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ESTADÍSTICA APLICADA - DIPLOMATURA DE TURISMO
CURSO ACADÉMICO 2006/2007. PROF. MÓNICA MARTÍN DEL PESO 1
ESTADÍSTICA APLICADA. DIPL. TURISMO
PROF. MÓNICA MARTÍN DEL PESO
Curso Académico
2006/2007
3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA
Si tenemos el siguiente conjunto de datos ...10, 9, 8, 10, 9, 9, 10, 9, 10, 9
EJEMPLO 1:
... y deseamos encontrar un valor resuma y represente a todo el conjunto:
(...) seguramente lo primero que se os ocurriría es sumar todos los valores y dividirlos entre el número total de datos.
( ) ( )
10 9 8 10 9 9 10 9 10 910
8 9 5 10 49,3
10
+ + + + + + + + +=
+ ⋅ + ⋅= =
A este valor se le denomina MEDIA ARITMÉTICA.
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2006/2007
3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA
EJEMPLO 2: Tras encuestar a 25 familias sobre el número de hijos que tenían, se obtuvieron los siguientes datos:
56842
01234
N = 25 familiasTOTAL
Nº familias (ni)Nº hijos (xi)
42 hijos
i ix n⋅0 5 01 6 62 8 163 4 124 2 8
⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =
,0 5 1 6 2 8 3 4 4 2 0 6 16 12 8 42 1 6825 25 25
x hijos⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + += = = =
Es decir, las familias encuestadas tienen un número medio de hijos de 1'68.
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3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA
EJEMPLO 3: Se han observado los pesos (en kg.) de 5 estudiantes. Siendo éstos los siguientes: 54, 59, 60, 63, 64
11111
5459606364
N = 5Total = 300
Nº estudiantes (ni)peso (xi)
300
i ix n⋅54 1 5459 1 5960 1 6063 1 6364 1 64
⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =
54 59 60 63 64 300 605 5
x kg+ + + += = =
Es decir, los estudiantes encuestados tienen un peso medio de 60 kg
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3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA
EJEMPLO 4: Se han observado los pesos (en kg.) de 100 estudiantes, cuyos resultados se presentan agrupados en intervalos en la siguiente tabla de frecuencias:
302050
30 - 4040 - 5050 - 60
N = 100Total
Nº estudiantes
(ni)Peso
Li-1 - Li(30+40) / 2 = 35(40+50) / 2 = 45(50+60) / 2 = 55
1
2
i iCi
L Lx −+
=
4700
i
Cix n⋅
35 30 105045 20 90055 50 2750
⋅ =⋅ =⋅ =
35 30 45 20 55 50 1050 900 2750 4700 47100 100 100
x kg⋅ + ⋅ + ⋅ + += = = =
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3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA
EJEMPLO 5: Un estudiante realizó 3 pruebas de distinta complejidad en las que logró las puntuaciones de 50, 80 y 70 puntos. El 1er. examen lo hizo en ½ h., el 2º en 1h. y el 3º en 1+½ h.; por lo que, a cada nota, se le atribuyó una ponderación de 1, 2 y 3, respectivamente.
123
508070
6Total
ponderación o peso (wi)
puntos (xi)
420
i ix w⋅
50 1 5080 2 16070 3 210
⋅ =⋅ =⋅ =
50 1 80 2 70 3 420 706 6
x puntos⋅ + ⋅ + ⋅= = =
El estudiante saco una nota media de 70 puntos.
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Edad
0
25
50
75
100
125
Frec
uenc
ia
,x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅= =
11 4 12 62 13 62 14 86 19 7 20 1 14 8498
MEDIA ARITMÉTICA = CENTRO DE GRAVEDAD DE LA DISTRIBUCIÓN
Edad
4 ,862 12,462 12,486 17,389 17,9
121 24,345 9,021 4,2
7 1,41 ,2
498 100,0
11121314151617181920Total
Frecuencia Porcentajenº de años
EJEMPLO 6
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2006/2007
11121314151617181920
N = 498
462628689
121452171
- 3,8 * 4 = - 15,2- 2,8 * 62 = - 171,9- 1,8 * 62 = - 110,9- 0,8 * 86 = - 67,9+0,2 * 89 = + 18,8+1,2 * 121 = + 146,5+2,2 * 45 = + 99,5+3,2 * 21 = + 67,4+4,2 * 7 = + 29,5+5,2 * 1 = + 5,2
11 - 14,8 = - 3,812 - 14,8 = - 2,813 - 14,8 = - 1,814 - 14,8 = - 0,815 - 14,8 = + 0,216 - 14,8 = + 1,217 - 14,8 = + 2,218 - 14,8 = + 3,219 - 14,8 = + 4,220 - 14,8 = + 5,2
TOTAL 0
ix x− ( )i ix x n− ⋅ix in
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2006/2007
583115100 – 130
5539590 - 100
5258580 - 90
47117570 - 80
36216560 – 70
15105550 – 60
554540 – 50
Fr. acum.
frecM. ClasePeso
MEDIA = CENTRO DE GRAVEDAD
,x ⋅ + ⋅ + + ⋅= =
45 5 55 10 115 3 69 358…
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3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA
EJEMPLO 7: La siguiente tabla recoge las calificaciones obtenidas por un alumno en las 10 asignaturas cursadas en el 1er. año de carrera:
32212
5,56
6,57
7,5
N = 10Total
Nº asignaturas
(ni)calificación
(xi)16,512137
15
63,5
i ix n⋅, ,63 5 6 35
10x puntos= =
Nota media:
Los profesores, de forma unánime, han decidido aumentar la nota del alumno en 1 punto en cada una de sus asignaturas, como premio a su buen comportamiento en clase: ¿nueva nota media?
, ,Si i iy x y xy
= + ⇒ = += + =
1 16 35 1 7 35
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3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA
EJEMPLO 8: La siguiente tabla recoge el número de horas semanales que dedican al estudio una muestra de 120 alumnos:
604020
2 – 44 – 66 – 10
N = 120Total
Nº alumnos
(ni)Nº horas
Li-1 - Li6 / 2 = 3
10 / 2 = 516 / 2 = 8
1
2
i iCi
L Lx −+
=
540
i
Cix n⋅
3 60 1805 40 2008 20 160
⋅ =⋅ =⋅ =
, horasx = =540 4 5120
Nº medio de horas de estudio:
¿Cuál sería el tiempo medio dedicado al estudio expresado en minutos? ,
60 604 5 60 270i iy x y x
ySi
minutos= ⋅ ⇒ = ⋅
= ⋅ =
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3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA
EJEMPLO 9: Se sabe que la nota media de los 220 alumnos aprobados en una determinada asignatura en el grupo de mañana, es igual a 6,5 puntos. Mientras que la nota media de los 125 alumnos aprobados en esa misma asignatura y matriculados en el grupo de tarde, ha sido de 7 puntos. ¿Cuál es la nota media del conjunto total de alumnos aprobadosen esa asignatura?
X = nota de los alumnos aprobados en una determinada asignatura
N = total alumnos que aprobaron la asignatura
125 alumnos
nota media = 7 puntos
220 alumnos
nota media = 6,5 puntos
Tarde(2º subconjunto)
Mañana(1er. subconjunto)
,Nx
==
1
1
2206 5
Nx
==
2
2
1257
, ,
N N NN
x N x NxN
x
= += + =
⋅ + ⋅=
⋅ + ⋅= =
1 2
1 1 2 2
220 125 345
6 5 220 7 125 6 68345
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EJEMPLO 10
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2006/2007
i i ix n N0 3 31 2 52 3 83 4 124 1 13
0 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4
hijosMe 2=
valor centralN impar= ⇒ 1
EJEMPLO 1: Tras encuestar a 13 familias sobre el número de hijos que tenían, se obtuvieron los siguientes datos:
i iN NN N13 6,5 ¿ ?2 2 2= = ≠ ⇒ >
MÉTODO DE CÁLCULO EN LA PRÁCTICA:
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hijosMe 2 3 2,52+
= =
0 0 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4
EJEMPLO 2: Tras encuestar a 12 familias sobre el número de hijos que tenían, se obtuvieron los siguientes datos:
2N par valores centrales distintos = ⇒
iN N12 62 2= = =
MÉTODO DE CÁLCULO EN LA PRÁCTICA:
i i ix n N0 2 21 1 32 3 63 4 104 2 12
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hijos2Me =
0 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4
EJEMPLO 3: Tras encuestar a 12 familias sobre el número de hijos que tenían, se obtuvieron los siguientes datos:
2N par valores centrales iguales = ⇒
i iN NN N12 6 ¿ ?2 2 2= = ≠ ⇒ >
MÉTODO DE CÁLCULO EN LA PRÁCTICA:
0 1 11 1 22 5 73 3 104 2 12
i i ix n N
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3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA
EJEMPLO 11: Distribución de los salarios de los empleados de una compañia:
101520187
600 – 700700 – 800800 – 950
950 – 2000más de 2000
N = 70Total
nº empleados ni
salariosLi-1 - Li
1010 + 15 = 2525 + 20 = 4545 + 18 = 6363 + 7 = 70
Ni
= =70 35
2 2N
¿ ? −> ⇒ −12i i iNN L L
−
−
− −= + ⋅ = + ⋅ =
1
135 252 800 150 875
20
i
i ii
N NMe L c
n
INTERVALO MEDIANO
VALOR MEDIANO:
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3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODAEJEMPLOS
349
1072
1257
1215
nixi max 10iin =
7Mo =
183282
161718192021
nixi max 8iin =
1
2
1720
MoMo
==Distribución
UNIMODAL Distribución BIMODAL
2617415453ni
211814129852xi 1
2
149
MoMo
==
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3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODA
204010060
ni25252525
0 – 2525 – 5050 – 75
75 – 100
ciLi-1 - Li
EJEMPLO 12: Valor modal en distribuciones agrupadas en intervalos de amplitud constante
max 100iin =
INTERVALO MODAL : 50 – 75
VALOR MODAL:
11
1 1
6050 25 6540 60
ii i
i i
nMo L cn n
+−
− +
= + ⋅ = + ⋅ =+ +
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3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODA
201401804020
ni2525505050
0 – 2525 – 50
50 – 100100 – 150150 – 200
ciLi-1 - Li
EJEMPLO 13: Valor modal en distribuciones agrupadas en intervalos de amplitud variable
max ii ii
i
nd dc
⇒ =
INTERVALO MODAL :
25 – 50
VALOR MODAL:
, ,, ,
11
1 1
3 625 25 45 50 8 3 6
ii i
i i
dMo L cd d
+−
− +
= + ⋅ = + ⋅ =+ +
20/25 = 0,8140/25 = 5,6180/50 = 3,640/50 = 0,820/55 = 0,4
di
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3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.2. MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRALES: CUANTILES
N = 20
37532
ni
310151820
59
162025
Nixi
EJEMPLO 14: Distribución del precio (en €) del menú del día de 20 restaurantes
Mediana: 20 10
2 2N
= = , €9 16 12 52
Me +⇒ = =
Cuartiles:
?11 20 54 4NC ⇒ = == €1 9C⇒ =
min iix max ii
xC1 C3C2
%25 %25%25 %25
?22 40 104 4NC ⇒ = == , €2
9 16 12 52
C +⇒ = = 2C Me⇒ =
?33 60 154 4NC ⇒ = == €3
16 20 182
C +⇒ = =
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3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.2. MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRALES: CUANTILES
N = 20
37532
ni
310151820
59
162025
Nixi
EJEMPLO 15: Distribución del precio (en €) del menú del día de 20 restaurantes
Deciles:
?11 20 2
10 10ND ⇒ = == €1 5D⇒ =
?55 100 10
10 10D N⇒ = == , €5
9 16 12 52
D +⇒ = = 5D Me⇒ =
?88 160 16
10 10D N⇒ = == €8 20D⇒ =
min iix max ii
xD2 D8 D9D3D1
%10 %10%10 %10 %10
?22 40 4
10 10ND ⇒ = == €2 9D⇒ =
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3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.2. MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRALES: CUANTILES
N = 20
37532
ni
310151820
59
162025
Nixi
EJEMPLO 15: Distribución del precio (en €) del menú del día de 20 restaurantes
Percentiles:
?3030 600 6
100 100NP ⇒ = == €30 9P ⇒ =
?7575 1500 15
100 100NP ⇒ = == €75
16 20 182
P +⇒ = =
min iix max ii
x2P 98P 99P3P1P
%1 %1%1 %1 %1
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90140150120
ni90230380500
0 – 100100 – 200200 – 300300 – 800
NiLi-1 - Li
EJEMPLO 16: Precios por habitación de 500 hoteles
?11 500 125 100 2004 4NC ⇒ = = ⇒ −=
€
1
1 1
14
125 90100 100 125140
i
i ii
N NC L c
n
−
−
−= + ⋅ =
−= + ⋅ =
?66 3000 300 200 300
10 10ND ⇒ = = ⇒ −=
, €1
6 1
6300 23010 200 100 246 67
150
i
i ii
N ND L c
n
−
−
− −= + ⋅ = + ⋅ =
3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN
3.1.2. MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRALES: CUANTILES
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