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LA LÓGICA COMO SISTEMA FORMAL AXIOMÁTICO
7.1. INTRODUCCIÓN
7.1.1. Lógica y sistemas formales axiomáticos
El hombre siempre ha perseguido la idea de razonar de un modo correcto, sin
ambages, procurando deshacerse de todos los malentendidos y errores. De ahí la
búsqueda de un método que nos permita confiar en la coherencia interna de lo que
se nos comunica.
La lógica moderna se ocupa de la consecución de un cálculo que nos permita, al
igual que el otro sistema formal clásico (la matemática), deducir teoremas de
axiomas determinados, es decir, constituir a la lógica como un sistema formal
axiomático. En este sentido, sostenemos con A. Deaño que los lenguajes formales
(lenguajes construidos y de precisión) se constituyen en instrumentos de expresión
construidos por los científicos con el propósito de formular con mayor rigor y
exactitud las relaciones entre los objetos, que van a ser estudiados por las ciencias
que correspondan a los diferentes tipos de objetos.
7.1.2. Nociones básicas
a) Exposición de la noción de cálculo
Un cálculo es un sistema de relaciones, un mero armazón; por tanto, ni siquiera es
propiamente un lenguaje. El cálculo es construido y artificial e implica:
a) Los símbolos primitivos o conjunto de símbolos primitivos.
b) Las reglas de formación que indican como se pueden combinar
y utilizar los símbolos primitivos.
c) Las reglas de transformación. Al utilizar correctamente estas reglas podemos
cambiar una combinación bien construida de símbolos en otra combinación bien
construida.
Tanto por lo que se refiere a los símbolos primitivos como por lo que se refiere a las
reglas de formación y transformación, estos han de resultar perfectamente
definidos pues hemos de juzgar si un símbolo es correcto, una regla de formación
es una expresión bien formada del cálculo y si una transformación ha sido
efectuada correctamente.
El cálculo debe su existencia a que es autárquico (en expresión de A. Deaño), es
decir, no hace referencia a nada ajeno a él y su cometido no es otro que el mero y
simple calcular. En definitiva, lo esencial de un cálculo es su carácter
intrínsecamente formal. Como dirá Deaño: “Lo esencial de un cálculo... es su
naturaleza puramente sintáctica”. “Un cálculo no es, por lo tanto, un lenguaje, en la
medida en que no es un medio de comunicación, sino un puro armazón sintáctico.
Sus elementos carecen de significado. No son signos, sino entidades opacas que
manipulamos de acuerdo con una serie de reglas.
Podemos, sin embargo transformar un cálculo en un lenguaje. ¿Cómo?
Interpretando sus símbolos, proveyendo a sus símbolos de un significado”.
Estamos, por lo que ha dicho Deaño, ante un lenguaje con posibilidad de ser formal
si se somete a interpretación, un lenguaje, en fin, con estructura de cálculo, un
lenguaje en el que gozan de artificialidad tanto el vocabulario como su sintaxis. Y
parafraseando a Deaño:
“De entre todos los cálculos que podemos construir hay algunos que por su especial
estructura y su buen rendimiento son particularmente aptos para ser aplicados a un
ámbito específico de problemas, el ámbito de los problemas lógicos”.
b) El concepto de “axiomático”
“Axioma” deriva del griego axiôma, “lo que parece justo”, derivado del verbo
axióô, “yo estimo justo”, y éste de áxios, “digno”. Es aquel postulado propositivo
que por su propia dignidad, esto es, por ocupar un determinado lugar en un sistema
de proposiciones, debe ser considerado verdadero. Suele ser considerado un
principio intuitivo y evidente y, por tanto, que no necesita ser demostrado-, que se
constituye como el fundamento de cualquier ciencia; es el punto de partida de la
demostración del teorema de un sistema. Un principio intuitivo y evidente, un
axioma, que no tiene que ser demostrado es, por ejemplo: “una parte de una cosa
es más pequeña que la cosa entera”. Así, en la lógica y en la matemática actuales
se distingue entre el axioma y el teorema; mientras el primero se postula como
verdadero sin precisar ninguna prueba, el segundo es un enunciado que se acepta
una vez que ha sido probado. Actualmente se pide a un teorema no tanto que sea
verdadero a priori cuanto que sea útil para explicar la realidad o para que sea
asumido por otros ámbitos científicos.
“Postulado”. En la actual lógica es sinónimo de axioma. Un postulado es una
proposición (también una función proposicional), que, en los sistemas lógicos
axiomáticos se toma o se “pide” (postulare significa “pedir”) como punto de partida
o principio para la demostración de teoremas No son simples definiciones, ni
tampoco es algo que haya sido deducido de un enunciado más primitivo. En la
lógica hasta el siglo XIX se distinguía un postulado de un axioma en que éste era
considerado evidente y no derivado ni demostrado, mientras que los postulados no
eran evidentes, ni demostrables, sino que se “postulaban”.
“Teorema”. Del griego theôrêma. Término matemático que designa cualquier
proposición que sea demostrable -pues no es evidente- partiendo de otras
proposiciones (axiomas, postulados, definiciones e incluso otros teoremas
previamente demostrados, etc.); en definitiva, es cualquier proposición que se
demuestre, al ser una consecuencia lógica de los axiomas o las definiciones
introducidas como premisas en una proposición, utilizando las reglas de inferencia o
deducción lógica. En lógica es también la conclusión demostrable o demostrada
partiendo de un conjunto vacío de premisas; aquí coincide con la tautología, con la
verdad lógica, o con el enunciado analítico. Por ejemplo, la proposición: “Si como y
camino, entonces camino”, es un teorema semántico.
c) ¿Qué entendemos cuando afirmamos que la lógica es un sistema formal
axiomático?
Tanto en las matemáticas como en la lógica, en primer lugar, y como primer paso,
se tratará de elegir unos principios que vamos a denominar axiomas. En segundo
lugar, y como segundo paso, se planteará no aceptar más enunciados que los que
se infieran de los axiomas por deducción lógica. Estos enunciados se llaman
teoremas. Tal procedimiento desencadenado o susceptible de desencadenarse es lo
que denominamos propiamente sistema axiomático.
Una teoría axiomática es aquella que se produce ordenadamente y que va de los
axiomas a las reglas según normas de inferencia. El hecho de la axiomatización
llega a su punto más eleva do cuando se hace acompañar por la formalización de la
teoría cientí fica que se trate de axiomatizar. De lo que deducimos que si formaliza
mos y axiomatizamos una teoría cien tífica, obtendremos un sistema for mal
axiomático que estará compuesto por:
a) Un vocabulario primitivo.
b) Un conjunto de reglas de forma ción de fórmulas.
c) Cierto número de axiomas que son las fórmulas primeras del sis tema.
d) Un conjunto de reglas de infe rencia o transformación.
El vocabulario primitivo y las re glas de formación de fórmulas vie nen a ser algo así
como la gramáti ca. El conjunto de axiomas y las reglas de inferencia componen la
lógica del sistema.
Sólo nos falta para una perfecta comprensión del sistema tratar el problema de la
demostración como elemento teórico-práctico que cie rra la interrogación a la
pregunta
¿que es un sistema formal axioma tico?. La demostración adara que una fórmi.ila
del sistema es o un axio ma o una consecuencia inmediata (de algunas que son
anteriores a ella) por medio de una regla de trans formación. Por tanto, la fórmula
final es un teorema o fórmula derivada.
Sólo nos queda decir siguiendo a
M. Garrido: “El número de nocio nes primitivas, axiomas y reglas de inferencia que
en concreto se esta blezca como base para la edifica ción de un sistema axiomático
es, en realidad, materia de convención. El principal propósito es la facilidad inicial
en la obtención de fórmulas derivadas (teoremas). Como también es estudio
pormenorizado de las di ferentes partes o zonas del siste ma, interesará que el
repertorio de axiomas y/o el repertorio de reglas de inferencia sea variado. Pero si
lo que se pretende es obtener una visión sintética del sistema, enton ces interesará
que prevalezca el cri terio de economía, es decir,’ que el número de símbolos
primitivos, axio mas y reglas sea mínimo.
7.1.3. Un poco de historia
Aristóteles fue el primero en formular el análisis de la noción de “axioma”
entendiendo como tal “las proposiciones primeras de las cuales parte la
demostración y, en todo caso, los principios que debe poseer necesariamente el
que quiere aprender algo”. De este modo, el axioma es diferente de la hipótesis y
del postulado. Para Aristóteles el axioma más evidente es el principio de no-
contradicción.
Esta consideración del axioma que comienza con Aristóteles se mantuvo inmutable
hasta la Modernidad. Se pensaba que la verdad del axioma se manifiesta por la
simple intuición o evidencia de los términos que entran en su composición. Por eso
decía Santo Tomás que los principios inmediatos no son conocidos por algún
término medio, sino por el mero conocimiento de sus términos; si se sabe lo que es
el todo y lo que es la parte, se sabe que el primero es mayor que el segundo y que
éste es menor que aquel. Pero Occam sostuvo que este principio no vale cuando se
trata de todos que comprenden infinitas partes.
Después de las investigaciones de Cantor y de otros sabemos que este axioma es
simplemente la definición de los conjuntos finitos, como veremos. Pues bien,
durante mucho tiempo se ha buscado la justificación de la validez absoluta de los
axiomas. Francis Bacon pensaba que los axiomas se obtienen por vía deductiva o
inductiva, mientras que para Descartes son verdades eternas e innatas que residen
en nuestra mente. Desde su empirismo, Locke consideró los axiomas como
proposiciones de experiencias inmediatas, y el racionalismo de Leibniz sostenía que
los axiomas son principios innatos en forma propositiva originaria que la
experiencia hace explícitas. John Stuart Mill estimaba que son generalizaciones de
la observación, “verdades experimentales”, aunque evidentes. Es decir, tanto unos
como otros los consideran principios evidentes. En esto coincidían los racionalistas
y los empiristas.
Para el criticismo kantiano son evidentes también, pero son a priori: son principios
sintéticos a priori evidentemente ciertos. La evidencia, pues, es la característica
propia de un axioma para Kant. La matemática posee axiomaticidad porque
procede mediante la construcción de los conceptos. La filosofía, por el contrario, al
no construir sus conceptos, no posee axiomaticidad. Los mismos axiomas de la
intuición, que Kant colocaba entre los principios del entendimiento puro, no son
verdaderamente axiomas, según él, sino que contienen simplemente el “principio
de la posibilidad de los axiomas en general”.
En el pensamiento contemporáneo la noción de axioma ha sufrido su más radical
transformación. La característica que definía a los axiomas, la inmediatez de su
verdad, la evidencia, la certeza, le ha sido negada. Este resultado se debe al
desarrollo del formalismo matemático y lógico, o sea, a la obra de Peano, Frege,
Russell y Hilbert. Según el punto de vista formalista, ahora aceptado casi
universalmente, los axiomas de la matemática no son ni verdaderos ni falsos; han
sido adoptados convencionalmente como fundamentos o premisas del discurso
matemático y lógico. De este modo, los axiomas ya no se distinguen claramente de
los postulados, y las dos palabras se usan en la actualidad como sinónimas. Es
decir, los términos axioma y postulado suelen utilizarse con frecuencia como
sinónimos. Algunas veces la palabra axioma se usa para referirse a los principios
básicos que deben ser asumidos en cualquier sistema deductivo, y el término
postulado para señalar a los primeros principios peculiares de un sistema particular,
como la geometría de Euclides. Rara vez se usa el término axioma para referirse a
los primeros principios de la lógica, ni el término postulado para aludir a los
primeros principios de las matemáticas. La elección de los axiomas es, en cierta
medida, aleatoria y libre, y en tal sentido se dice que los axiomas son convenciones.
7.2. LA LÓGICA AXIOMÁTICA
Gracias al método de las tablas de verdad que Wittgenstein propuso en su
Tractatus poseemos un método que nos permite comprobar inmediatamente si una
expresión dada era o no universalmente válida: basta con ver si en la columna de la
conectiva principal de la tabla aparecía exclusivamente el signo “V” (en cuyo caso
era universalmente válida) o si aparecería alguna vez el signo “F”, en cuyo caso se
trataba de una expresión indeterminada.
Es éste un procedimiento mecánico muy útil, pero que deja mucho que desear en
cuanto a rigor y sistematización; pues a lo sumo nos deja en las manos una serie de
tautologías, pero no nos indica qué relación existe entre ellas, no las reduce a
unidad sistemática. Sería deseable, por el contrario, que construyéramos un
sistema que no sólo indicara cuáles son las expresiones universalmente válidas,
sino también por qué lo son . Ello podría hacerse si ponemos de manifiesto que
todas las expresiones universalmente válidas pueden ser deducidas a partir de un
pequeño número de expresiones elementales, a las que denominamos axiomas,
que admitimos sin demostración previa, con la ayuda de unas reglas de inferencia
que nos permitan hacer esa deducción.
Notemos la distinción entre la construcción de un sistema axiomático y la
demostración o prueba de una proposición. El sistema axiomático se compone de
todas las expresiones universalmente válidas y trata de demostrar cómo todas ellas
se derivan de unas pocas fundamentales. Por el contrario, en la demostración se
trata de hacer ver cómo una expresión indeterminada (es decir, no tautológica) se
deriva de otras expresiones indeterminadas que se aceptan como verdaderas
(postulado).
Es en gran medida arbitrario que expresiones aceptamos como axiomas, y que
reglas de inferencia adoptamos Sin embargo, como veremos, el conjunto de
axiomas que adoptemos debe cumplir ciertas condiciones (que ahora adelantamos
simplificando):
a) Debe ser completo, es decir, tienen que poder derivarse de él todas las
tautologías de la lógica proposicional.
b) Los axiomas deben ser mutuamente independientes, es decir, no deben poder
derivarse unos de otros.
c) Deben ser consistentes, es decir, no deben dar lugar a la derivación de
expresiones que resulten contradictorias.
7.3. ¿QUÉ ES UN SISTEMA AXIOMÁTICO?
El sistema axiomático es, desde la geometría griega (Euclides), la forma típica de
presentarse el cálculo o lenguaje formalizado. Lo característico del sistema
axiomático como realización de la idea de cálculo consiste en disponer de un
conjunto de enunciados o fórmulas que se admiten sin demostración y a partir de
los cuales se obtienen todas las demás afirmaciones de la teoría, las cuales se
llaman teoremas. Y las fórmulas aceptadas sin discusión son axiomas o postulados.
El conjunto de los axiomas, más la definición de enunciado o fórmula del sistema
(definición que precede al enunciado de los axiomas) y el conjunto de las reglas
para la obtención de teoremas a partir de los axiomas (reglas de transformación)
constituyen la base primitiva del sistema.
La lógica pretende ser un sistema formal axiomático Y un sistema axiomático es un
método deductivo formado por un grupo de enunciados (axiomas) que debidamente
definidos, permiten deducir, mediante reglas de inferencia precisas, el conjunto de
enunciados, llamados teoremas, que pertenecen al sistema axiomático.
Suele distinguirse entre sistemas axiomáticos formalizados y no-formalizados. La
diferencia principal entre unos y otros consiste en que los formalizados, que son los
que realizan claramente la idea de cálculo, presentan explícitamente todas las
reglas de transformación, mientras que los otros no lo hacen. En un sistema
axiomático formalizado el conjunto de los axiomas y el de las reglas de
transformación son ambos efectivos, aunque en un sentido laxo de la palabra.
Del mismo modo que los teoremas se obtienen de los axiomas, así también las
nociones (los predicados) no primitivos (no contenidos en los axiomas) se obtienen
en el sistema a partir de las nociones primitivas, contenidas en los axiomas. Lo
mismo cabe decir de las constantes individuales, cuando son necesarias. El modo
de hacerlo se especifica mediante reglas de definición.
En la antigüedad, elaboraron teorías axiomáticas Euclides en geometría y
Arquímedes en física. La mecánica clásica de Newton está también formulada
mediante axiomas, inspirándose directamente en Euclides.
Como hemos visto antes, desde el siglo XIX se ha procedido a la axiomatización de
las matemáticas, a partir por un lado de la aparición de diversas geometrías no
euclídeas -como una consecuencia precisamente, del estudio de la independencia
del postulado de las paralelas de Euclides- y, por el otro, de la crisis de los
fundamentos de la matemática se intenta un mayor rigor en la teoría matemática.
Por esto, los primeros sistemas axiomáticos se aplicaron al estudio de las
matemáticas. La matemática se concibe desde entonces como una ciencia
deductiva puramente formal y se distingue entre la matemática teórica (que es un
sistema deductivo axiomatizado) y la matemática aplicada (aquella de la que es
posible dar una interpretación real en el mundo), con lo que su interés no reside
tanto en la verdad de su contenido material, como en su aspecto deductivo.
El matemático alemán, D. Hilbert, en su obra Fundamentos de geometría (1899),
axiomatiza la geometría euclidiana, y Peano hace lo mismo con la aritmética. A
Hilbert debemos el estudio de las propiedades formales de los sistemas
axiomáticos, o axiomática, que establece en la consistencia interna de los axiomas
y en su independencia sus características fundamentales.
Los axiomas de una teoría son consistentes (es decir, no contradictorios), si
permiten deducir la verdad de un enunciado, pero no su negación.
Los axiomas son, además, independientes, si ninguno de ellos es deducible del
resto de axiomas como un teorema. En ningún caso se exige en la actual lógica
matemática que los axiomas sean evidentes.
La primera cualidad es absolutamente necesaria para la coherencia lógica de un
sistema axiomático, la segunda, aunque deseable, en caso de no poseerse significa
sólo redundancia de axiomas.
Los axiomas, en una teoría axiomatizada, no son más que símbolos; carecen de
todo contenido y en sí no son ni verdaderos ni falsos; son sólo esquemas de
enunciados. Pueden, no obstante, recibir una interpretación, refiriéndolos a un
universo de objetos, y entonces pasan a ser enunciados verdaderos o falsos. Si una
interpretación hace verdadero para cualquier caso al conjunto de axiomas, tal
interpretación es un modelo de la teoría.
El espacio llamado euclídeo, por ejemplo, el de nuestra experiencia sensorial, es
una interpretación que hace verdadera y consistente la geometría euclídea. Esta
habla sólo de símbolos, puntos, rectas, ángulos, etc., pero aplicados al espacio
definen su estructura. El conjunto de enunciados del sistema espacial es un modelo
de la teoría axiomática de Euclides.
7.4. LA VERDAD DE LOS AXIOMAS
Los argumentos deductivos válidos ni siquiera tienen que conducir siempre a
conclusiones verdaderas. Sólo cuando todas las premisas de un argumento
deductivo son verdaderas y el argumento es válido, tiene que ser también
verdadera la conclusión. Pero ¿cuándo son verdaderas las premisas de un
argumento deductivo? Las premisas de un argumento deductivo sólo pasan por ser
indudablemente verdaderas, cuando son premisas primeras. Esas premisas
primeras se llaman también axiomas. Su verdad, en efecto, parece mantenerse
firme al margen del tiempo y en todas partes, “sin que pueda, no obstante, ser
demostrada mediante un encadenamiento lógico” (G. Frege).
7.4.1. La evidencia como criterio de verdad de un axioma
¿Cuál es el criterio para la verdad de un axioma? Tomemos, por ejemplo, el axioma
noveno de los Elementos de Euclides: “El todo es mayor que la parte”. Se piensa
aquí -y así lo han hecho científicos y filósofos desde hace aproximadamente 2.000
años- que es la evidencia la que convierte en verdadero ese enunciado. El adjetivo
“evidente” significa literalmente lo que destaca a la vista, lo que “salta a los ojos” y
resulta claro y luminoso. Así como no acostumbro a dudar de la claridad del exterior
cuando el sol brilla en un cielo sin nubes, así tampoco dudo de que el todo es mayor
que las partes. Ambas cosas saltan a la vista de forma inmediata una a la vista de
mis ojos otra a la vista de mi razón. Quien intenta sin embargo, demostrar algo
evidente se asemeja -y la comparación se atribuye a Aristóteles- a quien con una
candela pretende probar la claridad cuando brilla el sol.
a) Axiomas y magnitudes infinitas
Ahora bien, en los Elementos de Euclides los axiomas están formulados de tal modo
que sólo se refieren a figuras finitas. Pero, ¿qué ocurre con magnitudes infinitas? En
unas magnitudes infinitas ¿es también el todo mayor que la parte? En efecto, si la
cantidad parcial tiene infinitos elementos ¿cómo puede la cantidad total ser todavía
mayor que la cantidad de la parte? De hecho Geor Cantor (1845-1918) en su
artículo Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengen-lehre (1895) definió las
cantidades infinitas de tal modo que el mentado axioma sea válido en cierto sentido
y en cierto sentido no: “Cada cantidad transfinita T está constituida de tal manera
que contiene cantidades parciales T las cuales son equivalentes a la misma”.
Una cantidad “transfinita” es una cantidad infinita. En las cantidades infinitas se da
el caso que el todo es mayor que la parte, como lo muestra la representación
mediante una línea de infinitos puntos, pero por otro lado no lo es:
A ---------------------------------- C ----------------------------------------------------- B
Aquí el trazo entero AB es mayor que el trazo parcial AC. Por otra parte, la cantidad
de puntos contenidos en el trazo parcial AC es igual de grande que la cantidad de
los puntos contenidos en toda la línea AB. En la terminología de G. Cantor sería “de
igual potencia” o “equipotentes”, es decir, “equivalente”, toda vez que la cantidad
parcial y la cantidad total contienen infinitos puntos Ahora bien, como una cantidad
parcial puede ser igualmente grande, “de igual potencia” (equivalente), que la
cantidad total, eso es algo que ya no salta a la vista de modo inmediato. Por eso
tenemos que establecerlo mediante un definición.
En la definición del paralelismo también se ha supuesto que se deriva de la misma
proposición verdadera, y en concreto el denominado axioma de las paralelas Esta
es la definición de las paralelas de Euclides: “Paralelas son unas líneas rectas que
están en el mismo plano y que prolongándose por ambos extremos hasta el infinito
nunca se juntan” . Mediante esa definición se ha formulado el axioma de las
paralelas que por cierto todavía no se encuentra entre los nueve axiomas de
Euclides . Según el mismo, en cada plano en el que se da una recta R y un punto P
que no está en esa recta, se da exactamente una recta R’ que pasa por ese punto y
es paralela a la recta R.
Esto parecía tan claro y evidente que hasta el siglo XIX a nadie se le ocurrió dudar
seriamente de esa verdad. La disputa se centraba en si se trataba de una primera
premisa geométrica, un axioma geométrico, o si era simplemente una conclusión,
un teorema. Hubo muchos intentos por demostrar el axioma de las paralelas; es
decir, por derivarlo como un teorema de los otros axiomas del sistema axiomático
de Euclides, pero todos resultaron defectuosos, es decir, circulares .
b) La geometría no euclídea
Pero en 1816 el matemático Carl Friedrich Gauss demostró que el axioma de las
paralelas puede derivarse de los otros axiomas, lo cual obligó a plantear la cuestión
de si se podía prescindir de él. C. F. Gauss solucionó la cuestión en sentido
afirmativo y construyó una geometría sin contradicciones y sin el axioma de las
paralelas, aunque por el momento no se atrevió a publicar sus resultados. Más
tarde también Johann Bolyai (1832) y Nikolai Lobashevski (1835) demostraron que
el axioma de las paralelas no puede derivarse de otros axiomas, y en consecuencia
se sintieron autorizados -con independencia de C. E Gauss y cada uno por su
cuenta- a construir unas geometrías en las que ya no tuviese vigencia el axioma de
las paralelas. Apareció en su lugar otro axioma que ya no tenía nada de evidente,
según el cual no se da en ningún plano ninguna paralela de una recta que pase por
un punto que no se encuentra en ella.
Algo más tarde, en 1854, Bernhard Riemann construyó una geometría, en la cual
por un punto P pasa más de una paralela. En la geometría euclidiana tenemos una
recta R’, que pasa por el punto P y que es paralela a la recta R; en las geometrías
de J. Bolyai y de N. Lobashevski no tenemos, por contra, ninguna recta R’, mientras
que en la de Riemann hay más de una recta R’, todo lo cual ya no resulta claro o
evidente de forma inmediata.
Todo esto quiere decir que la simple evidencia puede proporcionar sin duda una
referencia valiosa a la verdad de unos axiomas como, por ejemplo, el axioma
noveno o el axioma de las paralelas. Pero cuando de axiomas se trata, no siempre
es posible fiarse de la pura evidencia. Sólo a primera vista constituye la evidencia
un criterio para la verdad de los axiomas. Un criterio a primera vista es un criterio
prima facie, y un criterio de esa índole es precisamente aquel que, tras una
reflexión más profunda y pormenorizada, puede quedar invalidado.
7.4.2. Hilbert: crítica de la evidencia. El criterio de verdad de un axioma
como ausencia de contradicción lógica
Hilbert (1862-1943) ha sido el matemático más importante de la primera mitad del
siglo XX. Hilbert fue el primero que supo dar cuenta de la revolución producida por
el desarrollo de las geometrías no euclídeas. Su concepción de una teoría
geométrica, que pronto generalizó a cualquier teoría matemática o física, es el
punto de partida de una fecunda concepción de la ciencia matemática. La idea
fundamental de Hilbert estriba en que la geometría euclídea no es la prescripción
del espacio fisico, ni de la intuición espacial humana (como sostenía Kant), ni de
ninguna realidad concreta. En definitiva, la geometría euclídea no es una historia,
sino una teoría, la descripción de una estructura que puede realizarse o no
realizarse en el espacio físico, en la intuición humana, etc. Por eso puede haber
tantas geometrías distintas e incompatibles entre sí, tantas como estructuras
abstractas seamos capaces de definir, con independencia de cualquier realidad. Y
esta situación no implica contradicción ninguna pues los teoremas de que se
compone la teoría no son verdaderos ni falsos, a diferencia de las ideas de que se
compone la historia, que si son verdaderas o falsas.
Por lo dicho, Hilbert llegó en sus fundamentos de la geometría (1899) hasta el punto
renunciar a la evidencia como criterio de verdad. A los conceptos básicos de la
geometría euclidiana, como pueden ser los de punto recta, plano, corresponden
meras variables “x”, “y” y “z”, cuyos contenidos no se precisan, sino que en
principio pueden interpretarse a discreción.
De ese modo los axiomas de la geometría ya no tienen por qué seguir siendo
evidentes sino que son determinaciones arbitrariamente fijadas entre tales
variables. Esas determinaciones constituyen meros signos sintácticos vacíos de
contenido. Por lo demás, deben verse libres de contradicción y ser independientes
entre sí.
De un sistema axiomático contradictorio en sí mismo podría derivarse cualquier
consecuencia, de una contradicción lógica podría seguirse, según una ley lógica
cualquier conclusión q. Las minúsculas p y q son variables afirmativas y sustituyen
a cualquier tipo de afirmaciones concretas.
Se podría hacer, por ejemplo, la aseveración siguiente: “Si el axioma de las
paralelas es verdadero (p,) y no verdadero (p) entonces D. Hilbert es un hombre
desgraciado (q)”. Pero esta afirmación no quiso probarla D. Hlilbert en sus
Fundamentos de la geometría. Unos axiomas dependientes entre si podrían, sin
embargo, derivarse los unos de los otros, con lo cual ya no serían axiomas.
Así, D. Hilbert separa lo lógico-formal de lo manifiesto y evidente y declara como
criterio de verdad y de existencia (lógica) la ausencia de contradicción lógica. De
modo que cuando los axiomas arbitrariamente establecidos no se contradicen entre
sí con el conjunto de las consecuencias, quiere decirse que son verdaderos y por
tanto existen las cosas definidas por los axiomas. Ese es para Hilbert el criterio de
verdad y de existencia.
Sólo en un segundo paso se añade también una semántica a los términos básicos y
a los axiomas como por ejemplo, el significado de “punto”, “recta” y “plano” o el de
los axiomas euclidianos, aunque ciertamente sin el axioma de las paralelas
Ahora bien la renuncia a la evidencia como criterio de verdad tiene una
consecuencia importante. Mientras que con la evidencia aun se creía poder afirmar
que un axioma era evidente en el sentido de verdadero en sí, ahora ya no se puede
afirmar que un axioma es verdadero en sí, sino que sólo es verdadero dentro de la
comunidad lingüística que acepta dicho axioma. Asimismo un teorema sólo es
verdadero dentro del lenguaje del correspondiente sistema axiomático. La validez
universal de la verdad de unos axiomas se limita así a la comunidad lingüística de
los matemáticos que comparten esas afirmaciones y su semántica.
7.4.3. El criterio de verdad del axioma como su aceptación semántica por
una comunidad lingüística
Pero es posible ir un poco más allá. Los axiomas no tienen que ser unas
afirmaciones hechas arbitrariamente. En efecto, tan pronto como a esos signos
sintácticos les asignamos una semántica y ésta es aceptada por una comunidad
lingüística, tales asignaciones constituyen ya las reglas semánticas de una
comunidad lingüística, y tan pronto como tales reglas se han estabilizado, se
convierten en las instituciones semánticas de una comunidad lingüística. Eso
significa que el criterio de la verdad de unos axiomas no debe ser su mera
evidencia ni su fijación libre de contradicciones, sino que también puede serlo el
hecho social de su aceptación semántica estabilizada.
Una tal comunidad lingüística puede ser muy pequeña, como en el caso de las
geometrías no euclidianas, de la que forman parte los matemáticos que construyen
y enseñan una geometría de esa índole. Pero puede ser mayor, como en el caso de
la geometría euclidiana, que comprende a cuantos admiten los axiomas de
Euclides, incluido el axioma de las paralelas. Mayor aún puede ser, como en el caso
del primer axioma euclidiano: “Lo que es igual a lo mismo, es también igual entre
sí”. A este axioma se le llama también el axioma de la transitividad de la igualdad:
Si A es igual a B, y C igual a B, quiere decir que A es igual a C.
7.4.4. Axiomas metalógicos
a) Los axiomas de identidad y de no contradicción
Otro tanto cabe decir de los axiomas metalógicos de la identidad y de la no-
contradicción. En la lógica moderna también se designaron esos axiomas como
leyes del pensamiento, y se formularon así: “A es igual a A” y “A es diferente a A”.
Si sustituimos “igual” por el signo de igualdad (=), y sustituimos “diferente” por el
signo de desigualdad #, tendremos el enunciado de “A = A” y “A # A”. La lógica
moderna en su forma matemática -cuya fundación se debe a G. Frege- no habla ya,
sin embargo, de leyes del pensamiento. Frege quiso liberarse del elemento
subjetivo y de la “grasa psicológica”, que aprisiona nuestras conjeturas,
pensamientos, juicios y conclusiones, y avanzar hasta lo objetivamente verdadero.
A ello se suma el hecho de que tales axiomas no describen tanto cómo pensamos
realmente, sino que más bien prescriben cómo deberíamos pensar. Y es que
también podemos pensar efectivamente de una manera ilógica.
Pero la lógica no es la ciencia de las leyes más generales sobre lo que se tiene por
cierto, sino más bien según una definición certera de G. Frege: “La ciencia de las
leyes más generales del ser verdadero”. Según él, sólo de las leyes del ser
verdadero resultan prescripciones para tener algo por verdadero, para pensar;
juzgar; concluir.
Es decir, las afirmaciones con las que expresamos nuestros pensamientos están
dadas objetivamente de una manera perceptible para cualquiera. Los dos axiomas
metalógicos pueden aplicarse a las afirmaciones y pueden formularse de distintas
maneras.
El axioma metalógico de identidad, por ejemplo, puede formularse así: “p es
idéntico a p”; y el axioma metalógico de no contradicción, de esta forma: “No vale:
p y p”. En cada sustitución de la variable afirmativa “p” por una afirmación
concreta se obtendría para dichas leyes el mismo valor de verdad: Es lo verdadero
lo que mantiene el valor de verdad. De ahí que tales leyes se llamen también
tautologías.
En efecto, sustituyamos, por ejemplo, la variable afirmativa “p” por la afirmación
concreta “llueve”. El axioma metalógico de identidad de ambas afirmaciones
significa aquí que ambas son o verdaderas o falsas, mas no que la primera
afirmación sea verdadera y la segunda falsa, o que la segunda sea verdadera y la
primera falsa. Ambas afirmaciones tienen el mismo o igual valor de verdad. Por ello
se habla también de una equivalencia de ambas afirmaciones y se dice: “Llueve” es
equivalente a “llueve”. Dicha equivalencia puede también expresarse por una
mutua relación condicionada: Si la primera afirmación es verdadera, también será
verdadera la segunda; pero si la primera es falsa, lo será asimismo la segunda.
En el axioma metalógico de no-contradicción se da la imposición siguiente: “No vale
“llueve” y “no llueve””. Los enunciados “llueve” y “no llueve” no pueden ser (a la
vez y en el mismo lugar) verdaderos o falsos. No se condicionan entre sí, sino que
se excluyen mutuamente: Si es verdadero el “llueve”, el “no llueve” tiene que ser
falso; y si “no llueve” es falso, quiere decirse que es verdadero el “llueve”.
La ley de no-contradicción es siempre verdadera cuando se dan las condiciones
necesarias, como, por ejemplo, que se refiera a hechos que se dan en el mismo
lugar y en el mismo tiempo.
Podemos calificar de metalógicos tales axiomas, por cuanto no sólo se presuponen
desde los axiomas geométricos de Euclides, sino en general desde los axiomas del
sistema lógico especial.
Así, el primer axioma del sistema lógico de los Principia Mathematica de Russell y
Whitehead, supone ambos axiomas metalógicos: “1.1. Todo lo implicado en una
proposición elemental verdadera, es verdadero”. Este axioma afirma que de unas
premisas verdaderas se derivan conclusiones verdaderas. Tomemos, por ejemplo, el
argumento “si llueve, la calle se moja”. Supongamos además que “llueve” es una
proposición elemental. En tal caso dicho principio establece que si la premisa
“llueve” es verdadera, también lo será la conclusión “la calle se moja”. De igual
modo, la validez de un argumento deductivo presupone que la afirmación de las
premisas y la negación de la conclusión producen una contradicción lógica.
b) El escepticismo y la negación de los axiomas metalógicos de identidad y de no
contradicción
Sin duda un escéptico radical podría también negar los axiomas metalógicos de
identidad y de no contradicción Aunque difícilmente pueda darse un escéptico tal,
su posición podría, sin embargo, formularse de una manera hipotética. Pero para
negar los axiomas metalógicos, el escéptico radical tendría que empezar por
afirmarlos. En efecto, si dijera que “el axioma de identidad no es verdadero”, daría
por supuesta la afirmación siguiente: “`El axioma de la identidad no es verdadero´
es idéntico a `el axioma de la identidad no es verdadero´”. Pero si en vez del
adjetivo idéntico prefiriese el de “equivalente”, admitiría que “el axioma de
identidad no es verdadero” es equivalente a la afirmación de “el axioma de
identidad no es verdadero”. El adjetivo “equivalente” no es aquí sino un simple
sinónimo de “idéntico”. Por tanto el escéptico en cuestión presupondría en ambos
casos el axioma de identidad para luego negarlo. Pero sigamos suponiendo que el
escéptico afirmase: “El axioma de no-contradicción no es verdadero”. En tal caso
presupondría que dicha afirmación y la negación de la misma, “el axioma de no-
contradicción es verdadero”, no son verdaderos a la vez. Si hace tal suposición no
está sino afirmando el mismo axioma de no-contradicción, y al afirmarlo así, no lo
niega. Si no lo niega, tampoco puede el escéptico radical continuar sosteniendo la
negación de la ley de no-contradicción. Y no puede ya sostenerla, puesto que tiene
que afirmar esa ley para defender su negación.
Pero si el escéptico radical no puede ya sostener su posición teórica, tendría que
excluirse de un diálogo coloquial con su adversario, quedando condenado al
silencio. Y en la medida en que ya no sostiene una posición teórica sería de hecho
irrefutable, pero no lo sería por sostener una posición tal, sino porque ya no diría ni
podría decir nada preciso y concreto. En efecto, cualquier afirmación que hiciese
significaría a la vez su contrario contradictorio. En el mejor de los casos podría
todavía expresar su posición con el lenguaje corporal y mover; por ejemplo, la
cabeza con gesto crítico, cuando alguien formulase el axioma de identidad o el de
no-contradicción. Pero incluso el sentido de ese gesto negativo de cabeza seria
impreciso para los demás y para él mismo, por cuanto podría ser expresión tanto de
una negación como de un asentimiento.
c) El axioma metalógico del tercero excluido
El de tercero excluido es uno de los principios o leyes fundamentales del
pensamiento (junto con los de identidad, de no contradicción y de razón suficiente).
A.G. Baumgarten (1714-1762) lo distinguió del principio de no contradicción y le dio
ese nombre. Su formulación afirma que todo enunciado o es verdadero o es falso; y
entre estos dos valores veritativos (verdadero o falso) no admite un tercer valor,
que debe ser “excluido”; es decir, no existe nada “intermedio” o “tercero” entre
verdadero o falso, pues o es una cosa o es la otra. Su formulación lógica es (p p).
Este principio ha sido criticado por la lógica intuicionista (A. Heyting), siempre que
exista un conjunto infinito de posibilidades. Y otros (J. Lukasiewicz, A. Tarski) han
formulado una lógica trivalente, que admite tres valores de verdad -y que se ha
utilizado en la mecánica cuántica-, donde además de lo verdadero y lo falso se
admite un “tercero”: lo posible.
Pues bien, el axioma metalógico del tercero excluido, según el cual para cualquier
afirmación “p” es válida la disyuntiva “p p”, sin que se dé un tercero, no es un
axioma verdadero en cualquier sistema axiomático de lógica o de matemática. No
es válido, por ejemplo, en el de Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966). En
efecto, para Brouwer unos teoremas matemáticos o pueden ser verdaderos o falsos,
cuando son demostrables o refutables mediante una construcción. Ahora bien, no
podemos partir del supuesto de que en infinitos campos cada afirmación
matemática sea demostrable o refutable mediante una construcción y sin que
medie un tercero.
Si los platónicos como Frege consideran que los entes matemáticos son entes
existentes por si mismos y que hay que descubrir; si los formalistas como Hilbert
piensan que un ente sólo puede considerarse como matemáticamente existente si
se lo define sin contradicciones, Brouwer sostiene que sólo puede considerarse que
un ente existe matemáticamente si se logra construirlo, es decir, únicamente a
condición de que podamos dar un ejemplo de él o indicar el procedimiento que nos
permite llegar a un ejemplo similar, a través de una cantidad finita de pasos. Esta
concepción -el intuicionismo- prohíbe apelar al “infinito actual”. Y si se habla de
infinito, no se habla de él como teoría de los conjuntos, sino únicamente en el
sentido de que, por ejemplo, cada punto al que se haya podido llegar, puede verse
superado. El infinito es algo potencial, nunca actual. El infinito actual es imposible
de construir.
Por otro lado, si la existencia de un ente matemático significa su efectiva
construcción, su constitución práctica, entonces puede aceptarse aquel tipo de
demostración conocida como “ley del tercero excluido” (“para toda proposición, p o
no p”). Como es obvio, si se aceptan las reglas de los intuicionistas, es decir,
construyendo uno por uno los entes matemáticos, se evitarán los peligros de las
antinomias. En los comienzos del intuicionismo, en la década de 1920, no se
entendió dicha teoría y debido a su carga polémica, dio la sensación de que se
quería echar por la borda gran parte de la matemática clásica. En la actualidad las
cosas han cambiado; el intuicionismo ha mostrado toda su fecundidad y es una de
las corrientes mas interesantes de la matemática contemporánea.
Por ejemplo, hay números perfectos y números imperfectos. Números perfectos son
los meros naturales cuya suma es igual a la suma de sus partes. Así es perfecto 6,
por cuando 6 = 2 + 3, y es perfecto 28 pues 28 = 1+2+4+7+14 y son perfectos el
496 y otras seis cifras pares, pues también su suma es igual a la suma de sus
partes. Pero de ningún número impar se ha demostrado hasta ahora que sea
perfecto, lo cual no quiere decir que todos los números impares sean imperfectos.
En efecto, una afirmación sobre todos los números impares, como sería “todos los
números impares son imperfectos”, no se puede ni probar ni refutar mediante una
construcción, puesto que hay infinitos números impares. De ahí que para Brouwer la
ley metalógica del tercero excluido ya no es verdadera en afirmaciones sobre una
cantidad infinita de números.
d) La concepción “institucionalista” de los axiomas
Por ello podemos pensar que los axiomas no son verdaderos porque sean siempre
evidentes ni porque se establezcan sin contradicción, sino porque están
institucionalizados en una comunidad lingüística. Quien no los acepta no pertenece
a esa comunidad. Ahora bien, las instituciones de una comunidad lingüística no son
sólo leyes del ser verdadero que describen lo que ocurre en esa comunidad, sino
también reglas que prescriben lo que en dicha comunidad ha de tenerse por
verdadero. Así, la concepción institucionalizada de los axiomas no sólo muestra por
qué son verdaderos en una comunidad lingüística; muestra asimismo por qué los
miembros de dicha comunidad han de regirse por tales axiomas.
Esa concepción institucionalista de los axiomas puede resultar desilusionante. Pero
si es correcta, no existe entonces ninguna justificación absoluta para la verdad de
los axiomas, sino simplemente una justificación relativa mediante las instituciones
semánticas de la respectiva comunidad lingüística. Desde luego tienen que estar
libres de contradicción y ser independientes entre si Sobre la base de esa mera
justificación relativa no podemos ya afirmar que unos axiomas sean intemporal y
universalmente verdaderos.
7.5. LA AXIOMÁTICA Y LAS CONDICIONES BÁSICAS DE UN SISTEMA
AXIOMÁTICO
7.5.1. La axiomática
Se denomina “axiomática” a la teoría de los sistemas axiomáticos. La axiomática
antigua tiene en cuenta el contenido de los axiomas, y la axiomática moderna sólo
atiende a su aspecto formal. La axiomática moderna nace con la idea de prescindir
del sentido, o contenido, de los conceptos utilizados, en este caso, de los conceptos
geométricos, puesto que las primeras axiomáticas modernas tratan de la
geometría, para considerar sólo el aspecto de la deducción, o relación deductiva,
para poder ser suficientemente rigurosas: la axiomática es el sistema deductivo por
excelencia.
He aquí las condiciones fundamentales a las que, para ser verdaderamente
rigurosa, debe satisfacer una exposición deductiva:
1. Que sean enunciados explícitamente los términos primeros, con ayuda de los
cuales se propone definir todos los otros.
2. Que sean enunciadas explícitamente las proposiciones primeras, con ayuda de
las cuales se propone uno demostrar todas las otras.
3. Que las relaciones enunciadas entre los términos primeros sean puras
relaciones lógicas, y permanezcan independientes del sentido concreto que se
pueda dar a los términos.
4. Que sólo estas relaciones intervengan en las demostraciones,
independientemente del sentido de los términos (lo que prohíbe, en particular,
tomar prestado algo a la consideración de las figuras) .
7.5.2. El sistema axiomático de Frege
La principal ventaja de los sistemas de “primera generación” es la simplicidad de
sus reglas de derivación, que eran básicamente dos:
a) Regla de separación (o modus ponens o silogismo hipotético; tenemos “A” y “A
→ B”, por tanto”B”)
b) Regla de sustitución en los axiomas y teoremas.
Pero esta simplicidad, que es una ventaja, tiene en su contra el carácter artificial de
su construcción, que aparece ya en la elección de los axiomas. Otro problema es el
carácter pesado y aburrido en las demostraciones.
Frege propuso un sistema axiomático que tenía sólo tres axiomas, para los que se
valía exclusivamente de los operadores ““ y “→”. Estos tres axiomas son:
1. ├ p → (q → p)
2. ├ (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))
3. ├ (p → q) → (q → p)
Así, se puede demostrar que la fórmula (p → q), que parece expresar una verdad
lógica más primaria que cualquiera de los anteriores tres axiomas, es, en realidad
un teorema, obtenido por demostración: al sustituir en el segundo axioma “q” por
(“p → p”) y “r” por “p”, se obtiene una fórmula cuya forma es el axioma primero:
axioma 1 → (axioma 1) → (p → p), con lo que dos aplicaciones de la regla de
separación permiten obtener (p →p).
7.5.3. El sistema axiomático de Hilbert
Hilbert sostiene que la geometría, lo mismo que la aritmética, no exige para su
construcción lógica más que un pequeño número de principios fundamentales
simples. Y estos principios fundamentales son los llamados axiomas de la
geometría. La exposición de estos axiomas y su examen es un problema que, desde
Euclides, ha constituido el objeto de numerosas memorias notables de la ciencia
matemática Este problema lleva al análisis lógico de nuestra intuición del espacio.
Hilbert se propone establecer la geometría sobre un sistema simple y completo de
axiomas independientes y deducir de éstos los principales teoremas geométricos,
de tal manera que el rol de los diversos grupos de axiomas y el alcance de las
conclusiones que se sacan de los axiomas individuales se aclaren tanto como sea
posible.
Hilbert parte de una convención consistente en concebir tres diferentes sistemas de
seres:
1. A los seres del primer sistema los llamaremos puntos y los designaremos A, B,
C,...
2. A los seres del segundo sistema los llamaremos rectas y los designaremos por a,
b, c, ...
3. A los seres del tercer sistema los llamaremos planos y los designaremos por “...”;
los puntos serán también llamados elementos de la geometría lineal; los puntos y
las rectas, elementos de la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos,
elementos de la geometría del espacio o elementos del espacio.
Concibamos que los puntos, las rectas y planos tengan entre sí ciertas relaciones
mutuas y designemos estas relaciones por palabras tales como: “están situados”,
“entre”, “paralela”, “congruente” y “continuo”; la descripción exacta y completa de
estas relaciones tiene lugar por medio de los axiomas de la geometría.
Pues bien, los axiomas de la geometría se dividen, según Hilbert, en cinco grupos.
Cada uno de estos grupos, tomado individualmente, expresa ciertas verdades
fundamentales de la misma categoría, que derivan de nuestra intuición. Estos cinco
grupos son designados como sigue:
1. Axioma de asociación
2. Axioma de distribución
3. Axioma de las paralelas (postulado de Euclides)
4. Axiomas de congruencia
5. Axioma de la continuidad (axioma de Arquímedes)
7.5.4. El sistema axiomático de Russell y Whitehead
Whitehead y Russell exponen en Principia Mathematica, una axiomatización del
cálculo de lógica de enunciados.
Según ellos un sistema axiomático requiere
1. Una lógica básica (subyacente a toda teoría)
2. Términos primitivos (términos lógicos o no, necesarios para construir
definiciones)
3. Términos definidos
4. Axiomas o postulados del sistema
5. Reglas de inferencia (para la deducción)
6. Teoremas del sistema
Y como ejemplo concreto de sistema formal axiomático, Russell y Whitehead
proponen el siguiente, que consta de cinco axiomas:
1. (p p) → p
2. p → (p q)
3. (p q) → (q p)
4. (p (q r)) → ((p q) r)
5. (p → q) → ((r p) → (r q))
Además de estos axiomas, su sistema consta de dos reglas de inferencia:
a) Regla de sustitución: en el interior de una expresión, puede siempre substituirse
una variable de enunciado por cualquier expresión correcta, con tal de que la
variable sea substituida siempre que aparece y siempre por la misma expresión.
Así, de la expresión (p → q) → ((r s) q), sustituyendo la variable “p” por la
expresión “r s”.
b) La regla de separación.
Por lo que respecta a los símbolos primitivos y a las reglas de formación, vale lo que
indicábamos en el tema 6.
Así, partiendo de estos axiomas y con la ayuda de las reglas de inferencia, es
posible demostrar todas las expresiones universalmente válidas del cálculo de
proposiciones. Básicamente el procedimiento es el mismo que utilizamos en la
deducción natural, aplicando las reglas de inferencia. Pero, con las siguientes
diferencias:
a) Las premisas no pueden ser más que los axiomas aceptados, al menos en los
primeros teoremas probados. Una vez demostrados algunos teoremas, éstos a su
vez pueden ejercer de premisas (o de supuestos).
b) Las reglas de inferencia son sólo las dos indicadas, no cuatro, como en la prueba.
e) No se pueden introducir como premisas auxiliares tautologías, a menos que se
hayan de mostrado antes como teoremas.
7.6. CONDICIONES BÁSICAS DE LOS AXIOMAS
El conjunto de axiomas que se establezca en un sistema axiomático debe cumplir
determinadas condiciones, que a continuación explicitamos.
Los conocimientos, por amplios que sean, no forman ciencia, si no se encuentran
ordenados sistemáticamente; es decir, formando parte de un sistema lógico,
construido según las relaciones de implicación, equivalencia, etc. Aunque ninguna
ciencia real puede alcanzar un estado de absoluta “formalidad” y “pureza”,
describiremos lo que sería un sistema lógico puramente formal.
Un sistema lógico es un conjunto de proposiciones entre las que existen unas
relaciones lógicas tales que, partiendo de un pequeño número (un subconjunto) de
esas proposiciones, podemos deducir todas las demás sin añadir ninguna otra
proposición exterior al conjunto. Las proposiciones de las que partimos para deducir
las otras son los axiomas; las proposiciones que deducimos a partir de los axiomas
son los teoremas. Un sistema lógico puramente formal, pues, se compone de
axiomas y teoremas.
7.6.1. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser completos
La completud de un sistema de axiomas se dice en el sentido de que de dos
proposiciones contradictorias formuladas correctamente en los términos del
sistema, una debe poder ser demostrada. Esto quiere decir que en presencia de
cualquier proposición del sistema, ésta se puede demostrar en cualquier momento
o impugnar y, por tanto, decidir acerca de la verdad o falsedad en relación con el
sistema de los postulados. En este caso, el sistema se denomina decidible.
7.6.2. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser consistentes
Se llama consistente a un conjunto de axiomas cuando no pueden deducirse dentro
de él proposiciones que resulten mutuamente contradictorias. Evidentemente, la
consistencia es una propiedad absolutamente básica de los axiomas, puesto que un
sistema lógico con contradicciones internas se destruye así mismo. Sin embargo, es
una propiedad que resulta difícil de establecer. A lo sumo podemos estar seguros
de que hasta ahora (en el actual estadio del desarrollo de un sistema) no han
aparecido teoremas contradictorios; pero ello no puede dejarnos seguros de que no
aparezcan algún día. Más todavía: no parece existir un método general totalmente
seguro de establecer la consistencia de un conjunto de axiomas .
7.6.3. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser fecundos
Los axiomas de un sistema lógico no se eligen porque sean más evidentes que los
teoremas. Desde el punto de vista de la construcción lógica del sistema, la única
propiedad que nos interesa en un axioma es su fecundidad, es decir, su capacidad
de servir como premisa o supuesto para numerosas deducciones. A la lógica no le
interesa (pese a Frege) la verdad de las proposiciones que emplea, sino la
existencia de relaciones de implicación entre proposiciones.
7.6.4. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser coherentes
Si no son coherentes el sistema del que dependen resulta contradictorio Y que el
sistema resulte contradictorio significa que permite deducir cualquier cosa y, con
ello que se puede demostrar una proposición cualquiera, tanto como su negación.
Ya que la prueba de la no contradicción es imposible de obtener en el interior de un
sistema axiomático, nos valemos habitualmente del sistema de la reducción a una
teoría anterior, cuya coherencia nos parece bien establecida, por ejemplo, a la
geometría euclidiana. Sin duda, este procedimiento no equivale a una demostración
de no contradicción, pero suministra un dato importante. Otro procedimiento es la
realización, es decir, la referencia del sistema a un modelo real, sobre el supuesto
de que lo que real debe ser posible, y, por tanto, no contradictorio.
7.6.5. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser independientes
La independencia equivale a la irreducibilidad recíproca. Esta condición no es tan
indispensable como la de la coherencia, pero es oportuna para evitar que las
proposiciones primitivas resulten ser numerosas en exceso. Que sea independiente
quiere decir que tiene que ser imposible deducir uno cualquiera de los axiomas del
resto de los otros: los axiomas deben ser mutuamente independientes. Sólo si
existe esta mutua independencia entre los axiomas, podrá distinguirse claramente
dentro del sistema entre axiomas y teoremas. A lo largo de la historia de las
ciencias, los intentos de establecer la independencia dentro de un conjunto de
axiomas ha llevado a veces a importantes descubrimientos .
7.6.6. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser categóricos
Un sistema axiomático es categórico si todos sus modelos son isomórficos. Cuando
se intenta caracterizar a una noción por medio de un conjunto de axiomas es
esencial que los axiomas sean consistentes, es decir, que exista al menos un
modelo. De no ser así cabría decir, por ejemplo que un punto es lo que satisface
tales y tales axiomas, mientras se ignorase que nada puede satisfacer esos
axiomas.
7.6.7. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser pocos y simples
El menor número posible y la simplicidad de los axiomas son condiciones deseables,
que confieren la elegancia lógica y la sencillez a un sistema axiomático. Pero, por
otra parte, si los axiomas son consistentes, nos enfrentamos con otro problema:
puede haber demasiados modelos. Un sistema axiomático que tenga exactamente
un modelo no existe, y así, el intento de caracterizar a un modelo de forma única
por el procedimiento de dar axiomas no puede tener éxito. Todo sistema axiomático
que sea consistente tendrá un número infinito de modelos. Lo más que podemos
esperar, por tanto, es que los modelos del sistema axiomático, aunque pueden ser
numerosos, sean isomórficos, es decir, que tengan la misma estructura.
7.7. LA INDECIBILIDAD DE LOS SISTEMAS AXIOMÁTICOS
7.7.1. Kurl Gödel
Kurt Gñdel (1906-1978), nacido en Brno (República Checa), fue un matemático y
lógico, miembro del Círculo de Viena, que tras las Segunda Guerra Mundial enseñó
en Princenton (New Jersey).
En 1928, Hilbert había planteado el problema de la completud de la teoría de los
números, preguntándose si los axiomas de Peano, pertenecientes a la teoría
elemental de los números, eran capaces o no de demostrar o de refutar todas las
proposiciones de aquella teoría. En 1931, Kurt Gödel demostró (en su escrito
Proposiciones formalmente indecidibles de los “Principia Mathematica” y de
sistemas afines) que no es posible construir una teoría axiomática de los números
que posea la completud propuesta por Hilbert. Pero las cosas llegaron mucho más
allá, ya que de este primer resultado Gödel extrajo el corolario según el cual un
cálculo lógico, con potencia suficiente para formalizar la aritmética elemental, si es
coherente, es de un tipo que hace que en él sea indemostrable la fórmula que
expresa su coherencia La coherencia de la aritmética, por lo tanto, no se puede
obtener utilizando los instrumentos pertenecientes al sistema formal mediante el
cual se expresa la aritmética. Dicho resultado señalaba con toda claridad el fracaso
del programa hilbertiano (dado que los métodos finitistas utilizados por Hilbert para
demostrar la no contradictoriedad de la aritmética también son formalizables en el
interior del sistema axiomático de la aritmética). Gödel puso de manifiesto que
resultaba imposible una prueba puramente sintáctica de la no contradictoriedad de
un sistema formal, por lo menos cuando es tan complejo de expresar como la
aritmética elemental. A partir de aquel momento la garantía de la coherencia de los
sistemas formales o de los cálculos se buscaría en las interpretaciones que sean
modelos de dichos cálculos.
7.7.2. El teorema de Gödel
Como hemos dicho, en 1931 propuso su debatido teorema o “prueba”, que lleva su
nombre -también llamado teorema de la incompletitud-, que roza los límites de la
paradoja, donde arremete contra el proyecto de conseguir una axiomatización
completa de la matemática y la lógica. Ese proyecto, criticado por Gödel, pretendía
conseguir un sistema lógico en el cual tuviera cabida la matemática y que sostenía
que dicho sistema poseía completitud y consistencia. Por el contrario, Gödel
propuso su teorema de la incompletitud e inconsistencia simultánea de cualquier
lógica o sistema matemático.
En realidad la gödelización propone dos teoremas y no sólo uno. El primer teorema
sostiene que todo sistema de axiomas que sea consistente y capaz de incluir la
teoría formal de la aritmética es necesariamente incompleto, es decir, que ese
sistema de axiomas contiene algún teorema que, a pesar de ser verdadero, no
puede deducirse del sistema.
Y el segundo teorema es complementario y consecuencia del primero y establece
que no es posible probar la consistencia de un sistema formal de la aritmética con
los solos medios que dicho sistema proporciona, por lo que no siendo la
consistencia un teorema del sistema, ha de probarse desde fuera del sistema.
7.7.3. El teorema de la incompletud de la aritmética de Gödel
Dicho breve y simplemente -lo que no es sencillo-, Gödel sostiene lo siguiente: en
cualquier sistema formal (lógico o matemático) que sea consistente y en cuyo
interior se pretenda desarrollar acabadamente la lógica o la matemática, existen
proposiciones de dicho sistema que son indecidibIes, esto es, que ni su afirmación
ni su negación son demostrables, siendo una de ellas, precisamente, la que afirma
que el sistema es consistente (sosteniendo que es imposible que en su interior
existan contradicciones). Dicho de otra forma: no se puede demostrar la no-
contradictoriedad de un sistema matemático formalizado dentro del mismo sistema.
Gödel afirma, entonces, que en cualquier sistema lógico o matemático, por
exhaustivo que sea, existe, al menos, un teorema o proposición que no es decidible;
es decir, que aunque sea verdadero, no puede deducirse del mismo sistema En
otras palabras, sostiene la imposibilidad de probar que un sistema formal aritmético
es consistente apoyándose únicamente en dicho sistema, ya que la consistencia del
mismo es uno de sus teoremas, por lo cual la consistencia de ese sistema deberá
apoyarse desde otros apoyos, externos a dicho sistema. Por ello hay que sostener
que no existe ningún sistema axiomático lógico o matemático que sea completo y
consistente.
7.7.4. El teorema de completud de la lógica cuantificacional de primer
orden de Gödel
En 1930 Gödel demostró la completud de la lógica cuantificacional de primer orden.
Literalmente el Teorema de completud de Gödel establece: “Para toda fórmula A de
la lógica cuantificacional de primer orden, si A es lógicamente verdadera, entonces
A es deducible”. Dicho formalmente: “Si a ╞A, entonces ├A”.
La prueba del Teorema de Gödel se basa en afirmar las siguientes cinco premisas:
1. A es lógicamente verdadera: ╞A.
2. Si A es lógicamente verdadera, entonces A es insatisfacible.
3. Si A es insatisfacible, entonces A es inconsistente.
4. Si A es inconsistente, entonces da lugar a contradicción, es decir, se sostiene
que “A ├B”, y “A ├ B”.
5. Si “A ├B” y “A ├ B”, entonces ├A.
Aceptadas las cuatro primeras premisas, y aplicando la regla modus ponens,
empezando por la premisa 2 y 1 y siguiendo con 3 y el consecuente de 2, y así
sucesivamente, hasta liberar el consecuente de 5: ├A, que es precisamente la tesis
del teorema de Gödel, el cual queda, por tanto, demostrado.
7.7.5. El sentido de los teoremas de Gödel
El teorema de Gödel ha sido entendido en el siguiente sentido: la lógica es incapaz
de formalizar la deducción necesaria para fundamentar definitivamente cualquier
conocimiento de algún interés teórico.
Por este camino de interpretación cada vez más laxa y vaga del teorema de
incompletud de Gödel, algunos filósofos han llegado a afirmar que el resultado de
Gödel demuestra “el fracaso de la lógica” o hasta “el fracaso de la razón”. Pero,
“estas afirmaciones carecen de fundamento, como puede verse por las siguientes
consideraciones. En primer lugar; lo único que demuestra el teorema de Gödel es
que resulta imposible conseguir un conjunto de axiomas y un juego de reglas de
transformación que suministren todas las verdades formales expresables en el
lenguaje de la lógica de predicados...
“En segundo lugar, el hecho de que la lógica misma haya descubierto y demostrado
los límites o la inviabilidad de una realización universal del programa algorítmico,
en su forma clásica, es más bien un éxito que un fracaso de la actividad capaz de
tal resultado. El resultado mismo significa que el pensamiento racional puede saber
cuáles de sus actividades son algoritmizables, ejecutables (en principio)
mecánicamente, y cuáles no; cuáles son, como suele decirse, trabajo racional
mecánico, y cuáles trabajo racional productivo. Fracaso del pensamiento es más
bien la situación en la cual el pensamiento no sabe cuál es el alcance de su
actividad, como suele ocurrir, dicho sea de paso, a muchos filósofos” .
7.8. EL TEOREMA DE SATISFACCIÓN DE HENKIN
Gödel presentó su célebre teorema de la completud de la lógica cuantificacional de
primer orden en 1930. Pero su complejidad hizo que se hiciera célebre otra prueba,
presentada en 1949 por Henkin, y que denominó “teorema de satisfacción”, según
el cual todo conjunto de fórmulas (toda fórmula) que sea consistente es satisfacible.
Y de este teorema se sigue, como corolario, el de la completud de Gödel. Así, el
teorema de la completud es reducido al problema previo de autorizar el paso de la
consistencia a la satisfacibilidad.
El teorema de Henkin establece que “para cualquier conjunto de fórmulas (A) de
lógica elemental, si A es consistente, entonces A es simultáneamente satisfacible
en un modelo enumerable”. La demostración del teorema comienza extendiendo al
máximo el conjunto de fórmulas “A” por adición sucesiva de toda fórmula posible
que sea compatible con él, es decir, que no atente contra sus consistencia. El
resultado será un conjunto consistente máximo que incluye al anterior. Este
conjunto es no sólo consistente, sino que además abarca toda fórmula consistente.
7.9. EL TEOREMA DE LA SIMULTANEIDAD, DE SATISFACIBILIDAD Y
CONSISTENCIA DE LÖWENHEIM-SKOLEM
Del teorema de Henkin se infiere como corolario el teorema de Löwenheim-Skolem,
que afirma:
a) Si un conjunto de fórmulas A es simultáneamente satisfacible, entonces es
consistente (afirmación convergente con la de Henkin). Y sabemos que las reglas
de inferencia transmiten la propiedad de ser verdadero a las fórmulas a las que
dichas reglas se aplican válidamente.
b) Si un conjunto de fórmulas A es consistente, entonces es simultáneamente
satisfacible en un dominio enumerable (lo que también sostiene el teorema de
Henkin).
c) Admitidas a) y b) se sigue, por doble aplicación del modus ponens, la tesis del
teorema: “A” es simultáneamente satisfacible en un dominio enumerable.
7.10. EL TEOREMA DE INDECIBILIDAD DE CHURCH
En 1936 Alonzo Church demostró la imposibilidad de encontrar un procedimiento
mecánico decisorio adecuado para la lógica elemental, incluyendo la lógica
cuantificacional poliádica.
Este teorema de Church es, junto a teorema de la incompletitud de Gödel, uno de
los denominados teoremas de limitación, que pusieron en crisis la ilimitada fe que
hasta entonces se depositaba en los métodos axiomáticos y dieron lugar a una de
las corrientes más fecundas de la investigación lógico-matemática: la teoría de la
computabilidad.
Desde Ramón Llull (con su Ars Magna) pasando por Leibniz y hasta Hilbert, se
defendía que todo problema lógico y matemático (Llul creía que hasta teológico),
podría ser resuelto por procedimientos mecánicos decisorios. Para Hilbert el
problema fundamental de la lógica matemática era precisamente la decisoriedad
mecánica.
Y cinco años antes de la propuesta de Church, Gödel demostró que todo sistema
axiomático que pretenda formalizar la aritmética elemental es incompleto. Y ahora
Church probaba la indecibilidad de la aritmética y, después de esto, la indecibilidad
de la lógica elemental, con su célebre teorema.
Según él, toda función efectivamente calculable es una función recursiva.
Partiendo del teorema de Gödel, Church probó que no es posible hallar una solución
general para el problema de la decisión en teoría elemental de números, es decir,
que el sistema formal de la aritmética es indecidible.
Y entonces Church demostró que el caso general del problema de la decisión para
un sistema formal de lógica elemental es insoluble, es decir: la lógica elemental de
la cuantificación es indecidible (teorema de Church).
El interés fundamental de este teorema consiste en que por él se establece, o se
quiere establecer, la no mecanicidad de la lógica formal. Pues si bien es cierto que
existen algoritmos (procedimientos de decisión) que permiten resolver de modo
mecánico grandes grupos de problemas de la lógica elemental, según este
teorema, no existe ni puede existir un algoritmo que los resuelva mecánicamente
todos. De aquí se deduce que la operación deductiva de la razón no es totalmente
mecanizable.
En opinión de Church sólo existe un algoritmo que solucione un problema lógico o
matemático si existe una “máquina de Türing” que pueda computerizarlo. De este
modo, para Church, la mente humana es como una máquina de Türing, pero más
imperfecta.
7.11. EL SUEÑO ROTO: ¿VERDAD EN LAS MATEMÁTICAS?
No sólo la filosofía sino también en la matemática se ha encontrado el racionalismo
con limitaciones. El concepto de “verdad matemática” se ha vuelto problemático.
Entre los matemáticos circula este chiste: “Dios existe porque la matemática está
exenta de contradicción, y el diablo existe porque la no contradicción no se puede
probar”.
En efecto, doscientos años después de Descartes la matemática entró en una crisis
tan radical que muchos matemáticos, pese a los pequeños éxitos, perdieron la
confianza en conseguir la verdad con la matemática. Hasta entonces su progreso
parecía rectilíneo, constante e irresistible. Su aplicación a la mecánica celeste, a la
electricidad, a todos los sectores de las ciencias naturales y técnicas ha traído
enormes progresos en la humanidad. ¿Podría hacerse realidad el sueño de
Descartes de una ciencia matemática universal? Ya Leibniz, apelando a Raimundo
Lulio, trató de elaborar un lenguaje matemático unitario, postulando una
characteristica de la razón en virtud de la cual las verdades de razón serían
alcanzables mediante el cálculo, al igual que en la aritmética y en el álgebra,
aplicando un método deductivo.
La lógica matemática de los siglos XIX y XX intentó verificar la idea de Descartes y
Leibniz. Pero en la segunda mitad del siglo XIX la teoría de los conjuntos, base de la
actual matemática, iniciada por Georg Cantor (1854-1918) hizo temblar la no
contradicción y la incontestabilidad de la matemática. El posterior desarrollo de la
teoría de conjuntos trajo consigo antinomias y contradicciones: algunos asertos,
relacionados con el concepto de “infinitud”, podían ser al mismo tiempo probados y
refutados matemáticamente.
Sirva como ejemplo la antinomia lógico-matemática de Russell (y también de Burali
y Forti) denominada el “conjunto de todos los números ordinales”: Sobre cada
conjunto de números ordinales hay un número ordinal que es mayor que todos los
números ordinales que aparecen en el conjunto. Ahora bien, todo número ordinal
que es mayor que el “conjunto de todos los números ordinales” no puede aparecer
en este conjunto (‘pues es mayor que él”), pero (también así se puede probar) debe
aparecer en dicho conjunto, ya que de lo contrario no se trataría del conjunto de
todos los números ordinales.
De esta forma, la superación de las antinomias lógico-matemáticas provocó en la
misma matemática una crisis radical de enormes consecuencias. El intento de
salvar la crisis vino por tres caminos o escuelas matemáticas, como hemos visto,
que en sí son lógicas, pero que son entre sí son contradictorias: 1) el logicismo
(Frege, Russell, Whitehead); 2) el intuicionismo (Brouwer); y 3) el formalismo
(Hilbert, H. Weyl). Pero ni el logicismo (que reduce la matemática a la lógica), ni el
intuicionismo o constructivismo (que pretende fundamentar la lógica partiendo de
las intuiciones básicas de la matemática), ni el formalismo (que quiere desarrollar la
lógica y la matemática a un tiempo de modo puramente formal), han podido
imponerse por el momento.
A la vista del papel que la matemática desempeña en nuestra actual imagen del
mundo resulta de gran interés para la filosofía el hecho de que los matemáticos,
con medios puramente matemáticos, han mostrado que hay problemas
matemáticos que no pueden ser tratados con los recursos de la matemática de
cálculo. Existen ciertos límites “naturales” de la capacidad del homo sapiens para la
matematización. Por esto hoy los matemáticos abogan por una matemática sin
ilusiones. La actual situación de la matemática llega a “causar lástima” a algunos
(como M. Kline). Su pretensión de verdad ha debido ser abandonada. Los esfuerzos
realizados por eliminar las paradojas y asegurar la consistencia de las estructuras
matemáticas han fracasado. La discrepancia es total en lo concerniente a los
axiomas que han de aplicarse. Hoy, aparte de la variedad de geometrías y álgebras,
se da otro hecho además indudable: se tiene la libertad de aceptar o rechazar el
axioma de elección y también la hipótesis del continuum. De las diferentes
posibilidades de elección pueden surgir también matemáticas distintas. Incluso
existen diferentes concepciones sobre los métodos de demostración. De esta forma,
hay que desistir de la pretensión de una argumentación irrecusable. El concepto de
matemática como “conjunto de estructuras”, cada una de las cuales está basada en
sus propios axiomas, es incapaz de abarcar todo lo que supuestamente debería
abarcar la matemática.
Sigue abierta, pues, la cuestión de los fundamentos últimos y del significado último
de la matemática y de su verdad. Ni sabemos cuál es el camino que debemos
seguir ni sabemos si se logrará cimentar una verdad matemática incuestionable.
Pese a esto, el trabajo cotidiano de la matemática sigue adelante con asombrosos
avances; la ciencia natural y la técnica siguen avanzando. Pero las pretensiones de
universalidad de la verdad matemática se han visto sacudidas en su línea de
flotación. En definitiva, para una absolutización de la verdad matemática existen
hoy menos razones que nunca.
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