Análisis Numérico y Mecánica Geométrica

Javier Fernandez

Instituto BalseiroUniversidad Nacional de Cuyo – C.N.E.A.

Departamento de Matemática, F.C.E., U.N.L.P., julio de 2014

Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014

Integradores numéricos

Integradores Numéricos

Un problema muy general

I Resolver el problema de valores inicialesq = f (q)

q(0) = q0.(1)

I Más simple: resolver aproximadamente el problema (1).I Derivadas = límite de cocientes incrementales

IdeaReemplazar derivadas por cocientes incrementales.

q(0) = q0.(1)

I Más simple: resolver aproximadamente el problema (1).

I Derivadas = límite de cocientes incrementales

q(0) = q0.(1)

Integradores numéricos Métodos de Euler

Método de Euler explícito

I Tomar tk := kh.

I q(t) solución de (1), entoncesI Definir

• q0 := q0,• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.

I La sucesión qk es el método de Euler explícito.

I Tomar tk := kh.I q(t) solución de (1), entonces

I Definir

• q0 := q0,• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.

f (q(tk )) = q(tk ) ' q(tk+1)− q(tk )

tk+1 − tk=

q(tk+1)− q(tk )

I Definir

• q0 := q0,• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.

f (q(tk )) = q(tk ) ' q(tk+1)− q(tk )

tk+1 − tk=

q(tk+1)− q(tk )

I Definir

• q0 := q0,• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.

f (q(tk )) = q(tk ) ' q(tk+1)− q(tk )

tk+1 − tk=

q(tk+1)− q(tk )

I Definir• q0 := q0,

• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.I La sucesión qk es el método de Euler explícito.

f (q(tk )) = q(tk ) ' q(tk+1)− q(tk )

tk+1 − tk=

q(tk+1)− q(tk )

I Definir• q0 := q0,• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.

f (q(tk )) = q(tk ) ' q(tk+1)− q(tk )

tk+1 − tk=

q(tk+1)− q(tk )

I Definir• q0 := q0,• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.

Un ejemplo: el péndulo plano (ideal)

I barra de longitud l (sin masa)I masa puntual mI aceleración de la gravedad gI variable: θ = ánguloI dinámica definida por lagrangiano

L(θ, θ) :=12

ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))

I ecuación de movimiento

θ +gl

sin(θ) = 0

I problema: la ecuación es de segundo orden...

I barra de longitud l (sin masa)

I masa puntual mI aceleración de la gravedad gI variable: θ = ánguloI dinámica definida por lagrangiano

L(θ, θ) :=12

θ +gl

sin(θ) = 0

I barra de longitud l (sin masa)I masa puntual m

I aceleración de la gravedad gI variable: θ = ánguloI dinámica definida por lagrangiano

L(θ, θ) :=12

θ +gl

sin(θ) = 0

I barra de longitud l (sin masa)I masa puntual mI aceleración de la gravedad g

I variable: θ = ánguloI dinámica definida por lagrangiano

L(θ, θ) :=12

θ +gl

sin(θ) = 0

I barra de longitud l (sin masa)I masa puntual mI aceleración de la gravedad gI variable: θ = ángulo

I dinámica definida por lagrangiano

L(θ, θ) :=12

θ +gl

sin(θ) = 0

L(θ, θ) :=12

θ +gl

sin(θ) = 0

L(θ, θ) :=12

θ +gl

sin(θ) = 0

L(θ, θ) :=12

θ +gl

sin(θ) = 0

Paso a primer orden

I Agregar las derivadas primeras como variables adicionales

I Se convierte en q = f (q),

q(0) = q0

)y f (q) :=

−gl sin(q1)

)I Fijamos

l :=g2

y q0 :=

Paso a primer orden

q(0) = q0

)y f (q) :=

−gl sin(q1)

)I Fijamos

l :=g2

y q0 :=

Paso a primer orden

ν = θ

q(0) = q0

)y f (q) :=

−gl sin(q1)

)I Fijamos

l :=g2

y q0 :=

Paso a primer orden

ν = θθ = ν

ν = −gl sin(θ)

q(0) = q0

)y f (q) :=

−gl sin(q1)

)I Fijamos

l :=g2

y q0 :=

Paso a primer orden

ν = θθ = ν

ν = −gl sin(θ)

q(0) = q0

)y f (q) :=

−gl sin(q1)

)I Fijamos

l :=g2

y q0 :=

Paso a primer orden

ν = θθ = ν

ν = −gl sin(θ)

q(0) = q0

)y f (q) :=

−gl sin(q1)

I Fijamos

l :=g2

y q0 :=

Paso a primer orden

ν = θθ = ν

ν = −gl sin(θ)

q(0) = q0

)y f (q) :=

−gl sin(q1)

)I Fijamos

l :=g2

y q0 :=

)Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014

Resultados

I h = 0.02

Resultados

I h = 0.02

Figura : x

Resultados

I h = 0.02

Figura : x Figura : x − v

Resultados

I h = 0.02

Figura : x Figura : x − v Figura : ∆ energía

Observaciones

I La solución es buena sit < 2

I Si t > 2 la solución“adelanta”

I Mismo fenómeno en elespacio de fases

I Trayectoria no cerrada enespacio de fases

I La energía crece

Figura : x

Observaciones

I La energía crece

Figura : x

Observaciones

I La energía crece

Figura : x − v

Observaciones

I La energía crece

Figura : x − v

Observaciones

I La energía crece

Figura : ∆ energía

Observaciones

I La energía crece

Figura : x − v

Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet

Método de Störmer–Verlet (2 pasos)

I Ecuaciones de la formaq = f (q)

q(0) = q0, q(0) = q′0.(2)

I Aproximar derivada segunda por cocientes incrementales

I Ecuación:q(tk+1)− 2q(tk ) + q(tk−1) ' h2f (qk )

I Método:qk+1 = 2qk − qk−1 + h2f (qk )

I datos iniciales⇒ q0 y q1

q(0) = q0, q(0) = q′0.(2)

Método de Störmer–Verlet (1 paso)

I Reducción del orden introduciendo nuevas variables.

I El método: vk+ 1

2:= vk + h

2 f (qk )

qk+1 = qk + hvk+ 12

vk+1 = vk+ 12

+ h2 f (qk+1)

I Evolución en un paso (espacio de fases):

(qk , vk ) 7→ (qk+1, vk+1)

q = v , v = f (q)

I El método: vk+ 1

2:= vk + h

2 f (qk )

qk+1 = qk + hvk+ 12

vk+1 = vk+ 12

+ h2 f (qk+1)

(qk , vk ) 7→ (qk+1, vk+1)

q = v , v = f (q)

I El método: vk+ 1

2:= vk + h

2 f (qk )

qk+1 = qk + hvk+ 12

vk+1 = vk+ 12

+ h2 f (qk+1)

(qk , vk ) 7→ (qk+1, vk+1)

q = v , v = f (q)

I El método: vk+ 1

2:= vk + h

2 f (qk )

qk+1 = qk + hvk+ 12

vk+1 = vk+ 12

+ h2 f (qk+1)

(qk , vk ) 7→ (qk+1, vk+1)

Péndulo con Störmer–Verlet

I h = 0.02

I Gráficas indistinguibles de la solución exacta (numérica)I Diferencias con la solución exacta (numérica):

I h = 0.02I Gráficas indistinguibles de la solución exacta (numérica)

I Diferencias con la solución exacta (numérica):

I h = 0.02I Gráficas indistinguibles de la solución exacta (numérica)I Diferencias con la solución exacta (numérica):

Figura : ∆ x

Figura : ∆ x Figura : ∆ v

Figura : ∆ x Figura : ∆ v Figura : ∆ x − v

Mismos gráficos para Euler explícito

Figura : ∆ x

Figura : ∆ x Figura : ∆ v

Figura : ∆ x Figura : ∆ v Figura : ∆ x − v

Observaciones

I Las gráficas de Störmer–Verlet y Euler explícita soncualitativamente similares.

I Son cuantitativamente muy diferentes.

Observaciones

I Las gráficas de Störmer–Verlet y Euler explícita soncualitativamente similares.

I Son cuantitativamente muy diferentes.

∆ Energía con Euler explícito y Störmer–Verlet

Figura : Störmer–Verlet

Figura : Störmer–Verlet Figura : Euler explícito

Observaciones

I Energía: comportamiento cualitativamente muy distinto en ambosmétodos.

I Störmer–Verlet: oscila cerca del valor exacto.I Euler explícito crece aproximadamente linealmente.

I Posición y velocidad: para h = 1 el error con Störmer–Verlet escomparable al error de Euler explícito con h = 0.02.

Observaciones

I Störmer–Verlet: oscila cerca del valor exacto.

I Euler explícito crece aproximadamente linealmente.

Observaciones

Integradores numéricos Errores locales

Orden de un método

I Φh integrador (método numérico)I q(t) solución exacta (condición inicial q0)

Definición (orden de Φh)

Si Φh(q0)− q(h) = O(hr+1), el método tiene orden r .

I Euler explícito:I Störmer–Verlet: orden 2.

Orden de un método

I Φh integrador (método numérico)

I q(t) solución exacta (condición inicial q0)

Orden de un método

I Euler explícito:

I Störmer–Verlet: orden 2.

Orden de un método

I Euler explícito:

Φh(q0)− q(h) =q0 + hf (q0)−(q(0) + hq(0) +O(h2)

)=q0 + hf (q0)−

(q0 + hf (q0) +O(h2)

)=O(h2).

Orden de un método

I Euler explícito: orden 1

Φh(q0)− q(h) =q0 + hf (q0)−(q(0) + hq(0) +O(h2)

)=q0 + hf (q0)−

(q0 + hf (q0) +O(h2)

)=O(h2).

Orden de un método

I Euler explícito: orden 1

Φh(q0)− q(h) =q0 + hf (q0)−(q(0) + hq(0) +O(h2)

)=q0 + hf (q0)−

(q0 + hf (q0) +O(h2)

)=O(h2).

¿Podría ser el orden?

I ¿Distinto orden⇒ distinto comportamiento energía?

Figura : Euler explícito(h = 0.0004)

Figura : Euler explícito(h = 0.0004) Figura : Runge-Kutta (h = 0.02)

Integradores numéricos Algunos resultados generales

Ecuaciones hamiltonianasq = ∂pH(q,p)

p = −∂qH(q,p)

I H(q,p) función suavedada.

I donde XH satisface

ω(XH , ·) = dH

I ω es la forma simpléctica

DefiniciónΦh es simpléctico si conserva la estructura simpléctica, es decir, si

Φ∗h(ω) = ω.

p = −∂qH(q,p)

ω(XH , ·) = dH

Φ∗h(ω) = ω.

p = −∂qH(q,p)

Versión intrínseca:

ω(XH , ·) = dH

Φ∗h(ω) = ω.

p = −∂qH(q,p)

γ(t) = XH(γ(t))

ω(XH , ·) = dH

Φ∗h(ω) = ω.

p = −∂qH(q,p)

γ(t) = XH(γ(t))

ω(XH , ·) = dH

Φ∗h(ω) = ω.

p = −∂qH(q,p)

γ(t) = XH(γ(t))

ω(XH , ·) = dH

Φ∗h(ω) = ω.

p = −∂qH(q,p)

γ(t) = XH(γ(t))

ω(XH , ·) = dH

Φ∗h(ω) = ω.

Para Störmer–Verlet

TeoremaStörmer–Verlet aplicado a sistemas hamiltonianos es simpléctico.

I Se deduce de que

• Störmer–Verlet puede ser visto como un integrador variacional• Todo integrador variacional es simpléctico.

CorolarioStörmer–Verlet aplicado a sistemas hamiltonianos preservavolúmenes en el espacio de fases.

I Se deduce de que

• Störmer–Verlet puede ser visto como un integrador variacional• Todo integrador variacional es simpléctico.

I Se deduce de que• Störmer–Verlet puede ser visto como un integrador variacional

• Todo integrador variacional es simpléctico.

I Se deduce de que• Störmer–Verlet puede ser visto como un integrador variacional• Todo integrador variacional es simpléctico.

Backward error analysis

I Φh integrador numérico de y = f (y)

I yk = Φkh(y) no satisface yk = y(kh).

I Idea: construir una ecuación modificada cuya solución y satisfagayk = y(kh).

I Pueden no existir tales ecuaciones modificadas (problemas deconvergencia).

Existencia de ecuaciones modificadas (truncadas)

TeoremaDada la ecuación y = f (y) y el integrador Φh de la misma tal que

Φh(y) = y + hf (y) +∞∑

Dj(y)hj ,

entonces existen únicos fj tales que para cada K ∈ N vale

Φh(y) = φh,K (y) +O(hK+1),

donde φh,K es el flujo exacto de la ecuación diferencial modificadatruncada:

y = f (y) +K∑

fj(y)hj−1. (3)

Existencia de ecuaciones modificadas (truncadas)

TeoremaDada la ecuación y = f (y) y el integrador Φh de la misma tal que

Φh(y) = y + hf (y) +∞∑

Dj(y)hj ,

entonces existen únicos fj tales que para cada K ∈ N vale

Φh(y) = φh,K (y) +O(hK+1),

donde φh,K es el flujo exacto de la ecuación diferencial modificadatruncada:

y = f (y) +K∑

fj(y)hj−1. (3)

Más resultados

TeoremaSi Störmer–Verlet se aplica a un sistema hamiltoniano, entonces todaslas ecuaciones modificadas truncadas son hamiltonianas.

TeoremaEl error local del integrador Φh como integrador de la ecuaciónmodificada truncada es exponencialmente pequeño. Un poco másprecisamente, se tiene que

|Φh(y)− φh,K (y)| ≤ hB exp(−h0/h)

donde B y h0 son constantes dependientes de Φh y de la región en laque y toma valores.

Más resultados

El último....

TeoremaEl hamiltoniano de la sucesión del método de Störmer–Verlet (qk ,pk )satisface

|H(qk ,pk )− H(q0,p0)| ≤ Ch2 + CK hK t

donde 0 ≤ t = kh ≤ h−K , para cualquier K ∈ N. Las constantes C yCK son independientes de t y h y dependen de cotas en las derivadasde H y de la región que contiene a los puntos de la sucesión.

I La demostración usa la simplecticidad de Störmer–Verlet.

I La demostración (y el resultado) valen para integradoressimplécticos mucho más generales.

El último....

Mecánica Clásica

Sistema mecánico

I Q: Variedad diferencial espacio de configuración

I L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)

• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1

2 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))

I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que

• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =

∫ 10 L(q(t), q(t))dt y

• δq variación de q(·) con extremos fijos.

Teorema

q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −

ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)

I Ecuación de Euler–Lagrange

Mecánica Clásica

Sistema mecánico

I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangiano

I Ejemplo (péndulo)

• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1

• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =

∫ 10 L(q(t), q(t))dt y

Teorema

Mecánica Clásica

Sistema mecánico

I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)

• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1

• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =

∫ 10 L(q(t), q(t))dt y

Teorema

Mecánica Clásica

Sistema mecánico

• Q := S1 ' R/(2πZ)

• L(θ, θ) := 12 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))

• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =

∫ 10 L(q(t), q(t))dt y

Teorema

Mecánica Clásica

Sistema mecánico

• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1

• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =

∫ 10 L(q(t), q(t))dt y

Teorema

Mecánica Clásica

Sistema mecánico

• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1

• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =

∫ 10 L(q(t), q(t))dt y

Teorema

Mecánica Clásica

Sistema mecánico

• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1

I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para

• S(q(·)) =∫ 1

0 L(q(t), q(t))dt y• δq variación de q(·) con extremos fijos.

Teorema

Mecánica Clásica

Sistema mecánico

• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1

I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =

∫ 10 L(q(t), q(t))dt y

Teorema

Mecánica Clásica

Sistema mecánico

• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1

∫ 10 L(q(t), q(t))dt y

Teorema

Mecánica Clásica

Sistema mecánico

• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1

∫ 10 L(q(t), q(t))dt y

Teorema

Mecánica Clásica

Sistema mecánico

• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1

∫ 10 L(q(t), q(t))dt y

Teorema

Mecánica Clásica

Sistema mecánico

• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1

∫ 10 L(q(t), q(t))dt y

Teorema

I Ecuación de Euler–Lagrange (equivalente Ec. Newton)

Mecánica discreta

Mecánica Discreta

Mecánica discreta Sistema dinámico

Sistema mecánico discreto

I Formalismo análogo a la mecánica clásica

I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.I Ejemplo (péndulo discreto)

• Q := S1 ' R/(2πZ)•

Ld (θ0, θ1) := h(

(θ1 − θ0

− 2 cos(θ0)

)• h > 0, constante

I Más general, si Q es un espacio vectorial y L : TQ → R

I Formalismo análogo a la mecánica clásicaI Q: Variedad diferencial espacio de configuración

I Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.I Ejemplo (péndulo discreto)

• Q := S1 ' R/(2πZ)•

Ld (θ0, θ1) := h(

(θ1 − θ0

− 2 cos(θ0)

I Formalismo análogo a la mecánica clásicaI Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.

I Ejemplo (péndulo discreto)

• Q := S1 ' R/(2πZ)•

Ld (θ0, θ1) := h(

(θ1 − θ0

− 2 cos(θ0)

I Formalismo análogo a la mecánica clásicaI Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.I Ejemplo (péndulo discreto)

• Q := S1 ' R/(2πZ)•

Ld (θ0, θ1) := h(

(θ1 − θ0

− 2 cos(θ0)

• Q := S1 ' R/(2πZ)

Ld (θ0, θ1) := h(

(θ1 − θ0

− 2 cos(θ0)

• Q := S1 ' R/(2πZ)•

Ld (θ0, θ1) := h(

(θ1 − θ0

− 2 cos(θ0)

• h > 0, constanteI Más general, si Q es un espacio vectorial y L : TQ → R

• Q := S1 ' R/(2πZ)•

Ld (θ0, θ1) := h(

(θ1 − θ0

− 2 cos(θ0)

• Q := S1 ' R/(2πZ)•

Ld (θ0, θ1) := h(

(θ1 − θ0

− 2 cos(θ0)

• Q := S1 ' R/(2πZ)•

Ld (θ0, θ1) := h(

(θ1 − θ0

− 2 cos(θ0)

Ld (q0,q1) := h L(

q0,q1 − q0

Caminos discretos

I T := 0,h, . . . ,Nh.I Camino discreto: q : T → Q.I Cd (Q) = espacio de los caminos discretos

• Cd (Q) ' QN+1

I subvariedad de segundo orden discreta:Qd := ((q0,q1), (q2,q3)) ∈ (Q ×Q)× (Q ×Q) : q1 = q2

• Qd ' Q ×Q ×Q

Caminos discretos

I T := 0,h, . . . ,Nh.

I Camino discreto: q : T → Q.I Cd (Q) = espacio de los caminos discretos

• Cd (Q) ' QN+1

• Qd ' Q ×Q ×Q

Caminos discretos

I T := 0,h, . . . ,Nh.I Camino discreto: q : T → Q.

I Cd (Q) = espacio de los caminos discretos

• Cd (Q) ' QN+1

• Qd ' Q ×Q ×Q

Caminos discretos

• Cd (Q) ' QN+1

• Qd ' Q ×Q ×Q

Caminos discretos

• Cd (Q) ' QN+1

• Qd ' Q ×Q ×Q

Caminos discretos

• Cd (Q) ' QN+1

• Qd ' Q ×Q ×Q

Caminos discretos

• Cd (Q) ' QN+1

• Qd ' Q ×Q ×Q

La dinámica no está determinada por “Ecuaciones de Newton”

Trayectorias discretas

I Acción discreta: Sd : Cd (Q)→ R

Sd (q·) :=N−1∑k=0

Ld (qk ,qk−1)

I Variaciones infinitesimales

• q· ∈ Cd (Q),• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '

∏Nk=0 Tqk Q

• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.

I Trayectorias de (Q,Ld )

• q· ∈ Cd (Q) tal que• ∀ δq· con extremos fijos,

0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0

dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)

• CLd (Q) = espacio de las trayectorias de (Q,Ld ).

Sd (q·) :=N−1∑k=0

Ld (qk ,qk−1)

∏Nk=0 Tqk Q

0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0

Sd (q·) :=N−1∑k=0

Ld (qk ,qk−1)

∏Nk=0 Tqk Q

• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.I Trayectorias de (Q,Ld )

0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0

Sd (q·) :=N−1∑k=0

Ld (qk ,qk−1)

I Variaciones infinitesimales• q· ∈ Cd (Q),

• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '∏N

k=0 Tqk Q• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.

0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0

Sd (q·) :=N−1∑k=0

Ld (qk ,qk−1)

I Variaciones infinitesimales• q· ∈ Cd (Q),• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '

∏Nk=0 Tqk Q

0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0

Sd (q·) :=N−1∑k=0

Ld (qk ,qk−1)

∏Nk=0 Tqk Q

0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0

Sd (q·) :=N−1∑k=0

Ld (qk ,qk−1)

∏Nk=0 Tqk Q

0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0

Sd (q·) :=N−1∑k=0

Ld (qk ,qk−1)

∏Nk=0 Tqk Q

• q· ∈ Cd (Q) tal que

• ∀ δq· con extremos fijos,

0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0

Sd (q·) :=N−1∑k=0

Ld (qk ,qk−1)

∏Nk=0 Tqk Q

0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0

Sd (q·) :=N−1∑k=0

Ld (qk ,qk−1)

∏Nk=0 Tqk Q

0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0

Caracterización de dSd

Lema RimbombanteI Dado (Q,Ld )

I Existen:

• DDELLd : Qd → T ∗Q• θ±Ld

∈ Ω1(Q ×Q)

I Tales que

• ∀q· ∈ Cd (Q) y δq· variación,• vale

dSd [q·](δq·) =N−1∑k=1

DDELLd ((qk−1,qk ), (qk ,qk+1))δqk

+ θ+Ld(qN−1,qN)(δqN−1, δqN)− θ−Ld

(q0,q1)(δq0, δq1).

Lema RimbombanteI Dado (Q,Ld )I Existen:

• DDELLd : Qd → T ∗Q

• θ±Ld∈ Ω1(Q ×Q)

I Tales que

dSd [q·](δq·) =N−1∑k=1

(q0,q1)(δq0, δq1).

∈ Ω1(Q ×Q)

I Tales que

dSd [q·](δq·) =N−1∑k=1

(q0,q1)(δq0, δq1).

∈ Ω1(Q ×Q)

I Tales que

dSd [q·](δq·) =N−1∑k=1

(q0,q1)(δq0, δq1).

∈ Ω1(Q ×Q)

I Tales que• ∀q· ∈ Cd (Q) y δq· variación,

• vale

dSd [q·](δq·) =N−1∑k=1

(q0,q1)(δq0, δq1).

∈ Ω1(Q ×Q)

I Tales que• ∀q· ∈ Cd (Q) y δq· variación,• vale

dSd [q·](δq·) =N−1∑k=1

(q0,q1)(δq0, δq1).

La cuenta

dSd [q·](δq·) =N−1∑k=0

La cuenta

dSd [q·](δq·) =N−1∑k=0

=N−1∑k=0

(D1Ld (qk ,qk+1)(δqk ) + D2Ld (qk ,qk+1)(δqk+1)

La cuenta

dSd [q·](δq·) =N−1∑k=0

=N−1∑k=0

N−1∑k=1

(D1Ld (qk ,qk+1) + D2Ld (qk−1,qk )

)(δqk )

+ D1Ld (q0,q1)(δq0) + D2Ld (qN−1,qN)(δqN),

La cuenta

dSd [q·](δq·) =N−1∑k=0

=N−1∑k=0

N−1∑k=1

(D1Ld (qk ,qk+1) + D2Ld (qk−1,qk )︸︷︷︸

DDELLd ((qk−1,qk ),(qk ,qk+1))

)(δqk )

+ D1Ld (q0,q1)︸︷︷︸−θ−Ld

(q0,q1)

(δq0) + D2Ld (qN−1,qN)︸︷︷︸θ+Ld

(qN−1,qN)

(δqN),

Caracterizacón de las trayectorias

Proposición

I q ∈ Cd (Q)

I q· es trayectoria⇔I para todo k

DDELLd (qk−1,qk ,qk+1) = D1Ld (qk ,qk+1) + D2Ld (qk−1,qk ) = 0

ProposiciónI q ∈ Cd (Q)

I q· es trayectoria⇔

I para todo k

ecuaciones de Euler–Lagrange discretas

Flujo lagrangiano discreto

I (Q,Ld ) regular⇔ ∂q0∂q1Ld (q0,q1) es no singular en q0 = q1.I Flujo lagrangiano discreto: FLd : Q ×Q → Q ×Q

DefiniciónFLd es llamado un integrador variacional

I (Q,Ld ) regular⇔ ∂q0∂q1Ld (q0,q1) es no singular en q0 = q1.

I Flujo lagrangiano discreto: FLd : Q ×Q → Q ×QDefiniciónFLd es llamado un integrador variacional

FLd (q0,q1) = (q1,q2) ⇔ D1Ld (q1,q2) + D2Ld (q0,q1) = 0

Propiedades de la evolución Simplecticidad

Estructura simpléctica

I Dado (Q,Ld ) sistema mecánico discreto

I 2-forma lagrangiana discreta: ωLd = dθ±Ld∈ Ω2(Q ×Q).

I (Q,Ld ) regular⇒ ωLd es una forma simpléctica

• cerrada por definición• no degenerada por regularidad de Ld

I ωLd es simpléctica en un entorno de la diagonal.

Teorema

I (Q,Ld ) regular. EntoncesI F ∗Ld

(ωLd ) = ωLd (FLd es una aplicación simpléctica)I Los integradores variacionales son simplécticos

I Dado (Q,Ld ) sistema mecánico discretoI 2-forma lagrangiana discreta: ωLd = dθ±Ld

∈ Ω2(Q ×Q).

I (Q,Ld ) regular⇒ ωLd es una forma simpléctica

Teorema

∈ Ω2(Q ×Q).I (Q,Ld ) regular⇒ ωLd es una forma simpléctica

Teorema

• cerrada por definición

• no degenerada por regularidad de Ld

Teorema

TeoremaI (Q,Ld ) regular. Entonces

I F ∗Ld(ωLd ) = ωLd (FLd es una aplicación simpléctica)

I Los integradores variacionales son simplécticos

TeoremaI (Q,Ld ) regular. EntoncesI F ∗Ld

(ωLd ) = ωLd (FLd es una aplicación simpléctica)

I Los integradores variacionales son simplécticos

TeoremaI (Q,Ld ) regular. EntoncesI F ∗Ld

Propiedades de la evolución Simetrías

Conservación del momento discreto

I G grupo de simetrías de (Q,Ld )

I JLd : Q ×Q → g∗

I JLd (q0,q1)(ξ) = D2Ld (q0,q1)(ξQ(q1)).

Teorema

I q· ∈ CLd (Q)

I Jd es constante sobre q·

Teorema

I q· ∈ CLd (Q)

Teorema

I q· ∈ CLd (Q)

TeoremaI q· ∈ CLd (Q)

EntoncesI Jd es constante sobre q·

Discretización: relación con sistemas continuos

En lo anterior todos los sistemas mecánicos discretos son “puramenteabstractos”.No tiene por que haber un sistema mecánico continuo que los motive.

Los sistemas mecánicos discretos que se usan como integradoresnuméricos están asociados a un sistema continuo que se quiereintegrar.

En lo anterior todos los sistemas mecánicos discretos son “puramenteabstractos”.No tiene por que haber un sistema mecánico continuo que los motive.

Los sistemas mecánicos discretos que se usan como integradoresnuméricos están asociados a un sistema continuo que se quiereintegrar.

Lagrangiano discreto exacto

I (Q,L) sistema mecánico continuo.

I Lagrangiano discreto exacto LEd

I q0,1(t) = trayectoria de L con

• q0,1(0) = q0 y q0,1(h) = q1.

I (Q,L) regular⇒ q0,1(t) existen y son únicos (para h pequeño)I (Q,L) regular⇒ (Q,LE

d ) regular.

I (Q,L) sistema mecánico continuo.I Lagrangiano discreto exacto LE

• q0,1(0) = q0 y q0,1(h) = q1.

d ) regular.

LEd (q0,q1,h) :=

0L(q0,1(t), q0,1(t))dt

• q0,1(0) = q0 y q0,1(h) = q1.

d ) regular.

LEd (q0,q1,h) :=

0L(q0,1(t), q0,1(t))dt

• q0,1(0) = q0 y q0,1(h) = q1.I (Q,L) regular⇒ q0,1(t) existen y son únicos (para h pequeño)I (Q,L) regular⇒ (Q,LE

d ) regular.

LEd (q0,q1,h) :=

0L(q0,1(t), q0,1(t))dt

I q0,1(t) = trayectoria de L con• q0,1(0) = q0 y q0,1(h) = q1.

d ) regular.

LEd (q0,q1,h) :=

0L(q0,1(t), q0,1(t))dt

I (Q,L) regular⇒ q0,1(t) existen y son únicos (para h pequeño)

I (Q,L) regular⇒ (Q,LEd ) regular.

LEd (q0,q1,h) :=

0L(q0,1(t), q0,1(t))dt

d ) regular.

Flujos continuos y flujos discretos

Teorema (Versión lagrangiana)

I (Q,L) regularI h > 0 suficientemente pequeñoI Entonces existe una correspondencia:

• q(t) 7→ qk := q(kh),∀k y• q· 7→ q(t) = qk,k+1(t),∀t ∈ [kh, (k + 1)h]

Teorema (Versión lagrangiana)I (Q,L) regular

I h > 0 suficientemente pequeñoI Entonces existe una correspondencia:

Teorema (Versión lagrangiana)I (Q,L) regularI h > 0 suficientemente pequeño

I Entonces existe una correspondencia:

Teorema (Versión lagrangiana)I (Q,L) regularI h > 0 suficientemente pequeñoI Entonces existe una correspondencia:

• q(t) 7→ qk := q(kh),∀k y

• q· 7→ q(t) = qk,k+1(t),∀t ∈ [kh, (k + 1)h]

No hay más problemas... ¿o si?

ObservaciónEl lagrangiano discreto exacto resuelve todos los problemas...

ObservaciónLo que se hace es aproximar a algún orden el lagrangiano discretoexacto y ver que esta aproximación se traduce en aproximación de losflujos discreto y continuo.

ObservaciónEl lagrangiano discreto exacto resuelve todos los problemas...

ObservaciónEl lagrangiano discreto exacto resuelve todos los problemas...Excepto que, en la práctica, no se lo puede calcular.

Problemas abiertos

I Entender de manera clara la relación entre el orden deaproximación de Ld a LE

d y el orden del integrador variacionalasociado a Ld .

I Desarrollar una teoría análoga para sistemas mecánicos noholónomos.

Problemas abiertos

Referencias

Ernst Hairer, Christian Lubich, and Gerhard Wanner,Geometricnumerical integration illustrated by the Störmer–Verlet method,Acta Numer. (2003), 399–450.

Ernst Hairer, Christian Lubich, and Gerhard Wanner, Geometricnumerical integration, second ed., Springer Series inComputational Mathematics, vol. 31, Springer-Verlag, Berlin, 2006,Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations.MR MR2221614 (2006m:65006)

J. E. Marsden and M. West, Discrete mechanics and variationalintegrators, Acta Numer. 10 (2001), 357–514. MR MR2009697(2004h:37130)

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