9.4 Inecuaciones Fraccionarias e Irracionales 5to...

434 Álgebra 435Und. 9 Inecuaciones

9.4.1. Inecuación fraccionaria

9.4.1A. Definición

Sean P(x) y Q(x) son polinomios cuyos grados son mayor o igual que 0 y 1, respectivamente, tal que Q(x) ≠ 0, se denomina inecuación fraccionaria a toda desigualdad que presenta alguna de las siguientes formas.

PQ

PQ

PQ

PQ

( )( )

; ( )( )

; ( )( )

; ( )( )

xx

xx

xx

xx

< ≤ > ≥0 0 0 0

9.4.1B. Resolución de la Inecuación

Para resolver una inecuación fraccionaria se procede de un modo similar a lo expuesto en el ítem 9.3.3B, estableciendo en los primeros pasos una ligera variación. Veamos:

1er Paso.- Al trasladar todos los términos de la inecuación al primer miembro se debe obtener una fracción donde el numerador y denominador deben ser polinomios con coeficiente prin-cipal positivo.

2do Paso.- Se factoriza totalmente a cada término de la fracción, es decir, a los polinomios del numerador y denominador.

3ero Paso.- Se determinan los puntos de corte por parte del denominador lo cual se consigue igualando a cero cada uno de sus factores. Se trazan redondeles en blanco en la RN para cada punto encontrado.

La razón de activo, RA, de un negocio se defi-ne como el cociente de sus activos circulantes (efectivo, inventario de mercaderías y cuentas por cobrar), a sus pasivos circulantes PC, (prés-tamos a corto plazo e impuestos). En cierto mo-mento del año 2007 la compañía Ace Sports Equipment, solicitó un préstamo de x millones de dólares, para lo cual la entidad financiera planteó que la razón de activo fuera:

RA ACPC

= xx

→ ++ ≥40

82 5, ;

expresión llamada desigualdad fraccionaria.

9.4 Inecuaciones Fraccionariase Irracionales

4to Paso.- Se determinan los puntos de corte por parte del numerador lo cual se consigue igualando a cero cada uno de sus factores. Se trazan redondeles en la RN para cada punto encontrado en blanco o en negro, según la relación de desigualdad sea estricta (<, >) o doble (≥, ≤) respectivamente.

5to Paso.- Se anotan los signos (+) y (–) de los intervalos definidos por los puntos de corte del numerador y de derecha a izquierda.

6to Paso.- La solución estará dada por las zonas (+) o (–) según la relación de desigualdad sea (>, ≥) o (<, ≤).

Ejemplo.- Resolver: xx x

2

2 21

− −≥

Trasladando al primer miembro: xx x

x x xx x

2

2

2 2

221 0 2

20

− −− ≥ → − + +

− −≥

Reduciendo términos: xx x

+− −

≥22

02

Factorizando cada término: x

x x+

+ − ≥21 2

0( )( )

Los puntos de corte son: x + 2 = 0 ; x + 1 = 0 ; x – 2 = 0

x = -2 ; x x= =- ;extremos abiertos

1 2

En la recta real tenemos:

Elegimos las zonas positivas porque la relación es ≥, luego: CS = [-2; 1⟩ ∪ ⟨2; ∞⟩

9.4.1C. Método de los puntos de referencia

C1. Fundamentos del método

El método de los puntos de referencia permite determinar las raíces de una inecuación de gra-do mayor o igual a 2 y se fundamenta en un algoritmo constituido por un conjunto de pasos lógicamente estructurados y cuya secuencia garantiza la identificación de todas las raíces de una inecuación de 2do grado e incluso de grado superior.

C2. Aplicaciones

Este algoritmo se emplea para resolver inecuaciones fraccionarias, es decir, de la forma P( )Q( )

xx

> 0 (< 0), donde P(x) y Q(x) son polinomios con coeficientes principales positivos, como

por ejemplo:

4 13

0 3 12

0 4 3 02

2

2

7 33x

x xx xx x

x x−+

> − ++

< − + >; ( ) ( )( )

;

436 Álgebra 437Und. 9 Inecuaciones

C3. Descripción del método

El método está constituido de los siguientes pasos:

1er Paso.- Expresar la desigualdad racional P( )Q( )

xx

> 0 (< 0), con los polinomios P(x) y Q(x) fac-torizados.

2do Paso.- Se determinan todas las raíces reales de ambos polinomios y se marcan con peque-ños redondeles en la recta numérica real. Las raíces reales se encuentran igualando a cero cada uno de los factores de P(x) y Q(x).

3er Paso.- Comenzando sobre la recta, de derecha a izquierda, se traza una curva que pasará por todos los puntos marcados, teniendo en cuenta que al pasar por una raíz de multiplicidad* impar la curva cruza la recta, mientras que al hacerlo por una de multiplicidad par la curva se queda, o «rebota», por el mismo lado de la recta.

4to Paso.- Se eligen los intervalos de acuerdo con el sentido de la desigualdad:

i) P( )Q( )

xx

> 0 , se consideran los intervalos ubicados sobre la recta.

ii) P( )Q( )

xx

< 0 , se consideran los intervalos ubicados debajo de la recta.

La unión de todos estos intervalos es el conjunto solución de la desigualdad dada.

* La multiplicidad, es el término referido a las veces que una raíz está contenida en el conjunto solución. Este número viene dado por el grado del factor en el que se encuentra la raíz.

Ejemplo 1.- Resolver: (x ) (x )x (x )7 3− +

+<3 1

2

20

1er Paso.- En la inecuación dada ya se cumple con la primera condición pues se observa que el numerador y denominador están factorizados.

2do Paso.- Determinamos las raíces:

a) Las raíces reales del numerador son:

a1. (x – 3)2 = 0 → x = 3 (multiplicidad par)

a2. (x + 1) = 0 → x = -1 (multiplicidad impar)

b) Las raíces reales del denominador son:

b1. x7 = 0 → x = 0 (multiplicidad impar)

b2. (x + 2)3 = 0 → x = -2 (multiplicidad impar)

c) Ubicación de las raíces encontradas sobre la recta numérica:

3er Paso.- Trazamos la curva por todos los redondeles:

Observa que 3 es una raíz de multiplicidad par: (x – 3)2, por tal razón, aquí la curva queda del mismo lado («rebota»), en cambio en las demás, la curva cruza la recta.

4to. Paso.- Dado que el sentido de la desigualdad de nuestro ejemplo es <, el conjunto solu-ción vendrá dado por la unión de todos los intervalos ubicados debajo de la recta, los cuales hemos señalado como regiones sombreadas:

⟨-∞; -2⟩ y ⟨-1; 0⟩

Luego tenemos que: C.S = ⟨-∞; -2⟩ ∪ ⟨-1; 0⟩

Aclaremos, también, que en caso de desigualdades racionales no estrictas PQ

( )( )xx

≥ 0 ó bien PQ

( )( )xx ≤ 0, las raíces reales del numerador se marcan con redondeles sombreados y se incluyen

en la solución.

Ejemplo 2.- Resolver: ( )( )x x x x x x

2 2

26 6 5

4 3− − − +

− + ³ 0

Con el propósito de esquematizar el procedimiento, te presentamos la resolución así:

Factori-zamos los tér-minos

( )( )( )( )( )( )

x x x x x x

− + − −− − ≥3 2 5 1

3 10

Reducimos la expresión reco-nociendo que:

a) x – 3 ≠ 0 → x ≠ 3

b) x – 1 ≠ 0 → x ≠ 1

( - )( )( - )( - )( - ) ( - )

x x x x x x

3 2 5 13 1

0+ ≥

Elabora-mos la gráfica Sombreamos por arriba ya que el

sentido de la desigualdad ≥, es hacia la derecha.

Identi-ficamos

las raíces

→ (x + 2)(x – 5) ≥ 0

x + 2 = 0 → x = -2

x – 5 = 0 → x = 5

Recono-cemos

los inter-valos

438 Álgebra 439Und. 9 Inecuaciones

De este último esquema, los redondeles en blanco representan a los valores inadmisibles, de modo que no deben ser considerados en el conjunto solución de la inecuación dada. Por tanto:

C.S = ⟨-∞; 2] ∪ [5; +∞⟩ – {1}

9.4.2. Inecuaciones con radicales

Sean F(x) y H(x) dos expresiones racionales (polinomios o fracciones) y m ∈ N | m ≥ 2,

Una inecuación con radicales o inecuación irracional, es la desigualdad que presenta alguna de las siguientes formas:

F( ) > H( ) ; F( ) < H( ) ; F( ) H( ) F( ) m m m mx x x x x x x≥ ∨ ≤≤ H( )x

9.4.3. Resolución de una inecuación con radicales

Para resolver una inecuación irracional se debe tener en cuenta al índice que presenta el signo radical y al signo de relación.

9.4.3A. Si: F( )2n x > H x( )

La resolución considera dos casos, veamos:

Caso (A): F(x) ≥ 0 ∧ H(x) ≥ 0 ∧ F(x) > [H (x)]2n

Caso (B): F(x) ≥ 0 ∧ H(x) < 0

Siendo la solución de la inecuación, la unión de los dos casos.

9.4.3B. Si : F( ) H2n x < ( )x

La resolución plantea: F(x) ≥ 0 ∧ H(x) > 0 ∧ F(x) < [H(x)]2n

9.4.3C. Si : F( ) H2n 1 x+ > ( )x

La resolución plantea: F(x) > [H(x)]2n + 1

9.4.3D. Si : Fn ( ) ( )x x2 1+ <

La resolución plantea: F(x) < [H(x)]2n + 1

Observación.- Para resolver una inecuación irracional de índice impar no existe ninguna res-tricción, basta elevar ambos miembros de la inecuación a un exponente que elimine el signo radical y a continuación proceder a resolver la nueva inecuación obtenida, teniendo en cuenta los diversos criterios de resolución vistos hasta aquí.

Prob. 01.- Resolver: 2 11

1xx

−+

>

A)⟨-∞;-2⟩∪⟨1;∞⟩ B)⟨-∞;-1⟩∪⟨3;∞⟩ C)⟨-∞;-1/2⟩∪⟨1;∞⟩

D)⟨-∞;1⟩∪⟨2;∞⟩ E)⟨-∞;-1⟩∪⟨2;∞⟩

Trasladando todos los términos al primer miembro tenemos:

2 11 1 0 2

1 0xx

xx

−+ − > → −

+ >

Como el numerador y denominador son polinomios que verifican el 2º paso, se procede a determinar los puntos de corte. Veamos:

x – 2 = 0 ; x + 1 = 0 → ptos: 2 y -1

En la recta numérica:

De donde se consigue: x ∈ ⟨–∞; -1⟩ ∪ ⟨2; ∞⟩ Rpta. E

Nota. Obsérvese que -1 debe ser extremo abierto porque anula el denominador. Asimismo, 2 es un cero del numerador y es abierto porque la desigualdad es estricta (>).

Prob. 02.-Resolver: 21

31

52x x x− + +

+ <

A)⟨-2;0⟩∪⟨1/3;∞⟩ B)⟨-2;-1⟩∪⟨3;∞⟩ C)⟨-3;-2⟩∪⟨1/2;2⟩

D)⟨-2;-1⟩∪⟨-1/3;1⟩ E)⟨-1;1⟩∪⟨2;3⟩

Trasladando todos los términos al 1er miembro, se tiene: 21

31

52 0x x x− + + − + <

2 1 2 3 1 2 5 1 11 1 2 0( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )x x x x x x

x x x+ + + − + − − +

− + + <

2 3 2 3 2 5 11 1 2 0

2 2 2( ) ( ) ( )( )( )( )

x x x x xx x x

+ + + + − − −− + + <

440 Álgebra 441Und. 9 Inecuaciones

Efectuando obtenemos: 3 3 11 1 2 0( )

( )( )( )x

x x x+

− + + <

Observar que: 3 > 0, luego: 3 11 1 2 0x

x x x+

− + + <( )( )( )

Los puntos de corte son: -1/3 ; 1 ; -1 ∧ -2

En la recta numérica los intervalos solución están dados por las zonas (–) porque el signo de relación es estricto (<):

De donde obtenemos: x ∈ ⟨-2; -1⟩ ∪ ⟨-1/3; 1⟩ Rpta. D

Prob. 03.- Resolver: x x

x x

2

23 4

2 81+ −

− −≥

paraluegoindicarlasumadelmayorenteronegativo«x»conelmenorenteropositivo«x».

A)4 B)-1 C)35 D)6 E)2

La inecuación dada es: x xx x

2

23 42 8

1 0+ −− −

− ≥

Efectuando operaciones tenemos: 5 42 8

02x

x x+

− −≥

Factorizando los términos queda: 5 44 2 0x

x x+

− + ≥( )( )

Los puntos de corte son: -4/5 ; 4 y -2

Observar que en la recta los puntos 4 y -2 son los extremos para intervalos abiertos, mien-tras que el punto -4/5 es extremo cerrado.

Notamos que el mayor entero negativo «x» es: xmáx = -1

Asimismo el menor entero positivo «x» es: xmín = 5

\ xmáx + xmín= 4 Rpta. A

Prob. 04.- Resolver: xx

xx

++ ≤ +

+31

24

A)⟨-∞;-1⟩∪[4;∞⟩ B)⟨-∞;-4⟩∪[-5/2;1⟩ C)⟨-∞;-4⟩∪⟨5/2;∞⟩

D)⟨-∞;-10⟩∪[-2;∞⟩ E)⟨-∞;-1⟩∪[3;∞⟩

Trasladando todos los términos al 1er miembro, se tiene: xx

xx

++

− ++

≤31

24

0

Efectuando tenemos: 2 2 51 4 0( )

( )( )x

x x+

+ + ≤

Dado que: 2 > 0, podemos simplificarlo: 2 51 4 0x

x x+

+ + ≤( )( )Los puntos de corte son: -5/2 ; -1 y -4

Ya que -5/2 es un cero del numerador y la desigualdad es doble, le corresponde un redon-del negro, es decir es un extremo cerrado. Luego, elaborando la gráfica, se tiene:

De donde conseguimos: x ∈ ⟨-∞; -4⟩ ∪ [-5/2; 1⟩ Rpta. B

Prob. 05.-Resolver: x x2

2− − < 2

A)⟨-3;-2⟩∪⟨1;5⟩ B)⟨-3;-1⟩∪⟨2;5⟩ C)⟨-2;-1⟩∪[2;3⟩

D)⟨-3;1⟩∪⟨2;∞⟩ E)⟨-3;-1⟩∪⟨3;5⟩

Teniendo en cuenta el algoritmo de resolución de una inecuación irracional del tipo F Hn ( ) ( )x x2 > , se tiene:

{x2 – x – 2 ≥ 0 ∧ 2 > 0} ∧ {x2 – x – 2 < 22}

Es decir: {x2 – x – 2 ≥ 0 ∧ 2 > 0} ∧ {x2 – x – 6 < 0}

De donde tenemos: {(x – 2)(x + 1) ≥ 0 ∧ 2 > 0 } ∧ {(x – 3)(x + 2) < 0}

Para la 1ra condición se determinan los puntos de corte: -1 y 2

Para la 2da condición se determinan los puntos de corte: -2 y 3

442 Álgebra 443Und. 9 Inecuaciones

Elaborando un gráfico para cada solución, diremos que la solución final es la que se obtiene al intersectar los intervalos solución de cada condición. Veamos:

Finalmente la intersección viene dada por:

\ x ∈ ⟨-2; -1] ∪ [2; 3⟩ Rpta. C

Prob. 06.- Resolver: x33

1− > −x 1

A)⟨-∞;-1⟩∪⟨2;∞⟩ B)⟨-∞;0⟩∪⟨1;∞⟩ C)⟨-∞;-2⟩∪⟨3;∞⟩

D)⟨-∞;0⟩∪⟨1;∞⟩ E)⟨-∞;0⟩∪⟨3;∞⟩

Teniendo en cuenta el algoritmo de resolución de una inecuación irracional del tipo F Hn ( ) ( )x x2 1+ > , se tiene:

La inecuación dada es: x x33 1 1− > −

Elevando al cubo tenemos: x3 – 1 > x3 – 3x2 + 3x – 1

Reduciendo conseguimos: 3x2 – 3x > 0

Factorizando obtenemos: 3x(x – 1) > 0

Observar que: 3 > 0

Luego: x(x – 1) > 0

Los puntos de corte son: 0 y 1

En la recta numérica:

De donde se consigue: x ∈ ⟨-∞; 0⟩ ∪ ⟨1; ∞⟩ Rpta. B

Prob. 07.- Resolver: 2 1 3x − >

A)⟨5;∞⟩ B)⟨-∞;5⟩∪⟨8;∞⟩ C)⟨-∞;-5⟩∪⟨5;∞⟩

D)⟨-∞;3⟩∪⟨5;∞⟩ E)⟨3;∞⟩

La inecuación dada corresponde al primer caso expuesto en la teoría, luego para su resolu-ción se planteará lo siguiente:

Caso (A): 2x – 1 ≥ 0 ∧ 3 ≥ 0 ∧ 2x – 1 > 9

x ≥ 1/2 ∧ R ∧ x > 5

De donde intersectando conseguimos: x > 5 ↔ x ∈ ⟨5; ∞⟩

Caso (B): 2x – 1 ≥ 0 ∧ 3 < 0

x ≥ 1 ∧ ∅ (Absurdo)

De donde intersectando conseguimos: x ∈ ∅

Finalmente la solución de la inecuación viene dada por la unión de los casos (A) y (B), veamos: x ∈ ⟨5; ∞⟩ ∪ ∅ \ x ∈ ⟨5; ∞⟩ Rpta. A

Prob. 08.- Resolver: 2 3 1x x+ > +

A)[-2;5⟩∪⟨6;∞⟩ B)⟨-∞;-3/2⟩ C)⟨-∞;-2⟩∪[4;∞⟩

D)⟨-∞;3⟩∪⟨5;∞⟩ E)[-3/2; 2 ⟩

De acuerdo con lo expuesto en el primer caso del ítem 9.4.3A. para resolver la inecuación dada se procede de la siguiente manera:

Caso (A): {2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {2x + 3 > x2 + 2x + 1}

{2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {x2 – 2 < 0}

{2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {(x + 2 )(x – 2 ) < 0}

En la recta numérica:

La intersección viene dada por:

444 Álgebra 445Und. 9 Inecuaciones

De donde se obtiene que: x ∈[- ; 1 2

Caso (B): 2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 < 0

Intersectando en la recta numérica se tiene:

x ∈ [-3/2; -1⟩

Finalmente la solución de la inecuación viene dada por la unión de las soluciones obtenidas en los casos (A) y (B), es decir:

x ∈[ ∪[- ; -3/2; -1 2 1 \ x ∈∈-3/2; 2 Rpta. E

Prob. 09.- Resolver: 2 1− ≤ +x x

A)⟨1;5] B)⟨-∞;-3⟩ ∪ ⟨4;∞⟩ C)[-1/2;6⟩ ∪ ⟨7;∞⟩

D)[-1;1/2] E)⟨-1;2]∪ ⟨3;∞⟩

Para resolver la inecuación planteada será suficiente hacer cumplir simultáneamente la condición de existencia a cada radical para luego elevar ambos miembros de la inecuación al cuadrado, veamos:

2 1− ≥ +x x → 2 – x ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0 ∧ 2 – x ≥ x + 1

x – 2 ≤ 0 ∧ x + 1 ≥ 0 ∧ 2x – 1 ≤ 0

De donde tenemos: x ≤ 2 ∧ x ≥ -1 ∧ x ≤ 1/2

\ x ∈ [–1; 1/2] Rpta. D

Prob. 10.- Determinarelmínimovalorde f ( )x x x= − + +2 2 2 2 ;x ∈R

A)1 B)2 C)3 D)4 E) 3

Una inspección minuciosa del radicando, sugiere plantear que:

(x – 1)2 ≥ 0; ∀ x ∈ R x2 – 2x + 1 ≥ 0

Sumando 1: x2 – 2x + 2 ≥ 1

Extrayendo raíz cuadrada: x x2 2 2 1− + ≥

Sumando 2 conseguimos: x x2 2 2 2 1 2− + + ≥ +

f(x) ≥ 3

\ f(x) mínimo = 3 Rpta. C

Prob. 11.- Resolver: − − +−

<2

90

2

2x x

x

A)⟨1;3⟩ ∪ ⟨3; 4⟩ B)⟨2;3⟩ C)⟨-3;-1⟩

D)⟨-3;-1⟩ ∪ ⟨2; 3⟩ E)⟨-2;-1⟩ ∪ ⟨2;4⟩

La inecuación dada se puede reescribir así: -2 0 9 02 2− + > ∧ − <x x x

En forma equivalente: –2 – x + x2 > 0 ∧ x2 – 9 < 0

x2 – x – 2 > 0 ∧ x2 – 9 < 0

Factorizando cada polinomio del primer miembro:

(x – 2)(x + 1) > 0 ∧ (x + 3)(x – 3) < 0

En la recta real: ∩

de la intersección: -3 < x < -1 ∨ 2 < x < 3 \ CS = ⟨-3; -1⟩ ∪ ⟨2; 3⟩ Rpta. D

Prob. 12.- Resolver xx

−+

>41

015

7,darcomorespuestaelcomplementodesuconjuntosolución.

A)⟨-1;4⟩ B)⟨-4;1⟩ C)[-4;1] D)⟨-∞;-1⟩ ∪ ⟨4; ∞⟩ E)[-1;4]

446 Álgebra 447Und. 9 Inecuaciones

La inecuación dada es: xx

−+

>41

015

7

Fácilmente podemos reconocer que en R el signo de x − 415 es el mismo que el de x – 4, asimismo que el signo de x + 17 es el mismo que el de x + 1.

Ahora la inecuación se puede reescribir así: xx

−+ >4

1 0

En la recta real: → CS = ⟨-∞; -1⟩ ∪ ⟨4; ∞⟩

\ (CS)' = [-1; 4] Rpta. E

Prob. 13-Determinarelconjuntosolucióndelainecuación: x xx

< −−

161

A)⟨1;4⟩ B)⟨1;4⟩ C)⟨0;5⟩ D)⟨2;4⟩ E)⟨3;4]

De acuerdo con la teoría, se cumple que: x xx

x xx

≥ ∧ −−

≥ ∧ < −−

0 161

0 161

por -1

x xx

x xx

≥ ∧ −−

≤ ∧ − −−

<0 161

0 161

0

x xx

x x xx

≥ ∧ −−

≤ ∧ − − +−

<0 161

0 161

02

x xx

xx

≥ ∧ −−

≤ ∧ −−

<0 161

0 161

02

x xx

x xx

≥ ∧ −−

≤ ∧ + −−

<0 161

0 4 41

0( )( )

(x ≥ 0) ∧ (1 < x ≤ 16) ∧ (x < -4 ∨ 1 < x < 4)

De la intersección: 1 < x < 4 \ CS = ⟨1; 4⟩ Rpta. A

Prob. 14.- Determinarlacantidaddevaloresenterosqueasumexenlasiguienteinecuación:

2 9 1− − ≥x

A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

La inecuación dada es: 2 9 1− − ≥x

Según la teoría se cumple: 2 9 0 2 9 1− − ≥ ∧ − − ≥x x

En forma equivalente: 9 2 9 1− ≤ ∧ − ≤x x

9 1− ≤x

Ahora se cumple que: 9 – x ≥ 0 ∧ 9 – x ≤ 1

x x≤ ∧ ≥9 8

8 ≤ x ≤ 9

Fácilmente reconoceremos que los valores enteros que asume «x» son 8 y 9.

\ Nº de valores = 2 Rpta. A

Prob. 15.- Resolver: x x− ⋅ − ≥2 9 023

A)[3;∞⟩ B)[2;∞⟩ C)[9;∞⟩ D)[3;9] E)[3;∞⟩ ∪{2}

La inecuación dada es: x x− ⋅ − ≥2 9 023

De acuerdo con el conjunto de valores admisibles (CVA) en R para el radical de índice par debemos plantear:

x – 2 ≥ 0 ↔ x ≥ 2

Ahora la inecuación: x x− ⋅ − ≥2 9 023

Se puede reescribir así: x x23 9 0 2− ≥ ∀ ≥;

Elevando al cubo: x2 – 9 ≥ 0 → (x + 3)(x – 3) ≥ 0

En forma equivalente: x ≤ -3 ∨ x ≥ 3

Pero x ≥ 2, luego: x ≥ 3 ∨ x = 2 \ CS = [3; ∞⟩ ∪ {2} Rpta. E

448 Álgebra 449Und. 9 Inecuaciones

01.-Resolver: 41

1xx +

>

A)⟨-∞;-1⟩∪⟨1/3;∞⟩

B)⟨-1;1/3⟩

C)⟨-∞;1⟩∪⟨4/3;∞⟩

D)⟨-∞;-2⟩∪⟨2/3;∞⟩

E)⟨-∞;-1⟩∪⟨1/2;∞⟩

02.- Resolver: 21

41x x+

≥−

A)⟨-3;1⟩∪⟨1;∞⟩ B)⟨-∞;-3]∪⟨-1;1⟩

C)⟨-3;1⟩ D)⟨-3;-1]∪⟨1;2⟩

E)⟨-∞;-3]∪⟨-1;1⟩

03.- Resolver: 21

3 1x x x− + >

A)⟨0;1/2⟩∪⟨1;∞⟩

B)⟨-∞;0⟩∪⟨1/2;1⟩

C)⟨-∞;1⟩

D)⟨1/2;1⟩∪⟨1;∞⟩

E)⟨0;1/4⟩∪⟨1/2;∞⟩

04.- Resolver: x x

x x

2

22

20− −

+ −≤

luegoindicarlacantidaddenúmerosenteros«x»queverifiquenlainecuación.

A)1 B)2 C)3

D)4 E)Infinitos

05.-Resolver: 32

4x −

>

A)⟨2;11/4⟩ B)[2;11/4⟩ C)⟨2;11/4]

D)∅ E)R

06.-Resolver: x x x

x x

5 3

4 23

3 11+ +

+ +≤

A)⟨3;6⟩ B)⟨-∞;1] C)⟨-1;2⟩

D)⟨0;1⟩ E)⟨0;3]

07.- Indicarunintervalosoluciónde:xx

xx

++

> ++

34

12

A)[-4;-2⟩ B)⟨-4;-2⟩ C)[-3;-2⟩

D)⟨-∞;-4⟩ E)⟨-3;-5⟩

08.- Resolver: 4 3 2 7− > −xx x

A)⟨1/2;0⟩ B)∅ C)⟨0;∞⟩

D)R E)⟨-∞;-1/2⟩∪⟨0;∞⟩

09.- Silaexpresión: xx x x− − + −

−12

18

12

es no negativa, ¿cuál es el intervalo al cualpertenece«x»?

A)⟨-∞;-2⟩∪⟨-1;1⟩∪⟨3;∞⟩

B)⟨-∞;-2]∪⟨-1;1⟩∪[3;∞⟩

C)⟨-∞;-1⟩∪⟨1;∞⟩

D)⟨∞;-2]∪⟨-1;3⟩–{1}

E)[-2;-1⟩∪⟨1;3⟩

9.4. InecuacionesFraccionarias e Irracionales

Práctica10.- Resolver: 2 1 1x − >

A)x≥1/2 B)x>1 C)x≥2

D)x>3 E)x>0

11.-Resolver: x2 1 4− > -

A)⟨-1;1⟩ B)⟨-∞;0⟩

C)⟨-∞;-1⟩∪⟨1;∞⟩ D)⟨1;∞⟩

E)⟨-∞;-1]∪[1;∞⟩

12.- Resolver: x x x2 12− − >

A)R B)∅ C)⟨-∞;0]

D)⟨-∞;-3] E)⟨-∞;-3⟩

13.-Resolver: 3 2 2x + <

A)[-2/3;2/3] B)[-2/3;2/3⟩

C)⟨-2/3;2/3⟩ D)⟨-2/3;2/3]

E)⟨-∞;2/3⟩

14.- Resolver x x2 5 4 2− + < , para luegoindicarlacantidaddenúmerosenterospositi-vos«x»queverificanlainecuación.

A)1 B)2 C)3

D)4 E)5

15.- Resolver: x x2 2 5− − < -

A)⟨-1;2⟩ B)⟨-2;1⟩

C)⟨-∞;-1]∪[2;∞⟩ D)∅

E)⟨-∞;-2]∪[1;∞⟩

16.-Resolver: x x33 8 2+ ≤ +

A)[-2;0] B)[-2;0⟩

C)⟨-∞;-2]∪[0;∞⟩ D)⟨-∞;-2⟩∪⟨0;∞⟩

E)⟨-∞;-1]∪[1;∞⟩

17.- ¿Cuántosnúmerosenteros«x»verifican

lasiguienteinecuación: x x33 7 1− < − ?

A)1 B)2 C)3

D)4 E)5

18.- Resolver: x x− ≤ −4 11

A)[4;11] B)[15/2;11] C)[4;15/2]

D)[2;15/2] E)∅

19.- Resolver: xx

−+

>32

0

A)R–[-2;3] B)R–[2;3]

C)R–[-3;2] D)R–[1;5]

E)R–[2;9]

20.- Alresolver: x xx x

2

22 34 3

3− +− +

> - ,seobtiene:

A)R–

B)R–∪⟨2;3⟩

C)⟨-∞;-1⟩∪⟨3/2;2⟩

D)R–⟨1;3⟩

E)⟨-∞;1⟩∪⟨3/2;2⟩∪⟨3;∞⟩

21.- Resolver: x x x

x

4 6 7

117 1 2

10+( ) +( ) +( )

−( )≤

A)∅ B)R C)[-3;-1⟩

D)[-3;1⟩ E)[-2;1⟩

22.- Unintervalosoluciónde:

xx n

x

x n

nx n

n−

≤−

++

>8 2 02

2 2; es:

A)⟨-n;n⟩ B)⟨n;3n⟩ C)[3n;∞⟩

D)⟨n;3n] E)[3n;∞⟩

450 Álgebra

23.-Resolver: xx

xx

−+ ≤ +

−22

11

A)x ∈⟨-2;0⟩∪⟨1;∞⟩

B)x∈⟨-2;1⟩

C)x∈⟨-1;1⟩∪⟨2;∞⟩

D)x∈⟨-1;0⟩∪⟨1;∞⟩

E)x∈∅

24.-Si:0>b>a,resolver: ax bbx a

++ ≥ -1

A)x∈⟨-∞;-a/b⟩∪[-1;∞⟩

B)x∈⟨1;a/b⟩

C)x∈⟨-∞;0⟩∪⟨1;a/b⟩

D)x∈⟨-∞;-a/b⟩∪⟨1;∞⟩

E)R

25.-Dado: M |= ∈ − ≤{ }x x 2 9 4 ,indiqueelcardinalde«M».

A)4 B)2 C)3

D)6 E)8

26.-Al resolver: 2 52− − >x x - indicar elproductodelmenorconelmayorentero«x».

A)-2 B)1 C)3

D)0 E)-3

27.- Resolver: xx

−−

<24

2

A)⟨-∞;4] B)⟨-2;3⟩ C)⟨2;3⟩

D)⟨18/5;4] E)[2;18/5⟩

28.-Resolver:

x x x x

x x x x x

−( ) −( ) +( ) −

−( ) +( ) −( ) −( )≥6 8 3 1

4 4 64 50

3 15 3

9 10 3

A)x∈[-3;0⟩∪⟨2;3⟩

B)x∈[-2;0⟩∪[2;3]

C)x∈[-2;1⟩∪⟨2;3]

D)x∈[-3;0⟩∪[1;2]

E)∅

29.-Resolver: 2 1 3 3 02x x x− > − + ≥

A)x<-1/4∪x>1/3

B)x>1/5∪x<3/4

C)x>-2/3∪x<1

D)x>-5/3∪x<1

E)x>1

30.-Determinarelintervaloformadoporlosvalores de «x» que satisfacen la siguienteinecuación:

2 2 4 22 4

1x x xx x− − −− −

>( )

A)⟨4;∞⟩ B)⟨2;∞⟩ C)⟨-2;4⟩

D)⟨2;4⟩ E)⟨0;∞⟩

..

..

..

ABF

()x y+n

Claves:

20E

19A

18C

17B

16C

15D

14B

13B

12D

11E

10B

09B

08E

07D

06B

05A

04B

03A

02B

01A

21E

28D

27E

26A

25D

24A

23A

22D

29E

30A