Balance de energía cuando existen fuentes de calor

Balance de energía

cuando existen fuentes

de calor.

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Planteamiento del problema.

Objetivos.

Balance de energía con fuentes de calor

Ejemplos

Efecto Joule

Viscocidad

Reacción química

Reacción nuclear

Cuestionario

Planteamiento del problema.

¿Cómo se escribe la ecuación de transporte

de energía, cuando existen fuentes internas

de generación de calor?

Objetivos.

Conocer que tipo de situaciones corresponden a

generación interna de calor

Conocer la ecuación de transporte de energía, cuando

existen fuentes internas de generación de calor

Plantear problemas de conducción de calor cuando

existen fuentes al interior del material.

Resolver problemas de conducción de calor en estado

estacionario cuando existen fuentes internas.

Ejemplos de situaciones que corresponden a

generación interna de calor

Efecto Joule

Viscosidad

Reacción química

Reacción nuclear

Pasos para conocer el perfil de temperatura y

el flujo de calor existan o no fuentes de calor

al interior del material.

Balance.

Ecuación diferencial para q + CI

Integración para q

Ecuación de Fourier

Integración para T

Perfil de temperaturas

Cálculo del flujo de calor en la superficie

Balance sin fuentes de calor

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒

𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟í𝑓𝑖𝑐𝑎−

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒

𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟í𝑓𝑖𝑐𝑎= 0

Balance de energía con fuentes de calor

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒

𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟í𝑓𝑖𝑐𝑎−

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒

𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟í𝑓𝑖𝑐𝑎+

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒

𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟í𝑓𝑖𝑐𝑎= 0

Efecto Joule

Balance

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒

𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟í𝑓𝑖𝑐𝑎−

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒

𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟í𝑓𝑖𝑐𝑎+

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒

𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟í𝑓𝑖𝑐𝑎= 0

2𝜋𝑟𝐿 𝑞𝑟 𝑟 2𝜋 𝑟 + ∆𝑟 𝐿 𝑞𝑟 𝑟+∆𝑟 2𝜋𝑟∆𝑟𝐿 𝑆𝑒

Se es la velocidad de generación de energía por unidad de volumen

_+ = 0

Ecuación más Condiciones a la frontera

𝑑

𝑑𝑟𝑟𝑞𝑟 = 𝑆𝑒𝑟

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 0 𝑞𝑟 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 𝑅 𝑇 = 𝑇0

lim∆𝑟→0

𝑟𝑞𝑟 𝑟+∆𝑟 − (𝑟𝑞𝑟) 𝑟∆𝑟

= 𝑆𝑒𝑟

Integración

𝑞𝑟 =𝑆𝑒𝑟

2+

𝐶1

𝑟

𝑞𝑟 =𝑆𝑒𝑟

2

Cálculo de Se:

Se= Pot elec / Vol

Pot = I2R (I = I A) R = 1/Ke L/A

Vol= A L

Comentarios.

A ley de Ohm escrita en términos de la conductividad eléctrica y de la

densidad de corriente es:

Como

La cantidad de energía generada por unidad de volumen aumenta con

la diferencia de potencial y con la resistividad.

Perfil de temperaturas

Ley de Fourier:

−𝑘𝑑𝑇

𝑑𝑟=

𝑆𝑒𝑟

2

𝑇 = −𝑆𝑒𝑟

2

4𝑘+ 𝐶2 𝐶2 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑇0 + 𝑆𝑒𝑅

2/4𝑘

𝑇 − 𝑇0 =𝑆𝑒𝑅

2

4𝑘1 −

𝑟

𝑅

2

Comentarios

Se trata de un perfil parabólico

Tiene su valor máximo cuando r=0

Puede calcularse el incremento máximo de temperatura:

Tmax – T0 = 𝑆𝑒𝑅

2

4𝑘

Puede calcularse el incremento medio de la temperatura:

<T> - T0 = 𝑆𝑒𝑅

2

8𝑘

Relación de la Temperatura máxima y la

diferencia de potencial.

Para un alambre calentado mediante el efecto Joule, la máxima diferencia de temperaturas ocurre cuando r= 0 y viene dada por la expresión:

La ley de Ohm escrita en términos de la conductividad eléctrica es:

𝑇 − 𝑇0 =𝑆𝑒𝑅

2

4𝑘

𝐼 = 𝑘𝑒𝐸

𝐿

Relación de la Temperatura máxima y la

diferencia de potencial.

Sustituyendo esa expresión en la del término fuente

Y después Se en la expresión para la diferencia de

temperaturas, se obtiene la relación entre la diferencia de

potencial E y la temperatura máxima.

𝑆𝐸 =𝐼2

𝑘𝑒

𝑇𝑚á𝑥 − 𝑇0 =𝐸2𝑅2

4𝐿2𝑘𝑒𝑘 Vale la pena hacer notar que la temperatura máxima

también dependerá de la relación de conductividades

eléctrica y térmica, de la geometría del conductor, es

decir de su radio y su longitud y de la temperatuta T0

en la superficie del conductor.

Ley de Wiedemann-Franz.

Establece que el cociente de la conductividad calorífica y

eléctrica es proporcional a la Temperatura absoluta:

K/Ke = L T

L a constante de proporcionalidad L es la constante de

Lorenz y tiene un valor de: 2.44 X10 -8 W ῼ K-2 n

Cálculo del flujo de calor

en la superficie

= 2𝜋𝑅𝐿 ∙𝑆𝑒𝑅

2

= 𝜋𝑅𝐿 ∙ 𝑆𝑒 = 𝜋𝑅𝐿

𝑄 𝑟=𝑅 = 2𝜋𝑅𝐿 ∙ 𝑞𝑟 𝑟=𝑅

Ejemplo.

Dos placas de cobre a temperatura de 75 F están separadas por una varilla de

cobre (K= 220 BTU/Hr-Ft-F) de 0.25 In de diámetro y 1.2 ft de longitud. La

varilla se suelda a las placas y el espacio entre ellas se llena con un aislante

que también aísla las caras laterales de la varilla.

Encuentre la corriente máxima que la varilla puede llevar si existe la

restricción de no exceder 300 F en ningún punto. (La resistencia eléctrica del

cobre es 5.3 X 10 -8 Ohm/ft.

Ecuación, Condiciones Iniciales y

Solución.

Ecuación de balance:

C

Solución:

¿Condiciones iniciales?

En X = 0 T(X) no debe rebasar 300 F

Sustituyendo:

Recordando queY que

Calculamos R

Sustituimos:

Despejando:

Viscosidad

𝑆𝑣 = −τ𝑥𝑧𝑑𝑣𝑧𝑑𝑥

= 𝜇𝑑𝑣𝑧𝑑𝑥

2

Análogamente 1

1. Resuelto con la aproximación de fluido entre dos placas paralelas de pequeño espesor (rendija)

Número de Brinkman

𝐵𝑟 = 𝜇𝑉2 𝑘 𝑻𝒃 − 𝑻0

Reacción química

Pared aisladaParticulas

inertesParticulascatalíticas

Particulasinertes

Reaccio

nante

s

Pro

ducto

s

- z o n a -Iz=0

Zona IIz=L

Zona III

∆z

r

R

z

𝑆𝑒 = 𝑆𝐶1𝑻 − 𝑻"

𝑻1 − 𝑻0

𝑆𝐶1 y 𝑻0 Son

constantes

empíricas

Análogamente

Adimensionalización

Perfil de temperaturas

Comentario:

El perfil de temperaturas es una suma de exponenciales.

Las constantes de altura y crecimiento dependen de N y B

Que son funciones de los materiales, de las condiciones

de flujo y de la geometría.

Reacciones

nucleares

𝑆𝑛 = 𝑆𝑛0 1 − 𝑏𝑟

𝑅 𝐹

2

R

R

T

T

T

(F)

(F)

(C)

(C)

0

Refrigerante

Vaina de aluminio

Esfera de materialfisionable

Análogamente (También se resuelve por zonas).

Ecuación diferencial para q +Cl𝑑

𝑑𝑟𝑟2𝑞𝑟 𝐹 = 𝑆

𝑛0𝑟2 1 + 𝑏

𝑟

𝑅 𝐹

2

𝑑

𝑑𝑟𝑟2𝑞𝑟

𝐶= 0

Integración para q

𝑞𝑟 𝐹 = 𝑆𝑛0𝑟

3+

𝑏

𝑅 𝐹 2

𝑟3

5

𝑞𝑟 𝐶 = 𝑆𝑛0𝑅𝐹 3 1

3+𝑏

5

1

𝑟2

Ecuación de Fourier

−𝑘 𝐹𝑑𝑇 𝐹

𝑑𝑟= 𝑆𝑛0

𝑟

3−

𝑏

𝑅 𝐹 2

𝑟3

5

−𝑘 𝐶𝑑𝑇 𝐶

𝑑𝑟= 𝑆𝑛0𝑅

𝐹 3 1

3−𝑏

5

1

𝑟2

Integración para T

𝑇 𝐹 = −𝑆𝑛0

𝑘 𝐹

𝑟2

6−

𝑏

𝑅 𝐹 2

𝑟4

20+ 𝐶2

𝐹

𝑇 𝐶 = +𝑆𝑛0

𝑘 𝐶𝑅 𝐹 3 1

3−𝑏

5

1

𝑟+ 𝐶2

𝐶

Perfil de temperaturas

𝑇 𝐹 − 𝑇0 = −𝑆𝑛0𝑅

𝐹 2

6𝑘 𝐹 1 −

𝑟

𝑅 𝐹

2

−3

10𝑏 1 −

𝑟

𝑅 𝐹

4

+𝑆𝑛0𝑅

𝐹 2

3𝑘 𝐶 1 −

3

5𝑏 1 −

𝑅 𝐹

𝑅 𝐶

𝑇 𝐶 − 𝑇0 = −𝑆𝑛0𝑅

𝐹 2

3𝑘 𝐶 1 −

3

5𝑏

𝑅 𝐹

𝑟−𝑅 𝐹

𝑅 𝐶

Cuestionario(1/2).

¿De dónde proviene el término de generación de calor en el caso de a) Efecto

Joule, b)Viscosidad, c)Reacción química y d) Reacción nuclear.

¿Cuál es la expresión matemática de los términos de fuente da calor en cada

uno de los casos anteriores?

¿La cantidad de calor generada al interior de un alambre conductor aumenta

o disminuye a) con la diferencia de potencial a través de él, b) con la

resistencia del alambre?

¿Qué forma tiene el perfil de temperaturas en el caso de un alambre

conductor?

¿Cuál es la fórmula para calcular la temperatura máxima en un alambre

conductor y de que variables depende?

Cuestionario (2/2)

¿Cuál es el flujo de calor en la superficie de una alambre conductor, de

conductividad K y por el que circula una corriente I?

¿En qué consiste la aproximación de la rendija que se realiza para el flujo

viscoso entre dos cilindros?

¿Cuál es la definición del número de Brinkman y qué mide?

Comenta sobre los perfiles de temperatura en los casos de la reacción

química y el reactor nuclear.