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BE MATEMATICA
G OMO O O PARA EL MAESTROnana □ □ □ □□ □ □ □ □ □ □ n n n □ n
• EL PROFESOR
• EL ESTUDIANTE
El Congreso de KarlsruheEn este número:
Pá.ií.
3 VU Los planes do estudio (A. G. Uow-son) ...................................................
VIH Evaluación, métodos y resultados (7.Ñjhxitrick) .....................................
IX Objetivos y métodos globales ((/.DfAmbrosio) .....................................
X Procesos de aprendizaje (77. Batiera-feld) ...................................................
10 XI Tecnología educativa (/i. Ueirner) XII Matemática y otras disciplinas (//.
O. Po/Jo*) .........................................XIII Algoritmos y calculadoras (A. Engel)
Olimpíada belga
Curta al lector ...........................................El Congreso de Karlsruhe.
I Educación a nivel preescolar y primario (F. Colmez) .........................
II Educación a nivel primario superiory ciclo secundario básico (A. 7. Krtgovska ...................................... 9
III Educación en la escuela secundaria y transición universitaria (£>. A.0uadling) ...........................................
IV Educación universitaria (7. //. vanLint) ....................................................
V Educación de adultos y permanente (fl. A/. Pengelly) .............................
VI Preparación y actuación profesional de los profesores (AL Otte) ........
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17 Bibliografía
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CARTA AL LECTORn d^u
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* £7 número 41 de CONCEPTOS DE MATEMATICA es el inicial de nuestra segunda década, un lapso inusual en publicaciones de esta índole. Nos ha decidido a continuar con la tarea el decidido apoyo que nos ha hecho llegar un núcleo numeroso de suscriptores. Vale el apoyo pecuniario de sus suscripciones; vale más el apoyo moral que nos han ofrecido tanto para la búsqueda de nuevos suscriptores cuanto para la solución de dificultades que pudieran ir apareciendo.
DAVnDaVBVunb E B D a a a a a a rrVr'o - a a a
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tí tí B o a a tí n a a tí a
a a a a□ a a&n^o ir tí o a
i a e a a* Les pedimos a quienes todavía no lo han hecho quieran
formar parte de ese núcleo. Lo primero y esencial es que nos envíen el importe de sus suscripciones con toda la urgencia que les sea posible. Ello nos ayudaría, es obvio, a trabajar con menores apremios, a eliminar los gastos que siempre provoca el andar del tiempo y a tratar de eliminar —¡o que prometemos formalmente— el retraso con que aparece nuestra publicación.
tí n » .anana\ c a a a 1 □ a a o n Ctí n n a
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* Este número está casi totalmente, dedicado a los informes presentados por los relatores de las trece comisiones que funcionaron en el Tercer Congreso Internacional sobre Enseñanza de la Matemática, realizado a mediados del año pasado en Karlsruhe, Alemania Federal. Estos informes, junto al trabajo del Dr. Luis A. Santaló, ya publicado, y a algunos comentarios que publicaremos en el próximo número, servirán para que los docentes latinoamericanos de Matemática, tengan una idea bastante completa de lo que ocurre actualmente en la enseñanza de nuestra asignatura, tal como lo entienden los principales participantes de ese magno acontecimiento internacional.
* Asimismo, comenzamos la publicación -que concluiremos en el próximo número— de todos los problemas que constituyeron la prueba eliminatoria de la Olimpíada Belga de Matemática, realizada en ese país a fines del mes de marzo de 1976. Entendemos que es material de primera calidad para la comparación de lo que se hace en ese país con lo que hacemos en nuestras latitudes.
Los saluda muy cordialmente
'
Av. Ing. HUERGO 839 - Capital Federal - Tel. 34-8881/7 EL DIRECTORmSi.CJ.FJ.3
grupo de biyecciones, lo que permite introducir notaciones cómodas (flechas, tablas). Con las' mismas notaciones se introducen las fracciones en N - traslaciones y homotecias (+ a, —a, xa,:a), pero esas funciones no forman grupo para la composición, lo que disminuye el interés del método para el objetivo buscado y lleva a decepciones (en la práctica se está obligado sea a ignorar las dificultades, lo que estropea los esfuerzos de rigor anterior- res, sea a trabajar de manera formal a nivel de lenguaje).
Ante estas dificultades se atenúa el carácter sistemático de esta tendencia, pero queda una vmejor puesta en evidencia y un mejor uso de las propiedades algebraicas de los números lo cual, junto a las actividades de carácter combinatorio, permite que los niños mediten mejor sus cálculos.
La introducción de los naturales y algunas de sus propiedades sigue siendo fundamental en la enseñanza elemental. En algunos países se introducen los enteros negativos. Para los racionales, la tendencia es poner el acento exclusivamente sobre los decimales por su importancia para la vida corriente y para las ciencias, tendencia que se ha visto reforzada por la aparición de las calculadoras de bolsillo.2.4. La geometría
Pueden distinguirse dos tendencias. Una, estructural, en la que se estudia un modelo simplificado de geometría afín plana con ayuda de cuadrículas; la otra, exploratoria y fun-* cional, usa las clasificaciones y los problemas de construcción de objetos geométricos tratando de desarrollar en el niño un mejor conocimiento del espacio circundante. Estas dos tendencias no son incompatibles.
Para la medida, las actividades se realizan alrededor de la idea de asociar a cada objeto un número (eventualmente aproximado). Después de efectuar muchas mediciones se introducen los sistemas de unidades legales.2.5. Probabilidad y estadística
Se manifiestan dos tendencias. Una, bastante difundida, consiste en limitarse a la enseñanza de estadísticas que se apoyan a la vez sobré los datos proporcionados por el entorno y sobre experiencias en el aula, con el objetivo de hacer que los niños hagan experiencias en las que el azar desempeña un papel, e introducir un vocabulario útil y preciso para ha'cer las verificaciones. La otra tendencia; todavía en estado experimental,'a menudo/agrega a esos objetivos la construcción de modelos probaba Iísticos y aun teorías embrionarias para descri-:
educadores cuya formación matemática es débil y que atribuyen más importancia a los problemas afectivos de los niños. Esta tendencia es más un hecho de investigación que de práctica.
EL CONGRESO DE KARLSRUHE
2. Los contenidos.Pese a las apariencias, muchas veces superfi
cialmente analizadas, la aritmética continúa siendo el tema esencial de la enseñanza elemental.2.1. Técnicas operativas
En la enseñanza elemental existe la tendencia a lograr una mejor comprensión de las operaciones y un mejor dominio de las técnicas operativas mediante la sustitución de un aprendizaje por condicionamiento fraccionado (por una parte, la significación y el empleo de las operaciones y por otra, los algoritmos y los repertorios para memorizar) por métodos y función es que favorezcan un aprendizaje global que extienda a la vez el campo de la significación y el de la técnica operativa.
El uso inmoderado de diferentes bases de numeración tiende a reducirse por haberse revelado poco eficiente e incluso nocivo por las complicaciones que aporta, sin ventaja real, a la tarea de los alumnos.2.2. Los números naturales.
La construcción de los cardinales por comparación de conjuntos conduce a nuevos automatismos por parte de los alumnos si los maestros atribuyen demasiada importancia a los conjuntos y los presentan de manera estereotipada (diagramas de Venn) porque entonces se confunden significante y significado. Esta confusión se propaga gradualmente y obliga a "ma- nualizar" la numeración con ayuda del mate-
I. EDUCACION A NIVEL PREESCOLAR Y PRIMARIO (4 a 12 años)F.COLMEZ(Francia)
voluntad de comprensión de los niños y permitiéndoles desarrollar sus propias estrategias y conocer la alegría de la dificultad vencida, poniendo en juego sus capacidades y sus conocimientos anteriores e invitándoles a proponer nuevas cuestiones.1.4. Intelectualización de la enseñanza elemental.
Una tendencia nueva, declarada pero todavía poco aplicada en el aula, es la de conducir a los niños a estructurar mejor su saber por las evoluciones entre los diferentes niveles de acción y de pensamiento en la integración progresiva de nuevos dominios y en la búsqueda de regularidades para elaborar ese saber en teorías que permitan economizar pensamiento-. Esto puede realizarse mediante la invención de un lenguaje matemático adecuado y evolutivo.1.5. La matemática como creación colectiva.
Una concepción de la enseñanza elementalde la matemática llena de promesas pero todavía muy poco divulgada por ser muy poco conocida y aun no suficientemente investigadas las condiciones necesarias para su aplicación, es la construcción de la matemática como creación colectiva de la clase; ello permitiría que los niños construyeran su lenguaje, emitieran sus conjeturas y las evaluaran por sí mismos. El maestro pasaría algo desapercibido como portador de saber pero sería mucho más
Los niños toman contacto con la matemática a nivel de la enseñanza elemental. En los años 60, la reforma se preocupó por los nuevos contenidos con el objetivo de elevar el nivel de comprensión de cada niño mediante la reorganización de la enseñanza de acuerdo con las grandes estructuras de la matemática. En los años 70 hay mayor preocupación por el estudio y la mejora de los procesos de aprendizaje de los niños y por la formación de maestros en los nuevos métodos de enseñanza.
1. Objetivos1.1 ¿Matemática o aritmética? A menudo
la nueva matemática apareció al público como competidora y aun como reemplazante de la aritmética tradicional. Sería más justo decir que los objetivos se han ampliado y que se trata de asegurarle a los niños un enfoque correcto y una comprensión real de las técnicas ligadas a la aritmética.1.2. Obligación de las adquisiciones
Algunos maestros han dedicado muchotiempo a temas nuevos como conjuntos, funciones, etc., sin considerarlos siempre como medios al servicio de la aritmética, dando, en los primeros momentos de la reforma, la impresión: de restringir la adquisición de conocimientos aritméticos. Hoy la tendencia es integrar las adquisiciones en un contexto más vasto de procesos de aprendizaje en el que intervengan a la vez capacidad, habilidad y conocimientos.1.3. Desarrollo de la actitud de investigación.
Apoyándose sobre la ¡dea fundamental deque los pensamientos de los niños no son de naturaleza diferente a los pensamientos de los matemáticos, se impuso lentamente la tendencia de reemplazar los aprendizajes de mecanismos y sus aplicaciones por actividades en las que el niño deba probar su capacidad de investigación e invención favoreciendo así una elaboración dialéctica del saber, apelando a la
rial.La tendencia actual reacciona contra esos
errores por una progresión en la cual los aspectos cardinal y ordinal de los números y la numeración intervienen en sus respectivos niveles de abstracción, ampliando por etapas el campo de los números dominados por los niños.
!
competente como organizador.1.6. Enseñanza preelem en tal
Se comprueba cierta tendencia a introducir en el jardín de infantes actividades de componente matemática con el fin de favorecer la maduración intelectual de los niños al ayudarles a reconocer los objetos relativos al
2.3. El cálculo y las extensiones de los núme-í ros
Se ha intentado transformar la enseñanza de la aritmética de manera estructura lista mediante la introducción de actividades basadas en las nociones de transformaciones, relaciones, grupos, etc. Por ejemplo, para la introducción de (Z, +) o de (Q+, x) se propone a los niños situaciones que se matematizan por un
pensamiento y a construir sus esquemas y estructuras mentales mediante actividades que ellos no practican necesariamente en el seno de su familia.
Esta tendencia es frenada por el carácter propio de la enseñanza preelemental y por los
54
5.3. Las dificultades.No se mostraron suficientemente las necesi
dades y los maestros están a menudo divididos la preocupación por su eficacia inmedia-
casos los contenidos y los métodos en la formación de los maestros, acentuando la importancia de los primeros (especialmente para la formación continua). Ha aparecido una tendencia para ligar más estrechamente estas dos componentes mediante una reflexión y un examen epistemológico y didáctico pero hay gran inercia en las instituciones formadoras de maestros.
Algunos países tienen maestros especializados a nivel de enseñanza elemental; otros estudian las posibilidad de especialización. El problema es muy delicado. Los educadores del nivel preelemental, en general, saben muy poca matemática y ni siquiera se preocupan por ello.
5. Las componentes sociológicas.Los cambios que se están produciendo en
la enseñanza de la matemática, muy especialmente en la escuela elemental, han producido una gran conmoción; lo que explica muchas reacciones apasionadas.5.1. Los proyectos
Lo que caracteriza al movimiento actual es el importante papel que desempeñan los matemáticos profesionales en la dinámica del cambio y la colaboración entre los docentes de todas las categorías, sin embargo limitados en número.
La puesta en marcha se ha hecho según las ¡deas de algunas personas; el interés por este asunto de un número creciente de docentes de todas las categorías permitió diversificar las tendencias. Se puede notar hoy una tendencia estructural, una tendencia aritmética tendencia empírica.
5.2. El futuroEl cambio de contenido es la primera justi
ficación de todos los otros cambios a los ojos del público y las autoridades. Pero se ha esperado demasiado de él creyéndose que entrañaría cambios en los métodos de enseñanza.
Las publicaciones han sido las principales fuentes de información para los maestros; a menudo su calidad deja mucho que desear y han contribuido a acentuar la diferencia entre los proyectos y su puesta en práctica.
Los maestros, que deben hacer un gran esfuerzo, no son siempre animados y ayudados. Reclaman mejores medios de formación e investigaciones prácticas.
Los padres oscilan entre el interés, la inquietud y la apatía.
Cada ataque a la matemática moderna acentúa las dificultades de los maestros.
condiciones de reproducibilidad de seríes didácticas organizadas progresivamente.
° Investigación de maneras funcionales no estructurales de comunicar los conocimientos matemáticos.
• Investigación del papel de la analogía (¿método de descubrimiento o saber? ).
• Estudio de la importancia de los descubrimientos personales del niño,
® Investigación de las dificultades de los niños lentos o disminuidos.
entreta y su interés por el proyecto educativo general, existiendo la impresión de que ambos son incompatibles. Los padres comparten tales ¡n-
• Elaboración de teorías didácticas que tomen en cuenta los diversos aspectos de los contenidos.
El estudio de estos problemas está relacionado con númerosos problemas políticos e institucionales.
quietudes.Una sensible mejora sólo provendrá de un
cambio de actitud frente a la matemática (construcción personal o edificio que uno hace suyo por imitación y repetición). La disociación de la matemática -aspecto lingüístico y aspecto cognoscitivo— ha vuelto más difícil la cuestión.
La formación continua de los docentes proviene muy a menudo de la acción docente de las asociaciones de profesores de matemática; la acción oficial no siempre es eficaz y la ayuda raramente se cumple con eficacia.
El rendimiento de la televisión es mediocre
II. EDUCACION A NIVEL PRIMARIO SUPERIOR Y CICLO SECUNDARIO BASICO. (10 a 16 años)
A. Z. KRYGOVSKA íPolonia)
la concepción de la educación nacional y, por otro lado, origina tendencias y problemas específicos en distintos países. Pero ciertas tendencias y problemas —se manifiestan donde quiera independientemente de la estructura escolar, merecen atención especial.
2.. Tendencias y problemas.1.2.1. Final i da des y objeti vos de ¡a enseñanza de la matemática a nivel postelemental hasta los 16 años.
La nueva situación social de la educación postelemental exige el esfuerzo de precisar las finalidades y los objetivos de la educación matemática masiva. El análisis de diversos documentos pone en evidencia las tendencias que buscan, sobre todo, el desarrollo por la educación matemática de las actividades mentales, y la adquisición, por la mayoría de los alumnos, de condiciones intelectuales más bien que la asimilación de grandes conocimientos. Hay creciente oposición contra el exagerado pragmatismo y el método" behaviorista" de definir los objetivos mediantelistasestrechasde temas.-
1. Orígenes generales de las tendencias y problemas actuales.i
1.1. Rápido aumento del número de alumnos. Cambios en la estructura social de las clases en las escuelas secundarias.
En muchos países, la educación matemática a nivel postelemental ha llegado a ser masiva. En los demás el número de alumnos cuya educación escolar no se detiene a nivel de la escuela primaria, aumenta o aumentará en el futuro/ según los planes nacionales. La enseñanza de la matemática en esta etapa de educación masiva plantea muchos difíciles problemas, sintiéndose la necesidad de concebir claramente una cultura matemática para todos, que podría y debería obtenerse en la escuela, independientemente de los estudios y profesiones de los alumnos y estaría hondamente integrada con su cultura general.1.2. Crítica a ciertas reformas de la "primera ola"
si se carece de estructura de recepción colectiva y de diálogo con los encargados de las emisiones.
Faltan conocimientos sobre las condiciones necesarias para una eficiente formación docente aun cuando hoy los diferentes problemas se plantean con mayor claridad.
6. Investigaciones y problemas.La convergencia de los conocimientos psi
cológicos sobre las fases operacionales en el niño y la reorganización de la matemática en grandes estructuras es el punto de partida de la nueva didáctica de la aritmética elemental. Pero la divulgación de estos estudios ha chocado con la actitud "behaviorista" del aprendizaje acondicionado, que se emplea habitualmente.6.1. Investigaciones en curso.
Las investigaciones son actualmente múltiples y diversificadas. Hay encuestas y evaluaciones, estudios restringidos con producción de documentos adaptables a cortas secuencias didácticas, investigaciones que se apoyan sobre dominios restringidos intentando que el saber así adquirido por el niño se integre más tarde en el marco de las grandes estructuras.
Las investigaciones a menudo se conciben burocráticamente reforzando la dependencia de los maestros y disminuyendo su jerarquía.6.2. Algunos problemas.
Estos son algunos de los más importantes problemas actuales:
• Investigación de situaciones favorables al proceso de aprendizaje fundamental y de las
y una
En los últimos diez años, las reformas que tuvieron por objetivo la modernización de la enseñanza de la matemática elemental fueron sometidas, en algunos países, a los primeros análisis y evaluaciones que han ejercido» considerable influencia sobre las tendéncias e investigaciones actuales que conducirán a la "segunda ola" de reformas.1.3. Influencia en la sociedad
Los cambios culturales, estructurales y económicos ejercen fuerte presión sobre la educación escolar en general y particularmente sobre la educación matemática. Es indispensable el análisis profundo de esos factores para llegar a comprender la situación actual de la educación matemática de las masas.1.4. Estructura escolar.
La diversidad de estructuras escolares refleja, por un lado, las diferencias con respecto a
2.2. Contenidos y su organización en programas.
Más allá de un tronco común más bien restringido existen grandes diferencias sobre el contenido matemático de la enseñanza en el nivel que estamos considerando en los distintos países. Estadística, probabilidades y estructuras finitas han llegado a integrarse cada vez más con la matemática común para todos. Con respecto al lugar de la geometría en la educación matemática en el nivel que consideramos, siempre se comprueban diferencias, siendo evidente que la geometría deductiva pierde importancia.
El análisis de programas y manuales revela que hay tres posiciones sobre el lugar y el
8
9
ses homogéneas o heterogéneas, de la integración del trabajo independiente del alumno y el trabajo en grupo, y de la armonización dediferentes métodos de enseñanza y aprendizaje, son hoy el centro de interés de la pedagogía.
papel de las estructuras abstractas en la enseñanza este nivel, a saber:
I. Se introducen fragmentos de teorías;II. Se las emplea como elementos del len
guaje universal, yIII. Se elimina completamente la termino
logía en uso.En todas parte, los programas están sobre
cargados, lo que obstaculiza la modernización de los métodos de enseñanza.
Se intenta integrar los temas de la matemática según modelos diferentes, a saber:
a) Integración basada en estructuras generales, organización lineal y deducción global;
b) Integración alrededor de problemas, organización más libre, a menudo concéntrica o en espiral y deducción local, y
c) Integración a través de "puentes transversales" construidos entre ciertos dominios, desarrollados de manera autónoma.
Hay dificultades en la correlación y la coordinación de la enseñanza de la matemática con las de otras disciplina escolares. Además, las aplicaciones son siempre demasiado tradicionales. Hay cierto progresó en la frontera entre la matemática y .la informática.
2.3. Métodos de enseñanza y medios auxiliares. Evaluación.
Se siente la necesidad de analizar el funcionamiento y el papel de los manuales, las fichas, los programas, y de elaborar criterios de evaluación de sus valores.
Los problemas de la diferenciación de cla-
tanto en los temas cuanto en el método, el conocimiento y las técnicas requeridas por otros asuntos y aplicaciones a problemas del mundo real; objetividad y autocrítica, perseverancia, profundidad filosófica, agilidad mental, capacidad para aprender en libros; más específicamente: conocimiento del imétodoi axiomático, práctica en demostrar proposiciones, capacidad de abstracción, familiaridad con el lenguaje y expresiones simbólicas, habilidad en los procedimientos operativos, tratamiento de problemas científicos, técnicos y económicos, desarrollo del sentido geométrico, de la función de la matemática como pilar civilizador, juicio crítico para formular e interpretar modelos matemáticos, fomento de actitudes positivas. Estos objetivos reflejan la posición de la matemática en la sociedad, pero sólo algunos serán alcanzados por una minoría de estudiantes, los cuales, muy frecuentemente eligen estos cursos de carácter académico por razones de prestigio, no obstante estar lejos de dominar el lenguaje y el simbolismo de la matemática abstracta; por ello muchos alumnos y profesores se orientan hacia objetivos más limitados.
particulares, las cuales suelen tener estructura extravagante, y aquéllos cursos de matemática general que satisfacen las motivaciones de los alumnos.
Los cursos de carácter académico contienen típicamente un núcleo de conocimientos matemáticos que se supone deben poseer todos los alumnos (cálculo, álgebra, trigonometría) además de cursos optativos en temas tales como estadística, álgebra lineal, álgebra abstracta, análisis numérico, informática etc., probablemente determinados por los requisitos y necesidades de otras áreas del curriculum del estudiante. En las escuelas pequeñas, la elección puede ser limitada y si se ofrece una variedad muy amplia pueden surgir problemas en la próxima etapa de su formación. Para ¡lustrar este punto citamos las modificaciones sufridas por el "International Baccalaureate".
En los cursos generales, los estudiantes pue-. den elegir entre cursos que enfatizan áreas específicas de aplicación —comerciales, técnicas, estadística, diseño, intereses del consumidor, etc.3.3. Estudiantes con aptitudes sobresalientes en matemática.
Se describen varios maneras para motivarlos: (i) tiempo extra dentro del curriculum; (ii) temas adelantados; (i¡¡) olimpíadas y otros concursos; (iv) conferencias de matemáticos y educadores distinguidos; (v) publicaciones periódicas para estudiantes.3.4. Estilo de un curso de matemática.
Discutiremos tres aspectos: el grado de abstracción, presentación integrada del sujeto-objeto, el lugar de la axiomática.
La abstracción ofrece una senda hacia las fronteras de la matemática. Pero una presentación demasiado abstracta de la materia a alumnos que carezcan de la necesaria madurez puede ser un perjuicio que concluya con la lectura pasiva de libros y una enseñanza análoga. Para adquirir conceptos abstractos, el estudiante debe participar en el proceso de abstracción. Resultaría pernicioso considerar al estudiante de este nivel como si fuera un matemático formado en lugar de un alumno que esta cumpliendo una etapa crucial de su desarrollo. Existe la tendencia hacia un programa más concreto, que oriente el proceso hasta el último año en el que se resume e interpreta lo aprendido desde un punto de vista más abstracto.
En algunos países este programa se estructura con las diversas ramas de la matemática separadas, lo que facilita las elecciones y sim-
La evaluación del progreso de los alumnos plantea problemas muy difíciles. Se duda del valor de las pruebas como diagnóstico y pronóstico, y crece la oposición contra el número y la función de los exámenes, y contra la selección mediante la matemática. Las condiciones delpasaje de los niños del nivel primario al postelemental, despiertan inquietudes sobre los métodos de selección prematura.2.4. Formación de los educadores.
La formación inicial de los maestros de matemática para el nivel considerado, aunque muy diferente en los diversos países, es criticado desde muchos puntos de vista. Por lo contrario hay cierto progreso en la formación permanente y en el apoyo que se presta a los educadores en servicio. Sin embargo, el exceso de obligaciones y su precario "status" social y económico impiden explotar todas las posibilidades.2.5. Perspectivas de las investigaciones.
Se siente la necesidad de un conocimiento profundo del aprendizaje de la matemática en este nivel: procesos, dificultades de los alumnos en matemática, estrategias naturales de los pensamientos de los alumnos, etc. Debería redactarse una lista de los problemas para que se los investigue internacionalmente.
Es importante destacar el conflicto entre los pbjetivos sobre los cuales existen los de los educadores y los que propugnan los profesores y educadores de otras áreas, lo que ha originado una creciente crítica en ciertos ambientes.
Los objetivos de los cursos de carácter técnico subrayan el desarrollo preciso, lógico y crítico, la habilidad para aplicar la matemática en áreas específicas y confían en el uso correcto de las‘técnicas. Un factor importante de cambio en estos cursos ha sido la creciente desponibilidad de computadoras.
En los cursos generales hay tendencia a apartarse de la matemática abstracta en beneficio del conocimiento inmediatamente aplica-
III. EDUCACION MATEMATICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA LA UNIVERSIDAD Y TRANSICION UNIVERSITARIA (15 a 20 años)
D. A. QUADLING (Gran Bretaña)
1. Introducción.En este nivel existe marcada diferencia en
tre los cursos elegidos por diversos grupos de alumnos. Estos pueden decidir si continúan en la enseñanza (integral o parcialmente) y si tinúan estudiando matemática, cuánta o qué matemática estudiarán.
Este informe identifica cuatro tipo de cursos para este nivel:
a) Cursos de carácter académico enfatizando los principios teóricos y la coherencia lógi-
b) Cursos de carácter general, enfatizando aspectos importantes para el ciudadano común;
c) Cursos de carácter técnico, enfatizando las aplicaciones;
d) Cursos de carácter profesional, enfatizando los conocimientos y técnicas operativas básicas necesarios para determinados oficios.
Un curso de carácter académico o técnico típico puede durar 2 o 3 años con una carga horaria de 5 horas semanales.
2. ObjetivosEn los cursos de carácter académico los
objetivos pueden ser: razonamiento crítico y preciso, deducción lógica, precisión en la expresión verbal, independencia en la actividad intelectual, creación e intuición, profundidad
ble.
3. Curriculum matemático y contenido3.1. La matemática en el curriculum total.
Este informe describe pautas curriculares envarios países y los factores que influyen en las decisiones estudiantiles con respecto a la matemática. Hay una tendencia que propicia un curriculum de moderada amplitud en el cual los alumnos tengan algunas posibilidades de elegir.3.2. Variedad de cursos en matemática.
En los cursos de carácter técnico debe establecerse cierto equilibrio entre aquéllos cuyo- contenido está relacionado con tecnologías
con-
ca;
1011
V -AitJ'* *
vengan en la planificación del curriculum.En este nivel, la importancia de la nota
final tuvo efectos inhibitorios en las experiencias sobre métodos de exanimación. Algunos de los temas nuevos del curriculum no se adaptan bien a las evaluaciones realizadas con métodos convencionales.
fiables de evaluación para cubrir todos los objetivos declarados.
Surgen problemas especiales cuando las universidades y la industria imponen exámenes propios, no relacionados directamente al curriculum escolar. Es deseable que los responsables de la preparación de los exámenes inter-
mática aplicada a otras disciplinas. La dificultad de asegurar un desarrollo lógico del contenido matemático, el hecho de que los profesores han sido preparados para una única disciplina y los peligros de un "imperialismo matemático" son argumentos para oponerse a esta línea. Hay experiencias en este sentido.
4. Métodos de enseñanza.
plifica los problemas de los estudiantes que cambian de colegio. En otros, el programa está integrado con temas de diferentes ramas matemáticas relacionados por una base conceptual. El primer planteo facilita la identificación de las definiciones y axiomas. En el segundo, acaso los aspectos deductivos tengan un carácter más local que global.
Existe, sin embargo, una tendencia hacia una introducción más intuitiva de las ¡deas matemáticas, postergándose el formalismo hasta que los alumnos tengan cierta experiencia para usar los conceptos y el lenguaje.3.4. Temas del curso.
Luego de un período de innovaciones radicales en muchos países, ocurrido hacia los años 60, pareciera haberse entrado en un período de relativa estabilidad. Probabilidades, estadística, álgebra lineal, espacios vectoriales y estructuras algebraicas fueron introducidas a expensas de la geometría del espacio, geometría de la esfera, secciones cónicas, aplicaciones comerciales y cierta trigonometría. Por falta de tiempo, se ha reducido la ejercitación y la resolución de problemas.
En las revisiones más recientes, parte de los nuevos temas introducidos fueron transferidos a los primeros anos secundarios y algunos temas demasiado abstractos sobre estructuras algebraicas fueron dejados a un lado.
En los cursos técnicos se tendió a introducir los conceptos de conjunto y de función para fundamentar la aritmética convencional, el álgebra y el cálculo, y se incluyó algo de estadística, probabilidades, álgebras de Boole, vectores e informática. La disponibilidad de computadoras provocó mayor interés por los aspectos numéricos que por los analíticos.3.6. Equilibrio del curriculum matemático.
Se sugiere que el curriculum matemático denote un equilibrio entre la abstracción lógica y la precisión lógica crecientes de la matemática moderna, las técnicas operativas y el conocimiento específico requerido por los usuarios tradicionales de la matemática en la ingeniería y la física, y el interés más amplio por una aplicación más general demostrado por los usuarios más recientes de la biología, las ciencias sociales y ambientales.
Los comités curriculares parecen poco preocupados por asegurar que la matemática que se enseña en las escuelas esté de acuerdo con las necesidades a largo plazo de la sociedad.3.7. Integración con otras materias.
Excepto algunos pocos cursos técnicos haypoca experiencia sobre enseñanza de la mate-
IV EDUCACION MATEMATICA A NIVEL UNIVERSITARIO4.1. Tratamiento del contenido del curso.
Se describen varios métodos para abordar la enseñanza del contenido de los cursos. Incluyen el uso de computadoras y calculadoras, subrayando conceptos subyacentes como función, vector y grupo, la enseñanza de la matemática aplicada, el uso de problemas cotidianos para la enseñanza de la estadística.
Se trata de que la práctica de la matemática llene los objetivos propuestos.
J. H. VAN LINT (Holanda)
ejemplo, álgebra lineal y espacios métricos) y cuáles no debieron haber desaparecido (por ejemplo, la intuición geométrica).
1.1.2. Prácticamente en todas partes algunos tópicos modernos son parte normal, usualmente obligatoria del curriculum. Los más frecuentes se refieren a estadísticas, probabilidad y computación. Algunos países tienden a introducir más matemática discreta en los primeros años, lo cual tiene la ventaja de que los estudiantes pueden descubrir mucho por sí mismos; su importancia crece como herramienta para otras áreas. Es digna de discutir la posibilidad de crear cursos orientados hacia la computación.
1.1.3. Hay una tendencia universal por la cual los estudiantes que ingresan a Iá universidad tienen mucha menos habilidad operativa que antes (en verdad, muy poca) y prácticamente ninguna intuición geométrica. Se están realizando cursos de adiestramiento en el primer año de la universidad en muchos países. Recientemente parecería notarse cierta falta de voluntad para el estudio por parte de los alumnos. Aun cuando la mayoría de los que se han consultado consideraron a la "matemática moderna" como un fracaso en la educación secundaría, no intentaré discutir este punto. Pero se debería discutir cómo deberían estar informadas las universidades con respecto a la evolución de la educación secundaria para asegurarse el ingreso de estudiantes con mejor preparación que en la actualidad.
1.1.4. En general, está disminuyendo el número de cursos de física obligatorias; en algunos países se ha llegado al nivel cero, lo cual parece muy poco deseable. En otros pocos países la terdencia se esta revirtiendo. Convendría discuta qué otras disciplinas usan suficiente matemática interesante como para merecer un lugar en el curriculum a ese nivel.
Muchos elementos no matemáticos pueden estar en el curriculum ¿Cuánto de esto es
ResumenEl informe tiene cuatro partes:I. Curriculum (contenido y objetivos).II. Estructura del programa.III. Matemática como especialidad secunda-
i
! ría.'IV. Posición de los profesores.El informe trata principalmente de la pre
paración de matemáticos. No se discuten cursos opcionales de matemática. Se redactó sobre la base de respuestas de 50 universidades de todo el mundo las cuales habían recibido un conjunto de preguntas y un bosquejo de este informe.
I. Por mucho tiempo, la educación de matemáticos a nivel de graduados y posgraduados, se basó en la hipótesis de que llegarían a ser "investigadores". Una tendencia reciente quiere que los objetivos de la educación matemática universitaria estén más diersificados que nunca. Programas completados en pocos años en contraposición a programas antiguos en los que los primeros años eran preparatorios de una educación más avanzada, se están volviendo más frecuentes. Un problema que vale la pena discutir, aun cuando su solución sea difícil, consiste en estructurar la educación universitaria en etapas, cada una de las cuales pueda ser una buena etapa final y una buena preparación para la etapa siguiente.
1.1. Primeros años, (por ejemplo, título de "bachellor".
1.1.1. Desde hace 20 años hubo un proceso de creciente abstracción y rigor en los primeros años. Por ejemplo: teoría de integración abstracta, topología general, espacios métricos, etc., reemplazaron a cursos de cálculo "pasados de moda" y la geometría prácticamente ha desaparecido. En muchos países se ha ido muy lejos y hoy hay tendencia a revertir el proceso. Convendría discutir cómo alcanzar el equilibrio, qué cosas nuevas deberían subsistir (por
4.2. Enseñanza mediante métodos de exploración.
Se analiza el lugar que ocupa la "matemática personal" como suplemento de la matemática tradicional. La computación y la estadística se identifican como áreas igualmente apropiadas y se describen algunas experiencias. Problemas de falta de tiempo, evaluación y adiestramiento de los profesores son barreras para desarrollar este tipo de trabajo.4.3. Programas de aprendizaje individual.
Existe creciente interés en este nivel, especialmente en los cursos técnicos, por definir estructuras de comportamiento y por estructurar programas de estudio individual para alcanzar esos objetivos, usando un medio adecuadamente elegido. Falta demostrar que esta técnica puede llevar al estudiante más allá de objetivos limitados.4.4. Investigación en el aprendizaje
Parece haber pocas informaciones sobre la reacción de los alumnos ante programas experimentales recientes y el conocimiento de los procesos de aprendizaje permanece en un nivel fundamentalmente anécdotico. Los problemas de lenguaje son particularmente agudos nivel y se complican aún más cuando ñan en lengua que no es la materna.
en este se ense-
5. Evaluación. Generalmente, el desempeño del alumno se evalúa con exámenes, do a veces se toman exámenes orales
aun cuan-o pro
yectos sobre las tareas cumplidas en el curso. Estudiantes y profesores se preocupan excesivamente por los objetivos cuyo cumplimiento se reflejará en la evaluación. Todavía muy lejos de encontrar métodos válidos y
estamos con-
1312
1.2.1. Exepto algunas orientaciones voca- cionales como la estadística y la computación todavía hay muy poca especial¡zación a este nivel en muchos países. Usualmente se depende de un programa de doctorado que torna deseable la postergación de la especialización.
Acaso la perspectiva de empleos vuelva recomendable producir a corto plazo matemáticos muy preparauos.
1.2.3. En la época del “master" se hace muy poco en matemática para preparar al alumno para una función específica en la sociedad (quizás con la excepción de estadísticos y computadores). El programa de ingeniería matemática satisface, por supuesto, esta condición. Si existe gran diversidad de carreras futuras lo que debemos hacer es dar una buena educación matemática en todas. En los países en desarrollo parece más importante emplear cierto tiempo para preparar al estudiante para que pueda ser útil a su país.
El papel de la universidad en la educación de los futuros profesores de matemáticas para la enseñanza media superior debería discutirse.
1.2.2. Tradicionalmente, la física fue la disciplina donde los alumnos de matemática podían ver la interacción de la matemática con otras ciencias. La matemática es usada allí e incluso desarrollada con ese propósito. El creciente desconocimiento de la física por los estudiantes provoca dificultades. La biología y la economía están desempeñando ahora un papel importante y ahora se están volviendo populares otros tópicos como la teoría del control. A veces surge el problema de cómo introducir elementos de biología, economía, etc. careciéndose en el departamento de expertos en esos temas y habiendo poca literatura y otro tipo de conocimientos disponibles.
1.3. Posgraduados (doctorados y después).1.3.1. Hay pocas tendencias interesantes
sobre el doctorado. Una es la posibilidad de obtener el grado sobre la base de cierto número de copias de artículos, publicados durante no más de 5 años a los cuales se les escribe una introducción. En algunos-países se han disminuido los requerimientos. Un problema difícil es el creciente número de estudiantes extranjeros. Habría que encontrar algún método para obtener problemas de doctorado que satisfagan los requerimientos de la universidad de que proviene el alumno y dejar que esta universidad otorgue el título. De todos modos es imposible uniformar a nivel de todos los estudiantes del mundo.
Una importante tendencia es el crecimiento del programa estadounidense de “Doctor of Arts", que es ofrecido por más de 100 instituciones norteamericanas. Se intenta que el programa sea un curso de estudios difícil en el cual só'o sea razonable que obtengan éxito únicamente los alumnos convenientemente calificados. Esto en contraste con el programa “Ph. D“ en el cual es un impedimento la falta de talento creativo. El programa se ha esbozado para dar una preparación excepcionalmente fuerte a quienes han de enseñar a no graduados. La tesis puede ser un trabajo que dé una visión general de un tema, investigación en la historia reciente de la matemática, un ensayo didáctico, etc. El programa merece ser estudiado seriamente por países en los cuales no abunden los profesores altamente calificados.
1.3.2. Aparte algunos cursos de repaso para profesores secundarios, difícilmente haya alguna contribución de las universidades a la continuidad de la educación, necesidad que se siente y fue reconocida por muchos gobiernos. Hora es de prepararse para iniciar esa tarea.
2. Estructura del programa, (métodos educativos). Al considerar objetivos estructurales, el problema no reside en qué matemática se está enseñando y por qué, sino qué es lo que se esta tratando de lograr mediante la forma especial del programa. Por ejemplo, una serie de clases puede tener como* objetivos enseñar exhaustivamente un tema o sólo preparar a los estudiantes para leer la literatura del tema Señalemos objetivos de estructura.
2.1. No hay tendencias de significación relativas a tipos de cursos. Se ha estado experimentando con el “curso autoregulado". El propósito es resolver el problema de la diversidad de base entre los alumnos de primer año; por ejemplo, se consideran convenientes los cursos con gran contenido de cálculo.
2.2. El método de educación tipo aprendizaje todavía no se usa mucho, pero merece atención. La ¡dea es dejar que el estudiante trabaje un~ corto período en un grupo de investigación del instituto. Acorde con lo que se está haciendo en ese momento, necesitará leer para tener conocimientos básicos, etc. Se otorgan puntos por el período.
2.3. La resolución de problemas se hace mal en todas partes. Excepto los problemas usuales, a veces muy aburridos, no se hace, nada para estimular la resolución de problemas como actividad matemática e incorporada al
deseable? Por supuesto, esto depende de que esta fase de la educación sea preparatoria o
programa tradicional. Debería tratar de resolverse esta cuestión.
2.4. Excepto en parte del doctorado, se hace muy poca investigación en el programa educativo. Sería interesante que las universidades que exigen una tesis para acordar el grado de “master", la consideren como el elemento esencial.
La idea de proyectos de investigación a nivel no graduado fue usada con mucho éxito por unas pocas universidades. La combinatoria es especialmente una buena área para dejar que los alumnos experimenten el goce de efectuar descubrimientos y aprendan a plantearse sus propios problemas.
Los seminarios de alumnos son generalmente un fracaso.
2.5. La tendencia más importante sobre métodos de examen es aumentar continuamente la evaluación por la observación y el aumento del contacto personal. Generalmente se observa la prisa con que muchos alumnos se presentan al examen inmediatamente después de concluido el curso sin tomarse tiempo para digerir el material y adquirir alguna habilidad para manejarlo.
Felizmente están desapareciendo los exámenes de elección múltiple.
3. Matemática como especialidad secunda-
no.1.1.5. Muchas universidades están introdu
ciendo cursos sobre modelos matemáticos. El contexto y la pedagogía de tales cursos son de interés. Generalmente subrayan los principios subyacentes de la construcción de modelos y’ cómo debe contribuir un modelo al entendimiento de la situación real que se trata de describir. Es difícil hallar problemas adecuados ya que la comprensión de la situación práctica y el conocimiento matemático para resolver el problema matemático resultante del modelo no existen en la mayoría de los estudiantes en la mayor parte de los problemas realmente interesantes. Debería discutirse un método para compilar el conocimiento de la programación de estos cursos.
1.1.6. Sería deseable que en cada país, por lo menos una universidad preferentemente tecnológica, ofrezca en curso en ingeniería matemática, aun cuando muchos no sepan lo que esto significa. Un programa posible se describe en el volumen 2 del “CUPM Recomendations Compendium"; aplicado en Holanda durante unos 10 años. El programa es bastante diferente de los de la universidad tradicional. El ejemplo es muy útil para ser seguido por los países en desarrollo.
El principio fundamental de la ingeniería matemática consiste en aprender a entender los problemas del matemático no profesional, hallar una solución y luego explicarla al cliente. Si tal programa se establece es importante que los profesores secundarios y los consejeros sepan la diferencia entre los programas que puede escoger el presunto estudiante.
1.1.7. Paréce que en los países en que el título de “bachelor" es muchas veces una etapa final, la cantidad de elección que pueden hacer los estudiantes para planificar sus programas se ha vuelto demasiado grande lo cual lleva a programas desequilibrados en que se intenta llegar a estudiar simultáneamente tres especialidades, a la tendencia a reemplazar cursos difíciles por otros más populares y, finalmente, a la sobrespecialización. Ultimamente ocurre con bastante frecuencia que los jóvenes estudiantes piensen que saben más que sus profesores lo que necesitarán en el futuro en sus carreras. Debería descutirse cuánto se puede avanzar en esta dirección para no caer en la irresponsabilidad.1.2. Años avanzados, (por ejemplo, título de
“master").
ii
ríaExisten varias tendencias. Los estudiantes
que eligen matemática porque la necesitan para su especialidad principal confían menos en sus profesores.
Hay que motivarlos continuamente pues siempre preguntan cuál es la utilidad del tema enseñado. Si se les pudiera indicar y enseñarles al mismo tiempo las técnicas de cálculo requerido, eso andaría bien. Pero no es asi y se está desencadenando un problema serio.
Cada vez hay más disciplinas que necesitan de la matemática como herramienta y se dictan en muchos lugares cursos de matemática para biólogos, económosjsociólogos; sería interesante hallar la forma de que la imformación pudiera ser compartida por-todos esos cursos.
Es peligroso, y debería discutírselo seriamente, el creciente número de cursos de matemática para no matemáticos que se ofrecen en otros departamentos universitarios, frecuente-
muy pobres. Deberíamos examinarm entenuestros errores, pero si los matemáticos no se interesan lo bastante por las necesidades de los alumnos de otros departamentos y sus dificultades nuestra posición se debilita.
14 15
más tiempo a la investigación. ¿Es bueno estesistema?
Se observa un oficina, administración, etc. Gran parte de esto es innecesario y a menudo es provocado por malos sistemas administrativos. Además de quejarse, ¿hay alguien que trate de remediar esta situación?
Las presiones económicas, sociales, culturales'educacionales, que sirven para determinar las metas de la educación de adultos y la forma de influir la legislación y los factores sociales en el desarrollo de los programas de educación para alcanzar esas me-
4. Posición de los profesores Se cree que conviene un creciente contacto
personal con los estudiantes y un aumento del tiempo de consulta, corrección de trabajos, supervisión, etc. En algunas universidades hay cargos con tiempo dedicado exclusivamente a la enseñanza lo que permite a otros dedicar
Factores que están incidiendo en el desarrollo de métodos de enseñanza y sistemas de educación de adultos.
El empleo que se está haciendo de variados medios educacionales e investigaciones en programas de educación de adultos.
Problemas de formulación de programas de educación de adultos y particularmente formulación de programas y producción de sistemas de enseñanza a distancia por mul- timedios.
Dificultades para determinar la efectividad de programas de educación de adultos incluso para discutir cómo puede usarse el "feed-back" para identificar las fuerzas y debilidades de un sistema de enseñanza.
Discusión de la posibilidad de usar información de "feed back" para redactar un mejor sistema educacional y revisar los factores cuya influencia tienda a producir sistemas mejorados.
El informe ha tratado de relatar la discusión de problemas generales que afectan el desarrollo de la educación adulta y continuada en matemática. Se ha hecho un esfuerzo para identificar aspectos de los problemas discutidos que puedan ser tratados especialmente en países en desarrollo.
incremento del trabajo de
tas.La determinación del papel del estudian
te y el profesor y las relaciones en la educación de adultos y el impacto de la técnicas de enseñanza a distancia sobre estos papeles y sus relaciones.
Los factores que influyen en el alcance y contenido de los programas de matemática en educación de adultos y sus relaciones con los factores generales que influyen globalmente en dicha educación.
Programas diseñados para la enseñanza matemática a nivel elemental cuyo objeto es formar en el estudiante las destrezas matemáticas básicas que más tarde puedan serles útiles en su educación o pueda usarlas directamente en su oficio o profesión.
Programas diseñados para enseñar matemática a nivel avanzado en el cual sería la matemática el componente (quizás el único) en el desarrollo de un programa profesional.
V. EDUCACION DE ADULTOS Y EDUCACION PERMANENTE
R. M. PENGELLY (Gran Bretaña)
po de la educación adulta y continuada, revisando los factores que influyen en el alcance y contenidos de los programas de matemática para adultos. En la tercera se analizan algunos de los rasgos distintivos originados en proyectos existentes tratando de identificar las tendencias en boga. La cuarta parte describe algunos problemas hallados al redactar programas de educación adulta en matemática y de indicar en qué dirección puede estar la solución de algunos de estos problemas.
Las dos últimas secciones del informe están ocupadas en gran parte por los rasgos distintivos y los problemas generales de la educación de adultos de los cuales hay muy escasa información en el campo de la matemática. Concluye con preguntas para descubrir el tema e invita a responder a los interesados en la creación de un centro informativo que recoja, analice, imprima y distribuya información sobre estas actividades.
(Resumen)Por primera vez, la educación adulta y
continuada en matemática está emergiendo como tópico independiente para discutirse en un congreso internacional sobre educación matemática. Crear para ello una base adecuada constituye un desafío mayor debido a
1. Actualmente, la literatura al respecto es pobre. Aun cuando se ha escrito mucho sobre educación adulta y continuada para diseñar sistemas de enseñanza a distancia, poco o nada parece haberse escrito sobre la enseñanza de temas particulares.
2. La educación continuada en matemática para estudiantes adultos lleva al uso práctico de casi todos los aspectos de la educación matemática.
3. La variedad de actividades en este campo es extraordinaria, variando desde una serie de breves charlas radiales hasta un programa posgraduado completo.
Para tratar de encarar el desafío, trataremos de señalar el más amplio campo visual compatible con el tema con el objeto de mostrar la forma cómo entra la matemática en la formación adulta y continuada. En particular, enfocaremos la atención sobre los principales nuevos desarrollos en educación adulta, los que permitieron desarrollar sistemas de estudio a distancia por multi- medios.
En la primera parte fijaremos el escenario describiendo la educación adulta y continuada preocupándonos por: el alcance de las actividades que están en marcha, metas y legislación, influencias sociales y culturales y desarrollo de las relaciones profesor- estudiante. En la segunda se describe cómo la educación matemática penetra en el cam-
VI. PREPARACION Y ACTUACION PROFESIONAL DE LOS PROFESORES DE MATEMATICA.
M. OTTE (Alemania)
(Resumen)Este informe es el primero sobre este tema; en los informes anteriores, la formación y la situación profesional del profesor de matemática no se consideraron como tema aparte, sino que se los trató esporádicamente en forma no sistemática. Esto revela que en la didáctica de la matemática se está dando en los últimos años más importancia a los problemas de la enseñanza que a los del aprendizaje, al maestro que al material
•de enseñanza y a la formación y perfeccionamiento de maestros que -al desarrollo de los planes de estudio.
La formación y la vida profesional del profesor de matemática están, por un lado, muy influidos por la materia, pero, por otro, debe formar parte del horizonte total del sistema educativo. Estos últimos aspectos nos parecen tan importantes que dividimos el informe en dos partes. En la prime
ra, intitulada "Formación y actividad profesional del profesor de matemática", analizamos los problemas que atañen al contexto social y organizativo de la actividad profesional y de la formación del profesor de matemática. En la segunda, intitulada "Matemática y formación del profesor", analizamos cuestiones más específicas. Somos perfectamente conscientes del hecho de que en la didáctica de la matemática los problemas sociales y organizativos no se pueden separar de los de naturaleza exclusivamente matemática. Esta tesis, base de todo el sistema, une estrechamente sus dos partes.
La formación del profesor y la reforma escolar se influyen mutuamente; por ejemplo,' la reforma de planes sin medidas paralelas y previas para mejorar la calificación de los profesores no ha tenido el éxito deseado. Precisamente cuando, como ocu: rre en muchos países, las Consideraciones
El informe final es una fuente útil de referencia. Todos los que estén trabajando en el área cubierta por el informe son estimulados para escribir artículos que describan sus actividades.
Se trata de proveer información sobre el alcance completo de los problemas y, do es posible, los examina desde diferentes puntos de vista.
Los principales argumentos cubiertos por el informe son:
La revolución de los cursos de estudios en el hogar, que ha conducido al tradicional curso por correspondencia realzada por la introducción de diversas ayudas audiovisuales y nuevas formas de contacto profesor y estudiante.
cuan-
entre
16 17
insuficientes y se caracterizan extrema complejidad y fragmenta-
sobre costos y utilidad determinan restricción en los proyectos de reforma, se comprende mejor la significación de la formación y el perfeccionamiento de los profesores como motores de cambios en el sistema escolar. Pero hasta ahora, la formación de profesores no tiene papel conductor; por lo contrario, hubo dificultades para adaptarse al continuo cambio de las condiciones escolares. El desarrollo de la capacidad individual del profesor de matemática está ligado a condiciones estructurales de su actividad que la formación no puede controlar. Las posibilidades de decisión sobre problemas prácticos de la enseñanza están determinadas en parte por influencias externas, como, por ejemplo, directivas o materiales de enseñanza. En ese ámbito existen deficiencias importantes del sistema escolar que no pueden ser influidos por la formación, pero que ésta debería prever. En todas las discusiones sobre la formación del profesor de matemática, las relativas al ejercicio de la profesión cobraron especial significación en los últimos años. Pero como dichos aspectos prácticos, no han sido hasta ahora sino palabras bajo las cuales se esconden las necesidades más diferentes, y como además no hay descripciones adecuadas sobre la práctica del profesor de matemática ni criterios de calificación fundados científicamente, las tendencias en ese ámbito son muy heterogéneas.
La profesionalización del profesor de matemática es condición decisiva para el mejoramiento de la enseñanza de la matemática. Nos referimos a la elevación de la calificación -científica en todas las ramas que hoy se persigue en la escuela primaria de todo el mundo siguiendo una tendencia academizante: también nos referimos a la creación de un fondo común de saber experimental entre los profesores de matemática de todos los niveles. Al mismo tiempo crecen los problemas de integración, lo cual se nota nítidamente en las exigencias creciente, difíciles de satisfacer, que deben cumplir los pedagogos, así como también en la necesidad cada vez mayor de disponer de medios de educación específicos y organizados.
El perfeccionamiento de los profesores de matemática es hoy el centro interna- cionalmente reconocido de la discusión sobre la reforma de la formación. Pero los recursos de los distintos países y sus pro
gramas son metaconocimiento concretizado de su disciplina para poder abordar la problemática fundamental de la relación entre la ciencia que se desarrolla y la enseñanza de la matemática en las escuelas generales. Para manejar correctamente los contenidos y para adecuar la significación del saber sobre la estructura interna y las relaciones lógicas de dichos contenidos, el maestro necésita conocer sus relaciones con los contenidos de otras materias, sus formas de aplicación y sus relaciones, contenidos de otras materias, sus formas de aplicación y sus relaciones con las necesidades de los alumnos. La formación de profesores debe conceder cada día mayor importancia estos aspectos.
La didáctica especial se constituyó como disciplina particular paulatinamente; en la formación de profesores, al principio se preocupa por cuestiones estrictamente metódicas o didácticas, el concepto pedagógico de educación se había acuñado sin tener
en cuenta las variaciones específicas de las distintas disciplinas. A menudo surgió un paralelismo nocivo entre la estrechez de la perspectiva en la didáctica especial y la entrega "pragmática" del proceso de enseñanza a influencias casuales. La discusión sobre problemas de didáctica especial está todavía dominada a menudo por presuntas alternativas como "centrado en el niño" o 'centrado en la mayoría".
Recetas y valoraciones prematuras constituyen serios obstáculos para lograr la identificación coordinada de los verdaderos problemas de la enseñanza de la matemática y de la formación de profesores. Los cambios en la ciencia y en el sistema escolar requieren hoy la formación de profesores con ideas nuevas sobre contenidos y métodos de trabajo en didáctica especial para que puedan corresponder mejor a la- necesaria integración entre ciencia especial y ciencia de la educación.
por unación. Las dificultades para reconocer las necesidades, la continuidad y la protección institucional, por un lado, y las tensiones por el otro, determinan la situación actual.
La relación entre la matemática como ciencia y la enseñanza de la matemática en los institutos de educación general es el problema fundamental de la formación del profesor de matemática. Exagerando un po-
puede decir que dos tendencias seco seoponen en el campo científico sin solución de continuidad. Para unos el profesor especialmente el secundario debería ser realmente un investigador en matemática; para los otros, debería sólo conocer lo que debe enseñar. Tradicionalmente hay una relación "natural" de la ciencia con la enseñanza; cada una aumenta las posibilidades de la otra. Esta relación, pese a su significación indudable para la enseñanza en las escuelas de formación general, no puede darnos información inmediata sobre el contenido y el método de sus investigaciones, pero sólo son capaces de juzgar su propia función social en forma muy restringida. Esta dimensión social del problema de la relación entre matemática y matemática escolar es cada vez más importante para el comportamiento del maestro y para sus métodos de enseñanza. En la didáctica de la matemáti-
VII. ANALISIS CRITICO DEL DESARROLLO DE LOS PLANES DE ESTUDIO.
A. G. HOWSON (Gran Bretaña)
1. En los últimos veinte años se empleó mucho dinero y esfuerzos en el desarrollo de los planes de estudio; muchas veces los resultados desilusionaron. Hoy, los sistemas educativos de muchos países trabajan con restricciones presupuestarias y no se obtienen con facilidad recursos para desarrollar planes de estudio. ¿Cómo se debe proceder al desarrollar planes de estudio en una época de reducciones presupuestarias y de desilución general? ¿Qué aprendimos en los últimos 20 años? ¿Qué principios han surgido?
2. Sin duda, el hecho más significativo es que la función del maestro es crucial. Aunque los materiales y el equipo de trabajo de un proyecto sean extraordinarios, el éxito de su aplicación depende finalmente de la receptividad y adaptación del maestro. El desarrollo de planes de estudio es un proceso que tiene que ver con personas, sus preferencias y antipatías y no sólo con la matemática.
3. El plan de estudio debe significar algo más que los manuales y textos. Ni el contenido ni el método se pueden analizar aisladamente. Es del todo irreal creer que los problemas de la enseñanza de la matemática se resolverán con la sola introducción de nuevos ma
teriales o con los "métodos de descubrimiento", "aprendizaje individualizado", "introducción de sistemas", "enseñanza con computadoras", etc. Los mejores planes de estudio fracasarán a no ser que se revisen los sistemas de examen para que correspondan a los objetivos deseados y aceleren el logro de los fines edu- gativos y matemáticos en lugar de actuar en contra de ellos.
4. La forma más popular para desarrollar planes en los años 60 fue el modelo denominado investigación-desarrollo-difusión. En la mayoría de los casos la difusión fracasó y el mensaje llegó a las aulas totalmente distorsionado. Así ocurrió por subestimar la preparación de la enseñanza implementada. Cada vez- es más claro que el desarrollo de planes y la enseñanza implementada deben integrarse estrechamente y no se puede concebirlas como operaciones cronológicamente distintas.
5. Sin embargo, a menudo no se comprendieron los objetivos ni los materiales. Los proyectos no se elaboraron mediante consultas amplias y se analizó muy poco cómo afectarían los cambios a otros niveles educativos, a los usuarios de la matemática y a los estudiantes que la emplean. Pero aun cuando esos
ca, conceptos como enseñanza de la matemática "orientada hacia los problemas" u "orientada hacia las aplicaciones", la elaboración de problemas con motivaciones temáticas, y una discusión del vínculo en-
ma-
tre enseñanza general y profesional, revelan una toma de conciencia de cosas que todavía estaban en sus primeros balbuceos. La concepción demasiado optimista de la relación entre matemática y matemática escolar, que se expresa con una idea abstracta y comprimida lógicamente de la "estructura de la disciplina" y que a mitades de siglo acuñó también la metodología de la ñanza matemática caracterizada por "ele- mentalización y fundamentalización" está ahora por desaparecer en casi todos los países. En muchos lugares sión de este cambio latente de oposición a la ciencia en el ámbito de la pedagogía escolar.
El maestro necesita, además de
f
fense-
y como exprenotamos una actitud
sus co-
,una especie de
18 19
11. La investigación educativa creó actividades en los planes, pero ha tenido poco resultado en otros aspectos. Existe la necesidad de que los investigadores deben comprender que una de sus mayores responsabilidades consiste en que sus resultados influyan en la sociedad y, en particular, sobre los planes.Aun cuando los datos de los evaluadores aparez-
forma objetiva deben interpretarse y ela-
nuevas 16. Tendencias en el desarrollo de planes.Toda tentativa de esbozar tendencias con
tiene en muchos casos elementos subjetivos que la convierten en una expresión de deseos más que en una realidad. Pero, en el escenario internacional, parecería que los siguientes enunciados generales tienen ciertos visos de veracidad (No olvidemos que aunque sea posible obtener contraejemplos de cada una de las tendencias consignadas, un único contratiempo no basta para refutar la existencia de una tendencia, al revés de lo que ocurre con demostraciones en las cuales un solo contraejemplo sirve para refutar una hipótesis).
Cada vez se acepta más que:(i) El suministro de materiales no es condi
ción suficiente para el éxito en el desarrollo de planes. El suministro de nuevos materiales preludia al desarrollo exitoso de planes; el verdadero trabajo duro reside en la exitosa difusión.
(ii) Deben concordar e integrarse el apoyo a la educación con el desarrollo de planes. Esto ha llevado a dar mayor importancia a los proyectos locales que a los generales.
(iii) No sólo es necesario proyectar planes adecuados de matemática para los académicos si no para todo el espectro de profesiones y para los que física o socialmente luchan con desventajas.
(iv) En los lugares en que la educación nacional o las presiones sociales lo vuelva necesario, se deben producir materiales y desarrollar métodos de enseñanza que se puedan usar en un amplio espectro profesional (clases de nivel mixto).
(v) Aun cuando la individualización del trabajo mediante fichas de trabajo, módulos programados, computadoras, etc., tenga mucho que ofrecer, no es por sí misma una solución de nuestros problemas. Hay que prestar mayor
factores fueran tomados en cuenta no se vio la necesidad de explicar los cambios a los que probablemente resultaran afectados por ellos.
6. La forma que puede tomar en un país el desarrollo de los planes depende de su sistema educativo y de su desarrollo histórico», si es centralizado o no, grado de autonomía de los maestros, el papel de los editores, etc. En muchos países, la gente se da cuenta de que los proyectos "locales", que puedan abarcar a todas las escuelas, pueden desempeñar una función muy importante para el desarrollo de los planes. Existe, además, urgencia por promover la maduración profesional y la autonomía del maestro como individuo, y de favorecer innovaciones individuales. Las asociaciones de docentes pueden ejercer poderosa influencia.
7. Hay proyectos "locales" en donde los maestros preparan en colaboración el material. Presentan importantes dificultades y no permiten pasar por alto los problemas cruciales de los proyectos en larga escala como, por ejemplo, ¿quién inicia el desarrollo?, ¿cómo deben constituirse los grupos redactores? , ¿quién debe determinar el tema, los fines y el estilo del material:, ¿quién garantizará que se obtendrá un nivel razonable desde el funto de vista de la matemática usual? Además, habrá que coordinar las actividades locales cor las generales.
atención al papel específico de los programas individualizados.
(vi) Contenido y método deben considerarse juntos (la reacción ante exageraciones anteriores parecieran llevar a una preferencia unilateral por el método en la escuela secundaria y por el contenido en la primaria).
(vii) Deben acentuarse los fines afectivos y la demostración de la utilidad de la matemáti-can en
borarse'subjetivamente.12. Los problemas de la evaluación "com
parativa" de los planes son tan grandes que existe el peligro de que los evaluadores se concentren en problemas técnicos y sobresti-
los fines cognoscitivos. La riqueza de los
ca.(viii) El replanteo de procedimientos y ob
jetivos en los exámenes dentro de una concepción total del aprendizaje y la enseñanza, es un ingrediente esencial en todo desarrollo de planes.
(ix) El papel del maestro es vital. Debería intervenir personalmente en el desarrollo de planes y no se lo debería someter a exigencias irreales que sólo pueden tener efectos desilu- sionadores y negativos sobre él. Debería alentarse al innovador individual.
(x) La educación previa debe preparar a los maestros para participar en los planes en desarrollo. Se debe promover su carrera profesional y autonomía.
(x¡) Al redactar planes de matemática no cfében olvidarse los fines generales, sociales y educativos y en particular, las exigencias de los no matemáticos, tal como los profesores de ciencia y los futuros empleadores. Debe prestarse especial atención en los estados intermedios que acaso se presenten.
(xii). Es necesario analizar más detenidamente los procesos innovadores y basar el desarrollo de planes sobre teorías educativas y de aprendizaje mejor elaboradas.
(xiii) El desarrollo de planes debe transformarse en un proceso gradual acumulativo y no en un ejercicio frenético de ir y venir.
(xiv) El desarrollo de planes es el arte de lo posible y no una aspiración a la inaccesible.
menresultados matemáticos unida a la imposibilidad de separar los efectos de los cambios matemáticos de los que provienen de otras
sociales o educativas, vuelven .prácticamente imposible la tarea de los evaluadorescausas
la mayoría de los países ignoran a los teóricos perpetuando la división tradicionai en educación entre teoría y práctica. La reacción de institutos centralizados para el desarrollo de planes con un equipo multidisciplínario pueden, tal vez, llevar a una reconciliación.
13. La posición dominante de los libros de texto se ha reducido con las fichas de trabajo, libros de temas y materiales no impresos como cintas, grabaciones televisivas "cassettes", etc. Sin embargo, los maestros parecen preferir los materiales educativos listos que obtienen de los editores y trasplantan directamente al aula. Los materiales educativos para los alumnos ejercen mayor influencia que las guías o tratados para los maestros. Faltan guías (que sean algo más que la mera consignación de respuestas \ para suplementar el material educativo de los alumnos, y la esperanza de producir bios mediante el solo uso de guías por los maestros se ha revelado tarea imposible.
14. Aun los países en donde no han predominado los proyectos en los desarrollos de planes, la gente advirtió que la autoría colectiva ofrece muchas ventajas. Muchas dó demostrado que presenta ventajas el pleo de maestros en actividad.
15. Hacia los años 60 se tradujeron e intercambiaron proyectos entre países sin atender
los diferencias sociales, educativas y culturales. Estos problemas de trasferencias pueden producirse también dentro de un país con distintas culturas independientemente desarrolladas, o cuando una cultura extraña ha sido impuesta a una indígena.
8. La reacción de los maestros contra los cambios de planes, sea al comienzo o más tarde cuando surjan problemas, dependerá de la estrategia que se use. Usualmente hay cuatro estrategias: la compulsiva (a partir del 1° de octubre, todas las escuelas. ..), la coercitiva (si ud. estuviera al día, usaría.. .), la racional empírica (los alumnos aprenden a tomar mayor responsabilidad) y la reeducativa (educación progresiva y desarrollo de planes combinados). En cierta medida, esto sirve para definir el papel del maestro ante el administrador o director: empleado del sistema, ser semiau- tónomo que puede ser manejado o influido, o profesional capaz de decisiones razonables.
9. Para el innovador el cambio es atractivo y puede traerle ventajas profesionales y económicas. Empero, tenemos también los incentivos para el maestro al que se pide que cambie sus métodos. Mientras aquél tiene "todo para ganar y nada para perder", éste puede creer que "ti^e todo para perder y nada para ganar".
cam-
f VIII. EVALUACION. METODOS Y RESULTADOS.
J. KILPATRICK fEstados Unidos)
veces que-em
valores, se recoje información sobre el objeto que se ha de evaluar y se aplica la escala de valores), en la práctica educativa el proceso no es nada simple.
Los objetivos de la valuación educativa, por ejemplo la habilidad de los alumnos o la adecuación al curriculum, son multidimensionales; varían a través del tiempo y de las situaciones.
La evaluación es un proceso interactivo que afecta a aquéllos cuyas realizaciones se están evaluando tanto como a los evaluadores y a aquéllos para quienes se la realiza. El proceso es a la vez psicológico y sociopolítico, no ocurre en el vacío.
Aunque teóricamente el proceso de evaluación es bastante simpletse escoge una escala de
a
10. Pese a que la teoría de los planes tiene larga historia y creció vertiginosamente en los últimos años, los especialistas en desarrollo de
2120 *
diferente en diferentes situaciones educativas. Hay una importante distinción entre evaluar un curriculum y valorizar las actividades y resultados de un desarrollo particular del curriculum
para la enseñanza de la matemática hace que el 'evaluador debe determinar la efectividad de los diferentes materiales disponibles.
Una exigencia razonable, cada vez más solicitada, es que los evaluadores describan los materiales de enseñanza sugiriendo las situaciones en que pueda emplearse.
La mayoría de las tentativas recientes de crear nuevos instrumentos para la evaluación del aprendizaje, aptitud para la matemática, enseñanza y materiales para dicha enseñanza, pueden verse como un esfuerzo para dar una descripción más rica de su dinámica para el acto de enseñar*aprender. Los evaluadores intentan constantemente buscar tanto las causas como los efectos, describir y conjeturar tanto como medir. Están comenzando a liberarse de su pesada dependencia de las pruebas estandardizadas y las notas numéricas.
Muchos problemas de evaluación en matemática pueden redifinirse, y acaso mejor resueltos, si se los mira desde distintos puntos de vista. La matemática no progresará si despreciamos los viejos conceptos sin construir sobre ellos. Antes que buscar la mejor aproximación deberíamos tratar de percibir el valor y las limitaciones desde varios puntos de vista distintos para los problemas de evaluación.
tanto clases, son necesarios para separar los efectos del programa de los debidos al profesor, pero cuando mayor es el número de profesores más difícil es determinar si cada programa se está aplicando de acuerdo con las especificaciones. Pocos estudios evaluativos de programas de "matemática moderna" han influido sobre la toma de decisiones, lo que probablemente sea lo mismo visto el valor inuestionable de los estudios.
Otro problema relativo a la evaluación se relaciona con cambios en sistemas de examen y prácticas de pruebas.
La educación masiva produjo un cambio en la evaluación de los alumnos que se elegirán para una educación posterior y distribuirlos en programas optativos de estudio. Resulta más importante diagnosticar el conocimiento matemático del alumno que compararlo con el de otros. En consecuencias, pruebas y exámenes se han vuelto más objetivos, frecuentes y extremamente vinculados a objetivos educativos específicos.
Tanto la evaluación de nuevos planes curri- culares como los tratamientos y las matrices para clasificar objetivos educativos y temas de examen que han intentado usar las autoridades educativas que intentan medir el rendimiento del sistema educativo, son un caso parecido a lo que ocurre en una fábrica. Cuando se mide el rendimiento de una fábrica, el proceso no influye sobre la producción futura. En cambio, en una escuela es un proceso interactivo: profesores y alumnos usan igualmente pruebas y exámenes como indicadores de lo que debería aprenderse. El ingeniero limita la evaluación una búsqueda de "efectividad" (la efectividad de un curriculum, de un conjunto de material instructivo, de un maestro) suponiendo que tal cualidad es independiente de factores situacio- nales. Esta suposición ha sido seriamente tionada, sin embargo, y otras concepciones se han aplicado últimamente. Por ejemplo, la luación se concibió como diagnóstico médico, crítica literaria, crítica de arte, estudio pológico, investigación criminal y como argumento legal. Se ha descripto el papel del investigador como el del clínico, crítico, observador pasivo, detective, jurado y procurador.
Recientemente se ha cuestionado el valor de separar el contenido del proceso, planteán-
podemos clasificar objetivos (y asociarles temas de pruebas) aparte del sistema educativo en que están incluidos. Análogamente, podemos cuestionar la ¡dea de valorizar un curriculum en sentido general si se manifiesta
Muchos problemas en la evaluación educativa, surgen por la dificultad para reunir información sobre todas las cualidades dinámicas del objeto que se ha de valorar, y procesar esa información para poder tomar decisiones. Un ejemplo es el tema de los exámenes externos al final de la escuela secundaria. Ha sido una tendencia general desarrollar esquemas en los cuales los profesores preparan y califican sus propios exámenes y efectúan una evaluación informal a lo largo del año. Estos esquemas han resultado populares entre alumnos y profesores pues permiten evaluar con mayor justicia el progreso estudiantil, pero al mismo tiempo originaron preguntas difíciles acerca de la comparación de estudiantes que han tenido distintos profesores.
Hay una tensión inevitable sobre el concepto de evaluación entre las "líneas de combate" y el "cuartel general. Los alumnos y profesores en la línea de combate necesitan una evaluación formativa que sea a la vez diagnóstico y descripción de la complejidad de la situación que enfrenta; el cuerpo directivo en el cuartel general necesita una imagen total simplificada de la situación. Algún conocimiento se ha logrado en los últimos años sobre aspectos técnicos del muestreo y análisis de datos, pero el evaluador siempre enfrentará el problema de decidir cuál información conseguir, cuáles escalas usar y qué peso asignarles en la decisión final.
La insatisfacción sobre las pruebas y exámenes existentes, condujeron a experimentar nuevas formas de evaluación. Los últimos cinco años vieron nacer prometedores trabajos para medir cosas mal definidas pero importantes como la habilidad para resolver problemas y la creatividad matemática. Está en marcha la construcción de escalas de actitud que prestan mayor atención a las cuestiones de validez.
Pese a que muchos técnicos educativos han sido preparados para evaluar la enseñanza de la matemática, todavía estamos en estado relativamente primitivo.. La competencia de los profesores se evalúa indirectamente muchas veces, no en forma sistemática a través de las diferentes calificaciones, diplomas, recomendaciones sino por la evidencia directa de lo que están aprendiendo tantos alumnos de sus enseñanzas.
Los intentos por demostrar que ciertos modelos de enseñanza conducen necesariamente a un mejor aprendizaje han fracasado en general.
La confusa profusión de nuevos elementos
i
i
IX. OBJETIVOS Y METODOS GLOBALES DE LA ENSEÑANZA
Ubiratán D'AMBROSIO (Brasil)
ca y la esencia del proceso enseñanza —aprendizaje. Nos referimos al papel de la matemática para el hombre, teniendo en cuenta su papel en la sociedad. Acentuamos la relación entre las metas de la educación general y las metas y objetivos de la educación matemática considerándolos dentro de un contexto general y bajo diferentes modelos y etapas de desarrollo.
El trabajo consta de cinco capítulos:1. Introducción.2. Matemática y escuela;3. Papel y naturaleza de la matemática;4. ¿Qué espera la sociedad de la educación
matemática?5. Nuevamente: matemática y escuela.En lugar de concentrarnos en objetivos y
metas específicas de la educación matemática optamos por un análisis del lugar de la matemática en el presente y en el futuro obteniendo nuevas conclusiones mediante interpretación del pasado y sus debidas implicaciones en la educación matemática.
A medida que se investigan tendencias y problemas de evaluación de la educación matemática, habría que esclarecer los propósitos para los que sirve la evaluación. Deberían plantearse preguntas claves como por ejemplo qué acciones se tomarán como resultado y cuál será ej efecto sobre los participantes en el proceso.
Se debería prestar especial atención al equilibrio entre el derecho del individuo a desarrollarse en forma única como estudiante o profesor de matemática y la necesidad de la sociedad de ciudadanos competentes en matemáti-
(Resumen)Se discuten las metas y tendencias funda
mentales de la educación matemática bajo este subtítulo significativo: ¿Por qué enseñar matemática?
El trabajo, por obvias limitaciones de espacio y tiempo, es sólo una introducción a nuestro enfoque del tema. Se proponen cuestiones y se citan fuentes donde tal enfoque encuentra su base de sustentación así como otras que permiten un tratamiento más convencional del tema. Esperamos que el trabajo genere un ansia positiva entre los educadores de matemática acentuando nuestras responsabilidades y confianza en el poder que tenemos como educadores para modelar el futuro.
Enfocamos la pregunta del subtítulo desde los puntos de vista del desarrollo de la sociedad, sistemas escolares, formación del maestro, así como considerando las cuestiones cambiantes sobre la naturaleza de la matemáti*
a
cues-(
eva-*•>antro- •*ca.
Ejemplo de un problema que implica "evaluación" es el pretendido "fracaso" de la temática moderna. Sobre este problema se discutió apasionadamente, pero la documentación concreta fue escasa. Estudios típicos de luación de nuevos planes curriculares han siderado a los programas como "tratamientos" imitando experiencias en medicina o agricultura. Los evaluadores temieron enfrentar la paradoja de que gran número de profesores, y por
ma-
eva-con- dose si
2322
pequeños. En este contexto debemos analizar la ciencia y en particular la matemática, y la educación, en particular la educación matemática.
Reconocemos una interacción total entre sociedad y ciencia matemática en particular, no sólo desde la perspectiva histórica, aceptando el desarrollo de la matemática como consecuencia de factores socioeconómicos, sino también aceptando que la matemática, si bien no tan aparentemente como las ciencias naturales y perceptible con más lentitud que en éstas, afecta en grado siempre creciente todo el andamiaje de pensamiento, cultura y política. Tomamos en cuenta un modelo educativo rápidamente cambiante en todo el mundo, debido sobre todo a la rápida concreción del ideal de educación masiva. Esto se inserta en un contexto de perseguir la concreción de la sociedad ideal, la cual, pese a tomar formas diferentes, mantiene completo acuerdo con alguna de las cuestiones básicas, incluida la tolerancia. de una disparidad entre poder y privilegio. El conflicto resultante puede resumirse en tres filosofías diferentes que sirven de base a todo el estudio de los objetivos y metas de la educación matemática: (i) búsqueda de valores, (¡i) búsqueda de nuevos conocimientos; (i¡¡) respaldo de una estructura social determinada.
Sería un mero paliativo mejorar el modelo educativo existente sin analizar globalmente a la escuela como institución, y a la ciencia como actividad necesaria y elemento del mejoramiento de la vida humana.
La definición de prioridades en la educación y en las ciencias presupone grandes problemas para las naciones desarrolladas blemas gigantescos para los países en desarrollo. Aceptamos la educación, en particular la matemática y la científica y, por tanto, la estructura de investigación científica como fenómeno sociocultural anclado en valores culturales; en consecuencia, su objetivo debe ser analizado en el contexto global de prioridades y metas nacionales y debe depender menos de la estructura intrínseca de la propia ciencia. Por otro lado, la estructura política mundial y la creciente interdependencia entre los países hace absolutamente necesario para los países emergentes cerrar la llamada brecha tecnológica con los países desarrollados e industrializados así Como desarrollar una "intelligent- zia", confiable y capaz. El principal problema que encaran los educadores de todo el mundo parece ser el de conciliar las metas de relación digna con países más poderosos y preservar los valors socioculturales y morales tradicionales. Esto último se aplica a los países en desarrollo y a los ya desarrollados más
mática que promovemos consiste en desarrollar la capacidad del individuo para identificar
la matemática en la experiencia intelectual y para distinguir el razonamiento y método matemáticos en todas las situaciones que se presenten o puedan estar potencialmente insertos. La matemática se ubica dentro del amplio contexto del razonamiento y métodos científi-
relaciona con otros lenguajes para
cultura occidental y, en cierto modo, erróneamente ubicada en las escuelas medievales.
El desarrollo de un nuevo orden económico hacia el final de la Edad Media con la creciente importancia de las ciudades, el comercio y la industria, obligó a una desviación de la economía feudal. Al mismo tiempo, se establecieron los cimientos de la revolución industrial, ampliamente basada en el florecimiento de la nueva ciencia experimental y cualificada. Otro factor importante fue la ampliación de las fronteras del mundo mediante la navegación y las conquistas, que permitieron introducir materiales nuevos y baratos en una economía cada vez más orientada hacia el proce-
aPretendemos que los matemáticos compar
tan la responsabilidad de proporcionar mejores días a sus semejantes. Pero algunos ven en la propia naturaleza de la matemática un peligro como herramienta opresora. Este peligro, presente en las sociedades’desarrolladas e industrializadas, es de importancia para los países que, habiendo logrado independencia política, empiezan ahora su lucha por la independencia económica y cultural. Esto debe asociarse a la deficiencia de la estructura educativa, diseñada por una "élite" y ahora aplicada al grueso de la población. En la comprensión de este hecho acaso resida el tipo de preservación de la matemática como importante materia escolar, y específicamente reimponiendo su posición como materia independiente en la educación general incluyéndose en el concepto más amplio de cultura, de valor, que el de mero conocimiento que generalmente se le asocia.
eos y setratar de simular una realidad. El proceso de la creación matemática se produce, como cualquier otra forma de creación, como resultado de una fuerza interna que no podemos identificar, mientras el objetivo de la matemática es la combinación de experiencias sensoriales con algunos procesos de abstracción y correlación de ideas. Admitimos la tendencia hacia nuevas relaciones entre matemáticos y no matemáti-
como consecuencia, la aparición de nue-
»
samiento de dichos materiales.Entre la Edad Media y el Siglo XIX, las
escuelas sufrieron cambios radicales. Aparecen las universidades y al mismo tiempo se desarrolla la llamada educación artesanal o voca- cional, resultante de una forma de agremiación profesional en una estructura paralela. El papel de la matemática en la educación fue muy pobre en este período.
Así llegamos a fines del siglo XIX y principios del XX con una fuerte motivación para la investigación matemática derivada de estos hechos. Mucho de lo que predomina en la investigación matemática actual tiene sus huellas en el siglo pasado. Más que ¡deas nuevas de rea! significación matemática, se observa la riqueza de nuevos campos de aplicaciones, anticipándose al rápido y profundo cambio con el uso de computadoras por los matemáticos. En ese mismo espíritu, no observamos cambios significativos en la enseñanza. Hay un cambio fundamental, la educación de masas, pero el enfoque educativo es prácticamente el mismo del siglo pasado, siempre ubicado en "cuánto aprende el niño" y cuidando que éste "se
un modelo establé
eos y,vos focos de interés para investigadores matemáticos. Estas relaciones van en ambos sentidos y se puede pronosticar perfectamente la aparición de campos científicos completamen-
características mixtas de la mate nuevos con temática actual y otras disciplinas. El papel de las computadoras en tales nuevos campos científicos probablemente será fundamental.
Las implicaciones de estos razonamientos en la definición de los objetivos de la educación matemática son de considerable magnitud. Ciertamente, habrá que cambiar lo que se enseña: curricula, planes de estudio y contenidos, para la metodología, y un nuevo ambiente en el aula, ambos orientados hacia la creatividad. El objetivo principal es dar a la matemática una nueva dimensión, adecuada a un mundo nuevo y a sociedades que están cada vez más cerca y, al mismo tiempo, rivalizan entre sí. Necesitamos una nueva matemática y todo el poder creador de la juventud para
formas de pensamiento inimagi-
Vemos al progreso educativo como la con jugación de aspectos socioeconómicos globales en procura de un mejoramiento de la vida humana. En ella intervienen, así como en el proceso tecnológico, la filosofía sustentada por la sociedad y consideraciones relativas a disponibilidad de recursos humanos materiales.
Distinguimos algunas formas de educación:una, puramente vital instintiva, mediante la cual el niño aprende a sobrevivir y a mantener la especie; otra, social y de comportamiento, en la cual el niño recibe enseñanza de actitudes básicas y de conducta, y adquiere valores morales, y una educación contemplativa y especulativa. Analizaremos las dos últimas. De hecho, identificamos casos en los cuales las dos formas conjugan esfuerzos y se crea conocimiento nuevo. La matemática es un buen ejemplo de tal enlace entre los dos tipos de educación. El mismo concepto de número senta desde el comienzo
y pro
generar nuevas nables. El objetivo primario de la educación matemática no debe ser la perpetuación del conocimiento, o impulsar un poco más lo ya existente; este conocimiento permanecerá o morirá de por sí. El objeto primario de la matemática es promover nuevo conocimiento. Al mismo tiempo, la necesidad de volver
el conocimiento existente a de profesionales
comporte de acuerdo con cido". No se asigna mayor importancia al tra-4 bajo colectivo.
Paradójicamente, hay una profunda riqueza de nuevas direcciones que están siendo tomadas por la ciencia y la sociedad. Vivimos, sin duda, una segunda revolución científica, se crean nuevos campos de investigación y nuevas herramientas para comprender y controlar a la naturaleza en dimensiones nunca pensadas por el hombre. No podemos, pues, ver a la matemática y a la educación matemática desvinculadas de esas nuevas direcciones ni de los cambios sociales y económicos que ocurren actualmente en el mundo.
El objetivo principal de la educación mate-
ipreuna componente emi
nentemente práctica lo mismo que «reflexiones puramente contemplativas. Consideraciones históricas me llevan a dejar de estimar el cepto de contar como la
con- accesibleun número creciente —particularmente en los países en vías de desarrollo— debe ser satisfecho en una estructura paralela, no difiriendo básicamente de lo* ocurrido desde la Edad Media hasta la revolución industrial. Debe promoverse un esfuerzo pedagógico importante para llevar teorías ma-
componente principal en la educación matemática en el contexto de un esquema contemplativo o especulativo. La consideración de la aritmética ordinaria el centro de los estudios
una
comomatemáticos debe
ser reexaminada no obstante haber sido admitida como parte de la matemática teórica en la
2425
.
Creemos que una sana estrategia de reforma debe promoverse simultáneamente en todos los niveles. En verdad, cambiar la actitud de los educadores y mudar el foco de la enseñanza, de lo que se enseña a lo que se aprende, es
preámbulo esencial de cualquier mejora educativa. Una manera real y dinámica de abordar el cambio significa, en esencia, un mecanismo de cambio integrado en el que educadores y educandos constituyan una componente orgánica única.
Creemos que con una actitud más dinámica e imparcial, la matemática puede jugar un papel muy importante en educación y contribuir a que esta satisfaga su meta primaria, esencial indiscutible: el mejoramiento de la vida huma-
nuina preocupación por ese trabajo. Para identificar las características generales de la investigación actual, mi principal criterio fue la importancia de los cambios prácticos en la escuela y las conclusiones que se obtuvieron para la investigación futura.
dizaje de los alumnos, ha aumentado el número de maestros que participan de la investigación. En particular, los I.R.E.M. franceses han realizado un trabajo pionero en esta área, en la cual participaron los maestros por razones de estrategia. Un trabajo similar está realizando el I.O.W.O.' holandés en Utrecht y muchos de los centros de profesores ingleses especializados en matemática.
2.4. Una de las reacciones más netas contra la escasa importancia de la investigación educativa para la práctica y para los problemas relativos a la teoría constructiva, ha sido una extensión del repertorio de investigación, lo que por una parte anuncia un relajamiento de las hasta ahora rígidas normas para la aceptación de métodos y, por otro, que la integración de resultados se tornará más difícil. El no reconocimiento en los primeros tiempos de la investigación informal de Piaget y la onda recesiva de estudios formales posteriores a su tesis, apoya lo dicho. En los Estados Unidos, donde se realizaron alrededor del 85 por ciento de las investigaciones relacionadas con nuestro tema, el planteo del procesamiento de la información con sus métodos y técnicas de observación más abierto, está desplazando a la teoría del aprendizaje y a la fuerte competencia de cognoscitivistas y conductistas. El planteo metodológico provocó un aumento de la atención por los sistemas descriptivos.
2.5. En consecuencia, surgió una fuerte necesidad de investigación teórica cuya potencia indica cierta clase de crisis. El procedimiento de estudiar influencias operantes en ciertos estudios como las principales variables en subsiguientes estudios es muy común en ciencias sociales. Pero en lugar de integrar se está rami- ficando y diferenciando nuestro conocimiento. La comprensión del aumento de la complejidad del proceso de aprendizaje hace que también el entendimiento se vuelva cada vez más complejo y el asunto resulta difícil de tratar. Sólo por cuestiones económicas es imposible aumentar arbitrariamente el número de variables en un estudio y también es imposible, debido a las interacciones, mantener constantes las otras variables o simplemente no tenerlas en cuenta. Además, en una sociedad moderna rápidamente cambiante, la validez del resultado de muchas observaciones está limitada en el tiempo (historicidad de los enunciados).
Así es como se plantean dudas sustanciales sobre la posibilidad de construir teorías generales siguiendo los lineamientos favorecidos en las últimas investigaciones. La situación puede
temáticas avanzadas a mayor número de individuos y volverlas disponibles para los países en desarrollo mediante metodología educativa, empleando tecnología audiovisual y computación. No puede alcanzarse, es obvio, mediante curricula preestructurados. Es necesario un ca-' mino de acercamiento a los contenidos que sea dinámico y flexible, que subraye fuertemente la metodología de acceso al conocimiento existente, y lo haga prontamente disponible, comprensible y asequible. Este camino es el que responde mejor, más inmediata y realmente a las necesidades de los países en desarrollo lo mismo que al papel cambiante de la educación matemática en los modelos mutables de las sociedades desarrolladas e industrializadas.
un
2. Tendencias principalesLos cinco primeros puntos caracterizan he
chos y métodos de investigación en las ciencias sociales relacionadas con el aprendizaje de la matemática. Los cinco siguientes se relacionan con el proceso de enseñanza y aprendizaje.
2.1. Un número inmenso de estudios de investigación previos trataron de expresar enunciados acerca de la relación entre dos variables de muestras representativas, por ejemplo, relacionado con la comparación de dos tratamientos. El inmenso número de resul
na.■
i
X. LOS PROCESOS DE APRENDIZAJEH. BAUERSFELD
(Alemania)tados contradictorios o no significativos, condujo a cuestiones diferenciadas como la investigación de interacciones: ¿Hay diferencias en el logro matemático cuando un maestro o una maestra enseña a un estudiante masculino (o femenino)? O ¿es más efectivo el tratamiento A para los estudiantes muy motivados y el tratamiento B para estudiantes poco motivados, o vice-versa? Los datos de tales interacciones dan mejores sugestiones para la concordancia de los tratamientos con los grupos de estudiantes, aun cuando sólo para situaciones limitadas y contenido relativamente elemental.
En los últimos años, la interacción ha sido interpretada como interacción social y no sólo como interacción estadística entre variables; esto ha causado un importante mejoramiento de nuestra visión del proceso de enseñanza y aprendizaje. Al mismo tiempo, ha terminado la visión aislada de los principales determinan-
|1. Orientación introductoria
Durante mucho tiempo los resultados de las investigaciones influyeron muy poco en la realidad de la instrucción y el aprendizaje matemático. La investigación siguió a las necesidades de las prácticas escolares en lugar de encabezarlas. Indicaciones recientes sugieren un cambio en este deplorable estado de cosas. En la última década, los intereses de la investigación han pasado del curriculum y del discípulo al maestro. Esto es en algún sentido una reacción contra la primera ola de desarrollo del curriculum. Pero también es una respuesta a problemas de generalizaciones de la investigación. Según esto, teorías aisladas de curriculum y teor.ías de aprendizaje fueron puestas en duda cada vez más, en tanto que el desarrollo de teorías de enseñar y aprender se ha visto favorecido. Estas últimas se preocupan por el maestro y, más aun, se preocupan por la interacción entre discípulo, maestro y también el curriculum.
¿Cómo se produjo el cambio? Hasta hace poco, la investigación y el desarrollo sólo habían enfocado una de las dos componentes importantes del proceso de aprendizaje: el discípulo o el curriculum: Pero no consideraron la influencia del maestro ni el contexto general de la instrucción. Desde hace medio siglo, los investigadores trataron de identificar las etapas del aprendizaje del discípulo, de investigar las condiciones de su éxito (psicología experimental) y describir las etapas de desarrollo
de su pensamiento (psicología del desarrollo), con miras a una teoría general del aprendizaje. Por otra parte, el trabajo de desarrollo escolar de los años 50 y 60 se ocupó del curriculum en sentido amplio. Precisamente mediante proyectos, libros para alumnos, material didáctico y otros medios fueron desarrollados junto a un análisis de la estructura del contenido de la materia y métodos de enseñanza relacionados con él. Ambos movimientos se caracterizaron por olvidar el papel del maestro y del contexto general del aprendizaje. En consecuencia, ambos hallaron crecientes dificultades. Ni los grandes proyectos de curriculum mejoraron la instrucción y el aprendizaje de la matemática ni la investigación desarrolló una teoría de aprendizaje válida. Sólo se han dado explicaciones para aspectos parciales del aprendizaje, por ejemplo, la teoría genética de Piaget, el modelo jerárquico de Gagné o las teorías Ges- talt. Estas posiciones no se pueden integrar y representan sólo generalizaciones de valor limitado para la explicación y predicción. En particular, no bastan para el planeamiento y la realización de la clase, como lo hacen notar en queja los maestros de escuela. Parecen necesitarse teorías más sofisticadas de enseñanza y aprendizaje.
El análisis de las posibles causas de un resultado tan pobre y las diferentes estimaciones del análisis produjeron muchas reacciones diferentes en los últimos años. La escena de la investigación ha cambiado notablemente y hay ge-
I tes.2.2. Muchos resultados de investigaciones
no son generalizabas, y las pruebas \estandardizadas sólo son de valor limitado para la interpretación del proceso. Ambos factores contribuyeron a aumentar los estudios de investigación de situaciones reales en el aula. Observaciones sistemáticas de instrucción en matemática, particularmente estudios concretos de procesos de aprendizaje de largo tiempo en ambientes naturales, han producido resultados importantes.
2.3. Insistir en la investigación de la actuación del maestro, que ya no es tan sólo una "variable ¡nterviniente", con el objeto de tener información neta del tratamiento o del apren-
f
2726
diferente de la generalización matemática o de la abstracción o de lo que puede significar la comprensión de un concepto o de lo que es una solución suficiente de un problema matemático.
2.9. Por otra parte, es imposible pensar sobre una investigación relativa al aprendizaje de la matemática que no sea determinada por una visión fundamental del proceso de aprendizaje, o del proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto, por lo menos para el aprendizaje de la matemática; ya no es cuestión de sistemas descriptivos diferentes que se aplican a una materia idéntica. Dado que en la escuela, la matemática es un producto de la comunicación (una variación de una afirmación hecha por Watzlawik sobre la "realidad'"), el productor está profundamente relacionado con la estructura de esta situación social o de comunicación. El interés por clasificar esta dependencia ha aumentado muy recientemente.
Easley presentó un estudio sofisticado de siete perspectivas para modelar la enseñanza y el aprendizaje, y Joyce describió cuatro familias diferentes de modelos: "modelos de interacción social, modelos de procesamiento de la información, modelos personales y modelos de la modificación del comportamiento". Como los modelos personales en su visión del hombre, la naturaleza de su conocimiento y aprendizaje, en verdad definen atributos diferentes de investigación y de educación. Incidental- mente, esto es razón importante y esencial para la integrabilidad de los resultados de investigación sobre el "mismo" tema.
2.10. Aun cuando el proceso de aprendizaje de la matemática no se puede describir suficientemente sólo desde el punto de vista del que aprende, hay creciente interés por las condiciones para el éxito del aprendizaje estudiantil, particularmente en la estructura de las habilidades matemáticas y las normas de su desarrollo. Este tema comprende el mayor número de investigaciones de las cuales centenares de estudios posteriores a los experimentos de Pia- get, especialmente en lo que concierne a la conservación. Intentos de dividir la habilidad matemática, que muchas veces se trata como unidad en ciertas pruebas, difiere en sus resultados según el método usado: un nuevo análisis de estudios de factores analíticos produce modelos de habilidades similares a modelos bien conocidos de la estructura de la inteligencia; casos de estudio usando un conjunto finito de tareas con estudiantes de mucho éxito conducen a procesos matemáticos generalizados.
Hasta ahora, no hay resultados suficientemente detallados para hacer un diagnóstico más' seguro para agrupar la habilidad en educación matemática, pero ayudan a mejorar la individualización.
Por otro lado, se ha investigado gran variedad de variables que influyen el aprendizaje de la matemática, por ejemplo, las experiencias previas de aprendizaje del estudiante, su autoestima y su autoconcepto, sus estilos de percepción y procesamiento de la información, el comportamiento alentador del maestro, etc., para mencionar sólo algunos de los más importantes. Muchas de estas variables parecen ser más bien estables durante las clases, pero sorpresivamente, algunas son más bien inestables, lo que significa que dependen de la situación de aprendizaje y de las personas interactuantes. Los resultados de esta investigación provocan escepticismo C3 acerca de la práctica usual de encasillar de acuerdo con las medidas del '■logro, ya que se podría provocar la fijación de caracteres inestables. Además, se deberán extraer de esta investigación importantes consecuencias para la formación de los maestros que están actuando.
dificultades para determinar la validez de las pruebas, se plantearon dudas acerca de si diferentes modelos del contenido de la enseñanza -es decir, las maneras de representar y encuadrar la "materia" significante- trasmiten realmente contenido idéntico. Hay una buena razón para suponer que modelos diferentes pueden llevar al estudiante a la construcción de conceptos que difieren en rango y en contenido y que sólo aparecen idénticos debido a la uniforme descripción simbólica y al lenguaje técnico normalizado. Esto se muestra claramente a través de generalizaciones pobres y de dificultades para resolver tareas aplicadas. Cuanto más bajo es el logro de un estudiante, mayor es su dependencia del material; se producen, pues, desventajas para los estudiantes para los cuales se hacen incorporaciones.
Particularmente en la educación preescolar y primaria esta observación vuelve necesaria una revisión de las denominadas introducciones o experiencias fundamentales y sugiere el desarrollo de ayudas compensadoras para un entendimiento más completo. También resulta necesaria la crítica de la evaluación de los logros.
2.8. No se pueden esperar resultados sensatos sobre el proceso de aprendizaje sino se elucida justamente qué debe aprenderse. Muchas investigaciones empíricas dan la impresión de que la matemática es un cuerpo de conocimiento difícil, un conjunto jerárquicamente ordenado de enunciados fijos y sobre conceptos relacionados entre sí los nudos de una red. Probablemente, los temáticos no estén de acuerdo con esta imagen estrecha de la matemática como teoría de estructuras estáticas; en cambio, apreciarían la metáfora, más dinámica de la "matemática como proceso" (Freudenthal) o la "matemática como lenguaje'(Papert) No hay duda de que imágenes tan fundamentalmente distintas de la "matemática significativa", influirán en la "materia enseñada, es decir, se producirán nuevas maneras de enseñar la matemática. El problema se complica más si se toman en cuenta las filosofías fundamentalmente diferentes de los matemáticos acerca de su disciplina (por ejemplo, intuicionistas versus formalistas), lo que parece oponerse a las ¡deas populares sobre la matemática. En las ciencias empíricas, todavía no se reflexiona mucho sobre esas diferencias. Alguna evidencia se puede encontrar en estudios informales que, en verdad, muestran claramente que visiones distintas de la matemática generan, por ejemplo, una comprensión
caracterizarse por una búsqueda intensiva de una estructura orientadora, sea una teoría o una regulación funcional del proceso de investigación— búsqueda en la que están comprometidos muchos investigadores aislados y grupos en los institutos de investigación, por ejemplo en los Centros Shell de Educación Matemática de Chelsea y Nottingham, en el centro de Georgia para el estudio del aprendizaje de la matemática, en Atenas y en el Instituto para la Didáctica de la Matemática en Biele- feld, Alemania Federal.
2.6. El aprendizaje de la matemática requiere algo más que la posibilidad de conocimiento rutinario. Ese "algo más" se puede describir como significante"; como el contenido del proceso de enseñanza modelado por la estructura y rutinas del maestro, la "materia dictada", y como la estructura cognoscitiva del estudiante individual, la "materia aprendida". Estas tres formas sólo coinciden en el estado ideal. ¿Qué significa esto para la enseñanza y el aprendizaje?
2.6.1. Tenemos que abandonar la imagen de una materia matemática inmutable que se trasmite del maestro al estudiante. Por lo contrario, la materia varía y cambia en el curso del proceso de enseñanza lo mismo que en el proceso de aprendizaje individual. Accidentalmente, esto también apoya la pertinencia de teorías de interacción social para la educación matemática.
2.6.2. La comprensión de la individualidad de las estructuras y su desarrollo en el maestro y en el estudiante es un fuerte argumento en contra de la búsqueda de un mejor tratamiento. La cuestión puede formularse así: ¿Optimas para estudiantes y bajo qué condiciones? Las respuestas directas a esta pregunta son más bien raras y todavía necesitan una interpretación pragmática.
2.6.3. Más aun: Los estudiantes desarrollan por sí mismos estructuras y estrategias, lo cual puede ignorarse durante largo tiempo sino es detectado mediante un error o una solución inusual.
El grado de adaptación del maestro a estas situaciones caracteriza la calidad de ñanza. Para mejorarla se requiere un diagnóstico a largo plazo y una estimación del desarrollo del estudiante, en especial porque aumenta el tiempo requerido para aprender con la complejidad de la estructura de la materia y las normas para generarlas.
2.7. Debido a las dificultades para la formulación y jerarquizacíón de objetivos y a las
!
: 3. Crítica y conclusionesLa estimación crítica de los desarrollos du
rante los últimos años y las orientaciones para el trabajo futuro se agrupan en las tres dimensiones siguientes, que caracterizan aspectos más bien que temas estrictamente separados.
3.1. Dimensiones sociales del proceso de aprendizaje de la matemática.
Se examinan tres aspectos, los que requieren un análisis exhaustivo y una investigación posterior:
3.1.1. Si es verdad que la matemática sólo se puede aprender a través del diálogo, entonces las reglas para las situaciones de comunicación y, con mayor generalidad, para la reiacio-
sociales entre personas, valen también para estos procesos, y esto, presumiblemente, se aplica a atributos específicos de la materia. Desde este punto de vísta, el aprendizaje de la matemática, como todo aprendizaje de significado, requiere la "negociación" del significado para el estudiante. Para prever posibles desinteligencias: no se trata de que los estudiantes participen en la decisión de lo que es matemáticamente "verdad", pero sólo en comunicación con otros, el estudiante puede probar lo
normascomo
ma
nes
su ense-
2928
I
trar la función que tienen ciertos concetos ciertos estudiantes en situaciones bien
una llave característica en la tradición europea de psicología hermenéutica.
Fácilmente se pueden extraer consecuencias, pero llevará tiempo entenderlas: la construcción de teorías relativas al proceso ñanza-aprendizaje tiene que incluir el conocimiento mutuo de todos los participantes -maestros y estudiantes— Por tanto, la teoría sólo es posible como (meta) teoría explicativa subjetiva. Esto se puede entender como una orientación principal para el futuro trabajo de investigación.4. Tareas futuras.
La revisión de más de 3000 investigaciones referentes al tema conduce a la convicción de que los docentes de matemática —intermediarios entre la investigación y la práctica escolar— no pueden restringirse a seleccionar en el rico cuerpo de conocimiento producido por las ciencias pertinentes e interpretar esos resultado para uso práctico. Por lo contrario, al definir sus propias cuestiones y problemas aparece un déficit considerable, una carestía en medio de la abundancia. Más aun, dado que la investigación pertinente se hace en otras disciplinas con objetivos e intereses no directamente dirigidos a la promoción de las enseñanza de la matemática y como es difícil conseguir que una disciplina adapte sus estrategias de investigación para que las usen otras disciplinas, los educadores matemáticos tendrán que desarrollar sus propios métodos. Por su función de trasmisión, no podrán restringirse explícitamente a los métodos estrictos de sociometría ni podrán perderse en la falta de control y no replicabilidad de la acción pragmática.
La investigación y el desarrollo en una disciplina de educación matemática tendrá, pues.
apropiado de sus construcciones y corregir su concepto. Las situaciones sociales están determinadas en gran medida por experiencias preliminares, los sistemas de valores y las esperanzas de los que participan en ella. Por tanto en lugar de percibir objetivamente lo que hace el alumno, el maestro lo ve a través de sus esperanzas y de las atribuciones causales que formula. Lo mismo ocurre con la relación del estudiante con el maestro. Se necesita una investigación cuidadosa para derivar implicaciones del desarrollo individual del estudiante, para estimar sus realizaciones, para la habilidad del grupo, y así sucesivamente. Confirma 'la importancia de este punto de vista la "especificidad de situaciones" que se usa crecientemente .para explicar resultados contradictorios o no significativos en trabajos de investigación.
3.1.2. Sin duda, la intensa discusión del «prejuicio cultural en las pruebas también se aplica para la accesibilidad de conceptos matemáticos. Numerosos informes de experiencias con introducción de la "nueva matemática, particularmente en países en desarrollo, proporcionan los detalles.
Las diferencias gramáticales o semánticas entre lenguajes provocan influencias positivas y negativas en la comprensión, lo mismo que el contexto general de culturas diferentes. Esto ha herido la sensibilidad de investigadores de países desarrollados sobre la posible interferencia con el aprendizaje causado por diferentes bases sociales. Esto se refiere a todo el marco de diferencias posibles, desde modelos generales de comportamiento hasta el significado connotativo de conceptos. De aquí que una sociología de conocimientos y de estrategias pertinentes de comportamiento en educación matemática, deba ser desarrollada.
3.1.3. Los problemas de un desarrollo' matemático propio y la educación individual del estudiante no encontrarán soluciones adecuadas hasta que tengamos un análisis cuidadoso de las causas de las diferencias individuales y desarrollemos diagnósticos para ayudar al maestro, proveyendo la preparación correspondiente durante el adiestramiento y obteniendo conclusiones para la organización de la escuela.
3.2. Dimensión del contenido deI proceso de aprendizaje de la matemática.
Debemos subrayar las dificultades ya indicadas. Parece necesario investigar el proceso de aprendizaje. Esto significa que cuidaremos cómo se están aprendiendo ciertos conceptos -en lugar de crear teorías generales sobre la formación del concepto. Tenemos que
que producir sus propios métodos. Vale decir, tendrá que lograrse una precisión adecuada para que los resultados sean directamente accesible a los maestros y estén abiertos al control científico.
Lo legítimo para los investigadores —esto es, sumergir sus investigaciones en un sistema y sólo uno (filosofía, teoría, método) porque la verdad científica esta sólo en un sistema tal —y lo que es necesidad imperiosa para el maestro- esto es la unilateralidad de sus decisiones reales en un contexto dado y bajo la severa presión del tiempo —no está permitido para el docente de matemática en su función trasmisora. No debe reducir la complejidad siguiendo maneras usuales de investigación ni debe perderse en un pobre pragmatismo orientado sino que debe desarrollar su propio auto- concepto.
Pero la sobrestimación de la educación matemática tiene que evitarse. Los docentes de matemática y los maestros deben aprender:
* Cómo sobreponerse a una realidad muy compleja con una variedad de teorías explicativas que son potentes sólo en ciertos aspectos, pero que no son integrables y aun que son contradictorias.
* Cómo trabajar con una variedad de sistemas descriptivos generales (ideologías o filosofías) que permiten una descripción óptima sólo en ciertos aspectos en detrimento de su aspiración a la totalidad, pero que no funcionan en otros aspectos, y
* Cómo manejarse con una variedad de métodos para la investigación la enseñanza que- raramente concuerdan, pero que son tan viables para la historicidad, como por ejemplo, los sistemas descriptivos y las teorías explicativas.
paradeterminadas y las relaciones y significados
una visión a largo plazo. Seque generan en adquieren nuevas ideas para describir la "materia enseñada" y la "materia aprendida". Lo mismo ocurre con los métodos de investigación que no deberán restringirse a la réplica de rutinas disponibles. En este aspecto, podría ser importante investigar los modelos de enseñanza y reglas de interacción intuitivas y usualmente no reflejadas que emplean con éxito algunos
ense-
maestros.3.3. Dimensión teorética de /a investigación.La precariedad de la situación en las cien
cias sociales impíricas parece estar cerca de una crisis y condujo a creer que en la terminología de Kuhn va a ocurrir un cambio de paradigma. Especialmente, esto en verdad la psicología. Los métodos de investigación que siguen esencialmente el ejemplo' de las ciencias naturales están en duda. Pero acaso la dificultad no resida en los métodos empleados sino en la determinación del área en que se los ha de aplicar. Los resultados de una investigación están siempre determinados a priori por las teorías fundamentales sobre las cuales se
l
desarrollaron las hipótesis. Cuando menos sólidas son las bases teóricas del trabajo empírico, son más severas las diferencias que encuentra y es más difícil que conduzcan a nuevas teorías. Si se está gestando un cambio de paradigma, entonces será un cambio fundamental para entender el objetivo y el propósito de la investigación; el paradigma conductista ha entrado en serias dificultades debido a su definición del hombre como impulsado por fuerzas desconocidas, reaccionando predominantemente a estímulos externos, y como objeto cuyo comportamiento puede determinarse controlando su meaio ambiente. Este punto de vista admite, por ejemplo, a la autorreflexión variable central interviniente. El punto de vista opuesto es el del hombre como sujeto reflexivo y usa sus teorías subjetivas para la explicación de su medio ambiente y deduciendo su actividad de estas teorías explicativas.
En contraste con los modelos conductistas, este modelo es aplicable a sí mismo: la relación asimétrica entre subjeto y objeto se abandona en favor de una relación esencialmente simétrica entre ambos.
Las teorías subjetivas explicativas pueden ser criticadas en términos de racionalidad psicológica y viceversa. Aquí puede decirse cierta satisfacción
i
.
como XI. LA TECNOLOGIA EDUCATIVAR. HEIMER
(Estados Unidos)
Muchos educadores sienten que los desarrollos tecnológicos recientes, particularmente los vinculados a las computadoras, pueden llegar a tener un impacto similar o incluso mayor que el del libro, que fue el mayor avance tecnológico de hace 500 años, cuyo efecto sobre la educación del docente fue sin duda revolucionario. Las causas de este optimismo son, por supuesto, consecuencia directa de los atributos pedagógicos de las nuevas tecnologías, entre las que se destacan las siguientes:
La interpretación de tecnología educativa que se usará en este trabajo se referirá a "los instrumentos inacidos de laf revolución de las comunicaciones que se pueden usar junto al maestro, el libro y el pizarrón con propósitos educativos". La razón de este tratamiento reside en que los medios de interés, incluidos filmes, diapositivas, televisión y computadoras, penetraron independientemente en la educación y operan más bien en forma aislada que en combinación.
conencon que esta simetría constituye
3130
I
'i ra en "cassettes". A pesar del continuo desarrollo habido en los filmes cinematográficos y a cuadro fijo para uso matemático, existe una marcada tendencia a construir equipos didácticos que integren distintos medios de comunicación, y un pronóstico a largo tiempo parecería indicar que aumentarán tanto su desarrollo como su uso.
Básicamente, la televisión tiene las mismas características pedagógicas que los filmes cinematográficos. Sin embargo, las condiciones y consideraciones pedagógicas que regulan el uso de la televisión en el aula difieren algo de las correspondientes a los filmes. "El filme es un medio usado por el maestro que está bajo su control. La televisión, a nivel nacional, es esencialmente un medio que usa el maestro. "Ocurre que el maestro, o la escuela, que deseen usar un programa televisivo, deben organizar horarios adecuados a los de emisión y, en general, deben adaptar otros aspectos del programa educativo a las emisiones. Por tanto, la televisión impone una estructura más rígida en el aula y para el maestro. Una de las primeras consecuencias de este hecho es la necesidad de disponer de considerable cantidad de material para suplementar a las emisiones televisivas.
La importancia de la dimensión visual del aprendizaje y empleo de matemática lleva a la suposición superficial de que la tecnología radial tendría muy pequeña influencia en la educación matemática, pero el concepto de radiovisión, esto es, radio acompañada por diapositivas eléctricas, está surgiendo y promete ser un medio efectivo para llegar hasta alumnos de áreas fuera del alcance de otros medios básicos de comunicación. Actualmente están en marcha gran cantidad de programas de televisión y radiovisión en varias partes del mundo; hay buenas razones para creer que estos medios podrían tener importante papel en el mejoramiento de los sistemas educativos en las partes subdesarrolladas del globo en donde se busca un progreso rápido de la ciencia mate-
culadas con las computadoras son los filmes, diapositivas, cintas grabadas, grabaciones de televisión, televisión y radiodifusión.
Los atributos y posibilidades pedagógicos de medios de comunicación son algo diferen-
el manejo del aprendizaje en el aula, el registro de las notas y el suministro de información están considerados típicamente dentro de su esfera de acción.
Claro es, pues, que el concepto de instrucción administrada por computadoras está asociado con dos de las principales preocupaciones pedagógicas de la empresa educativa: la responsabilidad y la individualización de la enseñanza. Resulta así que mientras estas preocupaciones sigan a la vanguardia del pensamiento educativo, sería de esperar que la tecnología de la instrucción administrada por computadoras no sólo se torne cada vez más sofisticada sino que también se convierta en una fuerza cada vez más potente en la conducción de la instrucción y el aprendizaje en el aula.
1. Estos métodos tecnológicos pueden hacer cosas —pueden crear situaciones de aprendizaje— que no podrían cumplirse de otra forma (ejemplo: llevar al aula sucesos de la vida diaria). .
2. Pueden usarse para presentar información en diversas formas, satisfaciendo objetivos particulares de prendizaje.
3. Si se varía el medio de comunicación, la información puede presentarse a núcleos de tamaño muy diferente —desde individuos hasta audiencias nacionales— y en forma simultánea.
4. Cos instrumentos tecnológicos pueden hacer más efectivo el aprendizaje aumentando el realismo, la dinámica y el impacto de la información; pueden aumentar la motivación para aprender.
5. Algunos medios de comunicación, como la televisión, pueden poner los mejores maestros y las situaciones más favorables para el aprendizaje al alcance de mayor número de estudiantes.
6. Permiten superar limitaciones comunes en las situaciones de aprendizaje reforzando la experiencia y los antecedentes de maestros y alumnos. Además, pueden superar las limitaciones impuestas por el edificio escolar y la situación geográfica.
7. Pueden permitir la individualización de los planes de estudio presentando la misma información o, con alguna variante, a estudiantes distintos en momentos diferentes.
8. Los nuevos instrumentos tecnológicos pueden permitir a los estudiantes trabajar en muchas circunstancias sin la guía o supervisión del maestro, liberando a este último de la necesidad de atención individualizada.
9. Su uso permite alcanzar algunos de los objetivos educativos en forma más económica que los métodos tradicionales.
10. La educación puede volverse más eficiente usando instrumentos adecuados para dirigir la información a ciertos grupos en períodos más cortos que los habituales.
11. Las demandas de nuestro sistema educativo requiere la consideración de todos los métodos posibles para mejorar la educación. El uso de los nuevos medios tecnológicos fuerza a los educadores a examinar de más cerca sus métodos y objetivos.
Cada medio individual (tecnología) tiene sus propias virtudes y limitaciones pedagógicas que el educador debe conocer para planificar su éxito de manera efectiva, sea en forma individual o conjunta.
Las tecnologías de interés especial no vin-
;
esostes. En el caso de los filmes cinematográficos, las principales ventajas residen en la posibilidad'de una mayor motivación, de brindar a los estudiantes experiencias que no podrían lograrse de otra manera, incorporar la ilusión del movimiento, de hacer uso de la cámara lenta y la microcinematografía.
Pero en general los filmes cinematográficos no proporcionan medios de aprendizaje sensibles, vale decir, no están preparados para dialogar con los estudiantes ni para adaptarse a sus reacciones. Por tanto, una adecuada incorporación de filmes cinematográficos a la estructura del aula requiere del maestro mucha planificación y preparación. Esto también se aplica al montaje y manejo de los equipos habituales de proyección, todo lo cual frenó el uso de la cinematografía con propósitos educativos. Afortunadamente, el desarrollo de los proyectores de 8 mm a cartucho ayudó a simplificar el problema en la década del 60.
iEl término instrucción auxiliada por com
putadoras (C.A.I.) se usa para indicar el empleo de las computadoras como máquinas de enseñar, realizando las funciones de instructor, examinador y ejercitador. Por tanto, las características metodológicas de este método son en esencia las mismas que los futuristas de hace veinte años le atribuían a la instrucción programada. La instrucción auxiliada por computadoras ofrece, sin duda.,al estudiante oportunidad para avanzar sobre una base individual, en lo que se refiere al contenido, velocidad y manera de aprender. Puede ofrecer la oportunidad para demoler las monolíticas unidades educativas tradicionales, que comienzan y acaban en momentos específicos y a las que todos deben adaptarse. Puede ser un medio alta-
interactivo (sensible) para el aprendi-
Los profesores de matemática parecen preferir los filmes con cuadros fijo a los cinematográficos, lo que se puede explicar por ser más fáciles de guardar y más accesibles y simples para usar. Otro motivo puede ser que muchos temas de matemática, por su misma naturaleza, deban desarrollarse de forma determinada. Al proyectar un filme de cuadros fijos, cada uno de ellos se puede ver y discutir todo el tiempo necesario, el maestro puede detener^’ la proyección y contestar preguntas en el momento en que se las formula y, si se desea, se puede volver atrás para reexaminar algunos cuadros anteriores. Estos filmes tienen la flexibilidad de poder usarse tanto clase completa como para un alumno. Algunos filmes de este tipo están coordinados con grabadores de sonido, combinación que permite lograr un medio de aprendizaje mas rico. Los alumnos, en grupo o individualmente, pueden emplearlos casi del mismo modo que los filmes a cartucho.
Lo dicho para los filmes de cuadro fijo vale para las diapositivas de 35 mm. Aun cuando son algo más incómodas para guardarlas y manejar que los filmes a cuadro fijo, la tecnología de las diapositivas tiene la especial virtud de permitir cambios y agregados a las secuencias educativas con propósitos especiales. Las cintas grabadas de televisión
mentezaje, capaz de adaptarse a los resultados particulares obtenidos.
Tiene posibilidades de adquirir informes muy sofisticados sobre la actuación del estudiante y de analizarlos, liberando así al profesor de gran parte de la rutinaria labor de registro que muchas veces le impide dedicarse a la real actividad de enseñar. Pero, tanto la instrucción administrada como la auxiliada por computadoras son ideas educativas que están aún en su infancia y, por tanto, los muchos análisis y pronósticos actuales sobre ellas y sus potencialidades para producir un impacto real en la educación deben ser atemperados por este hecho.
En conclusión se pueden individualizar varias tendencias acerca del desarrollo y uso de los medios tecnológicos:
1. Hubo un mejoramiento masivo y continuo de los equipos asociado? a las diversas
para una
ria.Las tecnologías relacionadas con las compu
tadoras que interesan son la instrucción administrada por computadoras y la auxiliada por las mismas.
La computación administrada por computadoras (C.M.I.) es una de las formas en que las computadoras se usan cada vez más en educación. Como el término lo sugiere, este tipo de ayuda usa a la computadora como un administrador; el registro de los éxitos del estudiante.
se encuentran aho-3332
En algunas discusiones sobre matemática aplicada suelen aparecer muchas dificultades innecesarias debido a las discrepancias en la definición que no se hacen explícitas. Creemos que debe pensarse en cuatro diferentes definiciones.
1. Matemática aplicada significa matemática aplicada clásica, esto e$¿las ramas tradicionales del análisis, parte de las cuales se aplican a la física.
2. Matemática aplicada es toda matemática que tiene aplicaciones prácticas importantes. Esto incluye todo lo que universalmente se admite en las escuelas primarias y secundarias, en casi todo el nivel terciario y en mucha de la matemática superior. En este enfoque, a ojos de mucha gente, la probabilidad, la estadística, el álgebra lineal y las ciencias de la computación son tan importantes como el análisis clásico.
3. Matemática aplicada significa partir de una situación planteada en alguna > otra ciencia o en la vida real, hacer una interpretación matemática o modelo, trabajar matemáticamente en ese modelo y aplicar los resultados a la situación original.
4. Matemática aplicada significa lo que realmente hacen las personas que aplican matemática. Esto es lo mismo que (3) pero usualmente implica ir alrededor de la curva entre el resto del mundo y la matemática.
En este marco, la matemática aplicada clásica representa la definición 1; la matemática aplicada, la definición 2; una vuelta completa alrededor de la curva que conecta el resto del mundn con la matemática, es la definición 3, y muchas vueltas alrededor de dicha curva es la definición 4.
Es interesante considerar también nuestro diagrama de la forma siguiente. Las aplicaciones de la matemática pueden consistir en usos rutinarios de la matemática, construcción de pequeños modelos, matematización completa de situaciones reales, y una verdadera aplicación de la matemática en gran escala.
Nos proponemos examinar el diagrama muy detenidamente. El contenido de la matemática clásica aplicada (definición 1) incluye cálculo, varios tipos de ecuaciones diferenciales e integrales además, tal vez, de los prerrequ¡sitos para el cálculo: álgebra, geometría y trigonometría en las escuelas. La matemática aplicable (definición 2) es demasiado amplia para ser detallada aquí. Una de sus características importantes es que no sólo las técnicas sino también los conceptos y las estructuras matemáticas
y pueden manejarlos fácilmente estudiantes y maestros. Las computadoras son cada día más accesibles para el trabajo diario en el aula.
2. Las tendencias en la producción de material audiovisual son paralelas a la de los equipos. Filmes cinematográficos, filmes de
tienen aplicaciones. Hay un cambio constante entre la matemática y sus aplicaciones con un efecto dinámico para la misma matemática. Areas de la matemática que originalmente muchos consideran como puras —por ejemplo, las funciones enteras, resultaron tener importantes aplicaciones prácticas, y además se inventaron otras para ser aplicadas, por ejemplo, la teoríade la información, que resultaron tener importante influencia en la matemática pura.
El resto del mundo para el cuál la matemática es aplicada, está también en un proceso dinámico. Ninguna área del esfuerzo humano es inmune al razonamiento cualitativo o a los modelos matemáticos. Además de las ciencias físicas e ingeniería, las ciencias sociales, las biológicas, las humanas y la vida* diaria, todas están en interacción con la matemática. Esta diversidad de aplicaciones actuales de la matemática, puede compararse con el monolito histórico de las aplicaciones a la física. Las discusiones entre los que subrayan la gran variedad de aplicaciones de años recientes, y los que sienten que su impacto actual no puede compararse con la acumulación de 200 años de éxitos fisicomatemáticos.
Cuando se aplica realmente la matemática a una situación en alguna otra área, se pueden distinguir en el proceso una serie de pasos típicos. El primero es reconocer que una situación se debe comprender; el segundo, una tentativa de expresar la situación en términos matemáticos precisos, de realizar trabajo matemático en el modelo derivado, (frecuentemente) trabajo numérico para lograr un discernimiento mayor en los resultados y una evaluación de lo aprendido sobre la situación externa original. Este proceso de construir modelos tiene muchos atributos interesantes y tam- bién desventajas. Un buen modelo hasta cierto punto, tiene éxito para explicar o incluso predecir una realidad externa. Si falla en la explicación, a pesar de lo satisfactoria que pueda ser la matemática empleada, el modelo no es buena matemática aplicada y debe cambiarse. Algunas veces un modelo matemático predice mucho en lugar de poco. Puede ocurrir que un fenómeno observado en otro campo sea realmente explicado en forma satisfactoria, pero que las implicaciones lógicas ulteriores no sean aceptables. Tal situación nos lleva de nuevo a un trabajo muy difícil y a cambios de modelo. Los objetivos para los cuales se ha creado el modelo matemático son también muy variados, yendo desde la comprensión a la acción. La posición común de que el objetivo
tecnologías. Hace pocos años, los proyectores grabadores de televisión eran manejados por especialistas en métodos audiovisuales o por algunos profesores aventureros, nunca por los mismos alumnos. Gran parte de los equipos que se usan hoy tienen controles automáticos
Podemos visualizar a estas cuatro definiciones así:
'ffíaif&ffuuicaajJUoauLcLcSát^
T
'irtuimAoi ajdUccMty
cuadro fijo y diapositivas, por ejemplo, se producen actualmente en gran cantidad para satisfacer necesidades educativas específicas.
3. La aplicaciones de la televisión educativa continúan creciendo^ es hoy común en muchos países la trasmisión nacional de programas instructivos. Es de esperar que los países en desarrollo adoptarán esa práctica.
4. Los métodos de instrucción están tendiendo al aprendizaje individual lo que a su vez impone la necesidad de cierto grado de flexibilidad mucho mayor. Allí es donde la tecnología parece tener su mayor potencial.
En 1972, la Comisión Carnegie para la Educación Superior publicó el informe "La cuarta revolución" en donde se examina el papel de la tecnología en educación. El título provino
de la observación de Eric Ashb y, de que en educación hubo cuatro grandes revoluciones. Según Ashby, la primera ocurrió cuando la tarea de educar a los jóvenes se transfirió en parte de los padres a los maestros y de la casa
la escuela; la segunda fue la adopción de la palabra escrita como herramienta para educar; la tercera fue la invención de la imprenta y la amplia disponibilidad de libros, la cuarta fue el desarrollo de la electrónica, especialmente la radio, la televisión^ las computadoras, aunque claramente, la computadora impera- en la cuarta revolución. Esta ¡dea es de máxima importancia para analizar la tecnología temporánea. La computadora es fundamental por su vasto potencial para producir impactos educativos generales.
a
con-
XII. LA MATEMATICA Y LAS OTRAS DISCIPLINASH. O. POLLAK
(Estados Unidos).
con las relaciones entre la matemática y las otras disciplinas. Usaremos luego la estructura sistemática que habremos desarrollado para examinar ampliamente las tendencias y resultados de la enseñanza de la matemática.
El objetivo de este informe es presentar una visión general de las consecuencias educativas de las aplicaciones de la matemática. En primer término, eso significa que debemos comprender lo que realmente está ocurriendo
3534
estudios para colegios primarios y secundarios. Las metas tradicionales de preparar estudiantes
el comercio o el cálculo (asociado a la
está determinado esencialmente por el campo de aplicación, es muy simplista. Por ejemplo, no es necesariamente verdadero que la aplicación en la ciencia física siempre lleva a la acción, y que los modelos en ciencias sociales nunca lo hacen.
El cuadro general de las aplicaciones de la matemática no estaría completo sin una discusión de la verdadera actividad interdisciplinaria. Muchos de los trabajos más interesantes que aparecen están, de hecho, en los límites entre diversos campos, uno de los cuales es la matemática.
Ahora ya hemos establecido la estructura para examinar los efectos de las aplicaciones de la matemática en educación. La mayor parte de la matemática que se aplica en las escuelas, cualquiera sea la definición admitida, se encuentra dentro de las actividades llamadas "resolución de problemas". El significado de esta expresión debe ser examinado cuidadosamente. Aplicaciones genuinas de la matemática a la vida diaria y a otros campos, deberán estar idealmente en el carácter de las definiciones 3 y 4. Problemas en los que se emplean palabras de otras disciplinas, pero descuidan la influencia del resto del mundo en la matemática implicada por la definición 3, pueden no obstante ser una abstracción honesta del resto del mundo. Por otra parte, los hechos citados en las proposiciones del problema, son algunas veces muy poco realistas. Algunas veces, los problemas están cubiertos por un manto de vocabulario externo sólo por entretenimiento y la pretendida aplicación no es significativa como para ser considerada seriamente. Diremos que tales problemas son extravagantes. Problemas extravagantes e irreales no carecen necesariamente de valor pedagógico. Por ejemplo, puede ser efectivo empezar con una sobresignificación insatisfactoria de una situación y aproximarla a una aplicación legítima en el sentido de la definición 4 a través de una serie de problemas cada vez más realistas.
En muchos países, la creciente conciencia acerca de la importancia de enseñar la aplica- bilidad de la matemática llevó a un gran esfuerzo para coleccionar problemas reales, a diferentes niveles y de diversas disciplinas, y hacerlos útiles para fines pedagógicos. Tendremos ocasión de referirnos a algunas de estas colecciones y de asociar nuestro esfuerzo para incorporarlos en el curriculum.
La diversidad de la matemática aplicada (definición 3) surgida en los años recientes, complicó mucho la tarea de diseñar planes de
de aplicaciones de la matemática, o de materiales realmente interdisciplinarios, están en marcha en diferentes países. Hasta ahora parecen predominar en los niveles primarios y terciario que en el secundario.
Así como la enseñanza de la matemática cambia a la luz del crecimiento de su aplicabi- lidad, también debe modificarse la preparación de los profesores. Los profesores deben familiarizarse con las nuevas áreas de aplicación de la matemática, con los procesos de construcción de modelos y con los énfasis pedagógicos asociados a la comprensión y apertura de fines. Una nueva idea, muy interesante es un "internado industrial" para actuales o futuros profesores de matemática. De esta manera, el profesor podrá aprender algo sobre cómo son realmente aplicables las ciencias matemáticas. Hay una serie notable de sarrollos en ese senti- do.por ejemplo en Gran Bretaña y en la República Popular China.
Otro aspecto educativo de las explicaciones matemáticas es la educación vocacional. Así como la importancia de las ciencias matemáticas aumenta para muchas disciplinas, también aumenta la necesidad de que trabajadores y técnicos en estas disciplinas aprendan las técnicas matemáticas más apropiadas. Notables materiales vocacionales en una zona variada de áreas técnicas han sido desarrolladas en distintos países, Hungría, por ejemplo. Un desarrollo diferente pero con el mismo espíritu, es la creciente popularidad de planes de estudios especiales para técnicos en ciencias de la computación y análisis de datos
necesario para organizarse en la escuela? Estos problemas todavía no fueron resueltos;'una respuesta posible es la de un equipo de profesores. Es universal la orientación hacia una matemática más aplicada en los colegios. En algunos casos el punto de vista que se aplica deriva de reflexiones más hondas sobre la estructura social del país. En otros, es parte de la reacción contra la "nueva matemática", o un reconocimiento de la creciente matematiza- ción de dichos campos. Muchas son las fuerzas que apoyan la tendencia de hacer más aplicaciones. Existe la creciente realidad de que las aplicaciones son parte integrante de la enseñanza de la matemática. Muchos países han concluido que motivar al estudiante es mucho más fácil si se emplean aplicaciones como una motivación posible. El reconocimiento de que las oportunidades de trabajo para estudiantes de matemática en todos los niveles aumentan cuando saben cómo aplicar la matemática, ha ayudado mucho, argumento que también se encuentran aplicaciones más interesantes, en parte debido a la extensión de la matemática a disciplinas más aplicadas.
También hay fuerzas que se oponen a las aplicaciones de la matemática en la enseñanza. Algunos matemáticos creen fundamentalmente en la matemática pura y no desean, desde su punto de vista, corromper la belleza de la matemática con consideraciones extrañas a ella. Acaso algunos profesores de matemática ignoran otras disciplinas o acaso las teman. En el pasado, después de todo, enseñar matemática ha sido una posible manera de ganarse la vida teniendo relativamente poco contacto con el mundo real. Además, lo hemos visto, el tiempo para la matemática aplicada debe sacarse del que se dedica a la matemática u otras materias, y siempre existirán los que se opongan a tales cambios. También hay dificultades provenientes de las materias en que se aplica la matemática. Muchos profesionales de esas disciplinas no usan mucha matemática y no conocen los recientes desarrollos analíticos en sus áreas. Todavía más: la manera de usar la matemática realmente puede diferir de la manera de enseñanzarla en la clase de matemática. Tales diferencias, por ejemplo en notación y técnicas específicas,'vuelven difícil la comunicación. Finalmente, en algunos países hubo marcada declinación del interés de los estudiantes por la ciencia. Tal eventualidad podría privar a la enseñanza de la matemática de algunas de las más importantes aplicaciones de la matemática.
paradefinición 1) dejaron de ser las únicas válidas cuando tantas otras áreas de la ciencia matemática son de indiscutida importancia para tanta gente en el mundo. Al aumentar el número de elecciones razonables, aumenta también el grado de dificultad para formular planes de estudio En muchos países ya se haaclarado que se necesitará algo más que un conjunto de nuevos materiales. Más aun, los países necesitan examinar el orden parcial entre los temas matemáticos determinados por la observación de que en ese momento particular, el tema A es socialmente más importante que el tema B. Es esencial observar que esta ordenación parcial importante diferirá en los •distintos países y quizás en diferentes regiones de un mismo país. Llevar un curriculum de un lugar a otro del mundo probablemente nunca fue bueno, pero hoy es más cuestionable toda-
!
vía.Una apreciación de las diferentes formas de
aplicar la matemática afectará no sólo al material de estudio de los colegios sino también a la pedagogía. Si sólo se examinan los usos relativamente simples de la matemática, se encuentra que es necesario entender cuándo, cómo y por qué trabaja la matemática para poder aplicarla correctamente. Así, el deseo natural de los profesores de matemática de subrayar la comprensión tanto como la técnica se ve reforzado, no contradicho, por las aplicaciones. Más profundamente, el proceso de construcción de modelos (definiciones 3 y 4) requiere comprender la situación fuera de la matemática, y del proceso de matematización tanto como de la matemática en sí misma. La gran flaqueza de algunos cursos con títulos como "métodos de matemática aplicada" es que no se hace ninguna tentativa para dar oportunidad al estudiante de entender la situación y el proceso de matematización. Algunas colecciones de problemas reales mencionadas anteriormente esperan superar esas dificultades.
:
Enseñar lo multidisciplinario es realmente más fácil en la escuela primaria donde,normalmente, un solo docente es responsable de todas o casi todas las materias. Tales actividades multidisciplinarias satisfacen a los alumnos y ayudan a eliminar cualquier sentimiento que pueda tener el alumno acerca de que el colegio no tiene nada que ver con la vida real. Por otra parte, el tiempo para tales actividades debe compartirse con los de las diversas disciplinas comprendidas. También es muy útil para los profesores haber participado en actividades multidisciplinarias como parte de su formación. En el nivel secundario, las consecuencias sobre la estructura del sistema educativo son mucho más severas. Si una unidad comprende matemática, ciencias sociales y literatura, todas en forma significativa ¿quién enseña rá la materia? , ¿de dónde sacará el tiempo
La interacción entre matemática y otras disciplinas implicadas por la definición 4 es claramente abierta. Por tanto, es muy valioso para el alumno, tener experiencia modeladora abierta en el curso de pedagogía, ya que se ha reconocido hace mucho tiempo que enseñar dialogando es una componente pedagógica muy importante en matemática. Experiencias en la enseñanza de descubrimientos abiertos
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ALGORITMOS Y CALCULADORAS EN LA ENSEÑANZA sobre el uso de la computadora en el aula y especialmente en su propia materia. El inconveniente es que la mayoría de los científicos- de la computación no están calificados satisfacer las necesidades de nuestros futuros maestros de matemática. Necesitamos textos de alta calidad en matemática orientada hacia la computación y que puedan usarse para sos. Un comité' integrado sólo por científicos de la computación no puede programar tal curso.2. Algoritmos en la escuela
Los algoritmos siempre desempeñaron un papel muy importante en la matemática escolar. Sin embargo, la falta de una herramienta eficiente para ejecutar los cálculos impide una actitud algorítmica concienzuda. Raramente se práctica el uso y análisis de los algoritmos. Por lo contrario, los niños fueron usados como calculadores programables para trabajar con algunos algoritmos comunes que debían ser memorizados antes de que fueran realmente comprendidos.Por ello, cayeron en descrédito entre los docentes de matemática. Sin una actitud algorítmica, un profesor sólo puede hacer un uso superficial de la computadora. Por ello, la matemática escolar debería reestructurarse desde un punto de vista algorítmi-
como preparación para el álgebra? ¿Es la calculadora de bolsillo adecuada o perjudicial para aprender los elementos básicos de la aritmética?
XIII J■
A. ENGEL (Alemania)
dad de las actividades Icompu tato rías es mucho más escasa. La mayoría de los profesores realizó su tarea computativa sólo con calculadoras de escritorio. En EE.UU. sólo el 17 por ciento de los usuarios depende sólo de calculadoras de escritorio. Pero esta modesta participación aumenta a medida que se abaratan las computadoras y son más potentes,versátiles.
Tipo de computadora usadaExisten dos usos principales de la computa
dora en educación, con filosofías opuestas: CAI y resolución de problemas. Los proponentes del CAI usan a la computadora como a un profesor, en tanto que los segundos lo usan como a un alumno. En CAI la computadora controla al estudiante en tanto que en el tipo de resolución de problemas el estudiante es un control de la computadora.
Entre 1960 y 1970 se hizo un gran esfuerzos con el CAI con resultados decepcionantes. Pero ahora dos grandes proyectos, CAI-PLATO y TICCIT, dan alguna esperanza. Nosotros no tratamos el tipo CAI pues a é\ se referirá otro informe.
La filosofía del tipo resolución de problemas se puede caracterizar así: La mejor manera de aprender algo es enseñándolo. La computadora desempeña el papel de “estudiante modelo". Este estudiante es muy exigente puesto que obliga a expresar en forma de algoritmo el tema a enseñarse. Se afirma que ésta es la mejor manera de aprender un tema.
Actualmente, la mayoría de los usos de la computadora son nuevamente superficiales. Sin embargo, existen centenares de escuela donde profesores y alumnos usan a la computadora de modo muy creador. Han demostrado que la computadora almacena un tremendo potencial para la educación. En diversos programas se están explorando sistemáticamente los posibles usos de la computadora. Por ejemplo, el proyecto LOGO dirigido por S. Papert de ITM, el proyecto SOLO, dirigido por T. Dw/er de la Universidad de Pittsburgh, y el proyecto XEROX del centro de investigación de Palo Alto, California.
Los problemas más críticos que impiden la r ¡fusión del uso de la computadora son al dinero y la preparación de los maestros. Profe- j0rf" todos los niveles deben ser educados
para4. Los niños podrían operar con números
pequeños para comprender el sentido de la numeración posicional y hacer estimaciones aproximadas. Pero para ello necesitarían de más aproximaciones, notaciones científicas, órdenes de magnitud, errores de contorno, figuras significativas, notaciones en punto fijo y en punto flotante, errores relativos y absolutos. Los números decimales se deben introducir rápidamente.
5. El docente necesita ser ayudado mediante ideas y material escolar.
6. Las técnicas de computación antiguas con logaritmos y reglas de cálculo se deberían abandonar sin demora.
7. ¿Necesitamos tablas todavía? De ser así, ¿qué deberían contener? ¿Una colección de algoritmos básicos y algunos valores de alta precisión de funciones elementales para usarse como patrones de comparación?
8. Para la instrucción matemática provisional, la calculadora de bolsillo es enteramente adecuada. Sus pequeñas desventajas con respecto a la computadora son equilibradas por ventajas tales como su ¡limitada accesibilidad. Ello nos fuerza también a usar algoritmos numéricos eficientes que, a la vez, son también más instructivos. La busca de algoritmos eficientes es un motivo muy fuerte para profundizar el estudio de las propiedades de las funciones elementales.
9. En la escuela elemental, es adecuada la calculadora de cuatro funciones con una memoria por lo menos. Esta podría ser probablemente una máquina algebraica. En los comienzos de la escuela secundaria necesitamos una calculadora de por lo menos siete funciones:
,X,-K x2.Vx, 1/x. Más adelante necesitaremos además: exp., sen, eos, tg y sus funciones inversas.
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1. Uso de la computadora en la escuela secundaria. cur-Disponemos de datos de los EE.UU sobre el uso de computadoras en las escuelas secundarias públicas. Veamos algunos dalos de 1975.
:El problema del lenguaje. BASIC se ha convertido en el lenguaje predominante en las computadoras. En verdad, BASIC es inadecuado para la ciencia de la computación, pero para la matemática es un lenguaje satisfactorio. Nuevas versiones del lenguaje las tienen las estructuras de control (¡f-then-else-, do while, do unti’l) que son esenciales para la programación estructurada. Para nosotros, la programación estructurada no es crucial pues, en la mayoría de los casos, los programas son cortos y profundos en matemática. En Europa se desarrollaron varios lenguajes especiales para uso escolar. Nosotros no los necesitamos.
i
Extensión del uso de la computadoraEn 1975, el 58 por ciento de las escuelas
secundarias usaban la computadora en la administración y 10 en la instrucción. No obstante, el 54 por ciento de esas instituciones usaban la computadora sólo con propósitos administrativos. Unicamente el 27 por ciento de las escuelas hicieron algún uso educativo. El 43 por ciento de los cursos que lo usaron fueron de matemática. En general, las escuelas que usaron computadoras son más grandes que las que no lo hicieron. De manera que las escuelas que usan computadoras con fines educativos podrían representar más que una tercera parte de la población total estudiantil.
Existe marcada deficiencia en las terminales. El número medio de terminales usadas por escuela es de 5, pero su distribución es muy desproporcionada. La moda, es decir el número más frecuente de terminales.es 1. Usualmente intervienen uno o dos profesores por escuela. De esta manera, el número real de estudiantes que usan la computadora tiende ser muy modesto y la profundidad de es meramente superficial. En resumen, existe escasez de dinero, de profesores competentes, de buenos textos y de intercambio de información. La mayoría de los profesores parten casi de la nada.
En Europa Occidental y Japón, la intensi-
co.La calculadora de bolsillo basta para iniciar
una reorientación eficiente. Como los algoritmos son más importantes que la computadora, la parte principal de nuestro informe se refiere a algortimos, no a computadoras:3. La calculadora de bolsillo
Las calculadoras de bolsillo son tan nuevas que sólo podemos hacer algunas preguntas y conjeturas. No se dispone -aún de datos empíricos.
I
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1. En un futuro cercano, la influencia de la calculadora de bolsillo será mayor que la de la propia computadora.
2 Por el precio de un libro (10 dólares) y algunas instrucciones, el niño adquiere una destreza computatoria mayor que la que le brindarían muchos años de destreza y práctica con lápiz y papel. Podemos ahorrar cientos de horas de manipuleos aritméticos y usar creativamente ese tiempo prestando atención a las ideas básicas y a los algoritmos.
3. Los niños necesitan aprender todavía el manipuleo aritmético básico. ¿Pero cuál debe ser? .¿Podemos posponer los algoritmos de la división y de la multiplicación como así también las operaciones con fracciones comunes para las clases de álgebra? ¿O las necesitamos
.
4. Matemática escolar desde un punto de vista algorítmico
Proponemos lincamientos generales para la enseñanza de la matemática. Son aplicables universalmente e independientes del estado en que se halla la tecnología de la computadora.
Podrán ser aplicados si en el aula existen algunas calculadoras de bolsillo y, de ser así, modificarán algo el contenido y fundamentalmente el punto de vista. Estos lineamientos pueden condensarse en una sola frase:
¡.asu uso
:
'3938
I
cías, factoriales, cuadrados números triangularás, procedimiento mód (n), serie de Fibonac- ci, relación de oro, secuencia de Fibonacci mod (x). Algoritmos en el lenguaje natural: máx, mín, abs., ¡nt., la multiplicación del antiguo Egipto. Procedimientos de potencias y decrecimientos rápidos. Raíces: algoritmo de la raíz cuadrada. Velocidad de convergencia.
Logaritmos, potencias y dígitos aleatorios, logaritmos y dígitos al azar cuadrando y po- tencializando rápidamente. Potencias por extracción de raíces cuadradas reiteradas. Congruencias lineales para generar números aleatorios.
ORIENTACIONEnseñe matemática desde un punto de vista algorítmico.
En 1906, Félix Klun inició una reforma de la enseñanza de la matemática. El movimiento adoptó el lema: "Pensando funcionalmente .
Los reformistas sostenían que el pensamiento funcional debía penetrar en toda el área de la matemática. Lo que el estudiante aprendería en matemática lo lograría pensando en términos de funciones. Esta reforma cambió profundamente la enseñanza de la matemática y hoy los profesores aceptan que la matemática es un estudio de funciones.
El momento ha llegado para una nueva reforma con el lema: "Pensando algorítmicamentePensar algorítmicamente debería penetrar en toda la matemática. Los profesores deberían tomar conciencia de que la principal actividad en el aula debería ser el análisis de algoritmos. El enfoque algorítmico engloba al funcional puesto que las funciones son algoritmos.
OLIMPIADA BELGA
DE MATEMATICA1”
I
!
i (Prueba eliminatoria: 27/3/1976)
c) Si 4 y 6 son divisores de n, entonces 24 es divisor de n;
d) Si 12 es divisor de n, entonces 3 y 6 son divisores de n.
6. En un cajón colocado en una pieza oscura se sabe que una gaveta contiene 12 calcetines negros, 2 marrones, 6 verdes y 6 azules. ¿Cuántos calcetines deberéis tomar para estar seguro de tener por lo menos dos de un mismo color?
a) 13 ; 6/ 2; c/ 5 \d)l.
7. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es la negación de: "Todas las ventanas están abiertas todos los días?*
a) Hay un día en que todas las ventanas están cerradas;
b) Hay por lo menos una ventana que está cerrada por lo menos un día;
c) Todas las ventanas están cerradas todos los d ías;
d) Cada ventana está cerrada por lo menos un día.
Estas cuestiones fueron propuestas por la Sociedad Belga de Profesores de Matemática. En cada una de ellas se proponen cuatro respuestas. De ellas, una y sólo una es buena. ¿Cuál?
Procedimientos de la teoría general de números
Conversiones de base a a base b, algoritmo de Euclides y ternas pitagóricas, algoritmo de Euclides extendido, fracciones continuas, longitudes de período 1/n, tablas de números primos por división y por cribas, procedimiento de los primos gemelos. La circunferencia y la hipérbola: mediante la circunferencia x2 + y2 = 1 y la hipérbola x y = 1 damos definiciones geométricas constructivas de todas las funciones trascendentes elementales. Por ejemplo, el procedimiento de la figura 1 computa las funciones: in, are sen, are eos, are tan, are cot, are senh are cosh, are tank. Un proceso semejante también se da para las respectivas funciones inversas.
(Duración: 4 horas)1. Dado el conjunto E= 1,2,11,2} , ¿cuál
de las siguientes afirmaciones es falsa?a) {l,2ftCE; b) ¡¡,2 feE; c) * C E;
d! |1 fe Ee2. Si A y B son conjuntos, f es una aplica
ción de A en B, y g es una aplicación de B en A, entonces la compuesta g o f de f y de g es:
a) necesariamente una biyección;b) una aplicación de A en A;c) igual a su recíproca;d) siempre la identidad sobre A.
I
Los algoritmos son mecanismos no triviales que simulan algún proceso. Los estudiantes deben aprender a diseñar mecanismos y a analizar los ideados por los demás.
5. Plan de estudios de matemática desde punto de vista algorítmico.
Esbozo de temas: En esta sección final sideramos los algoritmos básicos usados en la matemática de las escuelas medias, del quinto al duodécimo grado. Se dan más de 60 progra-
completos. Muchos de los procedimientos se pueden ejecutar mediante calculadoras de bolsillo. Este esbozo es el meollo del informe. Se muestra con ejemplos que el' "punto de vista algorítmico" beneficia a toda la enseñanza de la matemática escolar. Sólo la geometría está ausente. No parece ser una disciplina algorítmica. Todos los algoritmos presentados en el esbozo con contenido geométrico pertenecen, en realidad, al cálculo. Tomemos como ejemplo una sección con el título "La circunferencia y la hipérbola". Contiene derivaciones geométricas de algoritmos eficientes
un
con-
;
inp s, cmas3.V(1 + c) 12c «-
s s/c1¡f c
1 8. Si A, B y C son conjuntos , la igualdad (AUB)nC = AU(BnC)
a) es siempre verdadera;b) no es nunca verdadera;c) es verdadera siempre que A C C;d) es verdadera siempre que A \B = 0
prt s 3 -end 13 - 1 *3-3fig. 1
•21 . , 3 . ,_8
' b) 7'° 3a)Ts' 8fía ices de ecuaciones.Método de la bisección, regula falsa: méto
do de la4. 0,33333. . . es igual a
;b)~ ; c) 0,34 ; d) 0,4
5. ¿Cuál de las siguientes cuestiones es verdadera para todo número natural n?
a) Si 5 es un divisor de n, entonces 15 es divisor de n;
b) Si n es un divisor de 12, entonces 12 no es un divisor de n;
y elegantes para 18 funciones: las funciones trigonométricas e hiperbólicas y sus inversas y también para I n y exp = I n'1..
Sumario de los procedimientos
9. Con ayuda de los cuatro vértices de un paralelogramo se pueden construir 16 pares de
secante, método de iteración de New- 1ton, etc. a)3OptimizaciónMáximos y mínimos de ordenamientos, má
ximos (mínimos) de Por trisección, bisección, investigación en el Plano; investigación aleatoria, método decreciente de Gauss-Seidel
1 Luego de la difusión de los cuestionarios se ha comprobado, se ha verificado que alguna de las respuestas propuestas a la cuestión 19 no era buena, y que en la cuestión 54, había dos en lugar de una. En consecuencia, esas dos cuestiones fueron anuladas en el momento de la corrección. Se las reproduce, no obstante a manera de inventario.
en el esbo-
programas para los procedimiento SWAP
(x, y) y sus aplicaciones, clasificando de 2 3 4 elementos. Procedimientos para generarV cuencias simples: Switches, osciladores
función unimodalzo. unaLectura y diseño de
niveles elementales: eletc.
Integración numérica (no es necesario el calculo integral): la regla del punto medio y trapezoidal de los procesos de Rombery Y
(Sigue en pág. 45)
poten-41
40
i
puntos. Cada uno de esos pares determina una traslación del plano. ¿Cuántas traslaciones distintas quedan así determinadas?
a)7;b) 8;c) 9;dJ 16
10. Una pequeña bola de acero tiene la propiedad de rebotar hasta los 9/10 de su altura de caída. Si cae desde 1 m. de altura, ¿qué altura alcanzara en su tercer rebote?
a) 97 cm; b) 70 cm; c) 72,9 cm; d) 90 cm.
es siempre igual a 1. Un subconjunto de 4 puntos de E se dice cuadrado si está constituido por los vértices de un cuadrado del plano n. ¿Cuántos subconjuntos cuadrados posee el conjunto E?
a) 12; b) 20; c) 30; d) 60
común, ¿cuántos puntos del plano n equidistan de las tres rectas?
a) 0:b) 1; c) 2; d) 4.26. Tres personas entran un bar. La primera adquiere 4 emparedados, 1 café y 10 fichas de teléfono; la cajera le cobra 169 francos. La segunda persona, que ha adquirido 3 emparedados, 1 café y 7 fichas, debe pagar 126 francos. ¿Cuánto deberá abonar la tercera persona si adquiere 1 emparedado, 1 café y 1 ficha de teléfono?. a) 40 francos; b) 43 francos; c) 45 francos; d) diversas soluciones son posibles.27. Dados en un plano:
— una circunferencia de centro o y 6 m de radio;
— un punto p situado a 10 cm del punto o;— las dos tangentes a la circunferencia traza
das por p;— los puntos de contacto a y b, de esas
tangentes,¿cuál es la longitud del segmento [ ab j? a) 6 \f2 m; b) 4,8 m; c) VÍO m; d) 9,6
:!
1. .
21. ¿Cuál es el <V~2 + n/~3)‘1 ?
a) 96; b) 97; c) 98; d) 99
menor entero mayor que;
ÉIWa
7 7. Si es verdad que: "Ciertas x no son y" y que: "Todas las z son y" se puede deducir
22. En un triángulo de vértices a, b, c, se consideran dos puntos b'G[ac] c'<E [acj. Si las longitudes de los segmentos [bb'J [ c^c'] y [ac] son respectivamente iguales a 12-m, 16 m y si la recta b'c' es paralela a la recta be, ¿cuál es la longitud del segmento [ab ]?
a) 32 m; b) 27 m; c) 30 m; 6)24 m.
!'a) el cuadrado D sobre el cuadrado A;
b) el cuadrado D sobre el cuadrado B;c) el cuadrado A sobre el cuadrado D;d) el cuadrado E sobre el cuadrado A.
77. Se define una operación (*) sobre el conjunto de los números reales positivos poniendo
:que: ta) ciertas x no son z;b) ciertas x son z;c) ciertas z no son x;d) ninguna z es x.
!12. 23. He aquí dos figuras A y B de un plano:i«ss- & t a + bma
3,4-1,2¿Qué vale 4 * (4 * 4)?
m.La abscisa del punto medio m del segmen
to [a b] es a) 1,1; b) 2,2; c) 2,3; d) 2,6a) 3 ; b) 4 ; c) 1; d) 2 28. Si A y B son dos rectas disjuntas de un
plano 7r, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
a) Los desplazamientos 5 que conservan A y B, es decir, tales que 5 (A) = A y 5 (B) = B forman grupo para la ley de composición;
b) Existe una homotecia que aplica A sobre B y B sobre A;
c) Existen infinitos desplazamientos que aplican A sobre B;
d) Los desplazamientos que aplican A sobre B forman grupo para la ley de composición.29. En numeración binaria, 2/7 se escribe
a) 0,101010...; b) 0,011011011...; c) 0,01001001. ..; d) 0,001001001...
30. ¿Cuál es la última cifra (en base 10) de 34 5 8 ?
a) 1; b) 9; c) 7; d) 331. En un plano, ¿cuántas rotaciones hay de centro dado cuyo ángulo es un múltiplo entero de 48°?
a) 12; b) 15; c) 24; d) 30
32. Si se duplica la longitud del diámetro de un círculo, el área de ese círculo queda multiplicada por:
a) 2; b) 4; c) 7T d) 2 7r33. Siendo x e y números reales, la desigual-
4 3
13. Si a) es un número real no nulo18. Dadas las funciones de Ren R:
f: x -+ 1 + x2 , g: x x + 2 x3
a) f o g: x -> 1 + x + x2 +2 x3b) f o g: x-> 3 + 7x2 + 6x4 + 2x6c) f o g: x -> x + 3x3 + 2x6d) f o g: x-> 1 + x2 + 4x4 + 4x6
(ríT-¡
a) a2 , ^4 a2 b>4-' + Ar4 a2
d) a2 - 8 | 4
í
La isometría que aplica A sobre B es: a) una rotación cuyo centro no es el punto
c) a2 - 4 c;19. \■—i b) una simetría ortogonal;
c) una rotación de centro c;d) una simetría deslizante, es decir, una
traslación compuesta con una simetría ortogo-
a22 a 4 x a
¿Cuál es el conjunto de las imágenes de x para todas las homotecias que aplican a sobre b?
a) la recta a b;b) el conjunto unitario | x - ;c) el segmento [ a b}* ¿d) la semirrecta [x a
14. Entre las siguientes figuras, ¿cuál simétrica con respecto a un punto?
a) una circunferencia;b) un triángulo equilátero;c) un cuadrado;d) un rectángulo.
no es nal.
24. Se define una operación* sobre el conjunto de los números reales positivos colocando a * b = 2ab. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
a) * es conmutativa;b) * es asociativa;c) Vi es elemento neutro para *;d) Vi a es un inverso de a para *.
20.15. En un viaje, se recorrió la mitad de la distancia a la velocidad' media de 80 km/h, y la otra mitad a 120 km/h de velocidad media. ¿Cuál es la velocidad media del viaje?
a) 90 km/h; b) 100 km/h; c) 96 km/h; d) 105 km/h. 25. En un planos se consideran tres rectas
Di, D2, D3, distintas dos a dos. Si Di es paralela a D2 y si Di y D3 tienen un punto
He aquí un conjunto E de 20 puntos del nrvT° T* 8 ^Stancia de dos puntos de E veci-
a ° argo de una horizontal y una vertical
dadVxy < 'A (x + y)16. La homotecia de centro o y razón aplica
42 43
a) (2, 3, 2,); b) (2. 1, 2,); c) (1, O, 3/2); d) (-2, 4, 3)
lado de otra y los 5 niños estar de pie detrás de ellas?
a) 12L ; b) 2.5! ; c) (5! )2 ; d) (5! )s 2
.53. En el plano n0 provisto de una base orto- normada (af b), la matriz de la simetría ortogonal de eje o a es igual a
11 46. ¿Para cuáles números reales x se tiene:a) ¿Es -verdadera cualesquiera sean x e y?b) ¿Es verdadera si y sólo si x ^ 0 e y ^ 0?c) ¿Es verdadera si y sólo si x^1 ey^1?d) nunca es verdadera.
34. ¿Qué se puede decir de un número real x si = -x?
a) No existe ninguna x que verifique esta igualdad;
b) Toda x verifica esa igualdad;c) Se tiene necesariamente x = 0;d) Se tiene necesariamente x<0.
a) 0 < x < t>)
x2 < | 2x-8 |?a) -2 < x < 4; b) 0 < x <x <2; c) -4 < x
< 2; d) esta inecuación no tiene ninguna solución real.
c) _L< x < 2 ; d) 0 < x < 23
39. El resto de la división del po.inomio5x19-3x13 + 3x2—2 por el polinomio x + 1vale
a) 0;' b) 1; c¡-1; d) 3
40. ¿Con cuál de los vectores indicados más abajo se puede completar la familia de vecto-
(i.?H47. La unión de todos los intervalos de R de la forma: 54. En un triángulo cuyos lados tienen las
longitudes a, b, c y cuyos ángulos tienen por medida a, 0, 5, si
a = 12m, b = 12 \/3m
entonces c=a) 24 m; b) 16\/3m; c) 12m, d) 8 \/3m
55. Si (e,, e2, é3) es una base ortonormada de un espacio vectorial
v = ej — e2 + e3 y w = 2et + 3e2 — e3
a) 5l + Í3~ + 0®3;
b) ~ +^7Rí
C,Á~
en donde n E Nol es igual a: a) W¿ + 1.V17-1 ]; b) [VT,VÍ7] c) [V17, V2] ; d) [n/2- + 1,\Zl7 - 1 ]
48. El sistema de ecuaciones lineales ax + by = cbx + cy = a donde a, b,cER ex + ay = b
posee una solución si y sólo si a) a = b = c ; b) a-b = b-c = c-a
i a bc) ~r=-----b c
49. Un valor aproximado de V 0,0032 con una aproximación menor que 0,001 es:
a) 0,002; b) 0,317; c) 0,2; d) 0,032
50. El subespacio vectorial de R,tt0+/engendrado por un segmento [ ab ] al que o no pertenezca a la recta ab, es:
a) la recta ab;b) todo el plano tt0 +,c) la unión de dos sectores angulares opues
tos por el vértice;d) un conjunto de rectas paralelas equidis -
tantes.
, a =¿L- radian b35. La suma de las cifras (en base 10) del
número res(¡2,3,-1), (-5,2,4))
¿para obtener una base de R3?
a) (-3,5,3) ; b) (-1,8,4)
O (-4.-J
no4"2 +8 + D2siendo n entero positivo, es igual a: a) 4; b) 4n; c) 4n2; d) 4n2 + 8
3b.■■i): d) (-4,13,5)
1 + x3_________=1 + 2 x + 2 x2 + x3 41. La región del plano R2 determinado por
la inecuación (x—y)< 1 es:a) un sem¡plano; b) un cuadrado; c) un
círculo; d) una banda.
42. En el espacio R3, la homotecia de razón 3 que aplica al punto (1, 2, 3,) sobre el punto (1, 4,-2) tiene por centro al punto.
e3 i
— ; d) a3 + b3 +c3 = a1 3 abe 3a) e’‘ +V3T§2 ~
ji « -» 4 •* , 2d)v?r e> - w62 vrr56. La ecuación x6 — 3xs — 6x3 — x + 8 = 0
a) no tiene raíz real;b) tiene por lo menos dos raíces reales
distintas negativas;c) tiene una sola raíz negativa;d) no tiene raíz real negativa, pero tiene al
menos una positiva.
57. Si 1, z y z' son las tres raíces cúbicas complejas de la unidad, entonces:
e3 ; -2 x ( 1 + x)
11 + X + x2m *3 ;
b)1 - x + x2 w (..4-, - 4)*' (’• t •2
1 - X + X2c)1 + X + X2- (1.1,c) d)
dj_ 1 + x1 + X + x 2
43. Si los tres primeros términos de gresión geométrica son:
una pro-37. Se proyecta ortogonalmente un sector angular recto S sobre un plano 7r. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) La imagen de S es un sector ángular recto si y sólo si los dos lados de S son paralelos al plano 7r .
b) La imagen deS es un sector angular;c) Si uno de los lados de S es paralelo
a 7r, y el otro no es perpendicular a 7r, entonces la imagen de S es un sector anguiar recto;
d) Si uno de los lados deS no es paralelo al plano 7T, entonces la imagen de S no es un sector angular recto.
38. ¿Para cuáles números reales x se tiene la vez:
n/2; \/2; \¡2(Viene de pág. 40)Simpson pueden ser descubiertos por experimentación numérica.
Simulación de procesos deterhninísticos Problemas de búsqueda, movimiento planetario, dispersión de rumores y de epidemias, problemas de cacería.
Combinatoria: tres procedimientos para el triángulo de Pascal, cálculo de frecuencia (por ejemplo, problemas de intercambio de moneda), problemas de permutación (por ejemplo, generación de permutaciones aleatorias, sus descomposiciones-en-ciclos; problema de Josephus).
Probabilidad
el cuarto término es igual a: a) 1; b) V?; c) V*2; d) VF binomial, fórmulas asintóticas por experimen
tación numérica.ClasificaciónSelección, intercambio, selección por canti
dades de frecuencia, amalgamientoSimulación de procesos aleatorios.Simulación de números aleatorios con el
generador: gráfico de muestras aleatorias. Simulación del juego "Crap". Estudio sobre dígitos aleatorios binarios, frecuencia relativa y probabilidad. Caminos aleatorios?
Ley del movimiento browniano y difusión. Análisis de datos. Simulación de la decadencia ladiactiva. Simulación de cadenas de Markov, sin números aleatorios, operando el sistema lineal correspondiente.
44.
i1 1+ =1 + 1 - sen xsen x
2 1a) 1; b) 1eos2 x ;
un espacio vectorial R. V + se efec-Si i ;rmb|i0 de base (3' 6'
0-*‘ ua*es son las componentes del vector 2a - b + 3 ¿en la nueva base?
; d) eos2 x2 'a
45. Ena) 1x2 — 4 < 0 y ----- > 3
xProblemas de los cumpleaños, probabilidad
4544
BIBLIOGRAFIAchas veces, posibilidades de asistir a cursos sobre esta importante rama de la matemática.
J.B.F.
BUCHHOLZ, John;WOLF, Oswald;SPIECH, John; SHLEUDER, Henry; Federal Electric Corporation: Algebra Booleana, Instrucción Programada, 247 págs. Editorial MA- RYMAR, Buenos Aires. BUNT, Lucas N. H.; JONES, Phillip S.; BE-
DI ENT, Jack D.: The histórica! roots of ele- mentary mathematics, 300 páginas, PREN- TICE HALL, N. Jersey, EE.UU.
Los autores, de notorio prestigio en el campo educativo norteamericano y de nombradla mundial el primero de ellos desarrollan en esta obra una historia de la aritmética, el álgebra, la geometría y los sistemas numéricos a partir de sus fuentes en las civilizaciones egipcias, babilonias y griegas de manera que los lectores puedan tener un enfoque de las más importantes realizaciones de los primeros sistemas matemáticos y comprendan los mismos problemas y situaciones que debieron enfrentar esos antiguos pioneros del mundo de la matemática; proponen ejercicios de manera que el lector pueda realizar las operaciones matemáticas tal cual las realizaron en esa época. Por supuesto, el estilo de presentación es lo suficientemente simple como para que pueda ser entendido por cualquiera que haya realizado normalmente los estudios secundarios.
Los distintos capítulos del libro son los siguientes: 1) Matemática egipcia; 2) Matemática babilónica; 3) Los comienzos de la matemática griega; 5) Predecesores filosóficos de Euclides; 6) Euclides; 7) La matemática griega después de Euclides. Métodos euclidianos y métodos modernos; 8) Numeración y aritmética después de los griegos.
Corresponde agregar que estos temas fueron elaborados por los autores siguiendo una obra holandesa Van Ahmes tot Euclides escrita por el doctor Lucas N. H. Bunt, entonces en la universidad holandesa de Utrecht’, de colaboradores de esa universidad.
Puesto
La instrucción programada es uno de los recursos que se emplean modernamente para ia enseñanza de una disciplina cuando se presentan casos especiales, por ejemplo, cuando se desea recuperar a determinados alumnos que quedan rezagados con respecto al conjunto de sus compañeros o también, y éste es el caso, cuando una empresa necesita adiestrar a miembros de su personal diseminados en áreas muy separadas y a los cuaies les resulta incómodo, sino imposible, hacerlos concurrir a establecimientos en donde la enseñanza se realizaría de acuerdo con los cánones normales. Por tanto, como se sabe, los conocimientos han de impartirse por dosis mínimas que el estudiante habrá de captar antes de proseguir con el estudio de otras cuestiones y para ello se vale de su propio autocontrol que realiza con ayuda del texto. Se podrá dudar, por supuesto, del valor de la enseñanza así impartida, pero lo cierto es que el auge del procedimiento no ha disminuido lo cual, en cierto modo, ameba su eficiencia.
Este libro trata de desarrollar en esa forma los principios del álgebra boolena y lo hace en los siguientes cappítulos: 1) Sistemas de numeración; 2) Principios básicos del álgebra de Boole; 3) Negación; 4) Operación "y"; 5) Operación "o"; 6) Operación "o exclusiva";7) Teoremas básicos y tablas de verdad;8) Teoremas avanzados; Teoremas de negación y de De Morgan; 10) Técnicas de minimiza- ción (Diagramas de Veitch); Examen final.
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i
A[ final de cada capítulo se ubican problemas de autocontrol con sus correspondientes soluciones para que el estudiante evalúe progresos.
Este libro ha sido escrito por especialistas que pertenecen a la vez a diversas universidades norteamericanas y a la institución que ha posibilitado su publicación. Nuestros lectores lo reciben en una cuidada edición en castellano que, entendemos, puede resultar muy útil no solo a los estudiantes técnicos, a los cuales va dirigido, sino también a muchos docentes que por vivir en localidades alejadas de los grandes centros de información no tienen, mu-
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que esta obra discute muchos tópicos incluidos en los planes escolares de matemática de la enseñanza secundaria, entendemos que ha de ser muy útil para el docente de matemática que desea mejorar su información y como ha sido escrito en un lenguaje llano orno para que pueda ser empleado con prove-
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46
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