuadas
aquellas respuestas que también hagan referencia a la intervención de la ―forma‖ y al
―peso‖ (este último como variable dependiente del material y el tamaño)
Las tres categorías clasificatorias pueden distribuirse del siguiente modo:
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
92
1. Capacidad para la disociación lógica de factores: si los alumnos, en todos
los items, muestra que puede mantener constante un factor y hace variar otros, sin entrar en
contradicción en las preguntas recurrentes, y si trabaja con posibilidad lógica
2. Capacidad esporádica para la disociación de factores: si el alumno, al
menos en algunos casos, opera la disociación sin entrar en contradicción
3. Incapacidad para disociar factores: si no contesta o las respuestas no son
consistentes.
Sistema y Criterios de Evaluación
Si bien es indudable que el estudio de la lógica formal ofrece el beneficio de
contribuir al desarrollo de la capacidad para formular razonamientos con rigor y
examinarlos críticamente, creemos que es necesario el desarrollo de otras formas de
aptitudes intelectuales y de pensamiento crítico. También contribuye al desarrollo del
pensamiento lógico el ejercicio de la capacidad para expresar ideas con claridad y
concisión, conceptualizar, interpretar y analizar. Del mismo modo es relevante fomentar la
valoración crítica de los recursos lógicos según su instrumentalidad con relación a otras
asignaturas curriculares y con la formación docente en general. Educar capacidades y
habilidades impone promover, no sólo la enseñanza de conceptos y procedimientos sino
también la reflexión y justificación de los mismos.
Durante el cursado de la materia, y a través de la realización de ―trabajos prácticos‖,
se puede acentuar la evaluación de los elementos suficientes y necesarios para la
promoción regular de la asignatura. Se propone los siguientes criterios de evaluación:
1. Habilidad para el manejo fluido de los procedimientos lógicos.
2. Actitud participativa.
A la vez, durante el cursado de la asignatura, la realización de ―parciales‖ puede
estar dirigida a la evaluación del nivel de comprensión del sentido de la lógica como
ciencia, del nivel de la especulación lógica y de la capacidad de fundamentación teórica.
En este sentido se propone evaluar fundamentalmente:
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
93
1. Profundidad conceptual
2. Alcance del manejo bibliográfico
3. Capacidad para establecer relaciones originales
4. Capacidad para fundamentar teóricamente los aspectos técnicos
5. Nivel de rigurosidad y claridad expositiva
La evaluación final debe ser una instancia de evaluación complementaria y
orientada a la consideración de los siguientes aspectos:
1. Nivel de comprensión integral.
2. Nivel de fundamentación teórica de los aspectos técnicos.
3. Capacidad para establecer relaciones.
4. Capacidad para detectar campos de aplicación.
5. Capacidad de razonamiento.
6. Nivel de precisión en el uso de lenguaje técnico.
7. Capacidad para estructurar contenidos.
8. Nivel de claridad en la exposición.
9. Alcance del manejo bibliográfico.
10. Actitud investigativa.
El cumplimiento de los objetivos señalados impone pensar un sistema de evaluación
gradual, creciente y diversificada, que otorgue valor no sólo a los sistemas teóricos
producidos y al manejo técnico de los procedimientos lógicos, sino también a la capacidad
de fundamentación teórica de dicho ―hacer‖, a la comprensión del sentido de la lógica y a
la reflexión crítica. Por ello la propuesta contempla el paso de los alumnos por instancias
de evaluación diferentes donde se ponga de manifiesto el proceso de aprendizaje, la
capacidad de operación lógica, y la capacidad de reflexión sobre la operatoria.
En síntesis, la evaluación del aprendizaje de la lógica pensada para estudiantes de
humanidades no puede reducirse al control del conocimiento de determinados sistemas
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94
formales. La reflexión sobre la práctica docente ha conducido a la conclusión de que es
más adecuado el diseño de un sistema de evaluación estructurado por criterios de
valoración que no descuiden valorar la formación de actitudes y capacidades.
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95
TRABAJOS PRÁCTICOS DE LÓGICA FORMAL
Rolando Mercado y Beatriz Mattar
Introducción
El propósito de esta presentación es comunicar y contextualizar un conjunto de
ejercicios de lógica formal realizados en el año 2001 por el alumno Rolando Mercado para
la cátedra Lógica I.
La propuesta de adscripción se orientó a la realización de un “Cuaderno de
Ejercicios” para acompañar los desarrollos teóricos de algunos temas de Lógica Formal.
Dicho propósito se consideró pertinente y útil a la cátedra por varios motivos que de algún
modo están relacionados entre si.
En primer lugar, son pocos los manuales de exposición didáctica de lógica formal
que contienen suficientes ejercicios de aplicación,74
y aquellos que la incluyen, a medida
que transcurren los años, se van convirtiendo en un recurso ya ―conocido por los alumnos‖
y en algunos casos, ―heredados‖ por cada nueva promoción. De tal modo que dejan de
cumplir el objetivo buscado transformándose en recursos didácticamente ineficaces.
En segundo lugar, como consecuencia inmediata de lo anterior, desde la cátedra se
improvisaba cada año una considerable cantidad de recursos didácticos nuevos, que en el
mejor de los casos, se conservaban sólo en los archivos personales. Por lo mismo al no
quedar al alcance de la libre disposición de los alumnos no brindaban el fruto educativo
que potencialmente podrían haber otorgado. Es decir, favorecer la autoejercitación para un
espectro temático más amplio y variado.
En tercer lugar, si bien es ―natural‖ el proceso de caducidad de la ejercitación en
este tipo de asignaturas, correlativamente es ―generadora de riqueza creativa‖ en los
docentes y en los alumnos. Los docentes espontáneamente producimos nuevas
74
Copi, I., 1982. Introducción a la Lógica. Buenos Aires. Eudeba. Copi, I. 1979. Lógica Simbólica. México.
Cía Ed. Continental. Colaccilli de Muro, J. C. y M. A. 1995. Elementos de Lógica Moderna y Filosofía.
Buenos Aires. Eudeba. Giannella de Salama, A. 1996. Lógica Simbólica y Elementos de Metodología de la
Ciencia. Buenos Aires. Editorial El Ateneo. Maritain, J.1980. El orden de los Conceptos. Buenos Ares. Club
de Lectores. Suppes, P. 1964. Introducción a la Lógica Simbólica. México. Cia. Ed. Continental S.A. Ferrater
Mora y Leblanc, 1955. Lógica Matemática. México. F.C.E. Garrido, M. 1986. Lógica Simbólica. Madrid.
Técnos. Blanché, R. 1963. Introducción a la Lógica Contemporánea. Buenos Aires. Ed. Lohlé.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
96
ejercitaciones ajustadas a los grupos de alumnos y a las circunstancias históricas de cada
momento. En muchas oportunidades los alumnos motivan la creatividad del docente y a la
vez ellos mismos realizan también su aporte creativo. Esta tarea de generación de ejercicios
no se venía sistematizando en la cátedra, de tal modo que configuraba realmente en espacio
de trabajo bastante arduo que se venía realizando año tras año y muchas veces era un
trabajo no recuperable.
Por estos motivos, se valoró la inquietud del alumno para contribuir con la cátedra
en la realización de un Cuaderno de Ejercicios para la implementación de trabajos prácticos
sobre los siguientes temas:
1. Forma lógica con razonamientos.
2. Operaciones entre clases.
3. Formalización e interpretación de enunciados en lógica proposicional, lógica
cuantificacional y lógica de clases.
4. Formalización e interpretación de razonamientos en lógica proposicional,
lógica funcional y lógica de clases.
5. Demostración de formas de razonamientos silogísticos y no-silogísticos.
La ejercitación fue elaborada por el alumno Rolando Mercado y orientada,
corregida, completada y sistematizada por la profesora titular de la cátedra.
La primer parte contiene algunos desarrollos teóricos dirigidos a caracterizar y
contextualizar la ejercitación de los temas de lógica formal trabajados. La ejercitación
propiamente dicha figura en la segunda parte.
Aunque resulte reiterativo, es necesario comprender que la ejercitación para la
enseñanza de la lógica es un proceso siempre inacabado que demanda una auténtica
capacidad de creación del docente. Su potencialidad formativa sólo se actualiza en función
de su sensibilidad teórica y didáctica en el marco del contacto docente-alumno. Los
ejercicios en sí mismos pueden convertirse en un instrumento inútil sin la intervención
adaptativa del docente con vocación que va ajustando las estrategias didácticas a las
condiciones reales de cada grupo de alumnos.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
97
Finalmente, esta línea de trabajo, no se considera cerrada con esta presentación sino
que necesita irse completando, corrigiendo y adaptando según las necesidades y
condiciones de la cátedra. Desde nuestra perspectiva, se la considera como un borrador
inicial de una tarea de producción de cátedra siempre inacabada.
Filosofía, Lenguaje y Lógica Formal
El pensamiento filosófico que acompaña los desarrollos contemporáneos de la
lógica matemática está imbuido por la búsqueda del rigor y la claridad de pensamiento. En
este contexto, la tarea de la filosofía no es la creación de sistemas teóricos que busquen
responder a preguntas fundamentales sino que su función queda más bien limitada a la
clarificación lógica de los pensamientos.
La preocupación por la claridad del pensamiento implica la preocupación por la
claridad del lenguaje ya que se considera imposible atender a los pensamientos en sí
mismos más allá del lenguaje. Si el lenguaje es oscuro y confuso, resulta imposible llegar a
pensamientos claros e inequívocos. De ahí que resulte necesario atender principalmente al
lenguaje en sí mismo y a la univocidad de los conceptos utilizados. Esta es la idea básica de
la filosofía analítica.75
En el análisis de la lógica de los razonamientos, mediante el análisis del lenguaje en
el cual ellos se expresan, se cree haber encontrado un medio para resolver muchos de los
problemas tradicionales de la filosofía. Se entiende que estos problemas, en la mayoría de
los casos, son confusiones del lenguaje porque se corresponden con construcciones
filosóficas realizadas con un lenguaje equívoco, oscuro y/o ambiguo.
De este modo todos los problemas filosóficos, o su mayor parte, podrían ser
resueltos mostrando la estructura lógica del lenguaje natural en el cual se dan. Sin embargo
la estructura lógica del lenguaje queda mejor expresada en un lenguaje artificial creado
especialmente para el análisis del lenguaje natural.
75
La filosofía analítica es un movimiento filosófico de principios del siglo XX en el que pueden distinguierse
dos orientaciones fundamentales: el empirismo lógico y la filosofía del lenguaje natural. El positivismo lógico
se inicia con el Círculo de Viena (Schlick, Carnal, Neurath, etc) y la Escuela de Berlín (Reichenbach,
Hemple, etc.).
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
98
Básicamente ésta es la perspectiva formalista. Aunque no se rechaza totalmente el
uso del lenguaje ordinario como herramienta de análisis, queda limitado considerablemente.
Se sostiene que el método que se emplee para la solución de un problema filosófico debe
seguirse de la naturaleza de este problema y la mayoría de los problemas filosóficos surgen
en el curso de la investigación científica, por lo tanto deberían ser formulados en un
lenguaje técnico. De ahí la superioridad del lenguaje técnico sobre el lenguaje natural y la
necesidad del reemplazo de los conceptos inexactos por conceptos exactos en los análisis
filosóficos.
Desde esta perspectiva, las investigaciones filosóficas consisten en examinar los
usos corrientes de los términos que designan los conceptos que entran en juego en la
investigación. La dificultad puede presentarse, por ejemplo, porque un filósofo use un
término corriente en sentido más general o más restringido, o porque tome un término de un
área de conocimiento y lo aplique a otra área variando considerablemente su sentido.
Para explicitar un concepto frecuentemente será necesario especificar las relaciones
lógicas existentes entre ese concepto y otros. Hasta qué punto el filósofo debe recurrir a la
sistematización del lenguaje dependerá del concepto que busque clarificar.
La forma más elaborada y a la vez más eficiente de sistematizar los conceptos en
sus relaciones con otros consiste en crear un lenguaje artificial. Dicho lenguaje está basado
en las leyes de la lógica y acompañado de afirmaciones extrasistemáticas que relacionen a
los conceptos usados de manera no sistemática en la vida corriente. De este modo, teniendo
las propias reglas y los términos definidos de manera precisa, el sistema construido por el
filósofo será más exacto que el lenguaje corriente y permitirá que el filósofo realice tantas
distinciones sutiles como desee.
La ambición recurrente de los filósofos formalistas es crear un lenguaje totalmente
lógico que cubra todas las necesidades filosóficas. Los términos y reglas provendrían de la
lógica y las formulas representarían todas las proposiciones significativas posibles de la
ciencia y la filosofía.
Aún cuando nunca se ha construido tal lenguaje, durante algún tiempo pareció que
las técnicas lógicas del Principia Mathemáthica podrían ofrecer el medio para hacerlo.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
99
El razonamiento que respalda esta ambición podría expresarse de la siguiente
manera: los problemas de la filosofía jamás han sido resueltos porque la estructura lógica
de las tesis propuestas para solucionarlos nunca han sido formuladas de manera exacta.
Para manifestar plenamente las estructuras lógicas de las ideas en disputa o para resolver
las relaciones lógicas entre los términos y las proposiciones es necesario valerse de un
conjunto de símbolos exactos. Dado que las relaciones entre las proposiciones pueden
expresarse más claramente en la nueva lógica, éste es el simbolismo que necesita la
filosofía. A diferencia de las palabras, los símbolos pueden recibir significados unívocos.
Puede advertirse que una de las características de la filosofía analítica es su relación
con la lógica. Aunque debe comprenderse que se trata de la relación con la lógica en
general, no de una relación con la lógica formal. En efecto, no todos los filósofos analíticos
adoptan una posición favorable a la lógica formal. Algunos de ellos presentan cierto
rechazo por ella, tal es el caso de las teorías filosóficas sostenidas por los filósofos
analíticos de la concepción ordinarista.
La filosofía analítica tomó a la lógica como expresión de la estructura del lenguaje y
de la realidad. Por ello la consideró como determinante de la filosofía del lenguaje y de la
metafísica. Así la lógica es concebida como aquello que le da orden y coherencia a la
realidad, parece que tiene una connotación de razón que ordena más que la de una
disciplina teórica. Tomada como disciplina, la lógica suministra un instrumento adecuado
para ordenar y regular el lenguaje y de esta manera, es el recurso indispensable para
formularlo rigurosamente. Dentro de esta primera posición se encuentran los aportes de los
lógicos analíticos como Russell, Carnap, Tarski y Lukasiewicz, entre otros.
Pero existe también otra tendencia respecto de la lógica, en el campo de la filosofía
analítica que hace referencia a una lógica informal para intentar dilucidar los diferentes
usos y funciones del lenguaje. En esta postura se encuentran aquellos a los que se suele
denominar, filósofos ordinaristas como Peter Strawson. Esta posición está cobrando
especial importancia dentro de la actual filosofía analítica.
La importancia que ha jugado la lógica formal e informal en el desarrollo de la
filosofía analítica como un instrumento rector del lenguaje y del pensamiento humano es
clara e indiscutible.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
100
El Análisis Formal
El análisis formal supone la posibilidad de la reducción de lo complejo a sus partes
más simple, por ello reduce las afirmaciones a proposiciones y éstas a sus formas más
simples. Las proposiciones denominadas atómicas no tienen partes que sean en sí mismas
proposiciones (aunque contienen elementos más simples que las constituyen), mientras que
una proposición molecular consiste en un cierto número de proposiciones atómicas o
simples. Las proposiciones atómicas son aquellas que contienen una sola unidad de
asentimiento (en forma afirmativa o negativa) mientras que las moleculares constan de dos
o más unidades de asentimiento.
Las proposiciones atómicas constan de términos. Los hechos atómicos constan de
particulares que son los constituyentes últimos de los hechos y los elementos denotados
por los términos de las proposiciones atómicas.
De este modo, la verdad o la falsedad de la proposición simple se determina en
función de la correspondencia o no correspondencia entre los elementos de la proposición
y los elementos de la realidad. La verdad de las proposiciones moleculares se determina en
función de la verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
El atomismo lógico que subyace al método de análisis formal sostiene que las
proposiciones compuestas sólo son una forma de conectar proposiciones atómicas
relacionándolas a través de conectivos. Estas conectivas no tienen significado propio sino
que son los medios para construir aserciones más complejas.
El método del análisis lógico condujo a Wittgenstein y a Russell a la teoría del
atomismo lógico, el cual sostiene que el ámbito de la lógica y de la realidad fáctica son
estructuralmente equivalentes y la función de un lenguaje lógico ideal es ―reflejar‖ o
―representar‖ el mundo real.
La abstracción del proceso de conocimiento
―Abstraer‖ significa aislar mentalmente. Todos los datos aparentemente simples que
recibimos en la conciencia resultan complejos para una ulterior reflexión. Nunca se tiene
una sensación pura. Por ejemplo, toda percepción de color contiene al mismo tiempo y por
lo menos, datos de extensión, duración, espacio y tiempo. Abstraer la idea de color es tomar
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
101
alguno o algunos de los elementos del ―dato‖ (color), prescindiendo mentalmente de los
demás aspectos. Se habla propiamente de abstracción cuando se hace referencia a la
operación de tomar algo del dato y prescindir del resto.
La base de la operación de abstracción, la selección de información, es una situación
fundamental de la relación de conocimiento. Ya nuestros sentidos operan en los umbrales
de percepción una selección que define la gama de estímulos, por eso suele decirse, usando
en un modo vago la idea de abstracción, que nuestros sentidos abstraen. Lo cierto es que ya
por nuestros sentidos nos encontramos sometidos a la necesidad de conocer el mundo del
único modo como puede reflejarlo algo limitado, como es nuestra capacidad de conocer,
fragmentaria y simplificadoramente.
El lenguaje común, vehículo del pensamiento cotidiano, opera a determinados
niveles la abstracción. Todo nombre común es un abstracto en sentido lógico y no solo los
nombres que la gramática llama abstractos, como ―bondad‖, maldad‖, etc. Por ejemplo,
―perro‖ es también un término abstracto, en tanto que la idea de perro no es un dato de los
sentidos sino que se ha obtenido por abstracción, prescindiendo de los elementos
particulares y singulares. La imposibilidad en que estamos de percibir todo, e incluso de
pensar todo lo que llega a nuestra percepción hace de la abstracción una operación básica
del conocimiento propiamente dicho, es decir, del saber consciente y susceptible de
comunicación y discusión.
La abstracción científica se diferencia de la abstracción vulgar en que se orienta por
los fines de la investigación, por el intento sistemático y crítico de reflejar lo más
adecuadamente posible la realidad. Cuando la realidad rebasa por su complejidad la
capacidad de conocimiento del hombre, ocurre paradójicamente que la abstracción
científica, para reflejar más adecuadamente la realidad, tiene que adoptar frecuentemente
formas muy artificiosas desde el punto de vista del sentido común.
La abstracción no es un proceso pasivo, una recepción de elementos naturalmente
separados en la realidad. Para distinguir entre los elementos o aspectos de un dato
complejo, aquellos que son interesantes e importantes de aquellos que no lo son, hay que
estar guiados por ciertas ideas previas. Nada es importante sido desde algún punto de vista.
Así por ejemplo, ante el hecho del ―fracaso escolar‖, un economista se sentirá atraído por
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
102
algunos aspectos, un jurista por otros, un pedagogo por otros. Esto no se explica por la
presencia de una simple receptividad pasiva, sino por esa capacidad de receptividad, mas la
circunstancia de que uno u otro investigador ha puesto activamente ciertos puntos de vista
selectivos que dejan pasar algunos aspectos de la realidad y excluyen otros. En la
abstracción hay siempre una intervención activa del sujeto, algo así como una posición más
o menos consciente y voluntaria.
Aunque la abstracción, en ningún nivel sea espontánea ni totalmente pasiva, sino
fruto de receptividad y actividad, puede decirse que el pensamiento científico tiene la
peculiaridad de hacer conscientemente de dicha artificialidad de la abstracción un
instrumento de conocimiento. Así lo hace el pensamiento científico una vez construidos
ciertos abstractos científicos. Por ejemplo el constructo ―estructura social‖ es construido
bastante artificiosamente no solo eliminando rasgos de las sociedades concretas sino
también sintetizando o componiendo rasgos escogidos según cierto orden de importancia.
En síntesis las abstracciones básicas constituyen el punto de vista desde el cual cada ciencia
va a considerar el conocimiento de la realidad.
La abstracción de la lógica Formal
La noción de ―forma lógica‖ es una de aquellas abstracciones artificiales o
científicas, que puede establecerse distinguiendo en una expresión, entre los elementos
representativos de la forma y los elementos que representan el contenido de conocimiento.
En tal sentido se atiende más que al conocimiento, al lenguaje en el que se expresa el
conocimiento. Para mostrarlo rápidamente veamos dos ejemplos de razonamientos:
Todos los felinos son animales
El gato es un felino
El gato es un animal
El centro del universo es inmóvil
La vida es el centro del universo
La vida es inmóvil
Desde el punto de vista de la teoría del conocimiento el primer razonamiento llega a
una conclusión fundada, mientras que el segundo no. Sin embargo desde el punto de vista
de la lógica formal, ambas conclusiones están igualmente fundamentadas y las dos son
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
103
igualmente válidas. Para dar un nombre a esa igualdad, que contiene el punto de vista o
abstracción básica de la lógica formal, diremos que las dos argumentaciones son
formalmente válidas o que las dos conclusiones están formalmente fundamentadas.
También puede decirse que los dos conjuntos de enunciados tienen la misma forma lógica.
Es decir que la abstracción básica de la lógica formal es la noción de forma lógica.
Su punto de vista es el de la validez o fundamentación del aspecto formal del conocimiento.
Sin embargo, queda claro en los ejemplos de razonamiento presentados, que la validez
inferencial no va necesariamente acompañada de la verdad de las conclusiones. Formas
lógicas idénticamente válidas, pueden levar a conclusiones verdaderas o falsas según sea
el contenido de los enunciados componentes.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
104
CLASES DE CONCEPTOS – TERMINOS76
Criterio de clasificación Clases de Conceptos
Según el acto de
“simple aprehensión”
Incomplejos En sí mismos
En el modo de concebirlo
Complejo En sí mismos
En el modo de concebirlo
Según la extensión Superiores
Inferiores
Según la comprehensión Concretos
Absolutos
Connotativos
Abstractos
Según la multiplicidad
encerrada en la extensión
Colectivos
Divisivos
Según la extensión del concepto
como sujeto de una proposición
Singular
Común Particular
Distributivo o universal
Según el modo de significación
(vale sólo para los términos)
Unívocos
Equívocos
Análogos
Según lo que significan
(vale sólo para los términos)
Categoremáticos
Sincategoremáticos
EJERCICIOS
Consigna
a) Clasificar cada concepto según los criterios que admita
b) Proponer ejemplos análogos
1) Ideal: ………………………………………………………………………….
76
La comprensión y la extensión son propiedades lógicas del concepto y se corresponden con las nociones de
―predicado lógico‖ o ―función proposicional‖ (Fx) y la noción de ―clase‖. La ejercitación sobre este tema
busca acentuar conexiones entre la antigüedad y la contemporaneidad lógica. Además, abordar la
conceptualización desde la lógica es brindar a los estudiantes una herramienta necesaria ya que la reflexión
filosófica no sólo demanda razonar sino también conceptualizar. Cfr. Maritain, Jacques. 1967. El orden de los
conceptos. Buenos Aires. Club de Lectores. p. 56/79
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
105
2) Siempre: ………………………………………………………………………
3) Liberación: ……………………………………………………………………
4) Secta: …………………………………………………………………………
5) Familia: ………………………………………………………………………
6) Árbol. …………………………………………………………………………
7) Doctor: ………………………………………………………………………..
8) Terquedad: ……………………………………………………………………
9) Señalización: ………………………………………………………………….
10) No es cierto: …………………………………………………………………..
11) Sol: ……………………………………………………………………………
12) Cardumen: ……………………………………………………………………
13) Señal: …………………………………………………………………………
14) Nada: …………………………………………………………………………
15) Sociedad: …………………………………………………………………….
16) Democratización: …………………………………………………………….
17) Recipiente cóncavo: ………………………………………………………….
18) Manada: ………………………………………………………………………
19) Senador: ………………………………………………………………………
20) En cualquier caso: …………………………………………………………….
21) Luna: ………………………………………………………………………….
22) Hombre que respeta las leyes: ………………………………………………..
23) Privatización: …………………………………………………………………
24) Belleza: ……………………………………………………………………….
25) Bueno: ………………………………………………………………………...
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
106
26) Cientificidad: …………………………………………………………………
27) Científico: …………………………………………………………………….
28) Ciertas veces: …………………………………………………………………
29) Arriba: ………………………………………………………………………...
30) Alameda: ……………………………………………………………………...
COMPREHENSIÓN Y EXTENSIÓN
EJERCICIOS
Consigna
a) Ordenar los siguientes conceptos de mayor a menor comprehensión y de
mayor a menor extensión
b) Proponer otros grupos de conceptos ordenables
1) Hombre – Científico – Einstein – Filósofo – Aristóteles – Animal – Felino –
León – Perro.
2) Día – Verano – Primavera – Año – Estación del año – Mes – Tiempo –
Tiempo caluroso
3) Sustancia – Cianuro – Pino - vegetal – Veneno – Inorgánica – Coníferas –
Tóxico
4) Calle – Ruta – Camino – Avenida - Huella
5) Soldado – Capitán de fragata – Animal – Hipócrates – Cabo – Poeta –
Artillero – Homero - Sustancia
6) Mosca doméstica – Rumiante – Buey – Insecto – Díptero – Bovino –
Mariposa – Mosca
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
107
7) Vertebrado – Águila – Buitre – Carnívoro – Gato – Tigre – Peces – Tiburón –
León – Raya – Roedores – Conejo – Reptiles – Mamíferos – Aves – Lagarto – Rapaces –
Rata – Culebra – Ardilla
8) Araña – Escorpión – Insectos – Invertebrado – Langosta – Hormiga –
Arácnidos – Grillo - Avispa
OPERACIONES ENTRE CLASES
Representación gráfica, definición y simbolización de las operaciones entre
clases:
Intersección
A = la clase de los pizarrones
B = la clase de las cosas verdes
La clase de los pizarrones verdes y
A B = df. {x \ x A .x B}
Unión
B
A
A B = df. {x \ x A v x B}
Pizarrones y/o cosas verdes
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
108
Diferencia
A
A
B
Pizarrones que no son verdes
A − B = df. x\ x A . x B
PRIMERA SERIE
EJERCICIOS
Consigna
a. Representar gráficamente las clases designadas
b. Expresar simbólicamente las clases designadas
c. Definir las clases designadas
d. Reflexionar sobre los ejercicios y obtener conclusiones
1) La clase de las ventanas amplias.
2) Las clases de los filósofos griegos que vivieron antes del siglo IV a.c.
3) La clase de las Ana que son amables.
4) La clase del doctor Pérez que es un buen médico peruano.
5) La clase de bóxer que son perros guardianes.
6) La clase de los pájaros amarillos.
7) La clase de los libros que no son ilustres.
8) La clase de los que no son perros salvajes.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
109
9) La clase de los amigos o familiares de Pedro.
10) La clase de los estudiantes, jubilados y trabajadores que tendrán descuentos.
11) (1, 2, 3, 4) (3, 4, 5, 8).
12) (1, 6, 7, 9) (8, 7, 3)
13) La clase de los filósofos presocráticos o modernos metafísicos
14) La clase de los alumnos universitarios que no estudian filosofía ni historia
15) La clase de los alumnos de primer año que no estudian lógica.
16) La clase los gatos amarillos callejeros.
17) La clase de los hombres que no saben manejar.
18) La clase de comidas de bajas calorías.
19) La clase de los que no son propietarios ni profesionales y son inmigrantes.
20) La clase de los abogados y médicos que no son independientes.
21) La clase de los filósofos modernos que no son empiristas.
22) La clase de los televisores que no son en blanco y negro.
SEGUNDA SERIE
EJERCICIOS
Consigna
SI: A= {x \ x es caballo} y B= {x \ x es blanco}
SI: A= {x \ x es ser humano} y B= {x \ x es menor de doce años}
SI: A= {x \ x es flor} y B= {x \ x es cosa perfumada}
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110
Operar con las expresiones que siguen las consignas señaladas anteriormente:
1. A B
2. A B
3. B A
4. A − B
5. (A B) − (A B)
TERCERA SERIE
EJERCICIOS
Consigna
Partir de cada grupo de conceptos y efectuar las operaciones lógicas que se
señalan a continuación:
A = Clase de vertebrados A = Clase de las universidades
B = Clase de mamíferos B = Clase de institutos de Investigaciones
C = Clase de felinos C = Clase de temas educativos
A = Clase de hombres A = Clase e mamíferos
B = Clase de Ingenieros B = Clase de gatos
C = Clase de Ingenieros en mimas C = Clase de gatos siameses
a. Nombre la clase resultante
b. Defina la clase resultante
c. Reflexione sobre los ejercicios y obtenga conclusiones
1) (A B) C
2) (A B) C
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
111
3) C − (A C)
4) A B
5) A B
6) A (B C )
7) (Ā B)
8) (A B ) C
9) (Ā (B C)
10) [(A B) C] ∩(C B )
11) A (B − C)
12) (A C ) B
13) (A B ) C
Consigna
Asignar nombres de clases e individuos y conformar conceptos complejos a
partir de las siguientes expresiones:
EJERCICIOS:
1. α pertenece a (A B)
2. α pertenece a (B C) A
3. α pertenece a (A B)
4. α pertenece a (A C ) B
5. α pertenece a B (C A)
6. α pertenece a (B C)
7. α pertenece a (D B) C
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112
8. (α A )
9. α pertenece a (C B) E)
10. ( B )
11. α pertenece a (B A)
12. α pertenece a (B D)
13. α pertenece a (C B ) D
14. α pertenece a (A B )
15. Clase no-vacía de E
16. α pertenece a ( D C )
17. α pertenece a (A D )
18. α pertenece a (A B ) (C D )
19. α pertenece a (C B ) (C D )
20. α pertenece a (A A) (Ā Ā )
21. α pertenece a (E B)
22. α pertenece a (C A ) [(A D ) E]
23. α pertenece a C (C B)
CUARTA SERIE
Consigna
Asigne un nombre a cada clase y designe la clase representada.
A
B
C
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113
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114
A B
C
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115
IDENTIFICACIÓN, FORMALIZACION E INTERPRETACION
Elementos para la resolución de los ejercicios:
a) Formalizar proposiciones: pasar desde el lenguaje cotidiano a la forma lógica
b) Interpretar formas lógicas proposicionales: pasar desde el lenguaje simbólico
al lenguaje cotidiano
c) Proponer ejemplos alternativos: expresar otros enunciados manteniendo la
misma estructura lógica
Símbolos lógicos
a) Variables proposicionales: p, q, r, s, t, etc.
b) Conectivas lógicas: no (−), y (.), o (v/w), si... entonces (→), si y solo si (↔)
c) Letras predicado: F, G, H, I, etc.
d) Variables de individuo: x, y, z, etc.
e) Constantes de individuo: a, b, c, etc.
f) Cuantificadores: universal ( x ) y particular ( x )
g) Signos de puntuación: ( ), [ ],{ }
La forma lógica de cualquier concepto, enunciado o
razonamiento puede identificarse, formalizarse e
interpretarse, independientemente de su verdad y de su
validez.
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116
EJERCICIOS
Identificar Proposiciones
Consignas
A partir del Cuadro General de Clasificación de Proposiciones realice las siguientes
actividades:
a) Formule enunciados ilustrativos de cada clase de proposición.
b) Seleccione un texto de cualquier cátedra e identifique proposiciones de
distintas clases.
Formalizar e Interpretar proposiciones
Consigna
A partir de los ejercicios que más adelante se consignan, realice las operaciones
lógicas de formalización e interpretación de proposiciones en términos de lógica
proposicional y lógica de funciones, según corresponda.
PRIMERA SERIE
EJERCICIOS
Ejemplo:
―− p‖
Enunciado: ―No trabajo ―
− p…..…………………………………………………………………………
p ↔ q..………………………………………………………………………..
− q..……………………………………………………………………………
− p ↔ q..………………………………………………………………………
− (p . q )..……………………………………………………………………...
− p ↔ − q..……………………………………………………………………
p . q..…………………………………………………………………………..
− (p ↔ q )..……………………………………………………………………
p . − q..………………………………………………………………………...
− (− p ↔ q)……………………………………………………………………
− p . q…………….……………………………………………………………
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117
− (p ↔ − q ) …………………………………………………………………
− (−p . − q )........................................................................................................
(p → q) . (r ↔ q)................................................................................................
p v q...................................................................................................................
(p . r) → (q v s)..................................................................................................
− p v − q.............................................................................................................
(− p → s) v (t . − q)............................................................................................
− (− p v q)..........................................................................................................
−[(− s . p) . (p ↔ q)] → r...................................................................................
− (− p v − q).......................................................................................................
s [− (p v t ) . (p . q)].....................................................................................
p q.................................................................................................................
p w q..................................................................................................................
− p → q..............................................................................................................
− p w q..............................................................................................................
p → − q ............................................................................................................
− (− p w q) . r.....................................................................................................
− (p → q)...........................................................................................................
(p w − q) v (r . s)................................................................................................
− (− q)...........................................................................................................
(r ↔ − p) w (p →q)...........................................................................................
− (− p → − q).....................................................................................................
(s → − q) → (p w − q)......................................................................................
− (p → − q)..……………..……………………………………………………
− (− p w s) . (r ↔ − q)..………………………………………………………
SEGUNDA SERIE
Ejemplo:
Enunciado:
―Los niños son inquietos, y no son mentirosos‖
Simbolización en lógica proposicional: p . −q
Simbolización en lógica funcional: (x) [(Fx → Gx) . − Hx]
Ejemplo de proposición alternativa con la misma estructura lógica:
―Los seres humanos son sociables y no son inmunes al dolor‖
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118
EJERCICIOS
1. Los murciélagos son mamíferos que vuelan en la oscuridad y se guían por
medio de sonidos.
2. Los lagartos y las serpientes son reptiles, que ahora no se pueden cazar
porque están en exterminio.
3. Los perros que no son guardianes son juguetones si y solo si están
domesticados.
4. Hay flores negras pero no se encuentran abundantemente.
5. Los casados no son solteros, a pesar de que no usen anillo.
6. Los que no son alumnos son profesores, si y solo si son considerados en
algún tipo de relación educativa.
7. Las mariposas son insectos no dañinos, muy hermosas a la vista de los
hombres y mujeres.
8. Los perros no son bípedos, son cuadrúpedos, además son mamíferos.
9. Si todo sabio es humilde y honesto, entonces es un gran maestro.
10. Ningún ser humano merece no ser respetado y tiene derecho a una
educación apropiada.
11. Ricoeur habla en sus primeros trabajos de ―fenomenología‖ y señala como
objeto de su obra principal a la ―identidad narrativa‖.
12. Ciertos pensadores no aceptan la metafísica.
13. Solo se podrá resolver problemas y dificultades en psiquiatría si y sólo si se
cuenta con una investigación histórica del paciente.
14. Carlos es hombre con sensibilidad teórica e inteligente, o no podría ser buen
científico.
15. Si llueve, entonces salgo con paraguas.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
119
16. No es cierto que todos los oradores son entrenados, si algún orador es
entrenado entonces es un buen orador producido con esfuerzo.
17. Todos los murciélagos duermen en cavernas y lugares oscuros o
abandonados, si son molestados entonces se espantan.
18. Los aprendizajes memorísticos no son aprendizajes auténticos.
19. Un número es primo, si es divisible por si mismo y por el número uno.
20. Salgo a bailar los sábados o los domingos, si hoy es sábado entonces salgo a
bailar.
FORMALIZACION, INTERPRETACION Y
REPRESENTACIÓN GRAFICA
Consignas
A partir de los ejercicios que más adelante se consignan, le proponemos efectuar las
siguientes operaciones lógicas según corresponda, utilizando elementos de lógica de
clases:
a) Formalizar clases o enunciados: pasar desde el lenguaje cotidiano a la
forma lógica.
b) Interpretar formas lógicas: pasar desde el lenguaje simbólico al lenguaje
cotidiano.
c) Representar gráficamente
d) Si es posible, proponer ejemplos alternativos manteniendo la misma
estructura lógica.
e) Reflexionar sobre los ejercicios y obtener conclusiones
Elementos para la resolución de los ejercicios:
Signos para expresar clases: A, B y C
Signos para expresar individuos: x, y, z, etc.
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120
Signos para expresar la pertenencia o no pertenencia a una clase: ,
Formalización de las proposiciones categóricas: A: (A B) =
Representación gráfica de una clase:
Ejemplo:
Pérez es un político inteligente: α є (A B)
Enunciado alternativo: San Juan está poblada irregularmente
Representación Gráfica
α
EJERCICIOS
1. Algunos profesionales comprometidos se equivocan.
2. Nicanor es un político inteligente pero se equivoca.
3. Hay filósofos que son poetas.
4. Hay filósofos y poetas
5. Los hombres nacen, crecen, se reproducen y mueren.
6. Ninguna experiencia es vana aunque algunas son dolorosas.
7. Si todo cambia, nada perdura
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
121
8. Las computadoras son una herramienta útil
9. La investigación científica es una tarea ardua.
10. Algunos niños son hiperactivos y creativos.
LA FORMA LOGICA DE RAZOMANIENTOS
Consigna
Dados los pasajes siguientes y puesto que cada uno de ellos contiene sólo un
razonamiento:
a) Identificar la/las premisas
b) Identificar la conclusión
Ejemplo:
―El hombre es un ser social, por lo tanto los derechos y deberes privados no pueden
lesionar los derechos y deberes del bien público‖
Premisa: El hombre es un ser social
Conclusión: Los derechos y deberes privados no pueden lesionar los derechos y
deberes del bien público.
EJERCICIOS
1. Debe haber sustancias simples, puesto que hay sustancias compuestas, y si la
sustancia compuesta no es nada más que una colección o agregado de
sustancias simples.
2. Puesto que la mayor parte de los docentes universitarios consideran que el
estudio y la tranquilidad son requisitos básicos para investigar y difundir el
conocimiento, son elementos naturales de la formación universitaria.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
122
3. Puesto que la lógica es uno de los medios que asegura la disciplina
intelectual y el desarrollo de la capacidad de abstracción, si se la aplica
apropiadamente puede promover el logro de fines deseables.
4. Quien acepta protección acepta obediencia. Existen personas que necesitan
ser protegidas pero merecen respeto por su dignidad de ser humano,
entonces deben también aceptar ser dignamente obedientes.
5. Algunos hombre no aceptan consejos, pero todos los hombres aceptan
dinero, por lo tanto, el dinero es mejor recibido que los consejos.
6. Los programas televisivos son de diferente índole, algunos no son
convenientes para menores, por lo tanto no todos los programas televisivos
pueden ser transmitidos durante el horario de protección al menor.
7. La ley exige que debo manejar un vehículo con carnet de conducir, sino seré
penado con una multa, de ahí que las leyes de tránsito norman
obligatoriamente la conducta.
8. El buen vino no es avinagrado, si es avinagrado no es buen vino y no puede
ser servido en un banquete, por lo tanto, el buen vino es apto para los
banquetes.
9. Las capacidades naturales son un regalo de Dios, y todo regalo de Dios no es
fruto del esfuerzo personal, por lo tanto, las capacidades naturales no deben
ser causa de soberbia.
10. Para algunos filósofos, la Metafísica es considerada la raíz del gran árbol
que forman todas las ramas de la filosofía, en consecuencia, para cualquier
filósofo, toda la filosofía se nutren de la metafísica o la niega absolutamente.
11. El hombre es un ser sociable, tiene un lenguaje, por lo tanto es un ser que se
comunica y puede alcanzar consenso con los otros.
Consigna
a) Identificar antecedente y consecuente
b) Identificar las conectivas
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123
Ejemplo
“Asociar los acontecimientos terrestres a los celestes es común a todas las
civilizaciones, la grandeza de los Asirios-Caldeos reside en la sistematización que llevaron
a cabo para dar lugar a una astrología. Los acontecimientos estaban señalados en lo alto,
había que interrogar a las estrellas, esto suponía conocer exactamente los movimientos
astrales sobre el influjo en la vida de un individuo”.
Enciclopedia Ciencias: Matemática, Biblioteca Clasa del saber. Ed. Clasa, 1976
Antecedente: [―Asociar los acontecimientos terrestres a los celestes es común a
todas las civilizaciones, (y) la grandeza de los Asirios-Caldeos reside en la sistematización
que llevaron a cabo para dar lugar a una astrología.(y). (Si) Los acontecimientos estaban
señalados en lo alto, (entonces) había que interrogar a las estrellas,]
Consecuente: [esto suponía (Luego era necesario) conocer exactamente los
movimientos astrales sobre el influjo en la vida de un individuo‖].
EJERCICIOS
1) “Contrariamente a lo supuesto, dado el origen del vocablo, el álgebra no es
una invención árabe. A pesar de los trabajos realizados por matemáticos musulmanes, el
álgebra árabe no pasó de ser una sutileza verbal. Fueron los matemáticos de Occidente, a
juzgar por impresos que se hicieron al advenimiento de la imprenta, los creadores del
repertorio elemental de símbolos matemáticos de cálculo. Puede señalarse el siglo XVII
como fecha en que se consolida el sistema algebraico en el cuál nos manejamos
actualmente”.
Enciclopedia Ciencias: Matemática. Biblioteca Clasa del saber. Ed. Clasa. 1976.
p.16
2) “Se suponía que las proposiciones matemáticas eran verdaderas, con total
independencia de nuestras mentes, y de este hecho se deducía la existencia de Dios”.
San Agustín, ―La Matemática: su origen‖ en Enciclopedia. Ciencias: Matemática.
1976. p.17
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124
3) “San Agustín, hablando de la perfección del numero seis dice: “el seis es
número perfecto en sí mismo, y no porque Dios crease todas las cosas en seis días; es más
bien cierta la inversa, que Dios creó todas las cosas en seis días porque este numero es
perfecto, y continuaría siendo perfecto, incluso cuando la obra de los siete días no
existiera”.
San Agustín, ―La Matemática: su origen‖ en Enciclopedia. Ciencias: Matemática.
1976. p.17
4) “... en la ciudad de Alejandría. Dominaba casi toda la información del siglo
V ya que, en su condición de filósofa, nada del saber le era ajeno, pues los antiguos
dividían la Filosofía en tres campos: Lógica, Física y Ética. La primera se ocupaba de la
metodología para llegar a la verdad; la segunda abarcaba todo lo existente, como
matemática, química, medicina, derecho, incluso el estudio del alma; la tercera especula
sobre las creaciones del hombre, como la política, el arte o el estado. Por lo tanto, la
Filosofía comprendía todo el saber humano”.
Enciclopedia Ciencias: Matemática. Ed. Clasa. 1976. p.1677
5) “Diógenes Laercio, por quien nos enteramos que el Cínico fue de origen que
hoy llamaríamos muy burgués, más rodando padre e hijo en la delincuencia, siendo
acusados de falsificar monedas, por lo cuál padecieron pena de destierro”.
Enciclopedia Ciencias: Matemática. Ed. Clasa. 1976. p.23
6) “Quitad el motor, el movimiento se detendrá. Separarlo del cuerpo movido,
el movimiento sé detendrá también. Aristóteles, como sabemos bien, no admite la acción a
distancia, cada transmisión de movimiento implica, según él, contacto. Solo hay dos tipos
de tal transmisión, la presión y la tracción. Lo cuál para mover un cuerpo, hay que
empujarlo o tirar de él. No hay otros medios”.
Uri Haber-Shaim, J., Cross, J. y James A. PSSSC FÍSICA. Editorial Reveré S.A. 3°
ed. Barcelona-Buenos Aires-Caracas-México- Río de Janeiro.1980
77
La cita hace referencia a la primera mujer que desempeñó una cátedra universitaria llamada Hipatía, vivió
hacia el año 370 de nuestra era, fue profesora universitaria en Alejandría, centro cultural más importante del
mundo antiguo. Dio cátedra de Geometría y Aritmética y desarrolló toda el álgebra y dirigió el movimiento
neoplatónico de la época.
Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar
125
7) “La educación es una experiencia de belleza donde la relación entre el
profesor y los alumnos supone una actividad estética en sí misma. Sin perder este sentido,
la práctica educativa es a su vez un proceso formador y por lo tanto, ética. En el desarrollo
de un acto pedagógico ética y estética va de la mano, ya que difícilmente algo bello es
inmoral”.
Freire, Paulo, ―Cuando la educación es arte‖ en Semanario La Maga, miércoles 1 de
julio de 1998, tema 11.78
8) “Enseñar no es transferir contenidos hacia adentro de las cabezas de los
alumnos. Sino que es posibilitar que los alumnos, desarrollando su curiosidad y
tornándola cada vez más crítica, produzcan el contenido del conocimiento en
colaboración con los profesores”.
Freire, Paulo, ―Cuando la educación es arte‖ en Semanario La Maga, miércoles 1 de
julio de 1998, tema 11
9) “Prosa o verso, puede considerarse la bisagra entre los poemas netamente
filosóficos y aquellos que reflexionan sobre la escritura poética. Esa pluma hechizada por
el Ser, el lenguaje y la Nada, habla de una pasión que borra los limites de lo meramente
intelectivo y las fronteras discursivas, por lo tanto la prosa o verso, son solo formas de
expresar nuestra condición humana”.
José, Elena, Poemas de Filosofía, Ed. Universidad Nacional de Salta, Salta,
10) “Se cuenta que era muy hermoso, al extremo que sus discípulos lo
comparaban con Apolo andando sobre la tierra. La leyenda, al efecto, le atribuye un muslo
de oro. Antíclides, en se libro II de Alejandro, anota que Pitágoras desarrolló grandemente
la Geometría y la Aritmética, oficios de medir y contar para los antiguos. Incluso sostiene
que inventó la escala musical por una sola cuerda. Aristóxenes, el músico, le otorga el
haber introducido en Grecia las pesas y medidas.
Enciclopedia Ciencias: Matemática. Ed. Clasa, 1976. p.25
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126
Ejemplo:
Razonamiento:
―Los pájaros y los monos son animales. Las animales y los hombres son
vivientes. Luego los pájaros son vivientes‖
Formalización en lógica proposicional:
p . q
q . r
s
Formalización en lógica de funciones:
(x) [(Fx → Gx) . (Hx → Gx)]
(x) [(Gx → Ix) . (Jx → Ix)]
(x) [(Fx → Ix)]
Razonamiento alternativo con la misma forma lógica:
―Las personas sensibles y bondadosas son respetuosas. Las personas
respetuosas y justas son valientes. Luego las personas sensibles son valientes.
EJERCICIOS:
1. Cualquier autor tiene éxito si y solo si es muy leído. Todos los autores son
intelectuales. Algunos autores tienen éxito, pero no son leídos luego todos
los intelectuales son autores.
2. Todos los animales no son seres perfectos, y ningún animal es inmortal, por
ende, todos los seres perfectos no son animales.
3. Todos los que no son alumnos universitarios ni profesores universitarios
están excluidos de proceso de enseñanza-aprendizaje; por lo tanto ningún
personal no decente es alumno universitario o profesor, pues todos aquellos
que están incluidos son personal no docente.
78
La cita ha sido extraída de una conferencia dictada por Paulo Freire en la Universidad de San Luis en
Agosto de 1996.
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127
4. Si San Juan y Mendoza tienen vitivinicultura entonces La Pampa no tiene.
La Pampa y Mendoza exportan su producción. Si Mendoza exporta su
producción y San Juan no la exporta entonces Salta tiene vitivinicultura y
exporta su producción. San Juan tiene vitivinicultura y no exporta su
producción. Por lo tanto Mendoza y Salta tiene vitivinicultura y exportan su
producción.
5. Algunos comerciantes son hombres de proyectos exitosos. Ningún
comerciante es un no-intelectual. Por lo tanto, algunos intelectuales son
hombres de proyectos exitosos.
6. Algunos no-drogadictos son deportistas, porque ningún drogadicto es un
hombre en perfectas condiciones físicas, y solo algunos hombres en
perfectas condiciones no son deportistas. Por lo tanto los deportista son
hombres no drogadictos.
7. Algunas piedras son raras y costosas, pero ninguna piedra sirve para soldar;
por lo tanto no todo lo que sirve para soldar es raro y costoso.
8. Todas las ciudades europeas tienen una larga historia. Todas las ciudades
europeas con larga historia poseen copiosos archivos. Luego, todas las
ciudades europeas poseen copiosos archivos.
9. La música expresa los sentimientos de un pueblo. Todo lo que expresa los
sentimientos de un pueblo es parte del arte de esos pueblos. Por lo tanto, la
música es parte del arte de un pueblo.
10. Todos los no animales de sangre caliente son no mamíferos, todos los
lagartos y víboras son no animales de sangre caliente. Por lo tanto, todos los
lagartos no son mamíferos.
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128
DEMOSTRACION DE
SILOGISMOS CATEGÓRICOS
Consignas
Dados los siguientes silogismos categóricos, operar las siguientes consignas, según
corresponda en cada caso:
a) Identificar las premisas y la conclusión
b) En caso de que antecedente y consecuente estén mal ubicados en el
razonamiento, transcribirlo según corresponda
c) Determinar su validez o invalidez constatando el cumplimiento de las
reglas que determinan la validez silogística establecida por la lógica clásica.
d) Si es posible, construir un silogismo categórico válido a partir de los
modos indicados.
Si son válidos:
a) Indicar su modo y figura
b) Expresar simbólicamente su forma lógica
c) Demostrar su validez, usando el método de los Diagramas de Venn
Si son inválidos
a) Señalar la/las reglas que no cumplen
b) Expresar simbólicamente su forma lógica
c) Demostrar su invalidez usando el método de los Diagramas de Venn
e) Intentar operar alguna transformación formal para convertirlos en
silogismos válidos
f) Identificar el modo y la figura del silogismo alcanzado después de la
transformación operada
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129
PRIMERA SERIE
Ejemplo
Todos los que lloran son niños (A) Antecedente
Algunos que lloran son adultos (I)
Consecuente
Silogismo: Valido
Modo: DATISI
Figura: 3° Fig. (SU-SU)
Expresión simbólica de su forma lógica en términos de la lógica de funciones
(x) (Fx → Gx)
( x) (Fx . Hx)
( x) (Hx . Gx)
Expresión simbólica de su forma lógica en términos de la lógica de clases
A B =
A C
C B
Diagrama de Venn
x
EJERCICIOS
A) Todos los reptiles son peligrosos
Los lagartos son reptiles
Todos los lagartos son peligrosos
Algunos adultos son niños (I)
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130
B) Algunos europeos hablan castellano
Todos los europeos son humanos
Algunos humanos hablan castellano
C) Ningún perro es inteligente
Los dálmatas son perros
Ningún dálmata es inteligente
D) Todos los vertebrados son cuadrúpedos
Los cuadrúpedos son animales
Algunos animales son vertebrados
E) Algunos cuadrúpedos son perros
Los perros son vertebrados
Todos los perros son cuadrúpedos
F) Todas las aves vuelan
Ningún gato vuela
Ningún gato es ave
G) Los gatos son carnívoros
Los gatos son mamíferos
Todos los carnívoros son mamíferos
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131
H) Algunos roedores son ratones
Ningún invertebrado es roedor
Algunos invertebrados son ratones
I) Los argentinos son latinoamericanos
Algunos viajantes son argentinos
Algunos viajantes son latinoamericanos
J) Todos los padres son hombres
Algunos padres son solteros
Algunos solteros son padres
K) Algunos hombres que piden perdón son humildes
Todo humilde sabe pedir perdón
Todos los humildes son hombres que saben pedir perdón
L) Algunos estudiantes son jóvenes
Todos los universitarios son estudiantes
Algunos universitarios son jóvenes
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132
SEGUNDA SERIE
Ejemplo
Ningún barco de turismo es un barco de guerra; por ende, ningún barco comercial es
un barco de guerra, puesto que todos los barcos de turismo son barcos de comercio.
Transcripción ordenada del razonamiento:
Ningún barco de turismo (A) es un barco de guerra. (B)
Todos los barcos de turismo (A) son barcos de comercio. (E)
Ningún barco comercial (E) es un barco de guerra. (B)
Silogismo: Inválido.
Regla que no cumple: Los términos no deben tener más extensión en la conclusión
que en las premisas.
Expresión simbólica:
A ∩ B = Λ
A ∩ Ē = Λ
E ∩ B = Λ
Diagrama de Venn
Operación necesaria para transformarlo en silogismo valido: Transformar la
conclusión en ―Algún barco comercial no es barco de guerra‖
Modo: FELAPTON
Figura: 3° figura
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133
EJERCICIOS
1. Algunas imágenes son objeto de culto; porque todas las estatuas son
imágenes y algunas estatuas son objeto de culto.
2. Todas las vacunas son importantes logros científicos, por lo tanto, algunos
logros científicos no son invenciones norteamericanas, ya que algunas
vacunas no son invenciones norteamericanas.
3. Ningún contador público diplomado es autodidacta, pero todos los
autodidactas son hombres que no tienen estudios completos, se sigue que
ningún contador público diplomado es autodidacta.
4. Algunos políticos no son partidarios de los aranceles elevados, porque todos
los partidarios de los aranceles elevados son políticos liberales y los
políticos liberales son partidarios de los aranceles elevados.
5. Algunos individuos inadaptados son delincuentes juveniles, todos los
individuos inadaptados son de hogares no ejemplares, por consiguiente,
algunos delincuentes juveniles son de hogares no ejemplares.
6. Todas las cartas de la edad media se escribían en lengua latina, la lengua
latina era la lengua empleada por la iglesia romana, por lo tanto la lengua
latina era la lengua de la edad media.
7. Todos los romanos antiguos tenían creencias politeístas y el cristianismo no
tiene creencias politeístas, es decir que los romanos antiguos no fueron
cristianos.
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134
TERCERA SERIE
Consigna
Si es posible construya silogismos válidos e indique la figura y el modo. Si no
es posible, indique porqué.
Ejemplo
AEE
Todas las aves construyen nido
Ninguna serpiente construye nido
Ninguna serpiente es ave
EJERCICIOS
1. AOO
2. EIO
3. IIA
4. EAE
5. OAO
6. IAI
7. EOE
8. AAA
9. OEI
10. AAI
11. EAO
12. EAI
13. IAE
14. AAO
15. IOA
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135
CUARTA SERIE
Consigna
Completar con todas las formas posibles de silogismos válidos. Si no es posible
explique el porqué.
Ejemplo:
Todos los………….son seres vivos
Las ballenas son………………….
Todas las ballenas son seres vivos
Silogismo de 1° Figura, Modo Barbara
Todos los animales acuáticos son seres vivos
Las ballenas son animales acuáticos
Todas las ballenas son seres vivos
EJERCICIOS
Algunos vinos………………………..
Todos los…………….tienen alcohol
Algo que tiene alcohol es…………….
Todo educador es inteligente
Los……………son respetuosos
Todo………….es………………..
Todos los……………….son……………..
Los……………………..son………………
Algunos………………..son……………....
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136
Algunos…………………..son perros
Los perros son……………………………..
Todos los………………son………………
Todas las personas creativas………………
Ningún gato………………………………
Ningún…………..es persona creativa
Las……………………….fallan
Las computadoras son…………………….
Todo………………………….falla
……………. mal alumno es inteligente
……………. estudioso no es mal alumno
……………. estudioso no es mal alumno
…………….pensadores tienen buen humor
Algunos………………no son argentinos
Algunos…………….. no tienen buen humor
Todos los poderosos son tiranos
Algunos…………..son………………..
……………………no tienen humor
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137
………………….son humildes
Todo humilde es…………………….
Algún………………….no es……………
Algunos.………………..son ambiciosos
Todo universitario es estudiante
………..universitario es………………
Los paquidermos son pesados
El elefante es un…………………
…………………………………………
Los……………………….son aves
Algunos pájaros son veloces
………………………….es ave
El ratón es…………………………
Ningún roedor es volador
Algún……………………….es ratón
Los peces son nadadores
Algunos peces son grandes
……………………………………
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138
………pinos tienen raíces profundas
Algunos……………….tienen copa ancha
…………………….tiene raíces profundas
Ningún insecto es de gran tamaño
…………..insecto no vuela
…………………………………….
Ningún estudiante……………………
Algún………………….es estudiante
Algún deportista no tiene tiempo libre
Todo estudio tiene………………………
Algunas dificultades son de fácil solución
…………………………………………
Algunas………………. tienen fácil salida laboral
Toda…………………..necesita tiempo
Algo que necesita tiempo…………………………
Algunas rosas son blancas
Algunas flores blancas tienen fuerte perfume
………………………………………………
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139
Algunos guardianes son……………………
Todos los perros son aptos para seguir rastros
…………aptos para seguir rastros son………………
Los gatos son……………………….
Ningún…………… es herbívoro
………….herbívoro es……………
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140
BIBLIOGRAFÍA
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