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Ejercico astronomicos
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L U N E S , 8 D E N O V I E M B R E D E 2 0 1 0
Problemas matemticos relacionados con el viajea Marte
Medelln,Noviembre2010
PROBLEMASMATEMTICOSASOCIADOSALVIAJEAMARTE
1.Fuerzasconservativas
Figura1
Trabajorealizadoporlafuerzadelagravedad.
dlenladireccindelarectatangentealatrayectoriaenP
LafuerzadeatraccinentreunplanetayelSolescentralyconservativa.Una fuerza es central, cuando el vector posicin r esparalelo al vector fuerzaF, por tanto elMomento de lafuerzaserMxF=0.SiLeselmomentoangular:M=dL/dtComoM=0,entoncesL=Constante
U N B L O G D E D I C A D O A LC O N O C I M I E N T O
Los cosmlogos dan teoras sobre eluniverso con base en especulaciones.Los fsicos tratan de conocer lossecretos del cosmos, con base en elmtodo cientfico. Ambos seequivocan, y aun estamos muydistantes de tener un conocimientomas o menos acertado, pero creo quelos ltimos estn mas cerca de saberla naturaleza del universo, a travsdel conocimiento de las partes deste como la luz, la masa, lagravedad, la geometra y el tiempo
0 Ms Siguienteblog nicodelalbino@gmail.com Panel Salir
A S T R O N O M A" P A R A L A A L T U R A D E L O S C I E L O S , Y P A R A L A P R O F U N D I D A D D E L A T I E R R A , Y P A R A E L
C O R A Z N D E L O S R E Y E S , N O H A Y I N V E S T I G A C I N . " P R O V E R B I O S 2 5 3 B I B L I A R E I N A V A L E R A
Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza deatraccinF.
Lasnegrillasrepresentanvectores.
F=G(Mm/r2)ur
ureselvectorunitarioenladireccinder
eselnguloagudoquehaceelradiorconladireccindelarectatangenteenP.
El trabajo infinitesimal realizado por la fuerza F, paradesplazar la masa m una distancia dl es el productoescalardelvector fuerzaFporelvectordesplazamientodl,tangentealatrayectoria.
dw=F.dL=|F||dL|cos(180)=|F||dL|cos=|F|dr
dw=|F|dr.............(1)
Donde dr es el desplazamiento infinitesimal de lapartculaenladireccinradial.
Paraencontrarel trabajototal realizadopor la fuerzadegravedad, sobre la partcula de masa m integramos lafrmula (1), entre la posicin inicial A, distante r1 delcentroylaposicinfinalB,distanter2.
IndependientedelatrayectoriaquesehayaseguidoparairdesdeAhastaB.
Elhechodequelafuerzadeatraccinseaconservativa,implicaquelaenergatotal(cinticamspotencial)delapartcula es constante, en cualquier punto de latrayectoria.
Et=mv2/2+(GMm/r)...........(5)
Ahoraconsideremoslafigura2
Figura2
Lanaveseencuentraoenelperiheliooenelafeliodelarbitaelptico.
aeselsemiejemayordelaelipse.
beselsemiejemenordelaelipse.
cesladistanciafocal.
r1esladistanciadelanavealfocoenelperihelioPF.
r2esladistanciadelanavealfocoenelafelioFA
Si,lasnicasfuerzasqueactansobreelsistemasonMdelcuerpograndeenelfocoymdelanaveuobjetoquerota,elmomentoangularquetiene lanavecuandoestenAseconservacuandoestenB
LA = LB ........Ley de la conservacin del momentoangular.
IAA=IBB
DondeAeslavelocidadangularenAyBlavelocidadangular en B, IA es el momento de inercia de la nave,respectodelSol,cuandoestenAe IBelmomentodeinerciacuandopasaporB.
mr12v1/r1=mr22v2/r2...........(6)
Yaque
=v/r
v1r1=v2r2...............................(7)
AhoralaenergatotalenAesigualalaenergatotalenB
(1/2)mv12+(GMm/r1)=(1/2)mv22+(GMm/r2)..(8)
Resolviendo simultneamente las ecuaciones (7) y (8)encontramoslasvelocidadesv1yv2.
Dela(7)despejamosv2yllevamosestedatoala(8)
v2=v1(r1/r2)
(1/2)v12(1r12/r22)=GM(r2r1)/r1r2
v12=2GMr2/(r1(r1+r2)
Comor1+r2=2a
v12=GMr2/r1a
Recordemos:
Cuando la nave est en un punto cualquiera P de lacurvasuvelocidadtangencialsepuedecalcularcon:
1. Despus de que la nave aterrice en Marte, cuntotiempohayqueesperarall,hastaqueelalineamientoTierra Marte sea el adecuado para el lanzamientodesdeMarte?
Recordemos que tanto la ida, como el regreso tardan258.9 das. Cundo se hace el lanzamiento desde laTierra,lasituacinestrepresentadaenlafigura(3)
Figura3
PosicinrelativadelaTierrayMartealmomentodellanzamientodesdelaTierra.
Cuando la nave llegueal puntoA, habrn transcurridos258.9das,duranteloscualesMartehallegadoalpuntoAylaTierrahaavanzadounnguloiguala:
258.9dasx360/365das=255.35
Elnguloque forman laTierra yMarte ser : 255.35 180=75.35
Ahora laposicinde laTierra yMarteestdadapor laposicin1delosplanetasenlafigura4.
Figura4
PosicionesrelativasdeLaTierrayMarte,cuandolanaveaterrizaenMarteycuandosehaceellanzamientode
regreso,desdeMarte.
PararealizarelregresoygarantizarquecuandolanaveregresealaTierra,estaestpasandoporelafeliodelaelipsedeHohmann,esdecirquelanaveylaTierraestnenelmismopuntodelespacio,laposicindeMarteylaTierradebeserlaqueestmarcadacomo2enlafigura4.
CuntotiempotienelatripulacinqueesperarenMarte?
LaTierra tiene que alcanzar aMarte, superarlo y viajarhastaquequede75.35detrsdeMarte.
ElngulobarridoporlaTierraserx+360
El ngulo barrido porMarte ser 75.35 + x + 75.35 =150.7+x
Eltiempoeselmismo.
ElperiododelaTierraes365das
ElperiododeMartees686.9771das.
Porloanterior,elviajeaMartetardar:
Ida:258.9das.
EstadaenMarte:452.7das.
Regreso:258.9
Total:920.5das=2.66aos
JuanFernandoSanin
Juanfernando.sanin@gmail.com
PUBLICADO POR JUAN FERNANDO EN 11:22
N O H A Y C O M E N T A R I O S :
P U B L I C A R U N C O M E N T A R I O E N L A E N T R A D A
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