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El examen consta de dos tipos de preguntas. De la 1 a la 5 son de completar en los espacios y de la 6 a la 7
de seleccionar la respuesta correcta e indicarla en la tabla adjunta.
Tabla de respuestas de las preguntas 6 a 22
6 a b c d 12 a b c d 18 a b c d
7 a b c d 13 a b c d 19 a b c d
8 a b c d 14 a b c d 20 a b c d
9 a b c d 15 a b c d 21 a b c d
10 a b c d 16 a b c d 22 a b c d
11 a b c d 17 a b c d
Complete en los espacios.
(16 puntos)
1) Sea f la función dada por la ecuación
4,148
42,2
22,2log
2 xxx
xx
xx
xf
a) 2f _______
b)
__________lim2
xf
x
c) ________lim
4
xfx
d) 4f
__________
e) La función f es discontinua en el(los) punto(s)
_____________
f) El (los) puntos en los que f no es derivable son:
_____________
2) Se está extrayendo agua de un depósito y el volumen
de agua extraída V (en litros) después de t minutos
es 2801600)( tttV
a) La razón media de cambio de la salida del agua
del depósito, durante los 5 primeros minutos
es: _________________________
b) La velocidad con la que sale el agua 5 minutos
después de iniciada la extracción es:
_______________________
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Cálculo Diferencial
Examen final Diciembre de 2012
NOMBRE: _____________________________________________________________________________________
GRUPO: ________________ CALIFICACIÓN: __________
CONSIDERACIONES PARA EL EXAMEN
- No se permite el uso de calculadora. - Tiempo máximo una hora y cincuenta minutos.
- No se pueden consultar apuntes, libros, tablas o - Los celulares deben estar apagados. compañeros.
Puntaje: 50 puntos
3) La gráfica muestra la función de posición de un
automóvil, donde s es la posición en metros y t el
tiempo en segundos. De acuerdo con la forma de la
gráfica se puede afirmar que:
a) Al comparar la rapidez del automóvil en los
puntos B y C , es mayor en el punto ____
b) La velocidad media del automóvil entre B y D
fue (menor, mayor ó igual)______ que la
velocidad que llevaba en C
4) Un punto se está moviendo sobre la gráfica de la
función 12 2 xy , de modo que la abscisa
cambia a una razón dt
dxde 2 scm/ . La razón de
cambio de la ordenada dt
dy cuando el punto tiene
abscisa 1x es igual a _______
5) De la gráfica de la función f con ecuación
3/23/1 3)( xxxf
y derivadas
3/13/2 3
1)(
xx
xxf y
3/43/5 3
2)(
xxxf
se puede afirmar que:
a) El dominio de la función es _________________
b) El(los) intervalo(s) de decrecimiento son
_________________,
c) Tiene extremo(s) relativo(s) en ____________,
d) El(los) intervalo(s) en donde es cóncava hacia
abajo es(son) _______________,
e) Tiene punto(s) de inflexión en ____________
Para las preguntas 6 a 21 seleccione la respuesta correcta e indíquela en la tabla que está dispuesta al final del cuestionario (Cada punto vale 2 para un total de 34 puntos)
6) Si 7lim3
xfx
de las siguientes afirmaciones
I. f es continua en 3x
II. f es diferenciable en 3x
III. 73 f
Se puede concluir que son verdaderas:
a) Ninguna
b) Solamente III
c) Solamente II
d) Solamente I y II
7) De la función f con ecuación 1
123 2
x
xxxf , se
puede afirmar que:
a) La gráfica tiene asíntota horizontal en 1y
b) La gráfica tiene asíntota vertical 1x
c) La función tiene discontinuidad removible en
1x
d) La función tiene discontinuidad no removible ó
esencial en 1x
8) Sea la función f tal que
02
2lim
2
x
fxf
x. Se
puede afirmar que:
a) Cuando x se aproxima a 2, el límite de xf no
existe
b) La función no está definida en 2x
c) La función es discontinua en 2x
d) La derivada de f en 2x es 0
9) A continuación se presenta la gráfica de la función f
La mejor aproximación de la gráfica de la derivada
f es:
a)
b)
c)
d)
10) La pendiente de la recta tangente a la curva
2
1
1y
x
en el punto 11,
2
es:
a) 1
2 2
b) 1
2
c) 1
d) 1
2 2
11) Elxsen
x
x 20 2
cos1lim
es:
a) 0
b) 8
1
c) 4
1
d) No existe
12) La derivada yde la función xxy ln , es:
a) 2
ln ln
x
xx x
b) xx x ln/1
c) x
xx x ln2 ln
d) x
xx x lnln
13) La pendiente de la recta tangente a la curva
0132 xyy en el punto 1,2 es:
a) 0
b) 4
3
c) 2
3
d) 1
14) La función 23 xxg , tiene rectas tangentes con
pendiente 3 en:
a) Un punto
b) Dos puntos
c) Tres puntos
d) Ningún punto
15) La aproximación lineal por la recta tangente de la
función 2( ) xf x e en 0x es:
a) 1y x
b) 2 1y x
c) 2 1y x
d) 2 1y x
12
6
16) El valor de c que satisface la conclusión del
teorema del valor medio para la
función 23 2xxxf en el intervalo 2,0 es:
a) 1
b) 21
c) 2
d) 34
17) La gráfica de )(xgy que satisface
simultáneamente las siguientes tres condiciones
0,0)( xparaxg
20,0)( xparaxg
2,0)( xparaxg es:
a)
x
y
c)
x
y
b)
x
y
d)
x
y
18) Si la base de un triángulo aumenta a una tasa de
3 pulgadas por minuto y la altura correspondiente
disminuye a una tasa de 3 pulgadas por minuto,
entonces la tasa a la que cambia el área:
a) Es constante b) Aumenta todo el tiempo c) Disminuye solamente cuando la base es
mayor que la altura d) Disminuye solamente cuando la base es
menor que la altura
19) El área máxima del rectángulo inscrito en un triángulo escaleno de base 12 cm y altura 6 cm, es:
a) 18 2cm
b) 24 2cm
c) 16 2cm
d) 20 2cm
20) Halle una función f tal que 3)( xxf y la recta
0 yx sea tangente a la gráfica de f
a) 4
4xxf
b) 4
3
4
4
x
xf
c) 14
4
x
xf
d) 14
4
x
xf
21) Para calcular la integral b
a
dxx2 , por medio del límite
de las sumas de Riemann, con subintervalos de igual longitud y escogencia del extremo derecho, se debe usar la expresión:
a) n
abk
n
aba
n
kn
2
1lim
b) n
ab
n
kaba
n
kn
1
2
lim
c) n
abk
n
abab
n
kn
2
1lim
d) n
abk
n
abb
n
kn
2
1lim
22) Si f es integrable, 3
3
0
dzzf y 7
4
0
dzzf ,
entonces de la integral dzzf4
3
se puede afirmar
que:
a) No es posible determinarla
b) Es igual a 4
c) Es igual a 4
d) Es igual a 10
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