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Aplicaciones de Ecuaciones DiferencialesOrdinarias de Primer Orden
Prof. Luis Eduardo Lopez M.e-mail: lelopezm@yahoo.es
Youtube: Mate.Math-University
www.lelopezm.wordpress.com
Prof. Luis Eduardo López M.
Ecuaciones diferenciales de Variables Separables
Muchos fenomenos fısicos en la naturaleza se rigen por la siguienteley:
La rapidez de crecimiento o descomposicion de una sustancia varıa enforma proporcional a la cantidad presente
x(t) : Cantidad de una sustancia en tiempo tdxdt
: Rapidez de crecimiento (descomposicion) de x con respecto a t.
PVI
dx
dt= kx, k ∈ R (1)
x(0) = x0
Solucion
x(t) = x0ekt, t ≥ 0 (2)
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Ecuaciones diferenciales de Variables Separables
Ejemplo: Crecimiento de BacteriasInicialmente un cultivo tiene 1000 bacterias. Al cabo de una hora sedetermina que el numero de bacterias es 1500. Si la razon decrecimiento es proporcional al numero de bacterias P (t) presentes enel tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique elnumero inicial de bacterias.
P (t) = 1000ekt, con P (1) = 1500.
P (1) = 1000ek = 1500
⇒ k = ln (3/2) ≈ 0.4055
P (t) = 1000(32
)tSi P (t) = 1000
(32
)t= 3000
⇒ t = 2.71 horas.
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Ecuaciones diferenciales de Variables Separables
Vida Media
En fısica la vida media es una medida de la estabilidad de unasustancia radiactiva. La vida media es, simplemente, el tiempo quetarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad delos ´
as estable es la sustancia.
Ejemplo: Un reactor de cr
on dedesintegracion es proporcional a la cantidad que queda.
A(t): cantidad de plutonio que queda al tiempo t.A(0) = A0
A(15) = 0.99957A0
A(t) = A0ekt k < 0
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atomos de una muestra inicial. Mientras mayor sea la vida mediade una sustancia, m´
ıa convierte plutonio 239 relativamenteestable en el isotopo uranio 238. Después de 15 años, se hadeterminado que 0.043 % de la cantidad inicial A0 de plutonio se hadesintegrado. Determine la vida media de ese isotopo, si la raz´
Ecuaciones diferenciales de Variables Separables
A(15) = A0e15k = 0.99957A0
⇒ e15k = 0.99957
⇒ k = 115ln 0.99957
Es decir:
A(t) = A0et15
ln 0.99957 = A0eln (0.99957)t/15 = A0(0.99957)
t/15
Ahora necesitamos hallar t de modo que A(t) = A0
2
A(t) = A0(0.99957)t/15 =
A0
2⇒ t =
−15 ln 2ln 0.99957
≈ 24174 anos
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Ecuaciones diferenciales de Variables Separables
Ejemplo: Se encuentra que un hueso fosilizado contiene la milesimaparte de la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva.Determine la edad del fosil si se conoce que el tiempo de vida mediade C-14 es 5600 anos.
C(t) : Cantidad de C-14 que queda en el hueso, en tiempo tEntonces, dC
dt= kC, con C(0) = C0
C(t) = C0ekt ⇒ C(5600) = 1
2C0 ⇒ C0e
5600k = C0
2⇒ k = − ln 2
5600
C(t) = C02−t/5600
Como C(t) = C0
1000⇒ C02
−t/5600 = C0
1000
t =5600 ln 1000
ln 2≈ 55800 anos.
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Ecuaciones diferenciales de Variables Separables
Ley de Enfriamiento-Calentamiento de Newton
La rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo esproporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la delmedio que lo rodea, que se llama temperatura ambiente.
Sea T (t) la temperatura del cuerpo en un tiempo t.Sea Tm(t) la temperatura ambiente en un tiempo t.Entonces,
dT
dt= k(T (t)− Tm(t))
la cual es una EDO lineal que se escribe como:
dT
dt− kT (t) = kTm(t), con T (0) = T0
En el caso particular que Tm sea constante, la EDO
dT
dt= k(T (t)− Tm(t))
es de variables separables.
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Ecuaciones diferenciales de Variables Separables
Ejemplo: Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 3000F .Tres minutos despues su temperatura es de 2000F . Determine latemperatura del pastel 5 minutos despues de sacado del horno, si seconoce que su temperatura ambiente permanece constante en 700F?
dT
dt= k(T − Tm), Tm = 70 y T0 = 300
⇒ dT
dt= k(T − 70) con T (0) = 300⇒ T (t) = 70 + 230ekt
como T (3) = 200 ⇒ e3k = 1323⇒ k = ln (13/23)
3
T (t) = 70 + 230
(13
23
Ası, T (5) ≈ 158.90F
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)t/3
Ecuaciones de Bernoulli
Crecimiento Logıstico
Supongase que un medio ambiente es capaz de sostener, comomaximo, una cantidad K de una determinada magnitud N . Lacantidad K se llama capacidad de sustento del ambiente.Entonces este fenomeno se modela mediante la ecuacion diferencial:
dN
dt= rN
(1− N
K
), N(0) = n0
donde r es la tasa de crecimiento de la magnitud N .
La solucion al PVI es:
N(t) =Kn0
(K − n0)e−rt + n0
Ejercicio: Resuelva el PVI parar = 1
2, K = 1 con N(0) = 1
2
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Ecuaciones de Bernoulli
Ejemplo: Una enfermedad contagiosa, por ejemplo un virus de gripe,se propaga a traves de una comunidad por personas que han estadoen contacto con otras personas enfermas. Para este caso se suponeque la razon con la que se propaga la enfermedad es proporcional alnumero de encuentros, o interacciones, entre estos dos grupos depersonas.
x(t) : Numero de personas que han contraıdo la enfermedad.y(t) : Numero de personas que aun no han sido expuestas.N : Numero total (constante) de personas.
dx
dt= kxy
donde x+ y = N ⇒ y = N − x,
dx
dt= kx(N − x), con x(0) = 1
Ejercicio: Resuelva el problema para N = 1000, si x(0) = 1 yx(2) = 9. Estime x(5).
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Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
Ecuacion de Continuidad
Tasa de acumulacion = Tasa de entrada - Tasa de salida
Ejemplo: Mezcla homogeneaUna Salmuera (solucion de sal en agua), entra en un tanque a unavelocidad v1 galones de salmuera/minuto y con una concentracion dec1 lib. sal/gal. salmuera. Inicialmente el tanque tiene Q0 galones deagua en la cual estan disueltas x0 libras de sal. La mezcla bienhomogeneizada abandona el tanque a una velocidad de v2 galones desalmuera/min. Encontrar una ecuacion para determinar las libras desal que hay en el tanque en cualquier instante de tiempo t.x(t) : Cantidad de Libras de Saldxdt
: Tasa de acumulacion de sal.
dx
dt= v1c1 − v2c2,
c2 =x
Libras de sal
galones
Lb de sal
galones
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Qo + (v1 − v2)t
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
De esta manera, x(t) satisface el siguiente PVI.
dx
dt+
v2
la cual es una EDO lineal con factor integrante
µ = (Q0 + (v1 − v2)t)v2
v1−v2 , v1 6= v2
cuya solucion particular es:
x(t) = c1 (Q0 + (v1 − v2)t)+(x0−c1Q0)Qv2
v1−v20 (Q0 + (v1 − v2)t)
v2v2−v1
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x = v1c1, con x(0) = x0,Q+ (v1 − v2)t
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
Para el caso v1 = v2 = v, Q(t) = Q0 constante y,
x(t) = c1Q0 + (x0 − c1Q0)e− v
Q0t
Por ejemplo, si v1 = v2 = 3,c1 = 2,Q = 300 y P = 50. Entonces:
dx
dt+
1
100x = 6, con x(0) = 50.
cuya solucion es:
x(t) = 600− 550e−t/100
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Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
Circuito LR
Para un circuito en serie que solocontiene un resistor y un inductorla segunda ley de Kirchhoffestablece que la suma de la caıdade voltaje a traves del inductorLdi
dtmas la caıda de voltaje a
traves del resistor iR es igual alvoltaje aplicado E(t) al circuito.Ası:
Ldi
dt+Ri = E(t)
donde: L es la inductancia, R laresistencia e i(t) es la corriente entiempo t.
Por ejemplo, si L = 12
Henry,R = 10 Ohms y E(t) = 12 volts,
1
2
di
dt+ 10i = 12
se tiene que,
i(t) =6
5− 6
5e−20t
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Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
Circuito RC
La caıda de voltaje a traves de uncapacitor de capacitancia C esq(t)C
, donde q es la carga delcapacitor. Por tanto,
Ri+1
Cq = E(t)
Pero la corriente i y la carga qestan relacionadas por i = dq
dt, ası:
Rdq
dt+
1
Cq = E(t)
5dq
dt+
1
2q = 12
se tiene que,
q(t) = −24e−t/10 + 24
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Por ejemplo, si R = 5 Ohms,C = 0.5 Microfaradios y
E(t) = 12 volts, con t = 0, = 0.
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
Caida libre con resistencia del aire
Bajo ciertas circunstancias, uncuerpo que cae de masa m,encuentra una resistencia del aireque es proporcional a su velocidadinstantanea V .Si en este caso,tomamos la direccion positivadirigida hacia abajo, entonces lafuerza neta que esta actuandosobre la masa esta dada porF = mg − kV . Aplicando lasegunda ley de Newton se tieneque:
mg − kv = md2S
dt2
Tomando dVdt
= d2Sdt2
se tiene que:
mdV
dt= mg − kV, V (0) = V0
Ejercicio: Resuelva el PVI param = 20kg, V0 = 3m/s yk = 19.6kg/s. ¿Cual es la maximavelocidad alcanzada por el cuerpo?
Prof. Luis Eduardo López M.
Bibliografıa
Boyce, DiPrima (2004). Ecuaciones Diferenciales y Problemas conValores en la Frontera. Cuarta Edicion. LIMUSA-WILLEY.
Jaime Escobar. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones en Maple.Universidad de Antioquia.
Dennis Zill (2009). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones deModelado. Novena Edicion.
Prof. Luis Eduardo López M.
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