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7/25/2019 1.4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.4.1. 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 pp1-14
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ALGEBRA LINEAL
UNIDAD 1:MATRICES, DETERMINANTES,
SISTEMAS
Ing. Nancy Velasco E.
Abril2016-Agosto2016
Ing. Nancy Velasco E. 1
7/25/2019 1.4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.4.1. 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 pp1-14
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UNIDAD 1MATRICES, DETERMINANTES, SISTEMAS
Ing. Nancy Velasco E. 2
1.4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.4.1. Definiciones y propiedades.1.4.2. Mtodos de resolucin de un sistema de m ecuaciones
lineales con n incgnitas:
1.4.2.1 Eliminacin Gaussiana;
1.4.2.2 Mtodo de Gauss Jordan;
1.4.2.3 Mtodo de Cramer;1.4.2.4 Mtodo de Gauss Seidel;
1.4.2.5 Mtodo de Jacobi
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: definiciones y propiedades
Una ecuacin lineal sobre R en n variables es una expresin de la forma:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = bDonde:
ai son constantes
xi son variables.
b es el trmino independiente.
Las ecuaciones en:
dos variables se representan geomtricamente por una recta;
las tres variables por un plano;para ms de tres variables no se tienen representacin visual, pero los
gemetras le llaman hiperplano.
Gauss Seidel
Cramer
Eliminacin
Gaussiana
Jacobi
Ejercicios
planteados
Definiciones
Gauss Jordan
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: definiciones y propiedades
Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables, es una expresin de la
forma: nmero de laecuacin nmero de lavariable.
Si m =n=2, se tienen dos ecuaciones en las dos incgnitas x e y
Cada una de las dos ecuaciones representa una recta.
(x, y) es una solucin si, y slo si, el punto P(x, y) se encuentra sobre ambas rectas.
x, y como coordenadas en el plano xy,Gauss Seidel
Cramer
Eliminacin
Gaussiana
Jacobi
Ejercicios
planteados
Definiciones
Gauss Jordan
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: definiciones y propiedadesDe aqu que se tienen tres casos posibles:
1.- ninguna solucin si las rectas son paralelas;
2.- precisamente una solucin si se interceptan;
3.- un nmero infinito de soluciones si coinciden.
Gauss Seidel
Cramer
Eliminacin
Gaussiana
Jacobi
Ejercicios
planteados
Definiciones
Gauss Jordan
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: definiciones y propiedades
Para cualesquiera sistemas de ecuaciones lineales, se presentan tres tipos de conjunto
solucin:
1.- que contiene solamente un elemento. El sistema tiene solucin nica y se denomina
sistema compatible determinado;
2.- que contiene ms de un elemento. El sistema tiene ms de una solucin y se
denomina sistema compatible indeterminado;
3.- un conjunto solucin vaco. El sistema no tiene solucin y se denomina
sistema incompatible.
Gauss Seidel
Cramer
Eliminacin
Gaussiana
Jacobi
Ejercicios
planteados
Definiciones
Gauss Jordan
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: definiciones y propiedades
Se llama sistema de m ecuaciones homogneas y n incgnitas, al sistema
siempre que b1 = b2 = ... = bm = 0, es decir, cuando todos los trminos
independientes son nulos.
Se llama sistema de m ecuaciones no homogneas y n incgnitas, al sistema
siempre que al menos un bi 0.Ejemplo: sistema de 3 ecuaciones homogneas
y 4 incgnitas
sistema de 3 ecuaciones no
homogneas y 4 incgnitas
Gauss Seidel
Cramer
Eliminacin
Gaussiana
Jacobi
Ejercicios
planteados
Definiciones
Gauss Jordan
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: definiciones y propiedades
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es sobredeterminado si hay
ms ecuaciones que incgnitas.
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales est escasamente determinado
si hay menos ecuaciones que incgnitas.
Sobredeterminado y sobredeterminado
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es no susceptible, si errores
pequeos en los coeficientes o en el proceso de resolucin slo tienen un
efecto pequeo sobre la solucin.Y es susceptible, si errores pequeos en los coeficientes o en el proceso de
resolucin tienen un efecto grande sobre la solucin.
Susceptible y no susceptible
Gauss Seidel
Cramer
Eliminacin
Gaussiana
Jacobi
Ejercicios
planteados
Definiciones
Gauss Jordan
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Eliminacin Gaussiana
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a un segundo
sistema de ecuaciones lineales, si el primero puede obtenerse a partir del
segundo por medio de operaciones elementales. Adems los sistemas
equivalentes de ecuaciones lineales tienen los mismos conjuntos de
soluciones.
Operaciones elementales:
TIPO 1. La ecuacin E(i) puede multiplicarse por cualquier escalar a diferente de
cero y se puede usar la ecuacin resultante en lugar de E(i). Notamos esta operacin
como aE(i) E(i);
TIPO 2. La ecuacin E(j) puede multiplicarse por cualquier escalar a, sumarla a laecuacin m-1 ecuaciones restantes y se obtenga el sistema equivalente.
TIPO 3. Las ecuaciones E(i) y E(j) se pueden intercambiar, es decir E(i) E(j).
Gauss Seidel
Cramer
Jacobi
Ejercicios
planteados
Definiciones
Gauss Jordan
Eliminacin
Gaussiana
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Eliminacin Gaussiana
Primera etapa: reduccin del sistema inicial a la forma triangular
Segunda etapa, la marcha inversa, consiste en resolver el ltimo sistema
triangular. Se realiza del modo siguiente:
* De la ltima ecuacin se determina xn.
* De acuerdo con el valor hallado de xn de la ec m-1 determinamos xn-1
* Con los valores de xn-1 y xn de la ecuacin m-2 hallamos xn-2, etc., elclculo sucesivo de las incgnitas contina hasta que se determina x1
de la primera ecuacin.
Un sistema de ecuaciones lineales tiene solucin nica si y slo si el
sistema reducido correspondiente tiene la misma solucin.
Sistema triangular
Gauss Seidel
Cramer
Jacobi
Ejercicios
planteados
Definiciones
Gauss Jordan
Eliminacin
Gaussiana
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Ejemplo: Eliminacin Gaussiana
Utilizando eliminacin gaussiana, solucionar el sistemas de ecuaciones lineales:
3 2 = 45 + 2 = 12Ec2=3*Ec2-5*Ec1
Ec2=-1/16 Ec2sistema determinado
tiene una nica solucin
3 2 = 416 = 163 2 = 4 = 1Segunda etapa: marcha inversa
Primera etapa: forma triangular
= 13 2(1) = 43 = 6 = 2
Gauss Seidel
Cramer
Jacobi
Ejercicios
planteados
Definiciones
Gauss Jordan
Eliminacin
Gaussiana
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Eliminacin Gaussiana
Utilizando eliminacin gaussiana, solucionar el sistemas de ecuaciones lineales:
3 4 + 6 = 75 + 2 4 = 5 + 3 5 = 33 4 + 6 = 70 + 26 42 = 20 + 3 5 = 3Ec2=3*Ec2-5*Ec1
Ec2=1/2*Ec2 3 4 + 6 = 713 21 = 10 + 3 5 = 3Ec3=3*Ec3-Ec1 3 4 + 6 = 713 21 = 100 + 13 21 = 2
Ec3=Ec3-Ec23 4 + 6 = 713 21 = 10
0 = 12
sistema inconsistente (incompatible)
No tiene solucinGauss Seidel
Cramer
Jacobi
Ejercicios
planteados
Definiciones
Gauss Jordan
Eliminacin
Gaussiana
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Ejemplo: Eliminacin Gaussiana
Utilizando eliminacin gaussiana, solucionar el sistemas de ecuaciones lineales:
+ = 32 + 4 = 33 + 2 = 8
+ = 30 3 + 6 = 33 + 2 = 8Ec2=Ec2-2*Ec1 + = 3 2 = 1
3 + 2 = 8
Ec2=-1/3 Ec2
Ec3=Ec3-3*Ec1 + = 3 2 = 10 + 2 = 1
Ec3=Ec3+Ec2 + = 3 2 = 1
0 = 0
sistema indeterminado
tiene un # infinito de soluciones
= 1 + 2 + 1 + 2 = 3 = 2
Cualesquiera dos nmeros, y y z,
que satisfacen la 2da ecuacin
tambin satisfacen la 3ra, y
viceversa.
Despejar una incgnita en trminos de
cualquiera otra:
Gauss Seidel
Cramer
Jacobi
Ejercicios
planteados
Definiciones
Gauss Jordan
Eliminacin
Gaussiana
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Ejercicios planteados
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Utilizando eliminacin gaussiana, solucionar el siguientes sistema de ecuacioneslineales:
Sol.
Jacobi
Ejercicios
planteados
Definiciones
Eliminacin
Gaussiana
Cramer
Gauss Jordan
Gauss Seidel
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