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Splines Cbicos Mtodos Numricos
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Aproximacin mediante splines cbicos
El origen del concepto spline proviene del uso de una lmina de plstico delgada
llamada curvgrafo ("spline") en el trazado de curvas suaves a travs de un
conjunto de puntos (Sheid 1991).Las funciones "spline" son ecuaciones cbicas
que modelan el comportamiento de las curvas realizadas por dicho instrumento,
permitiendo unir en forma suave y continua una serie de puntos.
Esta interpolacin se llama interpolacin segmentaria o interpolacin por splines.
La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos,
podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar
nuestra interpolacin , esta interpolacin posee una gran finura, y que inclusive
es usado para el diseo por computadora, por ejemplo, de tipos de letra.
La ms populares son los polinomios cbicos por tramos y en especial los splines
cbicos (naturales), por las siguientes razones:
Son fciles de calcular y evaluar.
Son fciles de derivar y sus derivadas aproximan a las derivadas de fx.
Son fciles de integrar y se usan para aproximar la integral de fx.
Modelan con suavidad la tendencia de un conjunto de datos.
1, Breve historia
Tomado de NA. Digest.v.98,#s6. 19 de julio de 1998.Mait to na.digest@na-
net.oml.gov Information about NA-NET:Mail to nahelp@na-net.ornl.gov URL :
http://www.netlib.org/na-net/na_home.html
Hace dos semanas puse aqu una pregunta acerca de las conexiones entre el
desarrollo de aproximaciones de splines y el diseo de cuerpos automotores, y
recib cerca de 30 respuestas, todas ellas muy informativas. Dado que muchos de
ellos me pidieron que mostrara lo que haba aprendido, decid escribir un breve
resumen y subirlo al compendio. Esta es la razn de estas notas.
Se acepta comnmente que la primera referencia matemtica de los splines es el
trabajo de Schoenberg [s], donde probablemente fue el primer lugar donde el
trmino spline se us en conexin con la aproximacin polinomial tenue por
piezas. Sin embargo, estas ideas tienen sus races en las industrias de aviacin y
Construccin de barcos. En el reenvio a [BBB], Robin Forrest describe el
localizar, una tcnica en la industria britnica de aviacin usada durante la
Segunda Guerra Mundial, para construir plantillas para aviones, pasando tablones
de madera delgadas a travs de puntos en el suelo de un local de diseo grande.
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Las plantillas estaran puestas en puntos discretos (llamados patos por Forrest;
Schoenberg usa perros o ratas) y entre estos puntos asumira formas de un
mnimo de energa de tensin. De acuerdo a Forrest, una motivacin posible para
un modelo matemtico de este proceso fue la pedida potencial de los
componentes del diseo crticos en toda una nave si el local fuera bombardeado
por el enemigo. Esto promovi el localizamiento cnico, el cual usaba secciones
cnicas para modelar la posicin de la curva entre los patos. El localizamiento
cnico fue reemplazado por lo que llamaramos splines a principios de los 60s
basados en el trabajo de J.C.Ferguson de Boeing y (tiempo despus) por
M.A.Sabin de British Aircraft. Lo que considero muy interesante es que Forrest
dice que la palabra spline viene de un dialecto Anglicano del Este.
El uso de splines para modelar cuerpos automotores parece tener un sinfn de
comienzos independientes. El crdito lo piden a nombre de De Castelau de
Citroen, Bezler de Renault, and Birkhoff, Garabedian, y de Boor de General Mortos
(GM), todos ellos por sus trabajos realizados a finales de la dcada de 1950s o
principios de los aos 1960s. Al menos uno de los trabajos de De Casteljau fue
publicado, pero no ampliamente, en 1959. La obra de D Boor de GM result en un
conjunto de escritos siendo publicados a principios de los 60s, incluyendo algo del
trabajo fundamental sobre los B-splines. El trabajo tambin fue hecho en Pratt
yThitney Aircfraft, donde dos de los autores de [ANw] (el primer libro en s acerca
de splines) fueron contratados, y el Modelo Basin de David Taylor, hecho por
Feodor Theilheimer
Referencias
[anw] Ahlberg, Nielson and Wash, The Theory of splines and Theri applications,
1967
[B] Birkhoff. Fluid dynamics, reactor computations and surface representation. In
a History of Scientific Computation (Steve Nash, editor), 1990
[BBB] Bartelsm Beatty and Barsky, an introduction to Splines for use in Computer
Graphics and Geometric Modeling 1987
[BdB] Birkhof and de Boor, Piecewise polynomial interpolation and approximation
Proc. General Motors Symposium of 1964
[D] Davis . B-splines and Geometric design . SIAM news vol.29 no, 5
[S] Schoenberg. contributions to the problem of approximation of equidistant data
by analytic functions Quart appl math. Vol. 4
[Y] Young. Garrtett Dirkhoff and applled mathematics. Notices of the AMS, vol.44
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2. Teora Matemtica
Los polinomios de grado mayor tienen naturaleza oscilatoria y fluctuaciones sobre
una porcin pequea del intervalo estudiado puede inducir cambios muy grandes
sobre un rango considerable, restringen el uso cuando se aproximan muchas
delas funciones en situaciones fsicas reales.
La tcnica llamada aproximacin polinmica segmentaria busca resolver este
problema dividiendo el intervalo de la funcin f
en una coleccin de subintervalos y construir polinomios aproximadamente
diferentes en cada uno.
La aproximacin de este tipo ms empleada es la interpolacin cbica de spline
Esta tcnica requiere que en el intervalo el polinomio sea diferenciable
continuamente y que adems tenga segunda derivada. Pero a pesar de esta
condicin, el trazador cbico no supone que las derivadas del interpolante
coinciden con las de la funcin.
A esta forma de aproximar se le conoce como aproximacin polinomial
fragmentaria.
Aproximacin polinomial fragmentaria.
La Aproximacin polinomial fragmentaria es la interpolacin lineal fragmentaria
que consiste en unir una serie de puntos.
Mediante una serie de segmentos de recta, como se aprecia en la figura 3.7
La aproximacin por funciones lineales muestra una desventaja; no se tiene la
seguridad de que haya derivabilidad en los extremos de los subintervalos, lo cual
dentro de un contexto geomtrico significa que la funcin de interpolacin o
interpolante no es suave en dichos puntos. A menudo las condiciones fsicas
indican claramente que se requiere la suavidad y que la funcin aproximante debe
ser continuamente derivable.
Otro procedimiento consiste en emplear un polinomio fragmentario del tipo
Hermite. Por ejemplo, si los valores de y de se conocen en los puntos
podemos emplear un polinomio de Hermite de grado tres en
cada uno de los subintervalos [ ] [ ] [ ] para obtener una
funcin continuamente derivable con el intervalo [ ].
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Si queremos determinar el polinomio cbico de Hermite apropiado en determinado
intervalo, hasta calcular ( ) para ese intervalo. Puesto que los polinomios
interpolantes de Lagrange necesarios para calcular son de primer grado,
podemos hacer el clculo sin gran dificultad, Sin embargo, para utilizar los
polinomios fragmentarios de Hermite en la interpolacin general, necesitamos
conocer la derivada de la funcin que va ser aproximada, lo cual muchas veces no
es posible.
El tipo ms simple de funcin de polinomio fragmentario diferenciable en un
intervalo entre [ ] es la funcin obtenida al ajustar un polinomio cuadrtico
entre cada par consecutivo de nodos. Esto se hace construyendo una cuadrtica
en [ ] que concuerde con la funcin en y en ; y as sucesivamente. Un
polinomio cuadrtico general tiene tres constantes arbitrarias: el trmino
constante, el coeficiente de x y el coeficiente de y nicamente se requieren dos
condiciones para ajustar los datos en los extremos de cada intervalo, por ellos,
existe flexibilidad que permite seleccionar la cuadrtica de modo que la
interpolante tenga una derivada continua en [ ]. El problema de este
procedimiento se presenta cuando hay que especificar las condiciones referentes
a la derivada de la interpolante en los extremos y .No hay constantes
suficientes para cerciorarse de que se satisfagan las condiciones.
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Splines cbicos
La aproximacin polinmica fragmentaria ms comn utiliza polinomios entre cada
par consecutivo de nodos y recibe el nombre de interpolacin de trazadores
cbicos. Un polinomio cbico general contiene cuatro constantes; as pues, el
procedimiento del trazador cbico ofrece suficiente flexibilidad para garantizar que
el interpolante no slo sea continuamente diferenciable en el intervalo, sino que
adems tenga una segunda derivada continua en el intervalo. Sin embargo, en la
construccin del trazador cbico no se supone que las derivadas del interpolante
concuerdan con las de la funcin, ni siquiera en los nodos.
Definicin.
Dada una funcin definida en [ ] y un conjunto de nodos
un interpolante de spline cbico S para es una funcin que cumple con
las condiciones siguientes:
a. ( )es un polinomio cbico, denotado ( ),el subintervalo [ ] para
cada ;
b. ( ) ( ) para cada ;
c. ( ) ( ) para cada ;
d. ( )
( ) para cada
e. ( )
( ) para cada
f. Una de las siguientes condiciones de frontera se satisface:
(i) ( ) ( ) (frontera libre o natural);
(ii) ( ) ( ) y
( ) ( ) (frontera sujeta).
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Aunque los splines cbicos se definen con otras condiciones de frontera, las
condiciones dadas en ( ) son suficientes en este caso. Cuando se presentan las
condiciones de frontera libre, el trazador recibe el nombre de spline natural y su
grfica se aproxima a la forma que adoptara una varilla larga y flexible si la
hiciramos pasar por los puntos {( ( )) ( ( )) ( ( ))}
En trminos generales, en las condiciones de frontera sujeta se logran
aproximaciones ms exactas, ya que abarcan ms informacin acerca de la
funcin. Pero para que se cumpla este tipo de condicin de frontera, se requiere
tener los valores de la derivada en los extremos o bien una aproximacin precisa
de ellos.
Construccin de un spline cbico
Para construir la interpolante de spline cbico de determinada funcin ,
aplicamos las condiciones de la definicin a los polinomios cbicos:
( ) ( ) ( ) ( )
,
Para cada . Como ( ) ( ) puede aplicarse la
condicin (c) para obtener
Para cada
Los trminos se utilizaran varias veces en este desarrollo, por eso
conviene introducir la notacin ms simple
Para cada . Si tambin definimos ( ) entonces la
ecuacin
(I)
Ser vlida para cada
De manera anloga, defina ( ) y observe que
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Significa que ( ) para cada . Al aplicar la condicin (d)
obtenemos
(II)
Para cada
Al definir ( ) y aplicar la condicin (e) se obtiene otra relacin entre los
coeficientes de , En este caso para
(III)
Al despejar en la ecuacin (III) y sustituir este valor en las ecuaciones (I) y (II)
para cada se obtienen las ecuaciones.
(IV)
Y
(V)
La relacin final que incluye los coeficientes se obtiene resolviendo la ecuacin
correspondiente en la forma de la ecuacin (IV) , primero para
(VI)
Y luego, con una reduccin del ndice, para . Esto da como resultado
Cuando sustituimos estos valores en la ecuacin obtenida de la ecuacin (V) con
el ndice reducido en 1, obtenemos el sistema de ecuaciones lineales
(VII)
Para cada .
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Splines naturales
Si est definida en , entonces tendr una
interpolante nica de spline natural S en los nodos es decir, una
interpolante de spline que cumple con las condiciones de frontera ( ) y
( )
Demostracin. En este caso las condiciones de frontera significan que
( ) y que
( ) ( ),
as que . Las dos ecuaciones y junto a las ecuaciones de (VII)
Producen un sistema lineal descrito por la ecuacin vectorial , donde A es
la matriz de ( ) ( )
La matriz A es estrictamente dominante en sentido diagonal.
Y donde b y x son los vectores
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Spline cbicos sujetos
SI f est definida en a = <
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Las ecuaciones
Y
Determinan el sistema lnea Ax = b, donde:
La matriz A es estrictamente dominante en sentido diagonal, en consecuencia el
sistema tiene una solucin nica para , ,. ..,
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3. Solucin de problemas
1) Construya un spline natural cbico que pase por los puntos (1,2) ;(2,3) y
(3,5)
Solucin.
Este spline consiste de dos cbicas. La primera para el intervalo [ ], denotada
por:
Y la otra para [ ], denotada por:
Existen 8 constantes que deben determinarse, lo que requiere de 8 condiciones.
Cuatro de ellas proceden del hecho de que los splines deben coincidir con los
datos en los nodos. Por tanto.
Y
Dos ms provienen del hecho de que ( )
( ) y ( )
( ) .Estas son:
( )
( ) y ( )
( )
Las ltimas dos surgen de las condiciones de frontera natural:
( ) y
( )
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Resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos el spline.
2) Interpolar los siguientes datos mediante una spline cbica:
X 2 9 5
Y -1 2 -7
Solucin.
Definimos un polinomio cbico en cada uno de los intervalos que se forman:
A continuacin, hacemos que se cumpla la condicin de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. As, tenemos que:
5,3
3,2
22
2
2
3
2
11
2
1
3
1
xsidxcxbxa
xsidxcxbxaxs
124812 1111 dcbas
2392723 1111 dcbas
752512575 2222 dcbas
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Ahora calculamos la primera derivada de :
Al igual que en el caso de las splines cuadrticas, se presentan ecuaciones que
pueden presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles
discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso
. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos en los dos polinomios e
igualamos:
o lo que es lo mismo:
Anlogamente procedemos con la segunda derivada :
Para lograr que sea continua:
xs
5,323
3,223
22
2
2
11
2
1
xsicxbxa
xsicxbxaxs
3x
3x
222
211
2
1 32333233 cbacba
222111 627627 cbacba
5,326
3,226
22
11
xsibxa
xsibxaxs
xs
2211 236236 baba
2211 218218 baba
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En este punto contamos con 6 ecuaciones y 8 incgnitas, por lo tanto tenemos 2 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 2 condiciones:
De lo cual vamos a obtener:
Con lo cual, hemos completado un juego de 8 ecuaciones vs. 8 incgnitas, el cual es el siguiente:
0
00
nxs
xs
022602 11 bas
0212 11 ba
025605 22 bas
0230 22 ba
0230
0212
218218
627627
7525125
23927
23927
1248
22
11
2211
222111
2222
2222
1111
1111
ba
ba
baba
cbacba
dcba
dcba
dcba
dcba
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Cuya forma matricial es la siguiente:
Usando Mathematica, obtenemos la siguiente solucin:
Sustituyendo estos valores en nuestra funcin inicial, vemos que la spline cbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue:
0
0
0
0
7
2
2
1
002300000
000000212
0021800218
0162701627
15251250000
139270000
000013927
00001248
2
2
2
2
1
1
1
1
d
c
b
a
d
c
b
a
125.50
875.39
375.9
625.0
5.0
75.10
5.7
25.1
2
2
2
2
1
1
1
1
d
c
b
a
d
c
b
a
5,3125.50875.39375.9625.0
3,25.075.105.725.123
23
xsixxx
xsixxxxs
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Mostramos la grfica correspondiente a este ejercicio, creada tambin en
Mathematica.
Obsrvese la finura con la que se unen los polinomios cbicos que conforman a la spline. Prcticamente ni se nota que se trata de dos polinomios diferentes!. Esto es debido a las condiciones que se impusieron sobre las derivadas de la funcin. Esta finura casi artstica, es la que permite aplicar las splines cbicas, para cuestiones como el diseo de letras por computadoras, o bien a problemas de aplicacin donde la interpolacin que se necesita es de un carcter bastante delicado, como podra tratarse de datos mdicos sobre algn tipo de enfermedad.
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3) Interpolar los siguientes datos utilizando splines cbicas:
x -1 1 2 4
y -1 1 5 -2
Solucin.
Nuevamente, definimos un polinomio cbico en cada uno de los intervalos:
Despus, hacemos que la spline pase por los puntos dados en la tabla. As, tenemos que:
Implica que,
Implica que,
Implica que,
4,2
2,1
1,1
)(
33
2
3
3
3
22
2
2
3
2
11
2
1
3
1
xsidcxbxa
xsidxcxbxa
xsidxcxbxa
xs
1)1( s
11111 dcba
1)1( s
11111 dcba
12222 dcba
5)2( s
5248 2222 dcba
5248 3333 dcba
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Y finalmente implica que,
Enseguida, calculamos la primera derivada:
Vemos entonces, que las posibles discontinuidades de son y .
Por lo tanto, para hacer que sea continua, igualamos las ecuaciones
correspondientes en ambos valores:
Ahora procedemos a calcular la segunda derivada:
2)4( s
241664 3333 dcba
4,223
2,123
1,123
)(
33
2
3
22
2
2
111
2
1
xsicxbxa
xsicxbxa
xsicxbxa
xs
)(xs 1x 2x
)(xs
222111 2323 cbacba
333222 412412 cbacba
4,226
2,126
1,126
)(
33
22
11
xsibxa
xsibxa
xsibxa
xs
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Nuevamente, las posibles discontinuidades son y . Por lo tanto, para
que sea continua, se igualan las ecuaciones en ambos valores:
Finalmente, se agregan las condiciones de que la doble derivada se anule en los puntos inicial y final de la tabla.
En este caso,
Con esto tenemos un juego de doce ecuaciones vs. Doce incgnitas:
1x 2x
)(xs
22112211 332626 babababa
33223322 66212212 babababa
030260)1( 1111 babas
01202240)4( 3333 babas
11111 dcba
11111 dcba
12222 dcba
5248 2222 dcba
5248 3333 dcba
241664 3333 dcba
222111 2323 cbacba
333222 412412 cbacba
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Este sistema tiene la siguiente forma matricial:
Usando Mathematica, obtenemos la solucin:
, ,
, ,
2211 33 baba
3322 66 baba
03 11 ba
012 33 ba
0
0
0
0
0
0
2
5
5
1
1
1
0011200000000
000000000013
001600160000
000000130013
01412014120000
000001230123
14166400000000
124800000000
000012480000
000011110000
000000001111
000000001111
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
140
511 a
10
212 a
35
243 a
140
1531 b
35
2972 b
35
2883 b
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, ,
, ,
Por lo tanto, la spline cbica es:
Finalmente, mostramos la grfica correspondiente (creada en Mathematica):
140
891 c
70
4732 c
70
18673 c
40
1531 d
35
482 d
35
7323 d
4,2
2,1
1,1
)(
35732
7018672
352883
3524
3548
704732
352973
1021
40153
140892
1401533
14051
xsixxx
xsixxx
xsixxx
xs
-1 1 2 4
-2
2
4
6
8
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4. Algoritmos
El spline cubico natural. Matlab, por defecto, calcula splines cbicos con la condicin not-a-knot, que es cierta relacin entre derivadas en los puntos extremos y los inmediatos. Solo se pueden calcular splines naturales con un
toolbox. El cdigo que sigue implementa el clculo del spline cubico natural de una
coleccin de puntos. La entrada es: x: la lista de las coordenadas x de los puntos y: la lista de las coordenadas y de los puntos Devuelve un objeto" de Matlab que se denomina polinomio a trozos, que describe exactamente un objeto polinomial definido a trozos: los intervalos en los que est definido vienen dados por el vector x y su valor en un t (que hay que computar utilizando la funcin ppval)
% spline cubico 'natural ': en ambos extremos , la % derivada segunda es 0. % la entrada es una nube de puntos con al menos % dos puntos function [f] = spline_cubico (x, y) n = length (x) -1; if(n 1& i < n) F(i ,[i -1 i i +1]) = [h(i -1) , 2*( h(i -1) + h(i)), h(i)] ; alpha (i) = 3*( y(i+1) -y(i))/h(i) - 3*( y(i) - y(i -1) )/h(i -1) ; else F(i,i) = 1; alpha (i) = 0; end i=i +1; end c = (F\ alpha ) '; 28 b = zeros (1,n); d = zeros (1,n); i = 1; while (i
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while (i
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