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PROYECTO FIN DE CARRERA
AJUSTE DE CONTROLADORES
FRACCIONARIOS BASADOS EN
DIFFERENTIAL EVOLUTION
Autor: Carlos Pinto Gacio
Tutor: Fernando Martín Monar
Leganés, 3 de diciembre de 2014
Departamento de Ingeniería de Sistemas y
Automática
ii
iii
Título: Ajuste de controladores fraccionarios basado en Differential
Evolution
Autor: Carlos Pinto Gacio
Director:
EL TRIBUNAL
Presidente: Santiago Garrido
Vocal: Dorín Copaci
Secretario: Teresa Onorati
Realizado el acto de defensa y lectura del Proyecto Fin de Carrera el día
3 de diciembre de 2014 en Leganés, en la Escuela Politécnica Superior
de la Universidad Carlos III de Madrid, acuerda otorgarle la
CALIFICACIÓN de
VOCAL
SECRETARIO PRESIDENTE
iv
v
AGRADECIMIENTOS
Después de todos estos años en la universidad, no sólo de instrucción, sino
también de educación y crecimiento personal, únicamente tengo palabras de
agradecimiento. A lo largo de estos cinco años, he aprendido valores muy
importantes que me han hecho madurar y crecer como persona. Gracias a la
universidad he tenido oportunidades que difícilmente puedan volver a repetirse,
experiencias que quedan en mi memoria y que jamás olvidaré. Todavía recuerdo
aquellos profesores que me marcaron desde el comienzo hasta el final: Francisco
Marcellán, con su inteligencia y ejemplaridad, Dolores Blanco, que me introdujo el
apasionante mundo del control y por la cual me atreví a matricularme en esta
rama, Ernesto García, por sus infinitos conocimientos de Instrumentación y
Electrónica, Froilán, con su exigencia y del que aprendí muchísimo o Francisco
Rivera, por su cercanía e inteligente visión de negocio. No sólo éstos han formado
parte de esta etapa, quisiera agradecer a todos y a cada uno empleados, tanto
docentes y administrativos, e instituciones pertenecientes a la universidad que
hacen posible su funcionamiento, que hace que todas las personas tengamos
opción de acceso a una educación pública y de calidad cada día más inaccesible.
Por otra parte y en particular, quiero agradecer todo el esfuerzo y comprensión
dedicados a este proyecto por parte de mi tutor Fernando Martín Monar. Él me ha
dado esta posibilidad y me ha enseñado todo lo que estoy reflejando en el día de
hoy, además de poder aprender de él todo lo que sabe y ha investigado; sin duda,
un ejemplo a seguir. También debo destacar la ayuda y el apoyo de Concha Monje,
la cual nos ha guiado en varias ocasiones hacia la buena dirección durante la
investigación.
Independientes del personal de la Escuela, aparecen muchas personas que han
hecho que la vida en la facultad sea mucho más llevadera, llena de buenos
momentos y situaciones inolvidables. Agradezco a todos aquellos compañeros de
trabajo que me acompañaron en las becas que cursé en la universidad, por sus
consejos e interés. Jamás me olvidaré de todos ellos y espero tenerlos presente a
partir de este día para siempre: Manu, David, Pedro, Belén, Juan, Pablo, Cris, Luiso
o Elena, entre muchos. De mis compañeros de primer año que se pasaron a Bolonia
y que, todavía hoy, sigo viviendo día a día como Borja, Paula “La Gruncha” o
Almudena, personas que me han ayudado en los peores momentos y siempre me
han dado lo mejor de ellos, gracias. Por último, cerrando estos cinco años, me llevo
las grandes personas, o personajes, como: Carlos, el profe, aquél que ha orientado
y guiado en todo momento, dispuesto y honesto; Javi, aquél que me acompañó
desde el primer minuto de la facultad, mi amigo y compañero; Miguel Quijano,
persona increíble capaz de sacarnos una sonrisa en cualquier momento, el más
divertido y mejor persona; y Arturo, la persona más inteligente que he conocido,
vi
resolutivo y generoso, aquél con el que he compartido todos mis ratos y trabajos y
que llevo en el corazón desde el primer día.
A pesar de haber estado prácticamente doce horas diarias en la universidad,
también tuve vida fuera, momentos que compartir y disfrutar. No puedo olvidarme
de todos los Xancletas, Noelia, Patri, Gerardo, Alba, Maca, Saba o Chore, personas
magníficas que tengo la oportunidad de conocer y disfrutar, personas que me han
alegrado un día malo o mejorado un día bueno, a todos ellos, gracias. Y, por
supuesto, a Adri y Fer, amigos desde parvulitos, amigos de toda la vida que han
estado presentes para lo bueno y lo malo, amigos del alma que siempre llevo en mí,
de verdad, gracias, gracias por guiarme y aconsejarme, gracias por teneros cerca.
Por último, y no por ello menos importante, este día se lo debo al conjunto
completo de mi familia. Gracias a mis tíos y primos, muy presentes en mi día a día,
muy influyentes y, sobretodo, muy queridos. Gracias a mi tío Jesus, Olga y mis
primas prefes, a mi tía Encarni, Esteban y mi primos Alberto y Elena, a mi tía Charo,
Rafa y mis primos Sara y Pablo, mis cuñis Jaime, Teresita y Raúl, y a mi segunda
familia Marina y Jose , gracias por hacer de esta, una familia completa y unida.
Especial agradecimiento a mis abuelos, Juan y Emilia, y Jesús y Tomasa, de los
cuales nació todo este núcleo, personas increíbles y maravillosas con los crecí
durante mis largos primeros años y que siempre los tendré en mi corazón. Gracias
a mis padres, por educarme, soportarme y sacarme adelante. Agradezco su
insistencia y paciencia, agradezco que hayan dedicado su vida a sus hijos para que
tuvieran lo mejor y no les faltara de nada. Sin ellos, nada de lo que somos sería
posible.
Finalmente, gracias a las tres mujeres más importantes de mi vida, además de mi
madre: Paula, Paulilla, la hermana pequeña no tan pequeña, la alegría de la casa y
la persona que más dulzura derrocha. Gracias por aguantarme todos los días, todas
las mañanas cantando y todos aquellos días que te pinchaba; Cintia, sobran todas
las palabras, todo lo que hemos vivido juntos habla por sí solo. Eres la persona que
realmente ha estado las veinticuatro horas a mi lado, que me has entendido,
ayudado y apoyado, porque tú sabes lo que necesito en cada momento y el camino
que debo tomar. Gracias a ti, por darme vida todos los días de mi vida, por darme
alegría y felicidad; Y Sonia, gracias por convertirte en la otra mujer más importante
cada día, gracias por apoyarme estos años de carrera cuando tenía que estudiar o
estaba muy ocupado, gracias por entenderme, por mirarme y quererme con esa
simple mirada. Muchas gracias, os quiero.
Termina esta etapa y empieza otra, sin embargo, empieza rodeado de los mejores,
de un pequeño grupo que me ha hecho sentir fuerte y grande, donde cada uno
tiene su momento. A todos ellos, gracias, gracias por acompañarme en este camino.
vii
ABSTRACTO
En este documento se propone un nuevo método basado en conceptos de computación evolutiva para el ajuste de los parámetros de un controlador de
orden fraccionario , en el cual el orden de la parte integral y derivativa, y , respectivamente, es fraccionaria. La principal ventaja de los controladores de orden fraccionario es que el incremento del número de parámetros en el controlador permite aumentar el número de especificaciones que pueden ser cumplidas. Un método basado en el algoritmo Differential Evolution es propuesto para llevar a cabo el ajuste del sistema para cumplir diferentes especificaciones de diseño tanto en el dominio temporal como en el frecuencial. Los resultados experimentales muestran que las especificaciones se han satisfecho completamente sobre la plataforma a controlar. Estos resultados son mostrados en el presente documento con el fin de ilustrar la efectividad del método que se ha implementado.
viii
ÍNDICE GENERAL
1. Introducción ..................................................................................................... 1
1.1 Introducción ......................................................................................................................... 1
1.2. Objetivos ............................................................................................................................... 3
1.3. Trabajos previos relacionados ....................................................................................... 4
1.4. Estructura de la memoria ................................................................................................ 8
2. Controladores PID....................................................................................... 11
2.1. Controlador PID convencional .....................................................................................11
2.2. Controlador PID de orden fraccionario, o controlador ..............................12
3. Ajuste del controlador .............................................................................. 15
3.1. Técnicas de ajuste de un controlador .........................................................................16
3.1.1. Método de Ziegler – Nichols .......................................................................................................... 16
3.1.2. Método del lugar geométrico de las raíces ............................................................................ 17
3.1.3. Algoritmo Differential Evolution (DE) ...................................................................................... 18
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador ..............................19
3.2.1. Mutación, crossover y selección .................................................................................................. 21
3.2.2. Franja umbral ....................................................................................................................................... 23
3.2.3. Mecanismo de rechazo ..................................................................................................................... 25
3.2.4. Convergencia y finalización ........................................................................................................... 25
3.2.5. Función de coste .................................................................................................................................. 27
3.2.5.1. Ajuste del dominio temporal ...................................................................................................... 30
3.2.5.2. Ajuste en el dominio frecuencial ............................................................................................... 32
3.2.5.3. Ajuste del dominio temporal y frecuencial ............................................................................ 38
4. Resultados experimentales ..................................................................... 41
4.1. Plataforma experimental ...............................................................................................41
4.1.1. Estabilidad del sistema .................................................................................................................... 43
4.2. Configuración de los parámetros del algoritmo DE ................................................47
4.3. Resultados obtenidos ......................................................................................................49
4.3.1. Resultados de la simulación .......................................................................................................... 50
4.3.2. Resultados sobre el motor DC real............................................................................................. 55
4.3.3. Comparación de resultados ........................................................................................................... 58
4.3.3.1. Controlador y controlador PID clásico ....................................................................... 58
4.3.4. Resultados con otras funciones de ajuste .............................................................................. 62
4.3.4.1. Ajuste en el dominio temporal ................................................................................................... 63
4.3.5. Comprobación en otros sistemas del trabajo desarrollado .......................................... 67
5. Conclusiones ................................................................................................. 73
6. Trabajos futuros relacionados .............................................................. 75
7. Referencias .................................................................................................... 77
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Estructura de un sistema de control PID convencional .................................... 12
Figura 2. Plataforma real empleada: Motor DC ......................................................................... 42
Figura 3. Diagrama de Bode la función de transferencia de la planta, Gp (23) ......... 44
Figura 4. Respuesta de la planta sin controlador ante entrada escalón ....................... 46
Figura 5. Comportamiento del sistema sin controlar ante variaciones en la
ganancia de la planta ................................................................................................................... 47
Figura 6. Diagrama de Bode del sistema en lazo abierto F(s)=C(s)Gp(s) .................... 51
Figura 7. Magnitud de S(s) y T(s), de arriba a abajo, respectivamente ......................... 52
Figura 8. Respuesta del sistema controlado ante entrada escalón con el controlador
fraccionario C(s) (26) .................................................................................................................. 52
Figura 9. Comparación en la respuesta del sistema controlado y no controlado ante
una entrada escalón ..................................................................................................................... 53
Figura 10. Acciones de control del sistema controlado y sin controlar, de izquierda
a derecha, respectivamente ...................................................................................................... 53
Figura 11. Respuesta del sistema controlado ante entrada escalón con el
controlador fraccionario C(s) (26) para ganancias variables de Gp(s) ............... 54
Figura 12. Respuesta del motor DC ante entrada escalón con el controlador
fraccionario C(s) (26) .................................................................................................................. 56
Figura 13. Acción de control del controlador fraccionario C(s) (26) sobre el motor
DC .......................................................................................................................................................... 56
Figura 14. Respuesta del motor DC ante entrada escalón con el controlador
fraccionario C(s) (26) para ganancias variables de Gp(s) ......................................... 57
Figura 15. Comparación entre control fraccionario y tradicional. Arriba izquierda:
Respuesta escalón con control fraccionario. Arriba derecha: Respuesta escalón
con control tradicional. Abajo izquierda: Acción de control del controlador
fraccionario. Abajo derecha: Acción de control del control tradicional .............. 59
Figura 16. Respuesta escalón para ganancias variables bajo el dominio en la
frecuencia. Izquierda: PID de orden fraccionario. Derecha: PID tradicional .... 60
Figura 17. Diseño del controlador bajo el dominio frecuencial para el motor DC
real. Arriba izquierda: Respuesta ante entrada escalón con controlador
fraccionario. Arriba derecha: Respuesta ante entrada escalón con controlador
tradicional. Abajo izquierda: Acción de control del controlador fraccionario.
Abajo derecha: Acción de control del controlador tradicional................................ 61
Figura 18. Respuesta escalón para ganancias variables del motor DC controlado.
Izquierda: PID de orden fraccionario. Derecha: PID tradicional ............................ 61
Figura 19. Diseño del controlador bajo el dominio temporal para el sistema Gp(s).
Arriba Izquierda: Respuesta ante entrada escalón del controlador
fraccionario. Arriba izquierda: Respuesta ante entrada escalón del controlador
tradicional. Abajo izquierda: Acción de control del controlador fraccionario.
Abajo derecha: Acción de control del controlador tradicional................................ 64
Figura 20. Comparación entre el sistema controlado y sin controlar en simulación.
Izquierda: Respuesta ente entrada escalón con control fraccionario. Derecha:
Respuesta ante entrada escalón sin control ..................................................................... 65
Figura 21. Diseño del controlador bajo el dominio temporal para el motor DC real.
Arriba izquierda: Respuesta ante entrada escalón con control fraccionario.
Arriba derecha: Respuesta ante entrada escalón con control tradicional. Abajo
izquierda: Acción de control del controlador fraccionario. Abajo derecha:
Acción de control del controlador tradicional................................................................. 65
Figura 22. Respuesta escalón para ganancias variables bajo el dominio temporal en
simulación. Izquierda: PID de orden fraccionario. Derecha: PID tradicional ... 66
Figura 23. Respuesta escalón para ganancias variables bajo el dominio temporal
sobre el motor DC real. Izquierda: PID de orden fraccionario (28). Derecha:
PID tradicional (29) ...................................................................................................................... 67
Figura 24. Diagrama de Bode de la función de transferencia de la planta propuesta
sin controlar ..................................................................................................................................... 68
Figura 25. Diagrama de Bode de la función de transferencia de la planta propuesta
controlada por C(s) (31) ............................................................................................................ 69
Figura 26. Diseño del controlador C(s) (31) para la planta propuesta. Izquierda:
Respuesta ante escalón. Derecha: Acción de control ................................................... 70
Figura 27. Comportamiento de la señal de salida del sistema propuesto (30)
controlado por C(s) (31) ante una entrada escalón y variaciones en la
ganancia de la planta ................................................................................................................... 70
ÍNDICE DE ALGORTIMOS
Algoritmo 1. Método Differential Evolution para el ajuste de un controlador PID,
tradicional o fraccionario .......................................................................................................... 20
Algoritmo 2. Main de la función de coste ..................................................................................... 29
Algoritmo 3. Opción de ajuste 1 ....................................................................................................... 31
Algoritmo 4. Opción de ajuste 2 ....................................................................................................... 37
Algoritmo 5. Opción de ajuste 3 ....................................................................................................... 39
1. Introducción
1.1 Introducción
En este documento se propone un nuevo método basado en conceptos de
computación evolutiva para el ajuste de los parámetros de un controlador de orden
fraccionario , en el cual el orden de la parte integral y derivativa, y ,
respectivamente, es fraccionaria. La principal ventaja de los controladores de orden
fraccionario es que el incremento del número de parámetros en el controlador
permite aumentar el número de especificaciones que pueden ser cumplidas. En
trabajos previos realizados por los tutores del proyecto, se llevó a cabo un ajuste y
autoajuste de los controladores de orden fraccionario para aplicaciones industriales,
introduciendo éstos para mejorar el rendimiento del sistema de control y sacarle el
mayor partido al orden fraccionario del controlador [1].
Es importante darse cuenta de que existe un amplio rango de problemas de control y,
consecuentemente, también una necesidad para un gran rango de técnicas de diseño.
También existen numerosos métodos de ajuste disponibles dado que el método de
Ziegler – Nichols se ha ido sustituyendo por quedarse obsoleto en algunos aspectos, a
pesar de su robustez. Desde el punto de vista de la investigación se observa que el
desarrollo de métodos de diseño para el control clásico de orden entero y,
especialmente, el control Proporcional-Integral-Derivativo (PID), está en descenso,
pues surgen algunos problemas complicados pendientes de ser resueltos.
Así pues, por un lado, se explicarán los objetivos y el potencial de los controladores de
orden fraccionario, y más concretamente, aquellos con la forma generalizada
tal y como se muestra en la siguiente expresión:
( )
(1)
donde y son los coeficientes de orden fraccionario de las partes integral y
derivativa del controlador, respectivamente. Dado que este tipo de controlador tiene
cinco parámetros a ajustar ( ), las especificaciones de diseño ascienden
hasta cinco para que el controlador sea conocido, lo que se traduce en dos
especificaciones más que para el caso de los controladores PID tradicionales.
1.1 Introducción
2
Esto es vital para el estudio de qué especificaciones son más interesantes para las
cuestiones de rendimiento y robustez, pues el objetivo es obtener un sistema de
control capaz de solventar las incertidumbres de la planta, es decir, las posibles
perturbaciones y los problemas del ruido de alta frecuencia. Todas estas restricciones
se tendrán en cuenta en la técnica evolutiva propuesta en el trabajo además de sacarle
partido a las ventajas de estos controladores.
Por otra parte, en este trabajo se propone un método basado en la evolución genética
para hacer que el sistema cumpla diferentes especificaciones de diseño, tanto en el
dominio temporal como en el frecuencial, e incluso su combinación. Se pretenden
explotar todas aquellas ventajas que son adquiridas a la hora de ajustar dichos
controladores a través del algoritmo evolutivo o genético, el algoritmo Differential
Evolution (DE), e investigado anteriormente por mis tutores [2].
El DE es un simulador del mecanismo evolutivo de la naturaleza y caracterizados por su
flexibilidad, pues son capaces de optimizar cualquier proceso de cálculo y resolución
de problemas a través de una función de coste debidamente implementada.
Simplemente necesita el valor adaptativo el cual es evaluado desde esta función de
coste. Además, otra ventaja de este algoritmo es que se ajusta perfectamente a la
simulación con números complejos o problemas de no linealidad.
Por todo esto resulta interesante elaborar una implementación conjunta con el fin de
combinar ambos conceptos, es decir, el uso de los controladores fraccionarios para el
control de sistemas y el empleo del algoritmo DE para el ajuste de los mismos. La
aplicación de estos conceptos, junto con la combinación de los parámetros de ajuste y
las restricciones de optimización en la función de coste se traducirá en la obtención de
la solución óptima del controlador en cuestión, el controlador .
En nuestro desarrollo particular de la investigación, la función de ajuste se ha centrado
en el cumplimiento de alcanzar unas especificaciones de diseño basadas en el dominio
de la frecuencia. Además de asegurarse un buen comportamiento temporal y de
estabilidad del sistema controlado, el algoritmo implementado pretende conseguir un
controlador PID de orden fraccionario para hacer el sistema controlado robusto frente
a variaciones de la ganancia de la planta. Este comportamiento es la traducción de
conseguir un controlador que proporcione una fase plana alrededor de la frecuencia
de cruce de ganancia del sistema controlado en lazo abierto.
Evidentemente es necesario comprobar los resultados proporcionados por el
algoritmo DE sobre una plataforma real. En nuestro caso particular, hemos
empleado un motor de corriente continua cuya función de transferencia ha sido
previamente identificada para poder llevar a cabo la simulación. Los controladores
1. Introducción
3
resultantes del algoritmo implementado han satisfecho las condiciones a cumplir
tanto en un entorno de simulación como en un entorno real. Cabe destacar que
tanto el entorno de simulación como el entorno real experimentales se ha
desarrollado bajo las posibilidades que ofrece el software Matlab y su herramienta
Simulink.
En primer lugar, se ha confirmado el éxito del empleo del algoritmo DE para el
ajuste de un controlador PID, ya sea de orden entero o fraccionario, para cumplir
unas especificaciones dadas bien en el dominio temporal o bien en el dominio
frecuencial.
En segundo lugar, para el caso particular del diseño de un controlador para la
cumplimentación de propiedades del sistema definidas en el dominio frecuencial,
los resultados han sido excelentes tanto en el entorno de simulación como para la
planta real en la cual se han ensayado los resultados. Esto significa que, el
comportamiento del sistema controlado ante la variación forzosa en la ganancia de
la planta no ha sufrido significantes variaciones en la señal de salida ante una señal
de entrada escalón.
En conclusión, los resultados experimentales muestran que las especificaciones de
diseño debidamente implementadas en la función de coste perteneciente al
algoritmo DE se han satisfecho completamente sobre la plataforma de trabajo a
controlar. Estos resultados son ilustrados en el presente documento con el fin de
mostrar la efectividad en el uso de los controladores de orden fraccionario
utilizados y obtenidos a través del método desarrollado.
1.2. Objetivos
Los objetivos fundamentales del trabajo que hemos llevado a cabo pueden
observarse a continuación
A. Empleo de controladores de orden fraccionario
El primer objetivo al que nos enfrentamos es el empleo de controladores de orden
fraccionario para el control de diferentes plantas. Para ello debemos entender bien
su funcionamiento y sus particularidades.
B. Implementación del algoritmo DE
En segundo lugar, el objetivo del presente trabajo es incorporar y adaptar la
funcionalidad de técnicas evolutivas en ingeniería de control con la
implementación del algoritmo DE.
1.3. Trabajos previos relacionados
4
C. Ajuste de controladores fraccionarios basado en el algoritmo DE
Sin lugar a dudas, el mayor reto con el que nos encontramos es el integrar el
algoritmo DE para el ajuste de los parámetros de controladores de orden
fraccionario de tal forma que consigamos explotar las ventajas que el método de
optimización nos ofrece para nuestra aplicación en particular consistente en el
ajuste de controladores fraccionarios.
D. Obtener un sistema robusto ante variaciones de la ganancia de la planta
Una vez hayamos conjugado los conceptos principales anteriores, el objetivo de
este trabajo es la obtención de un controlador de orden fraccionario resultante del
proceso de optimización brevemente descrito capaz de hacer que un sistema sea
robusto ante la modificación de la ganancia de la planta. Para lograr tal objetivo es
necesario obtener una fase plana alrededor de la frecuencia de cruce de ganancia
del sistema controlado en lazo abierto.
E. Desarrollo de diferentes funciones de coste
A pesar de que el objetivo principal de nuestra investigación se obtenga a través de
una función de coste que evalúa el grado de cumplimiento de una solución
proporcionada respecto a unas especificaciones de diseño definidas en el dominio
de la frecuencia, en el presente trabajo se proponen, además, otras dos funciones
de coste. La primera de ellas, pretende converger a una solución que consiga unas
propiedades determinadas en una respuesta temporal del sistema controlado ante
una señal de entrada escalón. La otra función de coste desarrollada, trata de
explotar las ventajas ofrecidas por los diseños de un controlador tanto en el
dominio temporal y frecuencial de tal forma que combine las especificaciones de
diseño definidas en cada una de éstas.
1.3. Trabajos previos relacionados
Actualmente, la mayor comprensión del potencial del cálculo fraccionario y el
incremento del número de estudios relacionados con las aplicaciones de los
reguladores de orden fraccionario en una gran cantidad de diferentes campos de la
ciencia e ingeniería han permitido un importante estudio tanto del análisis, del
diseño, del ajuste como de la implementación de este tipo de controladores.
El cálculo fraccional es una generalización de la integración y diferenciación de
operadores fundamentales de orden no entero, es decir, fraccionarios, del tipo
, donde y son los límites y ( ) es el orden de la operación. Entre
muchas diferentes definiciones, dos comunes usadas para las operaciones
1. Introducción
5
fraccionarias integro-diferenciales es la definición de Grünwald – Letnikov (GL,
adelante) y la de Riemann – Liouville (RL, en adelante) (Podlubny, 1999ª).
La definición de GL es la siguiente:
( )
∑ ( ) ( ) ( )
*(
)+
(2)
donde [ ] corresponde a la parte entera de la operación.
Por otra parte, la definición que proporciona RL es:
( )
( )
∫
( )
( )
(3)
para ( ) y donde ( ) es la función gamma de Euler.
Por su potente interés, el conocimiento sobre el dominio de Laplace es
comúnmente usado para definir la operación fraccional integro-diferencial. La
transformada de Laplace del integral/derivativo fraccionario (3) de RL bajo
condiciones iniciales nulas para el orden ( ) viene dado por:
{ ( )} ( ) (4)
Aunque los operadores de orden fraccionario son tan viejos como los enteros, el
uso de los primeros y, sobretodo, su investigación, viene siendo más popular en las
últimas décadas. El interés teórico y práctico de estos operadores está, a día de
hoy, más que implantado y su aplicabilidad a la ciencia e ingeniería puede ser
considerada como la emersión de un nuevo campo de investigación. Dentro de
estos operadores, para control automático y robótica son de especial interés los
operadores fraccionarios integro – diferenciales.
El primer investigador que escribió sobre el interés en incluir un operador
fraccionario integro – diferencial en un lazo de realimentación podría haber sido
Bode [3]. Un estudio más profundo y comprensivo se llevó a cabo algunos años
después. Bode diseñó un amplificador realimentado con la pretensión de obtener
una respuesta de lazo cerrado invariante ante los cambios en la ganancia del
amplificador.
1.3. Trabajos previos relacionados
6
Este problema fue resuelto a través de un sofisticado método que el autor llamó la
característica límite ideal, y ahora es conocida como la función de transferencia
realimentada ideal.
Esta solución fue, básicamente, un integrador fraccionario con la función de
transferencia que se muestra a continuación conocida como función ideal de
transferencia de Bode:
( ) ( )
(5)
donde es la frecuencia de cruce de ganancia y la constante del margen de fase
es
.
Existen diferentes métodos que se apoyan en este conocimiento de la frecuencia
característica porque es muy interesante en términos de robustez del sistema ante
cambios en sus parámetros o inclusión de perturbaciones. En realidad, el
integrador fraccionario puede ser usado como un sistema de referencia alternativa
para el control, considerando sus propiedades [4].
El primer paso hacia la implementación del cálculo fraccionario en control
permitió la adaptación de los conceptos de control fraccionario a los métodos de
control basados en la frecuencia.
La respuesta frecuencial y transitoria de este operador integral fraccionario y su
aplicación al control de sistemas fue introducida por Manabe [5] y, más
recientemente, por Barbosa, Tenreiro y Ferreira [6].
Profundizando en el control automático, Oustaloup [7] estudió los algoritmos de
orden fraccionario para el control de sistemas dinámicos y probó un
comportamiento superior frente al método CRONE (Commande Robuste d’Ordre
Non Entier) sobre los controladores PID convencionales. Hay tres generaciones de
controladores CRONE y Oustaloup, Levron, Nanot and Mathieu [8] se centran en la
más moderna.
Posteriormente, en 1999, Podlubny [9] propuso una variante al controlador PID
convencional denominado controlador , en el cual se incluía un integrador
de orden y un derivador de orden .
En esta investigación, se pretende demostrar que este tipo de regulador de orden
fraccionario presenta una mejor respuesta, en comparación con el controlador PID
tradicional, cuando es usado para el control de sistemas.
1. Introducción
7
Un estudio en el dominio de la frecuencia a través del uso de controladores PID de
orden fraccionario también fue estudiado por Vinagre, Podlubny, Dorcák y Feliu,
[10].
Muchos investigadores han estado trabajando en el desarrollo de nuevas técnicas
efectivas de ajuste para estos controladores de orden no entero a partir de una
ampliación de los métodos clásicos de control. Caponetto, Fortuna y Porto [11] han
demostrado que la extensión de los órdenes derivativo e integral de números no
enteros proporcionan una estrategia de ajuste más flexible y, además, una mayor
facilidad para cumplir con las especificaciones de control respecto a los
controladores clásicos.
Leu, Tsay y Hwang [12] han elaborado un controlador PID de orden fraccionario
basado en márgenes específicos de ganancia y de fase bajo el criterio del error
integral cuadrático. Otros investigadores [13, 14, 15] sacan más partido a los
operadores fraccionarios del PID en la acción de control para diseñar un
controlador más efectivo con el objetivo de ser usado en modelos rutinarios de la
vida real.
Barbosa, Tenreiro, Ferreira [6, 16, 17] han enfocado el ajuste de los controladores
PID convencionales minimizando una función de penalización que refleja qué de
lejos se encuentra la respuesta de este control respecto a una función de
transferencia fraccionaria deseada. Chen y otros investigadores [18, 19] emplean
una estrategia similar.
Una nueva estrategia de control para el control de sistemas de primer orden con
retraso (delay) es propuesto por Chen, Vinagre, Monje [20] and Monje, Calderón,
Vinagre [21]. Este último trabajo, se consideró una potencial restricción de tal
forma que se fuerce la fase del sistema en lazo abierto a ser plano alrededor de la
frecuencia a la ganancia de cruce.
El cálculo fraccionario también abarca otro tipos de estrategias de control distintas
a las mencionadas anteriormente sobre controladores PID. En lo que a nuestro
trabajo concierne, los controladores y , por ejemplo, Malti, M. Aoun, O. Cois,
A. Oustaloup, F. Levron [22] debaten sobre la estimación de la norma de un
sistema fraccionario SISO (Simple Input Simple Output) , sin aplicar el resultado en
el desarrollo del controlador. Además, y Hypiusova [23] proponen el ajuste
de controladores tipo para sistemas fraccionarios SISO mediante minimización
numérica.
En los últimos años, las aplicaciones del cálculo fraccionario en control y su
desarrollo son numerosas. En el trabajo de Yago Sánchez [24], se aplica sobre el
control de estructuras viscoelásticas. Además, también se aplica el control para
1.4. Estructura de la memoria
8
aplicaciones como transmisión flexible [25], suspensión activa [26], convertidor de
potencia buck [27, 28] o actuador hidráulico [29].
El control fraccionario de robots rígidos es el objetivo en los estudios de Fonseca y
Tenreiro [30] o Tenreiro y Azenha [31], mientras que Sabatier y Oustaloup [32] ,
y Vinagre [33] , , Vinagre, Dorcák, Feliu [34] o Vinagre, , Dorcák
[35] proponen un control de un sistema térmico. Además, es posible encontrar
otras aplicaciones como el control de canales de riego principales [36] o el
profundo análisis de sistemas eólicos [37].
Atendiendo a la implementación de controladores de orden fraccionario podemos
encontrar las publicaciones de Valério [38] sobre aproximaciones de sistemas de
orden fraccionario, tanto continuos como discretos. Otras referencias de
importancia en el campo recientes son las de Chen y Moore [39], Monje [40],
Oustaloup, Levron, Nanot, Mathieu [8], Podlubny, Petrás, Vinagre, O’Leary, Dorcák
[41], Vinagre, Podlubny, Dorcák y Feliu [10] y Chen y otros compañeros [18, 19].
Como punto y aparte, queda claro que los controladores de orden fraccionario y
sus aplicaciones se están convirtiendo en un potencial campo de investigación. Por
supuesto que existen otros estudios publicados sobre el tema en cuestión, sin
embargo, no han sido mencionados en la presente sección por su irrelevancia para
el objetivo de este trabajo.
1.4. Estructura de la memoria
Para facilitar la lectura de la memoria, se incluye a continuación un breve resumen
de cada capítulo.
El primer capítulo introducirá la motivación del proyecto, su importancia y su
funcionalidad, así como trabajos e investigaciones previas a la elaboración del
presente trabajo. Además, se presentarán los principales objetivos que se
abordarán a lo largo del documento.
Las nociones detalladas sobre los controladores PID que emplearemos en el
trabajo realizado serán descritas en la segunda sección. Se explicarán y
distinguirán las diferencias existentes entre los controladores PID de orden entero,
o tradicionales, y los controladores , o de orden fraccionario.
Posteriormente, en el capítulo tercero, se describirán brevemente las técnicas
tradicionales para el ajuste y diseño de controladores PID más empleadas en la
Ingeniería de Control con el fin de tener una mayor comprensión acerca del porqué
del empleo del ajuste propuesto basado en conceptos computacionales evolutivos.
1. Introducción
9
Por otra parte, en este capítulo también se realizará una profunda descripción del
funcionamiento y del potencial del algoritmo Differential Evolution empleado para
llevar a cabo el diseño de los controladores PID.
En el capítulo cuarto se desarrollan e ilustran todos los objetivos del proyecto
planteados en la sección 1.2. En primer lugar, la planta experimental que se emplea
es presentada y analizada, así como el proceso de identificación de la función de
transferencia que la define. Posteriormente, después de explicar la configuración
de los parámetros relativos al algoritmo DE, se presentan las propuestas de
diferentes tipos de controladores tanto en el entorno de simulación como en el real
resultantes del proceso de optimización computacional. Tal ilustración está
formada principalmente por controladores PID de orden fraccionario y de orden
entero tanto para cumplir las especificaciones de diseño basadas en el dominio
frecuencial como temporal llevando a cabo, además de una instructiva
comparación y análisis de los resultados obtenidos. Por último, este capítulo
también comprende una sección de demostración sobre el correcto
funcionamiento del trabajo elaborado aplicado sobre otro sistema en un entorno
de simulación.
Finalmente, los capítulos quinto, sexto y séptimo hacen referencia a las
conclusiones, los trabajos futuros relacionados y la bibliografía, respectivamente,
relacionados con la elaboración y análisis del proyecto realizado.
1.4. Estructura de la memoria
10
2. Controladores PID
Para una mayor comprensión del trabajo que desarrollaremos a lo largo del
documento, a continuación se introducirá el funcionamiento básico de los
controladores PID convencionales de tal forma que entendamos con mayor
claridad el funcionamiento de aquellos de orden fraccionario.
2.1. Controlador PID convencional
La estructura de un sistema de control PID convencional se muestra en la figura 1.
Como puede observarse en esta figura, el sistema de control está principalmente
formado por el controlador PID, la planta a controlar y el lazo de realimentación.
De la misma forma que un controlador lineal, se genera el sistema de desviación
( ) el cual es producido en concordancia con el valor de ( ) y el actual valor de la
salida ( ), tal y como se muestra en la ecuación (6). El resultado de la señal de
control es la combinación lineal de la parte proporcional, derivativa e integral de
desviación, así como la propia señal de control sobre la planta. La ecuación que
describe la ley de control PID en el dominio temporal viene definida por la
expresión (7), mientras que en el dominio de Laplace sería la expresión (1)
descrita en la sección anterior.
( ) ( ) ( ) (6)
( ) ( ) ∫ ( )
( )
(7)
donde , y son las constantes proporcional, integral y derivativa,
respectivamente. La función de cada una de las constantes mencionadas se
describen a continuación.
, la constante proporcional, es introducida para reflejar puntualmente la señal
de desviación del sistema de control. Una vez la señal ( ) aparece, el operador
proporcional inmediatamente produce un papel regulatorio, por lo que la señal de
desviación del sistema cambia rápidamente al decremento de la tendencia en la
respuesta. Cuando tiene un valor alto, el controlador PID acelerará la respuesta
de ajuste. Sin embargo, cuando la constante proporcional tiene un valor demasiado
2.2. Controlador PID de orden fraccionario, o controlador 𝑷𝑰𝝀𝑫𝝁
12
elevado, el proceso de regulación provocará la aparición de mayor sobreoscilación
en la respuesta del sistema y, por lo tanto, reducirá la estabilidad del mismo.
Figura 1. Estructura de un sistema de control PID convencional
La constante integral, , se usa principalmente para eliminar el error en régimen
permanente y mejorar el grado de no error del sistema, así como para asegurar el
seguimiento nulo del error estático sobre la configuración. De igual manera que
ocurre con la constante proporcional, la influencia de sobre el control de la
planta depende del valor de éste. En resumidas cuentas, a un valor de más
grande, la acción integral es más débil y la sobreoscilación mayor.
Por último, la constante diferencial, , es capaz de prever la tendencia (el rango
de cambio) de la señal de desviación e introducir una eficaz señal de corrección
antes de que la señal de desviación se incremente descontroladamente. A efectos
prácticos, puede acelerar la velocidad de operación del sistema en detrimento
del tiempo de estabilización.
Por lo tanto, el objetivo de cualquier diseñador de controladores PID
convencionales, es decir, de orden entero, es ajustar los tres parámetros descritos
anteriormente de forma óptima de tal forma que se cumplan unos requisitos o
especificaciones de diseño.
Existen diferentes métodos analíticos o empíricos para la optimización del control
de sistemas, sin embargo, dado que nuestro trabajo consiste precisamente en la
implementación de un algoritmo de ajuste, únicamente estos métodos se
describirán brevemente en subsecciones posteriores.
2.2. Controlador PID de orden fraccionario, o controlador 𝑷𝑰𝝀𝑫𝝁
Como hemos mencionado anteriormente, el objetivo de nuestro trabajo es el
empleo de controladores PID de orden fraccionario, esto es, la introducción de
2. Controladores PID
13
operadores fraccionarios en los parámetros de ajuste de los controladores PID
convencionales.
Particularmente profundizaremos en el diseño y ajuste de lo que se conoce como
controlador . Como se introdujo en la primera sección, esta rama de
controladores PID introduce órdenes no enteros a la parte integral y derivativa de
los controladores PID clásicos. Este operador es visible en la propia ecuación del
controlador (1) ya mostrada en el capítulo introductorio del presente trabajo.
( )
(1)
donde y son los órdenes no enteros introducidos en las partes integral y
derivativa, respetivamente. El resto de parámetros, , y , son las ganancias
proporcional, integral y derivativa del controlador PID clásico, respectivamente.
Como puede observarse de la ecuación (1), estos controladores particulares
introducen dos parámetros de ajuste adicionales respecto a los controladores PID
convencionales, lo cual se traduce en la posibilidad de introducir dos
especificaciones de diseño adicionales. Esta consecuencia en el diseño es crucial
para determinar y analizar qué especificaciones son más interesantes desde el
punto de vista de robustez, rendimiento y respuesta del sistema global.
A continuación se describirán algunas consideraciones previas respecto el uso de
la ecuación (1). En primer lugar, debidamente implementado, un integrador
fraccional de orden (donde y ) es, respecto a la cancelación
del error en régimen permanente, tan eficiente como un operador integral de
orden entero . Sin embargo, aunque los estados del teorema del valor final
que el sistema fraccionario exponen un error en régimen permanente nulo
siempre que , el hecho de ser hace que la convergencia de la salida a su
valor final sea más lenta que en el caso del empleo de un controlador de orden
entero.
Además, el efecto del orden fraccionario tiene que estar limitado cuando es
implementado. Por otro lado, el integrador fraccionario debe ser debidamente
implementado como ⁄ ( ⁄ ) , de tal forma que se asegure el efecto de un
integrador entero ⁄ a muy baja frecuencia.
Análogamente al integrador fraccionario, el operador derivativo fraccionario, ,
también tiene que estar frecuencialmente limitado cuando es implementado,
2.2. Controlador PID de orden fraccionario, o controlador 𝑷𝑰𝝀𝑫𝝁
14
asegurando así un esfuerzo de control finito y un rechazo del ruido a altas
frecuencias.
Por otra parte, cuando los controladores de orden fraccionario tienen que ser
implementados o simulaciones tienen que ser representadas, las funciones de
transferencia fraccionarias son normalmente sustituidas por una función de
transferencia de orden entero con un comportamiento relativamente similar al
deseado pero mucho más manipulable.
Existen muchas formas diferentes de encontrar tales aproximaciones, sin embargo,
desafortunadamente no es posible asegurar que una de ellas sea la mejor, pues
incluso aunque algunas de ellas son mejores que otras atendiendo a sus
características, el potencial relativo de cada aproximación depende, en gran parte,
del orden de diferenciación, o de si alguna de éstas es más interesante en el
comportamiento frecuencial o de la respuesta temporal o de otros factores de este
tipo. Una buena descripción relativa a lo mencionado puede encontrarse en los
textos de Valério o de Vinagre, Podlubny, Hernández y Feliu.
En nuestro trabajo, el método de ajuste explotado para el cálculo de los
parámetros del controlador es el algoritmo DE. Dicho método es una técnica de
optimización basado en una población cuyos miembros tratan de converger a una
solución óptima de acuerdo a unas especificaciones dadas a través de una función
de ajuste.
Por lo tanto, para nuestro caso de estudio, cada miembro de la población está
compuesto por cinco parámetros, los cuales corresponde a cada uno de los
componentes de ajuste del controlador.
Así pues, si la función de coste es propiamente escogida, las especificaciones
deseadas podrán ser conocidas a través del algoritmo planteado.
El funcionamiento e implementación del algoritmo DE y otras funciones de ajuste
desarrolladas para cumplir diferentes especificaciones de diseño se detallan con
mayor profundidad en la siguiente sección del presente documento.
3. Ajuste del controlador
El objetivo principal de esta sección es mencionar brevemente algunas técnicas
tradicionales de diseño de controladores PID, así como explotar y detallar el
potencial del empleo del algoritmo DE en nuestro trabajo.
Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los
requerimientos impuestos sobre el sistema de control se detallan como
especificaciones de diseño que, por lo general, se refieren a la precisión, la
estabilidad relativa y la velocidad de respuesta. Sin embargo, como se comentará
posteriormente, nuestro trabajo tratará de explotar las ventajas que nos ofrece el
dominio frecuencial del sistema.
Para problemas de diseño rutinarios, las especificaciones de diseño se
proporcionan en términos de valores numéricos precisos. En otros casos, se
ofrecen parcialmente en términos de valores numéricos precisos y parcialmente
en términos de planteamientos cualitativos. En este último caso, puede ser
necesario modificar las especificaciones durante el curso del diseño, ya que es
posible que las especificaciones proporcionadas nunca se cumplan (debido a
requerimientos que producen conflicto) o conduzcan a un sistema muy costoso.
Por lo general, las especificaciones de diseño no deben ser más rigurosas de lo
necesario para efectuar la tarea definida. Si la precisión de una operación en
estado estable es de importancia vital para determinar el sistema de control, no
debemos solicitar especificaciones más rígidas de lo necesario sobre la respuesta
transitoria, dado que tales especificaciones requerirían de componentes costosos.
Recuerde que la parte más importante de un sistema de control es el
planteamiento preciso de las especificaciones de diseño a fin de producir un
sistema de control óptimo para el propósito determinado.
Al desarrollar un sistema de control, sabemos que la modificación adecuada de la
dinámica de la planta puede ser una forma sencilla de cumplir las especificaciones
de diseño. Sin embargo, tal vez esto no sea posible en muchas situaciones
prácticas, debido a que la planta esté fija y no pueda modificarse. En este caso,
deben ajustarse parámetros diferentes a los que tiene la planta fija.
Por tanto, los problemas de diseño son aquellos que implican la mejora del
desempeño de un sistema mediante la inserción de un compensador. La
compensación de un sistema de control se reduce al diseño de un filtro cuyas
características tiendan a compensar las características inconvenientes o
inalterables de la planta. Nuestro análisis se limita al ajuste de controladores tanto
3.1. Técnicas de ajuste de un controlador
16
de orden entero como fraccionario y, por lo tanto, no emplearemos técnicas de
compensación del sistema.
3.1. Técnicas de ajuste de un controlador
Como es evidente, existen otras técnicas tradicionales en el ajuste de controladores
PID. De forma ilustrativa e introductoria, mencionaremos algunos de ellos de tal
forma que podamos posteriormente observar las diferencias respecto al método
de optimización para el ajuste de éstos empleado en nuestro trabajo, es decir, el
algoritmo Differential Evolution, o DE.
3.1.1. Método de Ziegler – Nichols
l disen o de controladores, tal como se mostro en la seccio n anterior, se realiza en
función del conocimiento del proceso, es decir, a partir del modelo del proceso, del
esquema de control y de las restricciones que se le imponen al mismo. A diferencia
de ello, la sintonización de los controladores se realiza sin que se disponga de
dicha información y resulta sumamente útil en los casos en que la obtención del
modelo del proceso es muy engorrosa. Los métodos de diseño utilizan
restricciones particulares impuestas a la respuesta deseada que permiten
determinar con precisión los parámetros del controlador, en tanto que en el caso
de la sintonización de un controlador, dichos parámetros se van ajustando de
forma tal que se obtenga una respuesta temporal aceptable.
Los métodos de sintonización están basados en estudios experimentales de la
respuesta al escalón de diferentes tipos de sistemas, razón por la cual los
parámetros del controlador que se determinan utilizando estas metodologías
podrían dar como resultado una respuesta medianamente indeseable s por ello
que dichos para metros se utilizan como punto de partida para la definitiva
sintonizacio n de los mismos, lo cual se realizara ajusta ndolos finamente de forma
tal que se logre obtener la respuesta deseada.
En esta sección se mostraran dos reglas de sintonización de controladores
desarrolladas por Ziegler y Nichols, las cuales simplifican altamente el problema de
fijar los para metros de un controlador. Dichas reglas podrían no ser la mejor
alternativa pero su sencillez y disponibilidad las mantienen como una fuerte
opción aún hoy en día.
En el primer método la respuesta de la planta al aplicar un escalón unitario debe
tener el aspecto de una curva en forma de S en el caso en que la curva no presente
esta dicha forma, no es posible aplicar el método. Si la planta incluye integradores
3. Ajuste del controlador
17
o polos dominantes complejos conjugados, la respuesta al escalón unitario no será
como la requerida y no podrá utilizarse el método. La respuesta al escalón se
obtiene experimentalmente y a partir del proceso puede ser aproximado a una
función de transferencia. Una vez se han identificado los parámetros de esta
función de transferencia aproximada se fijarán los parámetros del controlador
según una tabla estandarizada.
El segundo método solamente puede aplicarse cuando un proceso a lazo cerrado
presenta una respuesta que oscile continuamente para un valor especifico de su
ganancia a lazo abierto, es decir, el sistema a lazo cerrado tiene una ganancia
crítica, la cual corresponde con el límite de estabilidad del sistema a lazo cerrado.
Tanto la ganancia crítica como el periodo crítico pueden ser determinados de
forma experimental, a partir de los cuales los parámetros del controlador puede
ser fijados según otra tabla estándar de ajuste. Adicionalmente, si se conoce la
función de transferencia del proceso los valores de la ganancia y del periodo
críticos podrán ser obtenidos teóricamente utilizando el criterio de estabilidad de
Routh-Hurwitz. Al igual que en el primer método, los parámetros determinados a
través de la tabla servirán como inicio a partir de los cuales se ajustarán los
mismos hasta lograr la respuesta deseada.
3.1.2. Método del lugar geométrico de las raíces
Otra técnica de ajuste de controladores PID es el método gráfico basado en el lugar
de las raíces. El método del lugar geométrico de las raíces es un enfoque gráfico
que permite determinar las ubicaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir
de las ubicaciones de los polos y ceros en lazo abierto conforme algún parámetro
(por lo general la ganancia) varía de cero a infinito. El método produce un indicio
claro de los efectos del ajuste del parámetro.
En la práctica, una gráfica del lugar geométrico de las raíces de un sistema indica
que el desempeño deseado no puede obtenerse con sólo el ajuste de la ganancia.
De hecho, en algunos casos, tal vez el sistema no sea estable para todos los valores
de ganancia. En este caso, es necesario volver a construir los lugares geométricos
de las raíces para cumplir las especificaciones de desempeño.
Cuando se diseña un sistema de control, si se requiere de un ajuste diferente al de
la ganancia, debemos modificar los lugares geométricos de las raíces originales
insertando un compensador conveniente. Una vez comprendidos los efectos de la
adición de los polos y/o ceros sobre el lugar geométrico de las raíces, podemos
determinar con facilidad las ubicaciones de los polos y los ceros del compensador
que volverán a dar una forma conveniente al lugar geométrico de las raíces.
3.1. Técnicas de ajuste de un controlador
18
En esencia, en el diseño realizado mediante el método del lugar geométrico de las
raíces, los lugares geométricos de las raíces del sistema se vuelven a construir
mediante el uso de un compensador, a fin de poder colocar un par de polos
dominantes en lazo cerrado en la posición deseada. A menudo se especifican el
factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia no amortiguada natural de un
par de polos dominantes en lazo cerrado que, como ya comentamos, no serán
nuestras especificaciones estrella en el ajuste del controlador a través del
algoritmo DE.
La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de
jalar el lugar geométrico de las raíces a la derecha, lo cual tiende a disminuir la
estabilidad relativa del sistema y alentar el asentamiento de la respuesta.
Recordemos que, la adición de los controles integrales añade un polo en el origen,
con lo cual el sistema se vuelve menos estable.
La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de
desplazar el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda, con lo cual el sistema
tiende a ser más estable, y se acelera el asentamiento de la respuesta. Físicamente,
la adición de un cero a la función de transferencia de la trayectoria directa significa
agregar al sistema un control derivativo. El efecto de tal control es introducir un
grado de previsión al sistema y acelerar la respuesta transitoria.
3.1.3. Algoritmo Differential Evolution (DE)
La estrategia de ajuste de controladores PID mediante el algoritmo DE a partir de
unas especificaciones de diseño de una planta dada es la propuesta en el presente
trabajo. Este algoritmo es una técnica de optimización evolutiva basada en la
minimización de un función de coste o ajuste.
Esta función de coste es propiamente programada para alcanzar unos requisitos de
diseño y, por lo tanto, alcanzar unos objetivos en la respuesta y en el
comportamiento de la planta a controlar.
Dado un determinado proceso, con una función de transferencia conocida, ( ), el
algoritmo DE calcula los parámetros del controlador, ( ), con el fin de satisfacer
varias especificaciones de diseño en lazo cerrado.
El mecanismo de funcionamiento del algoritmo es explicado en el siguiente
apartado, en el cual, además, se detallan cada una de las funciones de coste
desarrolladas en nuestro trabajo para cumplir diferentes especificaciones de
diseño, tanto en el dominio temporal como en el frecuencial.
3. Ajuste del controlador
19
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador
En el presente trabajo planteamos el uso del método DE para cuestiones de
optimización global en el cálculo de los parámetros de un controlador PID, tanto de
orden fraccionario como entero.
Estas técnicas basadas en la optimización evolutiva son puramente probabilísticas,
pero sin derivadas o funciones de densidad de probabilidad para estimar la mejor
solución del problema de ajuste. En nuestro algoritmo DE existen elementos que
corresponden a posibles soluciones y los valores proporcionados por la función de
coste indican la proximidad a las especificaciones implementadas en ella.
De forma esquemática, los principales conceptos de esta técnica de optimización
global aplicada para el ajuste de un controlador puede observarse en el Algoritmo
1 mostrado más adelante. El entorno de simulación empleado y la implementación
del Algoritmo 1 al completo y del resto de algoritmos que se mostrarán a lo largo
del presente informe ha sido realizado a través de MATLAB, el cual es un potente
entorno de cálculo numérico y lenguaje de programación de cuarta generación.
Así pues, el conjunto de la población está formado por candidatos o miembros
que representan cada una de las posibles soluciones.
Para el caso de aplicar el algoritmo DE para un ajuste de un controlador PID
convencional, esto es de orden entero, cada miembro de la población tiene tres
parámetros que proponen las soluciones posibles al ajuste.
( ) (8)
donde (que viene de la traducción de población en inglés, population)
representa al miembro de la población en la iteración . Cada uno de estos tres
parámetros corresponde a las constantes proporcional, integral y derivativa del
controlador PID, respectivamente.
Por otra parte, para el ajuste de un controlador PID fraccionario, , como ya
hemos comentado en varias ocasiones, cada uno de los miembros de la población
tiene cinco parámetros, donde los tres primeros son las ganancias proporcional,
integral y derivativa, respectivamente, mientras que los dos siguientes
corresponden a los órdenes fraccionarios introducidos al operador integral y
derivativo, respectivamente.
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador
20
( ) (9)
donde, de forma análoga, representa al miembro de la población en la
iteración .
1 for do
2 ( ) Generación de la primera población
3 (
) Cálculo de la función de coste
4 end for
5 for do
6 for do
7
(
) Mutación
8 for do
9
Crossover
10
11 end for
12 (
) Nuevo cálculo de la función de coste
13 if
then Selección con el umbral
14
15 else
16
17 end if
18 end for
19 ( ) Rechazo de miembros
20 ( )
21 ( )
22 if converge then Parada tras convergencia a solución
23 ( )
24 end if
25 end for Retorno con la mejor solución
Algoritmo 1. Método Differential Evolution para el ajuste de un controlador PID, tradicional o fraccionario
Obsérvese, del Algoritmo 1, que el procedimiento de implementación, tanto para el
caso de un ajuste para un controlador PID como para el de un controlador ,
3. Ajuste del controlador
21
es idéntico, salvo por la excepción detallada previamente en el número de
parámetros que contienen cada miembro de la población establecida.
La población inicial (línea 2 del Algoritmo 1) será elegida aleatoriamente entre
unos límites que han sido previamente definidos. La necesidad del empleo de estos
límites es necesaria para impedir una búsqueda de soluciones en el espacio
infinito. La eliminación de éstos implicaría el empleo de una población muy
numerosa, lo cual no resulta práctico desde un punto de vista computacional.
Inmediatamente después de asignar un valor a cada uno de los parámetros que
componen el miembro de la población (línea 3 del Algoritmo 1), se obtiene el valor
de error proporcionado por la función de coste que, recordemos que evalúa la
similitud de la posible solución con las especificaciones programadas en ella. Por lo
tanto, la correcta implementación de esta función de coste es un aspecto
fundamental en la técnica evolutiva planteada. La programación y funcionamiento
de la misma serán detalladas en la sección 3.2.5 del presente documento.
En la línea 5 del Algoritmo 1 comienza el proceso de optimización que no se
detiene hasta que se alcanzan un número de iteraciones determinado, , y
definido previamente por el usuario, o bien hasta que se cumple una condición de
convergencia en la solución dada que depende del valor obtenido en la función de
coste. Estas y otras condiciones de convergencia serán explicadas en la sección
correspondiente más adelante.
Mientras no se cumplan cualquiera de las condiciones introducidas anteriormente,
se ejecutará el código del interior del bucle, es decir, desde la línea 6 hasta la línea
25 del Algoritmo 1.
Cada una de las iteraciones en el bucle comienza con la generación de la nueva
población (línea 6 del Algoritmo 1) para la siguiente generación, evolucionando en
cada iteración de tal forma que los parámetros del controlador se optimicen y, por
lo tanto se minimice la función de coste.
El algoritmo evolutivo, es decir el DE, consta de varios puntos fundamentales
indicados, además, en los comentarios del Algoritmo 1. Estos pasos mencionados
pertenecen al bucle principal de control del algoritmo y su funcionamiento se
describe en las subsecciones siguientes.
3.2.1. Mutación, crossover y selección
En cada una de las iteraciones del bucle principal se lleva a cabo lo que se conoce
como mutación (línea 7 del Algoritmo 1). Este proceso consiste en generar un
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador
22
vector a partir de la combinación lineal de distintos miembros de la población al
comienzo de la iteración de acuerdo con la expresión (10).
(
) (10)
donde ,
y son tres elementos de la población aleatoriamente
escogidos en la k-ésima iteración mientras que , y son índices distintos al
índice . Por su parte, es un factor constante y real que controla la importancia
que se otorga a la variación diferencial, (
), en el proceso de mutación
y, por lo tanto, al valor definitivo del vector. Los valores típicos para la constante
de la ecuación (10) que hemos empleado a lo largo de nuestro trabajo han sido los
comprendidos en el intervalo [ ].
Lógicamente, las variables de esta expresión (10) pueden ser modificadas con el
fin de obtener otros vectores diferentes. Por ejemplo, es posible seleccionar la
mejor solución de la población en vez de emplear . En nuestro caso, hemos
basado el proceso de mutación en la aleatoriedad. Por un lado, la mutación basada
en los mejores candidatos es más rápida y es aplicable para la mayoría de las
plantas, mientras que nuestra elección es mucho más robusta porque mantiene la
diversidad de la población y es aplicable en diferentes situaciones generales.
La etapa de crossover (líneas 8 a 11 del Algoritmo 1) surge ante la necesidad de
incrementar la diversidad de la nueva generación. Dependiendo de la probabilidad
de cruce, o crossover, prefijada, se genera a partir del vector resultante del proceso
de mutación, , y del miembro de la población,
, el vector de prueba .
{
(11)
(
)
(12)
donde es un valor aleatoriamente elegido dentro del intervalo [ ] para cada
parámetro del miembro de la población en la iteración . El parámetro es la
probabilidad de cruce previamente fijada cuya misión será controlar la actuación
de la etapa crossover en el algoritmo DE.
De la expresión (12), es decir, la composición y forma del vector de prueba ,
cabe destacar el coeficiente . Este coeficiente normalmente hace referencia al
número de cromosomas que tiene cada miembro de la población. En nuestro caso
particular, el coeficiente tomará un valor de 3 para el caso del empleo del
3. Ajuste del controlador
23
Algoritmo 1 en el ajuste de un controlador PID convencional mientras que para la
consecución del ajuste de un controlador fraccionario asignaremos a dicho
coeficiente un valor de 5. Obsérvese que el valor de este coeficiente, para nuestros
casos particulares de ajustes de controladores, toma un valor igual al número de
parámetros a ajustar del propio controlador.
Dentro de esta subsección, explicaremos, por último, el mecanismo de selección
que se lleva a cabo en el Algoritmo 1 (líneas 13 a 17 del Algoritmo 1). Este proceso
consiste en la determinación de la siguiente generación a través de la comparación
entre las variables y
. Si el valor proporcionado por la función de coste
para la variable propuesta es mejor que el otorgado al miembro
, entonces
la solución propuesta por el miembro es sustituida por
, pues se trata de
una mejor solución. En el caso contrario, el actual miembro se mantiene para
la siguiente generación.
Como combinación al proceso de selección se implementa lo que se conoce como
franja de rechazo. En la subsección que sigue se detalla su funcionamiento, así
como su necesidad.
3.2.2. Franja umbral
Los algoritmos evolucionarios y, en general, aquellos métodos basados en
poblaciones, se han convertido en los últimos tiempos muy populares debido a su
gran aplicabilidad y sencillez.
Uno de los principales defectos de este tipo de técnicas es la prematura
convergencia del método, así como la ausencia de robustez para problemas de
optimización con ruido.
Si el algoritmo DE es comparado con otros métodos basados en la búsqueda de
poblaciones, como puede ser el algoritmo genético, se muestran algunos puntos
débiles. Este comportamiento ha sido estudiado por Krink, Filipic and Fogel [42].
Existen dos aspectos diferentes con una influencia negativa: el método DE
implementa un codiciosa estrategia de búsqueda y los mecanismos DE para
generar nuevas soluciones potenciales son menos probables que otros algoritmos
evolutivos. Estas desventajas son importantes cuando la diferencia entre el valor
proporcionado por la función de coste para el candidato y el valor asignado al
elemento actual es más pequeño que la variación de ajuste originada por el ruido.
Así pues, el proceso de selección incorpora un umbral de rechazo con el fin de
evitar una temprana convergencia, y por lo tanto, final de la búsqueda, con
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador
24
soluciones ruidosas [43]. La idea básica es reducir la posible confusión del
algoritmo implementado ante un falso positivo a través del rechazo de aquellas
nuevas soluciones que no mejoran la suposición anterior en un magnitud prefijada,
. Esta idea no es nueva y ya ha sido aplicada en otros problemas de computación
evolutiva [44].
El umbral establecido no es una magnitud física, pues esta unidad depende de la
variación del ruido y el error cometido respecto a las especificaciones
implementadas en la función de coste. La variación del ruido podría ser estimada,
sin embargo, no es trivial conseguir este segundo factor.
Por lo tanto, la inclusión del umbral mencionado en el proceso de selección
descrito en la subsección anterior se describe mediante la siguiente expresión.
{
(13)
donde es el valor proporcionado por la función de coste al actual candidato
de la población, , y
representa el coste del vector de prueba, .
Así pues, el funcionamiento de este método resulta evidente al observar la
ecuación 13. En primer lugar, se obtiene la diferencia numérica de los costes
asociados a las soluciones planteadas por el miembro de la población y el vector
de prueba. Entonces, dicha diferencia es comparada con un valor umbral
predefinido, , para determinar si la mejora proporcionada por el vector no es
debida al ruido. Por lo que, si esta condición se cumple, el vector de prueba, ,se
propone como miembro de la población para la siguiente iteración, es decir, la
iteración ( ). En caso contrario, la solución propuesta por el miembro , ,
se mantendrá en la población de la siguiente generación.
En conclusión, si la mejora en la función de coste es mayor que la varianza (o la
desviación estándar, según las unidades), puede ser considerada que no es fruto de
la existencia de ruido y un nuevo miembro puede ser introducido en la población
global. Cabe destacar que, en el trabajo desarrollado en el presente documento, no
le hemos dado un valor excesivamente representativo a , lo cual se traduce a un
valor nulo.
La potencia y convergencia del algoritmo en cuestiones de optimización bajo la
presencia de ruido y la comparación entre el actual método y otros métodos que
no emplean umbrales de rechazo pueden encontrarse en publicaciones recientes
de mi tutor y otros colegas [45].
3. Ajuste del controlador
25
3.2.3. Mecanismo de rechazo
La implementación de un una franja umbral de rechazo tiende a disminuir la
velocidad de convergencia del algoritmo, especialmente en las etapas iniciales del
mismo debido al rechazo de las siguientes generaciones debido a una mejora poco
sustancial respecto a la propuesta como solución previa.
Un tratamiento de rechazo se introduce de tal forma que aumente la velocidad de
convergencia del algoritmo a la par que mantiene las ventajas desde un punto de
vista de robustez que nos proporciona la introducción del umbral.
La función de este mecanismo es, por lo tanto, detectar los peores individuos del
conjunto de la población, es decir, aquellas soluciones que más lejos se encuentran
de cumplir las especificaciones implementadas en la función de coste, y sustituirlos
por otras soluciones más cercanas a las que más se acercan de cumplir dichas
especificaciones. Para hacer lo descrito, un porcentaje determinado de los
miembros son descartados. En nuestro caso, cada iteración rechazamos un 5% de
elementos la población que son sustituidos por los mejores.
Para evitar la concentración de soluciones descartadas alrededor del mejor
miembro de la población existente, los peores individuos son sustituidos por otros
miembros seleccionados aleatoriamente pertenecientes a la primera mitad del
ranking de miembros, cuya clasificación se basa, lógicamente, en el error cometido
en cuanto a la proximidad con las especificaciones establecidas en la función de
coste. Esta solución seleccionada, además de contar con un relativamente pequeño
componente aleatorio, se adopta como una nueva descendencia.
En resumidas cuentas, lléguese a la conclusión de que el mecanismo de rechazo es
muy importante en las etapas iniciales del proceso de optimización siempre que
los errores sean importantes, mientras que, en las iteraciones o etapas finales no
resulta tan interesante, pues la población se encuentra cercana a la solución
óptima que, en nuestro caso, son los parámetros del controlador.
3.2.4. Convergencia y finalización
En esta subsección se detallarán las condiciones por las cuales el algoritmo DE
propuesto considera que ha alcanzado un solución eficiente al problema de
optimización planteado, esto es, el ajuste de los parámetros de un controlador PID,
ya sea de orden entero o fraccionario, para el control de un sistema físico dado.
Como cabe esperar, la forma más natural de parada del algoritmo DE vendrá
determinada por los valores de coste que tenga la población global, pues éstos
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador
26
cuantifican el error que comete cada uno de los miembros de esta respecto a las
especificaciones deseadas. Una vez el elemento de la población con la mejor
solución cometa un error inferior a una consigna error determinada, el algoritmo
DE fijará dicha solución como la más óptima y proporcionará al diseñador sus
resultados.
Como pueden imaginarse, establecer dicha consigna error para comparar los
valores de costes proporcionados por cada una de las soluciones de la población no
es, en absoluto, una tarea trivial. Cada una de las funciones de coste que se
explicarán en las subsecciones siguientes, con sus especificaciones, tienen órdenes
de magnitud muy diferentes. Esto significa que, no es lo mismo que una solución
cometa un error, por ejemplo, unidad en la función de coste basada en las
especificaciones del dominio temporal que lo cometa en la función de coste
dependiente del dominio frecuencial. Si echamos la vista a las subsecciones
siguientes, en la cual explicamos cada una de las funciones de coste desarrolladas,
entenderemos este concepto de magnitud de una manera más práctica si
asimilamos correctamente el uso del factor en la ecuación que determina el error
para función de coste que combina especificaciones tanto en el dominio temporal
como frecuencial. El empleo de este factor se empleaba para fijar la prioridad de
las especificaciones de un dominio sobre otro y, principalmente, para tratar de
equiparar el problema que surge debido a las distintas magnitudes que tiene entre
sí.
Por otro lado y, con el fin de subsanar los problemas comentados y otros que
surgen en la convergencia de la solución óptima, otro mecanismo de parada del
algoritmo, paralelamente empleado junto al anteriormente comentado, es el de
limitar a un numero de iteraciones máximo ( , según el Algoritmo 1) la
búsqueda de una solución óptima para el ajuste de control propuesto. Con una
relativa experiencia en la definición de algunas variables iniciales y de partida, este
mecanismo de convergencia resulta mucho más práctico, no únicamente por
presentar una solución muy aceptable al problema propuesto en un tiempo
relativamente reducido, sino también por evitar la generación de una población
poco diversa y con pocas opciones de mutación en las fases finales del algoritmo.
En cualquiera caso, obsérvese la necesidad de incluir este último mecanismo de
parada, pues la no convergencia del algoritmo hacia la solución óptima ante la
ausencia de ésta condición máxima de iteraciones daría lugar a la ejecución del
algoritmo en un tiempo que podría tender a ser infinito.
Tanto la condición de parada de ejecución relativa al número máximo de
iteraciones como la relacionada con el valor asignado a la población por la función
3. Ajuste del controlador
27
de coste son apreciables en el Algoritmo 1, en las líneas 5 y de la línea 22 a 24,
respectivamente.
Obviamente, otras condiciones de parada son fácilmente implementables en el
algoritmo DE, sin embargo, hemos considerado que los mecanismos explicados en
la presente subsección son los idóneos para la aplicación que nuestro trabajo
aborda.
A lo largo de esta sección y sus correspondientes subsecciones se han ido
explicando todas aquellas fases que van sucediendo a lo largo de la ejecución del
algoritmo DE durante una iteración determinada aplicándose al completo de su
población para dicha iteración. Lógicamente, todo este proceso se repite hasta que
se cumpla una de las dos condiciones de parada descritas.
Finalmente, una vez el algoritmo ha determinado una solución para el problema de
optimización global planteado, éste devuelve la población formada por los mejores
miembros resultantes, es decir, aquellos miembros cuyos cromosomas o
parámetros minimizan la función de coste.
Como comentamos anteriormente, la función de coste será descrita
detalladamente a continuación. Esta función de coste será diseñada e
implementada con el fin de satisfacer unas especificaciones de diseño concretas.
Hemos desarrollado tres opciones diferentes de función de coste que satisfacen
diferentes especificaciones: la primera y, la más sencilla. para cumplir las
especificaciones de diseño en régimen temporal, la segunda en el dominio de la
frecuencia y la última es una combinación de la dos primeras.
3.2.5. Función de coste
Como bien conocemos, el objetivo del empleo del método DE es la resolución de un
problema de optimización global ante un problema planteado que, en nuestro caso,
es el ajuste de un controlador, ya sea fraccionario o convencional, para su uso en
un proceso o planta dados. La actuación de la función de coste para alcanzar dicha
meta es de vital importancia en el método DE y, por lo tanto, su adecuada elección
y programación es esencial para su correcto funcionamiento. Para no fallar en esta
elección, es evidente que es necesario un análisis previo sobre el proceso a ser
controlado. Una vez conocemos en detalle el problema a resolver, desarrollamos la
función de coste necesaria para cumplir con las especificaciones de diseño
deseadas.
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador
28
El algoritmo DE implementado introduce una gran flexibilidad en el método de
ajuste del controlador de tal forma que múltiples y diferentes funciones de coste
pueden ser desarrolladas para probar el ajuste.
La optimización global es la tarea de encontrar el mejor conjunto de condiciones
admisibles para lograr un objetivo que cumplimente unas restricciones dadas,
asumiendo que ambas son desarrolladas en términos matemáticos. Algunos
problemas de optimización global de gran escala se resuelven con métodos
actuales y hay en el mercado un gran número de paquetes software disponibles
que resuelven de forma fiable la mayoría de problemas de optimización de
dimensiones reducidas y, algunos mas grandes también. Sin embargo, el mayor
reto de estos métodos es encontrar, en el caso de que exista, el mínimo global
como solución, lo cual depende, en gran medida, de las condiciones iniciales
fijadas.
En teoría, la optimización global es una versión más potente que la optimización
local, cuya gran utilidad, en la práctica, es absolutamente indiscutible. La
optimización global pretende, en lugar de encontrar un punto localmente factible,
encontrar globalmente el mejor punto en una región factible. Sin embargo, en
muchas aplicaciones prácticas encontrar globalmente el mejor punto, aunque
pudiera parecer el deseable, no es esencial, pues cualquier suficientemente buen
punto es útil y, normalmente, supone una mejora y una buena solución.
Además, en algunas ocasiones, dependiendo del problema de optimización
propuesto, no podemos garantizar la función de optimización nos obtendrá un
mínimo global, a menos que el mínimo global sea el único mínimo y la función a
minimizar sea continua.
Teniendo todo esto en cuenta y considerando que el conjunto de funciones para
minimizar, la función de coste en nuestro caso, son continuas y pueden únicamente
presentar un mínimo en la región factible, cualquiera de los métodos de
optimización podría ser, a priori, efectivo.
Por esta razón y teniendo presente que MATLAB es herramienta muy apropiada
para el análisis y el diseño de sistemas de control, el entorno de programación y de
cálculo de éste ha sido empleado para logar la mejor solución con el mínimo error.
En nuestro trabajo en particular, hemos desarrollado dos funciones de coste que
estudian y buscan una solución cuyas especificaciones de diseño se basan en el
dominio temporal y frecuencial de manera independiente. Además, una tercera
función de coste ha sido implementada y es resultado de la combinación de las
anteriores basadas en el dominio temporal y frecuencial.
3. Ajuste del controlador
29
El funcionamiento principal de esta función cost() puede observarse de forma
esquemática en el Algoritmo 2 mostrado más adelante. En función de cuál de estas
tres funciones de coste mencionadas a implementar se ejecutará un código u otro.
Dicha ejecución podrá verse en las subsecciones posteriores correspondientes a la
explicación detallada de cada uno de estas funciones de ajuste desarrolladas. Sin
embargo, todas estas comparten una serie de procedimientos idénticos recogidos
en el Algoritmo 2.
1 𝑷𝑰𝑫 ( ) Aproximación del PID
2 (𝑷𝑰𝑫 ) Cálculo de la FdT en lazo cerrado, M
3 If option=2 then Obtención de las condiciones reales
4 ( 𝑷𝑰𝑫 ) del regulador para compararlo con las
5 | | ( ) especificaciones de diseño establecidas
6 | | ( ) en la opción 3.
7 end if
8 [ ] ( ) Margen de fase y frecuencia
Algoritmo 2. Main de la función de coste
Si observamos el Algoritmo 1 se puede apreciar que cuando se llama a esta función
de coste, (), se le pasan tres parámetros. Estos tres parámetros en la función
que ejecuta el algoritmo DE son ( ), es decir, la función de
transferencia de la planta, la solución planteada por el miembro de la población i
de la iteración k y la opción de la función de ajuste que se desea ejecutar. Este
último parámetro determina qué función de coste desea ser ejecutada, siendo de
valor 1 cuando se desea ejecutar aquella que optimiza una solución con
especificaciones en el dominio temporal, 2 para aquellas que desean cumplir las
especificaciones del régimen frecuencial, y 3 para ejecutar la función de coste que
optimiza la solución que cumpla una combinación de ambos dominios.
Por otra parte, la interpretación de los parámetros de esta función de coste se
realiza según los siguientes nombres: ( ) . Como puede
observarse la solución propuesta es la única que varía en este algoritmo 2 respecto
al algoritmo principal del DE, el algoritmo 1.
En primer lugar, la función de coste del algoritmo realiza una aproximación del
controlador PID, ya sea de orden entero o fraccionario, en base a la solución
propuesta a través del parámetro solution (línea 1 del Algoritmo 2). A partir de
esta línea computacional, el resto del algoritmo que completa esta función de coste,
independientemente de la opción de ajuste escogida, es idéntica tanto para el caso
de aproximar un controlador PID tradicional como para el caso de ajustar un
controlador de orden fraccionario. Con esta aproximación calculamos la función de
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador
30
transferencia en lazo cerrado con realimentación unitaria negativa (línea 2 del
Algoritmo 2). Por último, se establecen las condiciones reales a las que está
sometido el sistema en tales condiciones con la solución propuesta para poder
realizar la comparación correspondiente según la opción escogida a través de la
variable option. Estos parámetros son el margen de fase, , y la frecuencia de
cruce de ganancia, (línea 8 del Algoritmo 2).
Referente al algoritmo mostrado anteriormente, el Algoritmo 2, cabe destacar las
líneas 3 a la 7, las cuales únicamente son ejecutadas en que la opción de ajuste
seleccionada sea la basada en el dominio frecuencial. En tal caso, se fijan los
valores pertinentes a estas variables, | | y | | , para ser comparadas con las
especificaciones de diseño de este método de ajuste. Estos valores son unas
magnitudes de interés en decibelios a unas frecuencias concretas para la opción 2
de ajuste. Un mayor detalle de estos valores y especificaciones será explicado en
subsecciones posteriores.
Una profunda descripción de estas funciones fundamentales del algoritmo,
explicando sus ventajas e inconvenientes entre ellas, puede leerse en las siguientes
subsecciones.
3.2.5.1. Ajuste del dominio temporal
Tradicionalmente, el ajuste de controladores para regular una planta determinada
se ha realizado teniendo en cuenta parámetros como el tiempo de estabilización, la
sobreoscilación o el error en régimen permanente de la respuesta del sistema
controlado. En nuestro trabajo hemos tratado de concentrar estas especificaciones
clásicas de diseño en una, el tiempo de respuesta, cuyo objetivo es obtener un
controlador capaz de hacer que la señal de salida de la planta imite lo más
solidario posible a una entrada cualquiera que, normalmente, será una entrada
escalón.
Una posibilidad de llevar a cabo lo descrito anteriormente para tratar de
conseguir una solución que obtenga lo deseado consiste en medir el error
cometido entre la salida y la referencia marcada, es decir, la entrada al sistema en
lazo cerrado. Tal efecto puede apreciarse en la ecuación que muestra a
continuación.
( ) ∑ ( )
∑[ ( ) ( )]
(14)
3. Ajuste del controlador
31
donde ( ) es la señal de error que asignará la función de coste a cada una de las
soluciones propuestas. Por otra parte, las variables ( ) e ( ) son las señales de
referencia (o salida ideal que se desea obtener) y de salida de la planta,
respectivamente.
Por lo tanto, este error se calcula en un intervalo finito del dominio temporal
discreto entre un tiempo inicial y final concretos. Así pues, el panorama ideal desde
un punto de vista del control de la planta, sería el seguimiento total y solidario de
la señal de salida, ( ), a la de referencia, ( ), pues en este caso, la señal de error
sería nula y, por lo tanto, el control de la señal de salida de la planta
completamente controlado.
La minimización de esta función de ajuste implica que el tiempo de respuesta del
sistema será lo más cercano posible a lo deseado o ideal. De esta forma, dado que
el control de la señal se lleva a cabo en el dominio temporal, y, mientras el método
de optimización se realice con éxito, es lógico pensar que los parámetros típicos a
ajustar en el dominio temporal (tiempo de pico, estabilización o sobreoscilación,
por ejemplo) presentarán unos valores adecuados y similares a los deseados.
Todas estas interpretaciones se traducen en forma computacional a través del
entorno de programación que ofrece Matlab según el Algoritmo 3 que, recordemos
que es continuación del Algoritmo 2 mostrado en la sección anterior para el caso
en el que la variable option sea igual a la unidad.
1 [ ] ( ) Aproximación del PID
2 𝑫 [ ] [ ] Retorno del error cometido
Algoritmo 3. Opción de ajuste 1
Del Algoritmo 3 anterior puede observarse un primer cálculo del vector de la
posición simulado del sistema en lazo cerrado realimentado unitariamente ante la
respuesta ante una entrada escalón a lo largo del tiempo, [Y], es decir, obtiene
todos los valores de esta posición en consecuencia de esta entrada escalón cada un
cierto y pequeño intervalo de tiempo (línea 1 del Algoritmo 3). A continuación, en
la línea 2 se obtiene el error cuadrático de posición basado en la ecuación (14)
descrita anteriormente.
Por el contrario, existen otros muchos factores que no se ven satisfechos al no
estar incluidos en este tipo de control, es decir, el de dominio temporal. Por
ejemplo, la robustez del comportamiento ante variaciones de ganancia de la planta
son ignoradas en esta función de coste.
Esta situación ocurre en muchas aplicaciones, pues estas no se comportan en
ningún caso en situaciones ideales. Esta robustez del sistema ante estas
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador
32
variaciones es difícilmente controlable en el dominio temporal. Por este motivo, y
debido a una mayor facilidad en su diseño e implementación, hemos desarrollado
una segunda función de coste basada en el diseño del controlador en el dominio
frecuencial. Esta segunda opción de coste se describe con mayor detalle a
continuación.
3.2.5.2. Ajuste en el dominio frecuencial
Tradicionalmente, el ajuste de los parámetros de un controlador, ya sea de orden
entero o fraccionario, se ha centrado en cumplir con unas especificaciones de
diseño basadas en el dominio temporal, como la sobreoscilación, el tiempo de pico
o el de establecimiento. Este problema es abordado en la función de coste anterior
que hemos desarrollado.
Sin embargo, nuestro trabajo e investigación se centra en explotar otras
especificaciones de diseño implementadas bajo el dominio frecuencial. Esto es,
principalmente, por tener una mayor facilidad a la hora a abordar ciertas
especificaciones de diseño bajo el dominio de la frecuencia en comparación al
dominio temporal. Existen varias y diferentes especificaciones que, bajo un trabajo
en el dominio temporal, resulta bastante tedioso de diseñar en cuanto a su control
y eficiencia.
Como comentamos en la introducción del presente documento, el objetivo de
nuestro trabajo es diseñar un controlador de orden fraccionario de tal forma que el
sistema cumpla diferentes especificaciones de diseño atendiendo a la robustez de
la planta frente a la incertidumbre, perturbaciones de carga y ruido de alta
frecuencia, principalmente. Por esta razón, las especificaciones relacionadas con
los márgenes de fase, la sensibilidad de las funciones y los requerimientos de
robustez y comportamiento sólido serán considerados en el algoritmo DE bajo esta
función de coste, debido a sus características importantes en relación con su
rendimiento, estabilidad y robustez.
Evidentemente, otras especificaciones pueden proporcionarse para llevar a cabo
en el proceso de diseño y ajuste de un controlador. Por nuestra parte, el problema
de optimización y, por lo tanto, las especificaciones de diseño basadas en el
dominio frecuencial son las siguientes.
(A) Robustez ante variaciones de ganancia en la planta o fase plana.
Esta propiedad puede ser satisfecha mientras se cumpla la siguiente expresión.
3. Ajuste del controlador
33
[ ( ( ))]
|
* ( ( ) ( ))+
|
(15)
donde es la frecuencia en la que la ganancia del sistema en lazo abierto es nula
y ( ) ( ) ( ) es la función de transferencia en lazo abierto. Por una parte,
( ) es la función de transferencia de la planta a controlar y ( ) es el
controlador diseñado.
La pretensión de esta condición, representada bajo la ecuación (15), es la de forzar
la fase del sistema en lazo abierto, ( ), que sea plana a la frecuencia y
prácticamente constante dentro de un intervalo determinado alrededor de esta
misma frecuencia, .
Bajo el cumplimiento de esta condición, conocida también como fase plana, se
traduce en que el sistema es más robusto a cambios de ganancia en la planta y la
sobreoscilación de la respuesta es prácticamente constante dentro de un rango de
variación de ganancia (propiedad de amortiguamiento de la respuesta temporal).
Cabe destacar que el intervalo de ganancia para los cuales el sistema es robusto no
es ajustado en esta condición. El usuario no puede forzar al sistema a ser robusto
para un rango concreto de ganancias de la planta. Este rango depende del rango de
frecuencias alrededor de para las cuales la fase del sistema en lazo abierto se
mantiene plana. A su vez, la longitud de este rango de frecuencias dependerá del
resultado del controlador y de la propia planta a controlar.
(B) Especificaciones de la frecuencia de ganancia de cruce, , y margen de
fase
En nuestro trabajo no hemos empleado valores fijos de estos parámetros, sino que
hemos usado intervalos de éstos para conseguir la estimación. Por lo tanto,
únicamente hemos establecido unos intervalos adecuados para cada uno de ellos
en la función de coste. Estos intervalos dependen de la complejidad y el
funcionamiento de la propia planta a controlar, así como la exigencia en el
cumplimento de estas especificaciones.
Estas variables son unos importantes y fiables indicadores sobre la robustez del
sistema. Por ejemplo, es conocido y demostrable que el margen de fase está
íntimamente relacionado con la amortiguación en la respuesta del sistema y,
además, también puede ser usado como un indicador sobre la estabilidad del
sistema [47].
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador
34
Las ecuaciones que definen el cálculo de estos parámetros pueden observarse a
continuación.
| ( ) ( )| (16)
( ( ) ( )) (17)
(C) Eliminación del error en régimen permanente
Como ya hemos mencionado en alguna ocasión, el operador integral fraccionario ⁄
es, en cuanto a la eliminación del error en régimen permanente, tan eficiente
como un operador integral de orden entero.
Por lo tanto, esta importante especificación de diseño relacionada con su
estabilidad queda completamente resuelta con la introducción de un integrador
fraccionario propiamente implementado.
(D) Rechazo del ruido a altas frecuencias
Con el objetivo de eliminar aquel ruido de altas frecuencias capaz de acceder a
nuestra señal, se lleva a cabo el desarrollo de una restricción complementaria a la
función de sensibilidad . Dicha restricción es fácilmente interpretable a través de
la siguiente ecuación.
| ( ) ( ) ( )
( ) ( )|
⁄ | ( )| (18)
Nótese que el objetivo de esta condición es la de obtener una atenuación del ruido
igual al parámetro para todas las frecuencias ⁄ .
(E) Rechazo de posibles perturbaciones en la señal de salida
Por último, para conseguir dicha especificación de diseño, se aplica, en este caso, la
función de sensibilidad para alcanzarla. Analíticamente, a continuación puede
observarse su funcionamiento a través de su expresión.
3. Ajuste del controlador
35
| ( )
( ) ( )|
⁄ | ( )| (19)
donde es el valor deseado para la función de sensibilidad a bajas frecuencias,
estas son, ⁄ .
Tanto el parámetro de la especificación (D) como el parámetro de esta
especificación (E) deben ser previamente analizados y prefijados antes de poner
en funcionamiento el algoritmo DE. En la sección experimental 4 se justificarán los
valores de éstos con los que se han llevado a cabo todo el trabajo práctico y
experimental.
Para nuestro caso particular en el diseño de un controlador de orden
fraccionario, las cinco especificaciones anteriormente descritas pueden ser
cumplidas, pues recordemos que éste controlador tiene cinco parámetros de
ajuste. En el caso que nos encontremos desarrollando un PID convencional o un
controlador o , tres de estas condiciones de diseño podrían verse
satisfechas, una para cada parámetro a ajustar.
Por lo tanto, para el caso general de un controlador PID de orden entero o
de orden fraccionario, el problema de diseño consiste en resolver el sistema de
ecuaciones no lineales (correspondientes a las especificaciones anteriormente
explicadas) y el conjunto de parámetros del controlador a ajustar, ya sean
( ) para el diseño de un convencional o ( ) para el diseño de
un fraccionario, tal y como hemos mencionado en varias ocasiones.
Sin embargo, la complejidad de este problema de ecuaciones no lineales es muy
significativa, especialmente cuando los órdenes fraccionarios de la variable de
Laplace son introducidos, y, por lo tanto, la búsqueda de la solución no es trivial.
De hecho, un problema de optimización no lineal es nuestra cuestión y debe ser
resuelta, en la cual la mejor solución de una restrictiva ecuación lineal tiene que
ser encontrada.
Obsérvese que las especificaciones de diseño que se exigen cumplir a la solución
planteada por cualquier miembro de la población son más fácilmente
implementables bajo el dominio de la frecuencia, tal y como habíamos mencionado
anteriormente. En absoluto esto significa que estas mismas especificaciones no
pudieran ser implementadas en el dominio temporal, sencillamente, se
complicaría.
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador
36
En nuestro desarrollo, la especificación (A), basada en la ecuación matemática
(15), es la condición principal en la que se centra esta función de coste para ser
minimizada. El resto de condiciones, es decir, desde la ecuación (16) hasta la
ecuación (19), se emplean como restricciones adicionales para tener en cuenta en
la optimización de tal forma únicamente se considerarán aquellos miembros de la
población que cumplan dichas condiciones. Como ya hemos comentado
anteriormente, el éxito de la convergencia de la solución, es decir, de encontrar el
mínimo, está fuertemente ligado a las condiciones iniciales consideradas para los
parámetros del controlador.
Por lo tanto, únicamente aquellos miembros de la población con un margen de fase
positivo ( ), con un operador integrador y con los niveles de atenuación acordes
a las condiciones (17) y (18) son considerados como posibles soluciones para
nuestro controlador, pues no tiene sentido calcular el error cometido por una
solución propuesta si ésta vuelve el sistema inestable o en condiciones no
deseadas.
De forma numérica, el valor de coste, con el cual pueden compararse los distintos
miembros de la población en relación a su proximidad a lo deseado, se obtiene a
partir de la siguiente expresión basada en la idea de la fase plana alrededor de ,
tras haber cumplimentado el resto de condiciones.
( ) ∑ ( )
∑[ ( ) ( )]
(20)
donde el error ( ) es calculado en un intervalo previamente definido entre
y alrededor de la frecuencia . Por su parte, ( ) es la fase del sistema a la
frecuencia . De esta forma, nótese que se cuantifica la llanura de la fase alrededor
de la frecuencia .
Todas estas restricciones y consideraciones se recogen de forma esquemática y de
programación según el Algoritmo 4 mostrado más adelante. En el se puede
observar línea a línea el cumplimiento de cada una de estas especificaciones
anteriormente descritas para poder asegurar los objetivos de comportamiento y
robustez del sistema con el ajuste implementado.
Atendiendo al Algoritmo 4, podemos observar que su valor está basado en el
comportamiento de la solución propuesta ante dos filtros basados en las
condiciones de diseño descritas en la presente subsección. En primer lugar, en la
línea 1 se realiza un primer filtro para la solución propuesta. Este primer filtro
3. Ajuste del controlador
37
consiste en aplicar las condiciones (D) y (E) anteriormente expuestas bajo un
trabajo previo de prefijar los valores de y . En segundo lugar, se establece un
segundo condicionante de estabilidad basado en el margen de fase del sistema, ,
en condiciones de lazo abierto (línea 2 del Algoritmo 4). Además se exige la
presencia del carácter integrador en la solución para eliminar posibles errores en
régimen permanente que pudieran existir en la respuesta del sistema controlado
(Condición (C)).
1 if | | and | | then Condiciones (D) y (E)
2 if and then Condición de estabilidad del sistema
3 [ ] ( ) Cálculo del error cometido
4 for l=1:max_rango_freq
5 ( )
6 end for
7 𝑫
8 else
9 𝑫 Rechazo de solución propuesta
10 end if
11 else
12 𝑫 * Rechazo de solución propuesta
13 end if
Algoritmo 4. Opción de ajuste 2
En el caso de que la solución propuesta por un miembro determinado de la
población del algoritmo DE cumpla con éxito estas condiciones se inicia el proceso
de cálculo para hallar el error cometido por ésta basado en la ecuación (20) (línea
3 a 7 del Algoritmo 4). El primer paso a realizar es fijar un vector de dimensiones
finitas que contiene aquellas frecuencias alrededor de la frecuencia de cruce de
ganancia obtenida en la línea 8 del Algoritmo 2, (línea 3 del Algoritmo 4). A
continuación se realiza un recorrido a lo largo de este vector de frecuencias
resultante para evaluar la diferencia existente en el margen de fase que tiene cada
una de éstas respecto al margen de fase existente para la frecuencia de cruce de
ganancia, y también obtenida en el Algoritmo 2 del presente documento y
recogido en el vector denominado [ ]. Esta operación se indica en las líneas 4 a
6 del Algoritmo 4.
Así pues, la variable [ ] resultante es un vector de las misma dimensión que el
vector de frecuencias que contiene la diferencia de cada una de las frecuencias
alrededor a la frecuencia de cruce de ganancia en cuanto al margen de fase. De aquí
que la estimación del error cometido para esta función de ajuste consista en una
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador
38
norma 2 del vector [ ] que, como puede observarse es, a efectos prácticos, la
ecuación anteriormente descrita (20) encargada de evaluar la optimización de las
diferentes propuestas que se plantean a lo largo de su ejecución.
Por lo tanto, la consecuencia de la minimización de esta función de ajuste 2 será,
principalmente, la optimización en el ajuste de un controlador PID, ya sea de orden
entero o fraccionario, con una fase plana alrededor de la frecuencia de cruce de
ganancia, , además del resto de condiciones detalladas anteriormente.
Cabe destacar el rechazo de la solución propuesta tan comentado en el Algoritmo 4
anterior (líneas 9 y 12 del Algoritmo 4). Como puede apreciarse, en el caso de que
no superen exitosamente uno de los dos filtros previos al cálculo del error, a éste
se le asignará un valor muy elevado de tal forma que el propio algoritmo DE
rechace la solución propuesta por el miembro que no cumple dichas condiciones y
la elimine en el proceso de rechazo del Algoritmo 1. Como puede concluirse, si
durante el proceso de optimización se plantean muchas soluciones que no
cumplen dichos requisitos, la población contendrá muchos miembros inútiles que
pueden dar lugar a la divergencia del algoritmo evolutivo. Por este motivo, las
condiciones iniciales cobran una importancia altísima en la convergencia durante
el proceso de optimización.
La siguiente subsección abordará una función de coste desarrollada que combina
los dos casos hasta ahora descritos.
3.2.5.3. Ajuste del dominio temporal y frecuencial
Por último, planteamos una posibilidad más para el problema de optimización y,
por lo tanto, como función de coste. Esta opción, correspondiente al valor 3 según
la variable option del Algoritmo 2, consiste en una mera combinación del dominio
temporal y frecuencial para implementar en la función de coste. Esta última
propuesta es una solución empírica que ha sido desarrollada para incluir tantos
factores y parámetros como sean posible en la expresión de coste.
Resulta evidente pensar que, la forma más inmediata y simple de combinar las
funciones de minimización o ajuste explicadas en las dos últimas subsecciones
consiste en sumar sus propias ecuaciones de coste (14) y (20). Además, por
diferencia existente en sus órdenes de magnitud, le hemos asignado un factor de
corrección de tal forma que trate de corregir este efecto. Como ya comentamos
anteriormente, no es lo mismo medir el error entre las señales de entrada y salida
que el error en ángulos, por lo que surge la necesidad de este factor de corrección
con el fin de solucionar esta cuestión. El valor de éste es un coeficiente puramente
experimental que, a través de las numerosas pruebas realizadas, se le puede
3. Ajuste del controlador
39
reducir el intervalo de valores que puede tomar para obtener unos resultados
óptimos. Esto significa que no predomine ninguno de los dominios por el encima
del otro de tal forma que se evite el obtener soluciones puramente pertenecientes
al dominio frecuencial o, en su defecto, al dominio temporal.
Así pues, la fórmula empleada para el cálculo del error que comete cada una de las
soluciones propuestas se escribe a continuación.
( ) ∑ ( )
( ) ∑ ( )
(21)
donde es el factor de corrección que mencionamos anteriormente, cuyo valor
está definido dentro del intervalo [ ] y representa la importancia que le
asignamos al error en la respuesta temporal. Por su parte, obsérvese también que
y corresponden a los errores definidos en las expresiones de coste (14) y
(20), respectivamente.
Atendiendo a esta descripción resulta trivial el algoritmo resultante de la
combinación de los dos métodos de ajuste anteriores. Por lo tanto, el método de
optimización en el que se basa esta función de ajuste procede de la pura
combinación del Algoritmo 3 y 4 anteriormente mencionados. Tal combinación
puede observarse en el Algoritmo 5, en el cual cabe destacar las particularidades
de la mezcla del dominio frecuencial y temporal en el proceso de optimización.
1 𝑫 () Algoritmo 3
2 𝑫 () Algoritmo 4
3 𝑫 ( ) 𝑫 Ecuación (21)
Algoritmo 5. Opción de ajuste 3
En conclusión, el propósito final de esta opción empírica es probar si fuera posible
explotar las ventajas que ofrecen tanto el dominio del tiempo como el de la
frecuencia con la implementación de una única función de coste.
En la sección siguiente se darán los valores numéricos de cada uno de los
parámetros hasta ahora explicados, así como los resultados obtenidos en
simulación y sobre la planta real probada en el laboratorio.
3.2. Integración del algoritmo DE en el ajuste de un controlador
40
4. Resultados experimentales
En la presente sección mostraremos los resultados relevantes del trabajo que
hemos desarrollado tanto en un ambiente de simulación, como es la herramienta
de Matlab de simulink, como en un entorno real con un sistema no ideal.
El principal objetivo de nuestro trabajo es controlar la posición de un motor cuya
función de transferencia es conocida. Este sistema ha sido previamente fabricado
en la universidad con el fin de que sus alumnos puedan poner en práctica sus
conocimientos aprendidos en asignaturas relacionadas con la Ingeniería de
Control. Por lo tanto, es un modelo motor completamente conocido y explotado.
Nótese que, a pesar de llevar a cabo el estudio sobre un sistema cuya función de
transferencia es completamente conocida, el método de optimización para el ajuste
de un controlador es totalmente aplicable si el sistema de salida en bucle cerrado
está disponible.
Los resultados que se mostrarán serán todos aquellos conceptos, especificaciones
y métodos previamente explicados en el presente documento. Estos resultados
son, principalmente y entre otros, tales como el propio ajuste de un controlador
PID, tanto de orden entero como fraccionario, a través del algoritmo DE, su diseño
a partir de especificaciones en el dominio temporal o frecuencial o su aplicación
sobre una planta física real.
Además, en la presente sección se realizará una constructiva comparación entre
los diferentes resultados obtenidos, ya sea entre un controlador PID de orden
entero o fraccionario de tal forma que se observe la superioridad de este último en
ambos dominios de diseño.
Por último, se mostrará la robustez del algoritmo evolutivo empleado en otros
sistemas para el ajuste de un controlador PID de orden fraccionario presentando
así la eficacia y potencial del mismo, así como la puesta en práctica del
funcionamiento de las otras funciones de coste desarrolladas y explicadas en las
subsecciones capítulo anterior, estas son, la función de ajuste basada en el dominio
temporal y la combinación del dominio temporal y frecuencial.
4.1. Plataforma experimental
La plataforma experimental que ha sido usada para probar los controladores de
orden fraccionario diseñado por el método evolutivo planteado es un motor
4.1. Plataforma experimental
42
fabricado por los propios alumnos de la Universidad Carlos III de Madrid. Dicha
plataforma consiste en un motor sencillo de corriente continua (motor DC) con la
posibilidad de manipular su propia ganancia, así como probar los diferentes tipos
de control diseñados. Además, se tienen salidas digitales de su velocidad y
posición. En nuestro caso, hemos utilizado la señal de salida referente a la posición
del motor.
A continuación se puede ver la planta empleada en la investigación llevada a cabo
en el presente documento.
Figura 2. Plataforma real empleada: Motor DC
La función general de transferencia en lazo abierto de un motor simple de DC cuya
señal de salida es la posición sigue la forma de la siguiente ecuación (22).
( ) ( )
( )
(22)
donde , y , son la ganancia del motor, la ganancia del encoder y la constante
de tiempo del motor, respectivamente. Por otra parte, ( ) es la posición de salida
en radianes y ( ) es la tensión de entrada al sistema que, típicamente, tendrá un
valor unidad y en forma de escalón a lo largo de nuestros experimentos.
4. Resultados experimentales
43
La identificación de los parámetros del motor como del encoder que aparecen en la
ecuación (22) se ha realizado a través de un análisis basado en la respuesta
temporal del sistema en lazo abierto de la plataforma real a controlar. Mediante
este método de identificación se ha obtenido una función experimental de
transferencia en lazo abierto mostrada a continuación.
( ) ( )
( )
( ) (23)
que, comparándola con la ecuación anterior (22) resulta inmediata la
identificación de los parámetros de interés.
,
Obsérvese que se trata de una función de transferencia de segundo orden que
modela la posición de un motor de DC.
En la subsección siguiente describiremos brevemente algunos parámetros
característicos referentes a su estabilidad del sistema anterior a controlar de tal
forma que se entienda mejor su posterior control.
4.1.1. Estabilidad del sistema
En este apartado trataremos de explicar de una mejor forma el porqué de la
necesidad de implementar un sistema de control sobre el modelo físico propuesto.
Evidentemente, dicha necesidad surge ante su condición de inestabilidad en
ausencia de un controlador o bien ante la necesidad de cumplir con unas
especificaciones de diseño que, en nuestro caso, se centrará en conseguir una fase
plana alrededor de la frecuencia de cruce de ganancia, , con el objetivo de que
el sistema sea robusto ante ligeros cambios en la ganancia del sistema, es decir, el
motor de DC.
Algunos indicadores de la estabilidad de la planta propuesta se mostrarán en la
presente subsección. Recordemos que, algunos de estos indicadores pueden ser el
margen de fase y de ganancia, el lugar geométrico de las raíces o el diagrama de
Nyquist de la planta.
En la figura siguiente se puede observar el diagrama de Bode de la función de
transferencia de la posición del motor DC a estudiar.
4.1. Plataforma experimental
44
Figura 3. Diagrama de Bode la función de transferencia de la planta, Gp (23)
La representación anterior es fácilmente obtenible a partir de la función de
MATLAB margin(Gp), la cual no sólo nos representa el Bode de la función de
transferencia , sino que también nos indican los márgenes de fase y de ganancia
de nuestra plataforma, en este caso, sin controlador.
El margen de fase es la cantidad de atraso de fase adicional en la frecuencia de
cruce de ganancia requerida para llevar el sistema al borde de la inestabilidad.
Recordemos que la frecuencia de cruce de ganancia, , , es la frecuencia en la
cual | ( )|, magnitud de la función de transferencia en lazo abierto, es unitaria.
El margen de fase, , es un valor numérico resultante de sumar al ángulo de
fase de la función de transferencia en lazo abierto en la frecuencia de cruce de
ganancia, ( ).
( ) (24)
Así pues, para que el sistema sea mínimamente estable es estrictamente necesario
que el valor del margen de fase sea mayor o igual que cero.
De forma análoga, el margen de ganancia, , es el recíproco de la magnitud
| ( )| en la frecuencia a la cual el ángulo de fase ( ) es . Definiendo la
frecuencia de cruce de fase como como la frecuencia a la cual el ángulo de fase
de la función de transferencia en lazo abierto es igual a es , obtendríamos el
margen de ganancia .
4. Resultados experimentales
45
| ( )| | | ( )|
(| ( )|) (25)
De esta forma, si el margen de ganancia, expresado en decibelios, es positivo
significa que el sistema es estable mientras que si éste es negativo viene a decir
que el sistema es inestable.
Resulta evidente por tanto, que estos parámetros se empleen como criterios de
diseño para el ajuste de un controlador. Cabe destacar que, en la investigación que
el presente trabajo ocupa, no emplearemos el margen de ganancia para el diseño
del controlador de orden fraccionario bajo el dominio del espacio frecuencial. Sin
embargo, el empleo del margen de fase como requerimiento de diseño se convierte
en un parámetro fundamental para conseguir los resultados de estabilidad
deseados y que mostraremos más adelante.
Volviendo a nuestros resultados y a la figura 3, tal y como nos cede MATLAB, los
valores obtenidos de margen de fase, , y de margen de ganancia, , del sistema,
aún sin controlar, son los siguientes.
{ ( ⁄ )
( ⁄ )
De los resultados anteriores, en el del margen de fase, , los ⁄ es la
frecuencia a la cual el Bode de magnitud del sistema en lazo abierto tiene un valor
de 0 dB.
Obsérvese además que, el margen de ganancia, , parece tener un valor de
infinito. Esto es debido a que la planta propuesta se trata de un sistema de segundo
orden y, consecuentemente, las trazas polares para tales sistemas no cruzan el eje
real negativo. En cualquier caso, como ya comentamos, debido a su ausencia en
nuestros requerimientos de diseño para el ajuste del controlador de orden
fraccionario, el valor del margen de ganancia no nos interesa demasiado.
En resumidas cuentas, en relación a estos márgenes indicadores y a los conceptos
teóricos descritos anteriormente, podemos concluir que la planta experimental
planteada es estable. Por lo tanto, si sometemos dicho motor a una realimentación
negativa unitaria con una entrada escalón, los resultados de la señal de salida que
obtenemos son estables, tal y como se muestra en la figura 4.
4.1. Plataforma experimental
46
Figura 4. Respuesta de la planta sin controlador ante entrada escalón
La figura anterior representa, de forma gráfica, la clara estabilidad que presenta el
sistema con una realimentación negativa unitaria y en ausencia del controlador.
Dado que sería absurdo el control del sistema en cuanto a su estabilidad, como ya
adelantamos anteriormente, la introducción del controlador se centrará en el
objetivo de conseguir una fase plana alrededor de la frecuencia, , y,
consecuentemente, una mayor robustez ante las variaciones en la ganancia de la
planta. Sin embargo, como veremos en los apartados posteriores, la respuesta
temporal a la salida con la introducción del controlador y su estabilidad mejorarán
respecto a la respuesta de la plataforma probada en ausencia del controlador.
En cuanto al problema que abordamos en el presente documento, es decir, la
consecución de un controlador que sea capaz de hacer al sistema robusto ante
variaciones de la planta, en la figura 5 podemos apreciar la ausencia de tal
comportamiento. Tal y como se muestra, el sistema propuesto realimentado ha
sido sometido a variaciones en la ganancia de la planta ante una entrada escalón y
en un intervalo que contiene valores entre el 80% y el 150% de la ganancia
original de la planta mostrada en la ecuación de transferencia (23).
En la sección siguiente se detallará y justificará la elección de cada uno de los
parámetros de ajuste en la función de coste de interés, es decir, la función de coste
cuyo ajuste está basado en el dominio frecuencial, explicación correspondiente a la
sección 3.2.5.2 del presente trabajo.
4. Resultados experimentales
47
Figura 5. Comportamiento del sistema sin controlar ante variaciones en la ganancia de la planta
4.2. Configuración de los parámetros del algoritmo DE
Después de la caracterización de la función de transferencia en lazo abierto de
nuestro sistema real, el motor DC, y de un breve análisis sobre el mismo, en la
presente sección se justificarán los valores asignados a cada uno de los parámetros
pertenecientes a la función de coste que evaluará la proximidad de los resultados
con las especificaciones dadas en el dominio de la frecuencia (Ver sección 3.2.5.2.).
Además, también se mostrarán otros valores asignados a los parámetros
pertenecientes al propio algoritmo DE desarrollado en nuestro trabajo y detallado
en las secciones previas a este trabajo.
En primer lugar, la ejecución del algoritmo DE se ha realizado con la siguiente
definición en sus parámetros.
{
, donde la explicación al detalle de cada uno de los elementos viene reflejada en la
sección 3.2. de nuestro trabajo y recogida en el esquema del Algoritmo 1 que
ilustra el funcionamiento básico del algoritmo DE implementado.
Interpretando los valores asignados a los dos primeros parámetros anteriores y,
atendiendo a su significado, podemos concluir que la obtención de un resultado
4.2. Configuración de los parámetros del algoritmo DE
48
óptimo se efectúa de forma eficaz con el método implementado, es decir, con tan
solo un máximo de 100 iteraciones en una población de 100 miembros.
Evidentemente, cuanto mayor sean estos valores, mayor tiempo de búsqueda
tendrá el algoritmo para alcanzar una mejor solución. Sin embargo, a lo largo de la
investigación se ha observado que la asignación anteriormente realizada ha sido
suficiente para llegar a una solución óptima a través del algoritmo evolutivo.
La asignación de los parámetros y obsérvese que requiere de un proceso con
un cierto carácter experimental, siendo su asignación de relativa menor
importancia respecto a la asignación del número máximo de iteraciones del
algoritmo, , o el número de miembros de la población, .
Por otra parte, según el Algoritmo 1, es decir, el esquema funcional que detalla el
proceso del algoritmo DE, es necesario fijar un intervalo inicial para definir los
valores iniciales de cada uno de los elementos de todos miembros de la población.
Nuevamente, la asignación de estos valores viene marcada por su carácter
experimental que, en este caso, se ha basado en el valor obtenido de cada uno de
los parámetros del controlador con el empleo de otros métodos de ajuste
explicados en secciones anteriores (Ver sección 3.1. completa). Basándonos en
éstos, observamos que una buena asignación inicial para los valores de las
ganancias del controlador ( ) para cada uno de los miembros de la
población puede oscilar aleatoriamente en el intervalo [ ] para obtener una
solución adecuada de forma eficiente. Por su parte, el intervalo inicial para asignar
aleatoriamente valores a los exponentes ( ) de las posibles soluciones del
controlador PID de orden fraccionario será [ ] . Nótese aquí la fuerte
dependencia, varias veces mencionada, en la definición de las condiciones iniciales
del algoritmo DE para una adecuada convergencia del mismo.
Por último, y no precisamente menos importante, se muestra la inicialización y
fijación de los valores de los parámetros que conforman la función de ajuste
principalmente empleada, es decir, la basada en especificaciones en el dominio de
la frecuencia. Las especificaciones cumplidas en las soluciones obtenidas para la
planta , que minimizan la función de coste en cuestión, se indican a
continuación.
{
[ ] ⁄
| ( )|
| ( )|
Tal y como mencionamos con antelación en anteriores secciones, al tratarse de un
controlador y, por lo tanto, tener cinco parámetros a ajustar, es posible el
4. Resultados experimentales
49
cumplimento de cinco especificaciones diferentes, estas son, las mostradas en la
llave anterior y explicadas en secciones previas.
Nótese que los requisitos de diseño anteriormente expuestos cumplen con los
objetivos principales de control del presente trabajo. Estos son, principalmente, y
en orden, los siguientes.
1. Precisar un control robusto ante variaciones en la ganancia de la planta
2. Obtener una respuesta del sistema completo puramente estable ( ).
3. Eliminar el error en régimen permanente con la introducción de un operador
integrador en el controlador.
4. Atenuación de ruido para alta y bajas frecuencias.
5. Obtener una frecuencia de cruce de ganancia similar a la existente en ausencia
del controlador.
Así pues, bajo estas condiciones de diseño, el algoritmo implementado iterará
optimizando los resultados en base a la ecuación (20), quedándose con aquel que
minimice la misma.
En las siguientes subsecciones se mostrarán lo resultados obtenidos basados en
estas especificaciones y con la definición de los parámetros anteriormente
justificados. Se ilustrarán, en el siguiente orden, tanto los resultados simulados
como los experimentales, así como una posterior comparación entre un
controlador PID clásico de orden entero con un controlador PID de orden
fraccionario, . Por último, además se mostrarán los resultados de las otras
funciones de costes implementadas así como el éxito en la cumplimentación de las
especificaciones del trabajo en el dominio de la frecuencia llevado a cabo en otras
plantas.
4.3. Resultados obtenidos
La sección actual y las subsecciones siguientes son las partes más importantes de
nuestro trabajo, pues en éstas mostramos los resultados obtenidos en nuestra
investigación.
La sección está compuesta como se comenta a continuación. En primer lugar, se
ilustrarán los resultados obtenidos de poner en marcha el algoritmo DE para el
ajuste de un controlador PID de orden fraccionario para el sistema propuesto en la
sección 4.1. En segundo lugar, en la subsección 4.3.2. se probarán dichos
4.3. Resultados obtenidos
50
resultados sobre el sistema propuesto real, es decir, el motor DC. La siguiente
subsección se centrará en realizar una comparación entre dos posibilidades de
control existentes, es decir un controlador PID convencional y el propuesto.
Posteriormente, la sección continuará con los resultados satisfactoriamente
obtenidos para las otras funciones de coste planteadas en nuestro trabajo. Por
último, se mostrará la potencia y robustez del trabajo desarrollado con la
simulación de otras plataformas al aplicarle el ajuste obtenido por el algoritmo
evolutivo implementado.
4.3.1. Resultados de la simulación
Teniendo en cuenta las consideraciones previas redactadas a lo largo del presente
documento y, aplicando el método de optimización desarrollado para el ajuste de
un controlador para la regulación del sistema propuesto, obtenemos el
siguiente controlador de orden fraccionario.
( )
(26)
Así pues, la solución anterior obtenida (26) ha sido la que ha minimizado la
función de coste objeto de estudio en nuestro trabajo a lo largo de la ejecución, es
decir, la que se centra en el control del sistema bajo requisitos definidos en el
dominio de la frecuencia y basada en la expresión (20).
El diagrama de Bode del sistema en lazo abierto ( ) ( ) ( ) es mostrado en
la figura 6 mostrada debajo. La obtención de dicho diagrama se ha obtenido
nuevamente a través de MATLAB con la función [ ( ) ( )].
Analizando la representación de Bode de la figura 6 del sistema en lazo abierto,
podemos apreciar que, a partir de ésta, se verifica el cumplimiento de los
requisitos de diseño impuestos. Recordemos que estas especificaciones de diseño
eran las siguientes.
{
[ ] ⁄
| ( )|
| ( )|
4. Resultados experimentales
51
Figura 6. Diagrama de Bode del sistema en lazo abierto F(s)=C(s)Gp(s)
Llevando a cabo algunos cálculos simples con la ayuda de MATLAB es fácilmente
comprobar dichos requisitos de diseño. A continuación se muestran los valores
obtenidos de los parámetros de diseño, si procede, anteriores.
{
⁄
| ( ⁄ )|
| ( ⁄ )|
Estos resultados pueden mostrarse, además, de forma gráfica de tal forma que se
aprecie mejor el cumplimiento de estas especificaciones. En la figura 7 se muestran
las magnitudes de las funciones de transferencia ( ) y ( ), de arriba abajo,
respectivamente. En cuanto al valor del margen de fase, , como el de la
frecuencia de cruce de ganancia, , son gráficamente observables en la
representación de Bode anterior correspondiente a la figura 6.
De las evidencias anteriormente mostradas, cabe esperar que la respuesta del
sistema en lazo cerrado con la introducción del controlador de orden fraccionario
ante una entrada escalón sea totalmente estable. Por lo tanto, la comprobación
gráfica de estas previsiones puede observarse en la representación que se ilustra
en la figura 8.
4.3. Resultados obtenidos
52
Figura 7. Magnitud de S(s) y T(s), de arriba a abajo, respectivamente
Figura 8. Respuesta del sistema controlado ante entrada escalón con el controlador fraccionario C(s) (26)
A pesar de que nuestro principal objetivo es el de obtener una fase plana alrededor
de la frecuencia de cruce de ganancia, , con el fin de obtener un sistema robusto
frente a variaciones en la ganancia de la planta, en la siguiente representación
(figura 9) puede observarse una mejora en la respuesta temporal del sistema con
la introducción del controlador de orden fraccionario, ( ).
4. Resultados experimentales
53
Figura 9. Comparación en la respuesta del sistema controlado y no controlado ante una entrada escalón
De la representación anterior es inmediato observar una mayor rapidez en la
estabilización del sistema ante una entrada escalón al mismo al introducir el
control. Esta apreciación también es observable en la figura 10, la cual representa
las acciones de control del sistema controlado con el controlador de orden
fraccionario y del sistema sin controlar, de izquierda a derecha, respectivamente.
Figura 10. Acciones de control del sistema controlado y sin controlar, de izquierda a derecha, respectivamente
Por otra parte, nótese que la tercera condición anteriormente expuesta es la que
minimiza la función de coste empleada basada en la expresión (20). La forma más
inmediata de llevar a cabo esta comprobación será realizando la representación de
la respuesta de la señal de salida del sistema controlado con ( ) ante una entrada
escalón para diferentes valores en la ganancia del sistema propuesto, ( ). De
esta forma, podremos ver la robustez del sistema ante ligeras variaciones en la
ganancia de la planta. Tales resultados pueden apreciarse en la figura 11.
4.3. Resultados obtenidos
54
Figura 11. Respuesta del sistema controlado ante entrada escalón con el controlador fraccionario C(s) (26) para ganancias variables de Gp(s)
Observando la representación de la figura 9 podemos apreciar la existencia de una
fase plana alrededor de la frecuencia de cruce de ganancia, , sin embargo, esta
última representación muestra de forma más ilustrativa las consecuencias de
cumplir dicho requisito. Si se analiza detenidamente la figura 11, nótese que se
consigue el comportamiento deseado ante variaciones en la ganancia de la planta,
es decir, un comportamiento similar en la respuesta del sistema ante estas
variaciones de ganancia y una sobreoscilación en la salida prácticamente constante
en este intervalo al introducir una entrada escalón en la entrada del sistema
controlado por el regulador (26). Las variaciones en la ganancia de la planta
consideradas oscilan desde el 80% de esta ganancia hasta el 150% de la misma.
Recordemos de la ecuación (23), que esta ganancia tenía un valor de 20.46, por lo
que dicha variación en la ganancia oscila desde 16.37 hasta 30.69 manteniendo la
sobreoscilación en la respuesta prácticamente constante. Como cabía esperar, el
sistema es más rápido para las ganancias más grandes y más lento en las más
bajas.
Este es un resultado de simulación excelente que nos permite concluir que el
sistema presente un buen comportamiento frente a estas variaciones de ganancia,
lo cual es uno de los objetivos principales en el diseño en el dominio frecuencial.
En la siguiente subsección comprobaremos si estos resultados se ajustan de la
misma forma al llevar a cabo este ensayo sobre el entorno real, es decir, el motor
DC descrito anteriormente.
4. Resultados experimentales
55
4.3.2. Resultados sobre el motor DC real
Una vez se han cumplido con los objetivos de diseño en el entorno de simulación,
el paso siguiente debe ser probar dichos resultados sobre una plataforma real que,
en nuestro caso, como bien sabemos se trata de un motor DC. Dado que el diseño
de un regulador óptimo en un entorno de simulación no es suficiente, surge esta
necesidad de comprobar el funcionamiento del controlador sobre el entorno real,
pues, normalmente, las condiciones reales modifican ligeramente el
comportamiento de los resultados obtenidos en la simulación. En muchas
ocasiones, estas condiciones reales pueden llegar a dar resultados totalmente
adversos a los obtenidos en la simulación. En nuestro trabajo en particular, como
se mostrará a lo largo de esta subsección, este comportamiento se ha visto
ligeramente influido por las condiciones introducidas en el empleo de la
plataforma real, sin embargo, se ha conseguido cumplir con los objetivos
principales de nuestro trabajo obteniendo los resultados deseados, tal y como se
consiguieron en el entorno de simulación descrito en la subsección anterior.
Como se comentó en la sección 4.1., la función de transferencia de la planta que se
ha empleado en los resultados experimentales llevados a cabo en el entorno de
simulación ha sido previamente identificada a partir del motor DC real con el que
se realizan las pruebas en la subsección actual. Por lo tanto, aprovecharemos los
datos obtenidos en la simulación para aplicarlos en el entorno real de pruebas y,
consecuentemente, reutilizaremos el controlador PID de orden fraccionario
obtenido (26) para llevar a cabo el ensayo sobre la plataforma real.
Como se mostrará a continuación y en subsecciones posteriores relacionadas con
pruebas experimentales sobre la plataforma real, las inexactitudes presentes son
debidas a diferentes fuentes de error y podrán ser detectadas en las señales de
salida ante respuesta escalón que se mostrarán en adelante. Estas imprecisiones
pueden venir de distintas partes del proceso: identificación de la función de
transferencia del sistema, conversión AD/DC y DC/AC (pues la planta es un
sistema continuo mientras el ordenador es un dispositivo digital y, por lo tanto,
discreto), errores internos del motor DC, no linealidades, etc. Además, algunos de
estos resultados se han visto influidos por la limitación del motor de aceptar un
intervalo de tensión comprendido entre 0 y 10 voltios.
Sin más dilación, los resultados experimentales obtenidos sobre la plataforma real
se presentan a continuación. En primer lugar, la figura 12 muestra la respuesta de
la posición del motor DC ante una entrada escalón introduciendo el controlador de
orden fraccionario obtenido anteriormente, previamente simulado e presentado
en la ecuación (26). De forma ilustrativa, en la figura 13 a esta representación
muestra las señal de control experimental obtenida.
4.3. Resultados obtenidos
56
Figura 12. Respuesta del motor DC ante entrada escalón con el controlador fraccionario C(s) (26)
Figura 13. Acción de control del controlador fraccionario C(s) (26) sobre el motor DC
Observando las representaciones anteriores, concretamente la figura 12, puede
apreciarse la introducción del carácter real con el empleo de la plataforma física
del motor. Si comparamos estos últimos resultados con los presentados en la
subsección anterior de resultados simulados y mostrados en la figura 8, también se
puede concluir que se empobrecen las propiedades temporales para el caso del
sistema real frente al simulado ante una respuesta de entrada escalón.
4. Resultados experimentales
57
Aunque el error en régimen permanente es nulo, nótese que se ha incrementado
tanto el tiempo de estabilización como la sobreoscilación de la respuesta del
sistema real respecto a los resultados experimentales simulados. Para el objetivo
que nos ocupa, el empeoramiento de estos parámetros no nos afecta
especialmente. Sin embargo, en un proceso de diseño tradicional sí que deberían
de tenerse en cuenta.
Por otra parte, obsérvese las pequeñas oscilaciones existentes alrededor del valor
final de la respuesta. Este defecto puede causar una grave deterioración de los
componentes del sistema. Como se comentó anteriormente, la pérdida de
propiedades y la eliminación de idealidades pueden ser causadas por diferentes
fuentes de error. Sin embargo, para este caso concreto, este rizado se debe a que el
motor DC únicamente permite un rango de tensión de entrada de 0 a 10 voltios y,
obsérvese de la figura 13, en la señal de control, que el valor inicial de esta es
superado por más de 40 voltios.
Por último, la respuesta del sistema real ante entrada escalón ha sido analizada
para una ganancia del sistema variable de tal forma que podamos comprobar el
principal objetivo de nuestro trabajo, es decir, conseguir una fase plana alrededor
de la frecuencia de cruce de ganancia, . Como bien sabemos, dicho
comportamiento en frecuencia se traduce en una respuesta robusta del sistema, en
este caso del sistema real, ante una entrada escalón frente al cambio de la ganancia
del sistema de la planta. Tal comportamiento es mostrado en la figura 14.
Figura 14. Respuesta del motor DC ante entrada escalón con el controlador fraccionario C(s) (26) para ganancias variables de Gp(s)
4.3. Resultados obtenidos
58
La representación anterior surge de multiplicar la ganancia del motor DC real por
diferentes valores: 0.8, 1.2 y 1.5 de la ganancia original del sistema, . En esta
representación es gráficamente demostrable la consecución del objetivo, tantas
veces descrito, de nuestro trabajo, pues puede verse una sobreoscilación
prácticamente constante para este intervalo de ganancias variables.
Además, por la implementación y cumplimentación de las condiciones descritas en
la subsección correspondiente a través de la función de coste del algoritmo
evolutivo, tales variaciones de ganancia, tan presentes en cualquier sistema real,
no darán lugar a la inestabilidad del sistema. Es más, sucede todo lo contrario, se
obtiene, tal y como se aprecia en la figura anterior, un comportamiento de la
respuesta del sistema similar ante estos cambios.
En la siguiente subsección, se llevarán a cabo diferentes comparaciones entre los
resultados obtenidos y otros métodos y reguladores tradicionales de control de tal
forma que se demuestre de manera más eficiente el potencial del trabajo
desarrollado.
4.3.3. Comparación de resultados
En la sección actual y subsecciones siguientes se llevará a cabo una detallada
comparación entre los diferentes resultados obtenidos, así como con otros
métodos existentes y reguladores tradicionales. De esta forma se observará el
potencial de trabajo desarrollado con respecto a las técnicas tradicionales de
control.
4.3.3.1. Controlador 𝑷𝑰𝝀𝑫𝝁 y controlador PID clásico
En primer lugar, la primera comparación consistirá en ver las diferencias
existentes entre el empleo de un regulador PID clásico frente a uno fraccionario.
De los resultados que se mostrarán a lo largo de la presente subsección se podrá
observar tal superioridad en cuanto a comportamiento de estos últimos frente a
los tradicionales.
Cabe destacar que el método de ajuste del controlador PID clásico ha sido el mismo
empleado para el fraccionario obtenido y presentado en la ecuación (26) de los
anteriores subapartados, es decir, el algoritmo de optimización evolutivo
Differential Evolution. Además, dicho ajuste también se ha basado bajo las
condiciones en dominio frecuencial detalladas numéricamente en la subsección
4.2.
4. Resultados experimentales
59
Así pues, el controlador PID tradicional obtenido bajo estas condiciones se muestra
en la siguiente ecuación (27).
( )
(27)
De forma ilustrativa, a continuación se mostrarán tanto las respuestas temporales
como las leyes de control existentes al implementar cada uno de estos dos
reguladores, es decir, el regulador PID de orden fraccionario (26) y el PID clásico
(27) definido en la anterior ecuación (Ver figura 15).
Figura 15. Comparación entre control fraccionario y tradicional. Arriba izquierda: Respuesta escalón con control fraccionario. Arriba derecha: Respuesta escalón con control tradicional.
Abajo izquierda: Acción de control del controlador fraccionario. Abajo derecha: Acción de control del control tradicional
Los resultados anteriores corresponden a las representaciones resultado de la
ejecución de la simulación del sistema a través de simulink, de forma análoga a
como se obtuvieron todos aquellos resultados simulados de los casos anteriores.
De estos resultados puede apreciarse un comportamiento ligeramente más
satisfactorio en la respuesta temporal del sistema controlado con el controlador
PID de orden entero, o tradicional. Sin embargo, recordemos que el objetivo de
nuestra investigación es conseguir un controlador capaz de hacer robusto un
sistema dado ante variaciones de ganancia en la planta. Dichos resultados
únicamente pueden ser observados cuando sometemos a estos sistemas con cada
uno de los controladores a las correspondientes variaciones de ganancia
4.3. Resultados obtenidos
60
mencionadas. En la figura 16 se muestra tal comportamiento en simulación y,
posteriormente, su análisis.
Figura 16. Respuesta escalón para ganancias variables bajo el dominio en la frecuencia. Izquierda: PID de orden fraccionario. Derecha: PID tradicional
De la figura 16 es inmediato observar el claro potencial del controlador de orden
fraccionario con respecto del tradicional respecto a la robustez de sus
comportamiento ante ligeras variaciones de ganancia de la función de
transferencia de la planta.
Como bien sabemos, estos resultados deben comprobarse en nuestro sistema físico
real para poder confirmar su funcionamiento. Nuevamente, cabe destacar que, los
resultados experimentales sobre la plataforma real que se mostrarán a
continuación sufrirán ligeros cambios de comportamiento respecto a lo mostrado
anteriormente en la simulación debido a las posibles perturbaciones y defectos
propios de los sistemas reales explicados en subsecciones anteriores.
La representación de la figura 17 ilustra el comportamiento experimental obtenido
sobre el motor DC tanto del controlador PID tradicional como el controlador PID
fraccionario ante la introducción al sistema controlado de una señal de forma onda
escalonada, así como sus leyes de control.
De la misma forma que ocurría en los casos simulados mostrados en la figura 15 ,
en la figura 17 puede observarse la ligera mejoría en el comportamiento temporal
del controlador PID tradicional frente al fraccionario, en cuanto a rapidez en la
respuesta. Sin embargo, para este caso real se observa un pico de sobreoscilación
mínimamente más bajo con el control del regulador PID fraccionario. Por otra
parte, apréciese la aparición de un rizado en la respuesta del sistema real
controlado con el regulador PID de orden fraccionario debidos a los problemas de
limitación de tensión de entrada que presente el motor real y que comentamos en
la subsección anterior. Tal efecto es inexistente en el caso del regulador PID
tradicional porque la señal de control de éste no supera el intervalo de tensión
[0,10] voltios, tal y como puede observarse en la figura 17.
4. Resultados experimentales
61
Figura 17. Diseño del controlador bajo el dominio frecuencial para el motor DC real. Arriba izquierda: Respuesta ante entrada escalón con controlador fraccionario. Arriba derecha: Respuesta ante entrada escalón con controlador tradicional. Abajo izquierda: Acción de control del controlador fraccionario. Abajo derecha: Acción de control del controlador
tradicional
Respecto a los objetivos que la presente subsección ocupan, el cumplimiento de
obtener un bode en lazo abierto del sistema real controlado cuya magnitud de fase
sea plana alrededor de la frecuencia de cruce de ganancia, , pueden apreciarse
en la figura 18, la cual muestra el comportamiento del sistema para diferentes
ganancias de la planta: desde hasta , donde es la ganancia de la
plataforma real experimentada, es decir, el motor DC.
Figura 18. Respuesta escalón para ganancias variables del motor DC controlado. Izquierda: PID de orden fraccionario. Derecha: PID tradicional
4.3. Resultados obtenidos
62
Con estos resultados podemos afirmar el correcto funcionamiento de la función de
coste con especificaciones en el dominio de la frecuencia implementada sobre el
algoritmo DE tanto para el control del sistema con el regulador PID de orden
entero como de orden fraccionario resultantes de su ejecución. Obsérvese al
conseguir soluciones que minimizan la ecuación principal (20) de esta función de
coste que, recordemos que era aquella que mostraba un comportamiento de la fase
del sistema controlado en lazo abierto plano alrededor de la frecuencia de cruce de
ganancia, , además de cumplir otras especificaciones de diseño anteriormente
mencionadas.
En apartados posteriores, cuando no sea empleada la función de coste cuyas
especificaciones se implementan en el dominio de la frecuencia, podrá apreciarse
mejor esta robustez del sistema controlado tan mencionada frente a las
variaciones provocadas en la ganancia de la planta.
4.3.4. Resultados con otras funciones de ajuste
A lo largo de las últimas secciones del presente documento se ha detallado el
proceso llevado a cabo para cumplir con una serie especificaciones de diseño
basadas en el dominio frecuencial para una plataforma conocida cumpliéndose
éstas con éxito a través del algoritmo DE.
En las siguientes subsecciones se darán a conocer de una forma más breve la otra
función de coste implementada con el objetivo de cumplir otra serie de
especificaciones basadas en el dominio. El funcionamiento teórico de esta solución
propuesta viene desarrollado en los primeros capítulos del presente documento
(Ver sección 3.2.5.).
Para esta otra propuesta se han obtenido tanto un controlador PID de orden
entero como un controlador PID de orden fraccionario, cumpliéndose
satisfactoriamente las condiciones implementadas en cada una de estas funciones
de coste y que, por lo tanto, minimizan estas funciones. Para el caso de las
soluciones propuestas que minimizan la función de ajuste con especificaciones del
dominio temporal se han obtenido, además, resultados experimentales sobre la
plataforma real.
La siguiente subsección describe los resultados obtenidos para un ajuste del
controlador, tanto de orden fraccionario como de orden entero, basado en el
dominio temporal.
4. Resultados experimentales
63
4.3.4.1. Ajuste en el dominio temporal
Otro método de ajuste propuesto en nuestro trabajo es el de realizar un ajuste del
controlador PID, ya se de orden entero o fraccionario, con el objetivo de cumplir
unas especificaciones basadas en el dominio temporal. Estas especificaciones han
sido detalladas previamente en la subsección 3.2.5.1.
A lo largo del presente subapartado se llevará a cabo un análisis más conciso pero
similar al realizado para el caso de ajustar el regulador bajo especificaciones en el
dominio de la frecuencia. De forma análoga, se mostrarán paralelamente los
resultados obtenidos tanto en simulación como con el sistema real, el motor DC,
tanto un controlador PID tradicional como de orden fraccionario, , obtenidos
a través de este método y esta función de ajuste.
Recordemos que, para la búsqueda de ambos tipos de controladores, dicha función
de coste engloba el empleo de los algoritmos 2 y 3 explicados en el presente
documento, así como el algoritmo DE expuesto sobre el Algoritmo 1 como pilar
fundamental del proceso. Así pues, la ecuación empleada de minimización será la
ecuación (14).
Como se ha comentado en varias ocasiones, el sistema empleado para realizar este
ensayo es idéntico al explicado en el apartado 4.1. En cuanto al ajuste de los
parámetros del algoritmo evolutivo empleado, es decir, el algoritmo DE, son
similares a los empleados para ajustar los controladores de la subsección anterior
(Ver subsección 4.2). Nuevamente, estos valores serán similares pero variarán
ligeramente respecto al empleo de otro método de ajuste debido a la importancia
de las condiciones iniciales y la convergencia hacia una solución.
Una vez se ha llevado a cabo esta etapa previa de configuración, ejecutamos el
algoritmo DE y se obtendrán soluciones que minimizan la ecuación (14) tras un
periodo relativamente corto de computación. De estas soluciones se escogerá la
más óptima, es decir, la mínima, que es la proporcionada por el algoritmo
evolutivo.
Por lo tanto, de acuerdo con dicha ecuación el controlador PID de orden
fraccionario obtenido es el mostrado en la siguiente ecuación.
( )
(28)
Por otro lado, y de forma análoga a cómo hemos obtenido el controlador (28) y
adaptando las funciones necesarias, se ha realizado un proceso de optimización
4.3. Resultados obtenidos
64
para obtener un controlador PID tradicional cumpliendo las mismas
especificaciones, es decir, las correspondientes a esta función de ajuste basada en
el dominio temporal. El controlador PID tradicional puede apreciarse en la
ecuación (29).
( )
(29)
En primer lugar, mostraremos la respuesta simulada ante una entrada escalón del
sistema con la introducción de los dos controladores anteriores, (28) y (29), así
como sus respectivas acciones de control.
Figura 19. Diseño del controlador bajo el dominio temporal para el sistema Gp(s). Arriba Izquierda: Respuesta ante entrada escalón del controlador fraccionario. Arriba izquierda:
Respuesta ante entrada escalón del controlador tradicional. Abajo izquierda: Acción de control del controlador fraccionario. Abajo derecha: Acción de control del controlador
tradicional
De la figura 19 puede observarse un mejor comportamiento temporal para el caso
del control con el regulador PID tradicional de orden entero, tanto en rapidez de
respuesta como en tiempo de estabilización como en sobreoscilación. Sin embargo,
tal idealidad va a provocar, como veremos más adelante cuando abordemos las
pruebas reales sobre el motor, una imposibilidad física de poder ajustarse a tal
comportamiento. En relación a la respuesta del sistema con el controlador
fraccionario se observa un comportamiento rápido y estable del mismo mejorando
su respuesta ante escalón respecto al sistema realimentado sin controlar, tal y
como se observa en la figura 20.
4. Resultados experimentales
65
Figura 20. Comparación entre el sistema controlado y sin controlar en simulación. Izquierda: Respuesta ente entrada escalón con control fraccionario. Derecha: Respuesta
ante entrada escalón sin control
En segundo lugar, debemos comprobar el funcionamiento de estos controladores
sobre la plataforma física real, el motor DC experimental. Estos comportamientos
son mostrados en la figura 21. Tal y como llevamos a cabo con los resultados
experimentales reales de la anterior función de ajuste, la basada en el dominio
frecuencial, los controladores empleados para realizar el control del motor son los
presentados en las ecuaciones (28) y (29).
Figura 21. Diseño del controlador bajo el dominio temporal para el motor DC real. Arriba izquierda: Respuesta ante entrada escalón con control fraccionario. Arriba derecha:
Respuesta ante entrada escalón con control tradicional. Abajo izquierda: Acción de control del controlador fraccionario. Abajo derecha: Acción de control del controlador tradicional
Obsérvese las buenas condiciones que presenta la respuesta de la posición del
motor DC controlado por el regulador (28), es decir, el controlador o de
4.3. Resultados obtenidos
66
orden fraccionario. Nótese como los propios sistemas físicos y reales que forman el
sistema real disminuyen la sobreoscilación existente en la misma representación
para el caso simulado (Figura 19). Tal y como adelantamos anteriormente, el
efecto contrario provoca que el sistema real controlado con el regulador PID (29)
tenga una respuesta de rizado, pues las condiciones mecánicas y características del
motor no presentan la idealidad observada en la figura 19 ya que la señal de
control de éste supera el intervalo de tensión de aceptación del motor.
De forma ilustrativa, a continuación, en la figura 22, se mostrará el
comportamiento del sistema ante ligeras variaciones de la ganancia del sistema
bajo el control de los reguladores (28) y (29) de tal forma que se compruebe la
eficacia del diseño del controlador basado en el dominio de la frecuencia y con las
especificaciones de fase plana tantas veces mencionado, explicado en subsecciones
anteriores y objeto principal de estudio en nuestra investigación.
Figura 22. Respuesta escalón para ganancias variables bajo el dominio temporal en simulación. Izquierda: PID de orden fraccionario. Derecha: PID tradicional
Las figuras 16 (Subsección 4.3.3.1) y 22 corresponden a las respuestas en
simulación ante entradas escalón para ganancias variables de la planta regulado
por diferentes controladores. En éstas se puede observar una clara diferencia: la
falta de robustez en el comportamiento del sistema controlado ante estas
variaciones de la figura 22 respecto la figura 16. El motivo de esta situación es que
las especificaciones de diseño son totalmente diferentes. Mientras los
controladores de la figura 16 (Controladores (26) y (27)) han sido ajustados para
poseer una fase plana alrededor de la frecuencia de cruce de ganancia , , y, por
lo tanto, para tener un comportamiento robusto ante estas variaciones, los
controladores empleados en la figura 22 (Controladores (28) y (29)) han sido
calculados para minimizar los errores cometidos respecto a unas especificaciones
basadas en la respuesta temporal del sistema controlado ante una entrada escalón.
4. Resultados experimentales
67
Este efecto es menos apreciable en el caso de las experimentar el mismo ensayo
sobre la plataforma. Esto es debido a la mayor lentitud que conlleva el empleo de
un sistema real y la mayor absorción de este tipo de efectos en frecuencia.
Figura 23. Respuesta escalón para ganancias variables bajo el dominio temporal sobre el motor DC real. Izquierda: PID de orden fraccionario (28). Derecha: PID tradicional (29)
El objetivo de mostrar estas últimos dos resultados es el demostrar el potencial del
diseño de un controlador en el dominio de la frecuencia, además de observar las
diferencias entre los resultados procedentes de dos configuraciones de diseño
totalmente adversas, pues mientras que en el diseño en frecuencia hemos
pretendido hacer potente un sistema controlado ante las variaciones que pueda
sufrir la ganancia de la planta, en el diseño temporal se ha tratado de adquirir
ciertas propiedades de rapidez y respuesta en el tiempo de la señal de salida del
sistema ante una señal de entrada de tipo escalón.
Siguiendo en esta línea y, a modo de demostrar el funcionamiento del trabajo
desarrollado consistente en el ajuste de un controlador PID tanto de orden entero
como fraccionario basado en unas especificaciones definidas en el dominio
frecuencial, el siguiente apartado mostrará la aplicación del algoritmo desarrollado
aplicado sobre otros sistemas.
4.3.5. Comprobación en otros sistemas del trabajo desarrollado
En la presente subsección se buscará demostrar el correcto funcionamiento del
trabajo que hemos desarrollado poniéndolo en práctica sobre otra planta diferente
respecto con la que hemos ensayado previamente. La planta propuesta para llevar
a cabo estas demostraciones se rige bajo la siguiente función de transferencia.
( )
(30)
4.3. Resultados obtenidos
68
A lo largo del apartado se mostrará la eficiencia del algoritmo DE para el ajuste de
un controlador PID de orden fraccionario o, , con el fin de hacer de la planta
propuesta un sistema capaz de tener un excelente comportamiento ante las
posibles variaciones que pudiera sufrir la ganancia de la planta.
En primer lugar, analicemos brevemente el sistema planteado que nos servirá de
conejillo de indias. Veamos que, la planta propuesta en la ecuación (30)
corresponde a una función de transferencia de segundo orden. Recurriendo a
algunos indicadores de estabilidad ya mencionados durante el presente
documento, como los márgenes de ganancia o de fase, es inmediato observar la
inestabilidad del sistema.
Figura 24. Diagrama de Bode de la función de transferencia de la planta propuesta sin controlar
Del diagrama de Bode mostrado en la figura 24 es inmediato observar
gráficamente la inestabilidad de la planta propuesta sin controlar. De forma
numérica, es fácilmente darse cuenta de que el margen de ganancia, , es
negativo ( ) y, por lo tanto, se trata de un sistema inestable.
Así pues, urge la necesidad de implementar un control, en primer lugar, para hacer
de la planta un sistema estable y, en segundo lugar, para demostrar los objetivos
de control ampliamente descritos en nuestro trabajo.
De esta forma, lanzando nuestro algoritmo evolutivo con la opción de ajuste 2, es
decir, con el diseño basado en el dominio de la frecuencia, y con un ajuste de
parámetros del DE similares al realizado a lo largo de nuestra investigación,
proponemos el siguiente controlador de orden fraccionario como solución.
4. Resultados experimentales
69
( )
(31)
La figura 25 muestra el efecto causado por la introducción del controlador anterior
obtenido sobre la función en lazo abierto del sistema y el diagrama de Bode.
Figura 25. Diagrama de Bode de la función de transferencia de la planta propuesta controlada por C(s) (31)
Como puede observarse en la figura 25, la especificación principal (A) de la función
de coste que optimiza el algoritmo hacia un solución que minimice la ecuación (20)
(Ver subsección 3.2.5.1.), es decir la consecución de una fase plana alrededor de la
frecuencia de cruce de ganancia, , se satisface completamente según lo
mostrado en la figura 25.
La respuesta ante una entrada escalón al sistema realimentado y controlado por la
introducción de ( ) (31) se muestra en la figura 26. Se observará que la respuesta
temporal es excelente, además de que la sobreoscilación y el tiempo de
establecimiento son mínimos casualmente, pues recordemos que las
especificaciones de diseño no tiene tales objetivos y, por lo tanto, podríamos haber
obtenido peores resultados en cuanto a estos indicadores temporales.
De los resultados ilustrados en la figura 25, antes de realizar la simulación cabe
esperar que el comportamiento del sistema ante una entrada escalón y variaciones
en la ganancia de la planta sea satisfactoria. La figura 27 muestra la evolución de la
señal de salida ante una entrada escalón y variaciones sufridas en la ganancia de la
plataforma propuesta.
4.3. Resultados obtenidos
70
Figura 26. Diseño del controlador C(s) (31) para la planta propuesta. Izquierda: Respuesta ante escalón. Derecha: Acción de control
Figura 27. Comportamiento de la señal de salida del sistema propuesto (30) controlado por C(s) (31) ante una entrada escalón y variaciones en la ganancia de la planta
En la figura 27 se demuestra la evidencia del funcionamiento del trabajo
desarrollado. Tal y como puede apreciarse, el comportamiento del sistema
controlado para diferentes ganancias de la planta ante una señal de entrada con
forma escalón es totalmente satisfactorio, es decir, el controlador resultante del
algoritmo de optimización implementado hace que el sistema sea robusto frente a
estos cambios consiguiendo filtrar estas variaciones tan frecuentes en cualquier
sistema y obteniendo un comportamiento similar al previamente diseñado.
Lamentablemente no es posible de testear estos resultados sobre una plataforma
real ante la ausencia de dicho sistema definido sobre una sistema físico real. En
cualquier caso, queda demostrado el correcto funcionamiento del algoritmo
desarrollado y del potencial de adaptación del uso de controladores de orden
fraccionario en la ingeniería de control. Este algoritmo ha sido simulado sobre
4. Resultados experimentales
71
otras plantas propuestas con resultados satisfactorios, sin embargo, su ilustración
en el presente informe sería redundante.
4.3. Resultados obtenidos
72
5. Conclusiones
Un nuevo método basado en conceptos de computación evolutiva es propuesto en
el presente trabajo para llevar a cabo el ajuste de los cinco parámetros diferentes
de los controladores de orden fraccionario . Este nuevo método de ajuste
propuesto presenta múltiples ventajas. En primer lugar, permite una mayor
flexibilidad en el proceso de diseño de un controlador porque, al proponer
distintas funciones de ajuste o coste, diferentes especificaciones de diseño a
cumplir podrían ser escogidas de forma simple y sencilla. Además, un
conocimiento previo y minucioso de la plataforma a controlar no es necesario para
obtener un resultado exitoso siempre que la señal de salida del sistema sea
accesible. Como ya mencionamos en varias ocasiones, si los parámetros del
controlador se encuentran en un espacio adecuado de búsqueda de soluciones, la
convergencia del método está prácticamente asegurada.
El algoritmo implementado ha sido probado para controlar la posición de salida de
un motor de corriente continua tanto en un entorno de simulación como real. Para
estos entornos se han implementado dos tipos diferentes de controladores con
objetivos de diseño totalmente adversos: uno de ellos con la capacidad de
optimizar la respuesta temporal del sistema controlado y el otro con la consigna de
satisfacer algunas propiedades definidas en el dominio frecuencial. De forma
complementaria y comparativa, se han desarrollado, además, dos controladores
PID, uno de orden entero y otro de orden fraccionario, para satisfacer cada una de
las especificaciones definidas en cada uno de estos dos dominios, el temporal y el
frecuencial. Dentro de nuestro humilde conocimiento, no conocemos otros grupos
de investigación en el mundo diseñando controladores fraccionarios con técnicas
evolutivas en el dominio de la frecuencia.
En el trabajo desarrollado podemos, fundamentalmente, establecer dos
comparaciones con conclusiones satisfactorias. Por una parte, hemos demostrado
las ventajas del empleo de controladores de orden fraccionario frente a los
controladores tradicionales o de orden entero. Los controladores fraccionarios
empleados debido a su componente fraccionario en las operadores integral
y derivativo son capaces de tener una mayor adaptación a las condiciones de
diseño establecidas, ya se basen en un régimen temporal o frecuencial. Por otro
lado, resulta evidente que el diseño de un controlador bajo especificaciones
definidas en el dominio de la frecuencia hace al sistema más robusto frente a
ciertas perturbaciones que todos los sistemas reales en la industria sufren. Como
se ha visto a lo largo del proyecto, los controladores desarrollados con el fin de
cumplir esta especificación han favorecido a que el sistema controlado con éstos
5. Conclusiones
74
mantenga un comportamiento similar ante este amplio intervalo de ganancias de
la planta, siendo tal efecto apreciable principalmente en el mantenimiento de la
sobreoscilación de la señal de salida prácticamente constante en todo este
intervalo de ganancias de la planta. Además, cabe destacar la mejor adaptación de
los controladores fraccionarios frente a los tradicionales a este tipo de
configuración.
6. Trabajos futuros relacionados
En este penúltimo apartado se plantearán trabajos para llevar a cabo en el futuro a
partir del conocimiento de los resultados que hemos obtenido en nuestro trabajo.
El primer trabajo interesante a abordar en el futuro sería el diseño de un
controlador que combinara las opciones de diseño desarrolladas y propuestas en
nuestro trabajo basado en la técnica evolutiva del algoritmo DE, es decir, el diseño
de un controlador que optimice la respuesta temporal de un sistema y el basado en
satisfacer algunas propiedades del dominio frecuencial. Tal trabajo ya fue
introducido en la subsección 3.2.5.3 del presente documento y con el objetivo de
minimizar la ecuación (21). El gran reto para obtener resultados con éxito será la
definición del parámetro que actúa como factor de importancia al error cometido
en cada una de las funciones de ajuste a combinar. Se deberá llevar a cabo un
análisis, estudio y comparación de la magnitud de éstos para establecer un valor
adecuado, pues la magnitud del error de la función de ajuste basada en la
respuesta temporal es mucho menor para la consecución de buenas soluciones
frente a la magnitud del error que comenten las soluciones óptimas en el diseño
bajo el dominio de la frecuencia. Antes de llevar a cabo dicha comprobación, sería
necesario solucionar el rango de tensión de 0 a 10 voltios que permite el motor DC
disponible en el laboratorio para evitar la aparición del rizado cuando la señal de
control supera dicho intervalo.
Por otra parte, la función de transferencia de la planta analizada en nuestra
investigación es un sistema de segundo orden con un polo negativo y un polo en el
origen. Además no existen retrasos significativos o componentes no lineares. Otro
campo de investigación a realizar en el futuro podría ser la aplicación de este
proceso de optimización para el ajuste de controladores sobre sistemas más
complicados y enrevesados que contengan no linealidades, retrasos y una mayor
complejidad en cuanto a su estabilidad.
Por último, ante la falta de medios existentes, ha sido imposible probar el
algoritmo desarrollado sobre otros sistemas reales. De aquí que surja la necesidad
en el futuro de poder confirmar el adecuado funcionamiento sobre otras
plataformas reales que, yo mismo me ofrecería a poder comprobar.
6. Trabajos futuros relacionados
76
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Recommended