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ANALISIS FUNCIONAL - LENGUAJE DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia. Agosto- 2008
danojuanos@hotmail.comdanojuanos@tutopia.com
danojuanos@yahoo.com
El lenguaje nos pemite la comunicación y el aprendizaje en las EcuacionesDiferenciales Parciales junto con la teoría de conjuntos. Por esta razónpresento a mis amables amigos del ciberespacio los conceptos de mayorutilidad en el desarrollo de los diversos tópicos que se encuentran enaprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales y que pertenecen a lahumanidad, por esta razón no dudo en ponerlos en el ciberespacio para unabuena formación del matemático por vias virtuales.
CAPÍTULO 1
ALGUNOS CONCEPTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL
1. Sea , un dominio acotado, , denotará al conjunto deH ! V H! " Ð Ñ !
todas las funciones definidas en tales que? H
L ? œ _!a b supBß C −
B Á CH
k ka b a bk k? B ? CBC !
Tomando , es un espacio de Banach conl l a b? œ l? B l Ð Ñ! !!sup
H[ V H
norma , es decir, un espacio vectorial normado y completo.l l† !
a) Sean ; veamos como ejemplo que tiene la propiedad0ß 1 − Ð Ñ †V H !!l l
triangular
l l a ba b0 1 œ l 0 1 B l ! sup supB − Bß C −
B Á CH H
l 01 B 01 C llBCl
a ba b a ba b!
pero
k k a b a b a b a ba b a b0 B 1 B Ÿ l0 B l l1 B l Ÿ l0 B l l1 B lsup supH H
luego
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 2
sup sup supH H Hl0 B 1 B l Ÿ l0 B l l1 B la b a b a b a b
ahora
l0 B 1 B 0 C 1 C llBCl
a b a b a ba b a b! Ÿ Ÿ L 0 L 1l0 B 0 C l l1 B 1 C l
lBCl lBCla b a b a b a b
! ! ! !a b a bluego
L 0 1 Ÿ L 0 L 1! ! !a b a b a bde donde
l l a ba b a b0 1 œ l 0 1 B l L 0 1 Ÿ! !supH
Ÿ l0 B l L 0 l1 B l L 1sup supH H
a b a b a b a b! !
Teniéndose finalmente
l l l l l l0 1 Ÿ 0 1! ! !
b) Demostremos ahora que la norma es completal l† !
Supongamos que es una sucesión de Cauchy en la -norma,Ö0 × Ð Ñ8 8œ"_ V H!
esto quiere decir que .lim 8ß7Ä_
8 7l l0 0 œ !!
Si , entoncesB − ß l0 B 0 B l Ÿ l0 D 0 D l Ÿ 0 0H 8 7 8 7 8 7a b a b a b a b l lsupH !
Ö0 B × d8 8œ"_a b es sucesión de Cauchy, como es completo se tiene por lo
tanto que existe en . Se define ahora una funciónlim 8Ä_
80 B da b
0 À d
B Ä 0 B œ 0 BH⎯→
lim8Ä_
8a b a bVeamos que esta en .0 V H!ˆ ‰Se conoce que , por quel l l l l l0 0 Ÿ 0 08 7 8 7! ! !
l l l l l l l l0 œ 0 0 0 Ÿ 0 0 08 8 7 7 8 7 7! ! ! !
Por lo tanto es una sucesión de Cauchy de donde esÖ 0 ×l l8 8œ"_
!
convergente y es acotada, en esta forma existe tal queP !
para todo l l0 Ÿ P 8 "8 !
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 3
Teniéndose así que
para todo con c da b a b0 B 0 ClBCl 8
8 8! Ÿ 0 Ÿ P Bß C − B Á Cl l! H
Manteniendo a e fijos tenemos (pasando al límite)B C
lim8Ä_
0 B 0 C 0 B 0 ClBCl lBCl
c d c da b a b a b a b8 8! !œ Ÿ P
Tomando el tenemossup
L 0 œ Ÿ P!a b supBß C −
B Á CH
k ka b a bk k0 B 0 CBC !
de donde .0 − Ð ÑV H !
c) Demostremos ahora que en la -norma0 Ä 0 Ð Ñ8 V H!
Sean , fijos para todo . Para existe un enteroBß C − B Á C B − !H H %
positivo ; si , entoncesRÐ Ñ 7 8 RÐ Ñ% %
l l0 0 8 7 ! %
Para todo B − H
k k l la b a b0 B 0 B Ÿ 0 0 8 7 8 7l 0 0 C 0 0 D l
lCDla ba b a ba b8 7 8 7
! ! %
así pasando al límite cuando 7 Ä _
para todo k ka b a b0 B 0 B Ÿ B −8l 0 0 C 0 0 D l
lCDla ba b a ba b8 8
! % H
Tomando el supremo tenemos
supH !l0 B 0 B l Ÿ8
l 0 0 C 0 0 D llCDla b a b a ba b a ba b8 8 %
de donde
l 0 0 C 0 0 D llCDl 8
a ba b a ba b8 8! H
Ÿ l0 B 0 B l% sup a b a bTomando el supremo sobre tenemosH
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 4
L 0 0 œ Ÿ l0 B 0 B l!a b a b a b8 8sup supBß C −
B Á CH
%k ka ba b a ba bk k0 0 C 0 0 D
CD8 8
!H
para todo L 0 0 l0 B 0 B l Ÿ 8 RÐ Ñ!a b a b a b8 8supH
% %
luego para todo l l0 0 Ÿ 8 RÐ Ñ8 ! % %
2. . DEFINICIÓN Sea un espacio vectorial sobre y existe una función de„ ‚„ „ ‚‚ en denotada por tal que , Ø Ù À ‚
0ß 1 Ä Ø0ß 1Ù„ „ ‚⎯→a b
a) y Ø0 ß 0Ù ! 0 − Ø0ß 0Ù œ ! Í 0 œ !para todo „
b) Ø0 ß 1Ù œ Ø1ß 0Ù 0 ß 1 −para todo „
c) Si entonces0ß 1ß 2 − „ Ø0 ß 1 2Ù œ Ø0ß 1Ù Ø0ß 2Ù
d) Si ! ‚ „! !! !
− ß 0ß 1 −Ø 0ß 1Ù œ Ø0ß 1ÙØ0 ß 1Ù œ Ø0ß 1Ùœ
A , se le denomina (positivamenteØ Ù À ‚„ „ ‚⎯→ producto internodefinido). Se define a b l lØ0 ß 0Ù œ 0
"#
NOTA. Si , 0ß 1 − 0 1 0 1 œ # 0 # 1„ l l l l l l l l# # # #
En efecto,
l l0 1 œ Ø0 1ß 0 1Ù œ Ø0ß 0Ù Ø0ß 1Ù Ø1ß 0Ù Ø1ß 1Ù#
œ 0 # /Ø0ß 1Ù 1l l l l# #e
Análogamente
l l l l l l0 1 œ 0 # /Ø0ß 1Ù 1# # #e
Sumando se tiene
l l l l l l l l0 1 0 1 œ # 0 # 1# # # #
3. . PROPOSICIÓN Si , entonces0ß 1 − „ lØ0 ß 1Ùl Ÿ 0 1l ll l
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 5
DEMOSTRACIÓN. Demostrar esta desigualdad es equivalente a demostrarque esto es equivalente a demostrar que ¹ ¹ l l l lØ0 ß Ù Ÿ 0 lØ0 ß 2Ùl Ÿ 01
1l lpara todo con .2 − ß 2 œ "„ l lSupongamos que y y , se considera el número2 − 2 œ " 0 −„ „l l0 Ø0ß 2Ù2 − „ así
! Ÿ 0 Ø0ß 2Ù2 œ Ø0 Ø0ß 2Ù2ß 0 Ø0ß 2Ù2Ùl l# œ Ø0ß 0Ù Ø0ß Ø0 ß 2Ù2Ù ØØ0ß 2Ù2ß 0Ù ØØ0 ß 2Ù2ß Ø0 ß 2Ù2Ù
œ 0 Ø0ß 2ÙØ0 ß 2Ù Ø0ß 2ÙØ2ß 0Ù Ø0ß 2ÙØ0 ß 2Ù 2l l l l# #
œ 0 # Ø0ß 2Ù Ø0ß 2Ù 2 œ 0 Ø0ß 2Ùl l l l l l l l l l l l# # # # # #
De donde se recibe que
|Ø0 ß 2Ùl Ÿ 0# #l lTomando raíz tenemos
lØ0 ß 2Ùl Ÿ 0l l
4. . PROPOSICIÓN Si , entonces0ß 1 − „ l l l l l l0 1 Ÿ 0 1
DEMOSTRACIÓN. l l l l l l l l l l0 1 œ 0 # /Ø0ß 1Ù 1 Ÿ 0 #lØ0 ß 1Ùl 1# # # # #e
+Ÿ 0 # 0 1 1 œ 0 1l l l ll l l l a bl l l l# # #
Tomando raíz cuadrada tenemos
.l l l l l l0 1 Ÿ 0 1
5. . COROLARIO l l a b† œ Øß Ù"# es una norma sobre „
6. . Si DEFINICIÓN Š ‹l l a b„ß † œ Ø † ß † Ù"# es un espacio de Banach, en este caso
a se le denomina y se le denota con .„ [espacio de Hilbert
7. . DEFINICIÓN Supongamos que es un espacio de Hilbert y , si[ [0ß 1 −Ø0ß 1Ù œ ! 0ß 1, entonces se dice que son (o perpendiculares)ortogonales
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 6
Si se denota por para todo y esW § W œ Ö0 − ÎØ0ß 1Ù œ ! 1 − W×[ [¼
llamado el de complemento ortogonal W
W¼ es un subespacio lineal de . (Esto es claro ya que[
).Ø0 1ß 2Ù œ Ø0ß 2Ù Ø1ß 2Ù œ ! a2 − W Í 0ß 1 − W! ! ¼
8. . PROPOSICIÓN Si es un subespacio lineal cerrado de y À [ [0 −entonces existe un único elemento , tal que1 − À
para todo l l l l0 1 0 1 1 − ß 1 Á 1w w wÀ
DEMOSTRACIÓN. Sea , existe una sucesión. œ 0 2 Î2 −inf e fl l À
Ö0 × § . œ 0 0 Ö0 ×8 8 88œ" 8œ"_ _
8Ä_À tal que , veamos que es una sucesiónlim l l
de Cauchy
l l l l l l l l a ba b a b ¼ ¼0 0 œ 0 0 0 0 œ # 0 0 # 0 0 % 0 0 08 7 8 7 8 7 8 7# # # # "
#
#
Ÿ # 0 0 # 0 0 %.l l l l8 7# #
Pasando al límite
lim8ß7Ä_
8 7# # # #l l0 0 Ÿ #. #. %. œ !
entonces es una sucesión de Cauchy en .Ö0 ×8 8œ"_ À
Como es cerrado existe tal queÀ À1 −
1 œ 0lim8Ä_
8
donde
l l l l0 1 œ 0 0 œ .lim8Ä_
8
Veamos finalmente la unicidad; supongamos que y que1 −w Àl l l l0 1 œ 0 1w , tenemos ahora las siguientes consideraciones
¼ ¼a b l l l l l l l la b a b Š ‹0 1 1 œ 0 1 0 1 œ # 0 1 # 0 1 1 1" " "# % %
w w w w# # # ##
œ . 1 1# w"%
#l lComo , se sigue que de donde .¼ ¼a b l l0 1 1 . 1 1 œ ! 1 œ 1"
#w # w w#
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 7
9. Sea un espacio de Hilbert. Si es un subespacio cerrado en y[ À [0 − 1 −[ [ entonces existe un único elemento tal que
para todo (ver 8.).3=> ß 0 œ 0 1 0 1 1 − ß 1 Á 1a b l l l lÀ Àw w w
10. . DEFINICIÓN Si y , en este caso se dice que y son0ß 1 − Ø0ß 1Ù œ ! 0 1[
ortogonales (ver 7.)
NOTACIÓN. .0 ¼ 1 Í Ø0ß 1Ù œ !
11. . DEFINICIÓN Sea , para todo esW § W œ Ö1 − ÎØ0ß 1Ù œ ! 0 − W×[ [¼
llamado el de . (ver 7.)complemento ortogonal W
12. . PROPOSICIÓN Si es un subespacio cerrado de , entonces es unÀ [ À¼
subsespacio cerrado de .[
DEMOSTRACIÓN. Para demostrar que es cerrado supongamos queÀ¼
Ö0 × 0 −8 8œ"_ ¼ es una sucesión en y que es tal queÀ [
lim8Ä_
8l l0 0 œ !
Para ver que , vemos que para todo .0 − Ø0 ß 1Ù œ ! 1 −À À¼8
Si entonces1 − À lØ0 ß 1Ùl œ lØ0 ß 1Ù Ø0 ß 1Ùl œ lØ0 0ß 1Ùl Ÿ 0 0 1 Ä !# # #
8 8 8# #l l l l
así de donde entonces .lØ0 ß 1Ùl œ ! Ø0ß 1Ù œ !ß 0 − À¼
NOTA. À À œ Ö!×¼
EJERCICIO. [ À Àœ Š ¼
SOLUCIÓN. Escojamos en un sistema ortonormal completo yÀ :Ö ×8 8œ"_
pongamos , . Puesto que, debido a la desigualdad2 œ - - œ Ø0ß Ù!8œ"
_
8 8 8 8: :
de Bessel, la serie es convergente, el elemento existe y .!8œ"
_
8#- 2 2 − À
Sea , tomemos , es evidente que para todo 0 − 2 œ 0 2 8[ w
Ø2 ß Ù œ Ø0 2ß Ù œ !w8 8: :
y como cualquier elemento de se puede representar en la formaÀ
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 8
0 :œ +!8œ"
_
8 8
tenemos para que0 À−
Ø2 ß Ù œ + Ø2 ß Ù œ !w w
8œ"
_
8 80 :!es decir .2 −w ¼À
Supongamos ahora que además de la descomposición obtenida 0 œ 2 2w
existe otra descomposición
0 œ 2 2 ß 2 − ß 2 −" "" "w w ¼À À
Entonces, tenemos para cualquier 8
Ø2 ß Ù œ Ø0ß Ù œ -" 8 8 8: :
y de aquí se deduce que .2 œ 2ß 2 œ 2" "w w
13. . DEFINICIÓN Si es una sucesión en y enO œ Ö × Ø ß Ù œ: [ : : $8 8 7 788œ"_
este caso se dice que es un conjunto ortonormalO .
14. . TEOREMA Si es un conjunto ortonormal de entoncesO œ Ö ×: [8 8œ"_
(desigualdad de Bessel)3Ñ lØ0 ß Ùl Ÿ 0! l l8œ"
7
8# #:
Si es una sucesión de entonces33Ñ Ö ×! ‚8 8œ"_
para todo entero positivo .¾ ¾ ¾ ¾! !8œ" 8œ"
7 7
8 8 8 8! : : : 0 Ø0ß Ù 0 7
DEMOSTRACIÓN. De la definición de la norma se tiene que3Ñ
! Ÿ Ø0ß Ù 0 œ 0 Ø0ß Ù ß 0 Ø0ß Ù œ¾ ¾! ! !¤ ¥8œ" 8œ" 8œ"
7 7 7
8 8 8 8 8 8
#
: : : : : :
œ 0 0ß Ø0 ß Ù Ø0ß Ù ß 0 Ø0ß Ù ß Ø0 ß Ùl l ¢ £ ¢ £ ¢ £! ! ! !#
8œ" 8œ" 8œ" 8œ"
7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 8 8: : : : : : : :
=l l ! ! !0 Ø0ß ÙØ0 ß Ù Ø0ß ÙØ0 ß Ù Ø0ß ÙØ0 ß Ù œ#
8œ" 8œ" 8œ"
7 7 7
8 8 8 8 8 8: : : : : :
œ 0 lØ0 ß Ùll l !#
8œ"
7#:
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 9
33Ñ ! Ÿ 0 œ 0ß 0 ¾ ¾! ! !¢ £8œ" 8œ" 8œ"
7 7 7
8 8 8 8 8 8
#
! : ! : ! :
œ ß ß 0 0ß 0¢ £ ¢ £ ¢ £! ! ! ! l l8œ" 4œ" 8œ" 8œ"
7 7 7 7
8 8 4 4 8 8 8 8#! : ! : ! : ! :
! Ÿ Ø ß Ù Ø ß 0Ù Ø0ß Ù 0! ! ! ! l l8œ" 4 œ" 8œ" 8œ"
7 7 7 7
8 4 8 4 8 8 8 8#
! ! : : ! : ! :
œ l l Ø ß 0Ù Ø0ß Ù 0 "! ! ! l l a b8œ" 8œ" 8œ"
7 7 7
8 8 8 8 8# #! ! : ! :
Ahora tenemos por otro lado lo siguiente
! !a bˆ ‰8œ" 8œ"
7 7
8 8 8 8 8 8#lØ0 ß Ù l œ Ø0ß Ù Ø0ß Ù : ! : ! : !
œ Ø0ß ÙØ0 ß Ù Ø0ß Ù Ø0ß Ù !ˆ ‰8œ"
7
8 8 8 8 8 8 8 8: : : ! ! : ! !
œ lØ0ß Ùl Ø0ß Ù Ø0ß Ù l l #!ˆ ‰ a b8œ"
7
8 8 8 8 8 8# #: ! : ! : !
Así de uno y dos tenemos
¾ ¾! ! !l l8œ" 8œ" 8œ"
7 7 7
8 8 8 8 8
## # #! : : ! : 0 œ 0 lØ0 ß Ù l lØ0 ß Ùl
0 lØ0 ß Ùl œ 0 Ø0ß Ùl l ! !¾ ¾#
8œ" 8œ"
7 7
8 8 8#
#
: : :
Tomando la raíz cuadrada se recibe
¾ ¾ ¾ ¾! !8œ" 8œ"
7 7
8 8 8 8! : : : 0 0 Ø0ß Ù
15. .PROPOSICIÓN Si es un conjunto ortonormal en y ademásO œ Ö ×: [8 8œ"_
Ö ×!8 8œ"_ es una sucesión de números complejos, entonces se tiene que la
serie converge si y sólo si es convergente! !8œ" 8œ"
_ _
8 8 8#! : !l l .
En el caso de tener convergencia se tiene
¾ ¾ ¾ ¾! !8œ" 8œ"
_ _
8 8 8
# #
! : !œ
DEMOSTRACIÓN. a) Basta con observar lo siguiente:
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 10
¾ ¾! ! ! ! !¢ £8œ5 8œ5 8œ5 8œ5 8œ5
7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
##! : ! : ! : ! : ! : !œ ß œ Ø ß Ù œ l l
b) Como tomando límite cuando se tiene¾ ¾! !8œ" 8œ"
7 7
8 8 8
##! : !œ l l 7 Ä _
¾ ¾! !8œ" 8œ"
_ _
8 8 8
##! : !œ l l
16. Si es un conjunto ortonormal en , entoncesO œ Ö ×: [8 8œ"_
3 0 − ÒOÓ œ Ö O× Ø0ß Ù œ !. combinaciones lineales de entonces ¼ ¼
8œ"
_
8 8! : :
33 0 − ÒOÓ 0 œ Ø0ß Ù. entonces !8œ"
_
8 8: :
Dado , existe tal que ya que% ! : ! : % ! 0 ! !¾ ¾8œ" 8œ"
7 7
8 8 8 8
º º ¾ ¾! !8œ" 8œ"
7 7
8 8 8 8Ø0 ß Ù 0 Ÿ 0 : : ! : %
por lo tanto !8œ"
7
8 8Ø0 ß Ù 0: : Ä7p_
17. . DEFINICIÓN Si es un conjunto ortonormal; a se leO œ Ö × O:8 8œ"_
denomina base ortonormal de , si[
para todo 0 − Ø0ß Ù 0 −!8œ"
_
8 8: : [
18. . PROPOSICIÓN O œ Ö ×:8 8œ"_ es una base ortonormal si y sólo si
l l !0 œ lØ0 ß Ùl#
8œ"
_
8#:
En efecto, Como hemos visto así[ œ ÒOÓ Š ÒOÓ¼
0 − œ ÒOÓ Š ÒOÓ Í 0 œ 5 2 œ Ø5ß Ù 2[ : :¼
8œ"
_
8 8!Ahora
l l l l l l¾ ¾! !0 œ Ø5ß Ù 2 œ lØ5ß Ùl 2# # #
8œ" 8œ"
_ _
8 8 8
##: : :
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 11
Como se sigue que .! l l l l8œ"
_
8# # #lØ0 ß Ùl œ 0 2 œ !:
19. .DEFINICIÓN Supongamos que y son espacios vectoriales. Si es„ … ƒun subespacio de y es una función tal que„ ƒ …X À ⎯→X 0 1 œ X 0 X 1 − d ß −a b a b a b! " ! " ! " ! " ‚ para todo , (ó ) para todo0ß 1 − Xƒ „, en ese caso a se le denomina un de aoperador lineal .…
Se denota por "al dominio de "H X œ œ Xa b ƒ
V X œ X œ ÖX 0 Î0 − × œ Xa b a b a bƒ ƒ "recorrido de "
R X œ Ö0 − ÎX 0 œ !× œ X Xa b a bƒ "subespacio nulo de " o en núcleo de .
20-a. . Supongamos que es una funciónEJEMPLO 5 À Ò+ß ,Ó ‚ Ò+ß ,Ó d⎯→continua. Se define
, V VÀ Ò+ß ,Ó Ò+ß ,Óa b a b⎯→
,Ò0 Ó B œ 5 Bß C 0 C .Ca b a b a b'+
,
la norma de l l a b† Ò+ß ,Ó_ V
Veamos que , está bien definida.
Dado , existe tal que si entonces% $ $ ! ! l Bß C B ß C l a b a bw w
l la b a b5 Bß C 5 B ß C w w0 ,+
%l l a b!
esto se tiene por hipótesis. Dado si tenemos0 − ÐÒ+ß ,ÓÑ lB B l V $w
l 0 B 0 B l œ, ,a ba b a ba b ¹ ¹w '+
, wa b a ba b a b5 Bß C 5 B ß C 0 C .C
Ÿ l5 Bß C 5 B ß C ll0 C l.C Ÿ l0 C l.C ' '+ +
, ,w0 ,+a b a b a b a b%l l a b!
%
por lo tanto está bien definida.,
Continuidad y linealidad
, !Ò 0 Ó B œa b ' '+ +
, ,5 Bß C 0 C .C œ 5 Bß C 0 C .C œ Ò0Ó Ba b a b a b a b a b! ! !,
,Ò0 1Ó œ 5 Bß C 0 C 1 C .C œ 5 Bß C 0 C .C 5 Bß C 1 C .C' ' '+ + +
, , ,a ba b a b a b a b a ba b a b
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 12
œ Ò0Ó B Ò1Ó B, ,a b a bAdemás para es posible hallar tal que1 − ÐÒ+ß ,ÓÑ 0 − ÐÒ+ß ,ÓÑV V
.,Ò0 Ó B œ 1a bEste operador es llamado operador de Fredholm
20-b. (útil). Consideremos el siguiente problemaEJEMPLO
œ a ba b a b a b a bC + C â + C œ 2 >
C ! œ ! œ C ! œ â œ C !"
a b a b8 8"8" !
w 8"
donde son constantes. + ß + ßá ß +! " 8"
Aplicando la transformada de Laplace a se tienea b" ¿ ¿ ¿ ¿ˆ ‰ ˆ ‰ a b a ba bC + C â + C œ 2 >a b a b8 8"
8" !
Lo anterior es completamente equivalente a
¿ ¿ :a ba b a b a bC = + = â + œ Ò2 > Ó œ =8 8"8" !
De donde
¿a bC œ:a b=
= + = â+8 8"8" !
de donde tomando la inversa
C œ œ Ò = Ó‡¿ ¿ : ¿" " "Š ‹ Š ‹a b:a b== + = â+ = + = â+
"8 8" 8 8"
8" ! 8" !
œ 2 > ‡1 >a b a bAsí
C œ 1 > 2 .'!
> a b a b0 0 0
se puede entonces definir el operador
X À Ò!ß +Ó Ò!ß +Ó0 X 0 œ 0 + 0 â + 0V V8
8 8"8" !
⎯→Ä a b a b a b
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 13
y si se tiene que , dondeX 0 œ 2 > 0 œ 1 > 2 .a b a b a b a b'!
>0 0 0
1 > œa b Š ‹¿" "= + = â+8 8"
8" !
y
Ò!ß +Ó ‚ Ò!ß +Ó d>ß 1 >
⎯→a b a b0 0Ä
es el núcleo de la transformación.
21. En lo que sigue y son espacios de Banach.„ …
DEFINICIÓN. Sea un operador lineal, si existe un número realX À „ …⎯→7 !, tal que
, para todo l l l la bX 0 Ÿ 7 0 0 − HÐX Ñ… „
entonces se dice que es un operador acotado en .X HÐX Ñ
Si es acotado, se defineX
, para todo l l l l l lš ›a bX œ 7Î X 0 Ÿ 7 0 0 − HÐX Ñinf … „
como la "norma" del operador .X
Este siempre existe pues . Es fácil ver queinf 7 !
l l l la bX œ œ X 1sup sup0−HÐX Ñ
0Á!
l la bl lX 00
…
„ l l1 œ "„
…
Puesto que si , y , para todosup0−HÐX Ñ
0Á!
l la bl lX 00
…
„œ 7 X 0 Ÿ 7 0! l l l la b … „
0 − HÐX Ñ Ÿ 7 0 − HÐX Ñ 7 Ÿ 7 entonces , para todo así y por lol la bl lX 00 !
…
„
tanto es una cota inferior del conjunto
, para todo .š ›l l l la b7Î X 0 Ÿ 7 0 0 − HÐX Ñ… „
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 14
Si , entonces de donde0 − HÐX Ñ 0 Á ! Ÿ 7l la bl lX 0
0 !…
„
para todo ,l l l la bX 0 Ÿ 7 0 0 − HÐX Ñ… „!
por lo tanto
para todo .7 − 7Î X 0 Ÿ 7 0 0 − HÐX Ñ! š ›l l l la b … „
Luego 7 œ X! l l
Ahora consideremos continua y5 À Ò+ß ,Ó ‚ Ò+ß ,Ó d⎯→
donde , V V ,,
À Ò+ß ,Ó Ò+ß ,Ó Ò0 Ó B œ 5 Bß C 0 C .C0 Ä Ò0Ó⎯→ a b a b a b'
+
,
En tenemosa ba b l lV Ò+ß ,Ó ß † _
l Ò0 Ó B l œ 5 Bß C 0 C .C Ÿ 5 Bß C 0 C .C, a b a b a b k kl l¹ ¹ a b a b' '+ +
, ,
Ÿ l5 Bß C l l0 C l.CsupBß C − Ò+ß ,Ó
a b a b'+
,
Ÿ l5 Bß C l , + 0 œ 7 0supBß C − Ò+ß ,Ó
a b a bl l l l! !
teniéndose
l l l la b, 0 Ÿ 7 0_ _
Luego el operador es acotado.,
EJERCICIO. Consideremos el siguiente espacio:
V H V H V H !# #B B B
! !a b a b a b˜ ™œ ? − Î?ß ? ß ? − a3ß 4ß " Ÿ 3ß 4 Ÿ R ß ! "3 3 4
se define
l l l l ! !½ ½ ½ ½? œ ? #3œ" 3ß4œ"
R R`? ` ?`B `B `B! !
! !3 3 4
#
entonces es un espacio vectorial normado. TomandoV H#!a b
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 15
•
P À Ð Ñ
? PÒ?Ó œ + , -?
V H V H#
3ß4œ" 3œ"
R R
34 3` ? `?
`B `B `B
! !a b! !
⎯→
Ä#
3 4 3
demostrar que es acotado. Además demostrar que si es elípticoP Pentonces es uno a uno (es una consecuencia del principio del máximoPver notas breves)
NOTACIÓN. •V H V H# #
`! !
Ha b a bš ›œ 0 − Î0l œ !
22. . TEOREMA Sea un operador lineal. es un operador acotadoX À X„ …⎯→en si y sólo si es continuoHÐXÑ X .
La demostración se sigue de la desigualdad de Lipschitz
l l l l l ll la b a b a bX 0 X 1 œ X 0 1 Ÿ X 0 1… „
Consideremos el espacio el operadora ba b l lV" _Ò+ß ,Ó ß †
Q À Ò+ß ,Ó Ò+ß ,Ó0 Ä 0
V V"
wa b a b⎯→
no es continua, basta tomar operadores cerrados como los dados por lasucesión Ö 8>×sin 8œ"
_
23. . (Función abierta) TEOREMA Si y son espacios de Banach y„ …P À P„ …⎯→ es un operador lineal continuo y sobreyectivo entonces ( esabierta) abierto en se tiene que es abierto en .aK P K„ …a bNOTACIONES. En se usa para las bolas„
W 0 œ 0Î 0 0 < œ E 0 ß << ! ! !a b e f a bl l W œ E !ß < œ Ö0Î 0 <×< a b l lEn se usa para las bolas … Y 1 œ Ö0Î 0 1 <×ß Y œ E !ß << ! ! <a b l l a bDEMOSTRACIÓN. Para la demostración del teorema es suficiente demostrarque existe tal que .< ! P W ¨ Ya b" <
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 16
Se sabe de la teoría de conjuntos que si es una familia de conjuntosÖY ×!y es una función entonces0 À Q R⎯→
0 Y œ 0 YŠ ‹ a b ! !! !
Puesto que es cualquier abierto en , es reunión de bolas abiertas, porK „lo tanto es suficiente demostrar que es abierto. Ahora sea unP W 0 La ba b< !
abierto en , esto implica que dado existe una vecindad tal… 5 − L Z! 5!
que . Entonces es suficiente demostrar que si entoncesZ § L 1 œ P 05 ! !!a b
para cada existe tal que W 0 Y 1 P W 0 ¨ Y 1< ! = ! < ! = !a b a b a b a ba bNótese que (como es lineal ) P W ¨ Y Í P P W ¨ Ya b a b" < < <=
Necesidad: Si es dado y como Y § P W P 0 œ 1" " ! !a b a bP W 0 ¨ Y 1 0 0 >ß 1 1 <>a b a b l l l la b> ! <> ! ! ! pues y ,
Sea donde . Para un tal , tenemos0 − W 0 Í 0 œ 0 0 0 − W 0" > ! " ! > "a bP 0 œ P 0 P 0 œ P 0 1 ÖP 0 ×a b a b a b a b a b" ! ! y el conjunto de tales elementos0 − W Y> <> cubre a .
Demostremos ahora que para , tenemos = (ver< ! P W ¨ Y ß Wa b" < 8„ 8 œ "
_
espacios Magros en teoria de Baire)
Así tenemos
… „œ P œ P W œ P Wa b a bŒ 8 œ " 8 œ "
_ _8 8
Es falso que para cada , los conjuntos no son densos en ninguna8 P Wa b8parte ( no contiene ninguna bola abierta). Así existe tal que E 8 P W8 ! 8ˆ ‰
!
es denso en alguna bola. Entonces son cada uno denso enP W ß P W ßáa b a b" #
alguna bola. Entonces es denso en la bola P W Y 1a b a b" >
Veamos ahora que es denso en la bola , se puede obtener P W Y 0 − Wa b" < ! "
tal que y sea pequeña.P 0 œ 1 1 1a b l l! ! !
Tomando se ve que es denso en , entonces posee= > P W Y 1 P Wa b a b a b" = ! #
todos los vectores de la forma donde y es densoP 0 P 0 0 − W P Wa b a b a b! " #
en . Esto demuestra que es denso en tomando .Y P W Y < œ= " <=#a b
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 17
PARTE IMPORTANTE DE LA DEMOSTRACIÓN. Mostremos que contiene unaP Wa b"bola (para esto se usa la completez de ).Y: „
Sea mostremos que existe tal que . Escojamos 1 − Y ß 0 P 0 œ 1 ß< a b $
! " œ$ $ ( , se sigue de la rapidez de la convergencia). Se construyen"#
dos sucesiones , tales queÖ1 × Ö0 ×8 88œ" 8œ"_ _
0 − ß 1 œ P 0 ß 1 1 œ !8 8 8 88Ä_
„ a b l llim
Ö0 ×8 8œ"_ es convergente, puesto que el espacio es completo, podemos„
por lo tanto tomar tal que . Dado que eslim8Ä_
8"0 œ 0 0 Ÿ " Pl l a b$
continua (puesto que por hipótesis es acotado) se ve queP
P 0 œ P 0 œ 1 œ 1a b a blim lim8Ä_ 8Ä_
8 8
Esto demuestra que y por lo tanto dondeP W ¨ Y P W ¨ YŠ ‹ a ba b" < " :$ "
: œ < " a b$Construcción de y 1 08 8
P W Y 0 − W 1 œ P 0a b a b" < " " " " es denso en , entonces existe tal que se puedetomar . Siendo denso en es denso en . Sel l a b a b1 1 < P W Y ß P W Y" " < <$ $ $
ve que es denso en . Existe así con talP W 0 Y 1 0 0 0 a b a b l la b$ $" < " # # " $
que . Se escribe se halla tal que l l a b l la bP 0 1 < 1 œ P 0 0 0 0 # # # $ $ ## #$ $
1 œ P 0 1 1 < Ö1 × Ö0 ×$ $ $ 8 8$ _ _
8œ" 8œ"a b l l, esto nos da la sucesión y y$
lim8Ä_
8 881 œ 1 1 1 < y l l $
Si entonces obtenemos esto implica que8 7 0 0 œ 0 08 7 3" 33œ7
8"!a b
l l l l!0 0 Ÿ 0 0 â8 7 3" 33œ7
8"7 7" 8"$ $ $
" â œ " $ $ $ $ $7 # 7 "a b a bEntonces es una sucesión de Cauchy. Sea Ö0 × 0 œ 08 88œ"
_
8Ä_lim
,0 œ 0 0 0" 3" 33œ"
_!a bentonces
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 18
l l l l l l a b0 Ÿ 0 â Í 0 Ÿ " â œ " "# # "$ $ $ $ $
NOTA. Sea una sucesión , así:Ö0 × 0 œ 0 0 08 8 " 3" 38œ"_
3œ"
8"!a b .0 œ 0 œ 0 0 0lim
8Ä_8 " 3" 3
3œ"
_!a b
24. . TEOREMA Si y son espacios de Banach y es un operador„ … „ …P À ⎯→lineal acotado y es una biyección entonces es un operadorP P À" … „⎯→lineal acotado.
DEMOSTRACIÓN. . Puesto que si entonces conP 1 − 1 œ P 0" es lineal … a b0 − „, así
P Ò1 1 Ó œ P P P 1 P P 1 œ PP P 1 P 1" " " " " " "" # " # " #c d c da b a b a b a ba b a b
œ P 1 P 1" "" #a b a b
De otra forma sería
1 1 œ P 0 P 0 œ P 0 0 Í P 1 1 œ 0 0" # " # " # " # " #"a b a b a b a b
pero
0 œ P 1 Í 1 œ P 0" " " ""a b a b
por lo tanto
0 0 œ P 1 P 1" # " #" "a b a b
así
P 1 1 œ P 1 P 1" " "" # " #a b a b a b
P" es acotada
P Í P" "es acotada es continua
Sea por el teorema de la función abierta se sigue que W œ P À W" … „⎯→es continua esto implica que cada abierto de , es abierto en ,K W K„ …"a bpues,
W K œ P K œ P K" " "a b a b a b a b
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 19
25. . DEFINICIÓN Supongamos que y son espacios de Banach.„ …Denotemos por es un operador lineal acotado ._ „ … „ …a bß œ ÖQ À ÎQ ×⎯→Si entonces„ …œ ._ „ … _ „a b a bß œ
26. donde es la norma de los operadores acotados, esa b l la b l l_ „ …ß ß † †un espacio de Banach.
Demostremos que es una normal l†3Ñ Q − Ð ß Ñ Q œ Q B ! Si entonces _ „ … l l l la bsup
0 −0 œ "„l l
…
Si , entonces entonces paral l l l l ll l l la b a bQ œ ! ! œ Q 1 Ÿ Q 1 Q 1 œ !… „ …
todo para todo .1 − Í QÐ1Ñ œ ! 1 − Í Q œ !… …
33Ñ − Q − Ð ß Ñ Si y entonces! ‚ _ „ …
l l l l l l l l l la b a b a b! ! ! ! !Q œ Q 0 œ l l Q 0 œ l l Q 0 œ l l Q0 − 0 − 0 −sup sup sup
„ „ „l l l l l l0 œ " 0 œ " 0 œ " … …
333Ñ Qß X − Ð ß Ñ Si , entonces_ „ …
l l l l l l l la ba b a b a b a b a bQ X 0 œ Q 0 X 0 Ÿ Q 0 X 0… … … …
para todo Ÿ Q 0 X 0 Ÿ Q X 0 0 −l l l l l l l l e fl ll l l l… „ … „ … … „ „
pasando al supremun entonces l l l l l lQ X Ÿ Q X
3@Ñ Ð ß Ñ Seguidamente demostremos que es completo en esta norma_ „ …l l† ÖX × Ð ß Ñ. Supongamos que es una sucesión de Cauchy en 8 8œ"_ _ „ …
entonces . Si se tiene quelim8ß7Ä_
8 7l lX X œ ! 0 − „
l l l l l ll la b a b a ba bX 0 X 0 œ X X 0 Ÿ X X 0 Ä !8 7 8 7 8 7… …
entonces tenemos que cuando por lo tantol la b a bX 0 X 0 Ä ! 8ß7 Ä _8 7
ÖX 0 × X 08 88œ"_
8Ä_a b a b es una sucesión de Cauchy en , entonces existe… lim
en (por ser un espacio de Banach). Se define… …
X À0 Ä X 0 œ X 0
„ …⎯→a b a blim 8Ä_
8
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 20
X es trivialmente lineal, nos basta por lo tanto ver que es acotado.Sabemos que esto quiere decir que¹ ¹l l l l l lX X Ÿ X X Ä !8 7 8 7
Ö X ×l l8 8œ"_ es una sucesión de Cauchy de números reales, por lo tanto
existe tal que . Luego usando esto tenemos que< ! X œ <lim8Ä_
8l l
l l l l a ba b Š ‹½ ½X œ X 0 œ X 0 Ÿ <sup sup liml l l l0 œ " 0 œ " 8Ä_
8
teniéndose que
l la bl lX 00 Ÿ <
Luego
de donde l l l la bX 0 Ÿ < 0 X − Ð ß Ñ_ „ …
Veamos que la sucesión converge a , ya que es unaÖX × X ÖX ×8 88œ" 8œ"_ _
sucesión de Cauchy en entonces dado , existe tal_ „ … % %Ð ß Ñ ! RÐ Ñ !
que si se tiene que 8 7 RÐ Ñ X X % %l l8 7
Para todo se tiene que0 − „
l l l ll l l la b a bX 0 X 0 Ÿ X X 0 Ÿ 08 7 8 7 %
Tomando límite cuando 7 Ä _
lim lim7Ä_ 7Ä_
8 7 8 7l l l l a b a b l la b a b ½ ½X 0 X 0 Ÿ 0 Í X 0 X 0 Ÿ 0% %
Esto quiere decir que para todo . Por lo tantol ll l l lX X 0 Ÿ 0 0 −8 % „
, luego l lX X Ÿ X œ X8 88Ä_
% lim
EJERCICIO. Supongamos que es una función continua y5 À Ò!ß "Ó ‚ Ò!ß "Ó d⎯→existe una sucesión de funciones donde esÖ5 × ß 5 À Ò!ß "Ó ‚ Ò!ß "Ó d8 88œ"
_ ⎯→una función continua y . Silim
8Ä_8 _l l5 5 œ !
O Ò0Ó B œ 5 Bß C 0 C .C ß OÒ0Ó B œ 5 Bß C 0 C .C ß a0 − ÐÒ!ß "ÓÑ8 8! !
" "a b a b a b a b a b a b' ' y , V
entonces demostrar que converge a en .ÖO × O Ð Ò!ß "ÓÑ8 8œ"_ _ V
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 21
En efecto,
l l a b a b a b a ba ba b ¹ ¹O O 0 œ 5 Bß C 0 C .C 5 Bß C 0 C .C8 8! !
" "sup
B − Ò!ß "Ó
' ' œ 5 Bß C 5 Bß C l0 C l.C Ÿ 5 5 l0 C l.C
Ósup supB − Ò!ß " B − Ò!ß "Ó
' '! !
" "8 8 _k k a b l l a ba b a b
Ÿ 5 5 0l l l l8 _ _
Luego, l l l lO O Ÿ 5 5 Ä !Þ8 8 _
NOTA. Cuando es continua por el teorema de Weierstrass es5 Bß C8a bposible escribir
5 Bß C œ B C8 7 87œ"
8a b a b a b! < 9
Esto es a se le pueden separar las variables mediante funciones5 Bß C8a bpolinómicas
Observemos la ecuación de la forma
0 B 5 Bß C 0 C .C œ 1 C Ma b a b a b a b a b'!
"
5 À Ò!ß "Ó ‚ Ò!ß "Ó d⎯→ continua. Supongamos que se tiene el siguenteproblema: Dado , se desea determinar tal que satisfaga la1 − ÐÒ!ß "ÓÑ 0V
siguiente implicación: Si es un operador lineal« X Ò0 Ó B œ 5 Bß C 0 C .Ca b a b a b'!
"
entonces el problema tendrá la forma a b a bM M X 0 œ 1»
Si se desea que una tal exista, esto se tendrá cuando sea un0 M Xa boperador invertible.
27. Supongamos que , donde es un espacio de Banach yX À „ „ „⎯→X − Ð Ñ X " M X_ „ (es lineal acotado) si entonces existe yl l a b„
"
a bM X − Ð Ñà M X" _ „ en ese caso se dice que es invertible.
DEMOSTRACIÓN. Si , entonces ya que para todo enterol l l l l lX " X Ÿ X8 8
positivo , entonces sabemos que .8 X Ÿ X œ! !l l l l8œ! 8œ!
8_
8 "" X
_
l l
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 22
Como es un espacio de Banach y converge entonces _ „Ð Ñ X X! !l l8œ! 8œ!
_ _8 8
converge en además se tiene que_ „Ð Ñ
a b a b a b! ! !M X † X œ M X X œ M X † X8œ! 8œ!
_ 8 88 5 5
8Ä_ 8Ä_5œ"
lim lima b" œ X X œ M X œ Mlim lim
8Ä_ 8Ä_5œ!
85 5" 8"! ˆ ‰ a ba b a b# $
a b" Ð Ñ Ð Ñ Recuérdese que es una operación continua_ „ _ „⎯→Q Ä P †Q
a b# Se trata de una suma telescópica
a b l l l l!$ X X ! Ÿ X Ä ! X œ !8œ!
_8 8 88
8Ä_ converge y , entonces •lim
Por lo anterior tenemos que .a b !M X œ X"
8œ!
_8
Para el problema tendríamos que la solución (en el caso de quea bMl l a b!X " 0 œ X 1) es .
8œ!
_8
28. Supongamos que es un espacio de Banach y . Si„ _ „P ßPß P − Ð Ñ! !"
l ll lP P P " P − Ð Ñ P! !" ", entonces (es decir, es invertible)_ „
PRUEBA. Denotemos por entoncesE œ P P!
P œ P E œ P M P E! ! !"a b
ya que
l l l ll l l ll lP E Ÿ P E œ P P P "! ! !" " "
!
por el teorema anterior tenemos es invertible ya b a b#( M P E!"
a b a b a b! ! a bM P E œ P E œ P P P! ! !" " "" 8 8
8œ! 8œ!
_ _
!
ya que y entoncesP − Ð Ñ M P − Ð Ñ! !" " "
_ „ _ „a b P œ M P E P − Ð Ñ" " "
! !"a b _ „
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 23
Además
P œ P E P œ P P P P" " " " "
8œ! 8œ!
_ _
! ! ! !8 8
!Œ ! !a b a ba bVeamos ahora
l l a b¾ ¾! a bP P œ P P P P" " " "! ! !
8œ"
_
!8
Ÿ P P P P¾ ¾!a b l la b8œ"
_
! !" "
!8
Ÿ P P P P!a b l ll ll l8œ"
_
! !" "
!8
Sea = por hipótesis luego? l ll lP P P "!"
!
! !a b l l l l l ll ll l8œ" 8œ"
_ _
! ! ! !" " 8 " "
!8
"P P P P œ P œ P? ??
Por lo tanto
l l a b l l a bP P Ÿ " P MM" " "! !
"? ?
29. . DEFINICIÓN Sea un espacio de Banach, y es un operador„ „ „X À ⎯→lineal ( no es necesariamente acotado) al conjuntoX
3 - ‚ - _ „a b a b˜ ™X œ − Î M X − Ð Ñ"
se le denomina conjunto de . Al complemento de resolvente X ÐX Ñ ÐX Ñ5 3
en ( ) se le denomina de ‚ 5 ‚ 3ÐX Ñ œ ÐX Ñ X Þel espectro
Si se denota por - 3 - -− ÐX Ñ VÐ ß X Ñ œ Ð M XÑ"
V † ß X À ÐX Ñ Ð Ñ
Ä M X
a b a b3 _ „
- -
⎯→"
V † ß X Xa b se le denomina el de .operador resolvente
NOTA. 1. Puede suceder que no sea invertible pero existe tal queX -- - - -M X M X œ M " es invertible por que y existe tal que .ˆ ‰ ¼ ¼X X
- -
2. Recordemos el teorema de Banach para operadores acotados: Sea Xun operador lineal acotado, que efectúa una transformación biunívoca del
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 24
espacio de Banach sobre el espacio de Banach . Entonces el operador„ …inverso es acotado (ver el teorema 24.)X"
30. Si , entonces si y sólo si es una biyección.X − Ð Ñ − ÐX Ñ M X_ „ - 3 -a bNotación:
- 5- „ -
-
-
− ÐX Ñ ÍM X Í b 0 − M X 0 œ !ß 0 œ !Î
Í b0 œ ! X 0 œ 0ÎM X
ÚÝÛÝÜa b a ba ba ba b
no es 1-1 tal que a tal que
no es sobre
también se tiene que
5 - ‚ -a b a b l lX § F ! œ Ö − Î l l Ÿ X ×l lX
por que y es invertible - - -M X œ M Í " Í X Ÿ l lˆ ‰ ¼ ¼ l lX X- -
Si consideramos el radio espectral de .sup- 5− ÐX Ñ
l l œ X- « »
31. . DEFINICIÓN Supongamos es una aplicación lineal y unX À „ „ „⎯→espacio de Banach. Si y existe, en este caso se- 3!
Ä
V ßX V ßX− ÐX Ñ lim
- -
- -- -
!
!
!
a b a bdice que es analítica enV † ß Xa b .-!
EJERCICIO. Demostrar que la función es continua en .V † ß X ÐX Ña b 3
Sugestion: Tomar , usar para la construcciónP œ M X P œ M X MM! !- - a bde y .% $
32. . TEOREMA Si es un operador lineal acotado esto es X X − Ð Ñ_ „
entonces
a b a b a b" X œ Ö − Î M X × es invertible es abierto3 - ‚ -
a b a b a b a b# V † ß X À ÐX Ñ Ð ÑÄ V ß X œ M X
es una función analítica.3 _ „- - -
⎯→"
DEMOSTRACIÓN. Supongamos que esto quiere decir quea b" − ÐX Ñ- 3!a b a b- - _ „ - ‚! !"M X M X − Ð Ñ − y . Si y supongamos que
l l a ba b a b ¼ ¼- - -M X M X M X "! !"
entonces
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 25
l l M X "- - -! !"¼ ¼a b
pero esto equivale a que
l l Ÿ M X œ MMM- - - $! ! !" "¼ ¼a b a b
Por el teorema 28. anterior, si satisface entonces es- ‚ -− MMM M Xa b a binvertible por lo tanto
F œ Ö Îl l × § ÐX Ñ$!a b- - - - $ 3! ! !
esto muestra que es abierto.3a bX
a b# − ÐX Ñ Supongamos que entonces- 3!
VÐ ß X Ñ VÐ ß X Ñ œ M X M X- - - -! !" "a b a b
œ M X M X M X M Xa b c da ba b a b- - - -" "! !
œ V ß X V ß X a b a ba b- - - -! !
Obteniéndose que
VÐ ßX ÑVÐ ßX Ñ !
- -- -
!
!œ VÐ ß X ÑVÐ ß X Ñ- -
Pasando al límite tenemos
lim- -
- -- -Ä
VÐ ßX ÑVÐ ßX Ñ
#!
!
!
!œ V Ð ß X Ñ-
Así el límite existe y es analítica en .VÐ † ß X Ñ ÐX Ñ3
33. . .TEOREMA Si y si entonces no es vacío„ F _ „ 5Á X − Ð Ñ ÐX Ñe fDEMOSTRACIÓN. Supongamos que entonces es analítica en5 FÐX Ñ œ VÐ † ß X Ñ‚ -. Para todo se tiene quel l Xl l VÐ ß X Ñ œ M X œ M œ- - - -a b ˆ ‰ ˆ ‰!" " "X X" 8
8œ!
_
- -
así
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 26
l l k k k k¾ ¾ ¾ ¾! ! !ˆ ‰ ˆ ‰ ¼ ¼VÐ ß X Ñ œ œ Ÿ œ- - - -" " "
8œ! 8œ! 8œ!
_ _ _X X X8 8 8
"- - -
-¸ ¸¼ ¼"
X-
de donde
l lVÐ ß X Ñ Ÿ- "l l X- l l
cuando , tenemos- Ä _
lim-Ä_
l lVÐ ß X Ñ œ !-
Esto equivale a que dado , existe tal que , entonces% - ! Q ! l l Q
<k kVÐ ß X Ñ- %
Luego es acotado, por lo tanto por el teorema de Liouville seVÐ ß X Ñ-
tiene que es constante, así para todo VÐ ß X Ñ ß ß Á- - - - -" # " #
a b a b- - - -" # " #" "M X œ M X Í M X œ M X
Así para todo ,0 − „
,a ba b a ba b- -" #M X 0 œ M X 0
lo cual es equivalente a que para todo ,0 − „
- -" #0 œ 0
o equivalentemente para todo ,0 − „
a b- -" # 0 œ !
como , entonces para todo , así lo cual es - - „ „ F" #Á 0 œ ! 0 − œ Ö × po a bcontradictorio por la hipótesis. Por lo tanto .5 FÐX Ñ Á
34. . LEMA Si y entoncesX − Ð Ñ X œ l l_ „ P -5a b sup- 5− ÐX Ñ
P P5 5a b l l a ba b l lX œ X X Ÿ Xlim inf 8"8
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 27
DEMOSTRACIÓN. Denotemos por . Vamos aa ba b5 - - 5X œ Ö Î − ÐX Ñ×8 8
demostrar que supongamos que entoncesa b a b a ba b a b5 5 " 5X § X − X8 88
existe tal que ya que es acotado entonces- 5 - " 5− ÐX Ñ œ − X X8 8a ba ba b a b- -M X M X no es uno a uno , ó, no es sobre (recuérdese que- 5− Xa b).Supongamos que no es uno a uno entonces existe , a b- „M X 0 − 0 Á !
tal que
a ba b a b- -M X 0 œ !ß X 0 œ 0
Por lo tanto
X 0 œ X X 0 œ X 0 œ X 0 œ 0# #a b a b a b a ba b - - -
de donde se sigue que
X 0 œ 0 Í M † X 0 œ !8 8 8 8a b a ba b- -
esto es de donde en este caso - 5 5 58 8 88− X X § X Þa b a b a ba bSupongamos ahora que no es sobreyectiva, entonces se tiene que-M XV M X Á M Xa b- „ - (el rango de )
Pero se tiene que
a b a ba b- - - -8 8 8" 8# 8"M X œ M X M X â X
Luego el rango de está contenido en - -8 8M X V M Xa b(Recuérdese que si y ademásP § O † L Ê V P § V O V P § V L a b a b a b a bOÒL Ó § O Áa b a b„ „ „).
Por lo tanto o sea que no es sobreyectivo, loV M X Á M Xa b a b- „ -8 8 8 8
cual implica que , por lo tanto tenemos- 58 8− ÐX Ñ
a b a ba b5 5X § X8 8
Esto implica que para todo - 5 - - P− ÐX Ñß l l œ l l Ÿ X8 85a b
l l Ÿ X ß X Ÿ X Ÿ X- P P Pa b a b a b l la b a b5 5 58 8 8
" " "8 8 8
entonces
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 28
P5a b l lX Ÿ X Þlim inf 8"8
35. .TEOREMA Supongamos que , la serie es tal queX − Ð Ñ X_ „ - -" 8 8
8œ!
_! converge si 3Ñ l l X- P5a b diverge si < 33Ñ Xk k a b- P5
DEMOSTRACIÓN. Sabemos que para todo , entonces- -l l Xl lV ß X œ X VÐ † ß X Ña b !- - -" 8 8
8œ!
_
y es analítica en
el resolventeÖ Îl l X ×- - P5a b a b
a
||T||
γγ (Τ)σ
Por lo tanto para todo ,- P5a bX
=VÐ ß X Ñ X- - -" 8 8
8œ!
_!(Recuérdese el teorema de Laurent el cual afirma que toda funciónanalítica en una corona es desarrollable en serie de Laurent3 3# " lDl en esta corona. Teniéndose así una independencia en los coeficientes deldesarrollo ).0 D œ + D + + œ .Da b a b!
8œ!
_
8 88 "
# 30 D
D+1 #' a ba b8"
Si
l l X Ÿ X Ÿ X- P5a b l l l llim inf lim sup8 8" "8 8
entonces esto quiere decir que la serie diverge en .- P X5a b
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 29
36.1 . .COROLARIO P5a b l lX œ Xlim sup8 Ä _
8"8
36.2 . COROLARIO P5a b l l l l l lŠ ‹X œ X Ÿ X œ Xlim8Ä_
8 8" "8 8
NOTA. Debe tenerse que y se tiene un ejercicio dondeP5a b l lX Á XP5a b l lX X .
37-1. .TEOREMA DE HAHN-BANACH
Sea un espacio de Banach real y un subespacio de . Sea unF Q F Jfuncional lineal acotado sobre con norma . EntoncesQ J À Q d Ja b l l⎯→ Q
existe un funcional acotado tal queK À F d⎯→
para cada +Ñ K0 œ J0ß 0 − Q
,Ñ K œ Jl l l lQEn otras palabras es una extensión de a sin aumento en la norma.K J F
37-2. .TEOREMA Sea un espacio de Banach real, un subespacio de .F Q FSea un funcional lineal acotado sobre con norma . SeaJ Q Jl lQ1 − Fß 1 Á ! 1 Â Q y . Si;
R œ Ö0 1Î0 − Qß − O×! !
Entonces existe un funcional acotado tal queK K À R d⎯→
, para todo a b+ K0 œ J0 0 − R
a b l l l l, K œ JR R
DEMOSTRACIÓN. 1. está bien definido, porque supongamos que0 1!0 1 œ 0 1 0 0 œ 1 0 0 − Q! ! ! !w w w w w, entonces . Como de dondea bse tendría que contra la hipótesis.1 − Q
2. Para se tiene que donde .K K 0 1 œ K0 K1 œ J0 < < œ K1a b! ! !
3. Sean se tiene0 ß 0 − Qw ww
J0 J0 œ J 0 0 Ÿ J 0 0 œ J 0 1 0 1w ww w ww w ww w wwQ Qa b l l l l l l l la b a b
Ÿ J 0 1 J 0 1l l l l l l l lQ Qw ww
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 30
de donde
J 0 1 J0 Ÿ J 0 1 J0l l l l l l l lQ Qww ww w w
4. Manteniendo fijo y variando , se denomina0 0w ww
W œ J 0 1 J0sup0 − Qww
š ›l l l lQww ww
y análogamente
X œ J 0 1 J0inf0 − Qw
š ›l l l lQw w
obteniéndose de 3., que .W Ÿ X
5. Se toma ahora un número en , para el cual escribimos en# ‘Wß X 0
lugar de y obteniéndose la siguiente desigualdad0 0w ww
J 0 1 J0 Ÿ Ÿ J 0 1 J0l l l l l l l lQ Q#
Sumando a todos los términos llegamos aJ0
J 0 1 Ÿ J0 Ÿ J 0 1l l l l l l l lQ Q#
de donde
lK 0 1 l Ÿ J 0 1a b l l l lQ
pues
K 0 1 œ J0 a b! !#
donde se ha tomado ! œ "
6. Se pueden considerar los siguientes casos para !
3Þ œ !ß 33Þ œ "Þ 333Þ !ß 3@Þ œ "ß @Þ !! ! ! ! !
3Þ œ ! K0 œ J0Cuando es claro, pues en ese caso !
33Þ œ "Cuando se hace como en 5.!
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 31
333Þ ! 0 1 œ 0 1 0 − Q Cuando se toma y se nota que y lo! ! ! ! !a b" "
podemos utilizar en el papel de en el caso y se obtiene la expresión0 33Þ
siguiente
k k k k l l l l l l l la b a bK 0 1 œ K 0 1 Ÿ l l J 0 1 œ J 0 1! ! ! ! ! !" "Q Q
3@Þ œ "Para se tiene!
lK 0 1 l œ lK 0 1 l Ÿ J 0 1 œ J 0 1a b a b l l l l l l l lQ Q
@Þ 333ÞEs claro, y se hace igual al caso
Caso complejo. Sea un espacio de Banach complejo, un subespacioF Qcomplejo de . puede ser considerado un espacio real y también,F F Qasí tomemos entonces0 − Q
J0 œ 3 ß ß − d! " ! " œ J 0 3J 0" #
por lo tanto , ! "œ J 0 œ J 0" #
J J" # y son funciones lineales reales y acotadas ya que
J0 œ 3" " "! " J0 œ 3# # #! "J 0 0 œ J 0 0 3J 0 0 œ J 0 J 0 3 J 0 J 0a b a b a b a b a b a b" # " " # # " # " " " # # " # #
œ J 0 3J 0 J 0 3J 0 œ J 0 J 0a b a b a b a ba b a b a b a b" " # " # # # " ##
pues,
J 0 0 œ œ J 0 J 0" " # " # " " " #a b ! !
Sea entonces .- - - ! " -! -" -− d J 0 œ 3 œ 3 œ J 0a b a b a b a bJ J" #, son acotadas; puesto que
lJ 0l œ l l Ÿ l 3 l œ lJ0l Ÿ J 0" Q! ! " l l l lentonces
l l l lJ Ÿ J" Q Q
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 32
Ahora tenemos
3J 0 œ J 30 œ J 30 3J 30a b a b a b a b" #
pero también
,3J 0 œ 3J 0 J 0a b " #
de donde
J 30 œ J 0" #a b a basí tenemos
J0 œ J 0 3J 30" "a bSea una funcional lineal acotada extensión de a todo conK J F" "
l l l lK œ J" " Q
El candidato que cumple el teorema es dado porK
K œ K 0 3K 30" "a by se demuestra que: es lineal, es acotada con .a b a b l l l l" K # K K œ J
a b" K es lineal
Para a b+ 0 0 ß" #
K 0 0 œ K 0 0 3K 3 0 0 œa b a b c da b" # " " # " " #
œ K 0 K 0 3 K 30 K 30 œ" " " # " " " #c da b a b œ K 0 3K 30 K 0 3K 30 œ K 0 K 0c d c d a b a ba b a b" " " " # " # " #
Para ,a b a b, 3 0! "
K 3 0 œ K 3 0 3K 3 3 0c d c d c da b a b a b! " ! " ! "" "
œ K 0 3 30 3K 30 0" "a b a ba b a b! " ! "
œ K 0 K 30 3 K 0 K 30! " " !" " " "a b c da b a b œ K 0 K 30 3 K 0 3 K 30! " " !" " " "a b a b a b œ 3 K 0 3 3 K 30 œ 3 K 0 3K 30a b a b a b a b a ba ba b! " ! " ! "" " " "
œ 3 K 0a b a b! "
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 33
a b# K es acotada
Mostremos que l l l lJ œ J" Q
Para , donde 0 − Q J0 œ lJ0l œ "0 0
|J0l œ J 0 œ J 0 Ÿ J 0 œ J 0a b a b l ll l l ll l0 0 0" " "" " "
entonces
l l l lJ œ JQ Q"
Análogamente , así •l l l l l l l lK œ K K œ J" Q
37.2 . TEOREMA Sea un espacio de Banach y sea en . Existe unF 0 Á ! F
J − F J Á ! J0 œ J 0‡, tal que entoncesl ll l .J0 œ lJ0l
DEMOSTRACIÓN. Sea una función definida porQ œ Ö 0×ß J À Q O! ⎯→J 0 œ 0 J Ja b l l! ! , es lineal y es acotada porque
lJ 0 l œ 0 œ l l 0 œ 0 " 0 Ê J œ "a b l l l l l l l l l l¹ ¹! ! ! ! !
Ahora se usa el teorema de Hahn-Banach para extender a .F
37.3 Si existen funciones lineales acotadas , talesF Á Ö!× J Á ! J − F‡
que para .0ß 1 − Fß 0 Á 1ß J0 Á J1
DEMOSTRACIÓN. Después de usar el teorema 37.2 y hallar una extensióntenemos que , así y como es natural0 1 Á ! J 0 1 œ 0 1a b l l entonces ! Á J 0 J 1 œ 0 1 J 0 Á J 1a b a b l l a b a bAsí los funcionales en un espacio de Banach distinguen los elementosde . F
38. Si es un espacio de Banach entonces es un espacio de„ „ _ „‡ œ Ð ß dÑBanach.
39. Si es un espacio de Banach y entonces existe tal que„ „ „0 − 0 −‡ ‡
0 0‡a b œ 0 0 œ "l l l l y .‡
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 34
DEMOSTRACIÓN. . Se define si ,Ò0 Ó œ Ö 0Î − d× 0 À Ò0 Ó d +0 − Ò0 Ó! ! ‡ ⎯→entonces .0 0 œ 0‡a b l l! !
En particular para se tiene . Ahora! œ " 0 0 œ 0‡a b l l l l a bl l ¹ ¹0 œ 0 1 œ œ œ œ "
1 œ − d
‡ ‡ 0 0 0 0 00 0 0sup sup sup
"1 − Ò0 Ó
− d!
l l l l l la b a bl l l l l l‡ ‡!!
!
Por el teorema de Hahn Banach, se extiende tal que 0 À d 0 œ "‡ ‡„⎯→ l l39.1 . COROLARIO Si es un espacio de Banach y y , para„ „0 − 0 0 œ !‡a btodo entonces tenemos que 0 −‡ ‡„ 0 œ ! .
40. . PROPOSICIÓN Supongamos que es un espacio de Banach. Si ,„ „0 −
entonces l l a b¹ ¹0 œ 0 0sup0 −
0 œ "‡ ‡
‡„l l
‡
DEMOSTRACIÓN. Por 39. l l a b¹ ¹0 Ÿ 0 0sup0 −
0 œ "‡ ‡
‡„l l
‡
Para ver el recíproco, se sabe que
si l l l ll l l l l la b0 0 Ÿ 0 0 Ÿ 0 0 œ "‡ ‡ ‡
por lo tanto pasando al supremun se tiene
sup0 −
0 œ "‡ ‡
‡„l l
¹ ¹a b l l0 0 Ÿ 0‡
De donde se sigue la igualdad.
NOTACIÓN. Si es un espacio de Hilbert y entoncesa b" 2 −[ [
Ø2ß † Ù À d0 Ä Ø2Þ0Ù œ 2 0[⎯→
‡a beste es un funcional lineal y el teorema de Riesz garatiza que todofuncional se puede escribir en esta forma.
a b# 0 − 1 − Supongamos que es un espacio de Banach, si y „ „ „‡ ‡
denotaremos por
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 35
¡ a b0 ß 1 œ 0 1‡ ‡
41. . Si , PROPIEDADES ! " „ „ß − d 0 ß 1 − ß 0 ß 1 −‡ ‡ ‡
a b ¡ ¡ ¡3 0 ß 0 1 œ 0 ß 0 0 ß 1 ‡ ‡ ‡! " ! "
a b ¡ ¡ ¡33 0 1 ß 0 œ 0 ß 0 1 ß 0! " ! "‡ ‡ ‡ ‡
a b l ll l¸ ¸ ¡333 0 ß 0 Ÿ 0 0‡ ‡
a b ¡3@ 2 ß 0 œ ! 2 − 0 œ ! Si para todo entonces .‡ ‡ ‡„
42-1. . DEFINICIÓN Supongamos que y son dos espacios de Banach y„ …P − Ð ß Ñ_ „ … (0perador lineal acotado). Se define
P À‡ ‡ ‡… „⎯→
Si entonces para todo 0 − P 0 œ 0 P 0 0 −‡ ‡ ‡ ‡ ‡… „a b a ba bP‡ es lineal
42-2. . LEMA 0 ß 1 − 0 1 œ 0 1‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡… entonces a bEn efecto;
a b a b a b a b a ba b ¡0 1 B œ 0 1ß B œ Ø0ß BÙ Ø1ß BÙ œ 0 B 1 B œ 0 1 B ß aB −‡ ‡ ‡ ‡ ‡ …
P 0 2 œ 0 P 2 a2 −‡ ‡ ‡a ba b a ba b „
P 0 1 2 œ 0 1 P 2 œ 0 P 2 1 P 2 œ P 0 2 P 1 2‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡a ba b a ba b a b a b a ba b a ba ba b a b a bP 0 2 œ 0 P 2 œ 0 P 2 œ P 0 2‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡a ba b a ba b a b a ba ba b a b! ! ! !
P Pއ es un operador acotado, llamado de operador adjunto
43. . PROPOSICIÓN Si y son espacios de Banach y es un„ … „ …P À ⎯→operador lineal es el operador lineal adjunto, entoncesP À‡ ‡ ‡… „⎯→
l l l lP œ P‡
de donde sale la acotación de P‡
DEMOSTRACIÓN. l l l l l ll l l ll ll la ba b a b a ba bP 0 0 œ 0 P 0 Ÿ 0 P 0 Ÿ 0 P 0 ß a0 −‡ ‡ ‡ ‡ ‡ „
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 36
Por lo tanto se tiene
para todo l l l ll la bP 0 Ÿ 0 P ß 0 −‡ ‡ ‡ ‡ ‡„
Luego queda acotado y tenemosP‡
l l l lP Ÿ P‡
Para el recíproco tenemos
l l a b a b l ll la b a b a bl l l l¹ ¹ ¹ ¹P 0 œ 0 P 0 œ P 0 0 Ÿ P 0 ß a0 −sup sup0 œ " 0 œ "
0 − 0 −‡ ‡
‡ ‡ ‡ ‡… …
‡ ‡ ‡ ‡ „
entonces
l l l lP Ÿ P‡
Por lo tanto l l l lP œ P Þ‡
Por ejemplo en el caso del Laplaciano
?? œ ` ? ` ? ` ?`B `B `B
# # #
" ## # #
8 â
donde •? V H V HÀ
#! !a b a b⎯→
se puede demostrar, integrando por partes que
, ¡ ¡? ? ? ?? @ œ ?@ œ ? @ œ ?ß @' 'H H
NOTACIÓN. Supongamos que donde es un espacio de Banach, seW § „ „denota por
para todo W œ 0 − Î 0 ß 0 œ ! 0 − W¼ ‡ ‡ ‡š › ¡„
Si se simboliza porW §‡ ‡„
para todo .a b š › ¡W œ 0 − Î 0 ß 0 œ ! 0 − W‡ ‡ ‡ ‡¼ „
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 37
44. 1.PROPOSICIÓN Supongamos que y son espacios de Banach,„ …entonces si tenemosX − Ð ß Ñ_ „ …
a b3 VÐX Ñ X Si es el recorrido de , entonces
V X œ R Xa b a b‡ ¼
a b33 VÐX Ñ VÐX ÑSi es cerrado entonces también lo es y además‡
VÐX Ñ œ R X‡ ¼a b44.1 2. PROPOSICIÓN Supongamos que es un espacio de Banach. Si la„bola cerrada unitaria
H œ 0 − Î 0 Ÿ "š ›l l„
es compacta, entonces es de dimensión finita.„
44.2 3. PROPOSICIÓN Supongamos que es un espacio de Banch. Si „ ` „Áes un subespacio cerrado de , entonces existe un elemento„ %! "
0 − 0 œ " 0 1 " „ ` % tal que y para todol l l l 1 − `
45. . DEFINICIÓN Supogamos que y son espacios de Banach y „ … „ …X À ⎯→es un operador lineal, si para toda sucesión en , se tiene queÖ0 ×8 8œ"
_ „l l0 Ÿ < < ! 8 "8 „ , para algún y para todo , entonces existe unasubsucesión tal que converge en , en este caso˜ ™ ˜ ™a b0 X 08 85œ" 5œ"
_ _5 5
…
decimos que es un operador .X lineal compacto
46. . PROPOSICIÓN Supongamos que es un espacio de Banach. Si„X À − Á !„ „ - ‚ -⎯→ es un operador lineal compacto , entoncesR M Xa b- es de dimensión finita.
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que es una sucesión de talÖ0 × R M X8 8œ"_ a b-
que como es compacto, entonces existe una subsucesiónl l0 Ÿ " X8˜ ™ a b0 Ö0 × X 0 Ä 1 5 Ä _8 8 85œ"
_8œ"_
5 5 de tal que en cuando y tenemos„
que entonces cuando , pora ba b a b a b-M X 0 œ ! 0 œ X 0 Ä 1 5 Ä _8 8 8" " "
5 5- -
lo tanto es una subsucesión convergente, esto quiere decir queÖ0 ×8 5œ"_
5
la bola cerrada unitaria en es compacta por lo tanto R M X R M Xa b a b- -
es dimensión finita. (Vea 44.1 proposición 2.)
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 38
.a b" Como entonces tenemos que de dondea ba b a b- -M X 0 œ ! 0 œ X 08 8 8
0 œ X 0 0 œ X 08 8 8 8" "- -
a b a b, en particular 5 5
.
47. .PROPOSICIÓN Si es un operador compacto entoncesX À „ „⎯→X À‡ ‡ ‡„ „⎯→ es un operador lineal compacto.
DEMOSTRACIÓN. Recordemos primero el Lema de Arzela-Ascoli:Supongamos que es un espacio de Banach y , tal que es„ H „ H§compacto. Si , es uniformemente acotado y equicontinuo,W § Ð ß Ñ WV H ‚
entonces es relativamente compacto (esto es completamenteWequivalente a decir que cualquier sucesión en tiene unaÖ0 × W8 8œ"
_
subsucesión convergente en .V H ‚Ð ß Ñ
Veamos ahora la demostración de 47., para lo cual debemos mostrar quela imagen de la bola unitaria de es relativamente compacta.„‡
Denotemos por y las bolas unitarias cerradas de y W W‡ ‡„ „respectivamente. Consideremos los elementos de definidos sobreW‡
X W Wa b. Demostraremos que es uniformemente acotado y equicontinuo‡
como subconjunto de V ‚ÐX ÐWÑß Ñ
Si y , entonces0 − W 1 œ X 0 − XÐWч ‡ a b l0 1 l œ 0 X 0 Ÿ 0 X 0 œ X‡ ‡ ‡a b l l l ll ll l l la ba b(pues ). Como todo esto es para todo se siguel l l l0 œ "ß 0 œ " 0 − W‡ ‡ ‡
que es uniformemente acotado en .W XÐWч
Veamos ahora la equicontinuidad: Si y ;0 − W 1 œ X 0 1 œ X 0 − XÐWч ‡" " # #a b a b
entonces
l l l l l ll l l la b a b a b0 1 0 1 œ 0 1 1 Ÿ 0 1 1 Ÿ 1 1‡ ‡ ‡ ‡" # " # " # " #
Por lo tanto es equicontinuo en . Aplicando el lema deW ÐX ÐWÑß Ñ‡ V ‚
Arzela-Ascoli si es una sucesión de entonces existe unaÖ0 × W‡ _ ‡8 8œ"
subsucesión de la cual converge en entoncesÖ0 × Ö0 × ÐX ÐWÑß Ñ‡ _ ‡ _8 85œ" 8œ"5
V ‚
para todo existe tal que si % ! R " 7ß 5 R
sup0 − W
¼ ¼a b a ba b a b0 X 0 0 X 0 ‡ ‡8 85 7
%
pero esto es equivalente a que
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 39
sup0 − W
¼ ¼ˆ ‰ ˆ ‰a b a bX 0 0 X 0 0 ‡ ‡ ‡ ‡8 85 7
%
o equivalentemente
sup
0 − W¼ ¼ ‘ˆ ‰ ˆ ‰ a bX 0 X 0 0 ‡ ‡ ‡ ‡
8 85 7%
Según la definición de , la anterior desigualdad es equivalente al l† ‡
para todo ¼ ¼ˆ ‰ ˆ ‰X 0 X 0 5ß7 R‡ ‡ ‡ ‡8 85 7
%
Luego es una sucesión de Cauchy en un espacio de Banach˜ ™ˆ ‰X 0‡ ‡85
luego es una subsucesión convergente y tenemos que es compacto.X ‡
48. . PROPOSICIÓN Si es un operador lineal compacto y X À − ß„ „ - ‚⎯→- - -Á ! V M X ß V M X entonces son subespacios cerrados dea b a b‡ .„
DEMOSTRACIÓN. Demostremos que es cerrado. Supongamos queVÐ M XÑ-˜ ™ ˜ ™0 VÐ M XÑ 0 0 −8 88œ" 8œ"
_ _ es una sucesión en y converge a en la -- „ „
norma, entonces existe tal que2 −8 „
Ð M XÑ 2 œ 0- a b8 8
para cada entero positivo . Si es una sucesión de 8 − 1 RÐ M XÑ™ -8 8œ"
_˜ ™entonces
Ð M XÑ 2 1 œ Ð M XÑ 2 œ 0- -a b a b8 8 8 8
para todo entero positivo ( el problema queda resuelto cuando existe8˜ ™1 § RÐ M XÑ8 8œ"
_- que sea acotada). Nuestro problema queda resuelto
si existe una sucesión en tal que sea˜ ™ ˜ ™1 RÐ M XÑ 2 18 8 88œ" 8œ"
_ _-
acotada; es decir, existe tal queQ !
. 2 œ .3=> 2 ßRÐ M XÑ Ÿ Qa b ˜ ™8 8 -
Si no existe esta sucesión en entoncesRÐ M XÑ-
cuando . 2 œ .3=> 2 ßRÐ M XÑ Ä _ß 8 Ä _a b a b8 8 -
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 40
Si , entonces 2 œ .3=> 2 ßRÐ M XÑ œ "8 82
. 28
8a b ˆ ‰-
Lo anterior quiere decir que para cada entero positivo existe85 − RÐ M XÑ " Ÿ 2 5 #8 8 8- tal que , entonces denotemos por¼ ¼A œ 2 5 A Ÿ # X8 8 8 8 donde . Entonces ya que es compacto existe unal lsubsucesión de denotada también por tal que ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™A A XA8 8 88œ" 8œ" 8œ"
_ _ _
converge. Además
Ð M XÑ A œ Ð M XÑ 2 5 œ Ð M XÑ 2 œ Ä !- - -a b ˆ ‰ ˆ ‰8 8 8 80
. 2Å5 − RÐ M XÑ8 -
8
8a b
(por que es acotada) cuando . Por lo tanto0 8 Ä _8
lim lim8Ä_ 8Ä_
8 8 8Ð M XÑ A œ ! A X A œ !- -a b a ba bÍ
Lo cual es equivalente a
lim lim lim lim8Ä_ 8Ä_ 8Ä_ 8Ä_
8 8 8 8"-A œ X A A œ X Aa b a bÍ-
entonces existe tal que cuando . Esto quiere decirA − A Ä A 8 Ä _Þ„ 8
que cuando , o seaX A Ä X A 8 Ä _a b a b8
Ð M XÑ A Ä A X A œ Ð M XÑ A- - -a b a b a b8
si . A Ä . A 8 Ä _a b a b8
pero y para todo , pero lo cual es. A œ ! 8ß . A " # . A poa b a b a b a b8
contradictorio, pero antes veamos que , tenemos que si. A "a b81 − RÐ M XÑ- se tiene que
l l a b¼ ¼ ˆ ‰A 1 œ 2 5 1 .3=> 2 œ "8 8 8 8
por lo tanto
. A œ 0 1 Î1 − RÐ M XÑ "a b l l˜ ™8 8inf -
lo cual contradice el hecho: cuando . Esta. A Ä . A œ ! 8 Ä _a b a b8
contradicción demuestra que existe una sucesión en tal˜ ™1 RÐ M XÑ8 8œ"
_-
que es acotada. Si denotamos por entonces˜ ™2 1 @ œ 2 18 8 8 8 88œ"
_
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 41
existe una subsucesión de denotada también por tal que˜ ™ ˜ ™@ @8 88œ" 8œ"
_ _
˜ ™a bX @ @ −8 8œ"
_ converge a un . Tenemos„
Ð M XÑ @ œ 0 Ê @ œ X Ä œ !- a b ˆ ‰8 8 8@ 0 @08 8
- - -a b
cuando , así .8 Ä _ Ð M XÑ @ Ä Ð M XÑ 1 œ 0 − VÐ M XÑ- - -a b a b8
COROLARIO. a b" VÐ M XÑ œ RÐ M X Ñ- - ‡ ¼
a b# VÐ M X Ñ œ RÐ M XÑ- -‡ ¼
DEMOSTRACIÓN. Basta observar lo siguiente
Ð M XÑ 0 0 œ 0 Ð M XÑ 0 œ 0 Ð 0 X 0 Ñ- - -‡ ‡ ‡ ‡a b a b a ba ba b a b a b a b a ba b" œ 0 0 0 X 0 œ 0 0 0 0 œ ! ‡ ‡ ‡ ‡- - -a b a b a ba b a b# œ 0 0 X 0 0 œ Ð 0 X 0 Ñ 0 - -‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡
para todo œ Ð M X Ñ 0 0 0- ‡ ‡a ba bLuego
Ð M XÑ 0 œ Ð M X Ñ 0 Þ- -‡ ‡ ‡ ‡a b a b49. . PROPOSICIÓN Si es un operador lineal compacto yX À „ „⎯→- ‚ -− ß Á ! 8, entonces existe un entero positivo tal que
R Ð M XÑ œ R Ð M XÑa b a b- -8 8"
NOTA. Recuérdese que .- „ „M X À ⎯→
DEMOSTRACIÓN. Claramente . SupongamosR Ð M XÑ § R Ð M XÑa b a b- -8 8"
ahora que entoncesR Ð M XÑ Á R Ð M XÑa b a b- -8 8"
R Ð M XÑ § R Ð M XÑa b a b- -8 8"
además es cerrado (por que es compacto). Por unRÐ M XÑ M X- -8 8a blema anterior, para cada entero positivo existe tal8 0 − R Ð M XÑ8
8"a b-
que
y .3= 0 ßR Ð M XÑ 0 œ "a b l la b8 88 "
#-
Si se tiene que7 8
Ð M XÑ M X 0 X 0 œ M X 0 X M X 0 œ !- - - -87 7 7 7
8" 8a b a b a b a b a ba ba b a b
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 42
Por lo tanto , esto implica quea ba b a b a b- -M X 0 X 0 − R Ð M XÑ7 78
l l l la b a b a ba b a bX 0 X 0 œ 0 M X 0 X 08 7 8 8 7- -
œ l l 0 M X 0 X 0 - - -l la ba ba b a b8 8 7" l l
#-
Entonces no tiene una subsucesión convergente lo cual es˜ ™a bX 08 8œ"
_
imposible ya que es compacto y .X 0 œ "l l8 *******
CAPÍTULO 2
§1. EL ESPACIO MÁS SIMPLE DE SOBOLEV
1.El análisis funcional ha surgido inicialmente como una herramientafundamental en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales;amparándome en esta afirmación me propongo exponer algunosconceptos básicos muy poco estudiados en el común de los cursos.
Sea un dominio acotado. Sea el espacio de Hilbert real de lasH [§ dR!
funciones de cuadrado real integrable definido en H
[ H ¿ H!# #œ 0 À d 0 .B _ œœ ‚ a b⎯→ '
H
con el producto interno dado por
para Ø?ß @Ù œ ?@ .B ?ß @ −! !'H
[
Sea ahora el espacio de funciones reales continuamente diferencialesV"en con producto interno dado porH
Ø?ß @Ù œ ?@ .B"5œ"
R`? `@`B `B
'H
” •!Š ‹Š ‹5 5
Sea el completado de .[ V" "
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 43
2 1. . TEOREMA Existe un subespacio vectorial de tal que y[ [ V [" ! " "§Ø † Ù ‚ ‚ ß Ø † Ù" " " " " " " puede ser extendido de a tal que es unV V [ [ [a bespacio de Hilbert completo y es denso enV" .["
DEMOSTRACIÓN. Se define de manera natural
[ [V
" !8 " 88œ"
_
8Ä_ !
8 8œ"_
"
œ ? −Ö? × § ß ? ? œ !
Ö? × † Ÿ„ l l
l lexisten y
es sucesión de Cauchy con respecto a
lim
[" es obviamente un subespacio lineal de , sin embargo[!
posteriormente mostraremos este aspecto. Definimos inicialmente elproducto interno en ; sean se define[ [" "?ß @ −
Ø?ß @Ù œ Ø? ß @ Ù" 8 8 "8Ä_lim
donde son sucesiones de Cauchy para la norma talesÖ? × ß Ö@ × †8 88œ" 8œ"_ _
"l lque y .lim lim
8Ä_ 8Ä_8 8! !l l l l? ? œ ! @ @ œ !
Veamos que este producto está bien definido
3 Ø? ß @ Ù. lim8Ä_
8 8 existe.
Puesto que existe una constante independiente de tal queQ 8
l l l l? Ÿ Qß @ Ÿ Q8 8" "
y
k kØ? ß @ Ù Ø? ß @ Ù œ lØ? ß @ @ Ù Ø? ? ß @ Ù l8 8 " 7 7 " 8 8 7 " 8 7 7 "
Ÿ ? @ @ @ ? ? Ÿ Q @ @ ? ?l l l l l l l l c dl l l l8 8 7 7 8 7 8 7 8 7" " " " " "
Así es una sucesión de Cauchy de números reales. Como e fØ? ß @ Ù d8 8 " 8œ"_
es completo se tiene la existencia de lim8Ä_
8 8 "Ø? ß @ Ù
33Þ Para demostrar que esta definición tiene significado completo esnecesario demostrar que si y son otras sucesiones en e f e f? @8 8
w w8œ" 8œ"_ _
"V
que son de Cauchy con respecto a la -norma, yV"
lim lim8Ä_ 8Ä_
8 8w w
! !l l l l? ? œ !ß @ @ œ !
y tales que
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 44
lim lim8Ä_ 8Ä_
8 8w w
" 8 8 "Ø? ß @ Ù œ Ø? ß @ Ù
Entonces se tiene
l l l lØ? ß @ Ù Ø? ß @ Ù œ Ø? ß @ @ Ù Ø? ? ß @ Ù8 8 8 8 8w w w w w
" 8 8 " 8 " 8 8 "
Ÿ ? @ @ ? ? @l l l l l l l l8 8 8w w w
" "8 8 8 "
Como las sucesiones y son acotadas, basta por loe f e fl l l l? @8 8w
" "8œ" 8œ"_ _
tanto demostrar que
lim lim8Ä_ 8Ä_
8 88 8w w
" "l l l l? ? œ !ß @ @ œ !
Pero esto es una consecuencia del siguiente lema. (Pues l l l l l l? ? Ÿ ? ? ? ? Ä !8 88 8
w w! !! Ñ.
3 . Si es un sucesión de tal que. LEMA ÖA8 "8œ"
_™ V
lim8Ä_
8 !l lA œ !
y es una sucesión de Cauchy en , entoncese fA8 "8œ"_ V
lim8Ä_
8 "l lA œ !
DEMOSTRACIÓN. En primer lugar se tiene que
' 'H H
’ “ ’ “Œ ! c d`A `A `A `A`B `B `B `B
# #
5œ"
R
8 7#8 7 8 7
5 5 5 5 .B Ÿ A A .B
Así
.'H
’ “ l l`A `A`B `B
#
8 7 "#8 7
5 5 .B Ÿ A A
Ahora cada una de las sucesiones es una sucesiónš ›`A`B 8œ"
_8
55 œ "ß #ßá ßR
de Cauchy en .P#a bHPor el teorema de Riesz-Fischer existen funciones tales queD ß D ßá ß D" # R
.lim8Ä_
`A`B 5
!
#½ ½8
5 D œ !
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 45
Sea una función en con soporte compacto contenido en . Por la: V H"
desigualdad de Schwarz
º ºŠ ‹ ¹ ¹ ½ ½ l l'H
`A `A `A`B `B `B5 5 ! 5
!!
8 8 8
5 5 5 D .B œ Ø D ß Ù Ÿ D Ä ! 8 Ä _: : : cuando
Por consiguiente
' 'H H
D .B œ .B58Ä_
`A`B: :lim 8
5
Integrando por partes (recordando que )lim8Ä_
8A œ !
' 'H H
: :: `A`B `B `B8 8 !
` `8
5 5 5.B œ A .B œ ØA ß Ù Ä !
cuando ; puesto que , cuando .8 Ä _ lA l Ä ! 8 Ä _8 !
Por consiguiente
'H
D .B œ !5:
Puesto que es una función arbitraria en con soporte compacto: V"contenido en , .H D œ !ß 5 œ "ß #ßáR5
Como por hipótesis
cuando l lA œ A .B Ä ! 8 Ä _8 !#
8#'
H
y
lim8Ä_
`A`B
#
5#' '
H H
Š ‹8
5.B œ D .B œ !
entonces
cuando l l ” •!Š ‹A œ A .B Ä ! 8 Ä _8 8"#
8œ"
R`A`B
##'
H
8
5
Retornando a la prueba del teorema, vemos que está bien definido yØ † Ù"es cuestión de rutina la verificación de que es un producto interno enØ † Ù"[".
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 46
Veamos ahora que es un subespacio, sean y en así existen[ [" "? @sucesiones y en , sucesiones de Cauchy con respecto aÖ? × Ö@ ×8 8 "8œ" 8œ"
_ _ V
la -norma ( ) y tales queV" "l l† lim lim
8Ä_ 8Ä_8 8! !l l l l? ? œ !ß @ @ œ !
Sean para A œ ? @ 8 œ "ß #ß $ßá ß A −8 8 8 8 "V
l l l l l lA A Ÿ ? ? @ @8 7 8 7 8 7" " "
Así es una sucesión de Cauchy con respecto a la norma yÖA × †8 8œ"_
"l ll l@ @ A Ä ! 8 Ä _ ? @ −8 "! cuando , por consiguiente (pues[l l l l l la b? @ ? @ Ÿ ? ? @ @ Ä ! 8 Ä _Ñ8 8 8 8! ! ! , cuando
Sea un número real, la sucesión es de Cauchy con respecto a la! !Ö ? ×8 8œ"_
norma y , cuando , por lo tanto . Porl l l l† ? ? Ä ! 8 Ä _ ? −" !8 "! ! ! [
lo tanto es un subespacio lineal de .[ [" !
Finalmente mostremos que es un espacio compacto.a b[" "ß Ø † Ù
Sea una sucesión de Cauchy en con respecto a la norma .Ö? × †8 "8œ"_
"[ l lPuesto que es obviamente denso en con respecto a la topologíaV [" "
inducida por para cada existe tal queØ † Ù 8 @ −" 8 "V
l l@ ? 8 8 ""8
ahora
l l l l l l l l@ @ Ÿ @ ? ? ? ? @8 7 8 8 8 7 7 7" " " "
así es una sucesión de Cauchy con respecto a la norma Ö@ × †7 7œ"_
"l lPuesto que entonces la sucesión es unal l l l@ @ Ÿ @ @ Ö@ ×8 7 8 7 8! " 8œ"
_
sucesión de Cauchy con respecto a la norma . Por el teorema del l† !
Riesz-Fischer existe tal que ( por la completez de )? − Ð Ñ[ ¿ H!#
lim8Ä_
8 !l l@ ? œ !
Por lo tanto . Ahora como? − ["
Ø? @ ß ? @ Ù œ Ø? @ ß ? @ Ù8 8 " 7 8 7 8 "7Ä_lim
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 47
se sigue que
lim8Ä_
8 "l l? @ œ !
Puesto que
l l l l l l l l? ? Ÿ ? @ @ ? Ÿ @ ?8 8 8 8 8" " " ""8
luego
lim8Ä_
8 "l l? ? œ !
Por lo tanto es completo con respecto a la norma [" "l l†
4. DEFINICIÓN 1. El espacio dado por el teorema anterior esa b[" "ß Ø † Ùllamado espacio simple de Sobolev .
§2. DESIGUALDAD DE POINCARÉ
5. 2. SDEFINICIÓN ea el conjunto de funciones continuamenteV‰
"
diferenciables con soporte compacto contenido en . es unH V"‰
subespacio de definido en el §1. Sea la adherencia de en ,V [ V [" " " "‰ ‰
esto es
[ V" "‰
œ‰ ["
5.1 DESIGUALDAD DE POINCARÉ
Sea , para . Si se extiende a porUÒ?Ó œ .B ? − UÒBÓ‰'
H
!Š ‹5œ"
R`?`B
#
" "5
V [
continuidad, existe una constante tal que< !!
< ? Ÿ UÒ?Ó ‡! !#l l a b
para todo .? −‰["
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 48
DEMOSTRACIÓN. Es suficiente mostrar que existe una constante tal que<!a b a b‡ ? − ‡‰
se tenga para , puesto que si se tiene entonces vale paraV"
? −‰[" por continuidad.
Probemos el resultado en dos dimensiones; puesto que es acotado,Hexiste un cuadrado cerrado y acotado , con los lados paralelos a losEejes coordenados conteniendo a en su interior.H
Ω
(-R,R) (R,R)
(-R,-R) (R,-R) figura 1
Sean los vértices de (ver ).a b a b a b a bVß V ß VßV ß VßV ß Vß V E figura1Sea , puesto que el soporte de está contenido en el interior de ? − ?
‰V H"
y ? − G Ðd Ñ" #
para ? Bß C œ ? =ß C .= ÐBß CÑ −a b a b'V
BB H
Por lo tanto
a b a b a ba b Š ‹ Š ‹Š ‹? Bß C œ " † ? =ß C .= Ÿ " .= ? =ß C .=#V V V
B B BB
## #
B' ' '
de donde
a b a b a b a ba b? Bß C Ÿ B V ? =ß C .= Ÿ #V ? =ß C .=#V V
B V
B B# #' '
usando integral iterada como producto de integrales tenemos
' ' ' ' 'V V V V V
V V V V V# # #B B? Bß C .B Ÿ #V ? =ß C .= .= œ #V .= ? =ß C .=a b a b a bŠ ‹Š ‹
œ #V #V ? =ß C .= œ %V ? =ß C .=a b a b a b' '
V V
V V
B B# # #
así
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 49
' 'V V
V V# # #Ba b a ba b? Bß C .B Ÿ %V ? Bß C .B
Integrando nuevamente con tenemosC
' ' ' 'V V V V
V V V V# # #B? Bß C .B .C Ÿ %V ? Bß C .B .Ca b a b
Ÿ %V ? Bß C ? Bß C .B .C œ %V ? Bß C ? Bß C .B.CE
# # # # # #V V
V V
B C B C' ' ' 'ˆ ‰ ˆ ‰a b a b a b a b
Pero
' ' ' ' ' 'E E
# # # #B C? Bß C .B .C œ ? Bß C .B .C Ÿ ? Bß C ? Bß C .B .Ca b a b a b a b ‘
H
œ ? Bß C ? Bß C .B .C œ UÒ?Ó' 'H
ˆ ‰a b a bB C# #
Por lo tanto si entonces< œ!"
%V#
.< ? Ÿ UÒ?Ó! !#l l
§3. SELECCIÓN DEL PRINCIPIO DE RELLICH
6. (Rellich).TEOREMA Sea una sucesión acotada con respecto ae f: [5 "5œ"_ §
‰
la norma . Existe una subsucesión de que converge enl l† Ö × Ö ×" 54 54œ"_ _: :
5œ"
[! con respecto a l l† !.
Antes de probar este teorema veamos primero el siguiente
6.1 . (Desigualdad de Friederich).LEMA Sea un dominio acotado (abiertoHconexo). Dado cualquier existen tales que% [ H ! A ßA ßá ßA − Ð Ñ" # 8 !
para todo a b a b!: : : % : : [ Hß Ÿ Ð ß A Ñ UÒ Ó − Ð Ñ "‰
5œ"
8
5 "#
Ø ß Ù œ ß œ .B ß − Ð Ñ: < : < :< : < [ H! !a b 'H
donde
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 50
si UÒ Ó œ .B −‰
: : V'H
:!Š ‹5œ"
R``B
#
"5
(ver §2) y definido por continuidad en .UÒ † Ó‰["
DEMOSTRACIÓN. Consideremos solamente el caso de dos dimensiones.
Sea un cuadrado de lados paralelos aW œ Ö Bß C Î ! Ÿ B Ÿ =ß ! Ÿ C Ÿ =×a blos ejes. Si entoncesa b a bB ß C ß B ß C − W" " # #
k k a b a ba b a b ¹ ¹: : : :B ß C B ß C œ Bß C .B B ß C .C# # " " B " C #B C
B C' '" "
# #
Elevando al cuadrado tenemos
k k a b a ba b a b ¹ ¹: : : :B ß C B ß C œ Bß C .B B ß C .C# # " " B " C ##
B C
B C #' '" "
# #
Ÿ # Bß C # B ß C .CŠ ‹ Š ‹a b a b' 'B C
B CB " C #
# #
" "
# #: :
6.2 . Sabemos que NOTA ! Ÿ Ð+ ,Ñ œ + #+, , Í #+, Ÿ + ,# # # # #
Í + #+, , Ÿ #+ #, Í + , Ÿ #+ #,# # # # # ##a btómese
y + œ Bß C .B , œ B ß C .C' 'B C
B CB " C #
" "
# #: :a b a b
Por el binomio de Newton tenemos
: : : :# ## # " " # # "a b a b a b a bB ß C # B ß C B ß C B ß C Ÿ
"
Ÿ # Bß C .B # B ß C .CŠ ‹ Š ‹a b a b' 'B C
B CB " C #
# #
" "
# #: :
Por la desigualdad de Schwarz se tiene
Š ‹a b a b a b a b' ' ' 'B B B B
B B B BB " " # " "
#
B B# #
" " " "
# # # #: : :Bß C .B Ÿ .B Bß C .B œ B B Bß C .B
Ÿ = Bß C .B'!
=
B#
": a bLuego tenemos
: : : :# ## # " " # # "a b a b a b a bB ß C # B ß C B ß C B ß C Ÿ
"
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 51
Ÿ #= Bß C .B #= B ß C .C' '! !
= =
B C# #
" #: :a b a bIntegrando con los dos lados tenemosB"
' ' '! ! !
= = =# ## # " # # " " " " ": : : :a b a b a b a bB ß C .B # B ß C B ß C .B B ß C .B Ÿ
"
Ÿ #= Bß C .B #= B ß C .C# # # #! !
= =
B C" #' ': :a b a bde donde
= B ß C # B ß C B ß C .B B ß C .B Ÿ: : : :# ## # # # " " " " "! !
= =a b a b a b a b' '"
Ÿ #= Bß C .B #= B ß C .C# # # #
! !
= =
B C" #' ': :a b a bintegrando una vez más con los dos lados recibimosB#
= B ß C .B # B ß C B ß C .B .B = B ß C .B' ' ' '! ! ! !
= = = =# ## # # " " # # " # " ": : : :a b a b a b a b
"
Ÿ #= Bß C .B #= B ß C .C .B$ # # #! ! !
= = =
B C" # #' ' ': :a b a bAhora integrando con obtenemosC"
= B ß C .B # B ß C .B B ß C .B .C = B ß C .B .C# # #! ! ! ! ! !
= = = = = =# # # # # # " " " " " " "' ' ' ' ' 'a b a b a b a b: : : :
"
Ÿ #= Bß C .B.C #= B ß C .C .B œ #= U Ò Ó$ # $ # $! ! ! !
= = = =
B C" " # # W' ' ' ': : :a b a b
Finalmente integrando con se tieneC#
= B ß C .B .C # B ß C .B .C B ß C .B .C# #! ! ! ! ! !
= = = = = =# # # # # # # # " " " "' ' ' ' ' ': : :a b a b a b
= B ß C .B .C Ÿ #= U Ò Ó# # %! !
= =" " " " W
' ' : :a bPero esto es completamente lo mismo que
#= Bß C .B.C # Bß C .B.C Ÿ #= U Ò Ó# # %
W W
#
W' ' ' ': : :a b a b
De donde se obtiene que
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 52
' ' ' 'W W
# BßC= =
#
=W: :a b Bß C .B .C Ÿ .B.C U Ò Ó:a b %
#
Así tenemos
' ' ' 'W W
# #BßC=
#
W: :a b a b» »Bß C .B .C Ÿ .B.C = U Ò Ó #:a b
Para probar la desigualdad de Friedrich, sea un cuadrado conteniendo aE
H : V H : H c. Si , entonces en . Definiendo una partición en − Ð Ñ œ ! E E‰
"
por cuadrados congruentes a de lados paralelos a los ejesW 5
coordenados. Aplicando a cada uno de los cuadrados obtenemosa b# W 5
a b a b: : : :ß Ÿ ßA = U Ò ÓW W5 = 5#
5 55
donde
en fuera de
A œW
! W5
"= 5
5 5
Sumando sobre el número de la partición se obtiene5 c
a b a b!: : : :ß Ÿ ßA = U Ò Ó5œ"
8
5# #
c
tomando de manera que obtenemos la desigualdad % %= "# a b
7. . TEOREMA DE RELLICH Sea una sucesión acotada con respectoÖ × §‰
: [5 "5œ"_
a la norma . Existe una subsucesión de que convergel l† Ö × Ö ×" 5œ"54 54œ"_ _: :
en con respecto a la norma[! .l l† !
DEMOSTRACIÓN. Sea una sucesión en que es acotada conÖ ×‰
: [5 "5œ"_
respecto a la norma . En particularl l† "
, a b ¡: : : : :5 5 5 5 5!ß œ ß Ÿ E UÒ Ó Ÿ E
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 53
para alguna constante positiva . Sean con E A 4 œ "ß #ßá ßR 774a b
elementos de para los cuales se satisface la desigualdad de[ H!a bFriederich con y .% œ 4 œ "ß #ßá ßR 7"
7 a bDenotemos con a la sucesión de para la cualÖ × Ö ×: :"5 55œ" 5œ"
_ _
Ö ßA × 4 œ "ß #á ßR " "a b a b a b:"5 "4 5œ"_ con cumplen la desigualdad , entonces
Ö ß A ×a b:"5 "4 5œ"_ es convergente puesto que de
k k k k l l l l l la b a b a b: : : : : :"5 "4 "ß5 "4 "5 "5 "4 "5 "5 "4 "4! ! !ß A ßA œ ßA Ÿ A Ÿ #E Aw w w
se deduce que la sucesión es una sucesión de Cauchy deÖ ß A ×a b:"5 "4 5œ"_
números reales.
Supongamos elegida la subsucesión de y porÖ × Ö ×: :7"ß5 55œ" 5œ"_ _
recurrencia sea la sucesión de tal que Ö × Ö × ß A: : :7 5 5 7ß5 75œ" 5œ"_ _
5œ", ˜ ™ˆ ‰4
_
es convergente para .4 œ "ß #ßá ßR 7a bSe toma ahora la sucesión diagonal
< :5 5ß5œ 5 œ "ß #ßá
una vez más por la desigualdad de Friederich tenemos
a b c d a b!ˆ ‰< < < < < < < <5 5 5 5 5 5 7 5 54œ"
7# "
7" # " # " # 4 " # ß Ÿ ßA U %
Por recibimosa b$ U Ÿ #U #U Ÿ %Ec d c d c d< < < <5 5 5 5" # " #
Así dado se escoge como el más grande entero tal que% % ! 7Ð Ñ
"7Ð Ñ )E"%
%Ÿ#
Puesto que la suma de la sumatoria en es finita existe tal quea b a b% 5 −%
si entonces tenemos5 ß 5 5Ð Ñ" # %
! a b4œ"
R 7Ð Ñ
5 5 7ß4#
#
a b%%< <
" #
#
ß A Ÿ
así siempre que . Por lo tanto es unal l e f< < % % <5 5 " # 5! 5œ"_
" # Ÿ 5 ß 5 5Ð Ñ
sucesión de Cauchy con respecto a , como es completo, entoncesl l† ! ![
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 54
e f e f< :5 55œ" 5œ"_ _ es una subsucesión de la cual es convergente en normal l† !.
§4. . LA ALTERNATIVA DE FREDHOLM EN ESPACIOS DE HILBERT
Sea un espacio de Hilbert y un operador completamenteL X À L L⎯→continuo.
8. . TEOREMA Sea el operador lineal adjunto entonces esX À L L X‡ ‡ ‡ ‡⎯→completamente continuo, es de dimensión finita y ademásR M Xa b(aquí, indica el núcleo de )R M X M Xa b a b a b a b" R M X œ R M Xdim dim ‡
es cerrado (donde es el recorrido de )V M X V M X M Xa b a b a b a b a b# V M X œ R M X ‡ ¼
a b a b a b$ V M X œ R M X‡ ¼
Si , entonces es una biyección ydim dimR M X œ R M X œ ! M Xa b a b‡además es acotado.a bM X "
Probaremos el teorema inicialmente en el caso de un espacio de Hilbert,pues el teorema es verdadero en espacios de Banach como lo veremosposteriormente en 4.1.
8.1 . LEMA 1 Sea un operador lineal y completamente continuo,X À L L⎯→entonces es completamente continuoX ‡ .
DEMOSTRACIÓN. Sea una sucesión acotada en . El lema se sigue alÖB × L8 8œ"_
demostrar la existencia de una subsucesión de tale f e fX B X B‡ ‡8 85œ" 5œ"
_ _5
que sea convergente. Porque de esta afirmación se siguee fa bX X B‡ 8 5œ"_
5
que
¼ ¼ ˆ ‰ ˆ ‰ ¡X B X B Ÿ X B B ß X B B‡ ‡ ‡ ‡8 8 8 8 8 8
#: ; : ; : ;
œ B B ß X X B B Ÿ B B X X B X X B ¡ˆ ‰ ¼ ¼¼ ¼ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰8 8 8 8 8 8 8 8‡ ‡ ‡
: ; : ; : ; : ;
Puesto que es acotada independiente de y , y ¼ ¼ a ba bB B : ; ÖX X B ×8 8 8‡
; : 5
es una sucesión de Cauchy, es una sucesión de Cauchy. AsíÖX B ׇ _8 5œ"5
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 55
e fX B X‡ ‡8 5œ"
_5
es convergente y es completamente continua. Finalmenteveamos la afirmación, se tiene
l l l ll l l ll lX B Ÿ X B œ X B‡ ‡5 5 5
entonces es acotada ya que es continua luego acotada yÖX B × X‡ _5 5œ"
ÖB × X5 5œ"_ es una sucesión acotada. Así, como es completamente continuo
se sigue que existe una subsucesión de tal queÖX B × ÖX B ׇ _ ‡ _7 55œ" 5œ"5
ÖX X B ×a b‡ _7 5œ"5
es convergente como se queria.
8.2 . LEMA 2 Sea es un operador lineal completamenteX À L L⎯→continuo, es de dimensión finita yR M Xa b dim dimR M X œ R M Xa b a b‡DEMOSTRACIÓN. Supongamos por contradicción que no esdimR M Xa bfinito, entonces existe una sucesión ortogonal tal que Ö × œ X: : :8 8 88œ"
_
para todo . Por lo tanto para cada 8 7 Á 8
l l l lX X œ œ #: : : :8 7 8 7# #
pero esta es una contradicción contra el hecho de que algunaa bposubsucesión de es convergente.ÖX ×:8
Para la segunda parte del lema es suficiente demostrar que
dim dimR M X R M Xa b a b‡
Pues en estas condiciones se tiene la otra desigualdad así
dim dim dimR M X œ R M X R M Xa b a b a b‡‡ ‡
Para mostrar la afirmación consideremos dos casos, cuando es deLdimensión finita y cuando es de dimensión infinita.L
Supongamos entonces que es de dimensión finita, digamos queLdimL œ 7. En estas condiciones
7 œ V M X R M X œ V M X R M Xdim dim dim dima b a b a b a b‡ ‡
Sean ahora entonces tenemos la existencia deB − V M X ß C − R M Xa b a b‡algún tal queA − L
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 56
B œ M X Aa bademás
ØBß CÙ œ M X Aß C œ Aß M X C œ ! ¡ ¡a b a b‡Por consiguiente , asíB − R M Xa b‡ ¼
V M X § R M Xa b a b‡ ¼
y
dimVa bM X Ÿ R M X œ 7 R M X œ V M Xdim dim dima b a b a b‡ ‡ ‡¼
Por simetría (pues yV M X § R M X œ R M Xa b a b a b‡ ‡‡ ¼
dimV M X Ÿ âa b‡ )
dim dimV M X Ÿ V M Xa b a b‡
Por consiguiente
dim dimV M X œ V M Xa b a b‡
Así,
dim dim dim dimR M X œ 7 V M X œ 7 V M X œ R M Xa b a b a b a b‡ ‡
Supongamos ahora que no es de dimensión finita, pero separable. SeaLÖ ß ßá ß × R M X: : :" # 5 una base ortonormal para .a bComo se está suponiendo que es separable existenL
Ö ß ßá×: :5" 5#
tales que es una base ortonormal para (en el sentido de queÖ × L:7 7œ"_
para todo en , )B L B ØBß Ù œ !limRÄ_ 4œ"
4 4¿ ¿!R : :
Sea , claramente : B œ ØBß Ù : œ :8 5 5 85œ"
8
8‡! : :
Para cada sea7
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 57
L œ 1/8Ö ß ßá ß ×7 " # 7: : :
el subespacio generado por . Claramente se tieneÖ ß ßá ß ×: : :" # 7
y : X: L § L : X : L § L 7 7 7 7 7 7 7 7‡ "a b
además
a b: X: œ : X :7 7 7 7‡ ‡
Denotemos por
yW œ M : X: W œ M : X :7 7 7 7 7L L
7‡ ‡a b a b¹ ¹
7 7
Para , para , pues7 5 W œ ! 4 œ "ß #ßá ß 57 4:
a b a bŒ !M : X: œ : X Ø ß Ù œ : X œ œ !7 7 4 4 7 4 5 5 4 7 4 4 45œ"
7
: : : : : : : : :
. .a b Œ ! ! ! ! !¢ £"
7 7 3 3 7 3 3 5 5 7 5 5 6 6 73œ" 3œ"
7 7 7 7 7
5œ" 5œ" 6œ"
: : X: œ : X ß œ : œ − L! : ! : : : ! : ! :
. .
Así existen soluciones independientes de en5 ß ßá ß W B œ !) ) )7 7 7 7‡
" # 5
L7 y podemos suponer que
e f) ) )7 7 7" # 5ß ßá ß
es un conjunto ortonormal para cada . Ahora cada una de las 7 5sucesiones
˜ ™: 4 œ "ß #ßá ß 57 7 7œ5"
_)
4
son acotadas; así, como es completamente continuo, podemosX ‡
suponer sin pérdida de generalidad que
lim7Ä_
‡7 7 4X : œ Z 4 œ "ß #ßá ß 5)
4
Pero
: X : Z œ : X : Z M : Z Ä ! 7 Ä _7 7 7 4 7 7 7 4 7 4‡ ‡ ‡) )
4 4ˆ ‰ a b a b, cuando
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 58
Como entoncesl l: Ÿ "7
lim7Ä_
7 7 7 4‡: : œ Z 4 œ "ß #ßá ß 5X )
4
. .a ba bŒ ‡
7Ä_ 7Ä_ 7Ä_7 7 5 5
5œ"
7
aA − L M : A œ A : A œ A ØAß Ù œ !lim lim liml l l la b ¾ ¾! : :
. .
Así
lim lim7Ä_ 7Ä_
7 7 7 7 4‡) )
4 4œ : X : œ Z 4 œ "ß #ßá ß 5 %a b
(recuerde que )W œ ! œ M : X :7‡ ‡
7 7 7 7) )4 4
a b
Puesto que
cuando : Z œ : Z : Z Z Ä ! 7 Ä _7 7 4 7 7 4 7 4 4) )4 4
ˆ ‰ a bentonces
lim7Ä_
7 7 4: œ Z 4 œ "ß #ßá ß 5)4
Por lo tanto
lim7Ä_
‡ ‡7 7 4X : œ X Z 4 œ "ß #ßá ß 5)
4
Ahora como antes
: X : X Z œ : X : X Z M : X Z Ä ! 7 Ä _7 7 7 4 7 7 7 4 7 4‡ ‡ ‡ ‡ ‡) )
4 4ˆ ‰ a b a b
Así
lim7Ä_
7 7 7 4‡ ‡: X : œ X Z 4 œ "ß #ßá ß 5)
4
Por consiguiente
Z œ X Z 4 œ "ß #ßá ß 54 4‡
y puesto que
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 59
ØZ ß Z Ù œ Ø ß Ù œ%
3 4 7 7 347Ä_
a blim ) ) $
3 4
Luego
dim dimR M X 5 œ M Xa b a b‡
8.3 . LEMA 3 Sea un operador lineal y completamente continuoX À L L⎯→entonces V M Xa b œ R M Xa b‡ ¼.
DEMOSTRACIÓN. Sea así para . SeaA − VÐM XÑ A œ ÐMXÑ@ @ − LC − R M Xa b‡ entonces
ØAß CÙ œ M X @ß C œ @ß M X C œ ! ¡ ¡a b a b‡por lo tanto
y A − RÐM X Ñ V M X § RÐM X ч ¼ ‡ ¼a b
Antes de mostrar la otra inclusión veamos que es cerrado. ParaV MXa besto sea una sucesión en y supongamos queÖA × VÐM XÑ7 7œ"
_
l l l lA A Ä ! 7 Ä _ < A Ÿ <7 7cuando , así existe una constante tal que para todo , ahora como7 œ "ß #ßá
VÐM XÑ § R M X a b‡ ¼
para cada existe un único tal que , puede7 @ − R M X A œ M X @7 7 7¼a b a b
suponerse que la sucesión es acotada, puesto que supongamosÖ@ ×7 7œ"_
por contradicción que existe una subsucesión tal que ÖA × @ Ä _7 75œ"_
5 5¼ ¼
cuando . Si denotamos por entonces y7 Ä _ D œ @ D œ "5 7 7 7"
@5 5 575¼ ¼ l l
a bM X D œ † A7 7"
@5 575¼ ¼ . Por lo tanto
lim7 Ä_
75
5a bM X D œ !
Puesto que y completamente continuo podemos suponer,l lD œ " X75
sin pérdida de generalidad que . Por lo tantolim7 Ä_
75
5X D œ ?
lim lim7 Ä_ 7 Ä_
7 75 5
5 5D œ XD œ ?
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 60
también se tiene que , y por lo tanto .lim7 Ä_
75
5X D œ X? ? œ X?
Puesto que entonces por continuidad de para todo se tienel lD œ " X 77 55
que .l l? œ "
Pero y es cerrado así y porÖD × § R M X R M X ? − R M X7 5œ"_ ¼ ¼ ¼
5a b a b a b
otra parte , así . Por lo tanto obteniendoa b l lM X ? œ ! ? − RÐM XÑ ? œ !ß
una contradicción.a bpo
Esta contradicción prueba la acotación de la sucesión . Por laÖ@ ×7 7œ"_
continuidad completa de existe una subsucesión de X Ö@ × Ö@ ×7 75œ"_ _
7œ"5
tal que la sucesión converge. Como entoncesÖX@ × @ œ X@ A7 7 7 7œ"_
5 5 5 5klim lim7 Ä_ 7 Ä_
7 75 5
5 5@ œ X@ A así este límite existe, denotémoslo por
@ œ @lim7 Ä_
75
5
entonces
si y sólo si y @ œ X@ A A œ M X @ A − V M Xa b a besto prueba que es cerrado.V M Xa bPara ver la otra parte del lema supongamos que
V M X Á R M Xa b a b‡ ¼
Puesto que existeV M X § R M Xa b a b‡ ¼
con @ − V M X R M X @ Á !a b a b l l¼ ¼‡
Sea entonces y se tieneA − L M X A − V M Xa b a b ¡ ¡a b a bM X Aß @ œ Aß M X @ œ !‡
Por lo tanto
para todo ¡a bAß M X @ œ ! A − L‡
así para todo , entonces peroa bM X @ œ ! A − L @ − RÐM X ч ‡
@ − RÐM X Ñ @ œ ! @ œ ! @ Á ! po‡ ¼ en ese caso así , y como l l l l a b
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 61
obtenemos una contradicción. Esta contradicción prueba completamenteel lema.
Veamos finalmente la , primero mostremos que sialternativa de FredholmR M X œ Ö!× V M X œ La b a b, entonces
Si el operador es uno a uno, de manera que siR M X œ !ß M Xa bsuponemos podemos pensar que la cadenaV M X Á La b donde L ¨ L ¨ L ¨ L ¨ â L œ M X L" # $ 5" 5a bˆ ‰consta de infinidad de subespacios, pero esto es imposible pues vamosa demostrar la existencia de un tal que para todo .4 − L œ L 5 4 5" 5
Luego .V M X œ La bPara ver la afirmación suponemos que no existe tal , es evidente que4todos los son distintos. En este caso podemos construir una sucesiónL5
ortonormal tal que y son ortogonales a ÖB × B − L ß B  L L5 5 55œ"_ 5 5" 5"
Para se tiene6 5
XB XB œ B B M X B M X B6 5 5 6 5 6c da b a ben consecuencia, ya quel l a bXB XB "6 5
"
B M X B M X B − L6 5 45"a b a b
Luego, de la sucesión no se puede extraer ninguna subsucesiónÖXB ×5 5œ"_
convergente, lo cual contradice al hecho de ser completamenteXcontinuo. Recíprocamente mostremos que si , se tieneV M X œ La bR M X œ Ö!×a b .
Como , tenemos en virtud del lema 3. queV M X œ La bV M X œ R M X œ L R M X œ Ö!×a b a b a b‡ ‡¼ entonces , pero por el lema 2.dim dimR M X œ R M X œ ! R M X œ Ö!×a b a b a b‡ , por lo tanto lo cualqueriamos demostrar.
. .Para aclarar usando la ortogonalidad se tieneß
l l l la b a bXB XB œ ØB ß B Ù B M X B M X B "6 5 5 5 5 5 6# #
. .
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 62
4.1 .ALTERNATIVA DE FREDHOLM PARA ESPACIOS DE BANACH
9. . PROPOSICIÓN Sea un espacio de Banach y supóngase que „ „ „X À ⎯→es un operador compacto y , es sobre si y sólo si- ‚ - -− Á ! M Xa ba b-M X es uno a uno.
DEMOSTRACIÓN. Sabemos por el corolario de 48 del cápitulo 1. que VÐ M XÑ œ R M X- -a b‡ ¼
VÐ M X Ñ œ R M X- -‡ ¼a by además supongamos que es sobre. Si no es uno a uno,a b a b- -M X M Xexiste , tal que con . Ya que es0 − M X 0 œ ! 0 Á ! M X! ! !„ - -a ba b a bsobreyectivo existe tal que además tenemos0 − M X 0 œ 0 Á !" " !„ -a ba b a b a b a ba b a ba ba ba b- - - -M X 0 œ M X M X 0 œ M X 0 œ !#
" " !
entonces
y 0 − RÐ M XÑ 0 Â RÐ M XÑ" "#- -
Por la misma razón existe tal que , así0 − M X 0 œ 0 Á !# # "„ -a ba b a b a b a b a b a b a ba ba b- - - -M X 0 œ M X M X 0 œ M X 0 œ !$ # #
# # "
entonces , además0 − RÐ M XÑ#$-
a b a b a ba b- -M X 0 œ M X 0 œ 0 Á !## " !
Por inducción existe una sucesión tal que˜ ™08 8œ"
_
y a b a b a b a b a ba b- - -M X 0 œ 0 Á ! M X 0 œ M X 0 œ !8 8"8 ! 8 !
esto quiere decir que
0 − RÐ M XÑ • 0 Â RÐ M XÑ- -8" 88
para todo entero positivo . Entonces8
R M X Á RÐ M XÑa b- -8 8"
lo cual contradice la proposición 49 del Capítulo 1.
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 63
Recíprocamente, supongamos que es uno a uno, esto quierea b-M X
decir que es sobreyectivo ( pues ). Por loa b a b a b- - -M X V M X œ R M X‡ ‡ ¼
anterior tenemos que es uno a uno y comoa b-M X ‡
V M X œ R M Xa b a b- - ‡ ¼
entonces es sobreyectivo.a b-M X
10. . Si es un dominio acotado en y entoncesEJERCICIO H ! "d ! "R
la inyección
3 À Ð Ñ Ð Ñ? Ä 3 ? œ ?
V H V H" !⎯→ a bes una aplicación lineal compacta
NOTA. diámetro del? B ? C l l? B ? C l l? B ? C llBCl lBCl lBCl
a b a b a b a b a b a b! " "œ lB Cl Ÿ †" ! " !a bH
§5. TEOREMA DE LAX MIGRAM
11. . LEMA Sea una forma bilineal definida en un espacio de HilbertF Bß Ca breal . SupóngaseL
a b a b l ll l" F Bß C Ÿ G B C Bß C − L para todo #
a b a b l l# F Bß B G B G ! B − L" "# para todo .
Sea un funcional lineal continuo en . Existen aplicaciones linealesP LX À L L W À L L⎯→ ⎯→ tales que
para todo F XBß C œ ØBß CÙ Bß C − La b para todo F Cß WB œ ØBß CÙ œ ØCß BÙ Bß C − La bAdemás, y son biyecciones y ( el operador adjunto de )X W X œ W X X‡ ‡
DEMOSTRACIÓN. Para fijo, se define . Por es+ − L P B œ F +ß B " P B+ +a b a b a b a bun funcional lineal acotado en por el teorema de Riesz-Frechet existeLun único elemento tal que, − L
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 64
para todo .F +ß C œ Ø,ß CÙ C − La bDenotando por entonces así la aplicación, F +ß C œ Ø +ß CÙ) )a b)
): es una aplicación uno a uno. Más aún por la hipótesis L L #+ Ä +⎯→ a b
se tiene que
l l a b l ll la b a b) ) )+ œ F +ß + Ÿ G + +#"
así
l l l l)+ Ÿ G +#
obteniéndose así que es continua.)
Veamos ahora que el rango de es cerrado, así supongamos que ) Ö, ×7 7œ"_
es una sucesión en el rango de tal que)
lim7Ä_
7l l, , œ ,
para algún , ahora para y . Por se, − L , œ + 7 œ "ß #ßá + − L #7 7 7) a btiene que
G + + Ÿ F + + ß + + œ + + ß + +" ; : ; : ; : ; : ; :#l l a b a b ¡)
œ , , ß + + Ÿ , , + + ¡ l ll l; : ; : ; : ; :
de donde se obtiene la desigualdad
l l l l+ + Ÿ , ,; : ; :"G"
siguiéndose que es una sucesión de Cauchy en , así existeÖ+ × L7 7œ"_
+ − L + + œ ! tal que .lim7Ä_
7l lPor la continuidad de se recibe)
) )+ œ + œ , œ ,lim lim 7Ä_ 7Ä_
7 7
se sigue entonces que (Rango de ) y es cerrado. sea también, − V) ) )a bsobre, porque si suponemos que no es sobre entonces existe tal) A − Lque y , teniéndose quel lA Á ! A − VÐ Ñ) ¼
F AßA œ Ø AßAÙ œ !a b )
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 65
Por la desigualdad se tienea b# G A Ÿ F AßA"
#l l a bDe aquí se sigue que , llegando a una contradicción. Estal lA œ !
contradicción muestra que es sobreyectiva.)
Puesto que es uno a uno, sobre y continua, entonces tiene un inverso) )continuo que es una biyección, denotemos con .X œ )"
Si , entonces Bß C − L ØBß CÙ œ XBß C œ F XBß C ¡ a b)
La existencia de es probada en forma similar, dados se sigueW Bß C − Lde la definición de y queW X
¡ ¡a bXBß C œ F XBß WC œ Bß WC
Por lo tanto X œ WÞ‡
12. (Lax Milgram).TEOREMA Sea satisfaciendo las mismas hipótesis delFlema de 11. Sea una función lineal continua de . Existen únicosP Lelementos y en tales que@ A L
para todo F @ß œ P œ F ßA − La b a b a b: : : :
DEMOSTRACIÓN. Por el teorema de Riesz-Frechet existe un único talB − Lque
P œ ØBß Ù a − La b: : :
Sea , donde y son dados por el lema, si se@ œ XB A œ WB X W − L:
tiene
F @ß œ ØBß Ù œ Pa b a b: : :
y
F ßA œ ØBß Ù œ Pa b a b: : :
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 66
Para la unicidad supongamos que y . Entonces si@ œ XB @ œ XB" "
F @ß œ F @ ßa b a b: :" se sigue que
, de donde ØB Ù œ ØB ß Ù ØB B ß Ù œ ! a − L: : : :" "
por lo tanto
así B œ B @ œ XB œ XB œ @" " "
Análogamente se muestra que es único.A
§6. SOLUCIONES GENERALIZADAS DE PROBLEMAS CON VALORES DE FRONTERAPARA ECUACIONES ELIPTICAS DE SEGUNDO ORDEN.
13. Denotemos como es costumbre por
PÒ?Ó œ H + H ? , H ? -? œ 0 3 34 4 3 3a bdonde , son funciones acotadas y medibles en un dominioH œ + ß , ß -3 34 3
``B3
H § dR .
Como ya lo habíamos definido en varias ocasiones es un operadorPelíptico cuando
salvo para a b a bM + B ! œ !ß 4 œ "ß #ßá ßR34 3 4 4% % %
También recordamos que es fuertemente elíptico cuandoP
a b a b Œ !MM + B +34 3 4 !3œ"
R
3#% % %
Considérese la ecuación
PÒ?Ó œ 0
y supóngase que son funciones reales, continuas y de clase en + ß ,34 3"V H
además medible y acotada entonces y real.- 0 − Ð ÑV H#
14. . DEFINICIÓN 1 Se dice que una función a valor real es una : función deprueba si y tiene soporte compacto contenido en : V :− Ðd Ñ# R .H
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 67
Multiplicando a la izquierda la ecuación por una función dePÒ?Ó œ 0prueba obtenemos:
: : : : : : :PÒ?Ó œ 0 Í PÒ?Ó œ H + H ? , H ? -? œ 03 34 4 3 3a bintegrando sobre se obtieneH
' ' ' 'H H H H
: : : :P?.B œ H + H ? .B , H ?.B -? .B3 34 4 3 3a bpero integrando por partes la primera integral, teniendo en cuenta que=9: §: H es compacto, obtenemos
H + H ? .B œ + H ? H .B' 'H H
: :3 34 4 34 4 3a b a b a bLuego
' 'H H
: : : :P?.B œ + H ? H , H ? - ? .B "c d a ba b a b a b34 4 3 3 3
Nótese además que
' ' 'H H H
+ H ? H .B œ + H H ? .B œ ?ÒH + H Ó.B34 4 3 34 3 4 4 34 3a b a b a b a b a ba b: : :
y
(se ha integrado por partes)' 'H H
a b a b a b: :, H ? .B œ ?H , .B3 3 3 3
Luego se puede escribir en la formaa b" ' ' '
H H H
: : : : :P?.B œ ?Ò H + H H , -Ó .B œ ?P .B4 34 3 3 3‡a b a ba b
donde
P œ H + H H , -‡4 34 3 3 3: : : :a b a ba b
P P‡ es llamado el " " de adjunto formal
La anterior ecuación puede ser escrita en la forma
a b a b a b a bMMM P?ß œ F ?ß œ ?ÞP: : :‡
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 68
donde
F ?ß œ + H H ? , H ? - ? .Ba b c da ba b a ba b a b: : : :'H
34 3 4 3 3
y
para a b?ßA œ ?A.B ?ßA − Ð Ñ'H
_ H#d
Si para y entonces, œ ! 3 œ "ß #ßá ßR + œ + 3ß 4 œ "ß #ßá ßR3 34 43
P œ P: :‡
(pues y ) y en este casoP œ H + H - P œ H + H -: : : : : :3 34 4 4 34 3‡a b a b
se dice que es , además se tiene que es un funcionalP Fauto-adjuntobilineal en y tal que? :
.F ?ß œ F ß ?a b a b: :
15. . DEFINICIÓN 2 Supóngase que y . Sea + ß , − Ð Ñ -ß 0 − Ð Ñ ? − Ð Ñ34 4" # #V H _ H _ H
se dice que es una de? solución débil
P? œ 0 # a bsi para toda función de prueba se tiene:
a b a b a b3@ ?ß P œ 0߇: :
Por otra parte es una de? solución débil
P ? œ 0 $‡ a bsi para toda función de prueba se tiene:
a b a b a b3@ P ß ? œ Þ0‡ : :
Nótese además que si se supone que los y son medible y acotados+ ß , -34 4
en , entonces la forma bilineal es acotada en y puedeH V VF ‚" "
extenderse por continuidad a ver §1. teniéndose[ [" "‚ a b16. . DEFINICIÓN 3 Sea se dice que es una de la? − ?[" solución débilecuación si para toda función ver § . se tiene queP? œ 0 − #
‰: [" a b
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 69
a b a b a b@ F ?ß œ 0ß: :
Ahora se dice que es de la ecuación si? P ? œ 0solución débil ‡
para todo a b a b a b@3 F ß ? œ ß 0 −‰
: : : ["
17. . PROPOSICIÓN Si para entonces las+ ß , − 3ß 4 œ "ß #ßá ßR34 3"V Ha b
definiciones y son equivalentesa b a b# $ .
DEMOSTRACIÓN. Supóngase que para y+ ß , − Ð Ñ 3ß 4 œ "ß #ßá ßR34 3"V H
supongase que es una solución de en el sentido de la definición? − #[" a b3. Si es una función de prueba entonces y tiene soporte: : V :− Ðd Ñ# R
compacto contenido en por lo tanto ; puesto que existeH : [ [− ? −‰" "
una sucesión tal que? − Ð Ñ8"V H
cuando l l? ? Ä ! 8 Ä _8 "
Por la continuidad de se sigue queF
lim8Ä_
8F ? ß œ F ?ß œ 0ßa b a b a b: : :
Integrando por partes tenemos
a b a ba b a ba b? ß P œ ? ß H + H H , -8 8 4 34 3 3 3‡: : : :
œ ? H + H H , - .B'H
8 4 34 3 3 3a ba b a ba b: : :
œ ? H + H .B ? H , .B ? - .B' ' 'H H H
8 4 34 3 8 3 3 8a b a ba b: : :
œ + H H ? .B , H ? .B ? - .B' ' 'H H H
34 3 4 8 3 3 8 8a b a b a b: : :
œ + H H ? , H ? ? - .B'H
a ba b a b a b34 3 4 8 3 3 8 8: : :
œ F ? ßa b8 :
Puesto que convergencia débil con respecto a la -norma implical l† "
convergencia débil respecto a la -norma se sigue quel l† !
a b a b a b?ß P œ ? ßP œ F ? ߇ ‡
8Ä_ 8Ä_8 8: : :lim lim
y así
a b a b?ß P œ 0߇: :
de donde es una solución en el sentido de la definición 2.?Análogamente si es una solución de en el sentido de la definición 3.? $a b
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 70
entonces es solución de en el sentido de la definición 2., basta ver? $a bque en forma totalmente análogaa b a bP ß ? œ F ß ?: :8 8
a b a b a ba bP ß ? œ ? H + H .B ? , H .B - ? .B œ: : : :8 8 3 34 4 8 3 3 8' ' 'H H H
œ + H ? H , ? H - ? .B'H
a ba b a b a b34 3 8 4 3 8 3 8: : :
œ F ß ?a b: 8
Ahora supongamos que es una solución de en el sentido de la? #a bdefinición 2. Sea , no es difícil demostrar que existe una sucesión: [−
‰"
Ö × − Ðd Ñ: : V :7 7 77œ"_ # R tal que y teniendo soporte compacto contenido
en además . AhoraH : :lim7Ä_
7 "l l œ !
a b a b a b@33 ?ß P œ 0߇7 7: :
más aún
a b a b?ß P œ F ?߇7 8: :
para esto como existe una sucesión tal que? − Ö? × § Ð Ñ[ V H" 8 8œ"_ "
lim8Ä_
8 "l l? ? œ !
y así para fijo8
a b a b a b a b?ß P œ ? ßP œ F ? ß œ F ?߇ ‡7 8 7 8 7 7
8Ä_ 8Ä_: : : :lim lim
Ahora teniendo en cuenta tenemosa b@33
F ?ß œ 0ßa b a b: :7 7
Puesto que y el producto interno son continuos, se sigue queF
F ?ß œ F ?ß œ 0ß œ 0ßa b a b a b a b: : : :lim lim7Ä_ 7Ä_
7 7
de donde es una solución de en el sentido de la definición 3.? #a bUtilizando tecnicas análogas se prueba que si es solución de en el? $a bsentido de la definición 2., entonces es solución de en el sentido de? $a bla definición 3.
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 71
18. Consideremos ahora el caso particular del Laplaciano, esto es laecuación diferencial parcial
PÒ?Ó œ ? œ H ? 3 œ "ß #ßá ßR?a b #3
Esto es caso en el cual el operador es auto-adjunto. En esteP? œ P ?‡
caso si es una función de prueba entonces:
Ø?ß Ù œ F ?ß œ H H ? .B 3 œ "ß #ßá ßR: : :" 3 3a b a b a b'H
Así según la definición 3., es una solución débil de si? − Ð Ñ P ? œ 0[ H" a bpara toda se tiene: [ H− Ð Ñ
‰"
F ?ß œ 0ßa b a b: :
pero
F ?ß œ H H ? .B œ Øf?ßf Ù.Ba b a b a b: : :' 'H H
3 3
o sea
, ' 'H H
Øf? f Ù .B œ 0ß œ 0 .B: : :a bLuego es una solución débil de cuando para toda? − Ð Ñ PÒ?Ó œ 0[ H"
? − Рщ[ H" se tiene
.'H
ˆ ‰ ¡f?ßf 0 .B œ !: :
19. . Sea un dominio acotado, para cada el APLICACIÓN H _ H§ d 0 − Ð ÑR #
problema
a b a b a b¹M
PÒ?Ó œ ? B œ 0 B B −
? œ !
? H
`H
tiene una única solución débil .? − Рщ[ H"
DEMOSTRACIÓN. Sea , consideremos el funcional0 − Ð Ñ_ H#
0 À Ð Ñ ds ‰[ H" ⎯→
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 72
dado por . Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz0 œ 0 .Bsa b: :'H
resulta
½ ½a b l l l l l l l lº º È0 Ÿ 0 .B Ÿ 0 Ÿ 0 -s : : : :'H
! ! ! "
la última desigualdad se sigue de la desigualdad de §2 . LuegoPoincaré a b0s es un funcional lineal acotado, por el teorema de representación deRiesz-Frechet existe un único tal que? − Ð Ñ
‰[ H"
0 œ 0 .B œ Ø?ß Ù œ Þf?ßf .Bsa b ¡: : : :' 'H H
"
Luego para todo se tiene: [ H− Рщ"
'H
ˆ ‰ ¡f?ßf 0 .B œ !: :
lo cual demuestra que es una solución débil del problema y por el? Ma bmismo teorema de Reisz-Frechet es única.
20. . DEFINICIÓN Supongamos que es una región en para ,H !d ! "R
se dice que es de clase si para todo existe un abierto ` : − ` KH V H#!
en y un abierto en tal que para existe un enterod Z d : − KR 8"
" Ÿ 5 Ÿ R 2 − y una función tal queV H#!a b = y
` K B ßá ß B ßáBB ßá ß B ß B ßá ß B − ZB œ 2 B ßá ß B ß B ßá ß B
H Ÿa b‚ a ba b" 5 R" 5" 5" R
5 " 5" 5" R
21. .TEOREMA DE SCHAUDER Si es una región en , es de clase ,H H Vd `R #!
H es acotado
PÒ?Ó œ + B , B - B ?!! !a b a b a b4œ"3œ" 3œ"
R R R
34 3` ? `?
`B `B `B
#
3 4 3
para todo es uniformemente elíptico, y? − ß P + ß , ß - − G Ð ÑV H H #34 3a b !
- Ÿ ! 5 ! 0 − Ð Ñ; entonces existe una constante tal que para todo el" V H !
problema
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 73
en en a b œMPÒ?Ó œ 0
? œ ! `
HH
tiene una única solución en ; y ademásV H#!Ð Ñ
l l l l? Ÿ 5 0# "! !
22. Tomando
•V H V H# #
`
! !
HÐ Ñ œ ? − Ð Ñ ? œ !š ‚ ¹ ›
obtenemos claramente un espacio de Banach cerrado.
Consideremos el operador
•P À Ð Ñ Ð Ñ
? Ä PÒ?ÓV H V H#! !⎯→
lo que dice el teorema de Schauder es que es un operador uno a uno yPsobre (es decir, es una biyección).P
Por las definiciones resulta que es uno a uno ya que entoncesP P ? œ !a bpor el principio del máximo débil . Así? œ !
•P À Ð Ñ Ð Ñ" #
V H V H! !⎯→
es acotado.
l l l ll la bP 0 Ÿ P 0" "#!
basta para tener la desigualdad deseada tomar 5 œ P""l l
Como tenemos . Resta mostrar que el operadorP 0 œ ? ? Ÿ 5 0"# "a b l l l l! !
es sobre.
Supongamos que ? − Ð Ñ : !ß : − dV H#
l l !! !¹ ¹ ¹ ¹? œ l?l .B#ß:4œ"3œ" 3œ"
R R` ? `?
`B `B `B
: ::'
H
#
3 4 3
":
R
23. . Para , si se toman las condicionesDESIGUALDAD DE SOBOLEV ! "!
del teorema de Schauder y es suficientemente grande tal que:
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 74
a b a b+ " œ :ßPß entonces existe una constante tal que! œ œ HR:
23.1l l l l a b? Ÿ ?" #ß:! œ
a b l l l l a b, ? Ÿ - 0 23.2#ß: " !
a b l l l l a b- ? Ÿ 5 0 23.3" #! !
También se tiene que
l l l l l l? Ÿ - 0 Ÿ - 0" _! !
En general se tiene que
l l l l l l? Ÿ - ? Ÿ -- 0" #ß:! "! !
24. . La inyección es compacta3 À Ð Ñ Ð Ñ? Ä 3 ? œ ?
V H V H#! !⎯→a b
DEMOSTRACIÓN. Supongamos que es una sucesión acotada dee f?5 5œ"_
V H #!
Ð Ñ < !, esto quiere decir que existe tal que
l l l l ! !!½ ½ ½ ½? œ ? Ÿ <5 5#3œ" 4œ"3œ"
R R R`? ` ?`B `B `B! !
! !
5 5
3 3 4
#
entonces tenemos que la sucesión , cuandoe f š › š ›? ß5 5œ"_ `? ` ?
`B `B `B5œ" 5œ"
_ _5 5
3 3 4
#
" Ÿ 3ß 4 Ÿ R Ð Ñ son sucesiones acotadas en . Cada una de estasV H!
sucesiones estan en las hipótesis del teorema de Arzela-Ascoli, así existeuna función definida en y una subsucesión de tal que? ? ?H e f e f8 58œ" 5œ"
_ _
? Ä ?ß Ä ß Ä8`? ` ?`B `B `B `B `B `B
`? ` ?? 8
3 3 3 4 3 4
# #
uniformemente en , para todo .H " Ÿ 3ß 4 Ÿ R
Por la desigualdad 23.1 de Sobolev tenemosa b ( pués )l l ½ ½ ½ ½? ? Ä ! Ä !ß Ä !8 #ß:
`? ` ?`B `B `B `B `B `B
`? ` ?
#ß: #ß:
8 8
3 3 3 4 3 4
# #
y
l l l l? ? Ÿ - ? ?8 8" #ß:!
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 75
por lo tanto
, y , l l l l l l? ? Ä ! ? ? Ÿ ? ? Ä !8 8 8" "! ! !
por lo tanto cuando . Luego es un operadorl l? ? Ä ! 8 Ä _ 38 !
compacto como queriamos demostrar.
EJERCICIO. •P À Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ
3" #V H V H V H! !!
⎯→ ⎯→
V œ P ß X œ 3 ‰ V À Ð Ñ Ð Ñ" V H V H! !⎯→
entonces demostrar que es compacto.X
24. . TEOREMA Supongamos que es un dominio en acotadoH dR
PÒ?Ó œ + B , B - B ?! ! !a b a b a b4œ" 3œ" 3œ"
R R R
34 3` ? `?
`B `B `B
#
3 4 3
para todo , tenemos que el operador es? − Ð Ñ + ß , ß - − Ð Ñ PV H V H# #34 3
uniformemente elíptico, además es de clase . Si` H V #!
•
P À Ð ÑV H V H#! !⎯→ ˆ ‰es uno a uno, donde
•V H V H# #
`
! !
HÐ Ñ œ ? − Ð Ñ ? œ !š ‚ ¹ ›
entonces el problema
¹P Ò?Ó œ 1
?
en H
` œ!H
tiene una solución única para cada , además existe? − Ð Ñ 1 − Ð ÑV H V H#! !
una constante tal que5 !#
l l l l? Ÿ 5 PÒ?Ó ? − Ð Ñ# ##
! !!para todo V H
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 76
NOTA. Este es el mismo teorema de Schauder donde se ha cambiado lacondición por en uno a uno.- Ÿ ! P
DEMOSTRACIÓN. Se selecciona tal que para todo . ! -ÐBÑ . Ÿ ! B − H
(esto se puede hacer pues es continua y compacto) y se defineP H
RÒ?Ó œ PÒ?Ó .?
para todo . Por el teorema de existencia de Schauder para cada? − Ð ÑV H#!
0 − Ð Ñ ? − Ð ÑV H V H! ! existe una única función tal que#
RÒ?Ó œ 0
en además existe tal queH 5 !
l l l l a b? Ÿ 5 RÒ?Ó "#! !
Se define para cada , donde es la única función tal0 − Ð Ñ V 0 œ ? ?V H! a bque en , ( en otras palabras ) y tomemosRÒ?Ó œ 0 ? − Ð Ñ V œ R H V H# "!
X œ 3 ‰ V œ 3 ‰ R"
donde es la inclusión (o inyección ) teniéndose el3 À Ð Ñ Ð ÑV H V H#! !⎯→siguiente diagrama
ΩC ( ) C ( )Ωα 2+α
C ( )Ω α
N−1
ιT
demostraremos que el operador lineal es compacto (lo cual se puedeXhacer como ejercicio). Si en , esto es equivalente a quePÒ?Ó œ 0 H
RÒ?Ó œ 0 .?
esto es equivalente a
? œ X 0 .X ?a b a b
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 77
la cual puede escribirse también en la forma
? .X ? œ X 0a b a bSi denotamos por , entoncesO œ .X
? O ? œ X 0 Í M O ? œ X 0a b a b a b a bLo anterior quiere decir que
PÒ?Ó œ 0 Í ÒM OÓ ? œ X 0 a b a bDemostraremos que es uno a uno. Para demostrarMO À Ð Ñ Ð ÑV H V H! !⎯→esto supongamos que
a ba bM O @ œ ! @ − Ð Ñ V H!
Pero esto equivale a @ O@ œ ! Í @ œ O@ œ .X @ a bDe donde se tiene que , entonces se tiene queQÒ@Ó œ .QX @ œ .@a b .@ œ Q @ œ PÒ@Ó .@a besto es , ya que es uno a uno, tenemos que . Por lo tantoPÒ@Ó œ ! P @ œ ! tenemos que
a bM O À Ð Ñ Ð ÑV H V H! !⎯→
es uno a uno, por el teorema de la alternativa de Fredholm el operadorlineal es sobre, esto es para todo existe tala bM O 0 − Ð Ñ ? − Ð ÑV H V H! !
que (aplicando la definición de sobre a ), esto esa ba b a b a bM O ? œ X 0 X 0equivalente a en , .PÒ?Ó œ 0 ? − Ð Ñß ?l œ ! H V H#
`!
H
Ya que el operador es operador lineal continuo,M O À Ð Ñ Ð ÑV H V H! !⎯→uno a uno y sobre entonces es acotado (Teorema de Banacha bM O "
para operadores lineales) esto es existe una constante tal que5 !$
para todo l l l la ba bMO @ Ÿ 5 @ @ − Ð Ñ! !!
$ V H
Además por el teorema de existencia de Schauder existe tal que5 !
para todo .l l l la b? Ÿ 5 R ? ? − Ð Ñ##
! !!V H
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 78
Si en , para , entonces se tiene que•PÒ?Ó œ 0 ? − Ð Ñ 0 − Ð Ñ H V H V H#! !
a ba b a b a b a ba bM O ? œ X 0 ? œ M O X 0 en , tomando inverso , tenemosH "
l l a b a b l l l ll l a b¼ ¼a b a b? œ M O X 0 Ÿ 5 X 0 Ÿ 5 X 0 #! ! !!"
$ $
Además RÒ?Ó œ PÒ?Ó .? œ 0 .?
Por lo tanto tenemos que
l l l l l l a ba b l l l l? Ÿ 5 R ? œ 5 0 .? Ÿ 5 0 . ?#! ! ! !
Ÿ 5 0 5 X 0 œ 5 " 5 X 0a b a bl ll l l ll l l l! ! !$ $
haciendo obtenemos5 œ 5 " 5 0# $a bl l l l l l? Ÿ 5 0# #! !
NOTA. En resumen se considera el siguiente diagrama conmutativo
ΩC ( ) C ( )Ωα 2+α
C ( )Ω α
N−1
ιT
Se toma RÒ?Ó œ PÒ?Ó .? - B . Ÿ !a basí es equivalente a de dondePÒ?Ó œ 0 ? .X ? œ X 0 a b a b ? O? œ X 0 • O œ .0 Í M O ? œ X 0a b a ba b a b
Supongamos ahora que es un dominio acotado en , de claseH Hd `R
V V H !#34 3
! !ß + ß , ß - − Ð Ñ ! " con
PÒ?Ó B œ + , - B ? Ba b a b a b! ! !4œ" 3œ" 3œ"
R R R
34 3` ? `?
`B `B `B
#
3 4 3
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 79
para todo es uniformemente elíptico y? − Ð Ñß PV H#
0 À ‚ d dBß = Ä 0 Bß =
H ⎯→a b a bes una función de clase en . Consideremos el siguiente problemaV H" ‚ d
en
Ÿa b a b c da b a ba b¹M
PÒ?Ó B œ 0 Bß ? B 2 B
? œ !
H
` H
donde .2 − Ð ÑV H!
25. . DEFINICIÓN Una función se denomina @ − Ð Ñ Ð ÑV H V H# supersolución( ) o solución superior del problema sia bM PÒ@Ó B Ÿ 0 Bß @ B 2 B ßa b c da b a ba b en H
.@ÐBÑ ! ` en H
Si una función satisface las siguientes desigualdadesA − Ð Ñ Ð ÑV H V H#
en PÒAÓ B 0 BßA B 2 Ba b c da b a ba b H
en A B Ÿ ! `a b H
en este caso a se le denomina del problema .A Msubsolución a b26. . TEOREMA Si existen dos funciones y tales que es una@ A @supersolución de , una subsolución de y en a b a bM A M AÐBÑ Ÿ @ÐBÑ H
entonces existe tal que es solución de y? − Ð Ñ ? MV H#! a b@ B Ÿ ? B Ÿ A Ba b a b a b en H
DEMOSTRACIÓN. Se selecciona tal queP !
+ para todo yP H`0 Bß=
`=a b ! B −
y en A B Ÿ = Ÿ @ B - B Ÿ !a b a b a bP H
Se define para todo .QÒ?Ó œ PÒ?Ó ? ? − Ð Ñ P V H#
Por el teorema de existencia de Schauder existe una función ? − Ð Ñ!#V H!
tal que
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 80
en en œ a b a b a ba bQÒ? Ó œ Ò0 BßA B 2 B A B Ó
? œ ! `
!
!
P HH
Por el mismo teorema existe tal que? − Ð Ñ"#V H!
en en œ a b a b a ba bQÒ? Ó œ Ò0 Bß ? B 2 B ? B Ó
? œ ! `
" ! !
"
P HH
Usando inducción podemos asegurar que existe una sucesión ene f?7 7œ"_
V H#!Ð Ñ tal que
en en œ c da b a ba bQÒ? Ó œ 0 Bß ? B 2 B ?
? œ ! `
7 7" 7"
7
P HH
para todo 7 œ "ß #ßá
Demostremos seguidamente que
A B Ÿ ? B Ÿ ? Ÿ @ Ba b a b a b7 7"
para todo . Para ver esto recordemos que para se tiene:B − A BH a b en
en œ a b c da b a b a b a ba ba bQ A B 0 BßA B 2 B A BA B Ÿ ! `
P HH
Además tenemos
en en a b œ a b c da b a b a ba b
MMQÒ? Ó B œ 0 BßA B 2 B A B
? œ ! `!
!
P HH
Restando tenemos
en en œ a bQÒA ? Ó B !
A ? Ÿ ! `!
!
HH
Por el principio del máximo débil en esto esA ? Ÿ !! H
en A B Ÿ ? Ba b a b! H
Además para tenemos@ Ba b en
œ a b c da b a b a ba bQÒ@Ó B Ÿ 0 Bß @ B @ B 2 B@l !
P H
`H
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 81
Restando esta última con recibimosa bMM
Q ? @ 0 Bß @ B 0 BßA B @ B A Bc d a b a b c da b a b a b a b! P
para todo œ Bß B @ B A B ! B −a b" Š ‹a b a ba b a b a b`0
`0 0 P H
y .a b? @ l Ÿ !! `H
Otra vez por el principio del máximo débil y las anteriores desigualdadespodemos concluir que
en ? B Ÿ @ B!a b a b H
suponiendo que A ? Ÿ ? Ÿ @ 5 œ "ß #ßá ß 8 "5 5"
.a b" Aplicando el teorema del valor medio .
las otras desigualdades se demuestran en la misma forma.
Por lo anterior podemos concluir que
AÐBÑ Ÿ ? ÐBÑ Ÿ ? ÐBÑ Ÿ @ÐBÑ8 8"
para todo entero positivo . Por lo tanto el existe para todo8 ? Blim8Ä_
8a bB − ? B œ ? B B −H H. Se define para todo a b a blim
8Ä_8
Denotemos por
1 B œ 0 Bß ? B 2 B ? B7 7" 7"a b c da b a b a ba b P
y
1 B œ 0 Bß ? B 2 B ? Ba b c da b a b a ba b P
Ya que es de clase tenemos que0 V"
lim lim7Ä_ 7Ä_
7 7" 7"1 B œ 0 Bß ? B 2 B ? Ba b c da b a b a ba b
P
para todo œ 1 B B −a b H
Así existe tal que y para todo < ! 1 Ÿ < 1 Ÿ < 7 œ !ß "ß #ßál l l l7 _ _
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 82
Tomemos suficientemente grande tal que . Ya que: " ! R:
lim 7Ä_
7 71 B œ 1 B 1 Ÿ <a b a b l l y se tiene, integrado, que
cuando Œ k k l la b a b'H
1 B 1 B .B œ 1 1 Ä ! 7 Ä _7 7:
:
":
además se tiene que
l l l l l l l l ‘? ? Ÿ - ? ? Ÿ - - 1 1 1 1 Ä !7 8 " 7 8 " # 7 8" #ß: : :!
cuando y . Lo anterior quiere decir que es una7 Ä _ 8 Ä _ Ö? ×7 7œ"_
sucesión de Cauchy en -norma. Entonces converge a enV H"7
!Ð Ñ ? ?
V H"!Ð Ñ-norma.
En lo que sigue demostremos que converge en . Para estoÖ1 × Ð Ñ7 7œ"_ V H!
denotemos por
1 B œ 1 B 1 B œ 0 Bß ? B 0 Bß ? B ? B ? B78 7 8 7" 8" 7" 7a b a b a b c da b a b a ba b a b a b a bP
Ya que y son funciones uniformemente continuas en0 f
y converge en -norma tenemos queH V HH H
‚ Aß @ Ö? × Ð Ñ– —inf sup 7 7œ"_ !
si , existe tal que % % % ! R 8ß7 RÐ Ña b sup
H%k ka b a ba b a bf0 Bß ? B f0 Bß ? B 7" 8"
y
supHP %l l l lf? f? Ÿ < ? ? 7" 8" 7" 8" "!
tenemos
l l l la b a b a ba b1 B 1 C œ f1 B C78 78 78 0
Ÿ f0 ß ? f0 ß ? f ? ? lB ClŠ ‹k k a ba ba b a ba b a b ¹ ¹0 0 0 0 P 07" 8" 7" 8"
Ahora
Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 83
supB Á CBß C − H
l la b a b1 B 1 ClBCl
78 78! Ÿ #."!
donde es el diámetro de teniéndose que. H
l l l l a b a b1 1 œ 1 1 L 1 1 # . œ " #.7 8 8 7 7 8_" "
!! !% % %
Luego , cuando .l l1 1 Ä ! 8ß7 Ä _7 8 !
Por el teorema de existencia de Schauder existe tal que5 !
l l l l l la b? ? Ÿ 5 Q ? ? Ÿ 5 1 1 Ä !ß 8ß7 Ä _7 8 7 8 7 8#! ! !
Esto quiere decir que converge a en entoncesÖ? × ? Ð Ñ8 8œ"_ #V H!
lim8Ä_
8Q ? œ Q ?a b a b QÒ?Ó B œ QÒ? Ó B œ Ò 0 Bß ? B ? B 2 B Óa b a b a b a b a ba blim lim
7Ä_ 7Ä_7 7" 7"P
œ Ò0 Bß ? B ? B 2 B Óa b a b a ba b P
pero
QÒ?Ó B œ PÒ?Ó B ? B œ 0 Bß ? B ? B 2 Ba b a b a b a b a b a ba bP P
Luego es solución de?
en
Ÿa b a b c da b a ba b¹M
PÒ?Ó B œ 0 Bß ? B 2 B
? œ !
H
` H
BIBLIOGRAFIA
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A‘’LLƒ
Espero que el lector haya obtenido provecho de este trabajo en el aprendizaje del análisis no lineal.
Agradezco a mi hijo Juan Armando quien todavía le queda paciencia para ayudarme a colocar estos trabajos en internety darme ánimo para continuar con ellos. También a Nohora y a la Ingeniera Esperanza Nieto quienes leyeron losoriginales y cuidaron, en lo posible, del buen manejo del lenguaje español.
Exitos y bienvenidos a la investigación por internet. Cualquier comentario favor hacerlo llegar a: danojuanos@hotmail.com,danojuanos@tutopia.comdanojuanos@yahoo.com Copyright© Darío Sánchez Hernández
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