2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología BC2A – BC2B Curso 2012-2013

UNIDAD 4: ESPACIO

VECTORIAL

2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología

BC2A – BC2B

Curso 2012-2013

ÍNDICE

1) Introducción: los conjuntos R2 y R3

2) Espacio vectorial

3) Vectores libres del espacio

tridimensional

4) Producto escalar de dos vectores

5) Producto vectorial de dos vectores

6) Producto mixto de tres vectores

3, , V

Introducción: los conjuntos R2 y R3

a) El conjunto R2

b) El conjunto R3

c) Operaciones externas e

internas

1.a – El conjunto R2

El conjunto de pares ordenados respecto a las

operaciones:

○Suma de pares

○Producto de un número por un par

Cumple las siguientes propiedades:

,x y

, ', ' ', 'x y x y x x y y

, ,k x y k x k y

1.b – El conjunto R3

El conjunto de ternas ordenadas respecto a las

operaciones:

○Suma de ternas

○Producto por un número

Cumple también las mismas propiedades anteriores:

, ,x y z

, , ', ', ' ', ', 'x y z x y z x x y y z z

, , , ,k x y z k x k y k z

Suma de ternas: Asociativa

Conmutativa

Elemento neutro

Elemento opuesto

Producto por números: Distributiva respecto a la suma de números

Distributiva respecto a la suma de vectores

Asociativa para números

Elemento neutro

1.c – Operaciones internas y externas

Operación interna sobre un conjunto

Operación externa sobre con dominio sobre escalares

Espacio vectoriala) Definición

b) Ejemplos

c) Propiedades

d) Subespacio vectorial

e) Combinación lineal de vectores. Sistema generador

f) Dependencia e independencia lineal

g) Base de un espacio vectorial. Teorema de la base.

Coordenadas de un vector

2.a - Definición

2.a - Definición

○ A los elementos de un espacio vectorial V se les

llama vectores y se denotan xxxx

○ A los elementos de R , en este contexto, se les

llama escalares y se pueden denotar

V

, ,u v w V

, , , , ,h l t s

2.b – Ejemplos (I)pares ordenados

ternas ordenadas

2.b – Ejemplos (II)

• El conjunto de los vectores libres del plano , respecto a la suma de vectores y al producto de un número real por un vector, es un espacio vectorial.

• El conjunto de los vectores libres del espacio , respecto a la suma de vectores y al producto de un número real por un vector, es un espacio vectorial.

2 , , V

3, , V

2.c - Propiedades

2.d – Subespacio vectorial

No es necesario probar que se cumplen las ocho propiedades, basta con…

O bien, con…

2.d – Subespacio vectorial - Ejemplo

2.e – Combinación lineal.

Sistema generador

2.f – Dependencia e independencia lineal

En la primera unidad estudiamos estos conceptos aplicados a las filas y columnas de una matriz

2.f – Dependencia e independencia lineal

Ahora podemos generalizar estos conceptos, para los elementos de un espacio vectorial cualquiera

En la práctica para determinar la dependencia o independencia lineal de vectores, podemos usar la definición anterior o bien tener en cuenta que

2.f – Dependencia e independencia linealEjemploDependencia e independencia en V2

Los vectores con la misma dirección son linealmente dependientes Los vectores con distinta dirección son linealmente independientes

En el caso de R2 y R3 podemos estudiar la dependencia de vectores colocándolos como filas o columnas de una matriz y recordando:

rango (A) = nº de filas o columnas linealmente independientes de A

2.g –Base de un espacio vectorial.

Teorema de la base

Definición:

Un espacio vectorial puede tener muchas bases, formadas por

vectores diferentes, pero…

Hay espacios vectoriales con bases muy sencillas, por ejemplo…

2.g –Base de un espacio vectorial.

Ejemplos.En el espacio vectorial de pares ordenados:

En el espacio vectorial de ternas ordenadas:

En y en se llaman bases canónicas a

…

2 , , V 3, , V

2.g –Base de un espacio vectorial.

Coordenadas de un vector en una base.Definición:

Se escribe entonces: , aunque generalmente

se utiliza la misma letra para las coordenadas que para el vector.

Es decir, suele escribirse:

1 2 3, , , , nw t t t t V

1 2 3, , , , nu u u u u V

IMPORTANTE: Las coordenadas de un vector son…Únicas para cada baseDiferentes para cada base

2.g –Base de un espacio vectorial.

Coordenadas de un vector en una base.EJEMPLO:

Vectores libres del espacio tridimensional

a) Vector libre Pg. 108

b) Operaciones con vectores libres

Pg. 109

c) Dependencia e independencia de

vectores. Bases. Pg. 110

3, , V

Producto escalar

a) Definición y propiedades

b) Proyección de un vector sobre otro

c) Interpretación geométrica

d) Expresión analítica

e) Aplicaciones

4.a – DefiniciónDefinición:

NOTACIÓN:

Aunque en el libro de texto se utiliza la misma notación para el módulo de un vector que para el valor absoluto de un número real, nosotros usaremos la siguiente notación:

Por tanto el producto escalar se escribiría:

Módulo de v v

cos ,v w v w v w

4.a –PropiedadesPropiedades:

1.Dd

2.Dd

3.Dd

4.Dd

5.Dd

2

u v u v

u u u

Conclusión: La proyección ortogonal de un vector sobre otro, es un

VECTOR El producto escalar de dos vectores coincide con el producto

escalar de uno de ellos por la proyección del otro sobre él

4.b –Proyección de un vector sobre otro

u

v

1v

2v

1 2v v v

1 2v u v u

1= proyuv v u

1 2 1 2

1 10

u v u v v u v u v

u v u v u u u u

1 2proyuu v u v

v v u u uu u u

Proyección del vector sobre el = proyuv u v

El producto escalar de dos vectores es un NÚMEROSi el ángulo de los vectores es agudo, su producto escalar es

igual al producto del módulo de uno de los vectores por el módulo

de la proyección del otro sobre él

4.c – Interpretación geométricadel producto escalar de dos vectores (I)

= proyv w�������������� PQ

cos0v w v v v ������������������������������������������PQ PQ PQ

= proyw v�������������� PQ'

cos0v w w w w ������������������������������������������PQ' PQ' PQ'

El producto escalar de dos vectores es un NÚMEROSi el ángulo de los vectores es obtuso, su producto escalar es

igual al OPUESTO del producto del módulo de uno de los vectores

por el módulo de la proyección del otro sobre él

4.c – Interpretación geométricadel producto escalar de dos vectores (II)

= proyv w�������������� PQ

cos180v w v v v ������������������������������������������PQ PQ PQ

v

w

( , )v w

PQ cos 180 ( , ) cos( , )v w v w

w

��������������

PQ

cos( , )v w v w v w v ��������������PQ De otro modo…

El producto escalar de dos vectores es un NÚMERO, cuyo

valor absoluto es igual al producto del módulo de uno de ellos por

el módulo de la proyección del otro sobre el primero

4.c – Interpretación geométricadel producto escalar de dos vectores (III)

En resumen:

proy proyv wv w v w v w

En una base ORTONORMAL, es decir, de vectores unitarios y

perpendiculares entre sí, el producto escalar se calcula con la

expresión siguiente:

4.d – Expresión analítica

1 2 3 1 2 3, ,u u i u j u k u u u

1 2 3 1 2 3, ,v v i v j v k v v v

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

, , , ,u v u u u v v v

u v u v u v

Módulo de un vector:

4.e – Aplicaciones (I)

2 2 2

1 1 2 2 3 3 1 2 3u u u u u u u u u u u u

Vectores unitarios: son los que tienen módulo igual a 1.

Cualquier vector dividido por su módulo es unitario.

1u

u

1 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

, ,u u u

u u u u u u u u u

Ángulo de dos vectores: A partir de la definición de producto escalar…

cos ,u v

u vu v

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

cos ,u v u v u v u v

u vu v u u u v v v

Vectores ortogonales o perpendiculares. Si no son vectores nulos…

4.e – Aplicaciones (II)

Cambio fundamental respecto a la situación en el plano: Ahora no hay sólo un vector perpendicular a otro (salvo proporcionales)

, 90º cos , 0u v u v

0u v

u v

1 1 2 2 3 3 0u v u v u v u v

2,5u 5,2v u v

1,2,5u 0, 5,2v u v

5,0,1w u w

Vectores ortogonales o perpendiculares. Si no son vectores nulos…

4.e – Aplicaciones (II)

Cambio fundamental respecto a la situación en el plano: Ahora no hay sólo un vector perpendicular a otro (salvo proporcionales)

, 90º cos , 0u v u v

0u v

u v

1 1 2 2 3 3 0u v u v u v u v

2,5u 5,2v u v

1,2,5u 0, 5,2v u v

5,0,1w u w 2,1,0x u x

cualquier combinación lineal de los anterioresz

Producto vectorial

a) Definición y propiedades

b) Interpretación geométrica

c) Expresión analítica

d) Aplicaciones

5.a – DefiniciónDefinición:

NOTACIÓN:De la misma forma que en el producto escalar, nosotros escribiremos:

sen ,v w v w v w

5.a –PropiedadesPropiedades:

1.Dd

2.Dd

3.Dd

4.Dd

5.Dd

Conclusión: El producto escalar de dos vectores es un NÚMERO cuyo valor

absoluto es igual al producto del módulo de uno de ellos por el

módulo de la proyección del otro sobre el primeroEl producto vectorial de dos vectores es un VECTOR cuyo

módulo es igual al área del paralelogramo que forman dichos

vectores

5.b – Interpretación geométrica

En una base ORTONORMAL, es decir, de vectores unitarios y

perpendiculares entre sí, el producto vectorial se calcula con la

expresión siguiente:

5.c – Expresión analítica

1 2 3 1 2 3, ,u u i u j u k u u u

1 2 3 1 2 3, ,v v i v j v k v v v

1 2 3 1 2 3

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

, , , ,u v u u u v v v

u u u u u ui j k

v v v v v v

1 2 3

1 2 3

i j k

u v u u u

v v v

Simbólicamente,

se suele escribir:

¡Ojo, no es un determinante!

Área de un paralelogramo: según la interpretación geométrica…

5.d – Aplicaciones

Área de un triángulo: teniendo en cuenta que…

Cálculo de un vector perpendicular a dos conocidos: según la definición… v w v

v w w

Producto mixto

a) Definición y propiedades

b) Interpretación geométrica

c) Expresión analítica

d) Aplicaciones

6.a – DefiniciónDefinición:

OBSERVACIÓN: El resultado de esta operación es un número real:

3

3

3, ,

u Vu v w V u v w

v w V

6.a –PropiedadesPropiedades:

1.Dd

2.Dd

3.Dd

4.Dd

5.Dd son linealmente dep., , 0 , , u v w u v w u v w

6.b – Interpretación geométrica

cosw v h w v u α

cos , cos , , ,w v u u w v u w v u w v u v w

El producto escalar de dos vectores es un NÚMERO, cuyo valor absoluto es igual

al producto del módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección del otro sobre

el primeroEl producto vectorial de dos vectores es un VECTOR, cuyo módulo es igual al

área del paralelogramo que forman dichos vectoresEl producto mixto de tres vectores es un NÚMERO, cuyo valor absoluto es igual

al volumen del paralelepípedo que tiene por aristas dichos vectores

En una base ORTONORMAL (vectores unitarios y perpendiculares

entre sí) el producto mixto se calcula con la expresión siguiente:

6.c – Expresión analítica

1 2 3 1 2 3, ,u u i u j u k u u u

1 2 3 1 2 3, ,v v i v j v k v v v

2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 1 3 1 2

, , , , , ,v v v v v v

u v w u v w u u uw w w w w w

1 2 3 1 2 3, ,w w i w j w k w w w

1 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3 1 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3

det , ,

u u uv v v v v v

u u u v v v u v ww w w w w w

w w w

Volumen del paralelepípedo: según la interpretación geométrica…

6.d – Aplicaciones

Volumen del tetraedro: teniendo en cuenta que… 1 paralelepípedo = 2 prismas triangulares 1 prisma triangular = 3 pirámides triangulares o tetraedros

Por tanto: 1 paralelepípedo = 6 tetraedros

Valor absoluto

Valor absoluto

Muy importanteEl producto escalar de dos vectores es un NÚMERO,

cuyo valor absoluto es igual al producto del módulo de

uno de ellos por el módulo de la proyección del otro

sobre el primero

El producto vectorial de dos vectores es un

VECTOR, cuyo módulo es igual al área del

paralelogramo que forman dichos vectores

El producto mixto de tres vectores es un NÚMERO,

cuyo valor absoluto es igual al volumen del

paralelepípedo que forman dichos vectores