View
2
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Matematicos
Citation preview
7/18/2019 7 - Guia Fund. Matematicos 2005 Susecion Sumatoria Progresion
http://slidepdf.com/reader/full/7-guia-fund-matematicos-2005-susecion-sumatoria-progresion 1/8
ÀREA CIENCIAS BÁSICAS
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
GUÍA N º 7 SUCESIONES , SUMATORIAS , PROGRESIONES ,INDUCCIÓN MATEMÁTICA Y POLINOMIOS
I . SUCESIONES
1 ) Dada la sucesión { n2 + 2 } .
a ) Escribir los primeros 5 términos b ) Encontrar a 15
2 ) Dada la sucesión⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+
+=
4 n2
3 na n . Encontrar :
a ) a 10 b ) a 2 0 c ) a 45
3 ) Escribir los ocho primeros términos de las siguientes sucesiones cuyo
término general es :
a ) a n =n
n 2 + b ) a n =
2 n
1 n
+
+ c ) a n = ( – 1 )
n
5 n
n2
+
d ) a n =⎪⎩
⎪⎨
⎧
+imparesnsi
1 n
1
par esnsi 2
e ) a n =2 n
5 n2
+
−
4 ) Hallar una expresión general para el término enésimo de las siguientessucesiones :
a ) 4 , 8 , 12 , 16 , . . . a n =
b ) 1 ,4
1 ,
3
1 ,
2
1 , . . . a n =
c ) 1 ,4
3 ,
3
2 ,
2
1 , . . . a n =
7/18/2019 7 - Guia Fund. Matematicos 2005 Susecion Sumatoria Progresion
http://slidepdf.com/reader/full/7-guia-fund-matematicos-2005-susecion-sumatoria-progresion 2/8
5 ) Escribir los ocho primeros términos de las siguientes sucesiones recurrentes :
a ) a 1 = 3 ; a n + 1 =3
a n
b ) a 1 = – 1 ; a n + 1 = 3 a n – 5
c ) a 1 = 2 ; a 2 = – 3 ; a n + 2 = 2 a n + 1 – a n
6 ) Sean a n =1 n2
1 n3
−
− ; b n =
n
1 . Determinar :
a ) a n + b n b ) a n – b n c ) a n · b n d )n
n
b
a
II . SUMATORIAS
1 ) Calcular las siguientes sumas :
a ) ( k∑=
100
1 k
2 + 1 ) b ) ( i – 3 )∑
=
55
10 i
c ) j ( 2 j∑=
45
1 j
2
– 4 ) d ) ( k – 1 )∑=
60
10 k
2
e ) [ ( i∑=
30
7 i
2 – 1 ) + 2 i ] f ) [ 3 ( k + 1 ) – 3 k ]∑
=
40
10 k
g ) ( j – 3 )∑=
24
4 j
3 h ) i ( i + 2 )∑
=
60
15 i
2 ) Expresar usando símbolo de sumatoria y calcular :
a ) 3 · 1 + 3 · 2 + 3 · 3 + . . . + 3 · 25
b ) 25 + 36 + 49 + . . . + 100
c ) 13 + 3
3 + 5
3 + . . . + 35
3
7/18/2019 7 - Guia Fund. Matematicos 2005 Susecion Sumatoria Progresion
http://slidepdf.com/reader/full/7-guia-fund-matematicos-2005-susecion-sumatoria-progresion 3/8
III . PROGRESIONES
1 ) Encuentre la suma de:
a ) 17 términos de la P.A. : 49 ; 44 ; 39 ; …
b ) 19 términos de la P.A. : 3 / 4 ; 2 / 3 ; 7 / 12 ; …
c ) 24 términos de la P.A. : –15 / 2 ; –7 ; –13 / 2 ; …
d ) 50 términos de la P.A. : 6 / 3 ; 3 3 ; 12 / 3 ; …
e ) 40 términos de la P.A. : a – 3 b ; 2 a – 5 b ; 3 a – 7 b ; …
2 ) Resolver los siguientes problemas:
a ) El tercer término de una P.A. es 18 y el séptimo es 30. Encuentre la suma de
los 17 primeros términos.
b ) En una P.A. el 4 º término es 0 ; el 42 º término es – 95 y el último es
–195 . Encuentre el 1er. término y el número de términos.
c ) En una P.A. la suma de los 50 primeros términos es 200 y la suma de los 50siguientes términos es 2.700. Encuentre el 1er. término y la diferencia.
d ) La suma de 3 números en P.A. es 27 y la suma de sus cuadrados es 293.
Hallar los números.
e ) En una P.A. la suma de 3 términos es 27 y su producto es 504. Hallar los
números.
f ) En una P.A. el 3er. término es igual a 4 veces el primero y el 6 º término es
17. Encontrar la P.A.
g ) Se ubican 200 maderos colocados 20 de ellos en una fila. Sobre ellos, 19 en
una 2 ª fila y así sucesivamente. Determine el número de filas y la cantidad de
7/18/2019 7 - Guia Fund. Matematicos 2005 Susecion Sumatoria Progresion
http://slidepdf.com/reader/full/7-guia-fund-matematicos-2005-susecion-sumatoria-progresion 4/8
maderos de la fila superior.
3 ) Calcule la suma de :
a ) 7 términos de la P.G.: 1 / 2 ; 1 / 3 ; 2 / 9 ; …
b ) 6 términos de la P.G.: – 2 ; 5 / 2 ; – 25 / 8 ; …
c ) 10 términos de la P.G.: 2 , – 4 , 8 , …
d ) 12 términos de la P.G.: 1 ; 3 , 3 , …
e ) 7 términos de la P.G.: 1 / 2 ; – 2 ; 8 / 2 ; …
4 ) Resolver los siguientes problemas :
a ) La suma de los 6 primeros términos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de
los 3 primeros términos. Hallar la razón.
b ) En una P.G. el 5 º término es 81 y el 2 º es 24 . Escribir la P.G.
c ) El 2 º término de una P.G. es 5 y el 5 º es 40 / 27. Encuentre el 7 º término.
d ) Determinar 3 números en P.G. cuya suma sea 26 y su producto 216.
e ) La suma de 3 números en P.G. es 70. Si los extremos se multiplican por 4 yel del medio por 5 resulta una P.A. Hallar los números.
f ) Hallar una P.A. cuyo 1er. término sea 1 y tal que los términos de los lugares
2 , 10 y 34 formen una P.G.
g ) La suma de 3 números en P.G. suman 21. Si se resta 1 al primer término; 2
al segundo término y 6 al tercer término resulta una P.A. Encuentre la P.G. y
la P.A.
h ) Dividir el número 221 en 3 partes que formen una P.G. y tal que el 3er.
número sobrepase al 1er. número en 136. Encontrar los números.
7/18/2019 7 - Guia Fund. Matematicos 2005 Susecion Sumatoria Progresion
http://slidepdf.com/reader/full/7-guia-fund-matematicos-2005-susecion-sumatoria-progresion 5/8
IV. INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Demuestre usando inducción matemática que:
a ) 1 + 3 + 32 + ... + 3
n – 1 =
2
1 3 −n
; ∀n ∈ I Ν
b ) 1 + 2 · 3 + 3 · 32 + ... + n · 3
n – 1 =
4
1 3)1 n2( n +− ; ∀n ∈ I Ν
c ))3n()2n(4
)1n(n
)3n()2n()1n(
n ...
5·4·3
2
4·3·2
1
++
+=
++++++ ; ∀n ∈ I Ν
d ) 13 + 3
3 + … + ( 2 n + 1 )
3 = ( n + 1)
2 ( 2 n
2+ 4n + 1 ) ; ∀ n ≥ 0
e ) ∑=
+=+
n
1 k
3353
2
)1 n(n )k 3 k ( ; ∀n ∈ I Ν
f ) ∑= +
+=
++
n
0 i 3 n2
1 n
)3 i2()1 i2(
1 ; ∀ n ≥ 0
g ) ∑=
−
−
+−+=
+++−
n
1 i
1 n
1 i
3 n2 )1(
31
)3 i2()1 i2()1 i(4 )1( ; ∀n ∈ I Ν
h ) 24 n
– 1 es divisible por 15 ; ∀n ∈ IN
i ) 34 n + 2
+ 52 n + 1
es divisible por 14 ; ∀n ∈ IN
j ) 10n + 3 4
n + 2 + 5 es divisible por 9 ; ∀n ∈ IN
k ) 22 n + 1
– 9 n2 + 3n – 2 es divisible por 54 ; ∀n ∈ IN
l ) ( 3 n + 1 ) · 7n – 1 es divisible por 9 ; ∀n ∈ IN
m ) 7 16 n + 3 es divisible por 5 ; ∀n ≥ 0
n ) 72 n
+ 16 n – 1 es divisible por 64 ; ∀n ≥ 1
7/18/2019 7 - Guia Fund. Matematicos 2005 Susecion Sumatoria Progresion
http://slidepdf.com/reader/full/7-guia-fund-matematicos-2005-susecion-sumatoria-progresion 6/8
V. POLINOMIOS
1. Por medio de la división sintética, determinar el cuociente y el resto en cada una
de las divisiones siguientes:
a ) 3 x2
– 2 x – 4 : x – 3 b ) 2 x + 3 x2
– 7 : x + 1c ) x
3 – 2 x
2 + 9 : x + 2 d ) x
3 + 4 x – 7 : x – 3
e ) x4 – 2 x
3 – 3 x
2 – 4 x – 8 : x – 2 ; x – 1
f ) 2 x4 – x
3 – 18 x
2 – 7 : x + 3 ; x – 3
g ) 3 x4 – 7 x – 20 : x – 2 ; x + 2
h ) 2 x4 – 3 x
3 – 20 x
2 – 6 : x – 4 ; x + 3
2. Hallar el resto de las siguientes divisiones ( Usar teorema del resto ).
a ) x3 + 3 x
2 – 2 x – 5 : x + 2 b ) x
3 + 3 x
2 – 2 x – 5 : x + 3
c ) x
3
– 2 x
2
+ 3 x – 4 : x – 3 d ) 2 x
3
+ x
2
– x + 4 : x + 1e ) x4 – 5 x
3 + x
2 – 6 : x – 1 f ) x
3 + 3 x
2 – 2 x – 5 : x + 2
3. Determinar si la primera expresión es factor de la segunda.
a ) ( x – 2 ) de x4 + 3 x
3 – 5 x
2+ 2 x – 24
b ) ( x + 3 ) de x3 – 4 x
2 – 18 x + 9
c ) ( x – 3 ) de x4 – 5 x
3 + 8 x
2 + 15 x – 2
d ) ( x – 5 de x3 + 2 x
2 – 25 x – 50
e ) ( 2x + 3 ) de 2 x4 + 5 x
2+ 3 x
2 + 8 x + 12
f ) ( 3x + 1 ) de 9 x
3
+ 6 x
2
+ 4 x + 2g ) ( x – y) de x5 – y
5 ; x
6 – y
6 ; x
7 – y
7 ; x
8 – y
8
4. Determinar por inspección los ceros de las funciones siguientes, indicando
multiplicidad de cada uno.
A ) ( x – 2 ) ( x – 3 )2 ( x + 4 )
3 b ) ( x + 1 )
4 ( x – 2 )
5
c ) ( x + 7 ) ( 2x – 3 )3 d ) ( x
2 – 4 x + 4 ) ( x
2 + 3 x – 10 )
e ) ( 3x – 5 ) ( x2 – 6 x + 9 ) f ) ( x – 2 )
3 ( 3x – 1)
4 ( x + 1)
7
5. Determinar una cota superior y una cota inferior para los ceros de cada una de las
siguientes funciones:
a ) x3 – 3 x
2 –2 x + 15 b ) x
3 + 2 x
2 – 7 x – 8
c ) x4 – 2 x
3 – 7 x
2 + 10 x + 10 d ) x
4 – x
3 – x
2 – 2 x – 6
e ) x4 – 4 x
3 + x
2 + 6 x + 2 f ) x
4 – 5 x
2 + 6 x – 9
g ) x3 – 8 x + 5 h ) x
3 + 16 x – 29
7/18/2019 7 - Guia Fund. Matematicos 2005 Susecion Sumatoria Progresion
http://slidepdf.com/reader/full/7-guia-fund-matematicos-2005-susecion-sumatoria-progresion 7/8
i ) x5 + 5 x
2 – 7 j ) x
5 – 3 x
3 + 24
k ) x4 + 3 x
3 – 9 x
2 + 3 x – 10 l ) 3 x
5 – 4 x
4 – 5 x
3 – 8 x + 25
6. Escribir el polinomio de menor grado de coeficientes reales que tenga dos
raíces : x1 = 2 y x = 1 – 3 i2
7. Escribir el polinomio de menor grado de coeficientes reales que tenga dos
raíces de la forma : x = – 3 y x = 2 +1 2 3
8. Hallar todas las raíces de : x4 + 2 x
2 + 1 = 0
9. Determinar las raíces racionales de las siguientes ecuaciones polinómicas
indicando:
i ) Cotas inferior y superior para ellas.
ii ) Posibles raíces positivas y negativas.iii ) Posibles raíces racionales.
a ) 6 x3 + 5 x
2 – 3 x – 2 = 0
b ) x3 + 2 x
2 – 11 x – 12 = 0
c ) x4 – x
3 – 7 x
2 – 14 x – 24 = 0
d ) 4 x5 – 16 x
4 + 17 x
3 – 19 x
2 + 13 x – 3 = 0
e ) x3 – 4 x
2 + 14 x – 20 = 0
f ) 2 x 4 + 6 x 3 – 7 x 2 + 12 = 0g ) x
4 – 3 x
3 + 2 x
2 – x + 1 = 0
h ) 4 x3 – 20 x
2 + 9 x + 28 = 0
i ) 3 x3 – x
2 – 3 x + 1 = 0
j ) 2 x4 – 3 x
3 – 14 x
2 + 2 x + 4 = 0
k ) 2 x4 – 9 x
3 + 10 x
2 + x – 2 = 0
l ) 3 x3 – 4 x
2 – 35 x + 12 = 0
10. Calcular las raíces irracionales de las siguientes ecuaciones acotándolas mediante
la sucesión de Sturm y calculándolas mediante el algoritmo de la división sintética
y el método de Horner .(usar 4 interacciones).
a ) x3 + 3 x
2 – 6 x – 3 = 0 ( raíz mayor positiva )
b ) x3 – x
2 – 2 x + 1 = 0 ( raíz menor positiva )
c ) x3 – 3 x + 1 = 0 ( las 3 raíces reales )
d ) x3 – 7 x + 7 = 0 ( las dos raíces entre 1 y 2 )
e ) x4 – 3 x
3 + 2 x
2 – 3 x – 3 = 0 ( todas las raíces reales )
f ) x4 – 4 x
3 – 4 x + 12 = 0 ( todas las raíces reales )
7/18/2019 7 - Guia Fund. Matematicos 2005 Susecion Sumatoria Progresion
http://slidepdf.com/reader/full/7-guia-fund-matematicos-2005-susecion-sumatoria-progresion 8/8
g ) x3 – 6 x
2 + 13 x – 13 = 0 ( raíz α : 3 < α < 4 )
h ) x3 – 3 x
2 + 13 x – 24 = 0 ( raíz α : 2 < α < 3 )
i ) x3 – 10 x
2 + 35 x + 50 = 0 ( raíz α : – 2 < α < –1 )
j ) x3 + 3 x
2 – 5 x – 47 = 0 ( raíz α : 3 < α < 4 )
k ) x3 + 10 x
2 + 34 x – 60 = 0 ( todas las raíces reales )
l ) x3
– 9 x2
+ 24 x – 19 = 0 ( todas las raíces reales )m ) x
4 + 4 x
3 + 7 x
2 – 2 x – 21 = 0 ( todas las raíces reales )
n ) x4 – 6 x
3 + 12 x
2 + 11 x – 41 = 0 ( todas las raíces reales )
Recommended