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LA CIRCUNFERENCIA YUN PAR DE RECTAS EN EL PLANOÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
UN
IDA
D D
E G
EOM
ETRÍ
A MATERIAL DEL ESTUDIANTE
Fidel Oteiza Morra
Lucrecia Zamorano Aravena
Osvaldo Baeza Rojas
I.S.B.N.: 978-956-303-041-9
5ª edición: Febrero de 2008
© 2003 por Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile
Inscripción Nº 138764
Derechos Exclusivos Reservados
Universidad de Santiago de Chile
Editado por
Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile
San Martín 40 A oficina 6, Santiago
Teléfono: 6883261 Fax: 6727140
Impreso XXXXXX
XXXXX XXXXX
Matemática Interactiva®: Aprender matemática creando soluciones®Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile
El Centro Comenius de la Universidad de Santiago de Chile, desarrolló el modelo interactivo para el aprendizaje
matemático, en el proyecto FONDEF D00I1073 “Aprender matemática creando soluciones” entre los
años 2001 y 2004. El modelo cuenta, para su implementación en salas de clases, con material para el alumno
(actividades, guías, proyectos, etc.), material del profesor (sugerencias pedagógicas para trabajar los materiales,
los contenidos e integrar las tecnologías), material de referencia (tratamiento más formal de la matemática),
materiales manipulativos concretos (fichas, dados, juegos, etc.), evaluaciones y recursos tecnológicos que
siguen los principios de diseño teóricos sugeridos en el modelo.
Sobre la base del modelo interactivo, en la actualidad se está desarrollando el proyecto Enlaces Matemática,
con aportes del Centro de Educación y Tecnología, Red Enlaces, del Ministerio de Educación de Chile y del
Centro Comenius de la Universidad de Santiago de Chile, implementándose en siete regiones del país, con
la colaboración de las universidades asociadas.
Profesionales del Proyecto
Fidel Oteíza MorraDirector del Proyecto
Gonzalo Villarreal FarahSub Director del Proyecto
Manuel Galaz PérezEncargado operativo ycoordinador de desarrollo de materiales
Hernán Miranda VeraRoberto Araya SchulzLorena Espinoza SalfateInvestigadores asociados
Osvaldo Baeza RojasMacarena Escalante SalamancaEvelyn Herrera ToroMauricio Moya MárquezGustavo Rodríguez SepúlvedaAlicia Venegas ThayerNelly Devia OrmeñoMaría Isabel Escobar GutierrezAutores de textos y guías, materialconcreto y recursos tecnológicos
Juan Silva QuirozEvelyn Herrera ToroEncargados de la plataforma virtual
Gladys Bobadilla AbarcaInvestigadora Asociada y Especialistaen contenidos
Lucrecia Zamorano AravenaInstrumentos de evaluación yrevisión de materiales
Sergio Reyes GonzálezAnálisis estadístico
Claudia Matus CorreaAsesora análisis estadístico
Gerardo Honorato GutiérrezCristián Reyes ReyesMiguel Muñoz JaraEditores matemáticos
Jessica Marinkovic O'RyanDwight Pennanen AriasRoxana Donoso LoyolaApoyo operativo y logístico
Juan Rojas RiveraDiagramación, diseño y edición gráfica
Mauro Silva CuevasHéctor Ríos BolbaránIngeniería y Soporte técnico
7Guía 1: Recordando elementos de la Geometría
Planos - puntos - rectas - semirrectas - trazos
12Guía 2: Ángulos y relaciones entre ángulos
Definición, clasificación y propiedades de ángulos
16Guía 3: Ejercicios con ángulos y sus relaciones
22Guía 4: Rectas, ángulos y triángulos
27Guía 5: Clasificación y propiedades de triángulos
32Guía 6: Demostraciones en los triángulos
35Guía 7: Demostraciones en los triángulos
Mini evaluación
37Guía 8: Elementos básicos de la circunferencia
43Guía 9: Intersecciones entre una circunferencia y dos rectas
46Guía 10: Examinando elementos asociados a la circunferencia
50Guía 11: Examinando elementos asociados a la circunferencia
54Guía 12: Demostraciones en la circunferencia
5
58Guía 13: Demostraciones en la circunferencia
Mini evaluación
60Guía 14: Ejercicios con elementos de la circunferencia
63Guía 15: Ejercicios con elementos de la circunferencia
66Guía 16: Ejercicios con elementos de la circunferencia
68Guía 17: Exploración del teorema de las cuerdas
72Guía 18: Demostraciones en la circunferencia
Teorema de las cuerdas
74Guía 19: Demostraciones en la circunferencia
Mini evaluación del teorema de las cuerdas
76Guía 20: Ejercicios del teorema de las cuerdas
79Guía 21: Exploración del teorema de las secantes
83Guía 22: Demostraciones en la circunferencia
Teorema de las secantes
85Guía 23: Demostraciones en la circunferencia
Mini evaluación del teorema de las secantes
87Guía 24: Ejercicios del teorema de las secantes
89Guía 25: Ejercicios de los teorema de las cuerdas y la secante
Miscelánea de ejercicios de los teoremas de las cuerdas y de la secante
6
7Recordando elementos de la Geometría
GUÍA 1RECORDANDO ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍAPLANOS • PUNTOS • RECTAS • SEMIRRECTAS • TRAZOS
Identificando elementos en el plano
En el inicio de esta unidad, el plano se ha visualizado como una superficie plana, algo así como
un vidrio plano, sin nada encima que se extiende, se extiende, ...
Para representarlo, usualmente se utilizan cuadriláteros como los empleados en las actividades
siguientes.
1. Puntos, planos, rectas, semirrectas y segmentos
a. En el siguiente plano, dibuja un punto y asígnale una letra mayúscula.
P
b. Dibuja una recta que divida al plano Q en dos semiplanos. Pinta de distinto color cada uno de
los semiplanos determinados por ella. Marca un punto en la recta y asígnale una letra
mayúscula.
Q
8 Recordando elementos de la Geometría
Ahora responde:
- ¿A cuál semiplano pertenece la recta?
- ¿Cuántas semirrectas genera el punto sobre la recta?
c. En el plano R, marca dos puntos y nómbralos A y B. Dibuja de un color la semirrecta que va
de A a B. Utilizando los mismos puntos construye, con un color distinto, la semirrecta que va
de B a A.
R
Identifica las partes de las semirrectas que se superponen o se interceptan. Esta superposición
entre las semirrectas es llamado trazo o segmento y se escribe AB .
2. Posiciones relativas de dos rectas en el plano
a. Utiliza el plano P1 para estudiar las propiedades que tienen dos rectas paralelas.
Dibuja dos rectas paralelas:
P1
9Recordando elementos de la Geometría
b. Utiliza el plano P2 para estudiar las propiedades que tienen dos rectas coincidentes.
Dibuja dos rectas coincidentes:
¿Cuántas regiones se generan?
Achúralas para diferenciarlas.
¿Cuántas fronteras hay?
¿Hay puntos de intersección?,
¿cuántos?
¿Se generan semirrectas?
¿Se generan ángulos? Sí No
P2
¿Cuántas regiones se generan? ¿Cuántas fronteras hay?
¿Hay puntos de intersección?,
¿cuántos?
¿Se generan semirrectas?
¿Se generan ángulos? Sí No
10 Recordando elementos de la Geometría
c. Utiliza el plano P3 para estudiar las propiedades que tienen dos rectas que se interceptan.
Dibuja dos rectas que se interceptan.
P3
¿Cuántas regiones se generan?
Achúralas para diferenciarlas.
¿Cuántas fronteras hay?
¿Hay puntos de intersección?,
¿cuántos?
¿Se generan semirrectas?,
¿cuántas?
¿Se generan ángulos? Sí No
11Recordando elementos de la Geometría
1 • Plano
2 • Punto
3 • Recta
4 • Rayo o semirrecta
5 • Trazo o segmento
6 • Rectas paralelas
7 • Rectas coincidentes
8 • Rectas que se interceptan
9 • Región
10 • Frontera
11 • Ángulos
Síntesis de lo aprendido
A modo de cierre, haz un resumen de los conceptos que has repasado en esta guía con sus
respectivas propiedades.
Concepto Escribe la explicación, propiedad o característica
12 Ángulos y relaciones entre ángulos
Identificando ángulos y sus propiedades
En esta guía estudiaremos los ángulos que se forman a partir de la intersección de dos o más
rectas en el plano: sus propiedades, clasificación y aplicaciones.
a. En la siguiente figura aparecen tres rectas, L1, L2 y L3, que se interceptan en el punto O.
GUÍA 2ÁNGULOS Y RELACIONES ENTRE ÁNGULOS
DEFINICIÓN, CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE ÁNGULOS
¿Cuánto mide FOE + EOD + DOC? ¿Por qué?
¿Cuánto mide BOC + AOF? ¿Por qué?
¿Cuáles son los pares de ángulos contiguos? ¿Por qué?
Si L1 ⊥ L2, ¿cuánto mide el AOB?
13Ángulos y relaciones entre ángulos
¿Cuáles son los pares de ángulos complementarios? ¿Por qué?
¿Cuáles son los pares de ángulos suplementarios? ¿Por qué?
¿Cuáles son los pares de ángulos opuestos por el vértice? ¿Por qué?
¿Qué propiedad cumplen los ángulos opuestos por el vértice? ¿Por qué?
b. Utilizando los conceptos anteriores y la figura siguiente, responde:
El AOD mide 45º
¿Cuánto mide AOB? ¿Es obtuso? Justifica ambas respuestas.
14 Ángulos y relaciones entre ángulos
¿Cuánto mide COB? ¿Es agudo? Justifica ambas respuestas.
¿Son suplementarios los ángulos AOD y AOB? Justifica tu respuesta.
¿Son suplementarios los ángulos AOD y COD? Justifica tu respuesta.
¿Son complementarios los ángulos AOB y BOC? Justifica tu respuesta.
¿Son complementarios los ángulos AOD y BOC? Justifica tu respuesta.
¿Cuál o cuáles ángulos son agudos? ¿Por qué?
¿Cuál o cuáles ángulos son obtusos? ¿Por qué?
15Ángulos y relaciones entre ángulos
Síntesis de lo aprendido
A modo de cierre, haz un resumen de los conceptos que has repasado en esta guía con sus
respectivas propiedades.
1 • Ángulos contiguos
2 • Ángulos complementarios
3 • Ángulos suplementarios
4 • Ángulos opuestospor el vértice
5 • Ángulos agudos
6 • Ángulos obtusos
7 • Ángulos rectos
8 • Rectas perpendiculares
9 • Ángulos congruentes
Concepto Propiedades asociadas
GUÍA 3EJERCICIOS CON ÁNGULOS Y SUS RELACIONES
16 Ejercicios con ángulos y sus relaciones
Aplicación de las propiedades de ángulos
Dos rectas que se cortan en un punto generan ángulos. Estos se clasifican en ángulos opuestos
por el vértice, que son congruentes y ángulos adyacentes, que son suplementarios.
A partir de estos conceptos y las propiedades repasadas en las guías anteriores desarrolla las
siguientes actividades:
a. ¿Cuánto mide el ángulo x ? ¿Por qué?
b. ¿Cuánto mide el ángulo y? ¿Por qué?
17Ejercicios con ángulos y sus relaciones
c. ¿Cuánto miden α y β? ¿Por qué?
d. ¿Cuánto mide el ángulo x? ¿Por qué?
e. ¿Cuánto mide el ángulo x? ¿Por qué?
18 Ejercicios con ángulos y sus relaciones
f. Si COD mide a, ¿cuánto mide el ángulo x? ¿Por qué?
g. ¿Cuánto vale x + y? ¿Por qué?
h. Si AD es bisectriz de BOF entonces, ¿cuánto vale x + y? ¿Por qué?
19Ejercicios con ángulos y sus relaciones
i. Si EF es bisectriz de AOD y GH es bisectriz de AOC, entonces, sabiendo que el
COB mide 120º, ¿cuánto vale x? ¿Por qué?
j. ¿Son complementarios los ángulos DOC y EOD? ¿Por qué?
k. Si AD es perpendicular a FB, BAC ≅ DAE y BAC = 60º entonces, ¿son congruentes
los ángulos CAD y FAE? ¿Por qué?
¿Son perpendiculares las bisectrices?
¿Por qué?
20 Ejercicios con ángulos y sus relaciones
l. ¿Cuánto mide α + τ + ρ + δ ? ¿Por qué?
m. Si OC ⊥ OB entonces, ¿cuánto mide AOB + DOC? ¿Por qué?
¿Son suplementarios o complementarios estos ángulos?
21Ejercicios con ángulos y sus relaciones
A modo de cierre, completa las siguientes frases con los conceptos que has repasado en esta
guía.
a. La suma de las medidas de dos ángulos es de 90º, entonces cada ángulo es el
del otro.
b. Un ángulo cuya medida es menor que 90º se llama ángulo
c. Un ángulo cuya medida es mayor que 90º se llama ángulo
d. Un ángulo cuya medida es igual que 90º se llama ángulo
e. Dos ángulos contiguos tienen en común
f. Si dos ángulos son congruentes sus suplementos son
g. Dos ángulos congruentes y suplementarios a la vez son
h. La suma de las medidas de dos ángulos complementarios es
i. La suma de las medidas de dos ángulos suplementarios es
j. La suma de las medidas de dos ángulos es siempre menor que 180º
k. La suma de las medidas de dos ángulos es siempre menor que 360º
Autoevaluación de lo aprendido
22 Rectas, ángulos y triángulos
GUÍA 4RECTAS, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
Si en un plano se ubican sucesivamente tres rectas, entonces pueden presentarse siete situaciones,
como las que aparecen en la tabla de más abajo.
Dibuja en la tabla, bajo cada enunciado, una figura que represente la situación.
Anatomía de los triángulos
3 rectas coincidentes 2 rectas coincidentes y laotra corta a las anteriores
2 rectas coincidentes y laotra es paralela a lasanteriores
Las 3 rectas son paralelas
2 rectas paralelas yla otra corta a las anteriores
Las 3 rectas se cortan en un punto Las 3 rectas se cortan en trespuntos (de dos en dos)
23Rectas, ángulos y triángulos
Dibuja 3 rectas que se intercepten en tres puntos (de dos en dos).
Algunas propiedades de los triángulos
¿Qué figura conocida se formó?
¿Cuántos vértices tiene esta figura? Etiqueta los vértices con las letras A, B y C.
Identifica y escribe los segmentos que se formaron.
¿Cuántos ángulos puedes identificar? Utiliza las letras del alfabeto griego, que encontrarás
en el Anexo 1, para etiquetar los ángulos.
¿Cuáles son los ángulos interiores?
24 Rectas, ángulos y triángulos
¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores del triángulo?
+ + =
Un ángulo exterior de un triángulo es el formado por un lado del triángulo y la prolongación
de otro. ¿Cuáles son los ángulos exteriores?
h. ¿Cuánto vale la suma de los ángulos exteriores del triángulo?
+ + =
La medida de un ángulo exterior en un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos
ángulos interiores no adyacentes a él.
Un teorema importante
a. Si α = 50° y β = 60° entonces, ¿cuánto mide γ′?
b. ¿Cuánto vale γ + γ′?
25Rectas, ángulos y triángulos
Síntesis de lo aprendido
A modo de cierre, haz un resumen de los conceptos que has repasado en esta guía con sus
respectivas propiedades.
1 • Ángulo interior de un triángulo
2 • Ángulo exterior de un triángulo
3 • Suma de las medidasde los ángulos interioresdel triángulo
4 • Suma de las medidas delos ángulos exteriores deltriángulo
5 • Teorema del ángulo exterior
6 •
7 •
8 •
9 •
10 •
Concepto Propiedades asociadas
26 Rectas, ángulos y triángulos
Anexo 1
Alfabeto griego
Alfa Beta Ji Delta Épsilon
α β χ δ ε
Phi (Fi) Gamma Un Iota Ómicron
φ γ η ι ο
Kappa Lambda Mu Nu Pi
κ λ μ ν π
Theta Rho (Ro) Sigma Tau Ípsilon
θ ρ σ τ υ
Omega Eta Psi Dseta
ω ξ ψ ζ
27Clasificación y propiedades de triángulos
Aplicación de las propiedades de ángulos en el triángulo
Utilizando lo estudiado en la guía Nº 4, desarrolla los siguientes ejercicios de aplicación:
a. En la siguiente figura, ¿cuánto mide x?
GUÍA 5CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE TRIÁNGULOS
El valor de x es:
Con el dato obtenido, completa y responde:
Justifica la respuesta afirmativa:
¿Es equilátero el triángulo?
¿Es escaleno el triángulo?
¿Es isósceles el triángulo?
Sí No
Sí No
Sí No
b. En la siguiente figura, ¿cuánto mide x?
El valor de x es:
Con el dato obtenido responde:
Justifica la respuesta afirmativa:
¿Es acutángulo el triángulo?
¿Es rectángulo el triángulo?
¿Es obtusángulo el triángulo?
Sí No
Sí No
Sí No
28 Clasificación y propiedades de triángulos
c. En la siguiente figura, ¿cuánto mide x?
El valor de x es:
Con el dato obtenido responde:
Justifica las respuestas afirmativas:
¿Es isósceles el triángulo?
¿Es equilátero el triángulo?
¿Es rectángulo el triángulo?
Sí No
Sí No
Sí No
d. En la siguiente figura, ¿cuánto mide x?
El valor de x es:
Con el dato obtenido responde:
Justifica la respuesta afirmativa:
¿Es acutángulo el triángulo?
¿Es obtusángulo el triángulo?
¿Es isósceles el triángulo?
Sí No
Sí No
Sí No
29Clasificación y propiedades de triángulos
e. En la siguiente figura, ¿cuánto mide x?
El valor de x es:
Con el dato obtenido responde:
Justifica la respuesta afirmativa:
¿Es rectángulo el triángulo?
¿Es equilátero el triángulo?
¿Es isósceles el triángulo?
Sí No
Sí No
Sí No
f. Si CD es la altura del triángulo ABC, entonces:
¿Cuánto mide el ángulo x?
¿Es rectángulo el triángulo ADC? Justifica tu respuesta.
¿Cuánto mide α + β ?
30 Clasificación y propiedades de triángulos
g. En el triángulo ABC, rectángulo en C, se traza la altura CD:
¿Cuánto mide el ángulo x?
¿Es rectángulo el triángulo CDB? ¿Por qué?
h. En el triángulo SRT se traza la bisectriz SL del ángulo α.
¿Cuánto mide α ? ¿Por qué?
¿Cuánto mide β ? ¿Por qué?
i. En el triángulo ABC, la transversal CD es la bisectriz del ángulo ACB:
¿Cuánto mide el ángulo β ? ¿Por qué?
¿Qué tipo de triángulo es ACD? ¿Por qué?
¿Qué tipo de triángulo es CBD? ¿Por qué?
31Clasificación y propiedades de triángulos
j. En el triángulo ABC, se trazan las bisectrices en A y C:
¿Cuánto mide el ángulo x?
k. En el triángulo ABC, CD es la simetral:
¿Cuánto mide el ángulo α ?
l. En el triángulo ABC, si AC = BC entonces:
El valor de x es:
Con el dato obtenido responde:
Justifica la respuesta afirmativa.
¿Es rectángulo el triángulo?
¿Es obtusángulo el triángulo?
¿Es isósceles el triángulo?
Sí No
Sí No
Sí No
32 Demostraciones en los triángulos
Identificación de la hipótesis y tesis en un teorema asociado a triángulos
GUÍA 6DEMOSTRACIONES EN LOS TRIÁNGULOS
En esta guía debes reconocer la estructura de teoremas matemáticos relacionados con los
triángulos. Además, debes identificar las partes que conforman un teorema, distinguiendo entre
hipótesis y tesis. Luego relaciona esta estructura con la frase “si (hipótesis) entonces (tesis)”.
Se espera también que puedas esbozar una secuencia lógica de argumentos que justifiquen el
enunciado del teorema, es decir, una demostración del mismo.
33Demostraciones en los triángulos
Teorema
Los ángulos interiores de un triángulo suman 180º.
Si entonces
Si ,
entonces .
Hipótesis
Tesis
Demostración
34 Demostraciones en los triángulos
Teorema
El ángulo exterior en un vértice de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes a él.
Si entonces
Si ,
entonces .
Hipótesis
Tesis
Demostración
35Demostraciones en los triángulos
Demostración de un teorema relacionado con los ángulos exteriores en un triángulo
GUÍA 7DEMOSTRACIONES EN LOS TRIÁNGULOS
MINIEVALUACIÓN
En la guía anterior (Nº 6) ejercitaste la estructura de teoremas matemáticos relacionados con
los triángulos y trabajaste en la demostración de dos teoremas.
En esta minievaluación debes realizar el mismo trabajo pero de manera individual.
Este trabajo será evaluado.
36 Investigando la Semejanza
Teorema
Los ángulos exteriores de un triángulo suman 360º.
Si entonces
Si ,
entonces .
Hipótesis
Tesis
Demostración
37Elementos básicos de la circunferencia
GUÍA 8ELEMENTOS BÁSICOS DE LA CIRCUNFERENCIA
a. Dibuja con compás una circunferencia (en adelante ) en el plano P:
Aplicación de las propiedades de ángulos en el triángulo
P
Identifica el centro de la con la letra O y la circunferencia con la letra C.
Dibuja un radio.
¿Cuántos radios se pueden construir?
Describe con tus palabras lo que es el radio en la .
38 Elementos básicos de la circunferencia
b. Construye un diámetro, en la circunferencia del plano Q.
Q
Describe con tus palabras lo que es el diámetro en la .
¿Qué relación existe entre el radio y el diámetro?
¿Cuántos diámetros se pueden construir?
c. En el plano R, construye una cuerda.
R
¿Es el diámetro una cuerda?
Describe con tus palabras lo que es una cuerda en la .
Si la cuerda crece o decrece, ¿qué ocurre con la distancia del centro a ella?
39Elementos básicos de la circunferencia
d. En el plano S, dibuja una secante.
S
¿Cuántos puntos se interceptan con la circunferencia?
¿Qué es una secante?
Pinta de algún color, el segmento secante a la circunferencia.
e. Dibuja una tangente, en la circunferencia del plano T.
T
¿Cuántos puntos se interceptan con la circunferencia?
Asígnale la letra T a ese punto.
El punto T se llama punto de tangencia.
Construye el radio que pasa por el centro y el punto de tangencia.
40 Elementos básicos de la circunferencia
f. En el plano U:
U
Identifica dos puntos en la circunferencia y asígnales las letras A y B.
Pinta de distinto color cada uno de los arcos generados por esos dos puntos.
En el arco mayor, marca un punto con la letra C.
Si los arcos generados son distintos, ¿cómo identificar el arco mayor del menor?
41Elementos básicos de la circunferencia
A modo de cierre, haz un resumen de los conceptos que has repasado en esta guía con sus
respectivas propiedades.
Síntesis de lo aprendido
1 •
Concepto Propiedades asociadas
2 •
3 •
4 •
Radio(Dibújalo)
T
42 Elementos básicos de la circunferencia
Concepto Propiedades asociadas
5 • Cuerda(Dibújalo)
6 • Arco AB(Dibújalo)
7 • Arco ABC(Dibújalo)
8 • Diámetro(Dibújalo)
9 • T
L1
43Intersecciones entre una circunferencia y dos rectas
GUÍA 9INTERSECCIONES ENTRE UNA CIRCUNFERENCIA Y DOS RECTAS
Introducción
A lo largo del trabajo de las guías 1 a la 5 se recordaron conceptos intuitivos, elementos básicos,
relaciones y teoremas que son necesarios para el desarrollo de esta unidad.
Los desafíos en esta guía son: ¿qué ocurre cuando en un plano coinciden una circunferencia y dos
rectas?, ¿qué situaciones se presentan?
Intersecciones de una circunferencia con dos rectas
a. Completa la siguiente tabla con dibujos que representen las diferentes posiciones que se
pueden dar cuando en un plano coinciden una circunferencia y dos rectas.
No in
terce
ptan
a la
circu
nfer
encia
(inte
rsec
ción
vac
ía)
Par de rectas paralelas Par de rectas coincidentes Par de rectas que se cortan
Inte
rcep
tan
ala
circ
unfe
renc
ia
44 Intersecciones entre una circunferencia y dos rectas
b. En el caso de dos rectas paralelas que son secantes a la circunferencia:
¿Cuántas cuerdas se generan?
¿Cuántos arcos se generan?
¿Cómo se anotan con simbología matemática estos elementos?
Las cuerdas:
Los arcos:
c. En el caso de dos rectas paralelas que son tangentes a la circunferencia:
Dibuja los radios que unen el centro con cada uno de los puntos de contacto.
45Intersecciones entre una circunferencia y dos rectas
¿Qué elemento de la circunferencia se obtiene?
En función de los elementos de la circunferencia, ¿cuál es la distancia entre las paralelas?
d. Si haces un análisis de la tabla (página 43) la exploración con el par de rectas que se cortan
y sus intersecciones con una circunferencia, ¿cuántos casos encuentras?
Dibújalos a continuación:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
46
GUÍA 10EXAMINANDO ELEMENTOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA
Aplicación de las propiedades de ángulos en el triángulo
En la guía anterior, descubriste todos los casos que se presentan cuando en un plano coinciden
una circunferencia y dos rectas. En esta guía estudiaremos el caso de dos rectas que se interceptan
en un punto y además interceptan a la circunferencia.
Observa las siguientes figuras:
Examinando elementos asociados a la circunferencia
Figura 1 Figura 2
Figura 3 Figura 4
47Examinando elementos asociados a la circunferencia
Todas las actividades dadas a continuación se refieren a las circunferencias de la página anterior.
a. ¿Cuál de las figuras muestra una recta secante y una tangente que se interceptan en la
circunferencia?
1 2 3 4Figura:
Nota que en este caso, la secante pasa por el centro de la circunferencia.
Asígnale letras del alfabeto griego a los ángulos formados.
¿Cuánto miden los ángulos formados por estas dos rectas? Justifica tu respuesta.
b. ¿Cuál de las figuras de la página anterior, corresponde a secantes que se interceptan en la
circunferencia?
1 2 3 4Figura:
Identifica, con letras, los puntos de intersección de las secantes con la circunferencia
que elegiste.
Identifica, con una letra del alfabeto griego, el ángulo que queda en el interior de la
circunferencia que elegiste. ¿Cuál es el arco que subtiende ese ángulo?
Este ángulo recibe el nombre de ángulo inscrito porque su vértice está en:
Identifica y escribe los segmentos generados en la figura que elegiste.
48 Examinando elementos asociados a la circunferencia
c. ¿Cuál de las figuras corresponde a rectas secantes que se interceptan en el interior de la
circunferencia? (marca sólo una)
1 2 3 4Figura:
En la figura que elegiste, identifica los ángulos que se forman al interior de la
circunferencia y desígnalos con letras del alfabeto griego.
¿Cuáles ángulos son opuestos por el vértice?, ¿cuáles ángulos son suplementarios?
Anota estos pares de ángulos en el cuadro siguiente:
Pares de ángulos opuesto por el vértice Pares de ángulos suplementarios
Identifica, con letras mayúsculas, los puntos de intersección de las rectas y de ellas
con la circunferencia.
Identifica y escribe los segmentos generados en la figura.
d. ¿Cuál de las figuras corresponde a una secante y a una tangente que se interceptan en el
exterior de la circunferencia?
1 2 3 4Figura:
Asígnale letras al punto de intercepción de la secantes y la tangente y al punto de
intercepción de ambas rectas con la circunferencia.
Identifica los segmentos generados por los puntos
de intercepción y escríbelos en esta tabla adjunta.
En la figura que elegiste, identifica y escribe todos
los arcos generados por los puntos de intersección
de ambas rectas con la circunferencia.
Segmentos generados porlos puntos de intercepción
49Examinando elementos asociados a la circunferencia
Autoevaluación
A modo de cierre de la guía te proponemos esta autoevaluación para que compruebes lo
que has aprendido.
Observa la figura adjunta y contesta las preguntas
que siguen a continuación:
a. ¿Cuántos arcos tiene la figura? Escríbelos.
0
3
1
4
2
5
b. ¿Cuántos segmentos se pueden distinguir en la figura? Escríbelos.
0
3
1
4
2
5
c. ¿Cuántas cuerdas se pueden distinguir en la figura? Escríbelas.
0
3
1
4
2
5
d. ¿Cuántos ángulos se pueden distinguir en la figura? Escríbelos.
0
3
1
4
2
5
e. ¿Cuántas secantes se pueden distinguir en la figura? Escríbelas.
0
3
1
4
2
5
f. ¿Cuántas tangentes se pueden distinguir en la figura? Escríbelas.
0
3
1
4
2
5
50 Examinando elementos asociados a la circunferencia
GUÍA 11EXAMINANDO ELEMENTOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA
Aplicación de las propiedades de ángulos en el triángulo
En la guía anterior, descubriste todos los casos que se presentan cuando en un plano coinciden
una circunferencia y dos rectas. En esta guía estudiaremos el caso de dos rectas que se interceptan
en un punto y además interceptan a la circunferencia.
Observa las siguientes figuras:
Figura 1 Figura 2
Figura 3 Figura 4
51Examinando elementos asociados a la circunferencia
Todas las actividades que vienen a continuación se refieren a las circunferencias de la página
anterior.
a. ¿Cuál de las figuras presenta dos rectas tangentes a una circunferencia?
1 2 3 4Figura:
Asígnales letras mayúsculas a los puntos de intersección entre rectas y entre las rectas
con la circunferencia.
Identifica y escribe los arcos generados por estas intersecciones
b. ¿Cuál de las figuras de la página anterior presenta dos rectas secantes a una circunferencia
que se interceptan en el exterior de ella?
1 2 3 4Figura:
Asígnales letras mayúsculas a los puntos de intersección entre rectas y entre las rectas
con la circunferencia.
Identifica y escribe los arcos generados por estas intersecciones.
Identifica y escribe los segmentos determinados por estas intersecciones.
Identifica y escribe los segmentos determinados por estas intersecciones.
Identifica y escribe las cuerdas determinadas por estas intersecciones.
52 Examinando elementos asociados a la circunferencia
c. ¿Cuál de las figuras presenta dos rectas secantes a una circunferencia que se interceptan
en el centro de ella?
1 2 3 4Figura:
Asígnales letras mayúscula a los puntos de intersección de las secantes con la
circunferencia.
Identifica y escribe los segmentos determinados por los puntos de intersección.
d. ¿Cuál de la figuras presenta una recta secante y una tangente que se interceptan en la
circunferencia?
1 2 3 4Figura:
Asígnales letras a los puntos de intercepción. Asígnales letras del alfabeto griego a los
ángulos formados por las rectas.
Asígnales letras a los ángulos generados por la intersección de las secantes.
¿Cuáles son ángulos opuestos por el vértice? ¿Cuáles ángulos son suplementarios?
Escribe estos pares en el recuadro siguiente:
Pares de ángulos opuesto por el vértice Pares de ángulos suplementarios
Identifica y escribe los arcos generados por esas intersecciones.
Pares de ángulos opuesto por el vértice Pares de ángulos suplementarios
53Examinando elementos asociados a la circunferencia
Autoevaluación
A modo de cierre de la guía te proponemos esta autoevaluación
para que compruebes lo que has aprendido.
Observa la figura adjunta y contesta las preguntas
que siguen a continuación.
a. ¿Cuántos arcos tiene la figura? Escríbelos.
0
3
1
4
2
5
b. ¿Cuántos segmentos se pueden distinguir en la figura? Escríbelos.
0
3
1
4
2
5
c. ¿Cuántas cuerdas se pueden distinguir en la figura? Escríbelas.
0
4
2
5
3
6
d. ¿Cuántos ángulos se pueden distinguir en la figura? Escríbelos.
0
3
1
4
2
5
e. ¿Cuántas secantes se pueden distinguir en la figura? Escríbelas.
0
3
1
4
2
5
f. ¿Cuántas tangentes se pueden distinguir en la figura? Escríbelas.
0
3
1
4
2
5
54 Demostraciones en la circunferencia
GUÍA 12DEMOSTRACIONES EN LA CIRCUNFERENCIA
Identificación de la hipótesis y tesis en un teorema asociado a la circunferencia
En esta guía debes reconocer la estructura de teoremas matemáticos relacionados con la circunferencia.
Además debes identificar las partes que conforman un teorema, distinguiendo entre
hipótesis y tesis. Luego relaciona esta estructura con la frase “si (hipótesis) entonces (tesis)”.
Se espera también que puedas esbozar una secuencia lógica de argumentos que justifiquen el
enunciado del teorema, es decir, una demostración del mismo.
55Demostraciones en la circunferencia
Teorema
En una circunferencia, la medida del ángulo del centro es el doble de la medida del
ángulo inscrito que subtiende el mismo arco entre sus lados.
Si entonces
Si ,
entonces .
Hipótesis
Tesis
Demostración
C
AB
β
α
56 Demostraciones en la circunferencia
Teorema
Si los lados de dos o más ángulos inscritos interceptan arcos congruentes o un mismo
arco, entonces los ángulos son congruentes.
Si entonces
Si ,
entonces .
Hipótesis
Tesis
Demostración
A B
1
2 3
57Demostraciones en la circunferencia
Teorema
Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, entonces sus ángulos opuestos son
suplementarios.
Si entonces
Si ,
entonces .
Hipótesis
Tesis
Demostración
A
B
γ
C
D
α
58 Demostraciones en la circunferencia
GUÍA 13DEMOSTRACIONES EN LA CIRCUNFERENCIA
MINIEVALUACIÓN
Demostración de un teorema relacionado con las cuerdas de una circunferencia
En la guía anterior (Nº 12) ejercitaste en la estructura de teoremas matemáticos relacionados con
la circunferencia y trabajaste en la demostración de tres teoremas.
En esta minievaluación debes realizar el mismo trabajo pero de manera completamente
independiente.
Este trabajo será calificado.
59Demostraciones en la circunferencia
Teorema
Si un ángulo está inscrito en una semicircunferencia, entonces el ángulo es recto.
Si entonces
Si ,
entonces .
Hipótesis
Tesis
Demostración
A
B
C
60 Ejercicios con elementos de la circunferencia
GUÍA 14EJERCICIOS CON ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Identificación de los elementos principales asociados a la circunferencia
Coloca el nombre del elemento de circunferencia que se indica al pie de cada una de las
siguientes figuras:
Figura 1 Figura 2 Figura 3
0 es: AB es: AB es:
Figura 4 Figura 5 Figura 6
OP es: AB es: L es:
A BA
B
A
B
L
T
P
61Ejercicios con elementos de la circunferencia
Figura 7 Figura 8 Figura 9
AB es: OT es: AB es:
T A
B
Figura 10 Figura 11 Figura 12
QOP es: PQR es: PQR es:
Cálculo de medidas de ángulos
Calcula la medida de los ángulos indicados con las letras x, y o z.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
x = y = x = x =
A
B
Q
P
R
Q
P
Q
P
R
x
C
B
A 75 º
C
B
Ax
50 º
C
B
A 85 º
y
x
62 Ejercicios con elementos de la circunferencia
Figura 4 Figura 5 Figura 6
Figura 7 Figura 8 Figura 9
Figura 10 Figura 11 Figura 12
x = y = x =
x = y =
x = y =
x = y = z = x = y =
x =x =x =
A
C
B80 º
55 ºx
y
AC
B
100 º
x
y
A
C
B
x
C
A
B
D
x yCD
E
A
B
x
y z
CD
AB
110º
yx
85 º
xx
70 º
80 º
x
Arco AB=100º Arco AB=115º
63Ejercicios con elementos de la circunferencia
GUÍA 15EJERCICIOS CON ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Ejercicios de cálculo de ángulos en la circunferencia
Calcula la medida de los ángulos indicados:
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 4 Figura 5 Figura 6
x =x =x =
CAB = 60º CBA = 70º
AOC = DAB = Medida del arco x =
Q
P
R
x
150º
20º
CA
B
D
E
BA
C70º 55º
x
C
A
B
30º
x
38º37º
x
64 Ejercicios con elementos de la circunferencia
Figura 7 Figura 8 Figura 9
Figura 10 Figura 11 Figura 12
Figura 13 Figura 14 Figura 15
y =
ACB = ACB = α = β =
x =
x = y =
x = x =
ADC =
AB ≅ CB Arco CB = 126º AD ≅ CD
C
A
B52º
25º40º
C
AB
βα
C
A B28º
18º
x
45º
x 98º
x
x
y
98º
C
A
B
yB
A
C
D
25º
65Ejercicios con elementos de la circunferencia
Figura 16 Figura 17 Figura 18
x =
BT Tangente BT Tangente
x = x =
y = y =
z =
x40º
y z
TA
B
A
B T
C
x
y
50º
50º
x
A
B C
D
66 Ejercicios con elementos de la circunferencia
GUÍA 16EJERCICIOS CON ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Cálculo que involucran ángulos en la circunferencia
Calcula la medida de los ángulos indicados con letras o números.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 4 Figura 5 Figura 6
x =x =
Arco AB = 120º
1 + 2 + 3 =
x =x = x =
x
40º
x
60º
A
B
12
3
A
BC
22ºx
x
50º
30º
73º
x
67Ejercicios con elementos de la circunferencia
Figura 7 Figura 8 Figura 9
Figura 10 Figura 11 Figura 12
Figura 13 Figura 14 Figura 15
x = x = x =
x = x = x =y =
x =
Arco ABC = 108º
x + y = x =
Tangente, BC Diámetro AB
30º
x
x
y
30º
20º 130º
x
x
40º
x
120º
30º
20º
xB
A
C
x
y
BC
A
x
50ºx
68 Exploración del teorema de las cuerdas
GUÍA 17EXPLORACIÓN DEL TEOREMA DE LAS CUERDAS
Exploración de invariantes en dos cuerdas de una circunferencia
a. Observa la figura 1 y realiza, de forma individual, las acciones que se te piden.
Pinta de distinto color cada uno de los
segmentos determinados por el punto P y los
puntos A, B, C, D.
Mide con regla cada uno de los segmentos
pintados y coloca en ellos su longitud.
b. Ahora buscaremos invariantes a partir de las medidas de estos trazos.
Para buscar las invariantes, empezaremos trabajando en la figura 1:
Se traza la bisectriz del ángulo DPA.
Se dibuja el trazo BD formando el triángulo DBP.
Se dibuja el trazo AC formando el triángulo APC.
La figura 2 muestra el resultado de estas acciones.
Figura 2
Figura 1
B C
A
D
P
B C
A
D
P
69Exploración del teorema de las cuerdas
Utilizando la bisectriz anterior como eje de
simetría, se refleja el triángulo DBP, quedando
el triángulo D’B’P.
La figura 3 muestra el resultado de esta reflexión.
En esta figura, mide los segmentos PD’, PA, PB’ yPC. Coloca la medida correspondiente sobre cada
uno de ellos.
Como los trazos AC y D’B’ son paralelos porque
el triángulo PD’B’ es semejante al triángulo
PAC entonces se cumple:
c. Por la teoría de las proporciones, esta se puede escribir de ocho formas distintas y en cada una
de ellas se cumple el teorema fundamental de las proporciones. Verifícalo completando las
siguientes equivalencias:
24
=36
24
=36
=32
=64
=
23
=46
=63
=42
=
36
=24
=46
=23
=
42
=63
=64
=32
=
Figura 3
B
C
A
D
P
D’
B’
70 Exploración del teorema de las cuerdas
Respecto de los resultados obtenidos en la tabla anterior, ¿cuál es la relación que se cumple
en todos los casos?
Producto de la simetría que construimos en la Figura 3, tenemos dos congruencias: DP ≅ D’Py BP ≅ B’P, por lo que podemos escribir las proporciones entre trazos utilizando solamente los
trazos AP, BP, CP y DP.
d. Completa la misma tabla anterior utilizando los trazos PA, PB, PC y PD, como muestra el
ejemplo:
PDPA
=PBPC
PD • PC = PA • PB = =
= == =
= == =
= == =
¿Se siguen cumpliendo las mismas invariantes?
A partir de estas invariantes, intenta escribir con tus palabras, el teorema que crees que relaciona
las medidas de los trazos AP, BP, CP y DP.
71Exploración del teorema de las cuerdas
Pasando en limpio
Cuando tengas una idea del teorema (o de lo que crees que se mantiene invariante en la figura)
intenta escribirlo a continuación.
Teorema:
Teorema que acordó el grupo
Teorema:
Cuando todos tus compañeros o compañeras de grupo hayan elaborado su propia versión del teorema,
compartan lo que han hecho (el teorema que piensan que han encontrado). Entre todos elaboren un
teorema en el que todo el grupo esté de acuerdo y escríbanlo en el siguiente cuadro.
A continuación, y cuando lo indique tu profesor o profesora, escribe la versión final y correcta
del teorema que buscábamos.
B C
A
D
P
72 Demostraciones en la circunferencia
Identificación de la hipótesis y tesis en un teorema asociado a la circunferencia
GUÍA 18DEMOSTRACIONES EN LA CIRCUNFERENCIA
TEOREMA DE LAS CUERDAS
En esta guía debes reconocer la estructura de teoremas matemáticos relacionados con la
circunferencia. Además debes identificar las partes que conforman un teorema, distinguiendo
entre hipótesis y tesis. Luego relaciona esta estructura con la frase “si (hipótesis) entonces
(tesis)”.
Se espera también que puedas esbozar una secuencia lógica de argumentos que justifiquen el
enunciado del teorema, es decir, una demostración del mismo.
73Demostraciones en la circunferencia
Teorema
Si dos cuerdas se interceptan en un punto interior de la circunferencia, este determina
segmentos en ella, de manera que el producto de las medidas de los segmentos de una
de las cuerdas es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.
Si entonces
Si ,
entonces .
Hipótesis
Tesis
Demostración
B
C
AD
P
74 Demostraciones en la circunferencia
Demostración de un teorema relacionado con las cuerdas de una circunferencia
GUÍA 19DEMOSTRACIONES EN LA CIRCUNFERENCIA
MINIEVALUACIÓN DEL TEOREMA DE LAS CUERDAS
En la guía anterior (Nº 20) ejercitaste en la estructura de teoremas matemáticos relacionados
con la circunferencia y trabajaste en la demostración de diversos teoremas.
En esta minievaluación debes realizar el mismo trabajo pero de manera completamente
independiente.
Este trabajo será calificado.
75Demostraciones en la circunferencia
Teorema
Si dos cuerdas que se interceptan en un punto interior de la circunferencia de modo
que PA = PB entonces en este caso se tiene que PA2 = PC • PD
Si entonces
Si ,
entonces .
Hipótesis
Tesis
Demostración
B
C
A
DP
76 Ejercicios del Teorema de las cuerdas
GUÍA 20EJERCICIOS DEL TEOREMA DE LAS CUERDAS
Ejercitación del teorema del punto potencia interior a una circunferencia
Determina el valor de x en cada uno de los siguientes casos:
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 4 Figura 5 Figura 6
x vale =
El segmento DC mide
x vale =
El segmento DC mide
x vale =
El segmento DC mide
x vale =
El segmento AB mide
x vale =
El segmento DC mide
x vale =
El segmento DC mide
4x
B
C
A
D
816
4
x
B
C
A
D
12
P
24
B
D
A
CxP
8
6
9
A
C
4
12 xP
9
A
C
B
D
A
C
B
D3
2P
(2 x +1)(x + 2)
A
C
B
D
2xP4
18x
77Ejercicios del Teorema de las cuerdas
Figura 7 Figura 8 Figura 9
x vale =
El segmento DC mide
x vale =
El segmento AB mide
x vale =
El segmento AB mide
Figura 10 Figura 11 Figura 12
x vale =
El segmento AB mide
x vale =
El segmento CD mide
x vale =
El segmento AP mide
Figura 13 Figura 14 Figura 15
x vale =
El segmento CP mide
x vale =
El segmento AB mide
x vale =
El segmento OC mide
4
xB
C
A
D
16
x
P
4
xB
C
A
D
49
xP
C A
B
DD
4
P
2(x+2)
(3x+1)
C
AB
D
3
4
5
x
P
C
A
B
D
x
xP
16 9
CA
B
D
P
6
2
(x+9)
(x+1)
(x+3)
(x+12)
C
A
BD
2
4
P 2x
x28
14
C
A
B
D
P
(x+3)(2x+1)
P
2 3
C
A
BD
78 Ejercicios del Teorema de las cuerdas
Figura 16 Figura 17 Figura 18
x vale =
El segmento AB mide
x vale =
El segmento DC mide
x vale =
El segmento DC mide
8
x
C
A
32x
P
B
D
CA
B
D
P x5
10
C
A
B
D Px x
4
OB = 10OB = 15
79Exploración del teorema de las secantes
GUÍA 21EXPLORACIÓN DEL TEOREMA DE LAS SECANTES
Exploración de invariantes en una circunferencia con dos secantes
a. Observa la figura dispuesta a continuación y completa, de forma individual, los datos que
se te piden más adelante.
Pinta de distinto color cada uno de los
segmentos determinados por el punto P y los
puntos A, B, C, D.
Mide con regla cada uno de los segmentos
pintados y coloca en ellos su longitud.
Figura 1
Para buscar invariantes a partir de las medidas de estos trazos, analizaremos lo que ocurre en
las figuras siguientes.
En la figura 1, dibuja el triángulo PBC, como muestra la figura adjunta:
A continuación, y en la misma figura 1, dibuja el triángulo PAD:
B
C
A
D
P
B
C
A
D
P
B
C
A
D
P
80 Exploración del teorema de las secantes
Si consideramos solamente los triángulos PAD y PBC y los acomodamos de modo que
tengan a los lados PB y PD como bases, tendremos:
Por el teorema LAL, los triángulos PAD y PBC son semejantes, por lo tanto se puede escribir
la proporción:
b. Por la teoría de las proporciones, la proporción anterior se puede escribir de ocho formas
distintas y en cada una de ellas se cumple el teorema fundamental de las proporciones. Verifícalo
completando las siguientes equivalencias:
2,52,0
=5,04,0
y se cumple que 2,5 • 4 = 2 • 5
10 10
2,5
2= 2,5 • 4 = 2 • 5i.
5
410 10
4
5= =v.
2
2,5
5
4= =vi.
2,5
2
4
2= =vii.
5
2,5
2,5
5= =viii.
2
4
5
2,5=ii.
4
2=
2
4=iii.
2,5
5=
2
2,5=iv.
4
5=
81Exploración del teorema de las secantes
Respecto de los resultados obtenidos en la tabla anterior, ¿cuál es la relación que se cumple
en todos los casos?
Considerando la figura inicial:
PA = 2,5
PB = 4,0
PC = 2,0
PD = 5,0
Al reemplazar las medidas 2,5 - 4,0 - 2,0 y 5,0 por los trazos PA, PB, PC y PD en la proporción:
2,52,0
=5,04,0
, se obtiene:PAPC
=PDPB
por lo tanto se cumple: PA • PB = PC • PD
c. ¿Se cumple esta igualdad de productos en las ocho proporciones anteriores?
d. ¿Cuál es la invariante que se sigue manteniendo con los trazos PA, PB, PC y PD?
B
C
A
D
P
82 Exploración del teorema de las secantes
Pasando en limpio
Cuando tengas una idea del teorema (o de lo que crees que se mantiene invariante en la figura)
intenta escribirlo a continuación.
Teorema:
Teorema que acordó el grupo
Teorema:
Cuando todos tus compañeros de grupo hayan elaborado su propia versión del teorema, compartan
lo que han hecho (el teorema que piensan que han encontrado). Entre todos elaboren un teorema
en el que todo el grupo esté de acuerdo y escríbanlo en el siguiente cuadro.
A continuación, y cuando lo indique el profesor(a), escribe la versión final y correcta del teorema
que buscábamos.
B
C
A
D
P
83Demostraciones en la circunferencia
GUÍA 22DEMOSTRACIONES EN LA CIRCUNFERENCIA
TEOREMA DE LAS SECANTES
Identificación de la hipótesis y tesis en un teorema asociado a la circunferencia
En esta guía debes reconocer la estructura de teoremas matemáticos relacionados con la
circunferencia. Además debes identificar las partes que conforman un teorema, distinguiendo
entre hipótesis y tesis. Luego relaciona esta estructura con la frase “si (hipótesis), entonces
(tesis)”.
Se espera también que puedas esbozar una secuencia lógica de argumentos que justifiquen el
enunciado del teorema, es decir, una demostración del mismo.
84 Demostraciones en la circunferencia
Teorema
Si desde un punto P cualquiera, exterior a una circunferencia, se trazan dos secantes,
entonces los productos de las distancias desde P a los puntos de intersección de cada
secante con la circunferencia son iguales.
Si entonces
Si ,
entonces .
Hipótesis
Tesis
Demostración
A
B
C
D
P
85Demostraciones en la circunferencia
GUÍA 23DEMOSTRACIONES EN LA CIRCUNFERENCIA
MINIEVALUACIÓN DEL TEOREMA DE LAS SECANTES
Demostración de un teorema relacionado con las cuerdas de una circunferencia
En la guía anterior (Nº 21) ejercitaste en la estructura de teoremas matemáticos relacionados
con la circunferencia y trabajaste en la demostración de diversos teoremas.
En esta minievaluación debes realizar el mismo trabajo pero de manera completamente
independiente.
Este trabajo será calificado.
86 Demostraciones en la circunferencia
Teorema
Si desde un punto P, exterior a la circunferencia, se trazan una tangente PT y una secante
PB entonces se tiene que PT2 = PA • PB (Ver figura más abajo)
Si entonces
Si ,
entonces .
Hipótesis
Tesis
Demostración
A
B
T
P
87Ejercicios del teorema de las secantes
GUÍA 24EJERCICIOS DEL TEOREMA DE LAS SECANTES
Ejercitación del teorema del punto potencia interior a una circunferencia
Determina la medida o las medidas de los trazos indicados:
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 4 Figura 5 Figura 6
El segmento PD mide: El segmento PA mide: El segmento PD mide:
B
D
A
CP
PA = 12 PB = 36 PC = 9 PC = 3 PB = 27 PD = 18 PB = 21 PC = 6 AB = 17
El segmento PA mide: El segmento PA mide:PA :
CD = 10 PB = 12 PD = 16 PB = 36 PC = 6 CD = 18 PA = 5 – x PB = x + 9
PC = x + 4 PD = 9 – x
Anota la medida de los segmentos
PC :
B
D
AC
P
B
D
A
CP
B
D
A
C
PB
D
A
CP
B
D
A
C
P
88 Ejercicios del teorema de las secantes
Figura 7 Figura 8 Figura 9
Figura 10 Figura 11 Figura 12
PB = 24 PA = 9 PD = 18
Figura 13 Figura 14 Figura 15
PC mide:
PC = x + 1 PA = x – 1
CD = 22 AB = 32
PA mide: PC mide: x vale: PD mide:
x vale: PD mide: x vale: PB mide: x vale: PD mide:
x vale: PD mide: x vale: PB mide: PB mide:
PB = 15 PD = 12 PD = 12 PA = 6 PC = 5
B
D
A
CP
B
D
A C
P
x
3 6
3
B
D
A
C
P
x
4
3
B
D
A
C
P2
B
D
A
C
P
x2
8
6
B
D
P
A
C
(x – 1)
(x – 8)
3
4
B
D
A
C
P x
7
3
P
B
D
A
C
B
D
A
C
P
x
211
89Ejercicios de los teoremas de las cuerdas y la secante
GUÍA 25EJERCICIOS DE LOS TEOREMAS DE LAS CUERDAS
Y LA SECANTEMISCELÁNEA DE EJERCICIOS DE LOS TEOREMAS
DE LAS CUERDAS Y DE LA SECANTE
Ejercitación del teorema del punto potencia interior a una circunferencia
Determina la medida o las medidas de los trazos indicados:
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 4 Figura 5 Figura 6
El segmento PC mide:
El segmento PC mide:
PA = 8 AB = 10 PD = 24 PA = x + 4 PB = 2x + 4
PC = 2x – 2 PD = x + 12
x vale: PD mide: El valor de x es:
PA : PC :
PA : PB :PC : PC :
El valor de x es:PA : PC :El valor de x es:
B
D
P
A
C 18
4 6
x
B
D
P
A
C
x
20
4
6
(x + 2)
B
D
P
A
C
2x
4
6
B
D
P
A
C
(x – 3)
P
BD
AC
(2x – 2)
(x – 2)(2x + 1)
P
B
D
A
C
90 Ejercicios de los teoremas de las cuerdas y la secante
Figura 7 Figura 8 Figura 9
Figura 10 Figura 11 Figura 12
Figura 13 Figura 14 Figura 15
El valor de x es:
PB : PD :
El valor de x es:
PD : PC :
El valor de x es:
PD : PB :
PB = 30 AB = 22 PC = 10
El segmento AB mide: PB : PD : El segmento PD mide:
El segmento AB mide: PA : PB :PC : PD :
El valor de x es:
AB : CD :
(2x + 4)
B
D
P
A
C9
6
(x + 1)
B
D
P
A
C
6
x
x24
B
D
P
A
C
4x10
14
2x
B
DP
A
C
12
x
4
3
(2x + 2)
(x + 2)
P4 P
6A
D
C
B
P
A
D
C
B
P
AD
C
B
(x + 2)
(x + 6)3
2
xxP
A D
C
B
4
16
(x + 2)
x
14
26
P
A
D
C
B
91Ejercicios de los teoremas de las cuerdas y la secante
Figura 16 Figura 17 Figura 18
El valor de x es:
AB : CD :
Anota la medida de los segmentos
PB : CD :
Anota la medida de los segmentos
PD : PC :
OC = 15 PA = x + 2
PC = x
AB = 18
OD = 16
OB = 13
PD ≅ PC = x
PA = 8
B
D
P
A
C
6x
18
D
A
C
P
B
D
AC
P
B
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