APUNTES ELASTICIDAD

PROGRAMA ANALITICO

CAPITULO IINTRODUCCION

CONCEPTOS INICIALES

En el curso desarrollaremos la Teoría de la Elasticidad, y para ello nada mejor que encuadrarla en el campo de la Física Mecánica a la cual pertenece:

De alguna manera en Ingeniería, en sus distintas especialidades y asignaturas, se recorre todo el campo de la Mecánica, ya sea en forma teórica como práctica. Respecto a la Mecánica del Sólido es innecesario referirnos a los temas de Resistencia de Materiales, yatratados en los cursos de Estabilidad II y III. La Geotecnia y Mecánica de Suelos necesitanconocimientos de Elasticidad, Plasticidad y Viscosidad en sólidos, así como también elestudio de construcciones o elementos donde intervengan acero, hormigón, materialesplásticos, asfaltos, etc.En el curso nos referiremos a la elasticidad lineal y consideraremos al sólido como unMedio Continuo, aunque en realidad sabemos que está formado por moléculas, con espacios entre ellas, si lo consideramos desde el punto de vista microscópico.

ELASTICIDAD Y LINEALIDAD

En la Ingeniería Civil y desde una perspectiva macroscópica, podemos considerar que el Material o Sólido cumple con las siguientes Hipótesis simplificativas, que pueden ser, deacuerdo a la experiencia, asumidas como propiedades del sólido en el tratamiento dediferentes problemas:

a) HOMOGENEIDAD: Esto implica que el material que constituye el cuerpo tienelas mismas características físicas y mecánicas en cualquier punto del medio. Si bien esto no es exactamente cierto, si consideramos la estructura molecular, es aceptable considerar que macroscópicamente los materiales se comportan como homogéneos. Aún

el hormigón simple puede ser considerado así, aunque es evidente que no tiene las mismas propiedades en un punto coincidente con el agregado grueso que en otro que esté sobre el mortero aglomerante.

b) ISOTROPÍA: Esta propiedad considera igualdad de características elásticas cualquiera sea la dirección estudiada. Un ejemplo clásico de falta de isotropía (anisotropía) es la madera, en la cual las características físico-mecánicas dependen de la dirección que se considere respecto a las fibras. Ciertos procesos, como el laminado de metales, pueden producir anisotropía.

c) CONTINUIDAD: El sólido se comporta como un continuo, aunque no lo sea en su estructura microscópica. Esta hipótesis nos permite plantear ecuaciones de equilibrio y deformaciones, planteando soluciones de funciones continuas a las cuales es aplicable el cálculo diferencial.

d) ELASTICIDAD: Implica que al aplicar una carga los cuerpos sufren una deformación que desaparece totalmente al retirarse las cargas. Con referencia a la Elasticidad Lineal, o sea cuando los efectos son linealmente proporcionales a las cargas, será aplicable el Principio de superposición.

RELACION ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES

ESFUERZO NORMAL NORMAL

σ = NA

, (σ=Tension axial, N=Esfuerzo normal, A=Area de la sección transversal)

N

A

MOMENTO FLEXTOR EN “X”

σ = Mx∗yIx

, (Mx=momento en “X”, Ix=Inercia “X’, y=dist. Desde baricentro al

punto)

MxG

P

X

yY

MOMENTO FLEXTOR EN “Y”

σ = My∗xIy

, (My=momento en “Y”, Iy=Inercia “Y’, x=dist. Desde baricentro al

punto)

MyG

P

X

x

Y

CORTANTE EN “X”

τ = Qx∗Syh∗Iy (Sy = A*dG-G’)

(τ=Tensión tangencial, Qx=cortante en “X”, Sy=Momento estático en “Y’)

Qx

G

P

X

Y

A

G'

CORTANTE EN “Y”

τ = Qy∗Sxh∗Ix (Sy = A*dG-G’)

(τ=Tensión tangencial, Qy=cortante en “Y”, Sx=Momento estático en “X’)

Qy

G

P

X

Y A

G'

TORSOR

τ = T∗nIp

(τ=Tensión tangencial, n=dist. Desde “G” a “P”, Ip=Inercia polar)

G

P

n

R

T

COMPONENTES DE TENSIÓN

COMPONENTES DE DEFORMACIÓN

DEFORMACIONES PLANAS

Y

X

yx

12

xy

2

xo=cos

yo=

cos

y

x

y

x

COS α = XO1 → XO = COS α

εx = δXXO =

δXcosα → δx = εx*cos α

tag(γyx2

) = δXcos β

, (tag(γyx2

) = γyx2

) , γyx2

= δXcos β

→ δx = ( γyx2

)*cos β

Σ δx = εx*cos α + ( γyx2 )*cos β

Σ δy = ( γxy2

)*cos α + εy*cos β

CIRCULO DE MORH DE TENSIONES

1) En un cierto punto de la superficie de un cuerpo cargado, son conocidas las tensiones en dos planos perpendiculares:

X

Z

Yy

y

x

x

xy

yx

2) Trace 2.1)un eje horizontal para marcar las tensiones normales 2.2)un eje vertical para las tensiones tangenciales

3) Ubicación de tensiones normales:

marque la tension normal detraccion a la derecha del origen

marque la tension normal decomprecion a la derecha del origen

4) Ubicación de tensiones tangenciales:

marque la tension tangencial quegira en el sentido horario

marque la tension tangencial quegira en el sentido anti horario

5) Planteamiento del problema:

40

40

50 50

-10

-1040

40

50

40 40

40

-10

X

Y

5.1) uniendo los puntos se obtiene el centro(C) de circulo de Mohr: σc = 12

(σx + σy):

Trace el circulo con centro en C, que pase por los dos puntos:

50

40 40

40

-10 20

C

5.2) Los lados del triángulo valen:

50

40 40

40

-10 20

C

xy = 40

1

2yx

2

xy2

230

240 50

1

2yx

1

250 - (-10) 30

5.3) Conclusiones:

50

40 40

40

-10 20

C

max = R = 50

min c R30

max c R70

LEY DE HOOKE GENERALIZADA

INTRODUCCION