AplicacionesMatemáticas Problema1(Primer Parcial)

PROBLEMA1Una cierta carga Q se va a dividir en dos partes, q y Q-q. ¿Cuál es la reacción de Q a q si las dos partes separadas a una distancia dada deben producir una máxima repulsión Couloumbiana entre sí?

Ecuación Fe=kq1q2r2

OBTENCIÓN DE LA RELACIÓN Q-qSUSTITUCIÓNq1=qq2=Q−q

Fe=kq (Q−q )r2

Despeje

Fe= kr2q (Q−q )

Fe= kr2Qq− k

r 2q2

PRIMERA DERIVADA

Fe '= k

r2Q−2 k

r2q

Si Fe '=0

0= kr 2Q−2 k

r 2q

2k

r 2q= kr2Q

q=

k

r 2Q

2kr2

q=Q2Relación entreQ y q

SEGUNDA DERIVADA (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

Fe ' '=−2 kr2

como−2 kr2

<0hayunmáximo

OBTENCIÓN DE LA GRAFICAA partir de la siguiente ecuación se deduce que se trata de una parábola

Fe= kr2Qq− k

r 2q2

Cuando Fe=0

0= kr 2Qq− k

r2q2

q=

−kr2Q±√( kr2Q)

2

−2kr2

q=

−kr2Q±

k

r2Q

−2kr2

q1=

−kr 2Q+ k

r2Q

−2kr2

=0

q2=

−kr2Q− k

r2Q

−2kr 2

=Q

Puntos de intersección con el eje “q”(Q ,0 ) ;(0,0)

PUNTO MÁXIMO

m= kr2Q−2 k

r2q

Pendiente cerom=0k

r2Q−2 k

r2q=0

2k

r 2q= kr2Q

q=

k

r 2Q

2kr2

q=Q2

Sesustituye q=Q2enFe= k

r2Qq− k

r2q2

Fe= kr2Q (Q2 )− k

r2 (Q2 )2

Fe=k Q2

4 r2

Centro de la grafica

(Q2 , k Q2

4 r 2 )Grafica 1. Fe vs q