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ANÁLISIS
MATEMÁTICO
Profesor Titular: Ing. Eusebio Martín
Profesora Adjunta: Mg. Marta Paz
Docentes Auxiliares: Sonia Acinas- Fabiana E. Veralli-Fabio R. Prieto - María F. Altolaguirre
Mei Yi Lee-CeciliaSubelet-Mabel Gómez-Pamela Loustaunau-
Año 2018
Guía de Trabajos Prácticos 2018 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
2
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejercicio Nº 1: Expresar si son ciertas las siguientes igualdades trigonométricas. Demostrar.
(1.a)xsen
1
xsen
xcos1
22
2
(1.b) xcos1xtg2
(1.c) x2cos21xcos4
(1.d) xcosxsenxcossenx 22
(1.e) senxecxcosxcosgxcot
(1.f)
tgx.xcossenxxcos
Solución
Ejercicio 1.a)
xsen
1
xsen
xcosxsen22
22
xsen
1
xsen
122
Por lo tanto, se verifica que las mencionadas expresiones constituyen una igualdad.
FUNCIONES
Ejercicio Nº 2:
Representar gráficamente las siguientes funciones simples.
(2.a) 1x2
1y
(2.b) 1x4x2y 2
(2.c)x2y
(2.d) x2logy
(2.e)2x
6xy
Solución Ejercicio 2.a)
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3
Se trata de una recta, cuya pendiente es ½.
La ordenada al origen es 1.
La función intercepta al eje de abscisas en 2x .
Representación gráfica:
Representar gráficamente las siguientes funciones combinadas.
(2.f) 4x
1xlog5y
2
(2.g) 2xy 3
(2.h)tgx
xy
(2.i) 2
1
xey
Ejercicio Nº 3: Encontrar los puntos de intersección de las siguientes funciones.
(3.a) 3x4y e x12y
(3b) x tgy
e xcos3y 360x0para
(3.c)2
3xy e5xey
(3.d)2216 yx e 1x2y
Solución
Ejercicio 3.a)
xx 1234
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4
3124 xx
5153 xx e 17y
Ejercicio Nº 4: Grafique una función que pase por los puntos indicados en los ejes de
coordenadas cartesianas y exprésela analíticamente.
(4.a)
(4.b)
Solución Ejercicio 4.a)
Gráfica de la función
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5
La función pasa por los siguientes puntos: P1 (1; 0) y P2 (-2; 2)
Utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
1
12
121 xx
xx
yyyy
1x12
020y
Obtenemos la expresión analítica: 2x2y
Ejercicio Nº 5: Tomando las funciones de los Ejercicios Nº 2 y Nº 4:
Definir Dominio y Recorrido.
Expresar si es Par, Impar, o si no cumple ninguna de las dos condiciones.
Justificar.
Identifique tres funciones que tengan inversa y grafíquelas.
Solución
Ejercicio 5-( Ejercicio 2.a)
12
1 xy
Dominio: y Recorrido:
No es par ni impar
)2(f)2(f no es par y )2(f)2(f no es impar
Tiene inversa. 221 xy y su gráfico es:
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6
SUCESIONES
Ejercicio Nº 6: Escriba los 6 primeros términos de la siguientes sucesiones. Grafique en un
sistema de ejes de coordenadas cartesianas las sucesiones de los apartados a) y b).
(6.a) 2n
1nSn
2
(6.b) 21n2Sn
(6.c) !1n
12n5Sn
(6.d) 4n2
n5)1(Sn n
6.e) !2
2)1(
2
1
nnSn
n
(6.f) 2
1n
n3
!n)1(Sn
Solución Ejercicio 6.a)
(6.a) 2n
1nSn
2
Sn 0 ; 3/4; 8/5; 15/6; 24/7; 35/8
A continuación, presentamos la gráfica que sería:
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7
Ejercicio Nº 7: Escriba el término general de las siguientes sucesiones.
(7.a) ;...14
1 ;
7
1 ;
2
1 ;1Sn
(7.b) ;...4
25;
3
16;
2
9;4Sn
(7.c) ;...24
5;
3
2;
2
3;2Sn
(7.d) ;...17
16;
5
4;
5
4;1 Sn
(7.e) ;...19
3;
12
3;
7
3;
4
3Sn
Solución Ejercicio 7.a)
2
12
n
Sn
Ejercicio Nº 8: De las sucesiones de los Ejercicios: Nº 6 apartados 6.a) y 6.b) y Nº 7 apartados
7.a) y 7.b) expresar:
Si las mismas son crecientes o decrecientes.
El Intervalo.
Cotas y Extremos. Represente gráficamente.
Solución
Ejercicio 8 (Ejercicios: Nº 6.a)
La sucesión es estrictamente creciente;
El intervalo ;0
Cota superior: no tiene
Cota inferior 0k
Extremo inferior = 0
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8
LÍMITE DE SUCESIONES
Ejercicio Nº 9: De las siguientes sucesiones:
Halle sus límites.
Compruebe mediante la definición teórica del límite de una sucesión.
Realice la verificación correspondiente para ε=0.01.
(9.a) 1n4
3Sn
2
(9.b) )n.82/(n.3Sn
(9.c) )5n/()8n(Sn
(9.d) )4n4n/()4n(Sn 22
(9.e) )4n/()3n(Sn 22
(9.f) )5n4n/()n5(Sn 22
Solución
Ejercicio 9.a)
Su límite es:
0
n
1
n
n4
n
3
lím
22
2
2
n
Comprobación mediante la definición teórica del límite de una sucesión.
01,001n4
32
01,014
301,0
2
n
Resolviendo llegamos a N(ε) ≥ 8,67 en este caso particular se puede tomar un n=9
Verificación
01,001)9(4
32
0,0093<0,01 se verifica
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9
LÍMITE DE FUNCIONES
Ejercicio Nº 10: Encuentre la expresión analítica de las funciones, cuyos gráficos son los
siguientes:
(10.a)
(10.b)
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10
Solución Ejercicio 10.a)
Los puntos por donde pasa la recta son: P1 (0;1), P2 (-2;0)
Aplicando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
1
12
121 xx
xx
yyyy
0x02
101y
Obtenemos
1x2
1y
Por: P1 (0; 0) ; P2 (1;1) y P3(2; 0) pasa una parábola , reemplazando estos puntos en la función
cuadrática: y=ax2 +bx + c; se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (a, b y c).
c2.b2.a0
c1.b1.a1
0cc0.b0.a0
2
2
2
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos: a=-1; b=2 y c=0, reemplazando estos
coeficientes en la función cuadrática obtenemos y=-1x2+2x+0
Por lo tanto, la función será:
0 x todopara 21
0 x todopara 12
1
)(2 xx
xxf
Ejercicio Nº 11. Comprobar por definición el límite de una función
11.a) 31x lím 2
2 n
para =0,1
(11.b) 31 xlím 2
2 x
para =0,1
(11.c) 64xx lím 2
2 x
para =0,04
(11.d) 44x lím2
6 x
para =0,09
(11.e) 81x lím3
3 x
para =0,11
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11
Solución Ejercicio 11.a)
Dado un número positivo y arbitrariamente pequeño (ε>0), existe un número positivo )(εδδ tal
que:
Lf(x) lím )( a-x síax
entoncesLxfes
para =0,1
Comprobamos de acuerdo a la definición:
1,031x 2
1,04x1,0 2
41,0x41,0 2
41,0x41,0
1,4x9,3
02,2x97,1
202,22x297,1
02,02x03,0 Como el entorno del punto 2 no es simétrico, se toma el de menor valor absoluto de los dos, tomamos δ=0,02
02,02x
Ejercicio Nº 12. Determinar para que valores de x, son infinitésimos las siguientes funciones.
(12.a) xxy 73
(12.b) 1x2
x3xy
2
(12.c) 1x3 sen 2y
00 180x0
(12.d) xcostgx 2y
00 27090 << x
Solución Ejercicio 12.a)
Si se verifica, 0)x(flímax
decimos que )(xf es infinitésimo cuando x=a
xxy 73
X=0
; 072 xx
7x07x2
31x lim 2
2n
07x 0)( 3 xxf
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12
0x7xlím0x 3
0x
0x7xlím7x 3
7x
0x7xlím7x 3
7x
En 0 y x 7x la función tiene un infinitésimo
Ejercicio Nº 13: Resolver los siguientes límites.
(13.a)
x8x5x4x
x7xx2lím
234
25
0x
(13.b)
9x3x8x
7xx2x6lím
23
24
x
(13.c)
10x3x2
6xx3xlím
3
24
2x
(13.d)
324
23
3x xx63x
15x5xxlím
(13.e)
9x
3xlím
23x
(13.f)
2x6x4x3x
9x7xx8x5lím
2345
345
x
(13.g)
3x4x
x45xlím
32
2
2x
(13.h)
1x2x
x32xlím
4
3
x
(13.i)
2x3xx3x4
4x4xxlím
234
23
2x
Solución
Ejercicio 13.a)
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13
0
0
x8x5x4x
x7xx2lím
234
25
0x
8
7
xx8
xx5
xx4
xx
xx7
xx
xx2
lím234
25
0x
Ejercicio Nº 14: Calcule los siguientes límites.
(14.a)
627x
3xlím
23x
(14.b)
5x5x
9x4lím
2
5x
(14.c)
42x2
x63lím
23x
(14.d)
x25
x25lím
25x
(14.e)
1xx42
38xlím
2
2
1x
Solución
Ejercicio 14.a)
0627x
3xlím
23x
627x627x
627x3xlím
22
2
3x
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14
3627x
627x3xlím
2
2
3x
9x
627x3xlím
2
2
3x
23x3x
627x3xlím
2
3x
Ejercicio Nº 15: Resuelva los siguientes limites en general.
(15.a)
xcosxsen
xcosxcossenxlím
22
2
4x
(15.b)
ex7sen
ex5sen3lím
0x
(15.c)
xcos1
tgxsenxlím
20x
(15.d) senx
1gxcotlím2
x
(15.e)
xsen3
xtgsenxlím
3
2
0x
(15.f)
tgxsenxxcos
xcosxsenlím
22
4x
Solución
Ejercicio 15.a
xcosxsen
xcosxcossenxlím
22
2
4x
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15
3535,0414,1
5,0
xcossenxxcossenx
xcosxcossenxlím
2
4x
Ejercicio Nº 16: Resuelva los siguientes limites especiales
(16.a)
x
x x31lím
(16.b)
x/6
0xx21lím
(16.c )
5x7
x x311lím
(16.d)
1x2
x 8x
31lím
(16.e)
x
1x5
0xx41lím
(16.f)
5x2
x x24
3x2lím
(16.g)
2x5
x x31
x31lím
Solución Ejercicio 16.a
ex1lím ; ex
11lím
x
1
0x
x
x
x
x x31lim
3
33
x
xe
3x
11lim
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16
CONTINUIDAD DE FUNCIONES.
Ejercicio Nº 17: Dadas las siguientes funciones:
Exprese si son continuas o discontinuas y los intervalos para los cuales se
cumplen dichas cualidades. En caso de tenerlos, determine el salto.
Clasifique el grado de discontinuidad.
Represente gráficamente.
(17.a) x3
2xy
(17.c) x3
9xy
2
(17.b) 4xx
1xy
2
(17.d)
2
1 para x -2
1 para -2<x 2
x+2 para x>2
x
y x
Solución Ejercicio 17.a
Una función es contínua en x=a , si y sólo si se satisfacen las siguientes condiciones:
I) )(af
II) L)x(flímax
III) I)= II)la función es continua en x=a y
x
;00;2
x
xy
3
2
Analizo la continuidad de la función para x=0
I) )0(f no está definida
II)
)x(flím0x
y
)x(flím0x
III) )0(f )x(flím0x
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17
En x =0, la función es discontinua no evitable o esencial de primera especie infinita y en lugar de un salto tiene un vacio.
Para x = -2
I) 0)2(f
II)
)x(flim2x
;
0)x(flim2x
III) I) II)
Para x <-2 la función no está definida. DERIVADAS
Ejercicio Nº 18: Derive por incremento las siguientes funciones.
(18.a) 3x5y
(18.b) x25
4y
(18.c) x
5y
(18.d) senxy
Solución
Ejercicio 18.a
)(' xf
x
)x(fxxflím
x
ylím
0x0x
3x5y
x
3x53xx5lím
0x
5x
3x53x5x5lím
0x
Ejercicio Nº 19: Derive aplicando tablas las siguientes funciones por descomposición.
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18
(19.a) 39 e7tgx2xy
(19.b) 9senxx3
1xln2y 1
(19.c) 3
3 3
x3xcos.arc41x5y
(19.d) 227
3x24
tgxxlogx5y
Solución
Ejercicio 19.a
39 e7tgx2xy
00x18x2
1'y 10
Ejercicio Nº 20: Derive los siguientes productos y cocientes.
(20.a)senx.5
xln.7y
(20.b)9x.8
)e.8(tg
xcosy
(20.c))x.8log(e
6xarccos.3y
x
(20.d)xln.x
arcsenx.4
x
tgx.2y
(20.e) x.xln
e
x
xarctan.senx.4y
x
3
(20.f)3x
3
x.4e
xcos.xsenx.x2y
Solución Ejercicio 20.a
senx.5
xln.7y
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19
xsen.5
xcos.5.xln.7senx.5.x
7
y22
xsen.25
xcos.xln.35senx.x
35
'y2
Ejercicio Nº 21: Derive las siguientes funciones de funciones.
(21.a) 35 3 x.2lnx.27
3y
(21.b) 24
x.3
2ln.34
xcosy
(21.c)
65
x4
xln
3senx.7arctan.4y
(21.d) 3
3
xlog.2
x2arctancos.3y
(21.e) x.senxlogln.4x
3arccos.2y 52
Solución
Ejercicio 21.a
35 3 x.2lnx.27
3y
2
3
254
3 x.6.x.2
1x.6.
51.x.2
73y
Ejercicio Nº 22: Encuentre el valor de la derivada en x0.
(22.a) senx.3y
x0=85º (22.b)
x
xy
5
16
x0=3
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20
(22.c) 15.3 xy
x0=3/2 (22.d) 2xln.5y
x0=2
(22.e) 3 41 xy
x0=1
Solución
Ejercicio 22.a
senxy .3
x0=85º
xy cos.3→
2615,0087,0.3º85cos.3º85y
Ejercicio Nº 23: Derive las siguientes funciones exponenciales.
(23.a) x.
52sen
xy
(23.b) x.5
42x.33 xtan.ey
(23.c) xex
senx.xy
(23.d)
x.22
xln3
ecosxarctan
xlog.3y
Solución Ejercicio 23.a
x.5
2senxy
x.5
2senxlnyln
xln.x.5
2Senyln
x
1.x.5
2senxln.5
2.x.5
2cosy.y
1
x.5
2senx.
x1.x.
52senxln.
52.x.
52cosy
Ejercicio Nº 24: Resuelva las siguientes aplicaciones de las derivadas.
(24.a) Encuentre, de existir, las rectas tangentes a las siguientes funciones:
* 6 xy
en x0=1
* x.3ln.2y
en x0=1
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21
(24.b) Encuentre las rectas normales a la función 2xey en los puntos donde se intercepta con
la funciónxy 2
(24.c) Encuentre:
* La recta normal a la función 1.32 xxy en el punto en que corta al eje de las y.
* La recta tangente a la función 1.32 xxy en el punto en que corta al eje de las x (en caso
de ser más de un punto seleccione uno).
(24.d) Encuentre las rectas normales a la función 2
.3 xey en los puntos donde se intercepta
con la función xy .2
(24.e) En los incisos anteriores realice las correspondientes gráficas y verifique.
Solución
Ejercicio 24.a
Para encontrar las rectas tangentes a las funciones, utilizamos la ecuación: y-y0=m (x-x0). Por lo
tanto debemos encontrar y0, x0 y m (pendiente) para reemplazar en la ecuación general.
* ;6xy ;1x0 6457,261y0 )6457,2;1(P0
La pendiente es el valor de la derivada de la función en el punto de estudio:
6x2
1y 1889,0
612
1)1x(y
Reemplazamos en la ecuación:
1x1889,07y 457,2x.1889,0yT
* ;x.3ln.2y ;1x0 1972,21.3ln.2y0 )1972,2;1(P0
La pendiente es el valor de la derivada de la función en el punto de estudio:
3.x.3
2y 2
1
2)1( xy
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22
Reemplazamos en la ecuación:
1x.21972,2y 197,0.2 xyT
Ejercicio Nº 25: Encuentre el ángulo formado entre:
(25.a)2xey e
xy 3
(25.b) xy tan e xy cos3 para 0º<x <180º
(25.c)
2
xseny e
2
xcosy 2
para -90º<x <90º
(25.d) 5x.3
1lny en la intersección con los ejes de coordenadas.
Nota: En todos los casos buscar un punto de intersección.
Solución Ejercicio 25.a
Para encontrar el ángulo formado entre dos funciones utilizamos la siguiente fórmula:
21
21
m.m1
mmtan
por lo tanto debemos encontrar las pendientes (mi) que es el valor de la
derivada primera de la función en el punto de estudio (punto de intersección).
xx 3e2
resolvemos para encontrar los puntos de intersección:
xx 3e2
3ln.ln.2 xex 0.3ln2 xx 03ln. xx
* 00x 1;0P0
Guía de Trabajos Prácticos 2018 Análisis Matemático
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23
* 0986,11x 34,3;0986,1P1
Luego se calcula el valor de la derivada en el punto P0:
2xey x2.ey
2x 00y
x3y 3ln.3y x 0986,10y
Aplicamos la fórmula para obtener el valor de los ángulos:
21
21
m.m1
mmtan
0986,1.01
0986,10tan 0986,1tg 0986,1arctan
11,251447 β tomamos el valor positivo y buscamos el ángulo suplementario
βα º180
11,251447 β y 98,3481132 α
De igual manera se procede para el punto 34,3;0986,1P1
Ejercicio Nº 26: Resuelva las siguientes aplicaciones de las derivadas.
(26.a) Encuentre todas las rectas tangentes que cortan a la función xy 3cos con una
inclinación de 60º en el intervalo 90;90
(26.b)Encuentre la recta tangente y el ángulo que se forma en la intersección de las siguientes
funciones: 134 23
1 xxxy e 1.32 xy
(26.c) Encuentre el ángulo que forma la función 3tgx.2y en un punto de intersección con el
eje de las Y, y la recta tangente en un punto de intersección con el eje de las X.
Solución
Ejercicio 26.a
Dada la función xy 3cos obtenemos los datos para reemplazar en la ecuación y-y0=m (x-x0).
Conocemos la pendiente porque se plantea una inclinación de 60º y debemos buscar los puntos en que la función posee ésta pendiente, luego encontramos las rectas tangentes:
3.x.3seny 73,160tan3.x.3seny
3
73,1x.3sen
3
73,1arcsenx.3
577,0arcsenx.3 577,0arcsenx.3
37,4241108x2,844324
72,175471x8,5151215
37,424148x2,844144
72,175411x08,515135
x.3
4
3
2
1
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24
El valor de x4 está fuera del intervalo de estudio, por lo que trabajamos con los siguientes puntos:
8165,0;20,0P1 la recta tangente es 171,1x73,1Y2052,0x.73,18165,0y T 8165,0;84,0P2 la recta tangente es 64,073,1842,073,18165,0 xYxy T
8165,0;25,1P3 la recta tangente es 983,2x73,1Y252,1x.73,18165,0y T
Ejercicio Nº 27: Encuentre las siguientes derivadas sucesivas:
(27.a) 3x7 e.2x.4ln.3x.5y hasta la 3ra
(27.b) 252 x3xsen.2y hasta la 2da
(27.c) xlnx.2xarcsen.xy 3 hasta la 2da
Solución Ejercicio 27.a
3x7 e.2x.4ln.3x.5y hasta la 3ra
2x6 x.3.e.24.x4
3x.35y3
x.e.12x.e.18x.3x.210x.6e.2x.3.e.2x1.3x.210y3333 x4x25x22x25
3333 x2x3x42x34 e.12x.x.3.e.12x.4.e.18x.x.3.e.18x.6x.1050y
333 x3x6x34 e.12x.e.108x.e.54x.6x.1050y
Ejercicio Nº 28: Resuelva aplicando la regla de Leibnitz.
(28.a) senxln.2.x.3y 3 encontrar y´´
(28.b)2
.cos.3 xexy encontrar y´´´
(28.c)52 .2.arccos xxy x encontrar y´´
Solución
Ejercicio 28.a
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25
Ecuación general:
μτβα
μτβαt...w.v.u
!!...!!
!nt...wvuy
nn siendo n... μτβα
Obtenemos las derivadas parciales de cada factor y reemplazamos:
senxln.2.x.3y 3
3x.6u 2x.18u
x.36u
senxlnv
xcos.xsenv 1
senx.xsenxcos.xsen1v 122
1xcos.xsenv 22
1xcos.xsenx.6!2!0
!2xcos.xsen.x.18
!1!1
!2senxln.x.36
!0!2
!2v;uy 22312
Ejercicio Nº 29: Calcule las diferenciales de primer orden de las siguientes funciones.
(29.a) senxx.3xxln.4y 23e.2
(29.b) xx2 3cos.4exlog.senxtany
(29.c) x
2 ex3 7x.5x.2xsenhy
Solución
Ejercicio 29.a
dx.xcosx6x.3.senxx.3x2
1x
1.xln.e.2.4dy 221
231e.2
COMPORTAMIENTO DE FUNCIONES
Ejercicio Nº 30: Efectúe los desarrollos en series de Taylor o Mac Laurin según corresponda.
Nota: En los dos primeros ejercicios complemente con la gráfica.
(30.a)IVo
0 ylahasta15xen)x2(sen.2y
(30.b) IIIylahasta )1xln(4y
(30.c)III
0x4 ylahasta1xeney
2
(30.d) IIo0 ylahasta45xen
x
senxy
(30.e) anulesederivadalaquehasta2xen7x2x5
4xy 0
35
Solución
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26
Ejercicio 30.a Cuando se desarrolla para x≠0, se aplica TAYLOR.
Tn)ax()!1n(
)a(f.....)ax(
!2
)a´´(f)ax(
!1
)a´(f)a(f)x(f 1n
1n2
)x2(sen.2y
1152sen2)15(f oo
)x2cos(42)x2cos(2)x´(f
46,3)15.2cos(4)15´(f oo
)x2(sen82)x2(sen4)x´´(f
4)30(sen8)15´´(f oo
)x2cos(162)x2cos(8)x´´´(f
85,13)30cos(16)15´´´(f oo
)x2(sen322).x2(sen16)x(f IV
16)30(sen32)15(f ooIV
4oIV
3o
2oo
o )12
x(!4
)15(f)
12x(
!3
)15´´´(f)
12x(
!2
)15´´(f)
12x(
!1
)15´(f)15(f)x(f
ππππ
432 )12
x(!4
16)
12x(
!3
)85,13()
12x(
!2
)4()
12x.(46,31)x(f
ππππ
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27
En el gráfico se ve cómo a medida que aumentamos el orden de n, mejora la aproximación a la
función y=2sen(2x).
Ejercicio Nº 31: Determine el comportamiento de las siguientes funciones expresando si son crecientes, decrecientes o estacionarias en los puntos considerados.
(31.a)
0x
3x
4x
)3x(y
o
o
o2 0,1hparaen
(31.b)
oo
oo
oo
105x
90x
15x
senxy o1hpara en
(31.c)
1x
0x
1x
ey
o
o
ox2
0,1hparaen
Solución
Ejercicio 31.a
A la función y =(x+3)2, la analizo para xo, un valor anterior (xo-h) y un valor posterior (xo+h) y
obtengo en cada caso el valor de la función en esos puntos.
h) ooo x(f)x(f)hx(f La función en x0 es creciente.
h) ooo x(f)x(f)hx(f La función en x0 es decreciente.
h) ( )( )( ooo xfxfhxf La función en x0 es estacionaria.
h) ( )( )( ooo xfxfhxf La función en x0 es estacionaria.
Analizo en xo=-4 y h=0,1
21,13)(-4,1f(-4,1)0,1)-f(-4 )hx(f 2o
13)(-4f(-4) )x(f 2o
81,0)9,0(3)(-3,9f(-3,9)1),0f(-4 )hx(f 22o
1,21>1>0,81 en xo=-4 la función es decreciente.
Analizo en xo=-3
01,03)(-3,1f(-3,1)0,1)-f(-3 )hx(f 2o
03)(-3f(-3) )x(f 2o
01,03)(-2,9f(-2,9)1),0f(-3 )hx(f 2o
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28
0,01>0 y 0<0,01 en xo=-3 la función es estacionaria.
Analizo en xo=0
41,83)(-0,1f(-0,1)0,1)-f(0 )hx(f 2o
93)(0f(0) )x(f 2o
61,93)(0,1f(0,1)1),0f(0 )hx(f 2o
8,41<9<9,61 en xo=0 la función es creciente.
Ejercicio Nº 32: Determine por el método de la derivada primera:
Intervalos donde la función es creciente o decreciente
Máximos
Mínimos
Puntos de inflexión que pueda obtener por este método
(32.a) 0,1h siendo x2
3x)x(f 23
(32.b) 0,1h siendo 3x)x(f 3
(32.c) 0,1h siendo )10.(2)x(f2x
(32.d) 0,1h siendo x
)x2ln()x(f
2
(32.e) 0oo 360;0en x para 1h siendo xcossenx)x(f
Solución
Ejercicio 32.a
Criterio de la derivada primera.
f´(x0-h)<0; f´(x0)=0; f´(xo+h)>0, la función en xo tendrá un mínimo
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29
f´(x0-h)>0; f´(x0)=0; f´(xo+h)<0, la función en xo tendrá un máximo
f´(x0-h)<0; f´(x0)=0; f´(xo+h)<0, la función en xo tendrá un punto de inflexión
f´(x0-h)>0; f´(x0)=0; f´(xo+h)>0, la función en xo tendrá un punto de inflexión
Igualamos a cero la derivada “primera” con la finalidad de hallar los puntos críticos (xo).
f´(x)= 3x2-3x=0
3x.(x-1)=0, resuelvo y obtengo:xo1=0 y xo2=1
Puntos críticos: (0; 0) y (1; -1/2)
Analizo en P(0;0)
f´(0-0,1)=3(-0,1)2-3.(-0,1)=0,33>0
f´(0)=3(0)2-3.(0,)=0
f´(0+0,1)=3(0,1)2-3.(0,1)=-0,27<0
En P(0;0) la función tiene un máximo
Analizo en P(1;-1/2)
f´(1-0,1)=3(0,9)2-3.(0,9)=-0,27<0
f´(1)= 0
f´(1+0,1)=3(1,1)2-3.(1,1)=0,33>0
En P(1;-1/2)la función tiene un mínimo
Este método no me permitió conocer los puntos de inflexión, pero no quiere decir que la función no tenga
puntos de inflexión.
f(x) es creciente en (-∞;0) y (1;∞)
f(x) es decreciente en (0;1)
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30
Ejercicio Nº 33: Determine por el método de la derivada segunda: Máximos
Mínimos
Puntos de inflexión
Indique los intervalos en donde la función es creciente o decreciente, como también los intervalos
donde la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
(33.a) e.2)x(f2x
(33.b) x1
1)x(f
2
(33.c) xx4x
2)x(f 3
(33.d) 360 0;en x para xcosxsen)x(f o2
Solución
Ejercicio 33.a
Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero.
0 x0 (-2x) e.2)x´(f2x
Sustituimos el valor crítico en la función original, para obtener el punto crítico.
2 20e.2)0(f Punto crítico (0;2).
Hallamos la derivada segunda
)2x(-1 e4(-2x) e.4x -e.4)x´´(f 2xxx 222
Sustituimos el valor crítico en la derivada segunda
(0;2) en04- )2.0(-1 2 20e4)0´´(f La función tiene un máximo
Buscamos los posibles puntos de inflexión, que surgen de igualar a cero la derivada segunda.
2
1x0 )2x(-1 e4)x´´(f 2x2
Sustituimos estos valores en la función original para obtener los puntos de inflexión
1,21) ;2
1(en inflexión de puntoun tiene función la21,1 e.2)
2
1(f
2
1 xsi
2)2
1(
1,21) ;2
1(-en inflexión de puntoun tiene función la21,1 e.2)
2
1(f
2
1 xsi
2)2
1(
La función es creciente en (-∞; 0)
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31
La función es decreciente en (0,∞)
La función es cóncava hacia arriba en )2
1;(
La función es cóncava hacia abajo en )2
1;
2
1(
La función es cóncava hacia arriba en );2
1(
Ejercicio Nº 34: Dadas las siguientes funciones encuentre los puntos de inflexión en caso de
tenerlos.
(34.a) 1- 2x x)x(f 45
(34.b) 3 x8)x(f 4
(34.c) )5,0.(2)x(f2x
(34.d) )3xln()x(f
(34.e) 2
;2
en x para )6
x(tg)x(f
πππ
Solución Ejercicio 34.a
Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero, para obtener los posibles puntos de inflexión.
8x x5)x´(f 34
5
6- y x 0x024)(20x x 0 24x x20)x´´(f 21
223
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32
Sustituimos estos valores en la función original para obtener los posibles puntos de inflexión.
Si x=0 f(0)=-1, (0;-1) es un posible punto de inflexión.
Si x=-6/5 f(-6/5)=0,65 (-6/5;0,65) es un posible punto inflexión.
Calculamos la derivada tercera.
f´´´(x)= 60x2+48x
Sustituimos en la derivada tercera los posibles puntos de inflexión.
f´´´(0)= 60(0)2+48(0)=0 es igual a cero, no se puede decir nada.
f´´´(-6/5)= 60(-6/5)2+48(-6/5)=144/5 es distinto de cero, en (-6/5;0,65) la función tiene un punto
de inflexión.
Calculamos la derivada cuarta.
fIV(x)=120x+48 sustituimos por (0;-1)
fIV(0)=120(0)+48=48 distinto de cero, en ( 0;-1) la función no tiene un punto de inflexión, tiene un
mínimo.
Ejercicio Nº 35: Resuelva los siguientes límites aplicando la regla de L’Hôpital.
(35.a)
5x2x3
1x2x lim
2
2
1x
(35.b)
senxx2
x6ee lim
x2x2
0x
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33
(35.c) x7sen8
x3sen4 lim
0x
(35.d) 234
x
x x4x8x
e2 lim
(35.e)
410x3
1x23 lim
2
2x
Solución
Ejercicio 35.a La regla de L’Hôpital se puede aplicar para salvar las indeterminaciones del tipo:0/0;∞/∞;∞-
∞;1∞;∞0;o.∞;00.
0
0
51.21.3
11.21
5x2x3
1x2x lim
2
2
2
2
1x
, se puede aplicar la regla de L’Hôpital
)a´(g
)a´(flim
ax
g(x)
f(x)
08
0
21.6
21.2
2x6
1x2lim
5x2x3
1x2x lim
1x2
2
1x
Ejercicio Nº 36: Resuelva.
(36.a)
tgx).2
-(x lim
2x
π
π
(36.b) lnx
1-
1-x
1 lim
1x
(36.c)
2
21
x 1lim -
x-1 ln xx
=
(36.d)
gxcot.cosx)-(1 lim0x
Solución
Ejercicio 36.a
.0tgx).2
-(x lim
2x
se puede aplicar la regla de L’Hôpital
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34
)x(g
1
)x(flímf(x).g(x) lím
axax y ahora dá del tipo 0/0, por lo tanto derivo numerador y denominador
hasta que se salve la indeterminación.
1xsen -lim
xcos
1.xtg-
1 lim
tgx
1
)2
-(x
limtgx).2
-(x lim 2
2x
2
2-2
x2
x2
x
Ejercicio Nº 37: Resuelva los siguientes límites exponenciales por L’Hôpital.
(37.a) 0
senx
0x x
1 lim
(37.b)
x
0x xlim
(37.c)
1-x
x 5x
21 lim
(37.d)
4
x
x 4-3x
3x-1 lim
(37.e)
X
x
3
5
04x)-(1 lim
(37.f)
xln1
1
x(lnx) lim
(37.g)
tg(2x)
4x
(tgx) limπ
(37.h)
3
x4
x2
x
1x
4
x
31
lim
(37.i)
x2
x x
31lim
Solución
Ejercicio 37.a
0senx
0x x
1 lim
se puede aplicar la regla de L’Hôpital
Aplicamos logaritmos
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35
x
1ln.senxyln
xsen
cosx-:
x
1- lim
xcos.xsen
x
1
limxsen
lnx-ln1 lim
senx
1x
1ln
limx
1senx.ln limL
20x20x1-0x0x0x
0cosx
senx
x
senx lim
x.cosx
xsen limL
0x
2
0x
1e0ylnL 0
1x
1 lim
senx
0x
INTEGRALES
Ejercicio Nº 38: Resuelva las siguientes integrales inmediatas.
(38.a) dx7x
(38.b) dxxcos
62
(38.c)
dxx1
32
(38.d)
dxe
3
2
x
15 x
(38.e)
dx
x
3xcos5
2
Solución
Ejercicio 38.a
(38.f) dxx.x5 25
caln
adxa tablade dx7
xxx
c7ln
7 dx7
xx
Ejercicio Nº 39: Resuelva las siguientes integrales por el método de sustitución.
(39.a) dxe.x44x3
(39.b) dx6 x3
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36
(39.c)
dx)x9(
3
(39.d)
dxx
x229
3
(39.e) dxx9x2 2
(39.f) dx.senx.xcos2
(39.g) dxx
xlog3 4
Solución Ejercicio 39.a
(39.h) dx
20x4x
22
dxx4du miembros ambos mosdiferencia,xu mos tomadxe.x4 34x3 4
ce cedue dxe.x444 xuux3
Ejercicio 40: Resuelva las siguientes integrales por partes.
(40.a) dxex x3
(40.b) dxxarctg
(40.c) dxxarccos
(40.d) dxxln
(40.e) dxx.3senx 2
(40.f) 2 2 1 xx x e dx
(40.g) dxxsenex
Solución
Ejercicio 40 – a)
dxe
3
1e.x
3
1dxex x3x3x3
dxe
3
1e.x
3
1 x3x3
ce.3
1.
3
1e.x
3
1 x3x3
ce.9
1e.x
3
1 x3x3
x3
x3
x3
e3
1v
dxev
dxedv
dxdu
xu
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37
Ejercicio 41: Resuelva las siguientes integrales trigonométricas.
(41.a) dxsenxxcos3
(41.b) dxxcos.xsen 25
(41.c) dxxcos5
(41.d) dxx2senx3cos
(41.e) dxx3senx5Sen
(41.f) dxxsen4
Solución
Ejercicio 41 – a)
senx.xcos.xcosdxsenxxcos 23 xcosu
433 u4
1duu
senx
du.senx.u dxsenxdu
cxcos4
1 4
Ejercicio 42: Resuelva las siguientes integrales racionales por descomposición en fracciones simples.
(42.a) dx
1x2x
x2
(42.b) dx
)2x()1x(x
12
(42.d)
dx
x2x
4x223
(42.e) dx
3x2x
x2
3
Solución
Ejercicio 42 – a)
dx1x
xdx
1x2x
x22
2222
1x
BAAx
1x
B1xA
1x
B
1x
A
1x
x
1B0BA1A
dx1x
xdx
1x2x
x22
dx
1x
1dx
1x
12
duu1xln 2 dxdu1xu
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38
1
u1xln
1
cx
x
1
11ln
Ejercicio 43: Resuelva las siguientes integrales de funciones irracionales.
(43.a) dx
x1
x
(43.b) dxx94 2
(43.c)
dxx1x
1
(43.d)
dx
x1
x1
(43.e)
dxx
4x 2
Solución
Ejercicio 43 – a)
dx
x1
xdx
x1
x 21
dxdtt2
xt 2
dt
t1
t2dtt2.
t1
t2
2
2
1t
11
t1
t22
2
cxarctgx2tarctgt2dt1t
1dt1.2
2
Ejercicio 44: Resuelva las siguientes integrales en general.
(44.a) dx)xxx2
3xsecx( 524 3
(44.b) dxxSenxCos 23
(44.c) dxxsecxtg 23
(44.d)
dx3x
x4
3
(44.e)
dx1xx
3x5x32
2
(44.f) dxxcos
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39
Solución
Ejercicio 44 – a)
dxxxxxdxxxxxx
235243524 3
2
3
2
3sec)sec(
cxx
tgxx
2562
3
47
25647
cxxxtgxxx 264 3
5
2
4
1
7
4
Ejercicio 45: Encontrar el valor de las integrales definidas aplicando la regla de Barrow.
(45.a) dxx
2
0
52
(45.b) e
dxx1
ln
(45.c)
1
2
3
1dx
x
(45.d)
4
3
2
dxxsen
(45.e)
1
03
dxxx
Nota: en el inciso a), b) y c) realice la gráfica correspondiente.
Solución
Ejercicio 45 – a)
140.502.52x5xx52
x2dx5x2 22
2
0
2
2
0
22
0
Ejercicio 46: Encuentre analítica y gráficamente el área entre la función y ambos ejes de
coordenadas.
x
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40
(46.a) entre y
(46.b) entre y
(46.c) entre y
(46.d) entre y
(46.e) entre y
Solución
Ejercicio 46 – a)
entre y
Respecto al eje x
3
3
3
3
32 36927927x3
1x9dxx9
Respecto al eje y
9y;0y;y9xy9x 10
2
9
0
9
0
3
9
0
2321
9
0
18180y93
2
23
uduudyy9 , como son dos partes iguales, el
área es 2.18=36
Ejercicio 47: Encuentre el área entre las siguientes funciones.
(47.a)y = -x2 + 6, y = x2 + 4x
(47.b)y = x3 , y = 8, x = -1
(47.c)y = x2 – 2x – 3, y = 2x + 2 en [-1,6]
(47.d)y = sen x, y = cos x, [0 , 180°]
(47.e)y =ln x, y = ln 3x, x = 1 y x = 5
Solución
Ejercicio 47 – a)
y = -x2 + 6, y = x2 + 4x
31064246 21
222 xxxxxxx ;
3
6418
3
1062
3
264246
1
3
23
1
3
2
1
3
22
xxxdxxxdxxxx
Ejercicio 48: Mediante el método gráfico de los trapecios encuentre el área entre la función y el eje
x.
(48.a) entre y para h = 0,5
(48.b) entre y para h = 0,25
(48.c) entre y para h = 0,3
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41
(48.d) entre y para h =10°
Solución
Ejercicio 48 – a)
entre y para h = 0,5
0 0 1/16
1 0.5 0.0615
2 1 0.0588
3 1.5 0.0548
4 2 0.05
5 2.5 0.045
6 3 0.04
1607,004.0045.005.00548.00588.00615.0.216
1
2
5.0
16
3
0
2
x
dx
Ejercicio 49: Encuentre el área aproximada por intermedio de la fórmula de Simpson.
(49.a) para n = 6 entre y
(49.b) para n = 12 entre y
(49.c) para n = 6 entre y
(49.d) para n elegido por usted entre y
Solución
Ejercicio 49 – a)
para n = 6 entre y
0 0° 0
1 10° 0.03015
2 20° 0.11698
3 30° 0.25
4 40° 0.4132
5 50° 0.5868
6 60° 0.75
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42
SERIES
Ejercicio Nº 50: Escriba los cinco primeros términos de las siguientes series.
(50.a)
1 )1(
2
n nn (50.b)
1
12
)!12(n
n
n
x
(50.c)
1
12
n
n
n (50.d)
1
2
!4
3
n n
n
(50.e)
13
2
n
n
n (50.f)
1
1
!
2
n
n
n
x
Solución
Ejercicio 50 – a)
...15
1
10
1
6
1
3
11...
6.5
2
5.4
2
4.3
2
3.2
2
2.1
2
)1(
2
1
n nn
Ejercicio Nº 51: Escriba el término general de cada una de las siguientes series y luego exprese en
todos los casos si son convergentes o divergentes.
(51.a) ...100000
3
10000
3
1000
3
100
3
10
3
(51.b) ...25
321
9
81
1
2
(51.c) ...4
)1(.......
256
1
64
1
16
1
4
11
1
1
k
k
(51.d) ...720
25
120
16
24
9
3
2
2
1
(51.e) ...47
25
5
16
3
94
(51.f) ...3125256274
5432
CosCosCosCos
Cos para 9090
Solución
Ejercicio 51 – a)
1 10
3...
100000
3
10000
3
1000
3
100
3
10
3
nn
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43
Es una serie geométrica de razón r=1/10 < 1 por consiguiente Converge
Ejercicio Nº 52: Determine si las siguientes series son convergentes o divergentes, absoluta o
condicionalmente, distinguiendo aquellas que sean geométricas.
(52.a)
12
1
n
n
n
(52.b)
12 )(
1
n
n
nLog
(52.c) ...9313
1
9
1 (52.d)
22
2
1
212
n
n
n
nn
(52.e)
11 3
1
2
1
k
k
k
(52.f)
13
n n
nsen
Solución
Ejercicio 52 – a)
12
1
n
n
n
Consideramos la serie en valor absoluto, y entonces Por el criterio de las series-p siendo p = 2 > 1, la serie de los valores absolutos converge. Luego, la serie dada CONVERGE ABSOLUTAMENTE
Ejercicio Nº 53: Halle el radio de convergencia de las siguientes series.
(53.a)
0k
kx
(53.b)
0 )1(3
1
kk
kk
k
x
(53.c) ...50321882
5432
xxxxx
(53.d)
0 !k
k
k
x
Solución:
Ejercicio 53 – a)
0k
kx
La serie es una serie geométrica de razón r = x por lo tanto converge absolutamente cuando –1
< x < 1 y diverge cuando / x / 1. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es (-1,1) y el
radio es R=1.
FUNCIONES DE MAS DE 2 VARIABLES
Ejercicio Nº 54: Represente por curvas de nivel las funciones que se indican a continuación.
(54.a) 222 yxz (54.b)
2216 yxz
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44
(54.c)2 2 22 2 2 16 0z y x
Solución
Ejercicio 54.a) 222 yxz
Se muestran las gráficas de las curvas de nivel para z=1,2,3,4,5
Si z=0 se obtiene 222 yx cuya gráfica son dos rectas que pasan por el origen, para valores de z
negativos se obtienen Hipérbolas cuyo vértice están sobre el eje y.
Ejercicio Nº 55: Representar las funciones del ejercicio Nº 54 por un sistema informático.
Solución
Ejercicio 55 - a)
x
y
z
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45
Ejercicio Nº 56: Encuentre las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones.
(56.a) 2
3cos4
325
2 223 yy xex
yxyxz
(56.b) yx
exyz
xxy
35
426log
(56.c) xyz
exyzsenxyzCosxw
x
2.
(56.d) x
yzzexysenzx xy
ln
5454 .2
Solución
(56.a) 2
3cos4
325
2 223 yy xex
yxyxz
Ejercicio Nº 57: Encuentre las segundas derivadas parciales de las siguientes funciones.
(57.a) xeysenxz x 2ln34252
(57.b)7
475 222 xyz
zyyxw
(57.c) yex
Tgyyxz x ln
24
2
2
Solución
Ejercicio (57.a) xeysenxz x 2ln34252
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46
Ejercicio Nº 58: Dadas las siguientes funciones encuentre las Diferenciales Totales.
(58.a) 32222
2
34 yxyxxyz y el valor en 1;2P
(58.b) 0;12
2 Pen4.4 yxey
tgxxysenz
(58.c)
;1,02
1
3 Pen.. zxCosyzexysenxw y
Solución
Ejercicio (58.a) 32222
2
34 yxyxxyz
;
302,1y
z
2
982
y
z 22
yxyxy
Ejercicio Nº 59: Encuentre las diferenciales totales de las siguientes funciones compuestas.
(59.a)Hallar sabiendo que para
(59.b)Hallar sabiendo que para
(59.c) Hallar sabiendo que para
Solución
Ejercicio (59.a) Hallar sabiendo que para =
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47
t2dt
dx )
yx
3ylnxy2y2(
x
z 2
xx
3dt
dy
xy
3xxy2
y
z 2
1x
Luego
).(-3) xy
3y(2x.2t )
yx
3lny2xy(2y
dt
dz2
1-x2
2
xx
Cuando t0= -1 se obtiene que x = 2 e y = 4 reemplazando estos valores en la última expresión
se obtiene:
1,336).(-3) 32
3(32.2(-1) )
16
372,87(32
dt
dz
1- t
Ejercicio Nº 60: Desarrolle en series de Taylor o Mac Laurin según corresponda.
(60.a) en el entorno del punto
(60.b) Hasta las derivadas de tercer orden
(60.c) Hasta las derivadas de tercer orden y sus valores en
Solución
Ejercicio (60.a) en el entorno del punto
Como la función es un polinomio de tercer grado, desarrollamos hasta las derivadas de tercer orden
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48
6x
z3
3
Reemplazando estos valores en la fórmula del desarrollo de Taylor se obtiene:
22)3y.(24)3y).(1x).(28.(21x.6
!2
1)3y.(53)1x.(5020)y,x(p
3223)3y.(6)3y).(1x).(6.(3)3y.()1x.(4.31x.6
!3
1
Desarrollando, simplificando y reagrupando se debe verificar que el polinomio obtenido coincide con
el polinomio es decir:
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49
APLICACIONES ECONÓMICAS
FUNCIONES ECONOMICAS
DEMANDA Y OFERTA
1. Las tablas que damos a continuación corresponden a cuatro consumidores y a su demanda
individual de un producto” x “.
Por unidad q1 q2 q3 q4
Demanda Global
p Q Q ‘
20 0 1 2 3
18 1 3 3 5
16 2 5 4 7
14 3 7 5 9
12 4 9 6 11
10 5 11 7 13
8 6 13 8 15
6 7 15 9 17
4 8 17 10 19
a) Complete la tabla de demanda global Q.
b) Represente las tablas anteriores en un mismo gráfico que muestre las cuatro curvas individuales y
la demanda global.
c) El consumidor Nº 4 (q4) siente un repentino rechazo por el producto” x “, y deja de comprarlo (se
modifica el parámetro “gustos o preferencias“). Muestre el desplazamiento resultante en la tabla y
en la curva de demanda global Q‘.
2. La siguiente tabla corresponde a la oferta del producto ” x “, por parte de cinco empresas
individuales:
Por unidad s1 s2 s3 s4 s5
Oferta Global
p S S ‘
20 8 9 19 30 10
18 7 8 17 27 9
16 6 7 15 24 8
14 5 6 13 21 7
12 4 5 11 18 6
10 3 4 9 15 5
8 2 3 7 12 4
6 1 2 5 9 3
4 0 1 3 6 2
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50
a) Complete la tabla de oferta global
b) Represente las cinco tablas individuales en un mismo gráfico y la oferta global
c) El producto 3 (s3), desarrolla una nueva técnica de producción que reduce sus costos, y que le
permite ofrecer cuatro unidades de producción más en los distintos niveles de precios. Muestre
gráficamente cómo podrían llegar a resultar afectada la tabla y la curva de oferta global (S ‘).
3. Cada una de las ecuaciones que siguen representa la demanda de un producto” x “, por parte de
grupos de 1.000 consumidores, siendo el mercado de 4.000 consumidores.
pq2
1101
pq 213
pq2
1122
pq 234
Por el lado de oferta actúan 5000 vendedores representados en grupos de 1000 por las ecuaciones
siguientes:
pq2
121
pq2
34
pq 12
pq2
15
pq2
113
a) Exprese algebraicamente la demanda y la oferta globales y de acuerdo con ello determine el
precio y la cantidad de equilibrio en este mercado.
b) Construya las tablas de la demanda y de la oferta globales y compruebe los resultados obtenidos,
considerando los siguientes precios:
p Cantidad Demandada
Q
Cantidad Ofrecida
S S ‘
20
18
16
14
12 30 30
10 36 36
8
6
c) Determine gráficamente el precio y la cantidad de equilibrio.
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51
d) Como consecuencia de un cambio que sobrevino en los costos de producción la oferta global
disminuye hasta hacerse: S‘= -18 + 4 p.
Determine algebraicamente el nuevo precio y la nueva cantidad de equilibrio. Hágalo después
completando las tablas y trazando los gráficos correspondientes.
4. Verifique cuál de las siguientes funciones lineales, representan funciones económicas y en caso
afirmativo decir si son de oferta o de demanda:
a) x - 2p = 0 d) 2x + 5p + 4 = 0
b) 3x + 4p - 12 = 0 e) 5x - p - 10 = 0
c) 2x - 3p +1 = 0 f) 2p + 3x + 2 =0
5. La curva de demanda para cierto producto dado es: px4
110 .
Encontrar:
a) La cantidad demandada cuando el precio es: 4; 16; 26 $.
b) El precio si la cantidad demandada es: 9; 7; 2 unidades.
c) Cuál es el precio más alto que se puede pagar por el producto.
6. La curva de oferta de un producto responde a la función: x = 1, 1p –0,1.
Encontrar:
a) El precio si la cantidad ofrecida es: 1; 0,8 y 0,5 unidades.
b) La cantidad ofrecida si el precio es: 8; 6; 4,1 $.
c) Cuál es el menor precio al que este producto se podría ser ofrecido.
7. Determínese el precio y la cantidad de equilibrio del mercado si las funciones de demanda y oferta
son respectivamente: 3
4
9
1339 2 pqyqp
8. En una encuesta se verifica que 10 relojes son vendidos cuando el precio es de: 80 $ la unidad, y
20 relojes son vendidos cuando el precio es de 60 $ la unidad. Suponiendo que la demanda es de
carácter lineal, decir cuál sería la función de demanda de este producto. Trace su gráfica.
9. Para una función benéfica de cine de una determinada localidad, se sabe que el número de
asistentes se relaciona con el precio uniforme de la entrada según la función de
demanda: bp
ax , donde a y b son constantes. Se sabe que el cine con una capacidad de
3000 butacas, está lleno hasta la mitad cuando el precio señalado es 12 $, estando vacías
solamente la sexta parte de las butacas si la entrada cuesta 9 $.
Se Pide:
a) Hállese según esto, el valor de las constantes a y b.
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52
b) Averiguar a qué precio se llenaría completamente el cine.
INGRESO
1. Supóngase que una unidad del bien “x”, se vende en el mercado a un precio fijo y constante de
20 $. En base a una ecuación, determine la función de ingreso total.
2. Dada la función de demanda: x = 120 – 2p, obténgase la función de ingreso total:
a) En función del precio.
b) En función de la cantidad vendida.
c) Grafíquese el segundo caso.
3. Dada la función de demanda: 65
90
px , obtenga la función de ingreso total (en función de la
cantidad de unidades vendidas).
4. Dadas las siguientes funciones de ingreso total, obtener las funciones de demanda
correspondientes:
a) 23120 xxIT
b) 24200 ppIT
c) b
papIT
2
5. Dada la siguiente tabla:
a) Completar las columnas correspondiente al IMe y al IMg
b) Determinar la función de Img sabiendo que la misma es de tipo lineal
c) Hallar el nivel de producción que hace máximo el IT
Producción
(x) IT
ITIMe =
X
ITIMg=
x
0 0
1 10
3 27
6 45
7 49
9 54
10 55
6. Si la función IT es igual a : 2105 xxIT , obtener la función IMe.
COSTOS
1. Un constructor de pequeñas casas de campo, tiene gastos fijos evaluados en $500.000 anuales,
siendo los demás gastos de $ 30.000 por cada casa de campo.
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53
Se pide:
a) Obtener lo que al constructor le cuesta cada casa de campo, si construye x casas de campo
anualmente.
b) Si se construyen 10 casas anualmente. ¿Cuánto le cuesta al constructor cada una?
2. Una fábrica construye piletas de natación, siendo el costo total: )525
13(100 2 xxCT
cuando se producen “ x ” piletas por mes. Indique cuál es el costo fijo y cuál es el costo variable.
3. Dada la siguiente tabla completar las columnas correspondientes al CMe y CMg.
Producción CT CMe CMg
1 30
2 40
4 48
7 105
9 270
10 450
4. Supóngase que el costo de producir una unidad del bien “ x “ es de $ 2 y el costo fijo total de
producción es de $ 80. Formule la función de costo total.
5. Si una empresa que fabrica ladrillos cerámicos tiene una función de costo total igual a :
5004300 2 xxCT y el costo marginal es xCMg 8300
Se pide:
a) Determinar el costo medio mínimo y decir a que nivel de producción corresponde.
b) ¿Cuál es el costo total con el que se produce dicha cantidad de unidades?
6. Una empresa que fabrica radios tiene un xxxCT 50010010 23 y un
50020030 2 xxCMg ¿Cuál será el menor costo al que esta empresa puede fabricar cada
radio?
7. Una empresa productora de artículos para el hogar tiene un función de costo total igual a:
)525
13(100 2 xxCT
Determinar el monto del costo medio si la empresa fabrica 100 unidades.
8. Siendo la función de costo medio de una empresa igual a:
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54
xxxCMe
105005020 2
Determinar la función de costo total.
BENEFICIO
1. Determinar el máximo beneficio que puede obtener una empresa cuyos costos e ingresos
responden a las siguientes funciones:
xCMgxIMgxxCTxxIT 270;100;1070;2
1100 22
Decir además a que niveles de producción el empresario no obtiene ni pérdidas, ni ganancias.
2. Una empresa comercial que se dedica a la venta de artículos de limpieza enfrenta una función de
demanda para su producto igual a: p = 30 – x. Si su 1025
x
CMe
¿Cuál es su función beneficio?
3. Una empresa que fabrica artículos eléctricos tiene una función de xCT 2050 siendo su
2150
4IT x x . Si su IMg = x
2
150 y su costo marginal es constante e igual a 20,
Determinar:
a) Qué cantidad debe producir la empresa para que su beneficio sea máximo.
b) Cuál será el monto de dicho beneficio.
PRODUCCIÓN
1. Si en una mina de carbón, trabaja un equipo de x hombres, la producción obtenida será entonces
)12
3(25
2 xxPT toneladas de carbón. El
2
100
1
25
6xxPMg .
a) Dibujar el gráfico representativo del modo según el cual la producción varía con el número de
hombres.
b) Determinar la magnitud del equipo requerido para que la producción sea la máxima posible y
señalar a cuánto asciende esta producción.
c) Expresar en función de x el producto por hombre.
d) Cuál es la mayor cantidad de producto por hombre trabajando que puede alcanzar y cuántos
hombres debe haber trabajado para ello.
VALOR MARGINAL DE UNA FUNCIÓN
1. Obtener el IMg en cada uno de los casos:
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55
a) 105
1 xp
b) 62 xIMe
2. Los costos totales de producción de una empresa son: 2CT= 8 + 2x + 3x Hallar:
a) Las funciones de CMg y de CMe
b) El valor del CMg y del CMe cuando se producen 1000 unidades.
3. La función de utilidad de un consumidor, para una mercancía x es :2310 xxUT , donde x es
la cantidad de la mercancía consumida. Hállese la función de UMg.
4. Una empresa tiene las siguientes funciones de costo y de demanda:
30 1CMe=x - 6 + ; x= - p + 5
x 4
Obtener:
a) La función de BMg.
b) La función CMg.
c) La función IMg.
5. La función de Producto Medio de una empresa es: 2360 xxPMe . Hallar la función de
PMg.
6. Hallar la función de DMg en cada uno de los siguientes casos:
a) 0280 2 qp
b) 2)42( xp
c) 32 xxIT
ELASTICIDAD DE UNA FUNCIÓN
Función
Elasticidad de Arco
Elasticidad de Punto
y= f (x)
xx
yy
E
y
xyE
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56
Demanda-precio y Oferta:
Q= f (p) p
p
E
Q
pQE
Demanda-ingreso:
Q= f (I) I
I
E
Q
IQE
Ingreso Total:
IT= f (Q) Q
Q
ITIT
E
IT
QITE
Costo Total:
CT = f (Q) Q
Q
CTCT
E
CT
QCTE
Costo Medio:
Cme = f (Q) Q
Q
CmeCme
E
Cme
QCmeE
Producto Total:
PT = f (FV) FV
FV
FVFV
PTPT
E
PT
FVQ
PT
FVPTE
Utilidad Total:
UT = f (Q) Q
Q
UTUT
E
UT
QUTE
1. Obtener la elasticidad – precio de la demanda en los puntos x = 1; x = 2,5 ; x = 1,5
si xp 310
2. Obtener la elasticidad- precio de la demanda en cada uno de los siguientes casos:
a) bxpa
b) 1002 xp
3. Hallar la elasticidad de la función de oferta, en cada uno de los siguientes casos:
a) pex 5
b) 2bxap
4. Considerar la función de demanda: 2348 px , cerca del punto p = 3. Si el precio decrece el
4% determinar el incremento relativo de la demanda y dar una aproximación de la elasticidad.
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57
Comparar este resultado con la elasticidad de la demanda obtenida aplicando la fórmula de la
elasticidad en un punto.
5. Considerar la función de demanda: 10 px , en el punto x = 4. Si la cantidad demandada se
incrementa en un 5%, determinar el porcentaje de crecimiento del precio, y dar una
aproximación de la elasticidad de la demanda. Comparar luego este resultado con el exacto valor
obtenido en el punto x = 4, aplicando la fórmula de elasticidad de punto.
6. En un estudio de Gaba y Reca denominado “Poder Adquisitivo, Veda y sustitutos: un re-examen
de la demanda de carne vacuna en la Argentina” se determina que la elasticidad-precio de la
demanda de carne vacuna en nuestro país es: -0,37. Con el propósito de incrementar los saldos
exportables se desea reducir la cantidad demandada internamente en un 30% y puede operarse
sobre el precio de la carne vacuna y/o sobre el precio de los sustitutos. Si se decidiese a operar
sólo sobre el precio de la carne vacuna, ¿qué variación porcentual y en qué sentido debería
realizarse para lograr el fin propuesto?
7. Si el 21
52 50
xCT x . Calcular su elasticidad.
8. Si el 23 1
4 16CT x x . Calcular la elasticidad del Cme.
9. Una empresa dedicada a la fabricación de portones metálicos, está atravesando por una gran
crisis financiera, lo cual la obliga a reducir los costos en un 20%.
La empresa produce en forma eficiente y no desea reducir la calidad del producto. Se conocen las
siguientes elasticidades de sus funciones económicas: de la demanda: -0,15: del costo total: 0,40; del
ingreso total: 0,30 y del producto total 0,06 (no deberá usar todas).
Se desea saber cuál será la variación relativa del ingreso de la empresa ante su decisión de
reducir los costos en un 20%.
10. Comprobación de la definición de la elasticidad
Datos: 1 1
10 1110 3 1,5 5,5 1,222%
3 9
pp x x x p
Comprobación:
%1
%2222,101222,0
5,1
018334,0018334,0481666,15,1
481666,13
445,4
3
555,5102555,5055,05,52055,001,0*5,5
p
px
x
x
xx
xpp
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58
11. Demuestre cómo se obtiene gráficamente el valor de la elasticidad en el punto A de la siguiente
curva de demanda, fundamentando el procedimiento empleado.
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES-(Funciones de una variable)
1. El costo total de producción de una empresa es 25354
1 2 xxCT y el precio de venta de
cada unidad es: x4
150 .
Se pide:
a) Hallar el número de unidades que se debe vender para que el beneficio sea máximo y decir a
cuánto asciende éste.
b) Obtener el costo mínimo por unidad producida.
2. La función de costo total para producir un bien es: 221260 xxCT
Se pide:
a) Hallar la función de costo medio y el nivel de producción para el cual esta función se minimiza.
Decir cuál es el menor costo medio.
b) Verifique que en el punto mínimo de la función de costo medio, el costo medio es igual al costo
marginal.
3. Una empresa que fabrica radios produce x aparatos semanales con un costo total de:
100325
1 2 xx , siendo la demanda de mercado de: 75 – 3p. Comprobar que el ingreso neto
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59
máximo (beneficio) se alcanza cuando se producen alrededor de 30 aparatos semanales. ¿Cuál será
el precio de venta en este caso?
4. Determinar cuánto debe producir una empresa que desea maximizar su ingreso total si su función
de demanda es: 65
90
px
5. Un fabricante produce una determinada mercadería a un costo de : 20640 2 xxCT ,
enfrentando una demanda igual a : x= 97,5 – 0,5p.
Se pide:
a) ¿Cuántas unidades de mercadería debería producir para obtener el máximo beneficio?
b) ¿Cuál será el precio que corresponda a ese beneficio máximo?
c) ¿Cuál será el beneficio máximo?
6. Si la demanda de un cierto bien responde a la función q = 120 – 2p determinar para que nivel de
producción el ingreso total será máximo y a cuánto ascenderá dicho ingreso total.
7. Si los costos variables de una empresa responden a la función: )25
13(100 2qqCV y los
costos fijos son iguales a $ 10.000. ¿Cuál es el costo mínimo por unidad? ¿Cuál es el mínimo costo
marginal?
8. Una empresa de energía eléctrica ha obtenido una concesión para abastecer un mercado con la
siguiente función de demanda: 2
10
px . El gobierno desea promocionar el producto de esta
empresa y garantizar la permanencia de la misma en el mercado, por lo tanto ésta recibe por parte
del Gobierno Provincial un subsidio a la producción de $ 8 y de la Municipalidad, un subsidio fijo
igual a $ 16 (ambos no reintegrables). Los costos totales de producción de la empresa responden
a la función: 23 42 xxCT .
Se pide:
Determinar el monto de los beneficios, el precio fijado y la cantidad producida de energía bajo cada
una de las siguientes hipótesis:
a) Maximización de beneficios.
b) Maximización de ventas.
Compare ambos resultados
IMPUESTOS
9. Sea la función de demanda: xp4
150 y la de costo total: xCT 2050
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60
Determine cuánto debe producir el monopolista, a que precio debe vender su producto, y a cuánto
ascenderá su beneficio en cada uno de los siguientes casos:
a) Si desea maximizar su beneficio.
b) Si desea maximizar su beneficio sabiendo que se le cobra un impuesto específico a la cantidad
producida igual a $ 8.
c) Si desea maximizar su beneficio y soporta un impuesto sobre los mismos del 2%
d) Maximiza beneficios y soportan un impuesto fijo de $ 200.
10. Una empresa cuyas funciones de demanda y costo son
respectivamente: pq4
125 qCT 5050 soportaba un impuesto a las ventas de un 1% el
que se eleva a un 4%. ¿Cuál es el efecto cuantitativo de ese aumento sobre la cantidad producida
y el precio?
11. MAXIMA RECAUDACION IMPOSITIVA. Se sabe que una empresa monopólica tiene las
siguientes funciones de ingreso y costo totales: qqIT 302 2 ; 1043 2 qqCT . El
gobierno desea aplicar un impuesto al producto de esta empresa y desea hacer máxima la
recaudación impositiva “T” proveniente de esta fuente. ¿Qué tasa impositiva “t” (pesos por unidad
de producto), debe elegir el gobierno y que cantidad la empresa producirá en momentos en que
se esté cobrando dicho impuesto?
Verifique mediante las condiciones de segundo orden si la recaudación impositiva es máxima.
SUBSIDIOS
Se trabaja exactamente igual que en el caso de los impuestos, sólo que en lugar de restarlo de los
beneficios, van sumando.
IMPUESTOS Y SUBSIDIOS SIMULTÁNEOS
BT = IT – CT – Impuestos + Subsidios
EJERCICIOS COMBINADOS
12. Una empresa monopólica posee una función de producción igual a: )12
3(25
2 xxPT .
Demuestre numéricamente que en el punto máximo de la curva de PMe el producto medio es
igual al producto marginal.
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61
13. Una empresa que produce heladeras enfrenta una función de demanda igual a: px 2100 y
un 5
15
xCMe . En el año “1”, tiene esta empresa como objetivo maximizar las ventas, pero
como el beneficio obtenido de esta manera era escaso, los socios deciden que en el año “2”,
producirán de tal manera de hacer máximo los beneficios. Decir cuál es el precio a que esta
empresa vende cada heladera durante los años “1” y “2”.
14. Una empresa maximizadora de beneficios fabrica calefactores y heladeras. La función de demanda
de calefactores es: q = 200 – 2p y un 1010
q
CMe . Para las heladeras la demanda es: x =
100 – p y el xCMe2
14 . En el mercado de los calefactores debe soportar un impuesto a los
beneficios del 3% y en el de las heladeras, recibe un subsidio a las ventas del 1%. ¿Cuál es el
mercado más ventajoso para esta empresa: el de las heladeras o el de los calefactores?
15. Decir a cuánto asciende el CMg mínimo de una empresa cuyo x
xxCMe30
100001202 2
16. Una empresa que produce escritorios posee las siguientes funciones de demanda y costo medio:
px3
115 , 10
10
xCMe
Si la empresa desea obtener un beneficio máximo y el gobierno le va a imponer un gravamen de t =
5. ¿Qué le convendrá a la empresa, que éste sea sobre la producción o sobre las ventas?
INTEGRALES
1. Calcular el IT de una empresa cuyo IMg es igual a: 60 – x.
2. Calcular el CT de una empresa cuyo CMg es igual a: 230 x - 200 x 500 y su CF es igual a
$ 50.
3. Observe el gráfico y responda:
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62
Si se producen 2 unidades:
a) Decir que representa el área OPTS.
b) Decir que representa el área OAES.
c) Demostrar cómo son entre sí: IMg = 100 – 6 x; IMe = 100 – 3 x.
d) Comprobar si es correcto lo obtenido en c) verificando en la función total
correspondiente.
4. Observar el gráfico de la siguiente hoja y responder:
Si se producen 3 unidades:
a) Decir que representa el área OPTR.
b) Decir que representa el área OAER.
c) Dados: CMg = x2 + 2 x + 3 ; x
6 3 x x
3
1 CMe 2 , determinar el CT cuando se
producen 3 unidades, mediante tres formas distintas que Ud. conozca. Indique
gráficamente a cuál corresponde cada una. El Costo Fijo asciende a $ 6.
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63
5. Dibujar en un mismo gráfico las funciones de IMe, IMg, CMe y CMg, y señalar dos áreas distintas
que representen el Beneficio Total para un nivel de ventas inferior al óptimo (indicando cómo
obtiene cada una).
6. Una empresa tiene las siguientes funciones de ingreso y costo: 2CMg 3 x - 8 x 8 ;
4 CF ; x4 -12 IMg . Decir cuál es el máximo beneficio de esta empresa y cuántas
unidades deben producirse para ello.
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR
7. Si la función de demanda de una empresa es: px2
110 , hallar el excedente del consumidor
cuando p = 4.
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64
FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES
PRODUCCIÓN
1. Construir las funciones de PMe y PMg para x1 correspondientes a la función de producción: Q = x1
x2 – 0,2 x12 – 0,8 x2
2.
y0
x0
X
Y
Z
y0
x0
f1 (x;y0)
f2 (x0;y) X
Z
Y
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65
2. La función de producción de sillas es: x = 10 L – L2 + 2 L K + 80 K – 2 K2, en la cual L y K son
respectivamente insumos de trabajo y de capital. Encuéntrese las productividades Me y Mg de L y
K para L = 3 y K = 10.
3. Encuentre las funciones de producto Marginal para la función de producción:
X = 50 L + 2 L2 – 3 L3 + 2 L K2 – 3 L2 K + 5 K2 – K3 y determine a continuación las
productividades marginales de L y K para L = 2 y K = 5.
4. FUNCIONES HOMOGÉNEAS: Decir cuáles de las siguientes funciones de producción son
homogéneas y que tipo de rendimientos a escala poseen:
a) Q = x . y
b) Q = x + y
c) Q = L3 + 3 T2 L
L . T
d) Q = x y2 – x2 y2 1/z
e) Q = A xa yb
f) Q = x2 + 2 x2 y + 5 x y2 + y2
x . y
g) Q = x y + 10 x
h) 1
21
212
.Q x
xx
xx
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOSVARIABLES
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66
1. PROPAGANDA. Determinar el nivel óptimo de publicidad (A*) para una empresa maximizadora de
beneficios cuyas funciones de ingreso y costo son:
100 A Q 2 A 40 -A 20 Q4
1-Q 5 IT 2 2 ; A 25 Q 3 CT
2. DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS. Una empresa puede separar a los consumidores de un bien “Q”
en dos mercados (1 y 2) cuyas demandas están representadas por las funciones:
p1 = 151 – Q1; p2 = 120 – Q2. La función de costo total de la empresa es:
CT = 100 + 8 Q + Q2.
Determinar el precio y la cantidad de equilibrio en cada mercado y el beneficio total de la
empresa.
3. MONOPOLISTA QUE PRODUCE DOS MERCANCÍAS QUE ESTÁN RELACIONADAS EN EL MERCADO.
Un monopolista produce dos mercancías: 1 y 2, cuyo consumo es interdependiente ya que la
demanda de mercado de la mercancía 1 depende de su precio y del precio de la mercancía 2, y lo
mismo para esta última. Si la demanda de dichas mercancías es: x1 = 5 – p1 + 2 p2; x2 = 4 + p1
– 3 p2 y la función de costos de la empresa son: CT = 4 x1 + 2 x2 (donde 4 y 2 son los costos
unitarios de ambas mercancías), se desea determinar a qué precio deberá vender cada mercancía
si desea obtener un beneficio máximo.
4. La empresa Beta produce dos bienes: 1 y 2 que se venden en el mercado (competencia perfecta)
a los siguientes precios: p1 = $ 12 y p2 = $ 18. El directorio ha solicitado al asesor económico que
indique que cantidades deben producirse para que las ganancias sean máximas y a cuánto
ascenderán éstas. La función de costo total es:
CT = 2 Q12 + Q1 Q2 + 2 Q2
2.
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67
5. PRODUCCIÓN. Una empresa utiliza para producir su único producto, dos factores: capital
(maquinarias) = x1 y trabajo = x2.
Lo que produce cada trabajador está representado por la función:
2
1211
2
1
2
3
1
2
2
1
x
x140 - x x- x17 x
3x
x2-
x20 PMe
x
a) Se desea saber si existe algún nivel de utilización del trabajo para el cual la productividad
marginal del capital sea máxima.
b) Cuánto puede producir como máximo cada máquina.
6. PRESENTACIÓN DE UN PRODUCTO. Un empresario cuyo objetivo es maximizar su ganancia está
estudiando la posibilidad de producir un nuevo producto. Existen dos formas de presentación del
mismo: en envases de cartón con lo cual el costo medio del producto es de $ 90, o en envases de
material plástico con un costo medio de $ 130. De elegir la primera alternativa la demanda
estimada es: Q1 = 1900 – 20 p1, si elige la segunda:
Q2 = 2240 – 16 p2
SE PIDE:
a) Si no existe la posibilidad técnica de utilizar las dos maneras de forma simultáneas: ¿qué
alternativa elegiría el empresario? ¿A qué precio se venderá el producto y a cuánto
ascenderán los beneficios?
b) Si puede combinar simultáneamente ambas formas de presentación: ¿cuánto producirá de
cada una y cuáles serán los precios y el beneficio?
7. EJERCICIOS DE REPASO CON SOLUCIONES.
a. Las demandas de dos bienes X1 y X2 están dadas por D1 = 16 -p12 y D2 = 9 - p2
2 y la función
de costo es C (p1;p2)= p12 + 3 p2
2. Determinar las cantidades y los precios que maximizan el
beneficio.- Respuesta: p1=2; p2=1; D1=12; D2=8
b. Si las demandas de dos bienes X1 y X2 son D1 = 24 -2p1 y D2 = 20 – 4 p2 y la función de costo
C (p1;p2)= p12 + p1p2 + 2 p2
2 hallar los precios p1 yp2 y cantidades D1 y D2 que maximizan el
beneficio. Respuesta:p1=268/71; p2=96/71 ; D1=1168/71; D2=1036/71.
c. Si las demandas de dos bienes son X1 = 4 - p1 + p2 y X2 = 3+p1-2p2hallar los precios p1 yp2
y cantidades X1 y X2 que maximizan el beneficio si el costo de producción unitario es de 4 para X1
y de 2 para X2. Respuesta:p1=15/2; p2=9/2 ; D1=1; D2=3/2.
d. Un monopolista produce dos artículos X1 y X2 cuyas demandasson: X1 = 8 - p1 + p2 y X2 = 9
+ p1 - 5 p2.Encontrar las cantidades y precios que maximizan el beneficio si los costos de
producir una unidad de X1 es igual a 4 y de X2 es igual a 2. Respuesta:p1=65/8 ; p2=25/8 ;
D1=3 ; D2=3/2.
e. Un producto se vende en dos mercados diferentes, (1 y 2) cuyas demandas están
representadas por las funciones: p1 = 40 – 5 q1; p2 = 30 – 3 q2. La función de costo es C
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68
(p1;p2)= q12+2 q1q2 3 q2
2. Calcular el precio y la cantidad que deben venderse en cada mercado
para obtener el máximo beneficio. Respuesta:p1=25 ; p2=24 ; q1=3 ; q2=2.
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES SUJETAS A UNA
RESTRICCIÓN
1. Maximización de la producción bajo una restricción presupuestaria. Una refinería utiliza para la
producción de nafta dos tipos de petróleo: x1 = petróleo tipo A y x2 = petróleo tipo B. La
producción responde a la función: PT = x1 x22 + x1
2 x2.
El costo de cada factor productivo asciende a $ 5 por unidad para ambos tipos de petróleo.
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69
Encontrar la máxima producción posible de nafta sabiendo que la empresa tiene una restricción
financiera por la cual no puede gastar más de $ 500 en dicha producción.
Explicar el significado de x1, x2 y lambda.
2. COSTOS. La producción de un bien “Q” cuando se utilizan las cantidades x1 y x2 de dos factores
productivos, viene dada por la función de producción: Q = x1 x2. Siendo los precios de los factores
constantes e iguales a $ 8 y $ 2 respectivamente y el nivel de producción deseado de: Q = 100.
a) Determinar el costo total mínimo para Q = 100.
b) Interpretar el significado económico de la variable lambda.
c) Determinar el CMg para ese nivel de producción.
3. Plantear las condiciones de primer orden de los siguientes problemas (NO RESOLVER, SOLO
DEJAR PLANTEADO LO SOLICITADO):
a) Una empresa vende dos bienes en el mercado cuyas demandas son:
x1 = 100 – 2 p1 + 3 p2; x2 = 60 + 4 p1 – 5 p2. La empresa compite con otras dos empresas en el
mismo ramo. Todas intentan ganarse el mercado desplazando a las otras, tratando de obtener el
mayor nivel de ventas posible. Nuestra empresa tiene un costo medio de $ 2 para el producto 1 y
de $ 4 para el producto 2.
El gobierno desea promocionar la venta del producto 1 y le otorga un subsidio a la producción de
$ 70.
La empresa desea obtener un beneficio de $ 150. La misma debe soportar un impuesto a las
ventas del producto 2 del 5%.
Se desea saber cuánto debe vender la empresa de cada producto.
b) Una empresa dispone para producir de los siguientes factores: maquinarias (x1) y trabajo (x2) y
dinero en efectivo el cual asciende a $ 1.200. Lo que produce cada trabajador está representado
por la función: 25 x1 x2 + 50 x12 x2 – 40 x2
2 x1 + 2 x1 + 4 x2 + 50.000
La empresa debe pagar un salario de $ 4 por trabajador. Cada máquina le cuesta $ 10.
La empresa está estudiando la conveniencia o no de cambiar el equipo de máquinas y para ello
necesita saber cuánto se puede producir actualmente como máximo por cada máquina.
c) Suponga que la empresa del punto b) posee ahora una cantidad ilimitada de dinero para
producir y desea saber si habrá algún nivel de utilización del trabajo para el cual la productividad
marginal del mismo sea máxima.
d) Un monopolista produce escritorios de dos tipos: de tapa de fórmica y de tapa de acrílico,
siendo la demanda de cada uno igual a:
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70
x1 = 50 – 2 p1 + 3 p2 (fórmica); x2 = 70 + 3 p1 – 5 p2 (acrílico).
Los costos unitarios de la empresa son: $ 5 para los de fórmica y $ 10 para los de acrílico.
Debido a una gran escasez de madera que hay en el mercado, esta empresa no puede producir
más de 250 escritorios.
La empresa desea saber cuánto debe producir de cada tipo de escritorios para poder maximizar
su beneficio.
4. EJERCICIOS DE REPASO CON SOLUCIONES
a) Dada la función de utilidad de un consumidor U=x1 . x2 , los precios de los bienes son p1=1 y
p2=3, y el ingreso es I=15, encontrar las cantidades x1 y x2 que hacen máxima la utilidad y a
cuánto asciende ésta. Dar la interpretación económica de λ. Respuesta: x1 = 7,5; x2= 2,5;
U=18,75; λ indica la utilidad marginal del ingreso.
b) Una fábrica produce artículos x1 y x2 . La función de costo es: C (x1;
x2) = x12 + 2 x2
2 - x1 el cual se quiere minimizar. Determinar el costo mínimo y las cantidades
a producir si el total de artículos debe ser 8. Respuesta: x1 = 5,5; x2= 2,5; C = 37,25.
c) La función de utilidad es U = 10x1 + 20x2 + 4x1x2. Si la restricción presupuestaria es 2x1 + 3x2
= 18, hallar las cantidades que maximizan la utilidad y a cuánto asciende ésta. Dar la
interpretación económica de λ. Respuesta: x1 = 31/8; x2= 41/12; U = 3.841/24; λ indica la
utilidad marginal del ingreso.
d) El número de fallas N como función de las variables x e y de cambios de dos partes de una
máquina está dado por N(x;y)= 3x3 + y2 + 2xy - 22x + 60. Para minimizar las fallas, ¿qué
número de cambios deben realizarse de cada parte si 2x = y ?. Respuesta: x = 1 e y = 2,
N=49.
e) La producción P en función de las cantidades x e y de los insumos X e Y está dado por P(x;y)
= x2 + 5xy - 4y2 . Hallar las cantidades que maximizan la producción si 2x+3y= 74 y el
máximo valor de ésta. Dar la interpretación económica del multiplicador de Lagrange (λ).
Respuesta: x = 31; y= 4; P = 1.517; λ indica la productividad del capital.
f) Un ganadero tiene la función de producción P(x;y) = 110x-3 x2 - 2xy + 5y2, donde x es la
cantidad de medias reses e y son lacantidad de cueros. Sabiendo que hay 2 costados de res
por cada cuero, ¿qué cantidad de vacas maximizará su producción? ¿a cuánto asciende ésta?
Respuesta: 10 vacas; P = 1100.
g) Un fabricante de piezas para industrias de triciclos vende 3 ruedas por cada armazón. Si la
demanda de ruedas es Dr= 63 – 1/4 pr, la demanda de armazones es Da=60-1/3pa y el
costo conjunto es C(Da;Dr)=Dr2+DrDa+Da
2+190. Hallar a qué precios y con qué producción se
obtiene el máximo beneficio y a cuánto asciende éste. Respuesta: Dr= 27; Da=9; pr =144
;pa=153 ;B=4.022.
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71
h) Dada la función de producción P=3x1x2, obtener el costo mínimo y las cantidades de cada
insumo necesarias para producir 15 unidades si el costo fijo es 150 y los precios unitarios de
cada insumo son p1=5 y p2=9. Respuesta: x1=3; x2= 5/3; Cmin= 180.
i) Dada la función de producción de un artículo P(x1;x2)=3x1x2, si x1 y x2 son las cantidades de
2 insumos X1 y X2 y p1=4,p2=5 son los precios de los insumos, 300 es el costo fijo, hallar: a)el
costo mínimo para p=6000, b) el producto máximo para C=500. En ambos casos determinar
las cantidades x1 y x2 correspondientes. Dar la interpretación económica de λ en el caso b).
Respuesta: a) x1=50; x2= 40; C= 700. b) x1=25; x2= 10; P= 1500. λ indica la productividad
del capital.
j) La relación entre las ventas V y las sumas x e y gastadas en dos medios de publicidad está
dada por 200 100
5 10
x yV
x y
. La ganancia es 1/5 de las ventas menos el costo de la
promoción. El presupuesto para publicidad es 25. Determinar cuánto debe asignarse a cada
medio de publicidad para maximizar la ganancia y a cuánto asciende ésta. Sólo plantear.
Respuesta: x= 15 , y= 10, B= 15.
k) Dada la función de utilidad U(x1; x2)= x1.x2, si x1 y x2 son las cantidades de 2 artículos X1 y X2
y p1=2 y p2=5 son los precios de los mismos, hallar la utilidad máxima y las cantidades x1 y x2
que la maximizan si el ingreso es 100. Dar la interpretación económica de λ. Respuesta:
x1=25; x2= 10; U= 250. λ indica la utilidad marginal del ingreso.
l) Hallar las cantidades de insumo que hacen máximo el nivel de producción si el costo total del
trabajo (a 48 dólares por unidad) más el costo del capital (a 36 dólares por unidad) se limita a
115.200 dólares sabiendo que P (t; c)= 100 t 0,25 c0,75. Respuesta: t=600, c=2400,
P=169.704.
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72
Anexo I: APLICACIONES ECONÓMICAS - SOLUCIONES
Demanda y Oferta
1. a) Q= 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54
b)
c) Q’ = 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35
2. a) S= 76, 68, 60, 52, 44, 36, 28, 20, 12
b)
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73
c)S’= 80, 72, 64, 56, 48, 40, 32, 24, 16
3. a) Qd= 66 – 36 p ; Qs= -4 + 4 p ; pe= 10 ; Qe= 36
b)
p 20 18 16 14 12 10 8 6
Q 6 12 18 24 30 36 42 48
S 76 68 60 52 44 36 28 20
c)
d) pe=12 ; Qe= 30
S’ 62 54 46 38 30 22 14 6
4. a) Oferta; b) Demanda; c) Oferta; d) No es función económica; e) Oferta; f) No es función
económica.
5. a) xd= 9; 6; 3,5
b) p = 4; 12;3,2
c) p = 40
6. a) p = 1 ; 0,81 ; 0,54
b) xs = 8,7 ; 6,5 ; 4.41
c) p = 0,09
7. qe = 1,8 ; pe = 28,2
8. q = -1/2 p +50 o p = -2q+100
9. a) a= 36.000 ; b = 1.500
b) p = 8
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Ingreso
1. IT = 20x
2. a) IT (p) =120 p – 2 p2
b) IT (x) = -1/2 x2+ 60 x
c)
3.
4. a) p = 12-3x
b) x = 200-4p
c) b
pa x
5.
x 0 1 3 6 7 9 10
Ime - 10 9 7.5 7 6 5,5
Img 10 8,5 6 4 2,5 1
b) Img = - x + 10,5
c) x = 10,5
6. p = 5 – 10 x
xx
x5
6
90IT(x)
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Costos
1. a) Cme = 50.000/x + 30.000
b) Cme = 80.000
2. CF = 500 ; CV = 300 x + 4 x2
3.
x 1 2 4 7 9 10
Cme 30 20 12 15 30 45
Cmg 10 4 19 82,5 180
4. CT = 80 + 2 x
5. a) x = 11,2 ; Cme = 388,8
b) CT = 4.361,76
6. Cme = 250
7. Cme = 705
8. CT = 20 x3 – 50 x2 + 500 x + 10
Beneficio
1. Máx BT = 140 ; x=0,33 y 20
2. BT = 20 x – x2 – 25
3. a) x = 60 ; b) BT = 850
Producción
1. a)
b) x = 24 hombres ; PT = 23 Tn
c) Pme = 3/25 x – x2 /300
d) x = 18 ; Pme = 1,08 Tn
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Valor marginal de una función
1. a) Img = -2/5 x + 10
b) Img = - 4 x + 6
2. a) Cmg = 2 + 6 x ; Cme = 8/x + 2 + 3 x
b) Cmg = 6.002 ; Cme = 3.002,008
3. Umg = 10 – 6 x
4. a) Bmg = -10 x + 26
b) Cmg = 2x – 6
c) Img = 20 – 8 x
5. Pmg = 60 – 6 x + 3 x2
6. a)
b)
c)
Elasticidad
1. E= -7/3 ; E= -1/3 ; E= -11/9
2. a) E = -a
b) E = -2
3. a) E = 5p
b)
4. E arco = -2,54 ; E punto = -2,57 ; VRx = 10,1 %
5. E arco = -1,5 ; E punto = -1,5 ; VRx = 3,33 %
6. Δp/p = 0,81 = 81 %
7.
8.
9. ΔIT/IT = 0,15 = 15 % (disminución)
2
804
1Dmg
p
p8
1Dmg
p
22
1Dmg
)(2E
ap
p
2
2
25250
225Ect
xx
xx
x
x
12Ecme
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Optimización de funciones de una variable
1. a) x = 15 ; BT = 87,5
b) x= 10 ; Cme = 40
2. a) Cme = 60/x – 12 + 2x ; x = 5,477 ; Cme = 9,91
b) Cme = Cmg = 9,91
3. x = 30 ; p = 15 ; BT = 224,10
4. x = 4,3 ; p = 3,7 ; IT = 16
5. x = 2,25 ; p = 190,5 ; BT = 195
6. q = 60 ; IT = 1.800
7. Cme = 700 ; Cmg = no tiene mínimo
8. a) x = 2,09 ; p = 5,82 ; BT = 44,1
b) x = 2,5 ; p = 5 ; BT = 42,25
Impuestos
9. a) x = 60 ; p = 35 ; BT = 850
b) x = 44 ; p = 39 ; BT = 434
c) x = 60 ; p = 35 ; BT = 833
d) x = 60 ; p = 35 ; BT = 650
10. 1% : q= 6,1 ; p = 75,3 ; BT = 101,5
4% : q= 5,98 ; p = 76,08 ; BT = 87,77
11. t=13 ; q = 1,3 ; T = 16,90
Ejercicios combinados
12. x = 18 ; Pme = Pmg = 1,08
13. Año 1 : x = 50 ; p = 25
Año 2 : x = 50,2 ; p = 24,9
14. Calefactores : x = 90 ; BT = 3.918,80 (conviene)
Heladeras : x = 32,11 ; BT = 1.557,70
15. x= 20 ; Cmg = 7.600
16. Producción (t=5) : x = 5 ; BT = 65
Ventas (t = 5%) : x = 5,745 ; BT = 84,085 (conviene)
Integrales
1. IT = 60 x – 1/2 x2
2. CT = 10 x3– 100 x2 + 500 x + 50
3. a) IT (x=2) ; b) IT (x=2) ; c) 188 ; d) 188
4. a) CT (x=3) ; b) CT (x=3) ; c) 33 ; d) 33
5. a) Ime . Q – Cme . Q = Área EFGH
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b)
6. x = 2 ; BT = 4
Excedente del consumidor
7. Exco = 64
Funciones de dos o más variables
1. Pme x1 = x2 – 0,2 x1 – 0,8 x22 / x1 ; Pmg x1 = x2 – 0,4 x1
2. Pmg L = 24 ; Pmg K = 46 ; Pme L = 227 ; Pme K = 68,1
ABCDÁreaCmgImgBT0 0
Qa Qa
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3. Pmg L = 12 ; Pmg K = 3
4. Funciones homogéneas:
a) Rendimientos crecientes a escala
b) Rendimientos constantes a escala
c) Rendimientos constantes a escala
d) Rendimientos crecientes a escala
e) Si a+b >1 Rendimientos crecientes a escala; si a+b = 1 Rendimientos constantes a escala; si
a+b < 1 Rendimientos decrecientes a escala
f) No es función homogénea
g) No es función homogénea
h) No es función homogénea
Optimización de funciones de dos variables
1. A = 0,375 ; Q = 5,5 ; H = 36
2. Q1 = 29 ; p1 = 122 ; Q2 = 13,5 ; p2 = 106,5 ; BT = 2.729,5 ; H = 12
3. p1 = 16 ; p2 = 25/3 ; x1 = 5,66 ; x2 = -5 (no se produce) ; H = 3
4. Q1 = 2 ; Q2 = 4 ; BT = 48 ; H = 15
5. a) x1 = 28,5 ; x2 = 37 ; Pmg x1 = 744 ; H = 4
b) x1 = 34,2 ; x2 = 25,6 ; Pme x1 = 419,6 ; H = 5/3
6. a) Q1 = 50 ; p1 = 92,5 ; B1 = 125 ; Q2 = 80 ; p2 = 135 ; B2 = 400 (elegido)
b) Q1 = 50 ; p1 = 92,5 ; Q2 = 80 ; p2 = 135
Optimización de funciones de dos variables o más variables sujetas a una
restricción
1. x1 = 50 ; x2 = 50 ; λ = -1.500 ; PT = 250.000 ; H = 5.000
2. x1 = 5 ; x2 = 20 ; λ = -2/5 ; CT = 80 ; H = -80
3. a) Máx IT sujeto a BT = 150
b) Máx PMe x1 sujeto a CT = 1.200
c) Máx PMg x2
d) Máx BT sujeto a x1 + x2 = 250
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