ÁLGEBRA LINEAL

ÁLGEBRA LINEAL

Maestría en la Enseñanza de las matemáticas

Alumna: Alejandra Muñoz Islas Maestra: Laura Verónica Mendoza

Sánchez.Guadalajara, Jalisco.1 de agosto de 2009

Determinante n x n

Historia de los determinantesLos determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, antes que las matrices, que aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación gaussiana.

PRIMEROS CÁLCULOS DE DETERMINANTES

En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545, presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultáneamente. Cauchy fue el primero en emplear el término determinante

con su significado moderno

Definición Determinante :

Sea A una matriz de . Entonces el determinante de A, denotado por está dado por:

La expresión se llama expansión por cofactores.

¡No debe confundirse esta notación con las barras del valor

absoluto!

Donde A1k es el cofactor

Ejemplos

: Cálculo de un determinante de 2 x 2

Sea entonces según la definición:

Ejemplos

:Cálculo de un determinante 3x3

Sea entonces según la definición:

Solución:

Ejemplos

:Cálculo de un determinante 4x4

Sea por la definición el determinante es:

Solución:

Es evidente que el cálculo del determinante de una matriz de n x n puede ser tedioso.

Por fortuna existen técnicas que simplifican estos cálculos.

Sin embargo, existen algunas matrices para las que es muy sencillo calcular los determinantes.

Para calcular un determinante de 3 x 3 deben calcularse tres determinantes de 2 x 2.

Para calcular un determinante de 4 x 4 deben calcularse cuatro determinantes de 3 x 3

Para calcular un determinante de 5 x 5 deben calcularse cinco determinantes de 4 x 4, que es lo mismo que calcular veinte determinantes de 3 x 3.

El determinante de

una

matriz triangular

inferior

La matriz es triangular inferior.

Calcule el det A.

SOLUCIÓN.-

Teorema

Sea una matriz de n x n triangular superior o inferior. Entonces:

Esto es: el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus

componentes en la diagonal.

Ejercicios:

1. Si

Calcule el determinante de las siguientes matrices, de acuerdo a la definición dada.

5. Muestre que si A es triangular, entonces si y sólo si todos los elementos en la diagonal de A son diferentes de cero.

¡SUERTE!

Bibliografía1. Álgebra Lineal. Stanley I. Grossman. McGraw –

Hill, quinta edición. 19962. http://es.wikipedia.org/wiki/

Determinante_(matem%C3%A1tica)