14 y 48

Capitulo 2

14.- Determine si las funciones son continuas en los puntos indicados

a) f (z) = z2(2+i)z+2i

z1 en z = i

En el punto z0 = i

f (z) = g(z)h(z) es continua en todos los puntos exepto en h(z) = 0

La funcion no es continua en z = i

b) f (z) = z2+2(1+i)z+4i

z2 en z = 2i

En el punto z0 = 2ii) f (z0) =

(2i)2+2(1+i)(2i)+4i2i2 =

44i+4+4i2(1i) = 0

f (z0) = 0 La funcion esta definidaii) lm

zz0f (z)

lmz2i

z2 + 2(1 + i)z + 4i

z 2lm

z2i2z + 2(1 + i)

1 4i + 2 + 2i = 2 2i

iii) f (z0) 6= lmzz0

f (z)

La funcion no es continua en z = 2i

48.- Suponga que f (z) es una funcion continua en un dominio D. Pruebe quelas funciones dadas son continuas en D.

a) h (z) = Re (f (z))

si f (z) = f (x, y)f (z) = u (x, y) + iv (x, y)h (z0) = lm

zz0Re (f (z))

lmx,yx0,y0

u (x, y) u (x0, y0)h (z0) = u (x0, y0) Es continua si z0 esta definido h (z0) = u (x0, y0)

b) h (z) = Im (f (z))

si f (z) = f (x, y)f (z) = u (x, y) + iv (x, y)h (z0) = lm

zz0Im (f (z))

lmx,yx0,y0

v (x, y) v (x0, y0)h (z0) = v (x0, y0) Es continua si z0 esta definido h (z0) = v (x0, y0)

1

c) h (z) = f (z)

si f (z) = u (x, y) + iv (x, y)f (z) =

u2 (x, y) + v2 (x, y)

h (z0) = lmzz0

f (z)lm

x,yx0,y0

u2 (x, y) + v2 (x, y)

u2 (x0, y0) + v2 (x0, y0)

h (z0) =u2 (x0, y0) + v2 (x0, y0)

Es continua si z0 esta definido h (z0) =u2 (x0, y0) + v2 (x0, y0)

Capitulo 3

14.- Hallar el valor f (z) = ex2y2 (cos (2xy) + j sin (2xy))

f (z) = ex2y2 e2jxy

f (z) = ex2+2jxyy2

f (z) = e(x+jy)2

f (z) = ez2

48.-Analizar si las funciones u (x, y) = x2y2

(x2+y2)2; v (x, y) = e

xy son armonicas

en caso de serlo determinar una funcion analitica f (z) en terminos de z.

u (x, y) = x2y2

(x2+y2)2

xu =

2x3+6xy2(x2+y2)3

2

x2u =6x436x2y2+6y4

(x2+y2)4

yu =

6yx22y3(x2+y2)3

2

y2u =6x4+36x2y26y4

(x2+y2)4

para que sean armonicas la suma de las segundas derivadas tiene que ser cero2

x2u +2

y2u = 06x436x2y2+6y4

(x2+y2)4+ 6x

4+36x2y26y4(x2+y2)4

= 0

0 = 0por lo tanto es armonicaPor Cauchy Reimanux =

vy

uy = vx

ux =

vy

vy =

2x3+6xy2(x2+y2)3

v = 2x3+6xy2

(x2+y2)3y

v = 2xy(x2+y2)2

2

f (x, y) = x2y2

(x2+y2)2 i 2xy

(x2+y2)2

v (x, y) = exy

v (x, y) = exy

vx =

yexy

x2

2vx2 = y

[exy (y+2x)x4

]vy =

exy

x

2vy2 =

exy

x2

para que sean armonicas la suma de las segundas derivadas tiene que ser cero2vx2 +

2vy2 = 0

y

[exy (y+2x)x4

]+ e

xy

x2 = 0

exy (y2+2xy+x2)

x4 6= 0

Por lo tanto no es armonica y no existe el conjugado armonico

3