Arbol de Decision

UNIDAD IIIUNIDAD III

Arboles de DecisiónArboles de Decisión

Resolución de problemasResolución de problemas 1. Identificar y definir el 1. Identificar y definir el problemaproblema 2. Determinar el 2. Determinar el conjunto de alternativasconjunto de alternativas

de soluciónde solución 3. Determinar el 3. Determinar el criteriocriterio o criterios que se o criterios que se

usará/n para evaluar las alternativasusará/n para evaluar las alternativas 4. Evaluar las alternativas :4. Evaluar las alternativas :

análisisanálisis cualitativo cualitativo análisisanálisis cuantitativo cuantitativo

5. Elegir una alternativa5. Elegir una alternativa 6. Ponerla en práctica6. Ponerla en práctica 7. Evaluar los resultados7. Evaluar los resultados

Tipos de modelosTipos de modelos

Certeza Incertidumbre

Problemassimples

Casos Arboles dedecisión

Problemascomplejos

Programaciónlineal, mixta

SimulaciónMonteCarlo

Problemasdinámicos

PERT,inventario

Simulación,colas, invent.

Análisis de decisiónAnálisis de decisión

El análisis de decisión es una El análisis de decisión es una herramienta utilizada para herramienta utilizada para seleccionar una estrategia cuando seleccionar una estrategia cuando un tomador de decisiones tiene un tomador de decisiones tiene varias alternativas u opciones a varias alternativas u opciones a seguir y una serie incierta de seguir y una serie incierta de eventos futuros (que llamaremos eventos futuros (que llamaremos “estados de la naturaleza”).“estados de la naturaleza”).

Análisis de decisiónAnálisis de decisión

Por ejemplo, cuando se desea desarrollar una actividad

recreativa se tiene la opción de hacerla al aire libre o en un

espacio cerrado (esto es una decisión), sin embargo; el

factor clima no puede ser controlado y la única certeza que tenemos nos la puede dar un pronóstico del tiempo, el cual puede ser o no ser preciso (el clima es un estado de la naturaleza)

Análisis de decisiónAnálisis de decisión

ActividActividadad

Al aire libreAl aire libre

EspaciEspacioocerradcerradoo

NubladoNublado

SoleadoSoleado

LlueveLlueve

NubladoNublado

SoleadoSoleado

LlueveLlueve

Análisis de decisiónAnálisis de decisión

Otro ejemplo es la apertura de un negocio. En este caso

se tiene una serie de opciones en cuanto a tamaño,inversión inicial o mezcla de productos a manejar,

entreotras. Estas pueden ser tomadas por la gente

encargadadel negocio.En cambio, el comportamiento del mercado ante la

ofertadel negocio es un fenómeno aleatorio.

Análisis de decisiónAnálisis de decisión

NegocioNegocio

Venta Venta dedeSoftwaSoftwarere

AsesoríaAsesoríaInformátiInformáticaca

Demanda altaDemanda alta

Demanda bajaDemanda baja

Demanda bajaDemanda baja

Demanda altaDemanda alta

Árboles de decisión

Un árbol de decisión muestra la manera en que se

pueden desglosar los problemas y la secuencia en los procesos de decisión. Está basado en el teorema de Bayes.

Cuatro tipos de Cuatro tipos de probabilidadprobabilidad

Marginal

La probabilidad de que ocurra

X

Unión

La probabilidad de que ocurra

X o Y

Conjunta

La probabilidad de que ocurra

X e Y

Condicional

La probabilidad de que ocurra

X sabiendo que ha ocurrido Y

YX YXY

X

P X( ) P X Y( ) P X Y( ) P X Y( | )

Probabilidad condicional

A la probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que otro evento A se ha presentado se le llama probabilidad condicional de B dado A y se denota por

P(B/A) = P(AP(B/A) = P(A∩B)B)

P(A)P(A)Si P ( A) está definida.• Esto se lee “Probabilidad de B dado A”.

Probabilidad condicional

Lo que sucede en este caso es que el espacio muestral del evento A se convierte en el nuevo espacio muestral S o universo.

Espacio muestral A

(A(A∩B)B)

Ejemplo

Para el siguiente diagrama de Venn se tiene que:

Ejemplo

En cierta ciudad, 75% de la gente consume el refresco A,55% el refresco B y 40% consume ambos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una personaseleccionada al azar consuma el refresco B, dado queconsume el A?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una personaseleccionada al azar consuma el refresco B, dado queno consume el A?

Ejemplo

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una personaseleccionada al azar consuma el refresco B, dado queconsume el A?

Ejemplo: b) ¿Cuál es la probabilidad de que una personaseleccionada al azar consuma el refresco B, dado que no consume el A?

Ejemplo

En una escuela 50% de los alumnos lleva la clase deteatro, 60% la clase de música y 30% llevan amboscursos.

a) Dado que un alumno lleva el curso de música, ¿cuál esla probabilidad de que curse teatro?

b) Dado que un alumno no cursa música, ¿cuál es laprobabilidad de que lleve teatro?

Ejemplo

a) Dado que un alumno lleva el curso de

música, ¿cuál es la probabilidad de que curse teatro?

Ejemplob) Dado que un alumno no cursa música, ¿cuál es laprobabilidad de que lleve teatro?

Árbol de Bayes

Teorema de Bayes

• Sea A1, A2, ..., An una serie de eventos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y B otro evento del que se conocen las probabilidades condicionales P( B/ Ai). Entonces la probabilidad P( Ai/B) viene dada por:

Ejemplo

Tres sucursales, 1, 2 y 3 generan el 45%, 30% y 25%,respectivamente, del total de las ventas en un negocio.Los porcentajes de ventas con reclamo por mal servicio de estas sucursales son de 3%, 4% y 5%.

a) Si se selecciona una venta al azar, calcula laprobabilidad de que tenga reclamación por mal servicio.b) Si se toma al azar una venta y resulta con reclamación;calcula la probabilidad de que haya sido generada porla sucursal 2.

Ejemplo

c) Si se selecciona una venta al azar, calcula laprobabilidad de que no tenga reclamo.

d) Si se toma al azar una venta y no tiene reclamación, calcula la probabilidad de que haya sido hecha por la sucursal 2.

Ejemplo

• Para resolver este problema se construye un árbol deBayes usando las probabilidades dadas como información.

• Pasos para construir un árbol:

– Se identifican en él los eventos correspondientes aCada sucursal 1, 2 y 3 y constituyen la primera serie deramas de un árbol.

Árbol de Bayes - Primer paso:Árbol de Bayes - Primer paso: Tres sucursales, 1, 2 y 3 generan el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las ventas en un negocio.

Árbol de Bayes - Segundo pasoSe identifican los eventos correspondientes Se identifican los eventos correspondientes al porcentajeal porcentajede reclamaciones de cada sucursal (1, 2 y 3) de reclamaciones de cada sucursal (1, 2 y 3) y constituyeny constituyenla segunda serie de ramas del árbol.la segunda serie de ramas del árbol.Los porcentajes de ventas con reclamo por mal servicio de estas sucursales son de 3%, 4% y 5%.

Ejemplo teorema de Bayes

Ya con el árbol generado se pueden contestar las preguntas:a) Si se selecciona una venta al azar, calcula laprobabilidad de que tenga reclamación por mal servicio ( D).

Ejemplo

b) Si se toma al azar una venta y resulta con reclamación; calcula la probabilidad de que haya sido generada por la sucursal 2.

Revisando de nuevo el árbol de Bayes, vamos a recorrer el camino de la segunda hacia la primera rama, rastreando las reclamaciones hasta la rama de la sucursal 2:

Ejemplo

Ejemplo

c) Si se selecciona una venta al azar, calcular la

probabilidad de que no tenga reclamación.

Ejemplod) Si se toma al azar una venta y no tiene reclamación,calcula la probabilidad de que haya sido hecha por lasucursal 2.

Árboles de decisión

Los árboles están compuestos de nodos y ramas:

Un nodo es un punto de unión. Hay dos tipos de

nodos: de decisión y de probabilidad.Una rama es un conector entre dos

nodos.

Un nodo de decisión representa un punto en el que se debe tomar una decisión. De estos nodos salen ramas que son las posibles decisiones a tomar y se representan con un cuadrado.

Un nodo de probabilidad (estado de la naturaleza) representa el momento en que se produce un evento aleatorio. De estos nodos salen ramas que representan posibles resultados para eventos inciertos en los que no se tiene control sobre su resultado. Se representan con un círculo.

Árboles de decisión

Árboles de decisión

Nodo de DecisiónNodo de Decisión

Rama

Rama

Nodo de probabilidadNodo de probabilidad

En un árbol de decisión la secuencia de eventos se desarrolla

de izquierda a derecha.

Las probabilidades se indican en las ramas de estado de la

naturaleza. Son probabilidades condicionales de eventos que

ya sucedieron.

Los valores en dinero en los extremos de las ramas dependen

de decisiones tomadas y estados de la naturaleza previamente ocurridos.

La decisión que resulta de un análisis de árbol no es unadefinitiva sino condicionada a la ocurrencia de eventos

quesucedan en la próxima decisión.

Árboles de decisión

Trabajando de atrás hacia adelante en el árbol, secalcula un valor esperado para cada nodo de estado

dela naturaleza.

Dado que es posible controlar las ramas que salen decada nodo de decisión, se elige la rama que resulte

en elmayor valor esperado.

Se van tachando todas las ramas que no seanseleccionadas.

Selección de alternativas de Selección de alternativas de decisióndecisión

Un inversionista desea abrir con apoyo de un experto un negocio de informática, sin embargo; no define cuál será el modelo de negocio hacia el cual se enfocará: desarrollos o elaboración de software empaquetado para su venta individual.

El inversionista plantea tres escenarios para la demanda de su negocio: Alta, media y baja. En base a experiencias previas del experto las probabilidades respectivas para cada demanda son: Alta: 0.4, Media: 0.5 y Baja 0.1.

El costo por apertura y operación del negocio de desarrollos durante el primer año se estima en 500,000.00. La ganancia por una alta demanda se estima en 1,100,000.00, mientras que para media y baja son 800,000.00 y 520,000.00 respectivamente.

Árboles de decisión: ejemplo

El costo por apertura y operación del negocio de software empaquetado durante el primer año se estima en 550,000.00. La ganancia por una alta demanda se estima en 1,000,000.00, mientras que para media y baja son 750,000.00 y 620,000.00 respectivamente.

En ambos casos las cantidades monetarias se expresan como valor presente.

Construye un árbol de decisión que muestre la secuencia de toma de decisiones que se sigue para llegar a una conclusión.

Árboles de decisión: ejemplo

El primer paso es colocar en un esquema de árbol el nodo de decisión, el cual tendrá dos ramas: una correspondiente a el desarrollo y otra a el software empaquetado.

De cada una de estas dos ramas saldrán otras tres que representarán las demandas alta, media y baja (estados de la naturaleza)

Al final de cada una de las ramas coloca los flujos monetarios estimados para cada demanda.

Árboles de decisión: ejemplo

Árboles de decisión: ejemplo

Multiplica el flujo estimado por la probabilidad correspondiente a cada demanda, así tendrás el flujo estimado para cada opción.

Suma los flujos correspondientes a cada demanda, esto para cada opción (desarrollo o producto empaquetado) y define cual de ellos presentará la mayor ganancia global esperada.

En base a esta cantidad define cuál decisión se toma. Se tacha aquella rama que representa la menor ganancia.

Árboles de decisión: ejemplo

Árboles de decisión: ejemplo

De aquí se obtiene que la mejor decisión, al menos para el

primer año de operación es el desarrollo de software a la

medida.El ejemplo es bastante sencillo, en caso de querer

visualizar más eventos se van agregando tanto nodos de decisión como nodos de probabilidad.

Árboles de decisión: ejemplo

INFORMACIÓN PARA EL ANALISIS DE DECISIÓN DEL INFORMACIÓN PARA EL ANALISIS DE DECISIÓN DEL PROBLEMA PARA UNA PLANTA GRANDEPROBLEMA PARA UNA PLANTA GRANDE

Millones de dólaresMillones de dólares

DEMANDADEMANDA

PLANTA GRANDEPLANTA GRANDEAlta Media Alta Media

BajaBaja

Rendimiento Rendimiento operaciónoperación

20 15 20 15 10 10

CostosCostos 10 10 10 10

1010

Ganancia netaGanancia neta 10 5 10 5

0 0

Probabilidad planta grande Probabilidad planta grande y pequeñay pequeña

0.4 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2

Decisión construcción de una planta grade o Decisión construcción de una planta grade o de una pequeñade una pequeña

Decisión construcción de una planta grade o de una pequeña

Planta grande

Planta pequeña

Primer punto de decisión

D A (0.4)

D B (0.2)

D M (0.4)

D A (0.4)

D M (0.4)

D B (0.2)

$10$10MM

$5$5MM

$0$0MM

PLANTA PEQUEÑAPLANTA PEQUEÑACosto de construcción de una planta pequeña es 6 Costo de construcción de una planta pequeña es 6

millones de dólares millones de dólares

EXPANSIÓNEXPANSIÓN

DEMANDA DEMANDA ALTAALTA

Gran Gran Pequeña Pequeña No No

Rendimiento Rendimiento operaciónoperación

19 18 19 18 10 10

Costos de Costos de expansiónexpansión

5 3 5 3 0 0

Ganancia netaGanancia neta 8 9 8 9

4 4

Segundo punto de decisiónSegundo punto de decisión

Segundo punto de decisión demanda alta

Planta grande

Planta pequeña

Primer punto de decisión

D A (0.4)

D B (0.2)

D M (0.4)

D A (0.4)

D M (0.4)

D B (0.2)

$10$10MM

$5$5MM

$0$0MM

Segundo punto de decisión

Gran Gran expansiexpansiónónPequeña Pequeña expansiexpansiónónNo No expandiexpandirr

$8$8MM

$9$9MM

$4$4MM

PLANTA PEQUEÑAPLANTA PEQUEÑACosto de construcción de una planta pequeña es 6 Costo de construcción de una planta pequeña es 6

millones de dólares millones de dólares

EXPANSIÓNEXPANSIÓN

DEMANDA DEMANDA MEDIAMEDIA Pequeña NoPequeña No

Rendimiento Rendimiento operaciónoperación

18 18 10 10

Costos de Costos de expansiónexpansión

3 3 00

Ganancia netaGanancia neta 9 9

44

Segundo punto de decisiónSegundo punto de decisión

Segundo punto de decisión demanda media

Planta grande

Planta pequeña

Primer punto de decisión

D A (0.4)

D B (0.2)

D M (0.4)

D A (0.4)

D M (0.4)

D B (0.2)

$10$10MM

$5$5MM

$0$0MM

Segundo punto de decisión

Gran Gran expansiexpansiónónPequeña Pequeña expansiexpansiónónNo No expandiexpandirr

$8$8MM

$9$9MM

$4$4MM

Pequeña Pequeña expansiexpansiónónNo No expandiexpandirr

$9$9MM

$4$4MM

PLANTA PEQUEÑAPLANTA PEQUEÑADEMANDA DEMANDA

BAJABAJA Rendimiento Rendimiento

operaciónoperación 10 10

Costos de Costos de construcciónconstrucción 6 6

Ganancia netaGanancia neta 4 4

Segundo punto de decisiónSegundo punto de decisión

Segundo punto de decisión demanda baja: Segundo punto de decisión demanda baja:

Planta grande

Planta pequeña

Primer punto de decisión

D A (0.4)

D B (0.2)

D M (0.4)

D A (0.4)

D M (0.4)

D B (0.2)

$10$10MM

$5$5MM

$0$0MM

Segundo Segundo punto de punto de decisióndecisión

Gran Gran expansiexpansiónónPequeña Pequeña expansiexpansiónónNo No expandiexpandirr

$8$8MM

$9$9MM

$4$4MM

Pequeña Pequeña expansiexpansiónónNo No expandiexpandirr

$9$9MM

$4$4MM

$10M - $6M = $10M - $6M = $4M$4M

Segundo punto de decisión demanda baja: Segundo punto de decisión demanda baja:

Planta grande

Planta pequeña

Primer punto de decisión

D A (0.4)

D B (0.2)

D M (0.4)

D A (0.4)

D M (0.4)

D B (0.2)

$10$10MM

$5$5MM

$0$0MM

Segundo Segundo punto de punto de decisióndecisión

Gran Gran expansiexpansiónónPequeña Pequeña expansiexpansiónónNo No expandiexpandirr

$8$8MM

$9$9MM

$4$4MM

Pequeña Pequeña expansiexpansiónónNo No expandiexpandirr

$9$9MM

$4$4MM

$4M$4M

(0.4)10M+(0.(0.4)10M+(0.4)5M4)5M+(0.2)0 = +(0.2)0 = $6M$6M

(0.4)9M+(0.4)(0.4)9M+(0.4)9M9M+(0.2)4M = +(0.2)4M = $8M$8M

Este plan tiene una ganancia Este plan tiene una ganancia esperada de 8 millones de esperada de 8 millones de dólares y un rango de dólares y un rango de resultados posibles de 4 a 9 resultados posibles de 4 a 9 millones de dólares.millones de dólares.

Una planta pequeña será adecuada Una planta pequeña será adecuada sólo para una demanda baja y la sólo para una demanda baja y la administración quiere considerar la administración quiere considerar la posibilidad de expansión si la posibilidad de expansión si la demanda resulta ser alta o mediana. demanda resulta ser alta o mediana. Si la demanda es alta, la Si la demanda es alta, la administración puede seleccionar administración puede seleccionar una expansión grande, una pequeña una expansión grande, una pequeña o no expandir o no expandir

Árboles de decisión