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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 1/47
Álgebra Matricial y OptimizaciónMa130
Elementos de Cálculo en Varias VariablesDepartamento de Matemáticas
ITESM
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 2/47
Introducción
En esta lectura se dará una revisión rápida aalgunos conceptos importantes en cálculo envarias variables que se requieren para el trabajode optimización. Dos sobre todo de muchaimportancia: el concepto del Jacobiano de unafunción real y el de la matriz Hessiana de unafunción real. El Jacobiano es la generalización delconcepto de primera derivada ya visto en cálculopero en una variable, mientras que el de matrizHessiana corresponde a la generalización de lasegunda derivada parcial también en una variable.Al final de este resumen de conceptos viene unresultado teórico sobre el desarrollo de Taylor deuna función en varias variables.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 3/47
Derivada parcial
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 3/47
Derivada parcial
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , y sea a =< a1, a2, . . . , an > unpunto en el interior de D.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 3/47
Derivada parcial
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , y sea a =< a1, a2, . . . , an > unpunto en el interior de D. Suponga que se elijeuna de las variables xi (1 ≤ i ≤ n) si existe el límite
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 3/47
Derivada parcial
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , y sea a =< a1, a2, . . . , an > unpunto en el interior de D. Suponga que se elijeuna de las variables xi (1 ≤ i ≤ n) si existe el límite
lımh→0
f(a + hei) − f(a)
h
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 3/47
Derivada parcial
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , y sea a =< a1, a2, . . . , an > unpunto en el interior de D. Suponga que se elijeuna de las variables xi (1 ≤ i ≤ n) si existe el límite
lımh→0
f(a + hei) − f(a)
hentonces se dice que f tiene derivada parcialrespecto a xi en el punto a.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 3/47
Derivada parcial
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , y sea a =< a1, a2, . . . , an > unpunto en el interior de D. Suponga que se elijeuna de las variables xi (1 ≤ i ≤ n) si existe el límite
lımh→0
f(a + hei) − f(a)
hentonces se dice que f tiene derivada parcialrespecto a xi en el punto a. Ésta se representapor
∂f(a)
∂xi
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 4/47
Ejemplo
Sea la función f : R3→ R
2 definida por la fórmula
f(< x, y, z >) =< x y, x2 + y z >
y sea P =< 1, 2,−1 >. De acuerdo a la definición, determine ∂f(P)∂x
y ∂f(P)∂z
.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 4/47
Ejemplo
Sea la función f : R3→ R
2 definida por la fórmula
f(< x, y, z >) =< x y, x2 + y z >
y sea P =< 1, 2,−1 >. De acuerdo a la definición, determine ∂f(P)∂x
y ∂f(P)∂z
.Soluci on
Como f(P) = f(< 1, 2,−1 >) =< 2,−1 >:
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 4/47
Ejemplo
Sea la función f : R3→ R
2 definida por la fórmula
f(< x, y, z >) =< x y, x2 + y z >
y sea P =< 1, 2,−1 >. De acuerdo a la definición, determine ∂f(P)∂x
y ∂f(P)∂z
.Soluci on
Como f(P) = f(< 1, 2,−1 >) =< 2,−1 >:
∂f(P)∂x
= lımh→0
f(< 1 + h, 2,−1 >) − f(< 1, 2,−1 >)
h
= lımh→0
< (1 + h) 2, (1 + h)2 + 2(−1) > − < 2,−1 >
h
= lımh→0
< 2 h, 2 h + h2 >
h
= lımh→0
< 2, 2 + h >
= < lımh→0
2, lımh→0
2 + h >
= < 2, 2 + 0 >=< 2, 2 >
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 5/47
En forma análoga,
∂f(P)∂z
= lımh→0
f(< 1, 2,−1 + h >) − f(< 1, 2,−1 >)
h
= lımh→0
< 2, 1 + 2(−1 + h) > − < 2,−1 >
h
= lımh→0
< 0, 2 h >
h
= lımh→0
< 0, 2 >
= < lımh→0
0, lımh→0
2 >
= < 0, 2 > ⋄
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 5/47
En forma análoga,
∂f(P)∂z
= lımh→0
f(< 1, 2,−1 + h >) − f(< 1, 2,−1 >)
h
= lımh→0
< 2, 1 + 2(−1 + h) > − < 2,−1 >
h
= lımh→0
< 0, 2 h >
h
= lımh→0
< 0, 2 >
= < lımh→0
0, lımh→0
2 >
= < 0, 2 > ⋄
Nota
La regla importante sobre límites en el caso de vectoresdice que el límite de un vector es el vector con el límite decada componentee:
lımh→ho
x =< lımh→ho
x1, . . . , lımh→ho
xn >
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 6/47
Ejercicio 1
Sea la función f : R3 → R3 definida por lafórmula
f(< x, y, z >) =< x2− z, x2
− y, y + z >
y sea P =< 1, 2,−1 >. De acuerdo a ladefinición, determine ∂f(P)
∂xy ∂f(P)
∂z.
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NotaEn lo siguiente, ya no utilizaremos la definición dederivada parcial sino que utilizaremos lassiguientes reglas básicas de derivación parcial:■ La derivada parcial de un vector es el vector
formado por las derivadas parciales de lascomponentes.
■ La derivada parcial de una expresión se calculacomo una derivada tradicional de una funciónrespecto a una variable considerando lasvariables restantes como constantes.
■ Para calcular una derivada parcial en un punto,se obtiene la derivada parcial en cualquier puntoy posteriormente se evalua en el punto dado.
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
Ejemplo
Si f : R3 → R y
f((x1, x2, x3)′) = x1x2
2 + x2x33
Determine ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3.
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
Ejemplo
Si f : R3 → R y
f((x1, x2, x3)′) = x1x2
2 + x2x33
Determine ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3.Soluci onTenemos:
∂f(x)∂x1
=
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
Ejemplo
Si f : R3 → R y
f((x1, x2, x3)′) = x1x2
2 + x2x33
Determine ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3.Soluci onTenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
(x1 x22 + x2 x3
2)
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
Ejemplo
Si f : R3 → R y
f((x1, x2, x3)′) = x1x2
2 + x2x33
Determine ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3.Soluci onTenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
(x1 x22 + x2 x3
2) = ∂∂x1
(x1 x22) + ∂
∂x1(x2 x3
2)
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
Ejemplo
Si f : R3 → R y
f((x1, x2, x3)′) = x1x2
2 + x2x33
Determine ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3.Soluci onTenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
(x1 x22 + x2 x3
2) = ∂∂x1
(x1 x22) + ∂
∂x1(x2 x3
2) = x22
∂f(x)∂x2
=
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
Ejemplo
Si f : R3 → R y
f((x1, x2, x3)′) = x1x2
2 + x2x33
Determine ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3.Soluci onTenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
(x1 x22 + x2 x3
2) = ∂∂x1
(x1 x22) + ∂
∂x1(x2 x3
2) = x22
∂f(x)∂x2
= ∂∂x2
(x1 x22 + x2 x3
2)
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Ejemplo
Si f : R3 → R y
f((x1, x2, x3)′) = x1x2
2 + x2x33
Determine ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3.Soluci onTenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
(x1 x22 + x2 x3
2) = ∂∂x1
(x1 x22) + ∂
∂x1(x2 x3
2) = x22
∂f(x)∂x2
= ∂∂x2
(x1 x22 + x2 x3
2) = 2 x1 x2 + x33
∂f(x)∂x3
=
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Ejemplo
Si f : R3 → R y
f((x1, x2, x3)′) = x1x2
2 + x2x33
Determine ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3.Soluci onTenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
(x1 x22 + x2 x3
2) = ∂∂x1
(x1 x22) + ∂
∂x1(x2 x3
2) = x22
∂f(x)∂x2
= ∂∂x2
(x1 x22 + x2 x3
2) = 2 x1 x2 + x33
∂f(x)∂x3
= ∂∂x3
(x1 x22 + x2 x3
2)
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Ejemplo
Si f : R3 → R y
f((x1, x2, x3)′) = x1x2
2 + x2x33
Determine ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3.Soluci onTenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
(x1 x22 + x2 x3
2) = ∂∂x1
(x1 x22) + ∂
∂x1(x2 x3
2) = x22
∂f(x)∂x2
= ∂∂x2
(x1 x22 + x2 x3
2) = 2 x1 x2 + x33
∂f(x)∂x3
= ∂∂x3
(x1 x22 + x2 x3
2) = 3 x2 x32⋄
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Ejemplo
Si f : R3→ R
2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32
>
Determine las fórmulas de ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
Ejemplo
Si f : R3→ R
2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32
>
Determine las fórmulas de ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.Soluci on Tenemos:
∂f(x)∂x1
=
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
Ejemplo
Si f : R3→ R
2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32
>
Determine las fórmulas de ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.Soluci on Tenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
< x1 x2, x2 + x32 >
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Ejemplo
Si f : R3→ R
2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32
>
Determine las fórmulas de ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.Soluci on Tenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x1(x1 x2),
∂∂x1
(x2 + x32) >
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Ejemplo
Si f : R3→ R
2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32
>
Determine las fórmulas de ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.Soluci on Tenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x1(x1 x2),
∂∂x1
(x2 + x32) >=< x2, 0 >
∂f(x)∂x2
=
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Ejemplo
Si f : R3→ R
2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32
>
Determine las fórmulas de ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.Soluci on Tenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x1(x1 x2),
∂∂x1
(x2 + x32) >=< x2, 0 >
∂f(x)∂x2
= ∂∂x2
< x1 x2, x2 + x32 >
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
Ejemplo
Si f : R3→ R
2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32
>
Determine las fórmulas de ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.Soluci on Tenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x1(x1 x2),
∂∂x1
(x2 + x32) >=< x2, 0 >
∂f(x)∂x2
= ∂∂x2
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x2(x1 x2),
∂∂x2
(x2 + x32) >
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Ejemplo
Si f : R3→ R
2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32
>
Determine las fórmulas de ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.Soluci on Tenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x1(x1 x2),
∂∂x1
(x2 + x32) >=< x2, 0 >
∂f(x)∂x2
= ∂∂x2
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x2(x1 x2),
∂∂x2
(x2 + x32) >=< x1, 1 >
∂f(x)∂x3
=
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Ejemplo
Si f : R3→ R
2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32
>
Determine las fórmulas de ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.Soluci on Tenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x1(x1 x2),
∂∂x1
(x2 + x32) >=< x2, 0 >
∂f(x)∂x2
= ∂∂x2
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x2(x1 x2),
∂∂x2
(x2 + x32) >=< x1, 1 >
∂f(x)∂x3
= ∂∂x3
< x1 x2, x2 + x32 >
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Ejemplo
Si f : R3→ R
2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32
>
Determine las fórmulas de ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.Soluci on Tenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x1(x1 x2),
∂∂x1
(x2 + x32) >=< x2, 0 >
∂f(x)∂x2
= ∂∂x2
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x2(x1 x2),
∂∂x2
(x2 + x32) >=< x1, 1 >
∂f(x)∂x3
= ∂∂x3
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x3(x1 x2),
∂∂x3
(x2 + x32) >
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Ejemplo
Si f : R3→ R
2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32
>
Determine las fórmulas de ∂f(x)∂xi
para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.Soluci on Tenemos:
∂f(x)∂x1
= ∂∂x1
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x1(x1 x2),
∂∂x1
(x2 + x32) >=< x2, 0 >
∂f(x)∂x2
= ∂∂x2
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x2(x1 x2),
∂∂x2
(x2 + x32) >=< x1, 1 >
∂f(x)∂x3
= ∂∂x3
< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂
∂x3(x1 x2),
∂∂x3
(x2 + x32) >=< 0, 2 x3 > ⋄
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Ejercicio 2
Sea la función f : R2 → R2 definida por lafórmula
f(< x, y >) =< ex−y cos(x2+y2), log(x2−sen(2πy)) >
y sea P =< 2, 1 >. Determine las fórmulaspara las derivadas parciales de f encualquier punto y posteriormente calcule∂f(P)
∂xy ∂f(P)
∂y.
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 11/47
Ejemplo
Considere la función f : R2 → R definida por
f(x, y) =(1 − (−0.42x + 0.91y − 1 − (0.73x − 1 + 0.38y)2)2)
(1 + (0.73x − 1 + 0.38y)2 + (−0.42x + 0.91y − 1)2)2
Grafique las derivadas parciales de f en (1, 2).
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 12/47
-0.4
-1
-10
00 1y23
41
0.4
x 2
0.8
3
Figura 1: Gráfica de f(x, y)
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 13/47
-0.4
-1-1
00
0 1y2
1 3
0.4
4
x 2
0.8
3
Figura 2: Parcial de f(x, y) respecto a x
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 14/47
-1
-1
-0.5
-10
00 1 y2
0.5
31 4
1
x
1.5
2
3
Figura 3: Parcial de f(x, y) respecto a y
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Ejercicio 3
Sea la función f : R2 → R2 definida por lafórmula
f(< x, y >) =< ex−y cos(x2+y2), log(x2−sen(2πy)) >
y sea P =< 2, 1 >. Grafique la función para1.5 ≤ x ≤ 2.5 y 0.5 ≤ y ≤ 1.5 yposteriormente grafique las líneas en elespacio que corresponden a las rectastangente referentes a las derivadas parcialesen el punto. Como sugerencia utilice Maple ylos archivos de apoyo del curso.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 16/47
El Jacobiano de una Función
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 16/47
El Jacobiano de una Función
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x un punto en el interior deD,
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 16/47
El Jacobiano de una Función
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x un punto en el interior deD, y además suponga que
f =< f1, f2, . . . , fm >
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 16/47
El Jacobiano de una Función
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x un punto en el interior deD, y además suponga que
f =< f1, f2, . . . , fm >
El jacobiano de f en x es la matriz
Jf (x) =
∂f1(x)∂x1
∂f1(x)∂x2
· · ·∂f1(x)∂xn
∂f2(x)∂x1
∂f2(x)∂x2
· · ·∂f2(x)∂xn
......
. . ....
∂fm(x)∂x1
∂fm(x)∂x2
· · ·∂fm(x)
∂xn
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 16/47
El Jacobiano de una Función
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x un punto en el interior deD, y además suponga que
f =< f1, f2, . . . , fm >
El jacobiano de f en x es la matriz
Jf (x) =
∂f1(x)∂x1
∂f1(x)∂x2
· · ·∂f1(x)∂xn
∂f2(x)∂x1
∂f2(x)∂x2
· · ·∂f2(x)∂xn
......
. . ....
∂fm(x)∂x1
∂fm(x)∂x2
· · ·∂fm(x)
∂xn
En la columna i de Jf (x) aparece ∂f(x)∂xi
.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 17/47
Ejemplo
Si f : R3 → R2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x23 >
Determine Jf (x).
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 17/47
Ejemplo
Si f : R3 → R2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x23 >
Determine Jf (x).Soluci onPor los cálculos realizados en un ejemplo anterior,tenemos:
Jf (x) =
[
x2 x1 0
0 1 2 x3
]
⋄
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Ejercicio 4
Si f : R3 → R2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x12cos(x2), e
x1+x32
>
Determine el Jacobiano de f .
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 19/47
Derivadas Superiores
Las derivadas parciales de orden superior asícomo derivadas cruzadas se definen similarmenteal caso de funciones en una variable. También lanotación es similar:
∂2f(a)
∂xi2
ó fxixi(a),
∂2f(a)
∂xi∂xj
ó fxixj(a)
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 20/47
Ejemplo
Si f : R3→ R
2 y
f(< x1, x2, x3 >) =< x12x2, x2 + x
23 >
Determine ∂2f(x)
∂x2
1
y fx2x3(x).
Soluci on
Directamente de la definición de
∂2f(x)
∂x2
1
= ∂2
∂x2
1
f(x) = ∂2
∂x2
1
< x12x2, x2 + x3
2 >
= < ∂2
∂x2
1
(x12x2),
∂2
∂x2
1
(x2 + x32) >=< 2 x2, 0 >
∂2f(x)
∂x2∂x3= ∂2
∂x2∂x3f(x) = ∂2
∂x2∂x3< x1
2x2, x2 + x32 >
= < ∂2
∂x2∂x3(x1
2x2),∂2
∂x2∂x3(x2 + x3
2) >= = < 2 x2, 0 >
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 21/47
Derivada Total
Definici onSea f(x) una función real definida sobre D ⊆ Rn,donde x = (x1, x2, . . . , xn)′.
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 21/47
Derivada Total
Definici onSea f(x) una función real definida sobre D ⊆ Rn,donde x = (x1, x2, . . . , xn)′. Suponga que lasvariables x1, x2, . . . , xn son funciones de t:
xi = xi(t)
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 21/47
Derivada Total
Definici onSea f(x) una función real definida sobre D ⊆ Rn,donde x = (x1, x2, . . . , xn)′. Suponga que lasvariables x1, x2, . . . , xn son funciones de t:
xi = xi(t)
Entonces, f es también una función de t.
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 21/47
Derivada Total
Definici onSea f(x) una función real definida sobre D ⊆ Rn,donde x = (x1, x2, . . . , xn)′. Suponga que lasvariables x1, x2, . . . , xn son funciones de t:
xi = xi(t)
Entonces, f es también una función de t. Laderivada ordinaria de f en este caso se llama laderivada total de f .
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 21/47
Derivada Total
Definici onSea f(x) una función real definida sobre D ⊆ Rn,donde x = (x1, x2, . . . , xn)′. Suponga que lasvariables x1, x2, . . . , xn son funciones de t:
xi = xi(t)
Entonces, f es también una función de t. Laderivada ordinaria de f en este caso se llama laderivada total de f . Esta derivada se puedecalcular por la fórmula:
df
dt=
n∑
i=1
∂f(x)
∂xi
dxi
dt.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 22/47
Ejemplo
Si f : R2 → R y
f(< x1, x2 >) = x12− x2
2
y x1 = x1(t) = t cos(t) y x2 = x1(t) = cos(t) + sin(t).Determine df
dt.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 23/47
Derivada Direccional
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 23/47
Derivada Direccional
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x = (x1, x2, . . . , xn)′ unpunto en el interior de D
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 23/47
Derivada Direccional
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x = (x1, x2, . . . , xn)′ unpunto en el interior de D , y sea v un vectorunitario en Rn.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 23/47
Derivada Direccional
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x = (x1, x2, . . . , xn)′ unpunto en el interior de D , y sea v un vectorunitario en Rn. La derivada direccional de f en elpunto x y en la dirección v
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 23/47
Derivada Direccional
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x = (x1, x2, . . . , xn)′ unpunto en el interior de D , y sea v un vectorunitario en Rn. La derivada direccional de f en elpunto x y en la dirección v se define, si existe ellímite, como:
lımh→0
f(x + hv) − f(x)
h
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 23/47
Derivada Direccional
Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x = (x1, x2, . . . , xn)′ unpunto en el interior de D , y sea v un vectorunitario en Rn. La derivada direccional de f en elpunto x y en la dirección v se define, si existe ellímite, como:
lımh→0
f(x + hv) − f(x)
h
Por resultado matemático, la derivada direccionalpuede ser calculada como:
Jf (x)v
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 24/47
Ejemplo
Si f : R3 → R2 y
f(< x1, x2, x3 >) =
(
x21 + x2
2 + x23
x21 − x1 x2 + x2
3
)
Determine la derivada direccional de f ena =< 1, 2, 1 > en la dirección v =< 1√
2,− 1√
2, 0 >.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 25/47
El Gradiente de una Función
Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 25/47
El Gradiente de una Función
Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Si las derivadas parciales de f existenen un punto interior x de D
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 25/47
El Gradiente de una Función
Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Si las derivadas parciales de f existenen un punto interior x de D , el vector
(∂f/∂x1, ∂f/∂x2, . . . , ∂f/∂xn)′
es llamado el gradiente de f en el punto x y essimbolizado por ∇f(x)
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 25/47
El Gradiente de una Función
Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Si las derivadas parciales de f existenen un punto interior x de D , el vector
(∂f/∂x1, ∂f/∂x2, . . . , ∂f/∂xn)′
es llamado el gradiente de f en el punto x y essimbolizado por ∇f(x) Note que el gradiente esun vector en Rn; no está precisamente en D, pero,por aquello de que los vectores son trasladables
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 25/47
El Gradiente de una Función
Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Si las derivadas parciales de f existenen un punto interior x de D , el vector
(∂f/∂x1, ∂f/∂x2, . . . , ∂f/∂xn)′
es llamado el gradiente de f en el punto x y essimbolizado por ∇f(x) Note que el gradiente esun vector en Rn; no está precisamente en D, pero,por aquello de que los vectores son trasladables ,es posible trasladarlo y visualizarlo en el punto x.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 26/47
Ejemplo
Si f : R2 → R y
f(< x1, x2 >) = x21 − x1 x2 + x2
2
Determine ∇f(x).
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 27/47
-0.4
-1
-10
00 1 y23
1 4
0.4
x 2
0.8
3
Figura 4: Gradiente de f(x, y) en (1, 2)
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 28/47
-0.4
-1
-10
00 1 y2
34
1
x
0.4
2
3
0.8
Figura 5: Curva de corte en la dirección del gradiente
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 29/47
El Hessiano
Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 29/47
El Hessiano
Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Entonces, ∇f : D → Rn.
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 29/47
El Hessiano
Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Entonces, ∇f : D → Rn. La matrizJacobiana de ∇f es llamada la matriz Hessiana def
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 29/47
El Hessiano
Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Entonces, ∇f : D → Rn. La matrizJacobiana de ∇f es llamada la matriz Hessiana def y se simboliza por Hf (x).
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 29/47
El Hessiano
Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Entonces, ∇f : D → Rn. La matrizJacobiana de ∇f es llamada la matriz Hessiana def y se simboliza por Hf (x). Así, Hf (x) = J∇f (x)
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 29/47
El Hessiano
Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Entonces, ∇f : D → Rn. La matrizJacobiana de ∇f es llamada la matriz Hessianade f y se simboliza por Hf (x). Así,Hf (x) = J∇f (x) y
Hf (x) =
∂2f(x)∂x1∂x1
∂2f(x)∂x2∂x1
· · ·∂2f(x)∂xn∂x1
∂2f(x)∂x1∂x2
∂2f(x)∂x2∂x2
· · ·∂2f(x)∂xn∂x2
......
. . ....
∂2f(x)∂x1∂xn
∂2f(x)∂x2∂xn
· · ·∂2f(x)∂xn∂xn
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 30/47
Ejemplo
Si f : R2 → R y
f(< x1, x2 >) = x21 − x2
1 x2 + x32
Determine Hf (x).
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 30/47
Ejemplo
Si f : R2 → R y
f(< x1, x2 >) = x21 − x2
1 x2 + x32
Determine Hf (x). Soluci onComo
∂f
∂x1= 2 x1 − 2 x1 x2,
∂f
∂x2= −x2
1 + 3 x22
∂2f
∂x12 = 2 − 2 x2,
∂2f
∂x1∂x2= −2 x1,
∂2f
∂x22 = 6 x2
Por tanto:
Hf (x) =
[
2 − 2 x2 −2 x1
−2 x1 6 x2
]
⋄
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
Derivación de Funciones Compuestas
Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
Derivación de Funciones Compuestas
Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn. Sea g : D2 → Rp una funcióndefinida en un dominio D2 ⊆ Rm.
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
Derivación de Funciones Compuestas
Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn. Sea g : D2 → Rp una funcióndefinida en un dominio D2 ⊆ Rm. Y sea x0 unpunto interior a D1 tal que f(x0) es un puntointerior de D2.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
Derivación de Funciones Compuestas
Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn. Sea g : D2 → Rp una funcióndefinida en un dominio D2 ⊆ Rm. Y sea x0 unpunto interior a D1 tal que f(x0) es un puntointerior de D2. Si existe la matriz jacobiana m × nJf (x0)
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
Derivación de Funciones Compuestas
Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn. Sea g : D2 → Rp una funcióndefinida en un dominio D2 ⊆ Rm. Y sea x0 unpunto interior a D1 tal que f(x0) es un puntointerior de D2. Si existe la matriz jacobiana m × nJf (x0) , y si existe la matriz jacobiana p × mJg(f(x0))
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
Derivación de Funciones Compuestas
Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn. Sea g : D2 → Rp una funcióndefinida en un dominio D2 ⊆ Rm. Y sea x0 unpunto interior a D1 tal que f(x0) es un puntointerior de D2. Si existe la matriz jacobiana m × nJf (x0) , y si existe la matriz jacobiana p × mJg(f(x0)) entonces existe la matriz jacobiana p × nJh(x0) para la función compuesta h = g ◦ f
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
Derivación de Funciones Compuestas
Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn. Sea g : D2 → Rp una funcióndefinida en un dominio D2 ⊆ Rm. Y sea x0 unpunto interior a D1 tal que f(x0) es un puntointerior de D2. Si existe la matriz jacobiana m × nJf (x0) , y si existe la matriz jacobiana p × mJg(f(x0)) entonces existe la matriz jacobiana p × nJh(x0) para la función compuesta h = g ◦ f y
Jh(x0) = Jg [f(x0)]Jf (x0)
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 32/47
Ejemplo
Si f : R2 → R3 definida como
f(< x1, x2 >) =
x21 − x2 cos x1
x1 x2
x31 + x3
2
y si g : R3 → R definida como
g(< ξ1, ξ2, ξ3 >) = ξ1 − ξ22 + ξ3
Determine Jg◦f (x).
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 33/47
Soluci onTenemos que:
Jg((ξ1, ξ2, ξ3)′) = [1,−2 ξ2, 1]
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 33/47
Soluci onTenemos que:
Jg((ξ1, ξ2, ξ3)′) = [1,−2 ξ2, 1]
Jg(f(x1, x2, x3)) = [1,−2 x1 x2, 1]
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 33/47
Soluci onTenemos que:
Jg((ξ1, ξ2, ξ3)′) = [1,−2 ξ2, 1]
Jg(f(x1, x2, x3)) = [1,−2 x1 x2, 1]
y
Jf ((x1, x2, x3)′) =
2 x1 + x2 sin(x1) −x2 cos(x1)
x2 x1
3 x12 3 x2
2
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 33/47
Soluci onTenemos que:
Jg((ξ1, ξ2, ξ3)′) = [1,−2 ξ2, 1]
Jg(f(x1, x2, x3)) = [1,−2 x1 x2, 1]
y
Jf ((x1, x2, x3)′) =
2 x1 + x2 sin(x1) −x2 cos(x1)
x2 x1
3 x12 3 x2
2
Por tanto
Jg◦f ((x1, x2, x3)′) = Jg(f((x1, x2, x3)
′)) · Jf ((x1, x2, x3)′)
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 34/47
Jg◦f ((x1, x2, x3)′) = [1,−2 x1 x2, 1]
2 x1 + x2 sin(x1) −x2 cos(x1)
x2 x1
3 x12 3 x2
2
=
[
2x1 + x2 sin(x1) − 2x1x22 + 3x1
2
−x2 cos(x1) − 2x12x2 + 3x2
2
]T
⋄
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 35/47
El Teorema de Taylor: Requisitos
Sea x = (x1, x2, . . . , xn)′, se define el operadordiferencial de primer orden x′∇ como:
x′∇ =
n∑
i=1
xi
∂
∂xi
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 35/47
El Teorema de Taylor: Requisitos
Sea x = (x1, x2, . . . , xn)′, se define el operadordiferencial de primer orden x′∇ como:
x′∇ =
n∑
i=1
xi
∂
∂xi
La aplicación del operador x′∇ a una función f(x)sería:
(x′∇)f(x) =
n∑
i=1
xi
∂f
∂xi
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 35/47
El Teorema de Taylor: Requisitos
Sea x = (x1, x2, . . . , xn)′, se define el operadordiferencial de primer orden x′∇ como:
x′∇ =
n∑
i=1
xi
∂
∂xi
La aplicación del operador x′∇ a una función f(x)sería:
(x′∇)f(x) =
n∑
i=1
xi
∂f
∂xi
Por notación(x′∇)f(x0) representa (x′∇)f(x) evaluando sólolas parciales en x0.
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 36/47
Ejemplo
Si f : R3 → R definida como
f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2
2 + x3
Calcule (x′∇)f(x) y (x′∇)f(x0 = (0, 2, 1)′).
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 36/47
Ejemplo
Si f : R3 → R definida como
f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2
2 + x3
Calcule (x′∇)f(x) y (x′∇)f(x0 = (0, 2, 1)′).Soluci on Como
∂f
∂x1
= 1,∂f
∂x2
= −2 x2,∂f
∂x3
= 1
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 36/47
Ejemplo
Si f : R3 → R definida como
f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2
2 + x3
Calcule (x′∇)f(x) y (x′∇)f(x0 = (0, 2, 1)′).Soluci on Como
∂f
∂x1
= 1,∂f
∂x2
= −2 x2,∂f
∂x3
= 1
Tenemos:
(x′∇)f(x) =
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 36/47
Ejemplo
Si f : R3 → R definida como
f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2
2 + x3
Calcule (x′∇)f(x) y (x′∇)f(x0 = (0, 2, 1)′).Soluci on Como
∂f
∂x1
= 1,∂f
∂x2
= −2 x2,∂f
∂x3
= 1
Tenemos:
(x′∇)f(x) = x1 (1) + x2 (−2 x2) + x3 (1)
(x′∇)f(x0) =
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 36/47
Ejemplo
Si f : R3 → R definida como
f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2
2 + x3
Calcule (x′∇)f(x) y (x′∇)f(x0 = (0, 2, 1)′).Soluci on Como
∂f
∂x1
= 1,∂f
∂x2
= −2 x2,∂f
∂x3
= 1
Tenemos:
(x′∇)f(x) = x1 (1) + x2 (−2 x2) + x3 (1)
(x′∇)f(x0) = x1 (1) + x2 (−4) + x3 (1)
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 36/47
Ejemplo
Si f : R3 → R definida como
f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2
2 + x3
Calcule (x′∇)f(x) y (x′∇)f(x0 = (0, 2, 1)′).Soluci on Como
∂f
∂x1
= 1,∂f
∂x2
= −2 x2,∂f
∂x3
= 1
Tenemos:
(x′∇)f(x) = x1 (1) + x2 (−2 x2) + x3 (1)
(x′∇)f(x0) = x1 (1) + x2 (−4) + x3 (1) = x1 − 4 x2 + x3
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 37/47
El operador x′∇ se define para órdenes superiores:
(
x′∇)m
=∑
k1,k2,...,kn
m
k1, k2, . . . , kn
xk1
1 xk2
2 · · ·xkn
n
∂m
∂xk1
1 ∂xk2
2 · · · ∂xknn
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 37/47
El operador x′∇ se define para órdenes superiores:
(
x′∇)m
=∑
k1,k2,...,kn
m
k1, k2, . . . , kn
xk1
1 xk2
2 · · ·xkn
n
∂m
∂xk1
1 ∂xk2
2 · · · ∂xknn
Donde la sumatoria corre sobre todas las posibles n-uplaspara las cuales
n∑
i=1
ki = m
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 37/47
El operador x′∇ se define para órdenes superiores:
(
x′∇)m
=∑
k1,k2,...,kn
m
k1, k2, . . . , kn
xk1
1 xk2
2 · · ·xkn
n
∂m
∂xk1
1 ∂xk2
2 · · · ∂xknn
Donde la sumatoria corre sobre todas las posibles n-uplaspara las cuales
n∑
i=1
ki = m
y(
m
k1, k2, . . . , kn
)
=m!
k1!k2! · · · kn!
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 38/47
La aplicación del operador x′∇ a f(x) resulta en:
(
x′∇)m
f(x) =∑
k1,k2,...,kn
m
k1, k2, . . . , kn
xk1
1 xk2
2 · · ·xkn
n
∂mf(x)
∂xk1
1 ∂xk2
2 · · · ∂xknn
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 39/47
Por notación(x′∇)mf(x0) representa (x′∇)mf(x) evaluando lasparciales en x0.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 39/47
Por notación(x′∇)mf(x0) representa (x′∇)mf(x) evaluando lasparciales en x0.
Importante
El operador (x′∇)mf(x) sólo es aplicable afunciones f : D ⊆ Rn → R. Es decir a funcionesde valor real.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 40/47
Ejemplo
Si f : R3 → R definida como
f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2
2 + x3
Aplique el operador (x′∇)2 y (x′∇)3a f .
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 40/47
Ejemplo
Si f : R3 → R definida como
f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2
2 + x3
Aplique el operador (x′∇)2 y (x′∇)3a f .Soluci onPara (x′∇)2, las posibles tripletas (k1, k2, k3) (3variables) que cumplen
k1 + k2 + k3 = 2
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 40/47
Ejemplo
Si f : R3 → R definida como
f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2
2 + x3
Aplique el operador (x′∇)2 y (x′∇)3a f .Soluci onPara (x′∇)2, las posibles tripletas (k1, k2, k3) (3variables) que cumplen
k1 + k2 + k3 = 2
son (2, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0), (0, 1, 1) y(0, 0, 2).
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 41/47
Para determinar los términos de cada sumadebemos calcular todas las derivadas de orden 2,Las derivadas de primer orden son:
∂f
∂x1
= 1,∂f
∂x2
= −2x2,∂f
∂x3
= 1
y todas las de segundo orden son:
∂2f
∂x1∂x1= 0, ∂2f
∂x1∂x2= 0, ∂2f
∂x1∂x3= 0,
∂2f
∂x2∂x2= −2, ∂2f
∂x2∂x3= 0,
∂2f
∂x3∂x3= 0
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 42/47
Por tanto,
(x′∇)
2f(x) =
∑
k1,k2,k3
2
k1, k2, k3
xk1
1 xk2
2 xk3
3∂2f(x)
∂xk1
1∂x
k2
2∂x
k3
3
=
2
0, 2, 0
x01x
22x
03(−2) = −2 x2
2
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 42/47
Por tanto,
(x′∇)
2f(x) =
∑
k1,k2,k3
2
k1, k2, k3
xk1
1 xk2
2 xk3
3∂2f(x)
∂xk1
1∂x
k2
2∂x
k3
3
=
2
0, 2, 0
x01x
22x
03(−2) = −2 x2
2
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 43/47
Para (x′∇)3, las posibles tripletas (k1, k2, k3) (3variables) que cumplen
k1 + k2 + k3 = 3
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 43/47
Para (x′∇)3, las posibles tripletas (k1, k2, k3) (3variables) que cumplen
k1 + k2 + k3 = 3
son (3, 0, 0), (2, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 2, 0),(1, 1, 1),(1, 0, 2), (0, 3, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2), y (0, 0, 3).
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 43/47
Para (x′∇)3, las posibles tripletas (k1, k2, k3) (3variables) que cumplen
k1 + k2 + k3 = 3
son (3, 0, 0), (2, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 2, 0),(1, 1, 1),(1, 0, 2), (0, 3, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2), y (0, 0, 3).Como todas las correspondientes parciales soncero, (x′∇)3 = 0⋄
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 44/47
Teorema
(Desarrollo de Taylor)Sea f : D → R, donde D ⊆ R y sea x0 unpunto en el interior de D.
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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 44/47
Teorema
(Desarrollo de Taylor)Sea f : D → R, donde D ⊆ R y sea x0 unpunto en el interior de D. Si f y todas lasderivadas parciales de f de orden ≤ rexisten y son continuas en una bola abiertacon centro en x0
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 44/47
Teorema
(Desarrollo de Taylor)Sea f : D → R, donde D ⊆ R y sea x0 unpunto en el interior de D. Si f y todas lasderivadas parciales de f de orden ≤ rexisten y son continuas en una bola abiertacon centro en x0 , entonces para cualquierpunto x en dicha bola:
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 44/47
Teorema
(Desarrollo de Taylor)Sea f : D → R, donde D ⊆ R y sea x0 unpunto en el interior de D. Si f y todas lasderivadas parciales de f de orden ≤ rexisten y son continuas en una bola abiertacon centro en x0 , entonces para cualquierpunto x en dicha bola:
f(x) = f(x0)+r−1∑
i=1
[(x − x0)∇]if(x0)
i!+
[(x − x0)∇]rf(z)
r!
para algún z en el segmento que une x conx0.
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 45/47
Ejemplo
Si f : R2 → R definida como
f((x1, x2)′) = x1 x2 + x2
1 + ex1 cos x2
Desarrolle en x0 = (0, 0)′ hasta el orden r = 2.
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 45/47
Ejemplo
Si f : R2 → R definida como
f((x1, x2)′) = x1 x2 + x2
1 + ex1 cos x2
Desarrolle en x0 = (0, 0)′ hasta el orden r = 2. asparciales hasta orden 2 son:
∂f
∂x1
= x2 + 2 x1 + ex1 cos x2,∂f
∂x2
= x1 − ex1 sin x2
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 46/47
∂2f
∂x1∂x1= 2 x1 + ex1 cos x2
∂2f
∂x1∂x2= 1 − ex1 sin x2
∂2f
∂x2∂x2= −ex1 cos x2,
IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 46/47
∂2f
∂x1∂x1= 2 x1 + ex1 cos x2
∂2f
∂x1∂x2= 1 − ex1 sin x2
∂2f
∂x2∂x2= −ex1 cos x2,
Y las evaluaciones en (x1 = 0, x2 = 0)′ son
∂f
∂x1= 1, ∂f
∂x2= 0
∂2f
∂x1∂x1= 1, ∂2f
∂x1∂x2= 1, ∂2f
∂x2∂x2= −1
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 47/47
Así:
f(x0) = 1
x′∇f(x0) = 1 x1 (1) + 1 x2 (0)
(x′∇)2f(x0) = 1 x12 (1) + 2 x1 x2 (1) + 1 x2
2(−1)
Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 47/47
Así:
f(x0) = 1
x′∇f(x0) = 1 x1 (1) + 1 x2 (0)
(x′∇)2f(x0) = 1 x12 (1) + 2 x1 x2 (1) + 1 x2
2(−1)
Por tanto desarrollada f(x) en x = 0 hasta orden 2:
f(x) ≈ 1 + 1 x1 (1) + 1 x2 (0) + 12(1 x1
2 (1) + 2 x1 x2 (1) + 1 x22(−1))
f(x) ≈ 1 + x1 + 12x1
2 + x1 x2 −12x2
2
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