View
219
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
1/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 1 -
Prctica 0
Nota a los alumnos:
Los temas que se incluyen en esta prctica se suponen conocidos por ustedes.Debido a que el conocimiento de los mismos ser necesario a lo largo de todoel curso, es fundamental que a modo de repaso, resuelvan estos ejerciciosconsultando bibliografa y/o al docente.
1) Calcular
1
=
1 2
=
++ =
1
=
[8
]
= 7
=
2) Ordenar de menor a mayor
; ;
7 ;
;
; ;
;
7 ; 2; 33; 3;
3) Una solucin se dice ms concentrada que otra si tiene mayorproporcin entre la sustancia activa y el diluyente que la otra.
El boticario tiene un botelln de 1 litro y medio donde es sustancia
activa y un bidn de 2 litros donde es sustancia activa. En cul delos dos envases la solucin es ms concentrada?
4) El precio de un equipo de audio con el 15% de descuento es de $ 3.417.Cul era el precio original?
5) Hallar dos nmeros naturales cuyo producto sea 4 y que sumen 6.
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
2/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 2 -
6) Representar en el plano los siguientes puntos
= 2, 2 = 3,1 = 1, 4 = 2, 0 = ,
= 1 ,
7) Representar en el plano los siguientes conjuntos
= {, = 1} = {, 2} = {, = } = {, = 2} = {, = 2 1}
8) Hallar el conjunto solucin
++
+ =
8 2 =
+ 2
9) Reducir a la mnima expresin
8 =
=
10) Verificar las siguientes igualdades
3 1 = 3 3
(3 ) = 9 6
( )( ) =
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
3/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 3 -
Captulo 1
lgebra de Ecuaciones
Operaciones con nmeros reales
El conjunto de los nmeros reales est formado de la siguiente manera:
Reales Irracionales Fraccionarios
Racionales Negativos Enteros
Naturales
Los nmeros irracionales son aquellos que no pueden ser expresados comoun cociente entre dos nmeros enteros, por tener infinitas cifras decimales noperidicas.Son ejemplos de nmeros irracionales: , e, 2, y todas las races reales noexactas.
1.1. Propiedades de la potenciacin.
1.1.1 Potencia de exponente cero. 010 aa
1.1.2 Potencia de exponente negativo 01
a
a
an
n
1.1.3 Potencia de otra potencia mnmn aa .
1.1.4 Producto de potencias de igual base mnmn aaa .
1.1.5 Cociente de potencias de igual base 0; aaa
amn
m
n
1.1.6 Distributividad respecto de la multiplicacin nnn baba ..
1.1.7 Distributividad respecto a la divisin
0;
b
b
aba
n
nn
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
4/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 4 -
1.2. Propiedades de la radicacin
La radicacin puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario:
nn
aa
1
Las propiedades de la radicacin son anlogas con las de la potenciacin.
1.2.1 Raz de raz
mnmn
n
mn m
aaaa ..
1
1
1
1.2.2 Distributividad respecto de la multiplicacin
nnnnnn babababa .....11
1
1.2.3 Distributividad respecto de la divisin
01
11
b
b
a
b
a
b
a
b
a
n
n
n
nn
n
1.3. Propiedades de los logaritmos
Se llama logaritmacin a la operacin por la cual se calcula el exponente al quese tiene que elevar un nmero apositivo y distinto de 1, para obtener otronmero b. Esto se escribe: log y se lee logaritmo en base a de b.Se cumple que: log = = , con > 0 y 11.3.1 log 1 = 01.3.2 log =log l o g 1.3.3
log =log l o g
1.3.4 log = l o g
1.4. Ecuaciones
Una ecuacin es una igualdad en la que hay, por lo menos, un datodesconocido, es decir, una incgnita. Resolverla significa encontrar el/losvalor/es de la/s incgnita/s que hacen verdadera la igualdad.
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
5/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 5 -
1.4.1.Ecuac iones pol inmicas.(en una variable)
Ejemplos:
032 x 0932 2 xx 0652 23 xxx
Son de la forma: P(x) = 0, siendo P(x) un polinomio.
Resolver estas ecuaciones equivale a encontrar los ceros de la funcinpolinmica asociada.
Las ecuaciones dadas se pueden expresar factoreadas en funcin de susraces de la siguiente manera:
Luego, los respectivos conjuntos solucin son:
1.4.2.Ecuacion es Fraccionarias
En general son de la forma:
Siendo Q(x) distinto del polinomio nulo y de una constante. Los nmeros reales
que satisfacen una ecuacin fraccionaria son sus races reales.Resolucin de una ecuacin fraccionaria.
Para resolver una ecuacin fraccionaria, o sea, para hallar sus races,eliminamos los denominadores multiplicando ambos miembros por el mnimocomn mltiplo de dichos denominadores.La ecuacin resultante es entera y se resuelve segn ya se ha visto.
Las races de esta ecuacin entera, que verifican la ecuacin fraccionaria dada,son las races buscadas.
El conjunto que tiene por elementos a las races de una ecuacin fraccionariase denomina conjunto solucin de dicha ecuacin.
02
3.2
x 2 3
3
20. .x x
x x x 2 1 3 0. .
S
3
2S
33
2, S 2 1 3, ,
P x
Q x
( )
( ) 0
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
6/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 6 -
Ejemplo 1:
Multiplicamos ambos miembros por x:
0232 2
xxx
0342
xx
Las races son: 3,1 21 xx
Como estos valores verifican la ecuacin fraccionaria, resulta:
3,1S Ejemplo 2:
Multiplicamos ambos miembros por 1xx
011 xxx
03 x 0x
Pero este nmero no satisface la ecuacin fraccionaria, luego:S =
1.4.3. Ecuacion es irracionales.
Son aquellas en las cuales la incgnita figura bajo un signo radical.
Ejemplos:
510.2
0435
xx
x
Para obtener el conjunto solucin suele procederse de la siguiente manera:
2 32 0
x
x
x
1
1
1 10
x x
x
x x
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
7/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 7 -
1- Se deja en un miembro de la ecuacin slo el trmino que contengaa la expresin radical.
2- Se eleva ambos miembros al cuadrado y se opera.3- Se verifican las respuestas obtenidas reemplazndolas en la
ecuacin dada.
As, para el ejemplo 1:
0435 x
435 x
22 435 x 1635 x
5
13x
Como este valor verifica la ecuacin dada, resulta:
En el segundo ejemplo,
510.2 xx
22 510.2 xx 251010.4 2 xxx
015142
xx
15,121
xx
Como solamente 1x satisface la ecuacin dada, resulta:
1S
1.4.4. Ecuacion es expon enciales.
Son aquellas en las cuales la incgnita figura como exponente.Ejemplos:
82 12
x
Para resolverla, expresamos todo en base 2 y luego aplicamos logaritmo en
base 2 a ambos miembros:
S
13
5
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
8/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 8 -
31222
x 3
2
12
2 2log2log x
2log32log.12 22 x 312 x 22 x
1x
Como este valor satisface la ecuacin dada, resulta:
1S
1.4.5. Ecu acio nes logartm icas .
Son aquellas ecuaciones en las cuales la incgnita est afectada por lo menosuna vez, por un logaritmo.
Ejemplo:
25log232log2
16log xx
Para resolverla aplicamos las propiedades de los logaritmos,
25log100log32log6log 21
xx
25
100log
32
6log
x
x
4
32
6
x
x
Resolviendo esta ecuacin irracional, hallamos los valores 61 x y 142 x .
Ambos satisfacen la ecuacin dada.
14,6S
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
9/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 9 -
1.5. Inecuaciones
Una inecuacin es una desigualdad en la cual hay por lo menos un datodesconocido.
Por ejemplo
12 x 32
15 x
Resolver una inecuacin significa encontrar el conjunto de valores que laverifican.Para resolver una inecuacin se buscan inecuaciones equivalentes de acuerdoa las siguientes propiedades:
Si en una desigualdad se multiplica ambos miembros por un nmeropositivo, no cambia el sentido de la desigualdad.
Si en una desigualdad se multiplica ambos miembros por un nmeronegativo, cambia el sentido de la desigualdad.
Ejemplo:
23 x 10x xx 3 210
x4 8
4
4
x
4
8
se divide ambos miembros por -4 y se
cambia el sentido de la desigualdadx -2
El conjunto solucin de la inecuacin est formado por todos los nmeros
reales mayores que -2
,2S
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
10/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 10 -
Trabajo Prctico 1lgebra de Ecuaciones
1) Resuelvan las siguientes operaciones combinadas, racionalizandocuando sea necesario.
22
2
15
2.
15
3)
1258.4,02.2,0)
3
27
2
112
2
13)
c
b
a
2) Hallen el conjunto solucin de cada una de las ecuaciones que se indica:
60813) 2 xa
133176) 2 xb
17693316) xxxc
182228)
56437) 2
xxxe
xd
3) Determinen el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones. x .
132
19
1
5
12
3)
65
2
4
1
1243
17
6
1)
61
1
12
1)
12
2
1
1
1
1
1
1)
4134
1
3)
2
22232
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
xe
xx
x
x
x
xxxxx
xd
x
x
xx
xc
zzzzb
xxx
x
xa
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
11/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 11 -
4) Determinen el conjunto solucin de:
xxxd
xxc
xxxb
xxa
49813)
22134)
52)
01.2145)
2
5) Proporcionen el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones.
6log1log32log)
312log)
16842)
999)
222
3
33413
37112
xxd
zc
b
a
xxxx
xxx
2032318)
625log2
120loglog
3
1)
7log5log1log)
07448)
5ln43ln1lnln)
8ln4ln142ln)
25logloglog)
4
251255
782
122
812
814
81
xx
xx
k
xxj
xxi
h
xeg
xxf
xxxe
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
12/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 12 -
6) Resuelvan las siguientes inecuaciones e indiquen el conjunto solucin.
32) xa x24
tb 24) 5t
8) xc 13 x
2
12) xd x3
6
1-
3
54-
4)
xxe
02-71
2) xxxf
32
1)
x
xg 0
035
24)
x
xh
236
2)
x
xi
x
xj
24)
-6
2
17)
x
xk
2
72
x
x
x
xl
2
16
12)
3
4
x
x
x
x
x
x
m
2
53)
7) Planteen y resuelvan cada uno de los siguientes problemas
a) El cociente entre un nmero y su consecutivo es igual a la razn
entrey
Cul es el nmero?
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
13/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 13 -
b) Qu nmero verifica que la diferencia entre la cuarta parte y su20% es 9?
c) Se corta la cuarta parte de una soga y luego se vuelve a cortar lacuarta parte de lo que queda. Si finalmente resulta una soga de
20,25 m. Cul era la longitud original de la soga?
d) Al precio de un producto se le efectu un descuento del 22% porpago en efectivo. Cul es el precio original del producto si con eldescuento result de $23,40?
e) Una varilla tiene una longitud de 2,2 m y quiere ser dividida endos partes tales que la razn entre ambas sea 3 Cules son laslongitudes resultantes?
f) Cuatro ngulos suman la mitad de un giro y mantienen adems la
siguiente relacin: el primero es igual al cuarto, el segundo es dosveces mayor que el tercero y el primero es el triple del segundo.Cul es la amplitud de cada ngulo?
g) La suma de los cuadrados de dos nmeros consecutivos es 85.Cules son dichos nmeros?
h) Hallar dos nmeros naturales consecutivos cuyo producto sea
igual al cociente entre el cuadrado del mayor y
i) La diagonal de un rectngulo tiene una longitud de 13 cm; si laaltura es 7 cm mayor que la base cul es la superficie delrectngulo?
j) Si el permetro de un rectngulo es 26 cm y su superficie es 40, hallar la longitud de su diagonal.
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
14/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 14 -
Captulo 2
lgebra Vectorial
2.1. Vector es en el plano
Se llama vectorAB al segmento orientado que empieza en A y termina en B.
Simblicamente, se escribe AB . El punto A se denomina origen y el punto B,extremo.Los vectores tienen:
Direccin: Est definida por la recta que contiene al vector. Se considera quelos movimientos sobre rectas paralelas tienen la misma direccin.
Sentido: Lo determina la orientacin sobre la recta, definida por el origen y elextremo del vector.
Mdulo: Es la longitud del segmento orientado que lo define.
2.1.1. Vectores paralelosDos vectores son paralelos cuando tienen la misma direccin.
Por ejemplo, los vectores ,MN QPy SR son paralelos.
2.1.2. Vectores equivalentesDos vectores son equivalentes si son paralelos, tienen el mismo sentido y el
mismo mdulo.Por ejemplo, los vectores MN y PQ son equivalentes.
2.1.3. Vectores opuestos
Dos vectores son opuestos si son paralelos, tienen igual mdulo y sentidoopuesto.
M
N
Q
P S
R
M
N
P
Q
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
15/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 15 -
Por ejemplo, los vectores MN y QPson opuestos. Se indica MN= QP
2.1.4. Suma de vectoresPara sumar dos vectores, se toman, si es necesario, dos vectores equivalentesa los dados, que cumplan con la condicin de que el extremo del primerocoincida con el origen del segundo. La suma de estos vectores es otro vectorque tiene su origen en el origen del primero y su extremo, en el extremo delsegundo.
Si consideramos dos vectores que tienen el mismo origen, al realizar la suma
queda:
2.1.5. Resta de vectoresPara restar dos vectores, se suma al primero el opuesto del segundo.
CDABCDAB
2.1.6. Producto de un vector por un escalarEl producto de un vector por un escalar positivo es un vector que tiene igual
direccin y sentido que v , y cuyo mdulo es el producto del mdulo de v por elescalar dado.
Por ejemplo, para hallar 3. AB , procedemos de la siguiente manera:
M
N Q
P
v
w
wv
AB
AB3
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
16/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 16 -
El producto de un vector v por un escalar negativo es un vector que tiene igual
direccin que v , sentido opuesto y cuyo mdulo es el producto del mdulo de
v por el valor absoluto del nmero real dado.
Por ejemplo, para hallar -3. AB = 3. AB
2.1.7. Operaciones con vectores en forma cartesianaLa suma de dos vectores definidos en forma cartesiana, es otro vector cuyascoordenadas son la suma de sus respectivas coordenadas.
Siendo 21,aaa y 221121 ,, babababbb
El producto de un vector, definido en forma cartesiana, por un escalar es otrovector cuyas coordenadas son las coordenadas del vector multiplicadas pordicho escalar.
2.1.8. Vectores paralelos en coordenadas cartesianas
Si dos vectores a y b son paralelos, kconbka .
2.1.9. Producto escalar de vectores
El producto escalar de dos vectores a y b es el nmero cos..ba , siendo
el ngulo determinado por dichos vectores. Se simboliza cos.. baba
2.1.10. Vectores ortogonales
Dos vectores a y b son ortogonales o perpendiculares si 0. ba
Por ejemplo, los vectores v = (0,1) y w= (1,0) son ortogonales, pues (1,0) .(0,1) = 0
Los vectores (1,0) y (0,1) se llaman versores elementales.
2.1.11. Angulo entre dos vectores
El ngulo , 0 180, que forman los vectores a y b , cumple que:
ba
ba
.
.
cos 0 180
A
B
-3. AB
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
17/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 17 -
2.2. Vectores en el espac io
As como los vectores en el plano se pueden describir como parejas denmeros reales, los vectores en el espacio tridimensional se pueden describircomo terna de nmeros reales, introduciendo un sistema de coordenadas
rectangulares. Para construir ese sistema de coordenadas, se elige un punto O,denominado el origen, y se eligen tres rectas perpendiculares entre s,denominadas ejes de coordenadas que pasan por el origen.Los ejes se identifican con x, yy zy se elige una direccin positiva para cadaeje de coordenadas.Cada par de ejes coordenados determina un plano denominado plano decoordenadas. Estos planos se denominanplano xy, plano xz y plano yz.A cada punto P en el espacio tridimensional le corresponde una terna denmeros (x, y, z)denominados coordenadas del punto P.
Un vector ven el espacio tridimensional se coloca de modo que su punto inicialest en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces lascoordenadas del punto terminal se denominan componentes de v y seescribe:
321 ,, vvvv
x
y
z
P
X
Y
Z P = (X , Y, Z)
321 ,, vvvv
v
x
y
z
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
18/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 18 -
Si 321 ,, vvvv y 321 ,, wwww son dos vectores en el espaciotridimensional, entonces se pueden usar razonamientos semejantes a los quese siguieron para vectores en el plano a fin de establecer los siguientesresultados:
v y w son equivalentes si y slo si .;;332211
wvwvwv
.,, 332211 wvwvwvwv 321 ,, kvkvkvkv , donde k es cualquier escalar.
Algunas veces un vector se coloca de modo que su punto inicial no est en el
origen de coordenadas. Si el vector21
PP tiene como punto inicial a
1111
,, zyxP y como punto terminal 2222 ,, zyxP , entonces:
12121221 ,, zzyyxxPP
Es decir, las componentes de21
PP , se obtienen al restar las coordenadas del
punto inicial de las coordenadas del punto terminal.
2.2.1. Mdulo o Norma de un vector
La longi tudde un vector u se denomina mdulo o norma de u, y se denota
por u .
En el plano: 22
2
1 uuu
En el espacio: 23
2
2
2
1 uuuu
Un vector de norma 1 se denomina vector unitar io.
Si 1111 ,, zyxP y 2222 ,, zyxP son dos puntos en el espacio tridimensional,
entonces la distancia d entre los puntos es la norma del vector21
PP , por lo
cual:
212
2
12
2
12 zzyyxxd
De manera semejante, en el plano 212
2
12 yyxxd
2.2.2. Versores asociados a los ejes coordenados
0,0.1i es el versor asociado al eje x. 0,1,0j es el versor asociado al eje y.
1,0,0k es el versor asociado al eje z.
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
19/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 19 -
2.2.3. Producto vectorial
El producto vectorial entre dos vectores en el espacio tridimensional, es tilpara hallar un vector perpendicular al plano que determinan los vectoresutilizados.
El producto vectorial se puede expresar en forma simblica como unseudodeterminante de 3x3.
kvv
uuj
vv
uui
vv
uu
vvv
uuu
kji
vu ...21
21
31
31
32
32
321
321
2.2.4. Interpretacin geomtrica del mdulo del producto vectorial
Si uy vson dos vectores en el espacio tridimensional, entonces uv es
igual al rea del paralelogramo determinado por u yv.Para demostrarlo utilizaremos la definicin de mdulo del producto vectorial:
senvuvu ..
Pero senv. es la altura del paralelogramo determinado por u y v, por lo cual
el reaAde este paralelogramo est dada por:
A= Base . Altura = vu
Por lo cual,
vu = rea del paralelogramo determinado por los vectores u y v.
u
v
u
v
senv.
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
20/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 20 -
2.2.5. Producto mixto entre vectores
Si vu, y w son vectores en el espacio tridimensional, entonces wvu . sedenomina produc to m ix toentre wyvu, .
El producto mixto entre 321 ,, uuuu , 321 ,, vvvv y 321 ,, wwww , sepuede calcular de la siguiente manera:
321
321
321
.
www
vvv
uuu
wvu
2.2.6. Interpretacin geomtrica del producto mixto entre vectores.
Sean los vectores uywv, , por definicin de producto escalar:
cos..).( wvuwvu (1), perou
hcos , por lo cual, si
reemplazamos esta expresin en (1), se obtiene:
u
hwvuwvu .. ,
hwvwvu .. ,
wvu. (rea del paralelogramo determinado por lo vectores v yw ). h
Por lo cual se concluye que:
wvu. volumen del paraleleppedo determinado por los vectores u, v y w
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
21/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 21 -
Trabajo Prctico 2Algebra Vectorial
1) Hallen los valores de m para que los siguientes vectores tengan el
mdulo dado:
a) v = (m1 , 3) 5v
b) v= ( -2 , m) 4v
2) Consideren los puntos A = (0,0) , B =(1,1) , C =(-1,1) y D =(1,3)
a) Hallen un vector con origen en C que sea equivalente a AB
b) Son paralelos AB y CD?c) Hallen las coordenadas de E, tal que AB y CEsean paralelos.
3) Si a = (2,8) , b = (-1,0) , c = (3,5) , d= (-7,3) y e=(0,-5), calculen:
dcbagbaf
dcbae
bdd
ecc
ab
eda
.2..5.4)
.5.8)
.)
.3)
.5.3)
.2)
)
4) Sean los vectores a = (-1,2) , b = (5,4) y c = ( -5,9), hallen:
cbc
bab
caa
.)
.)
.)
5) Calculen el ngulo determinado por los siguientes vectores:
a) (5,3) y (2,7)b) (-1,5) y (6,1)
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
22/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 22 -
6) Indiquen si los siguientes pares de vectores son ortogonales.
a) )0,7()7,0( bya
b) )10,4()2,5(
bya c) 5,43,1 bya
7) Se sabe que el producto escalar entre a y b es 2. Si a =(4,3) y b =( -1,y), hallen el valor de y. Indiquen si la respuesta es nica.
8) Se sabe que el producto escalar entre a y b es 4. Hallen x e y siendo
),( yxa y b )2,(x
9) Hallen , en forma vectorial, las amplitudes de los ngulos interiores deltringulo cuyos vrtices son: (9,5) , (7,3) y (4,5)
10) Calculen, en forma vectorial, las amplitudes de los ngulos interiores delparalelogramo cuyos vrtices son: (2,7), (4,9), (9,1) y (11,3)
11) Se sabe que el ngulo determinado por los vectores a y b es de 120. Si)2,(ma y )4,3( b , hallen m.
12) La primera componente de un vector a es menor que la segunda. Dichascomponentes son dos nmeros naturales pares consecutivos y el mdulo
del vector es 52 . Escriban a en forma cartesiana y como parordenado.
13)Grafiquen los siguientes puntos: A = (0, 0, 2) , B = (0, 1, 0) , C = (0, 0, 3) ,D = ( 2, -1, 2) y E = ( 3, -1, -2)
14) Consideren los puntos del ejercicio anterior.
a) Escriban las coordenadas de los vectores yECDE, EB
b) Hallen la norma de los vectores anteriores.
15) Hallen los valores de x, sabiendo que 7a y que )3,,5( xa
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
23/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 23 -
16) Consideren los siguientes vectores: )3,2,1( a , 8,4,5 b ,
5,4,4 c y 2,0,0d . Calculen:
cdah
dcg
cf
ce
bd
dcac
bdb
baa
.5.4.32)
.2.4)
.5
1)
.7)
.6)
)
)
)
17) Consideren los siguientes vectores: 5,2,1a y 5,8,2b . Hallen c
tal que bca
18) Consideren el vector 5,2,1 a y hallen c , tal que ca .3
19) Calculen la norma de a sabiendo que cba , 1,3,2b y
1,7,4 c
20) Hallen el ngulo que determinan los vectores:
a) 4,3,15,3,1 wyv
b) 7,3,2 v y 5,3,1 w
c) 2,1,0 v y 8,1,2w
21) Los vrtices del tringulo ABC son : A = ( 5, 3, 0), B=(2, -3, 1) y
C =(-5; -2; 1). Hallen su permetro y la amplitud de los ngulos interiores.
22) Indiquen cules de los siguientes pares de vectores son ortogonales:
a) 5,3,1,2,0,0 ba
b) 4,3,1,2,1,5 ba
23) Sean A = (1, -1, 2), B = (3, -1, 4) y C = (0, 2, 3). Hallen D, tal que:
a) AB sea paralelo a CD
b) AB sea perpendicular a CD
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
24/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 24 -
24) Sean 5,3,1 a , 6,5,0 b y 4,8,3 c ., hallen:
abe
acd
cac
cbb
baa
)
)
)
)
)
25) Calculen el rea del paralelogramo determinado por los vectores:
1,7,2a y 0,9,4b
26) Hallen un vector de mdulo 37 que sea perpendicular a los vectores
0,1,1s y 2,3,1 t
27) Hallen el rea del paralelogramo ABCD siendo A = (1, 1, 3), B = ( 0,0,1) ,C = ( 2, 0 , 3) y D = (1, -1, 1)
28) Hallen el rea del tringulo ABC siendo A = ( 1,1, -4) , B = ( 0, 0, 5) yC = (2,0,-1)
29) Sean los puntos A = (-2 , 3) , B = (-2 , 5) , C = (2 , 1) y D = (-4 , 4)
a) Hallen el versor asociado a CD
b) Hallen el versor asociado a AB
30) Hallar las componentes de v R3sabiendo que son nmeros
consecutivos y que su longitud es 50 .
31) Dados 2,1,1a , 2,1,3b , 0,3,1c y 1,,1 xxd hallar:
a) Volumen del paraleleppedo determinado por a , b y c
b) Hallar x R que verifiquen que a , b y d sean coplanares
32) Se sabe que el volumen del paraleleppedo determinado por 1,3,1a ,
1,0,1b y 0,,2 xc es el doble del mdulo de c . Hallar x que loverifique.
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
25/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 25 -
Ejercicios adicionales
1) Hallar, si es posible,x, y , z, tales que:a) , 1 = 3, b) 2 , 2 = 1, 3c) 2 , 4 = 2 , 2
2) Determinar Q para que el vector sea equivalente al vector , si:a) = 1 , 2 , = 0 , 2 , = 3 , 1b) = 1 , 2 , = 1 , 3, = 4 , 4c) = 1 , 3 , 1 , = 1 , 2 , 1 , = 0 , 0 , 2
3) Encontrar el punto medio del segmentoABpara:a) = 2 , 1, = 4 ,1b) = 0 , 0 , 0 , = 2 , 4 , 6c)
= 1 , 2 , 3 ,
= 3 , 2 , 1
4) Si = 1 , 2 , 2 ; = 2 , 2 , 2 y es el punto medio de ,hallar tal que sea:a) Equivalente a b) Paralelo a pero de distinto sentido
5) Hallar la distancia entrey se:a) = 1 ,3 ; = 4 , 1b) = 4 , 2 , 6 ; = 3 , 4 , 4
6) Determinar los valores de tales que:a) = 2 si = 1 , ,0b) , = 2 si = 1 , 1 , 1 ; = ,, 2
7) En cada caso encontrar los dos vectores unitarios que tienen la misma
direccin que a) = 3 ,1b) = 0 , 3 , 0c) = 2 , 3 , 6d) = , ,
8) En cada caso, encontrar tal que:a) Si = 1 , 1 ; (, ) = 4 5 y = 2b) Si = 1 , 0; ( , ) = y = 1
9) Un mvil marcha 8 km hacia el norte y luego 22km hacia el sudeste.Realice un grfico cartesiano en el que indique vectorialmente estosdesplazamientos y halle el desplazamiento resultante.
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
26/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 26 -
10) Un nadador se desplaza a 40 m/min en un ro cuya corriente, paralela ala orilla, tiene una velocidad de 1,5 km/h. El nadador desea llegar a unpunto de la otra orilla situado exactamente frente de l. La otra orilladista 200 m de aquella en la que est el nadador. Haga un planteovectorial para contestar las siguientes preguntas:
a) con qu ngulo respecto a la perpendicular a la orilla debe salir?b) cunto tiempo tardar en llegar a la otra orilla?
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
27/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 27 -
RespuestasTrabajo Prctico 1
Algebra de Ecuaciones
1) a)23
435 , b) 20251 , c)
49
2) a) 2,2S , b) 5,5S , c) 8,8S , d) 9,9S ,e) 0S
3) a)
2
1,1S , b)
2
1S , c)
3,2
1S , d)
2
11S ,
e) 7,2S
4) a) 10S , b) 3S , c) 3,1S , d)
4
9S
5) a)
6
5S , b)
4
13S , c) 14S , d) 3S , e) 9S
f) 3S , g)
15
20eS , h) 1S , i) 3S , j) 25S
k) 2S
6) a)
4
7,S , b) 3,S , c)
,2
7S , d) 1,S
e) 2,S , f) ,6S , g)
2
3,1S ,
h)
,
2
1
5
3,S , i)
,
13
4
2
1,S
j)
,02
1,S , k)
2,
9
22,S ,
l)
3,29
312,S , m)
,10,2
1
7 ) a) -3 g) 6 y 7; -6 y -7b) 185 h) 10 y 11c) 36 m i) 60 d) $ 30 j) 9,43 cme) 1,65 m y 0,55 mf) 72, 24, 12 y 72
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
28/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 28 -
RespuestasTrabajo Prctico 2Algebra vectorial
1) a) 5,3S
b) 32,32S
2) a) Origen en C y extremo en 2;0 b) s c) 2; xx
eeE
3) a) 2;7 b) 16;4 c) 10;9 d) 3;4 e) 60 f) 64;21 g) 19
4) a) 23 b) 3 c) 11
5) a) 43 518 b) 91 50 51
6) a) s b) s c) no
7) y = 2. La respuesta es nica.
8)
2
4;
2x
x
9) ''25'4133 ''35'18101 45
10) ''4'3685 ''56'2394
11) 0,8543
12) 4;2
13) a cargo del alumno
14) a) 4;0;1 DE 5;1;3EC 2;2;3EB
b) 17DE 35EC 17EB
15) 1515
16) a) 11;2;4 b) 10;4;5 c) 4;6;5 d) 48;24;30
e) 35;28;28 f)
1;
5
4;
5
4 g) 16;16;16 h)
15;
3
64;
3
62
17) 10;6;1
18)
3
5;
3
2;
3
1
19) 24
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
29/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
_____________________________________________________________________________________
Lic. Giongrandi, Andrea - 29 -
20) a) 21 50 43 b) 25 37 45 c) 36 8 25
21) 235732 P ''34'13108 ''2'4536 ''22'135
22) a) No son ortogonales b) S son ortogonales
23) a) zz
ddD ;2;3 b) zyz dddD ;;3
24) a) 5;6;43 b) 15;18;28 c) 1;19;52 d) 1;19;52 e) 5;6;43
25) 197
26) 4;2;2
27) 12
28) 46
29) a)
5
5;
5
52 b) 1;0
30) 5;4;33;4;5
31) a) 12 b)2
1
32)6
5
Ejercicios adicionales
1) a) = 3 , = 4b) = 1 . = 1c) = 8 , =
2) a) = 4 ; 1 b) = 2 ; 5 c) = 0; 1 ; 23) a) = 3 ; 0 b) = 1 , 2 , 3 c) = 1 ; 0 ; 1
4) a) = ; 0 ; 0 b) = ; 0 ;0
5) a) ; = 5 b) ; = 3
6) a)
= 3 , = 3 b)
=
,
=
7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015
30/30
U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602
7) a) = ; , =
;
b) = 0 ; 1 ; 0 , = 0 ; 1 ; 0
c) = 7 ; 7 ; 7 , = 7 ; 7 ; 7d) = ;
;
, =
;
;
8) a) = 2 ; 0 , = 0 ; 2 b) = ; , =
;
9) resolucin a cargo del alumno
10) a) 38 41 b) 6 24
Recommended