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TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
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Unidad IV
AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA DDEERRIIVVAADDAA EE IINNTTEEGGRRAALL
1. CARGA DE UN CONDENSADOR
Un capacitor es un dispositivo que al aplicrsele una fuente de corriente continua se comporta de una manera especial. Ver la figura.
Cuando el interruptor se cierra, la corriente I aumenta bruscamente (como un cortocircuito) y tiene el valor de I = E / R amperios (como si el capacitor / condensador no existiera momentneamente en este circuito serie RC), y poco a poco esta corriente va disminuyendo hasta tener un valor de cero (ver el diagrama inferior).
El voltaje en el condensador no vara instantneamente y sube desde 0 voltios hasta E voltios (E es el valor de la fuente de corriente directa conectado en serie con R y C, ver diagrama).
El tiempo que se tarda el voltaje en el condensador (Vc) en pasar de 0 voltios hasta el 63.2 % del voltaje de la fuente est dato por la frmula:
T = R x C
Donde: R est en Ohmios y C en milifaradios y el resultado estar en milisegundos.
Despus de 5 x T (5 veces T) el voltaje ha subido hasta un 99.3 % de su valor final. Al valor de T se le llama Constante de tiempo
Analizando los dos grficos se puede ver que estn divididos en una parte transitoria y una parte estable. Los valores de I y Vc varan en la parte transitoria (aproximadamente 5 veces la constante de tiempo T), pero no as en la parte estable.
+
-
VcE
R Interruptor
I
C
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
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En resumen podemos decir:
Un condensador consiste en dos o ms armaduras metlicas separadas por un material aislante llamado dielctrico.
El circuito representado en la simulacin se compone de una resistencia, un condensador, un interruptor y una fuente de corriente continua. En un principio las armaduras del condensador contienen idntico nmero de cargas positivas y negativas.
Al cerrar el interruptor el polo positivo de la batera atrae los electrones de una de las armaduras, mientras que el polo negativo de la batera suministra electrones a la otra. Dichos electrones nunca atraviesan el condensador en s, puesto que hay un dielctrico en medio, pero en corriente alterna parece que la intensidad s lo atraviesa debido a las frecuentes cargas y descargas que se producen, por lo que la intensidad cambia de sentido alternativamente. De este hecho surge el concepto de reactancia capacitiva, la cual, quiere expresar la imposibilidad de circulacin de corriente por el circuito cuando el condensador ha terminado de cargarse. Por lo que, cuando un condensador es conectado a una fuente de potencial se carga inmediatamente, llegando a la mxima tensin siguiendo una curva exponencial. Una vez el condensador alcanza la tensin de la batera, cesa el paso de corriente, dicindose que el condensador est completamente cargado. Es entonces cuando aparece un campo elctrico en el dielctrico, consecuencia de la energa elctrica almacenada.
Voltaje en el condensador
E
t
t
E R
0
0
Vc
I
Zonatransitoria
Zonaestable
Corriente por R y C
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
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2. DESCARGA DE UN CONDENSADOR
Un condensador no se descarga de inmediato al quitrsele una fuente de alimentacin de corriente directa. Cuando el interruptor cambia de posicin, entonces el voltaje en el condensador Vc empezar a descender desde Vo (voltaje inicial en el condensador).
La corriente tendr un valor inicial de Vo/R y disminuir hasta llegar a 0 voltios.
3. DEMOSTRACIN MATEMTICA
Carga de un condensador
Considrese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador est descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que el condensador adquiere la carga mxima, la corriente cesa en el circuito.
Voltaje en el condensador
t
t
-V0 R
0
0
V0
I
5t
Corriente por R y C
Vc
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
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En el circuito de la figura tendremos que la suma: Vab + Vbc + Vca = 0
El extremo a tiene un potencial mayor que el extremo b de la resistencia R ya que la corriente fluye de a a b. De acuerdo a la ley de Ohm Vab = i R
La placa positiva del condensador b tiene mayor potencial que la placa negativa c, de modo que Vbc = q / C
El terminal positivo de la batera a tiene mayor potencial que el terminal negativo c, de modo que Vca = -V , donde V es la fuente de energa de la batera
La ecuacin del circuito es: i R + q / C V = 0 Teniendo en cuenta que la intensidad de corriente se define como la carga que atraviesa la seccin del circuito en la unidad de tiempo, i = dq / dt, tendremos la siguiente ecuacin para integrar
Cq
Vdtdq
R =
==t
0
q
0
dtRC1
qCVdq
RC
t1CVq exp
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en funcin del tiempo
==RC
t-R
Vexp
dtdq
i
La carga tiende hacia un valor mximo C V al cabo de un cierto tiempo, tericamente infinito.
La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta que se hace cero cuando el condensador adquiere la carga mxima.
La cantidad RC que aparece en el denominador de t se denomina constante de tiempo del circuito. Este representa el tiempo que tomar a la corriente para decrecer hasta 1/e de su valor inicial.
Un tubo-capilar alimentado por un flujo constante producido por un frasco de Mariotte es la analoga hidrulica de la carga de un condensador.
ba
c
+q -q
i
V
I
C
R
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
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Balance energtico
La energa aportada por la batera hasta el instante t es:
==t
0t
dtiVRC
tCVE tb exp1
2
La energa disipada en la resistencia hasta el instante t es:
==t
0
2dtRi
RC
tCVE
tR
2exp1
2
2
La energa almacenada en el condensador en forma de campo elctrico es:
22 2
exp12
==
RC
tCVE tC C
q21 2
Comprobamos que Eb = ER + EC. Parte de la energa suministrada en la batera se disipa en la resistencia, y otra parte se acumula en el condensador.
Cuando se completa el proceso de carga t, la mitad de la energa suministrad por la batera se disipa en la resistencia y la otra mitad se acumula en el condensador.
Ejemplo:
Sea un condensador de capacidad C = 1,5 F en serie con una resistencia de R = 58 k y una batera de V = 30 V.
En el Sistema internacional de unidades la capacidad se mide en faradios (F), siendo un faradio la capacidad de un conductor que sometido a una diferencia de potencial de 1 voltio, adquiere una carga elctrica de 1 culombio. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t = 60 ms
Solucin: en primer lugar convertimos unidades
s1060tms10
sms 60t
000 58Rk 10
k 58 R
faradios 105,1CF 10
FmF 5,1C
3 3
3
66
==
==
==
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
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La carga del condensador es:
=RC
t1VCq exp
Respuesta:
La intensidad de corriente es:
Respuesta:
La energa suministrada por la batera es:
Respuesta:
= 63
6
105,1000 58
1060exp130105,1q
( )( )69,0exp130105,1q 6 =
( )5,0130105,1 6 = q
culombios 1042,22 6=q
=RC
tRV
i exp
)5,0(58000
30
105,1000 581060
exp58000
306
3
=
=
i
i
=CRtVCE tb exp12
=6
326
105,1000 58
1060exp130105,1bE
amperes41060,2 =i
J10726,6b
E 4=
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
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La energa disipada en la resistencia es:
Respuesta:
La energa acumulada en el condensador es:
Respuesta:
Cuando se completa el proceso de carga t ,
La carga del condensador es q = C V = 1,510-630 = 45 C La energa suministrada por la batera es Eb = 13,510-4 J La energa acumulada en el condensador es Ec = 6,7510-4 J La energa total disipada en la resistencia es ER = 6,7510-4 J
=CRtVCE tR
2exp12
2
=
6
326
105,1000 58
10602exp1
230105,1
RE
222exp1
221
=CRtVC
Cq
E tC
6
26
105,1
)1042,22(21
=CE
joule 41068,1 =CE
J1005067,5R
E 4=
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
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Descarga de un condensador
Consideremos ahora el circuito que consta de un condensador, inicialmente cargado con carga Q, y una resistencia R, y se cierra el interruptor I.
La ecuacin del circuito ser la siguiente: Vab + Vba = 0
Como la corriente va de a hacia b, el potencial de a
es ms alto que el potencial de b. Por la ley de Ohm Vab = i R.
En el condensador la placa positiva a tiene ms
potencial que la negativa b, de modo que Vba = -q / C.
La ecuacin del circuito es: i R q / C = 0
Como la carga disminuye con el tiempo i = -dq / dt. La ecuacin a integrar es:
Cq
dtdq
R =
== CR tQq exp
tq
Q
dtRCq
dq
0
1
La carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo. Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la intensidad, en el sentido indicado en la figura que disminuye exponencialmente con el tiempo.
==RC
t-RCQ
i expdtdq
La descarga tubo-capilar es la analoga hidrulica de la descarga del condensador.
Balance energtico
La energa inicial del condensador es:
CQ
E2
0 21=
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
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La energa disipada en la resistencia hasta el instante t es:
==
t
dtRi0
2
RCt
1CQ
E R2
exp2
2
La energa almacenada en el condensador en forma de campo elctrico en el
instante t es:
==
RCt
CQ
EC2
exp2
2
Cq 2
21
Comprobamos que Ec = E0 - ER. La energa en el condensador se disipa en la resistencia. Cuando se completa el proceso de descarga t, toda la energa almacenada en el condensador se ha disipado en la resistencia
Ejemplo:
Sea un condensador de capacidad C = 1.5 F en serie con una resistencia de R = 58 k cargado inicialmente con Q = 45 C. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t = 60 ms.
La carga del condensador es:
C106,22105,1000 58
1060exp1045 6
6
36
=
=
q
La intensidad es:
A1060,2105,1000 58
1060exp
105,1000 58
1045 4
6
3
6
6
=
=
i
La energa almacenada inicialmente en el condensador es:
J1075,6105,1
1045(21
46
2)6
=
=oE
La energa disipada en la resistencia es:
J1005,5105,1000 58
10602exp1
105,1
)1045(21 4
6
3
6
26
=
=
RE
La energa acumulada en el condensador es:
J1070,1105,1
)106,22(21 4
6
26
==CE
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
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ANOTACIONES:
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
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................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
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