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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. SOLUCIONES
1. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a) )4(282 −=− xx }4{=Raíz
b) )3(5155 −−=+− xx }3{=Raíz
c) )5(5255 −=− xx }5{=Raíz
d)
+=+4
134134 aa
−=
4
13Raíz
e)
−=−3
113113 xx
=
3
11Raíz
f)
+=
+=+2
56
6
156156 xxx
−=
2
5Raíz
g)
−−=
−−=+−3
89
9
249249 xxx
=3
8Raíz
h)
+=+6
12
3
12 xx
−=
6
1Raíz
i)
−−=+−20
18
5
28 xx
=
20
1Raíz
j) )2(363 2 −=− xxxx }2,0{=Raíces
k) )4(282 2 −−=+− xxxx }4,0{=Raíces
l) )3(5155 223 −=− xxxx }3 , (doble) 0{=Raíces
m)
−−=+−2
7272 2 xxxx
=
2
7Raiz
n)
−=−5
3535 334 xxxx
=
5
3 (triple), 0Raíces
o)
+=
+=+2
114
14
714714 2 xxxxxx
−=
2
1 , 0Raíces
p)
+=+6
7676 2 xxxx
−=
6
7Raiz
q) )4(3123 223 −−=+− xxxx }4 , (doble) 0{=Raíces
r) )2(242 223 +−=−− xxxx }2 , (doble) 0{ −=Raíces
s) )2(3
1
3
2
3
1 334 +=+ xxxx } 2 (triple), 0 { −=Raíces
2. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a) 1072 +− xx
1) Hallamos las raíces del polinomio
=⇒−=
=⇒+=
=±=±=−±=⋅
⋅⋅−−±=⇒=+−
22
37
52
37
2
37
2
97
2
40497
12
1014)7(70107
22
xx
xxxxx
2) Factorización: )2)(5(1072 −−=+− xxxx }2,5{=Raíces
b) 1872 −− xx
1) Hallamos las raíces del polinomio
−=⇒−=
=⇒+=
=±=±=+±=⋅
−⋅⋅−−±=⇒=−−
22
117
92
117
2
117
2
1217
2
72497
12
)18(14)7(70187
22
xx
xxxxx
2) Factorización: )2)(9(1872 +−=−− xxxx }2,9{ −=Raíces
c) 963 2 −− xx
1) Hallamos las raíces del polinomio
−=⇒−=
=⇒+=
=±=±=+±=⋅
−⋅⋅−−±=⇒=−−
16
126
36
126
6
126
6
1446
6
108366
32
)9(34)6(60963
22
xx
xxxxx
2) Factorización: )1)(3(3963 2 +−=−− xxxx }1,3{ −=Raíces
d) 253 2 +− xx
1) Hallamos las raíces del polinomi
=⇒=−=
=⇒+=
=±=±=−±=⋅
⋅⋅−−±=⇒=+−
3
2
6
4
6
15
16
15
6
15
6
15
6
24255
32
234)5(50253
22
xx
xx
xxx
2) Factorización:
−−=+−3
2)1(3253 2 xxxx
=
3
2 , 1Raíces
e) 32 2 ++ xx
1) Hallamos las raíces del polinomio
realsolución tieneno4
235
4
2411
22
324)1(1032
22 =−±=−±−=
⋅⋅⋅−±−
=⇒=++ xxx
2) Factorización: )32( 2 ++ xx es irreducible
f) 202 −+ xx
1) Hallamos las raíces del polinomio
−=⇒−−=
=⇒+−=
=±−=±−=+±−=⋅
−⋅⋅−±−=⇒=−+
52
91
42
91
2
91
2
811
2
8011
12
)20(14)1(1020
22
xx
xxxxx
2) Factorización: )5)(4(202 +−=−+ xxxx }5,4{ −=Raíces
g) 16 2 −+ xx
1) Hallamos las raíces del polinomio
−=⇒−−=
=⇒+−=
=±−=±−=+±−=⋅
−⋅⋅−±−=⇒=−+
2
1
12
51
3
1
12
51
12
51
12
251
12
2411
62
)1(64)1(1016
22
xx
xx
xxx
2) Factorización:
+
−=−+2
1
3
1616 2 xxxx
−=
2
1 ,
3
1Raíces
h) 1572 2 −− xx
1) Hallamos las raíces del polinomio
−=⇒−=
=⇒+=
=±=±=+±=⋅
−⋅⋅−−±=⇒=−−
2
3
4
137
54
137
4
137
4
1697
4
120497
22
)15(24)7(701572
22
xx
xxxxx
2) Factorización:
++=−−2
3)5(21572 2 xxxx
−=
2
3 , 5Raíces
i) 234 862 xxx ++−
1) Extraemos factor común 22x−
)43(2862 22234 −−−=++− xxxxxx
2) Hallamos las raíces de )43( 2 −− xx
−=⇒−=
=⇒+=
=±=±=+±=⋅
−⋅⋅−±=⇒=−−
12
53
42
53
2
53
2
253
2
1693
12
)4(14)3(3043
22
xx
xxxxx
3) Factorización: )1)(4(2)43(2862 222234 +−−=−−−=++− xxxxxxxxx }1,4 (doble), 0{ −=Raíces
j) xxx 4113 23 −−
1) Extraemos factor común “x ”
)4113(4113 223 −−=−− xxxxxx
2) Hallamos las raíces de )4113( 2 −− xx
−=⇒−=
=⇒+=
=±=
=±=+±=⋅
−⋅⋅−−±=⇒=−−
3
1
6
1311
46
1311
6
1311
6
16911
6
4812111
32
)4(34)11(1104113
22
xx
xx
xxx
3) Factorización:
+−=
+−⋅⋅=−−=−−3
1)4(4
3
1)4(4)4113(4113 223 xxxxxxxxxxxx
−=
3
1 , 0,4Raíces
k) 345 45396 xxx −−−
1) Extraemos factor común “3x ”
)45396(45396 23345 −−−=−−− xxxxxx
2) Hallamos las raíces de )45396( 2 −−− xx
−=⇒−
−=
−=⇒−
+==
−±=
=−±=
−−±=
−⋅−⋅−⋅−−±
=⇒=−−−
2
3
12
2139
512
2139
12
2139
12
44139
12
1080152139
)6(2
)45()6(4)39(39045396
22
xx
xx
xxx
3) Factorización:
++−=
++⋅−⋅=−−−=−−−2
3)5(6
2
3)5()6()45396(45396 3323345 xxxxxxxxxxxx
−−=
2
3 , 5 (triple), 0Raíces
l) xxx7
6
7
1
7
1 23 −+
1) Extraemos factor común “x7
1”
)6(7
1
7
6
7
1
7
1 223 −+=−+ xxxxxx
2) Hallamos las raíces de )6( 2 −+ xx
−=⇒−−=
=⇒+−=
=±−=
=±−=+±−=⋅
−⋅⋅−±−=⇒=−+
32
51
22
51
2
51
2
251
2
2411
12
)6(14)1(106
22
xx
xx
xxx
3) Factorización: )3)(2(7
1)6(
7
1
7
6
7
1
7
1 223 +−=−+=−+ xxxxxxxxx }3,2 ,0{ −=Raíces
2−
1−
3. Factoriza los siguientes polinomios:
a) 863 23 +−− xxx
Posibles raíces = {divisores de 8} = }8,4,2 ,1{ ±±±±
8 6 3 1 +−− 8 10 2 −+−
0 4 5 1 +− factor es )2( raíz es 2 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )45()2()( +−⋅+= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )45( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)1)(4(45
12
2
42
8
2
35
2
16255045 22 −−=+−⇒
==
===±=−±=⇒=+− xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)1()4()2()45()2(863 223 −⋅−⋅+=+−⋅+=+−− xxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)1)(4)(2()( −−+= xxxxP
}1,4,2{−=Raíces
b) 1256 23 ++− xxx
Posibles raíces = {divisores de 12} = }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±
12 5 6 1 ++− 12 7 1 −+−
0 12 7 1 +− factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )127()1()(y +−⋅+= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )127( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)3)(4(127
32
6
42
8
2
17
2
484970127 22 −−=+−⇒
==
===±=−±=⇒=+− xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)3()4()1()127()1(1256 223 −⋅−⋅+=+−⋅+=++− xxxxxxxxx
2
2
SOLUCIÓN
)3)(4)(1()( −−+= xxxxP
}3,4,2{−=Raíces
c) 1834 23 −−+ xxx
Posibles raíces = {divisores de – 18 } = }18,9,6,3,2 ,1{ ±±±±±±
18 3 4 1 −−+ 18 12 2 −++
0 9 6 1 ++ factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )96()2()(y ++⋅−= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )96( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
222 )3(96
32
6
32
6
2
06
2
36366096 −=+−⇒
==
===±=−±=⇒=+− xxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
2223 )3()2()96()2(1834 −⋅+=+−⋅+=−−+ xxxxxxxx
SOLUCIÓN
2)3)(2()( −+= xxxP
}(doble) 3,2{−=Raíces
d) 61132 23 −−+ xxx
Posibles raíces = {divisores de 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
6 11 3 2 −−+ 6 14 4 +++
0 3 7 2 ++ factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )372()2()(y ++⋅−= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )372( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
2
++=++⇒
−=−=
−=−==±−=−±−=⇒=++
2
1)3(2372
34
122
1
4
2
4
57
4
244970372 22 xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
++⋅−=++⋅−=−−+2
1)3(2)2()372()2(61132 223 xxxxxxxxx
SOLUCIÓN
++−=2
1)3)(2(2)( xxxxP
−−=
2
1,3,2Raíces
e) 1243 23 −−+ xxx
Posibles raíces = {divisores de – 12}= }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±
12 4 3 1 −−+ 12 10 2 +++
0 6 5 1 ++ factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )65()2()(y ++⋅−= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )65( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)3)(2(65
32
6
22
4
2
15
2
24255065 22 ++=++⇒
−=−=
−=−==±−=−±−=⇒=++ xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)3)(2)(2()65()2(1243 223 ++−=++⋅−=−−+ xxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(2)(2()( ++−= xxxxP
}3,2,2{ −−=Raíces
f) 18693 23 −−+ xxx
Podemos sacar factor común “3” )623(3 23 −−+→ xxx
Ahora continuamos factorizando )623( 23 −−+ xxx
Posibles raíces = {divisores de – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
3−
3−
6 2 3 1 −−+ 6 0 3 +−
0 2 0 1 − factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ x
grado 2º de polinomio
2 )2()3()(y −⋅+= xxxP
Finalmente, para factorizar )2( 2 −x utilizamos las identidades notables (en concreto
22))(( BABABA −=+− ):
)2)(2()2( 2 +−=− xxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)2)(2)(3(3)2)(3(3)623(318663 22323 +−+=−+=−−+=−−+ xxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)2)(2)(3(3)( +−+= xxxxP
}2,2,3{ −−=Raíces
g) 122332 23 +−− xxx
Posibles raíces = {divisores de 12} = }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±
12 23 3 2 +−− 12 27 6 −+−
0 4 9 2 +− factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )492()3()(y +−⋅+= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )492( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
−−=+−⇒
==
===±=−±=⇒=+−
2
1)4(2492
2
1
4
2
44
16
4
79
4
328190492 22 xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
−−+=
−−⋅+=+−⋅+=+−−2
1)4)(3(2
2
1)4(2)3()492()3(122332 223 xxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
−−+=2
1)4)(3(2)( xxxxP
−=
2
1,4,3Raíces
5−
1−
h) 1538236 23 −−+ xxx
Posibles raíces = {divisores de – 15} = }15,5,3,1{ ±±±±
15 38 23 6 −−+ 15 35 30 ++−
0 3 7 6 −− factor es )5( raíz es 5 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )376()3()(y −−⋅+= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )376( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
+
−=−−⇒
−=−=
===±=±=+±=⇒=−−
3
1
2
36376
3
1
12
42
3
12
18
12
117
12
1217
12
724970376 22 xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
+
−+=
+
−⋅+=−−⋅+=−−+3
1
2
3)5(5
3
1
2
35)5()376()5(1538236 223 xxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
+
−+=3
1
2
3)5(6)( xxxxP
−−=
3
1,
2
3,5Raíces
i) 65 234 −−++ xxxx
Posibles raíces = {divisores de – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores)
6 1 5 1 1 −−++
6 7 2 1 ++++
0 6 7 2 1 +++ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )672()1()(y 23 −++⋅−= xxxxxP
6 1 1 −−−
0 6 1 1 ++ factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x grado 2º de polinomio
2 )6()1()1()(y ++⋅+⋅−= xxxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )6( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)6( realsolución tieneno 2
231
2
241106 22 ++⇒⇒
−±−=−±−=⇒=++ xxxxx es irreducible
1
2
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)6)(1)(1()672()1(65 223234 +++−=−++⋅−=−−++ xxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)6)(1)(1()( 2 +++−= xxxxxP
}1,1{ −=Raíces
j) 18911 234 ++−− xxxx
Posibles raíces = {divisores de 18} = }18,9,6,3,2 ,1{ ±±±±±±
(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores)
18 9 11 1 1 ++−−
18 9 2 1 −++−
0 18 9 2 1 +−− factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x )1892()1()(y 23 +−−⋅+= xxxxxP
18 0 2 −+
0 9 0 1 − factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x
grado 2º depolinomio
2 )9()2()1()(y −⋅−⋅+= xxxxP
Finalmente, para factorizar )9( 2 −x utilizamos las identidades notables (en concreto
22))(( BABABA −=+− ):
)3)(3()9( 2 +−=− xxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)3)(3)(2)(1()9)(2)(1()1892()1(18911 223234 +−−+=−−+=+−−⋅+=++−− xxxxxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(3)(2)(1()( +−−+= xxxxxP
}3,3,2,1{ −−=Raíces
k) 65 234 −+−+ xxxx
Posibles raíces = {divisores de – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores)
1−
3−
4−
6 1 5 1 1 −+−+
6 2 6 2 ++++
0 3 1 3 1 +++ factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x )33()2()(y 23 +++⋅−= xxxxxP
3 0 3 −−
0 1 0 1 + factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ x
grado 2º depolinomio
2 )1()3()2()(y ++⋅−= xxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )1( 2 +x (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)1( realsolución tieneno 1101 222 +⇒⇒−=⇒−=⇒=+ xxxx es irreducible
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)1)(3)(2(65 2234 ++−=−+−+ xxxxxxx
SOLUCIÓN
l) 4119 234 −+−+ xxxx
Posibles raíces = {divisores de – 4} = }4,2 ,1{ ±±±
(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores)
4 11 9 1 1 −+−+
4 7 2 1 +−++
0 4 7 2 1 +−+ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )472()1()(y 23 +−+⋅−= xxxxxP
4 8 4 −+−
0 1 2 1 +− factor es )4( raíz es 4 +⇒−⇒ x grado 2º de polinomio
2 )12()4)(1()(y +−+−= xxxxxP
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )12( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)1(12
1
1
2
02
2
02
2
442012 222 −=+−⇒
=±=±=−±=⇒=+− xxxxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)4()1(
)1)(4)(1()12)(4)(1()472)(1(41193
2223234
+−==−+−=+−+−=+−+−=−+−+
xx
xxxxxxxxxxxxxxx
)1)(3)(2()( 2 ++−= xxxxP
}3,2{ −=Raíces
2
1
5
SOLUCIÓN
)4()1()( 3 +−= xxxP
}4,(triple) 1{ −=Raíces
m) xxxx 206122 234 ++−
1º) Extraemos “2x” factor común y tenemos: )1036(2206122)( 23234 ++−⋅=++−= xxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )1036()( 23 ++−= xxxxQ .
Posibles raíces = {divisores de – 10}= }10,5,2 ,1{ ±±±±
10 3 6 1 ++− 10 5 5 −−+
0 2 1 1 −− factor es )5( raíz es 5 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )2()5()(y −−⋅−= xxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )2( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)1)(2(2 1
2
2
22
4
2
31
2
91
2
81102 22 −−=−−⇒
−=−=
===±=±=+±=⇒=−− xxxx
x
xxxx
Luego, )1)(2)(5()1036()( 23 −−−=++−= xxxxxxxQ
3º) Por tanto,
)1)(2)(5(2)1036(2206122 23234 −−−=++−=++− xxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)1)(2)(5(2)( −−−= xxxxxP
}1,2,5,0{=Raíces
n) 2345 2222 xxxx ++−−
1º) Extraemos “ 22x− ” factor común y tenemos: )1(22222)( 2322345 −−+⋅−=++−−= xxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )1()( 23 −−+= xxxxQ .
Posibles raíces = {divisores de – 1}=}1{±
1
1−
1 1 1 1 −−+ 1 2 1 +++ 0 1 2 1 ++ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x
grado 2º de polinomio
2 )12()1()(y ++⋅−= xxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )12( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
222 )1()1)(1(12 1
2
2
12
2
2
02
2
02
2
442012 −=−−=++⇒
−=−=
−=−==±−=±−=−±−=⇒=++ xxxxx
x
xxxx
Otra forma de factorizar )12( 2 ++ xx es darnos cuenta que es una identidad notable 22 )1(12 −=++ xxx
Luego, 3223 )1()1)(1()1()( −=−−=−−+= xxxxxxxQ
3º) Por tanto,
322322345 )1(2)1(22222 −−=−−+−=++−− xxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
32 )1(2)( −−= xxxP
}(triple) 1 (doble), 0{=Raíces
o) xxxx5
6
5
11
5
6
5
1 234 −−−−
1º) Extraemos “ x5
1− ” factor común y tenemos:
)6116(5
1
5
6
5
11
5
6
5
1)( 23234 +++⋅−=−−−−= xxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )6116()( 23 +++= xxxxQ .
Posibles raíces = {divisores de – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±
6 11 6 1 +++ 6 5 1 +−−
0 6 5 1 ++ factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )65()1()(y ++⋅+= xxxxQ
5
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )65( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)3)(2(65 3
2
6
22
4
2
15
2
15
2
24255065 22 ++=++⇒
−=−=
−=−==±−=±−=−±−=⇒=++ xxxx
x
xxxx
Luego, )3)(2)(1()6116()( 23 +++=+++= xxxxxxxQ
3º) Por tanto,
)3)(2)(1(5
1)6116(
5
1
5
6
5
11
5
6
5
1 23234 +++−=+++−=−−−− xxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(2)(1(5
1)( +++−= xxxxxP
}3,2,1,0{ −=Raíces
p) 2345 303110 xxxx −+−
1º) Extraemos “ 2x ” factor común y tenemos: )303110(303110)( 2322345 −+−⋅=−+−= xxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )303110()( 23 −+−= xxxxQ .
Posibles raíces = {divisores de – 30}= }30,15,10,6,5,3,2,1{ ±±±±±±±±
30 31 0 1 1 −+− 30 25 5 +−+
0 6 5 1 +− factor es )5( raíz es 5 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio
2 )65()5()(y +−⋅−= xxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )65( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)3)(2(65 2
2
4
32
6
2
15
2
15
2
24255065 22 −−=+−⇒
==
===±=±=−±=⇒=+− xxxx
x
xxxx
Luego, )3)(2)(5()303110()( 23 −−−=−+−= xxxxxxxQ
3º) Por tanto,
)3)(2)(5()303110(303110 22322345 −−−=−+−=−+− xxxxxxxxxxxx
4−
SOLUCIÓN
)3)(2)(5()( 2 −−−= xxxxxP
}3,2,5, (doble) 0{=Raíces
q) 23456 2414132 xxxxx +−−+
1º) Extraemos “ 2x ” factor común y tenemos:
)2414132(2414132)( 234223456 +−−+⋅=+−−+= xxxxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )2414132()( 234 +−−+= xxxxxQ .
Posibles raíces = {divisores de 24}= }24,12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±±
(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores)
24 14 13 2 1 +−−+
24 10 3 1 −−++
0 24 10 3 1 −−+ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )24103()1()(y 23 −−+⋅−= xxxxxQ
24 4 4 ++−
0 6 1 1 −− factor es )4( raíz es 4 +⇒−⇒ x grado 2º de polinomio
2 )6()4)(1()(y −−+−= xxxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )6( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)2)(3(6
2
3
2
51
2
251
2
241106 22 +−=−−⇒
−=±=±=+±=⇒=−− xxxxxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)3)(2)(4)(1()6)(4)(1(
)24103)(1()2414132(2414132222
232234223456
−++−=−−+−==−−+−=+−−+=+−−+
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)3)(2)(4)(1()( 2 −++−= xxxxxxP
}3,2,4,1, (doble) 0{ −−−=Raíces
r) xxxxxx 12164163284 23456 −−+++
s) 15476550172 23456 −−−−−+ xxxxxx
t) 34567 18012025305 xxxxx −−++
1
2
u) xxxxx 16812102 2345 +−−+−
1º) Extraemos “ x2− ” factor común y tenemos:
)8465(216812102)( 2342345 −++−⋅−=+−−+−= xxxxxxxxxxxP
2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )8465()( 234 −++−= xxxxxQ .
Posibles raíces = {divisores de – 8}= }8,4,2 ,1{ ±±±±
(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores)
8 4 6 5 1 −++−
8 0 6 2 +−+
0 4 0 3 1 +− factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x )43()2()(y 23 +−⋅−= xxxxQ
4 2 2 −−+
0 2 1 1 −− factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x grado 2º de polinomio
2 )2()2)(2()(y −−−−= xxxxxQ
Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )2( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser
irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:
)1)(2(2
1
2
2
31
2
91
2
81102 22 +−=−−⇒
−=±=±=+±=⇒=−− xxxxxxx
3º) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
xxxxx 16812102 2345 +−−+−
)1()2(2)1)(2)(2)(2(2)2)(2)(2(2
)43)(2(2)8465(21681210232
232342345
+−−=+−−−−=−−−−−==+−−−=−++−−=+−−+−
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
SOLUCIÓN
)1()2(2)( 3 +−−= xxxxP
}1, (triple) 2,0{ −=Raíces
v) )44()4( 22 ++⋅− xxx
Los dos polinomios son identidades notables.
� )2)(2(42 +−=− xxx
� 22 )2(44 −=++ xxx
Por tanto,
3222 )2)(2()2)(2)(2()44()4( +−=++−=++⋅− xxxxxxxx
2
w) )76()2510( 22 −+⋅++ xxxx
� 22 )5(2510 +=++ xxx
� ⇒
−=
==±−=±−=+±−=
⋅−⋅⋅−±−
=⇒=−+7
1
2
86
2
646
2
28366
12
)7(14)6(6076
22
x
xxxx
)7)(1(762 +−=−+⇒ xxxx
Por tanto,
)7)(1()5()76()2510( 222 +−+=−+⋅++ xxxxxxx
x) )43()23( 22 +−⋅++ xxxx
� ⇒
−=
−==±−=±−=−±−=
⋅⋅⋅−±−
=⇒=++2
1
2
13
2
13
2
893
12
)2(14)3(3023
22
x
xxxx
)2)(1(232 ++=++⇒ xxxx
� ⇒=−±−=⋅
⋅⋅−−±=⇒=+− realsolución tieneno
2
1693
12
)4(14)3(3043
22 xxx
)43( 2 +−⇒ xx es irreducible
Por tanto,
)43)(2)(1()43()23( 222 +−++=+−⋅++ xxxxxxxx
y) )1()36( 22 ++⋅+ xxx
Los dos polinomios son irreducibles
z) )352()25()42( 22 −+⋅+⋅− xxxx
� )2(2)42( −=− xx
� )5( 2 +x es irreducible
� ⇒
−=
==±−=±−=+±−=
⋅−⋅⋅−±−
=⇒=−+3
2
1
4
75
4
495
4
24255
22
)3(24)5(50352
22
x
xxxx
)3(2
12352 2 +
−=−+⇒ xxxx
Por tanto,
)25)(3(2
1)2(4)3(
2
12)25()2(2)352()25()42( 2222 ++
−−=+⋅
−⋅⋅+⋅−⋅=−+⋅+⋅− xxxxxxxxxxxx
4. Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y/o con ayuda de las identidades
notables:
a) 22 )8(6416 −=+− xxx
b) 2223 )4(5)168(580405 +=++=++ xxxxxxxx
c)
+
−=
+
−=−5
2
5
2
10
4
10
4
100
162 xxxxx
d) )43)(43(169 2 +−=− xxx
e) )4)(4(5)16(5805 22224 +−=−=− xxxxxxx
f) 2223 )6(2)3612(272242 +−=++−=−−− xxxxxxxx
g) 2323345 )3(2)96(218122 −=+−=+− xxxxxxxx
h) 2323345 )3(7
1)96(
7
1
7
9
7
6
7
1 −=+−=+− xxxxxxxx
i) )2)(2)(2()2)(2(4 2224 ++−=+−=− xxxxxx
j) )5)(5)(5(9)5)(5(9)25(92259 222224226 ++−=+−=−=− xxxxxxxxxxx
k) 2222234 )2(15)44(15606015 −−=+−−=−+− xxxxxxxx
l) 222 )1(4
5)12(
4
5
4
5
2
5
4
5 −=+−=+− xxxxx
m) 222 )1(3)12(3363 −=+−=+− xxxxx
n) 2223 )4(3)168(348243 +−=++−=−−− xxxxxxxx
o) )9)(3)(3(5)9)(9(5)81(54055 22245 ++−−=+−−=−−=+− xxxxxxxxxxx
p) )4)(2)(2()4)(4(16 2224 ++−=+−=− xxxxxx
q) )2)(2(5
3)4(
5
3
5
12
5
3 24 +−=−=− xxxx
r) )8)(8)(8(5)8)(8(5)64(53205 22244 ++−−=+−−=−−=+− xxxxxxxxxxx
s) )1)(1)(1()1)(1(1 2224 ++−=+−=− xxxxxx
t) )16)(4)(2)(2()16)(4)(4()16)(16(256 42422448 +++−=++−=+−=− xxxxxxxxxx
u) )5)(5(2)25(2502 22224 +−=−=− xxxxxxx
v) )1)(1(1 23 ++−=− xxxx
w) )1)(1(1 23 +−+=+ xxxx
x) )42)(2(8 23 ++−=− xxxx
y) )42)(2(8 23 +−+=+ xxxx
z) )42)(2(2 33233 ++−=− xxxx
aa) )255)(5(5 33233 +−+=+ xxxx
bb) )1)(1)(1)(1()1)(1(1 22336 +−−++−=+−=− xxxxxxxxx
cc) )42)(2)(42)(2()8)(8(64 22336 +−−++−=+−=− xxxxxxxxx
dd) )255)(5(2)125(22502 234 +−+=+=+ xxxxxxxx
ee) 2222234 )5(5)2510(5125505 +−=++−=−−− xxxxxxxx
ff) )16(2322 23 +=+ xxxx
5. Factoriza completamente los siguientes polinomios:
a) )1()5)(2)(2()1()2510()16( 22222 +−+−=+⋅+−⋅− xxxxxxxx
Los dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible
b) =+−⋅+− )22()45( 32 xxxx
� ⇒
=−=
=+==±=±=−±=
⋅⋅⋅−±
=⇒=+−1
2
35
42
35
2
35
2
95
2
16255
12
)4(14)5(5045
22
x
xxxx
)1)(4(452 −−=+−⇒ xxxx
� )1)(1(2)1(222 23 +−−=−−=+− xxxxxxx
Por tanto,
)1)(4()1(2)1)(1)(2)(1)(4()22()45( 232 +−−−=+−−−−=+−⋅+− xxxxxxxxxxxxx
c) =+−−+−=−⋅+−⋅− )5)(5()4)(1)(1()25()168()1( 222422 xxxxxxxxx
)5)(5)(5()4)(1)(1( 22 ++−−+−= xxxxxx
Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables.
d) =−+⋅+⋅− )87()4()4( 222 xxxx
� )2)(2(42 +−=− xxx
� 42 +x
Es irreducible
� ⇒
−==
=±−=±−=+±−=⋅
−⋅⋅−±−=⇒=−+
8
1
2
97
2
817
2
32497
12
)8(14)7(7087
22
x
xxxx
)8)(1(872 +−=−+⇒ xxxx
Por tanto,
)8)(1)(4)(2)(2()87()4()4( 2222 +−++−=−+⋅+⋅− xxxxxxxxx
e) =+−⋅+−⋅+ )96()56()1( 222 xxxxx
� )1( 2 +x
es irreducible
� ⇒
==
=±=±=−±=⋅
⋅⋅−−±=⇒=+−
1
5
2
46
2
166
2
20366
12
514)6(6056
22
x
xxxx
)5)(1(562 −−=+−⇒ xxxx
� 22 )3(96 −=+− xxx
Identidad notable
Por tanto,
22222 )3)(5)(1)(1()96()56()1( −−−+=+−⋅+−⋅+ xxxxxxxxx
f) =−⋅+− )49()753( 435 xxx
� )5)(5(3)25(3753 32335 +−−=−−=+− xxxxxxx
� )7)(7)(7()7)(7(49 2224 ++−=+−=− xxxxxx
Por tanto,
)7)(7)(7)(5)(5(3)49)(753( 23435 ++−+−−=−+− xxxxxxxxx
g) =−⋅++⋅+− )25()1()84( 22 xxxx
� )2(484 −−=+− xx
� 12 ++ xx
Es irreducible
realsolución tieneno 2
31
2
411
12
114)1(101
22 ⇒
−±−=−±−=⋅
⋅⋅−±−=⇒=++ xxx
� )5)(5()5)(5(25 2 +−−=+−=−⇒ xxxxx
Por tanto,
)5)(5)(1)(2(4)]5)(5()[1)(2(4)25()1()84( 2222 +−++−=+−−++−−=−⋅++⋅+− xxxxxxxxxxxxxx
h) =−⋅−⋅− )5()16()16( 242 xxx
� )4)(4()4)(5(16 2 +−−=+−=− xxxxx
� )4)(2)(2()4)(4(16 2224 ++−=+−=− xxxxxx
� )5)(5()5)(5(5 2 +−−=+−=− xxxxx
Por tanto,
)5)(5)(4)(2)(2)(4)(4(
)]5)(5()[4)(2)(2)(4)(4()5()16()16(2
2242
+−++−+−=
=+−−++−+−−=−⋅−⋅−
xxxxxxx
xxxxxxxxxx
i) =−+−⋅+− )363()4914( 22 xxxx
� 22 )7(4914 −=+− xxx
� 222 )1(3)12(3363 −−=+−−=−+− xxxxx
Por tanto,
222222 )1()7(3)1)(3()7()363()4914( −−−=−−−=−+−⋅+− xxxxxxxx
j) =+⋅++⋅− )66()1213()5( 22 xxxx
� )5)(5(52 +−=− xxx
� ⇒
−
−
=±−=−±−=⋅
⋅⋅−±−=⇒=++
12
1
2
1113
2
4816913
12
1214)13(1301213
22 xxx
)12)(1(12132 ++=++⇒ xxxx
� )1(666 +=+ xx
Por tanto,
)12()1)(5)(5(6)1(6)12)(1)(5)(5()66()1213()5( 222 +++−=++++−=+⋅++⋅− xxxxxxxxxxxxx
6. Halla el m.c.d. y el m.c.m. de:
a) )2()1()( 2 +−= xxxP
y )3)(2)(1()( −+−= xxxxQ
)2)(1(... +−= xxdcm
)3)(2()1(... 2 −+−= xxxmcm
b) )2)(1()( +−= xxxP
y 2)2)(1()( −−= xxxQ
)1(... −= xdcm
2)2)(2)(1(... −+−= xxxmcm
c) )1()3(6)( 22 ++= xxxP
y )1()3(10)( 2 −+= xxxQ
2)3(2... += xdcm
)1)(1()3(30... 22 −++= xxxmcm
d) )3()5(2)( 2 ++−= xxxP 23 )3()5(8)( ++= xxxQ
y )2)(3()5(12)( 2 −++= xxxxR
)3()5(2... 2 ++= xxdcm
)2()3()5(24... 23 −++= xxxmcm
e) )3)(2()( −+= xxxP )3)(2()( ++= xxxQ
y )3)(2()( +−= xxxR
1... =dcm
)3)(3)(2)(2(... +−−+= xxxxmcm
f) 1)( 2 −= xxP
y 65)( 2 −+= xxxQ
� Factorizamos los polinomios:
)1)(1(1)( 2 +−=−= xxxxP
)6)(1(65)( 2 +−=−+= xxxxxQ
)6)(1(65
6
1
2
75
2
24255065 22 +−=−+⇒
−=±−=+±−=⇒=−+ xxxxxxx
� Por tanto,
)1(... −= xdcm
)6)(1)(1(... +−+= xxxmcm
1
1−
g) 87)( 2 −+= xxxP
y 1)( 3 −= xxQ
� Factorizamos los polinomios:
• )8)(1(87)( 2 +−=−+= xxxxxP
)8)(1(87
8
1
2
97
2
32497087 22 +−=−+⇒
−=±−=+±−=⇒=−+ xxxxxxx
• )1)(1(1)( 23 ++−=−= xxxxxQ
1 0 0 1 − 1 1 1 +++ 0 1 1 1 ++ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x
43421
grado 2º de polinomio
2 )1()1()(y ++⋅−= xxxxQ
eirreduciblesxxxxx 1 realsolución tieneno 2
31
2
41101 22 ++⇒⇒
−±−=−±−=⇒=++
� Por tanto,
)1(... −= xdcm
)1)(8)(1(... 2 +++−= xxxxmcm
h) 16)( 4 −= xxP
y 44)( 2 +−= xxxQ
� Factorizamos los polinomios:
)4)(2)(2()4)(4(16)( 2224 ++−=+−=−= xxxxxxxP 22 )2(44)( −=+−= xxxxQ
� Por tanto,
)2(... −= xdcm
)4)(2()2(... 22 ++−= xxxmcm
i) 1)( 3 += xxP
y 544)( 23 +−+= xxxxQ
� Factorizamos los polinomios:
• )1)(1(1)( 23 +−+=+= xxxxxP
1 0 0 1 + 1 1 1 −+− 0 1 1 1 +− factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x
43421
grado 2º de polinomio
2 )1()1()(y +−⋅+= xxxxP
5−
eirreduciblesxxxxx 1 realsolución tieneno 2
31
2
41101 22 +−⇒⇒
−±=−±=⇒=+−
• )1)(5(544)( 223 +−+=+−+= xxxxxxxP
5 4 4 1 +−+ 5 5 5 −+− 0 1 1 1 +− factor es )5( raíz es 5 +⇒−⇒ x
43421
grado 2º de polinomio
2 )1()5()(y +−⋅+= xxxxQ
eirreduciblesxxxxx 1 realsolución tieneno 2
31
2
41101 22 +−⇒⇒
−±=−±=⇒=+−
� Por tanto,
1... 2 +−= xxdcm
)1)(1)(5(... 2 +−++= xxxxmcm
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