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7/23/2019 4esoAsolucionestema11.pdf
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11Soluciones a las actividades de cada epgrafePGINA 168
Con la ayuda de Hamadi, Fatima intenta hacer coincidir el disco de lamoneda con la Luna. Lo consigue cuando coloca su ojo a 253 cm dela moneda.
1 Sabemos que la distancia de la Tierra a la Luna es 384000 km y que el dime-tro de la moneda es de 23 mm.
Calcula el dimetro de la Luna.
253 cm = 253 105 km
23 mm = 23 106 km
Por semejanza de tringulos:
= 8 x= 3491 km
El dimetro obtenido es muy prximo al real, 3 475 km aproximadamente.
2 Si Fatima no contara con ayuda, tendra que sostener un disco con su mano. Subrazo extendido alcanza 66 cm.
Cul es el dimetro del disco que tendra que utilizar para tapar la Luna?
= 8 d= 6 106 km = 6 mm
PGINA 170
1 Este es el plano de una parte de una ciudad, a escala 1:10 000.
A
B
3500 66 105
38400038400066 105
3500d
384000 23 106
253 105x
23 106384000
253 105
Pg. 1
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11Soluciones a las actividades de cada epgrafea) Justifica que 1 cm en el plano corresponde a 100 m en la realidad.
b)Amalia vive en A y Benito vive en B. Escoge un itinerario para ir de una casa
a la otra y calcula la distancia que tienen que recorrer.Cunto se tarda, aproximadamente, si se recorre paseando a 3 km/h?
c) Calcula la superficie real del parque.
a) Escala 1:10 000 significa que 1 cm en el plano equivale a 10 000 cm en la reali-dad, y 10 000 cm = 100 m.
b) Respuesta abierta.
Pongamos, por ejemplo, un itinerario que mida 10 cm en el plano. En este caso,la distancia es de 1 000 m = 1 km y se tardar, aproximadamente, 1/3 ho-ras = 20 minutos.
c) El parque mide, en el plano, 2,6 cm 1,5 cm.En la realidad mide 260 m 150 m y su superficie es de 39000 m2.
2 Este mapa est a escala 1:20000 000.
a) Justifica que 1 cm en el mapa corresponde a 200 km en la realidad.
b)Halla la distancia de Lanzarote a San Sebastin.
c) Sita tu localidad en el mapa y halla su distancia a Argel y a Marrakech.
a) 1 cm en el mapa equivale a 20 000000 cm en la realidad.
20000000 cm = 200 km
b) La distancia, en el mapa, en lnea recta, es de 10,5 cm.
10,5 cm equivale a 10,5 200 = 2100 km en la realidad.c) Respuesta abierta.
Casablanca
Agadir
Sidi Ifni
Fez
Marrakech
Tenerife
Fuerteventura
Lanzarotea Gomera
Palma
Gran Canaria
TngerCdiz
Tetun
Mlaga
Almera
Granada
ToulouseOviedo
Len Vitoria
Logroo
Tarragona
BurgosPamplona
Lleida
AlicanteMurcia
Albacete
Castelln de la Plana
Valladolid
SantanderGijn
Mallorca
Me
IbizaCrdobaHuelva
Badajoz
Jan
Salamanca
Santiago de CompostelaBurdeos
Oporto
Ceuta
MelillaNador
A Corua
VigoOurense
Bilbao San Sebastin
Orn
Zaragoza
Sevilla
Valencia
Andorra la Vella
Argel
Rabat
LisboaMadrid
Barcelona
Toledo
Ciudad Real
vila
Zamora
Palencia
SoriaHuesca
Girona
LugoPontevedra
Segovia
CuencaTeruel
Guadalajara
Cceres
P O R T U G A L
E S P A A
ANDORRA
M A R R U E C O SCanarias
AN
O
A
T
L
N
T
IC
O
Pg. 2
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11Soluciones a las actividades de cada epgrafePGINA 171
3 a) Un edificio de la maqueta anterior tiene forma de ortoedro. Sus dimensionesson 9 cm
6,4 cm de planta y 4 cm de altura. Halla las dimensiones, el reade la fachada y el volumen en la realidad.
b)La superficie del campo de ftbol sala en la maqueta es de 32 cm2. Cul esla superficie en la realidad?
c) Una caseta de la maqueta est hecha con 0,3 cm3 de poliexpn. Cul es suverdadero volumen?
d)La altura de un edificio en la realidad es 65 m. Cul es su altura en la ma-queta?
a) Las dimensiones reales del edificio con forma de ortoedro son:
9 cm 8 9 500 cm = 4500 cm = 45 m
6,4 cm 8 6,4 500 cm = 3200 cm = 32 m
4 cm 8 4 500 cm = 2000 cm = 20 m
rea de la fachada:
2 45 20 + 2 32 20 = 1 800 + 1 280 = 3 080 m2
Volumen = 45 32 20 = 28 800 m3
b) Superficie real = 32 5002 = 8000000 cm2 = 800 m2
c) Volumen real = 0,3 5003 = 37500000 cm3 = 37,5 m3
d) Altura en la maqueta = = 13 cm
4 En la pgina inicial decamos que la Luna est a 384000 km de nosotros y ave-rigubamos que su dimetro es 3 500 km.
a) Calcula su superficie y su volumen.
b)El Sol est a 150000 000 km de nosotros. Y su tamao aparente es igual queel de la Luna. Segn esto, halla el dimetro del Sol. Halla tambin su super-ficie y su volumen a partir de las correspondientes magnitudes de la Luna.
a) Suponemos que la Luna es una esfera perfecta.
S= 4r2 = 4 17502 = 38484510 km2 3,85 107 km2
V= r3 = 17503 = 22449 297 500 km3 2,24 1010 km3
b) La razn de semejanza entre la Luna y el Sol ser:
=k8 k
= = 0,00256
384000
150000000
dL
dS
43
43
LUNA SOL
6500500
Pg. 3
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11Soluciones a las actividades de cada epgrafePor tanto:
DSOL
= = = 1 367187,5 1,37 106 km
SSOL
= = 5,87 1012 km2
VSOL
= = 1,34 1018 km3
PGINA 173
2 Si a una hoja A-4 le aadimos un cuadrado, el rectngulo resultante, al que lla-maremos A-4 PLUS, tiene la siguiente curiosa propiedad: si le quitamos dos cua-drados, el rectngulo remanente es semejante al inicial.
El rectngulo sombreado es semejante al rectngulototal.
a) Comprubalo prcticamente.
b) Demustralo teniendo en cuenta que las dimensiones del A-4 PLUS son + 1,
1 y las del rectngulo sobrante son 1, 1.
b) Hemos de verificar que = (1 + ) ( 1) = 1
(1 + ) ( 1) = 1 + 2 = 1
2 1
2 + 1
1 2222
221
2 1
1 + 21
2
2
A-4 PLUS
2,24 1010
(0,00256)3V
L
k3
3,85 107
(0,00256)2S
L
k2
3500
0,00256
DL
k
Pg. 4
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11Soluciones a las actividades de cada epgrafePGINA 175
1 Desde los extremos A y B de la recta de los 100 m de una pista de atletismose ve la torre de una iglesia.
Medimos los ngulos A^
= 31 y B^
= 112.
Dibuja en tu cuaderno un tringulo semejante, A'B'C', con = 5 cm.
A'C' = 7,7 cm
= 8 = 8 = 8 = 154 mAC100 7,7
5AC
AC
7,7 cm1005 cm
AC
A'C'
AB
A'B'
A B
C
5 cm
31 112
A'B'
Pg. 5
A B
C
100 m31
112
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11Soluciones a las actividades de cada epgrafePGINA 176
1 a) Comprueba que 3, 4 y 5 son nmeros pitagricos; es decir, que pueden serlongitudes de los lados de un tringulo rectngulo (o sea, que 52 = 32 + 42).
Haz lo mismo para:
b)0,6; 0,8 y 1 c) 5, 12 y 13 d)7, 24 y 25
e) 8, 15 y 17 f ) 1; 1,875 y 2,125
a) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 8 3, 4, 5 son nmeros pitagricos.
b)0,62 + 0,82 = 0,36 + 0,64 = 1 = 12
c) 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132
d) 72
+ 242
= 49 + 576 = 625 = 252
e) 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172
f ) 12 + 1,8752 = 4,515625 = 2,1252
2 Calcula tanto el rea como la altura sobre la hipotenusa de los seis tringulosrectngulos descritos en el ejercicio anterior.
A = = 6
A = 8 6 = 8 h = 8 h = 2,4
A = = 0,24
A = 8 0,24 = 8 h = 2 0,24 8 h = 0,48
A = = 30
A = 8 30 = 8 h = 8 h 4,62
A = = 84
A = 8 84 = 8 h = 8 h = 6,72
A = = 60
A = 8 60 = 8 h = 8 h 7,0612017
17 h2
17 h2
8 152
16825
h 252
h 252
7 242
6013
h 132
h 132
12 52
h
21 h
2
0,6 0,82
122
h 52
h 52
3 42
Pg. 6
h
53
4
a)
h
10,6
0,8
b)
h
135
12
c)
h
257
24
d)
h
178
15
e)
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11Soluciones a las actividades de cada epgrafeA = = 0,9375
A = 8 0,9375 = 8
8 h = 8 h 0,88
3 Un tringulo rectngulo tiene un ngulo de 28. Otro tringulo rectngulo tie-ne un ngulo de 62. Explica por qu son semejantes.
En un tringulo rectngulo, la suma de los dos ngulos agudos es 90. As:
Si un tringulo rectngulo tiene un ngulo de 28, el otro ngulo medir:
90 28 = 62
Si otro tringulo rectngulo tiene un ngulo de 62, el otro ngulo medir:
90 62 = 28
De este modo, los dos tringulos tienen sus ngulos respectivamente iguales. Apli-cando el criterio II se deduce que ambos tringulos son semejantes.
PGINA 177
4 Calcula la altura de un rbol que proyecta una sombra de 7,22 m en el momen-
to en que un poste de 1,60 m da una sombra de 67 cm.
= 8 = 8
8x= = 17,24
El rbol mide 17,24 m de alto.
B
x
A C7,22 m A C
B
67 cm
1,60 m
1,6 7,220,67
1,60,67
x
7,22
A'B'
A'C'
AB
AC
0,9375 22,125
2,125 h2
2,125 h2
1 1,8752
Pg. 7
h
2,1251
1,875
f)
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11Soluciones a las actividades de cada epgrafe5 Halla los lados del tringulo ABC.
= = 3 cm 8 = + = 11 cm
= 8 = = 14,67 cm
= 8 = = 18,33 cm
6 En el mismo instante y lugar de la actividad 4, qu longitud tendr la sombrade un edificio que mide 32 m de altura?
= 8 = 8
8x= = 13,4
El edificio proyectar una sombra de 13,4 m.
7 Si la altura de Rita es 1,65 m, cul es la altura de la farola?
= 8 = 8
8x= = 4,4
La farola mide 4,4 m de alto.
1,65 41,5
1,651,5
x
2,5 + 1,5
EDEB
AC
AB
B
A Cx
32 m
A C
B
67 cm
1,6 m
0,67 321,6
0,671,6
x
32
A'C'
A'B'
AC
AB
11 53BC
BDEB
BCAB
11 43
AC
EDEB
AC
AB
EBAEAB52 42EB
5 cm
4 cm
8 cm
B
D
CA
E
Pg. 8
2,5 m
1,65 m
1,5 m
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11Soluciones a las actividades de cada epgrafePg. 9
PGINA 178
8 Calcula el volumen de un tronco de cono cuya altura es 9 cm y cuyas bases tie-nen radios de 20 cm y 35 cm.
= 8 35x= 20x+ 180 8
8 15x= 180 8 x= 12 cm
VTRONCO
= 352 (12 + 9) 202 12 =
= (25725 4800) = 21912,61 cm3
9 Calcula el volumen de un tronco de pirmide cuadrangular regular cuyas ba-ses son cuadrados.
Lados de los cuadrados: 40 cm y 16 cm
Altura: 9 cm
= 8 8x+ 72 = 20x8 12x= 72 8 x= 6 cm
VTRONCO
= [402 (9 + 6)] (162 6) = (24000 1 536) = 7 488 cm3
10 Un globo sube 643 m sobre la superficie de la Tierra. Averigua qu superficieterrestre se ver desde arriba.
=
= 8 h = 0,643 km
ACASQUETE
= 2Rh = 2 6 366 0,643 25719,2 km2
63662 6 366 6 366,6436366,643
6 366 h6366
63666366,643
R= radio de la Tierra = 6 366 kmd= 643 m = 0,643 km
R hR
R
R+d
13
13
13
x
8x+ 9
20
9 cm
40 cm
16 cm x
8
9
20
13
13
13
x+ 935
x
20x
9 cm
20 cm
35 cm
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11Soluciones a las actividades de cada epgrafePg. 10
11 En la pgina inicial de esta unidad calculbamos el dimetro de la Luna: 3 500 km.
Un cohete se aproxima a la Luna. Averigua qu superficie de Luna se ve desde
el cohete cuando se encuentra a 1000 km de distancia.
= ; = 8 h = = 636,36 km
ACASQUETE
= 2Rh = 2 1750 636,36 = 6997143,654 km2
PGINA 179
1 En el procedimiento descrito arriba para obtener una
hoja de papel con dimensiones ureas a partir de una A-4 y con la ayuda del DNI, se aplica una homotecia. Cules su centro, y cul su razn?
El centro de la homotecia es A (esquina inferior izquierda de los rectngulos).
La razn de la homotecia es (P es la esquina inferior derecha del DNI y
P' es la esquina inferior derecha de la hoja DIN A-4).
AP'
AP
NOMBRE
PAPELLIDO
SAPELLIDO
A PP
NOMBRE
PAPELLIDO
SAPELLIDO
17502 1750 27502750
1 750 h1750
17502750
R hR
R
R+d
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11Soluciones a las actividades de cada epgrafe2 Dibuja un pentgono regular de 5 cm de lado. Para ello, calca un pentgono
regular de algn sitio y procede como se indica en el dibujo.
5 cm
5 cm
Pg. 11
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11Soluciones a los ejercicios y problemasPGINA 180
R A C T I C A
F i g u r a s s e m e j a n t e s
1 Cules de estas figuras son semejantes? Cul es la razn de semejanza?
F1 es semejante a F3. La razn de semejanza es .
2 a) Son semejantes los tringulos interior y exterior?
b)Cuntas unidades medirn los catetos de un tringulo semejante al menorcuya razn de semejanza sea 2,5?
a) No. La razn entre los catetos es en el interior y en el exterior.
b) 2 2,5 = 5
3 2,5 = 7,5
Los catetos medirn 5 y 7,5 unidades.
3 Una fotografa de 9 cm de ancho y 6 cm de alto tiene alrededor un mar-co de 2,5 cm de ancho. Son semejantes los rectngulos interior y exterior del
marco? Responde razonadamente.
? 8 No son semejantes.6
9
11
14
116
149
57
23
32
F1
F2
F3
P
Pg. 1
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11Soluciones a los ejercicios y problemas4 Un joyero quiere reproducir un broche como el de la figura duplicando
su tamao.
a) Haz un dibujo de la figura ampliada.
b)Calcula su superficie.
a)
b) El rea de las dos partes inferiores se puede hallar sin ms que contar cuadraditos:
26 + 12 = 38 cm2
La parte de arriba es medio crculo de radio 2. Por tanto, su superficie es:
( r2) = 22 = 2 cm2
La superficie total de la figura es:
S= (38 + 2) cm2
5 Un rombo cuyas diagonales miden 275 cm y 150 cm, qu rea ocuparen un plano de escala 1:25?
rea = = 20 625 cm2
En el plano ocupar = 33 cm2.
6 Una maqueta est hecha a escala 1:250. Calcula:
a) Las dimensiones de una torre cilndrica que en la maqueta mide 6 cm de al-tura y 4 cm de dimetro.
b)La superficie de un jardn que en la maqueta ocupa 40 cm2.c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm3 de agua.
20625252
275 1502
12
12
1 cm
1 cm
Pg. 2
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11Soluciones a los ejercicios y problemasa)
La torre cilndrica mide 15 m de altura y 10 m de dimetro.
b) 40 2502 = 2500000 cm2 = 250 m2
c) 20 2503 = 312 500000 cm3 = 312,5 m3
7 En este mapa de escala 1:1 500 000, la distancia entre Monao y Ponte daBarca es 2 cm.
a) Cul es la distancia real?
b) Calcula la distancia entre Viana do Castelo y Valena do Minho.
c) Qu distancia habr en el plano entre dos ciudades que distan 180 km?
a) Distancia real = 2 1 500000 = 3 000000 cm = 30 km
b) En el mapa, midiendo, vemos que la distancia entre las dos localidades mencio-nadas es 2,5 cm. Por tanto:
Distancia real = 2,5 1500000 = 3750000 cm = 37,5 km
c) 180 km = 18000000 cm
Distancia en el mapa = = 12 cm
8 Esta figura es el logotipo de una empresa automovilstica. Quieren repro-ducirlo de forma que ocupe 54 cm2 de superficie. Cules sern sus dimensio-nes? Dibjalo.
1 cm
180000001500000
23
30 3033 60
18
259
33
55
33
18
28
14 34
11
12
29
29
16
40
17
41
5433
127
63
107
13
Parque
Nacional
da Peneda-Gers
slas Atlnticas
Mio
Limia
RadeVigo
Emb. dasConchas
B. do AltoRabago
S.doGer
s
SerradaCabreira
Serrad
aPen
eda
Baiona
Gondomar
A Ramallosa
Salvaterra de Mio
Ponteda Barca
Darque
l
Pontede Lima
Arrabal
O Rosal
TomioMono
Valenado Minho
io r e ga a
CelanovaCrecente
Allariz
Bande
Mugueimes
Fondevila
Lindoso
Boti
VendaNova
M l
A Guarda
Tui
Caldelas
Moledo do Minho
Ponteareas
O Porrio
Viana doCastelo
Cabo Silleiro
OU531
PO
552
PO
552
OU531
N308
-1
IC1
A3
E1
A52AG 57
N202
N203
N203
N 1 3
N101
N307
N205
N202
N54
0
N103
N101
N201
N311
294
303
h = 1 500 cm = 15 m
d= 1 000 cm = 10 m
1 cm 8 250 cm6 cm 8 h
4 cm 8 d
Pg. 3
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15/28
11Soluciones a los ejercicios y problemasLa superficie del logotipo es, siempre, de 6 cuadraditos (consideramos que al hacerla ampliacin, tambin se amplan en la misma proporcin los cuadraditos).
Necesitamos que la superficie de 6 cuadraditos de lado lsea 54 cm2. Por tanto:6 l2 = 54 8l2 = 9 8l= 3 cm
Esto es, tenemos que hacer una ampliacin en la que 1 cm se convierte en 3 cm.Luego las dimensiones de la figura sern:
9 Cunto medirn los lados de un trapecio semejante al de la figura, cuyopermetro sea 163,2 cm?
El permetro de la figura inicial mide 21 + 10 + 12 + 8 = 51 cm.
Por tanto: = = = =
x= 67,2 cm; y= 32 cm; z= 38,4 cm; t= 25,6 cm
10 a) Copia esta figura en tu cuadernoy amplala al doble tomando O como
centro de homotecia.b)Redcela a 1/3 tomando A como cen-
tro de homotecia.
x
t
z
y t8
z12
y10
x21
163,251
21 cm
8 cm
12 cm
10 cm
1 cm
Pg. 4
A
B
C
D
O
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16/28
11Soluciones a los ejercicios y problemas
PGINA 181
S e m e j a n z a d e t r i n g u l o s
11 Comprueba si son semejantes dos tringulos ABCy A'B'C' que cum-plen las condiciones siguientes:
a) = 10, = 18; = 12
= 25; = 45; = 30
b) = 20; = 30; = 40
= 40; = 50; = 60
c)A^
= 58; B^
= 97
A^'= 58; C
^'= 35
a) Comprobamos si los lados son proporcionales. Esto es, si:
= = 8 = = = 2,5
S son semejantes.
1230
1845
1025
CA
C'A'
BC
B'C'
AB
A'B'
C'A'B'C'A'B'
CABCAB
C'A'B'C'A'B'
CABCAB
A
B
B
B D
C
A
D
C
A
C
D
O
Pg. 5
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11Soluciones a los ejercicios y problemasb) Procediendo como en el apartado anterior, es claro que no son semejantes:
? ?
c) Comprobamos si los dos tringulos tienen sus ngulos iguales:
A^ = 58; B^ = 978C^ = 180 58 97 = 25
Como C^ ?C^', los tringulos no son semejantes.
12 El permetro de un tringulo issceles es 49 m y su base mide 21 m. Hallael permetro de otro tringulo semejante, cuya base mide 4 m. Cul es la ra-zn de semejanza entre el tringulo mayor y el menor?
= 5,25
Permetro del tringulo semejante:
P'= = 9,33 m
La razn de semejanza es 5,25.
13 En el tringulo ABC hemos trazado paralelo a .
Por qu son semejantes los tringulos ABCy ADE? Calcula y .
Los tringulos son semejantes porque estn en posicin de Tales.
= 8 = = 10,5 cm
= 8 = = 15 cm
14 Por qu son semejantes los tringulos ABCy AED?
Halla el permetro del trapecio EBCD.
Porque son rectngulos con un ngulo agudo comn, A^
. Tienen los tres ngulosiguales.
A
C
D
E
B
6 cm
10cm
17cm
10 1812AB
AE
DE
AB
CB
7 1812
ACAD
DE
AC
CB
ABAC
18 cm
12 cm
10 cm7 cm
A
BC
D E
CBDE
P= 49 m
21 m
P
4 m
495,25
21
4
40
60
30
50
20
40
Pg. 6
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11Soluciones a los ejercicios y problemas Hallamos aplicando el teorema de Pitgoras:
= = 8 cm; = 8 + 17 = 25 cm = 8 = 8 80 + 8x= 250 8 8x= 170
x= 21,25 8 = 21,25 cm
= 8 = 8 = = 18,75 cm
Permetro de EBCD= 17 + 18,75 + 21,25 + 6 = 63 cm
15 Observa esta figura, en la que el segmento AB es paralelo a CD.
a) Di por qu son semejantes los tringulos OABy ODC.
b)Calcula x e y.
a) Son semejantes porque tienen un ngulo igual, = por ser opuestospor el vrtice, y los lados opuestos a ese ngulo son paralelos.
b) = 8 x= 5,08 cm
= 8 y= 7,48 cm
I E N S A Y R E S U E L V E
16 Cul es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,2 m y alejndote0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde delpozo con la lnea del fondo?
P
10,6 68,5
y10,6
68,5
7,2 68,568,5x7,2
COD
AOB
C
B
A
ODy
x10,6cm
8,5cm
6cm
7,2cm
1508
BC258
BC
6AB
AE
BC
ED
DC
258
10 +x10
AB
EA
AC
AD
AB
102
62
EA
EA
Pg. 7
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11Soluciones a los ejercicios y problemas
= 8 x= 8 x= 2,55 m
La profundidad es de 2,55 m.
17 Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para medir la distancia AB,fijamos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medi-
das:AP
= 15 km, PM = 7,2 km y MN = 12 km. (MNes paralela a AB). Calculala distancia AB
.
Los tringulos APB y MPN son semejantes.Por tanto:
= 8 = = 25 km
18Una lmpara situada a 25 cm de una lmina cuadrada de 20 cm de lado,proyecta una sombra sobre una pantalla paralela que est a 1,5 m de la lm-
para.
Cunto mide el lado del cuadrado proyectado?
7,2km
12 km
P
NM
BA
15km
15 127,2
AB157,2
AB
12
BA
M N
P
1,2 m
1,7 m
0,8 m
x
1,2 1,70,8
1,20,8
x1,7
Pg. 8
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11Soluciones a los ejercicios y problemas
8 = 8 x= = 60
Por tanto, el lado del cuadrado proyectado mide 2 60 = 120 cm.
19 Si DF
= 5 cm, cul es el rea y el permetro del pentgono FECGA?
2 = 302 + 122 8 32,31 cm
Los tringulos FDE y ADC son semejantes. Por ello:
= 8 = 8 13,46 cm
En el tringulo FDE, 2 = 2 2 = 13,462 52 8 12,5 cm
= = 30 12,5 = 17,5 cm
= 6 cm2 = 302 + 62 8 30,59 cm
= 7 cm
rea del tringulo FDE= = 31,25 cm2
rea del tringulo ABG= = 90 cm2
rea del pentgono 30 12 31,25 90 = 238,75 cm2
Permetro del pentgono:
+ + + + 13,46 + 17,5 + 6 + 30,59 + 7 = 74,55 cmAFGACGECFE
30 62
12,5 5
2
AF
AGAG
CG
DEDCEC
DEDFFEDE
FEFE
32,315
12FE
AC
DF
DA
A B
D E C
GF
30 cm
5 cm
12cm
ACAC
A B
D E
C
F
30 cm
5 cm
12cm
25
10
L
x
150 cm10 150
251025
x150
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11Soluciones a los ejercicios y problemasPGINA 182
20 Los catetos del tringulo rectngulo ABC miden = 28 cm y == 21 cm.
Desde el punto D tal que = 9 cm, se traza una paralela a AC. Halla elrea y el permetro del trapecio ADEC.
Los tringulos ABC y DBE son semejantes.Por ello:
= 8 = 8 = = 16 cm
Calculamos la hipotenusa de cada uno de los tringulos:
= 35 20 = 15 cm
rea del trapecio = 9 = 198 cm2
Permetro del trapecio ADEC= 9 + 16 + 15 + 28 = 68 cm
21 En una carretera de montaa, nos encontramos una se-al que nos advierte que la pendiente es del 8%; es decir, porcada 100 m que recorremos, el desnivel es de 8 m.
a) Cul es el desnivel que se produce cuando recorremos 3 km?
b)Para que el desnivel sea de 500 m, cuntos kilmetros tendremos que reco-rrer?
a) 8 = 8
8 x= = 240 m
Se produce un desnivel de 240 m.
b) 8 = 8 x= = 6 250 m
Tendremos que recorrer 6,25 km.
x
500
100 5008
1008
x500
x
8 m
3 km100 m8 3000
100
8100
x3000
8%
28 + 162
EC
BC
= 212 + 282 = 35 cmBE
= 122 + 162 = 20 cm
A28 cm
21 cm
C
D E
B
9 cm
12 2821
DE28DE
2112
AC
DE
AB
BD
A C
D E
B
AD
ABAC
Pg. 10
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11Soluciones a los ejercicios y problemas22 Esta figura representa, a escala 1:2000, una par-
cela de terreno. Calcula su permetro y su rea, toman-
do las medidas necesarias.
PLANO REALIDAD
3 cm 8 3 2000 = 6000 cm = 60 m
3,5 cm8 3,5 2000 = 7000 cm = 70 m
4 cm 8 4 2000 = 8000 cm = 80 m
2,5 cm8
2,5 2000 = 5000 cm = 50 m
P= 60 + 70 + 80 = 210 m
S= (80 50) = 2 000 m2
23 Los lados mayores de dos tringulos semejantes miden 8 cm y 13,6 cm,respectivamente. Si el rea del menor es 26 cm2, cul es el rea del mayor?
Razn de semejanza = = 1,7
rea del segundo = 26 1,7
2
= 75,14 cm
2
24 Una parcela tiene forma de trapecio rectngulo con las dimensiones quese ven en la figura.
a) Calcula su rea.
b)Se quiere hacer un pozo en el punto donde se cortan las prolongaciones delos lados AD y BC. A qu distancia de A y de B estar el pozo?
a)
h = = 56,53 m
A = = 4 918,11 m2(72 + 102) 56,332
64 m hh 64 m
72 mA B
D C102 m 30 m
642 302
102 m
64 m
A B
CD
72 m
13,68
12
3,5 cm2,5 cm
4 cm
3 cm
Pg. 11
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11Soluciones a los ejercicios y problemasb) = 8 102x= 72x+ 4 070,168
8 x= = 135,67 m
= 8 102y= 72y+ 46088
8 y= = 153,6 m
El pozo estar a 135,67 m de A y a 153,6 m de B.
25 En estos dos crculos concntricos, el radio del mayores el triple del menor.
a) Si el rea del mayor es 951 cm2, cul es el rea del menor?b)Calcula el radio de cada crculo.
a) R= 3r
Si los radios estn en proporcin de 3 a 1, las reas lo estn en proporcin 32 = 9a 1.
Por tanto, el rea del menor es 951 : 9 = 105,67 cm2.
b)R2 = 951 8 R= = 17,4 cm
r= = = 5,8 m
26 Para hacer un embudo de boca ancha, hemos corta-do un cono de 5 cm de radio a 3 cm del vrtice.
La circunferencia obtenida tiene 2 cm de radio.
Halla el volumen del embudo.
= 8 3 +x= 8
8 x= 3 = 4,5 cm
El volumen del embudo ser la diferencia entre el volumen de un cono de 5 cm deradio y 7,5 cm de altura, y el volumen de otro cono de 2 cm de radio y 3 cm de al-tura.
V= ( 52 7,5) ( 22 3) = (25 7,5 4 3) = 58,5 cm313
13
13
3
x
2
5
152
152
32
3 +x5
3 cm
5 cm
17,43
R3
951
r
R
460830
y+ 64102
y
72
4070,1630
x+ 56,53102
x72
Pg. 12
P
YX
A
D C
B72 m
56,53 m 64 m
102 m
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11Soluciones a los ejercicios y problemas27 Hemos recubierto con un tejado cnico un depsito ciln-
drico de 4 m de radio y 14,4 m de altura. Si el radio del cono
es 10 m, cul es el volumen de la zona comprendida entre elcono y el cilindro?
8 = 8 10x= 4x+ 57,6 8
8 x= = 9,6 m
VCONO
= ( 102) (14,4 + 9,6) = 800 m3
VCILINDRO
= ( 42) 14,4 = 230,4 m3
V = VCONO
VCILINDRO
= 800 230,4 = 569,6 m3
28 La base de una escultura tiene forma de tronco de pi-rmide cuadrangular regular en el que los lados de las basesmiden 80 cm y 140 cm, y su altura, 150 cm. Halla su volu-men.
Calculamos la altura de la pirmide:
= 8 40x+ 6000 = 70x8 30x= 6000 8
8 x= 200 cm
Altura = 200 + 150 = 350 cm
Volumen tronco = VPIRMIDE MAYOR
VPIRMIDE MENOR
V= 1402 350 82 200 = 1 860000 cm3 = 1 860 dm3
29 Halla el volumen de una maceta como la de la figura,en la que los radios de las bases miden 6 cm y 14 cm, y la ge-neratriz, 30 cm.
6 cm
14 cm
30
cm
1
3
1
3
7040
x+ 150x
140 cm
150cm
80 cm
13
4
10
14,4
x
57,66
x+ 14,410
x4
Pg. 13
40 cm
70 cm
150 cm
x
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11Soluciones a los ejercicios y problemas
h = = 28,91 cm
= 8 14x= 6x+ 173,468
8 x= = 21,68 m
VCONO GRANDE
= ( 142) (28,91 + 21,68) = 3 305,21 cm3
VCONO PEQUEO
= ( 62) (21,68) = 260,16 cm3
VMACETA
= VCONO GRANDE
VCONO PEQUEO
= (3305,21 260,16) = 3045,05 cm3
La maceta tiene un volumen de 9 561,46 cm3.
30 Desde un punto P, trazamos las tangentes comunes a dos circunferencias.
Las distancias de P a los centros son = 17 cm y '= 30 cm. Si el radiode la mayor mide 18 cm, cunto mide el radio de la menor?
= 8 = 8
8 = = 10,2 cm
El radio de la menor mide 10,2 cm.
PO O'
T
T'
18 1730
OT
1830
OT
17O'T'
PO'
OT
PO
PO O'
POPO
13
13
173,46
8
x+ 28,9114
x6
6
14 14 6
30h h 302 82
Pg. 14
6
14
h
x
6
14
28,91
x
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11Soluciones a desarrolla tus competenciasPGINA 183
INFRMATE
Tarjetas con oro
Comprueba que colocando dos rectngulos como indica la figura, la diagonal deuna se prolonga pasando por uno de los vrtices de la otra.
Y aprovecha esa propiedad para demostrar que, efectivamente, x = F.
El hecho de que la diagonal de una de las tarjetas se prolongue pasando por el vrticede la otra, hace que los dos rectngulos ABCD y CB'A'D' sean semejantes.
= 8 x= = F
(como se ha visto ms arriba)
1 + 52
1x 1
x
1
Los tringulos son semejantes. Portanto, lo son tambin los rectngulos.
a = bd = g
x
x 1
1
1x 1=1 x 1
Pg. 1
x
A
B C
D
B
D
A
x 1
1
1
a
b
g
d
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11Soluciones a la autoevaluacinPGINA 111
Verifcalo resolviendo ejercicios
1 Queremos hacer una maqueta de un jardn rectangular a escala 1:400. Su pe-rmetro es de 850 m, y su rea, de 37500 m2. Cules sern estas medidas enla maqueta?
Permetro = = 2,125 m = 212,5 cm
rea = = 0,234375 m2 = 2 343,75 cm2
2 lvaro debe situarse a 3 m de un charco para ver la copa de un rbol reflejadaen l. Si la distancia del charco al rbol es de 10,5 m y la estatura de lvaro esde 1,72 m, cul es la altura del rbol?
x= = 6,02 m mide el rbol.
3 Un centro comercial P est situado entre dos vas para-lelas ry s. Se quiere unir, mediante carreteras, con laspoblacionesA, B, C y D.
Con los datos de la figura, calcula x e y.
Los tringulos CDP y APB son semejantes.
= 8 x= 8 km
= 8 y= 7,5 km6,759
y10
6,759
6x
6km
10km
B
x
y
Dr
s
P
C 6,75 km
9 kmA
10,5 1,723
1,72
3 10,5
x
375004002
850400
Pg. 1
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11Soluciones a la autoevaluacin4 Un florero tiene forma de tronco de pirmide de bases cua-
dradas de 8 cm y 12 cm de lado, y altura 16 cm. Calcula su
volumen.
= 8 6x= 4x+ 64 8 2x= 64 8
8 x= 32
x+ 16 = 48 cm
Altura de la piramide = 48 cm
V= 122 48 82 32 = 1621,3 cm313
13
x+ 166
x4
8 cm
12 cm
16cm
Pg. 2
8 cm
12 cm
6
4
16cm 16
x
Recommended