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EJERCICIOS
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LUIS CABEZAS TITO
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
PARTE I/2
1. SISTEMA MASA - RESORTE
Un sistema Masa Resorte tiene la siguiente ecuacin diferencial:
+ + =
m2
2+
+ = ()
a: aceleracin en m/s2
v: velocidad en m/s
y: desplazamiento vertical en m
m: masa en kg
b: coeficiente de amortiguacin del medio en kg/s
k: coeficiente de restitucin del resorte en N/m
*APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES *PARTE I/2
1. SISTEMA MASA - RESORTE
Dividiendo entre m la anterior ecuacin, se tiene:
2 = b/m 2 = k/m F(t) = f(t)/m
Ecuacin final:
2
2+ 2
+ 2 = ()
Hallar la Ecuacin del Desplazamiento vertical de una masa m situada en el
extremo libre de un resorte de coeficiente de restitucin k (2N/m), si al jalar la
masa hacia abajo se produce tal desplazamiento. El coeficiente de amortizacin
b de la resistencia del medio en que se encuentra (aire) es 2kg/s. El sistema
est afectado por una fuerza f(t) = 12Cos3t + 6Sent (N). Hallar tambin el
Periodo de oscilacin T.
Condiciones iniciales:
y(0) = 0m
y(0) = 2m/s
*APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES *PARTE I/2
2. MOVIMIENTO DE UN PNDULO
Un pndulo simple consiste en una partcula de masa m suspendida de una
cuerda o hilo inelstico de largo L y de masa despreciable. Suponiendo que la
cuerda est siempre tensa, que las oscilaciones son en un plano vertical y que
las nicas fuerzas que actan son el peso de la partcula y la tensin en la
cuerda, se desea hallar la ecuacin del movimiento.
s= L Magnitud de la componente tangencial: m.g.sen
2
2=
2
2
Por la segunda Ley de newton:
= 2
2=-mgsen
2
2+
sen=0
*APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES *PARTE I/2
2. MOVIMIENTO DE UN PNDULO
La ecuacin no es lineal y no puede resolverse en trminos de funciones
elementales (craso error de la ciencia tradicional!) Para ngulos pequeos se
tiene que ~ sen, entonces se tiene:
2
2+
= 0
=2
= 2
*APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES *PARTE I/2
3. VELOCIDAD DE ESCAPE TIERRA - LUNA
Consideremos un viaje a la Luna. Con qu velocidad debe salir una nave de la
Tierra para poder llegar a la Luna?
Ignorando la influencia de la Luna y dems planetas distintos a la Tierra, as
como otras fuerzas de resistencia, se tiene:
1 =
2
2 =
2
=
2=
2
*APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES *PARTE I/2
3. VELOCIDAD DE ESCAPE TIERRA - LUNA
r = R, a = -g, de donde g = -k/R2 y k = gR2. = 2
2
Por otra parte, se tiene:
=
=
=
2
2=
Integrando:
2 =22
+ 0
2 = 2 + =? ? ?
2 = 22
+ 0
2 2 Si 0
2 2 < 0 entonces existe un valor de r tal que v ser igual a 0, lo cual implicara
que la velocidad v cambiara de positiva a
negativa y la nave volvera a la Tierra
Por lo tanto, para que la nave escape de la Tierra se debe cumplir: 0 2
Reemplazar valores en dicha ecuacin.
*APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES *PARTE I/2
4. MEDICIN DE TEMPERATURAS: LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
En un cuerpo que se est enfriando, la tasa de cambio de temperatura T(t) con
respecto al tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del
cuerpo T(t) y la temperatura TA del medio ambiente. Esto es:
= ( )
Un termmetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es de 70oF y
se lleva al exterior donde la temperatura es de 10oF. Pasado medio minuto el
termmetro indica 50oF. Cul es la lectura cuando t = 1 minuto? Cunto tiempo
se necesita para que el termmetro llegue a 15oF?
= 10 = + 10
En t = 0, T(0) = 70, entonces: = 60 + 10
En t = 0.5, T(0.5) = 50, entonces: = 600.81094 + 10
*APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES *PARTE I/2
4. MEDICIN DE TEMPERATURAS: LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
En t = 1:, entonces:
Para T = 15, entonces:
= 600.81094(1) + 10 = 36.67.
15 = 600.81094 + 10 =? ? ?
*APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES *PARTE I/2
5. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Se sabe que la poblacin de cierta comunidad aumenta en una razn
proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la
poblacin se duplic en cinco aos, en cunto tiempo se triplicar y
cuadruplicar?
P(t): poblacin de la comunidad en el tiempo t.
P0: poblacin inicial en t = 0.
t: tiempo en aos.
dP/dt: rapidez con la que aumenta la poblacin.
k > 0: constante de proporcionalidad.
= =
Para t = 0, P(0) = P0: =P0
Para t = 5, P(5) = 2P0: =P00.13863
Para P(t) = 3P0: 30 =P00.13863 =? ? ?
Para P(t) = 4P0: 40 =P00.13863 =? ? ?
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