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vectores. algebra vectorial
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“Licenciatura en Tecnologías Aplicadas al Arte Sonoro”Facultad de Humanidades y arte. Escuela de Música
ÁLGEBRA VECTORIAL
En Física muchos son los conceptos, tales como fuerzas, velocidades, desplazamientos, para cuya modelización en matemática resultan imprescindibles recurrir a entes denominados vectores.
Definición:Un vector es un segmento orientado.
Por ser el vector un segmento orientado, tiene un principio y un fin, es decir un punto origen y un punto extremo. Si por ejemplo su origen es el punto a y su extremo el punto b, el vector se indicará o con una sola letra minúscula y una barra arriba o flecha. Es decir:
Los vectores se caracterizan por tener:
Módulo : es la distancia entre el punto origen y el extremo, es decir la medida del segmento orientado. Si el origen es a y el extremo es b, el módulo será la distancia de a y b y la simbolizaremos .
Dirección : es la de la recta que contiene al vector o cualquiera de sus paralelas.
Sentido : es el indicado por la punta de una flecha. Por ejemplo si el vector tiene por extremo el punto b, la punta de la flecha estará en él.
Definición:
Diremos que dos vectores y poseen:
Igual módulo: si la medida de los segmentos y son iguales, respecto a la misma unidad de medida.
Igual dirección: si ambos vectores están contenidos en la misma recta o rectas paralelas.
Igual sentido: o si teniendo la misma dirección e incluidos en rectas paralelas no
coincidentes, los segmentos y no tienen ningún punto en común.
o si teniendo la misma dirección e incluidos en la misma recta, existe un vector no incluido en dicha recta, que tiene igual sentido que y .
- 1 -
a
b
b
a
cd
R
T
b
a
cd
R
T pq
“Licenciatura en Tecnologías Aplicadas al Arte Sonoro”Facultad de Humanidades y arte. Escuela de Música
Distinto sentido o sentido opuesto:
o si teniendo la misma dirección e incluidos en rectas paralelas no coincidentes se intersecan en un punto.
o si teniendo la misma dirección e incluidos en la misma recta, existe un vector no incluido en dicha recta, que tiene sentido opuesto a uno de ellos e igual al otro.
Definiciones:
Dado un segmento , se llama vector libre al conjunto de todos los vectores que tienen igual módulo, dirección y sentido que , incluido el propio . En lo sucesivo será indistinto trabajar con cualquiera de los elementos de dicho conjunto.
Se llama vector nulo y se simboliza , al vector cuyo módulo es cero. Es decir . Este vector por tener módulo cero, su origen y extremo coinciden; es decir su representación es un punto. Este vector carece de dirección y sentido.
En símbolos:
Dos vectores no nulos son paralelos cuando tienen la misma dirección.
En símbolos:
Dos vectores son iguales cuando tienen módulo cero o cuando poseen igual dirección, sentido y módulo.En símbolos:
v
- 2 -
b
a
cd
R
T
a
bd
c
R
T pq
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Dado un vector cualquiera no nulo, se llama vector opuesto de y se simboliza , a otro vector que tiene igual módulo y dirección que pero sentido opuesto.
En símbolos: Si
Se llama versor a todo vector de módulo uno.
En símbolos: es un versor
Convenio: Al conjunto de todos los vectores del espacio tridimensional lo notaremos .
Operaciones en
Suma
Definición:Dados los vectores y , denominamos vector suma a otro vector que
se obtiene de la siguiente manera:
A partir de un punto p cualquiera, se toma y con origen en q, se toma , al vector con origen en p y extremo en s, , se lo denomina vector suma de y . Es decir: = +
Ejemplo:
Dados los vectores:
El vector suma será:
Propiedades
; ;
S1)Conmutativa: + = +
S2)Asociativa: ( + ) + = + ( + )
S3)Existencia del elemento neutro: / + =
S4)Existencia del opuesto: - / + (- ) =
Diferencia
- 3 -
a
+
s
p
q
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Definición:Dados los vectores y , denominamos vector diferencia a otro vector
que se obtiene sumando al primero el opuesto del segundo. Es decir:
Ejemplo:
Dados los vectores:
El vector diferencia será:
Práctica
1. Dados ; y del gráfico expresa ; y en función de ; y .
=
=
=
Producto de un vector de por un número real (o escalar)
Definición:
Se denomina producto de un vector por un escalar (o número real) a otro vector tal que:
Ejemplo:
= - 2
Propiedades
; ; R; R
- 4 -
-
a
b
c
v
wu
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P1)1 =
P2) ( + ) = +
P3)( + ) = +
P4) ( ) = ( )
Definición:
Dado un vector no nulo, llamamos versor asociado al vector y lo simbolizamos , al vector de módulo uno que tiene igual dirección y sentido que .
Teorema 1
Si es un vector cualquiera del espacio, no nulo, entonces es su versor asociado.
Condición de paralelismo entre vectores
Teorema 2
Dos vectores y no nulos, son paralelos si y sólo si existe un número real tal que .
En símbolos:
Si :
Definición:
Dados los vectores y no nulos se denomina ángulo entre los vectores y y se indica al ángulo convexo (es decir ) por ellos determinado al ser aplicados con origen en un punto.
Ejemplo:
Práctica
2. Completa según corresponda, siendo y vectores no nulosa. y son ángulos ……………………………………..
b. y son ángulos …………………………………
- 5 -
ab
ba
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c. y son ángulos ………………………………….
d. y son ángulos …………………………………….
3. Si y bisectriz de ¿cuál es la medida de cada uno de los siguientes ángulos?
a. d.
b. e.
c. f.
Definición de vectores perpendiculares:
Dados dos vectores no nulos, diremos que son perpendiculares y
simbolizaremos si el ángulo que ellos determinan es recto, es decir
Producto escalar o interno entre vectores
Definición:Dados dos vectores y , se llama producto escalar o interno entre los vectores
y ,y se simboliza , al número:
Propiedades
; ; R; R
PE1)
PE2)
PE3)
PE4)
PE5) (condición de perpendicularidad entre vectores no nulos)
PE6)
Práctica
4. Siendo , determina:a.
- 6 -
a
b
c
vo
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b.c.
5. Sabiendo que , y , calcula:
a.b.c.
6. Determina al ángulo que forman y , sabiendo que ; y .
VECTORES EN COMPONENTES
Vectores en el plano y en el espacio
Hasta ahora hemos estudiado a los vectores en forma geométrica. Al conjunto de vectores geométricos lo simbolizamos con V.
A continuación trabajaremos con los vectores de otra forma, vinculándolos con conjuntos ordenados de números reales.
Si los consideramos en el plano lo vincularemos con R2 y en el espacio con R3.Recordemos las siguientes definiciones:
R2 =
R3 =
Para ello comenzaremos definiendo:
Sistemas de referencias cartesianos ortonormales
En el espacio:
Dado un punto cualquiera del espacio (origen de coordenadas), y en él aplicados tres versores ; y perpendiculares dos a dos, al conjunto se lo denomina sistema de referencia ortonormal en el espacio.
Denominaremos como:
ejes coordenados “x”; “y” y “z” a cada una de las rectas que contienen a cada uno de los versores ; y , respectivamente.
planos coordenados xy; xz e yz, a los planos que contienen a los ejes e , a los eje y y a los eje y , respectivamente.
Gráficamente resulta:
- 7 -
x
k
o
z
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En el plano:
Dado un punto cualquiera del plano (origen de coordenadas), y en él aplicados dos versores y perpendiculares, al conjunto se lo denomina sistema de referencia ortonormal en el plano.
Gráficamente resulta:
Observación: En las definiciones y las propiedades que a continuación se presentan se consideran las vectores en el espacio; análogamente las mismas son válidas para vectores en el plano.
Descomposición de un vector
Definición:
Llamaremos vector posición a todo vector con origen en el origen de coordenadas.
Dado un sistema de referencia y un punto , si por p trazamos una recta paralela a , ésta corta al plano xy en un punto que llamaremos p’. Como , y están en un mismo plano, resulta: (1).
Por otra parte,
De (1) y (2), podemos concluir que:
Gráficamente resulta:
Definiciones:
- 8 -
xo
x
ko
z
p1
p3
p2
p1
p2
p3
p’
p
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Llamamos:o a la expresión expresión canónica o cartesiana
del vector .o a la terna ordenada de números componentes escalares
del vector en el sistema .o a los vectores p1 ; p2 y p3 se los llama componentes vectoriales
de .
Práctica
7. En un sistema de referencia ubica los puntos: ; ; y .
8. Dado el vector posición demuestra que
Definición:Los vectores y son iguales si y solo si sus componentes son
iguales.
En símbolos:
Operaciones entre vectores en función de sus componentes
Suma
Dados los vectores y , el vector suma se obtiene:
Propiedades
; ;
S1)Conmutativa: + = +
S2)Asociativa: ( + ) + = + ( + )
S3)Existencia del elemento neutro: / + =
S4)Existencia del opuesto: - / + (- ) =
Diferencia
Dados los vectores y , el vector diferencia se obtiene:
- 9 -
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Producto de un escalar por un vector
Dados el vector y el número , el vector producto de por se obtiene:
Propiedades
; ; R; R
P1)1 =
P2) ( + ) = +
P3)( + ) = +
P4) ( ) = ( )
Cosenos directores de un vector
Definiciones:
Llamaremos:
ángulos directores de un vector, respecto de un sistema , a los los ángulos que el vector forma con cada uno de los versores del sistema.
cosenos directores de un vector, respecto de un sistema , a cada uno de los cosenos de los ángulos directores.
Ejemplo:
Dados el vector , tenemos: ángulos directores de : ; y cosenos directores de : ; y
Práctica
9. Si: y con componentes no nulos y ,demuestra:
10. Si las componentes escalares de un vector son , determina sus cosenos directores.
- 10 -
x
ko
z
u
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11. Determina de módulo 5 que forma ángulos iguales con los versores ; y .
12. Sabiendo que los cosenos directores de un vector son ; ;
y módulo 5, calcula las componentes del vector.
Admitiremos sin demostrar que:
a. Si , entonces ; y
b. Si , entonces
c. Si , entonces
Componentes de un vector en el espacio
Teorema 3
Dados los puntos y entonces las componentes escalares de son .
Demostración
Recordando la definición y propiedades de la suma entre vectores y la expresión canónica de un vector posición, resulta:
de donde las componentes escalares de son:
Coordenadas del punto medio de un segmento definido por dos puntos en el espacio
Teorema 4
Dados los puntos ; y el punto m, punto medio m del segmento
, entonces las coordenadas de m son
Demostración
Como m es el punto medio de , resulta:
- 11 -
x
k
z1p
0p
1p
m
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Llamando a las coordenadas de m y utilizando el teorema 3, podemos escribir:
Luego, dos vectores son iguales si sus componentes son iguales, es decir:
Por lo tanto
Ejemplo
Dados los puntos y , entonces: Las componentes escalares de son . La expresión canónica de es . La distancia entre los puntos y o el módulo de es
.
Las coordenadas del punto medio del segmento son .
Práctica
13. Calcula las medidas de los lados del triángulo cuyos vértices son los puntos ; y ¿es el triángulo isósceles? Justifica la
respuesta.
14. Determina las coordenadas de los puntos simétricos de ; y
a. Respecto al plano coordenado .b. Respecto al eje x.c. Respecto al origen de coordenadas.
15. Dados los puntos y en un determina las componentes escalares de . Obtiene además las coordenadas el punto medio del segmento .
16. Un vector tiene módulo 13 y sus dos primeras componentes son 3 y 4, en ese orden; ¿Cuál es la tercera componente? ¿existe única solución?
- 12 -
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Producto escalar
Dados los vectores y , el producto escalar entre y se obtiene de la siguiente manera:
Aplicando propiedades del producto escalar, podemos demostrar la fórmula anterior de la siguiente manera:.
(1) aplicando propiedades del producto escalar.(2) Condición de paralelismo y perpendicularidad de vectores
Práctica
17. Dados los vectores y , determina:a.b. el ángulo que forman dichos vectores
18. Dados los vectores y , halla m para que los vectores y sean: i) Paralelos ii) Ortogonales
19. Dados en , determina:a. La expresión canónica de b.
20. Siendo y y , determina:a. Las componentes vectoriales de .b. Las coordenadas del punto medio del segmento .c. Un vector colineal con de módulo 3 y de distinto sentido.
21. Siendo ; y , determina:a.b.c.d.
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22. Determina las componentes de sabiendo que es paralelo al vector
, siendo y , y es obtuso.
PARA REPASAR - Un parcial de VECTORES como modelo. Dados en : p(3; 0; -1); q(5; 1; 0) y (3; 2; -2). Obtiene:
1) si
2)
3) el ángulo que forman y
4) el valor de “p” para que y (p; -1; 3 – 2p) sean perpendiculares
5) las coordenadas de a tal que
6) los cosenos directores de
7) un versor paralelo a ( )
8) las componentes vectoriales de ; ; y sent sent
- 14 -
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