View
255
Download
6
Category
Preview:
Citation preview
EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO I
Alvaro Cabrera Javier
4 de septiembre de 2014
Alvaro Cabrera Javier 2 CALCULO I - CHUNGARA
ÍNDICE GENERAL
Índice general
1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES 7
2. VECTORES EN EL PLANO 11
3. GEOMETRIA ANALITICA 19
4. LIMITES 53
5. DERIVADAS 83
6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 103
7. EXTREMOS DE UNA FUNCION 111
8. INTEGRALES 117
9. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES 137
Alvaro Cabrera Javier 3 CALCULO I - CHUNGARA
ÍNDICE GENERAL
Alvaro Cabrera Javier 4 CALCULO I - CHUNGARA
PREFACE
INTRODUCCIONEste solucionario está basado en el libro de APUNTES Y PROBLEMAS DE
CALCULO I de VICTOR CHUNGAR CASTRO, EDICION 1993.
Alvaro Cabrera Javier 5 CALCULO I - CHUNGARA
INTRODUCCION
Alvaro Cabrera Javier 6 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES
Capítulo 1 NUMEROS REALES YDESIGUALDADES
Los teoremas se demuestran usando los axiomas de campo conmutativo de losNúmeros Reales u otros Teoremas ya demostrados. Tales axiomas son:Si, a, b, c 2 R:P1. a+ b = b+ a Conmutatividad de la suma.P2. (a+ b) + c = a�+ (b+ c) Asociatividad de la suma.P3. a+ 0 = a Existencia de neutro aditivo (0).P4. a+ (�a) = 0 Existencia de opuesto (�a).P5. ab = ba Conmutatividad del producto.P6. (ab) c = a (bc) Asociatividad del producto.P7. a1 = a Existencia del neutro multiplicativo (1).P8. aa�1 = 1 Existencia del inverso (a 6= 0).P9. a (b+ c) = ab+ ac Distributividad del producto.P10. a 2 R+ (a > 0) Tricotomía de los reales.
a 2 R� (a < 0)a = 0
P11.Si: a > 0, b > 0 ) a+ b > 0
ab > 0Clausura de la suma y el producto.
P12. 8a 9b=b > a Del supremo.
1. Demostrar los siguientes Teoremas de los Números Reales:
a) a+ x = b =) x = b� ab) (�1) a = �ac) a (b� c) = ab� acd) � (�a) = ae) ab = 0 =) a = 0 ó b = 0
f ) (ab)�1 = a�1b�1
g) a+ a = 2a
h) a0 = 1, a 6= 0
2. Demostrar los siguientes Teoremas sobre Desigualdades:
a) a > b =) a� c > b� c
b) 0 < a < b =) 1
a>1
b
c) 0 < a < b =) a2 < b2
d) 0 < a < b =) ab > 0
e) b > 0, a2 < b() �pb < b <
pb
f ) (a+ b) (b+ c) (a+ c) � 8abcg) a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1 =) ac+ bd � 1
Alvaro Cabrera Javier 7 CALCULO I - CHUNGARA
h) x1y1 + x2y2 �px21 + x
22
py21 + y
22.
3. Resolver las siguientes Inecuaciones Lineales:
a) 2x+ 1 < 7Solución.
2x+ 1 < 7
2x < 7� 12x < 6
x < 3
b) 3x� 2 � 4Solución.
3x� 2 � 4
3x � 6
x � 2
c) 9� x < 6d) 8� 3x � 2e) 5� 2x > 7� 3xf ) 1 + 3x > 4x� 5g) 4x� 3 � 2� xh) 2x+ 6 � 5x� 3i) 3 < 2x� 3 < 9j ) 5 � 3x+ 2 � 8k) 1 < 9� 2x < 5l) �1 < 8� 3x < 5m) 8 < 3x+ 2 < 2
n) 9 < 5x+ 4 <1
4. Resolver las siguientes Inecuaciones Cuadráticas y de Grado Superior:
a) x2 � 5x+ 4 < 0Solución.
x2 � 5x+ 4 < 0
(x� 4) (x� 1) < 0
b) x2 � 5x+ 6 > 0Solución.
x2 � 5x+ 6 > 0
(x� 3) (x� 2) > 0Alvaro Cabrera Javier 8 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES
c) x2 � 4 < 5d) 4� x2 < 3e) x2 � 3x� 10 < 0f ) x2 + x� 12 > 0g) 2x2 � 3x+ 1 < 0h) 3x2 � 7x+ 2 < 0i) x2 � 4x+ 4 � 0j ) x2 � 2x+ 1 < 0k) x2 + 9 < 0
l) x4 � 1 < 0m) (x+ 1)2 � (x� 1)2 < 4n) (x2 + 1)2 < (x2 � 1)2
ñ) x3 � 3x2 � 18x+ 40 < 0o) x4 � 13x2 + 36 < 0p) x3 � 8x2 + 17x� 10 > 0q) x4 � 17x2 + 16 � 0r) x3 � 6x2 + 12x� 8 < 0s) x4 � x2 > 0t) x5 � 5x3 + 4x > 0u) x2 + 1 � 0v) x4 � 6x3 + 13x2 � 12x+ 4 < 0w) x3 � x < 0x) x4 � 10x3 + 35x2 � 50x+ 24 < 0y) x8 � 256 > 0
5. Resolver las siguientes Inecuaciones Cuadráticas
a)3
x> 1
Solución.
3
x> 1
3
x� 1 > 0
3� xx
> 0
x� 3x
< 0
Alvaro Cabrera Javier 9 CALCULO I - CHUNGARA
b)4x� 32x� 8 > 2Solución.
4x� 32x� 8 > 2
4x� 32x� 8 � 2 > 0
4x� 3� 4x+ 162x� 8 > 0
13
2 (x� 4) > 0
c)4
x< 1
d)3x+ 1
2x� 6 > 4
e)3
x� 2 > 1
f )x� 2x
<x
x� 2
g)1
x� 1 > 1
h)x� 1x� 4 <
x� 3x� 2
i)x� 1x� 2 < 1
j )9
x� 2 > x� 2
k)x� 3x� 5 > 1
l)1
x� 2 +2
x� 1 > 2
m)3x� 1x� 4 < 2
n)x2 � 7x+ 12x2 � 3x+ 2 < 0
ñ)5x� 1x� 1 < 3
o)x2 � 7x+ 12x2 � 3x+ 2 < 1
p)3
x+
2
x� 1 +4
x� 2 > 6
Alvaro Cabrera Javier 10 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 2. VECTORES EN EL PLANO
Capítulo 2 VECTORES EN EL PLANO1. Gra�car y hallar los módulos de los vectores: (6; 8); (3; 0); (�a; a)
2. Si: A = (x; 4) =) jAj = 5; B = (y2; y) =) jBj =p2. Hallar: x; y.
Solución.jAj = 5 =
px2 + 42
resolviendo x = 3.
La segunda parte:
jBj =p2 =
q(y2)2 + y2
ordenandox4 + x2 � 2 = 0
resolviendo, y1 = 1, y2 = �1, y3 = ip2 y y4 = �i
p2.
3. Efectuar y gra�car: A+B; A�B; 2A+ 3B. Si: A = (4; 3); B = (1; 2).Solución.
A+B = (5; 5)
A�B = (3; 1)
2A+ 3B = (11; 12)
4. Si: A = (3; 1); B = (6; 5); C = (0; 2); efectuar: A + B + C; A � B + C;2A+B � 3C; 3A� 2B + 4C.Solución.
A+B + C = (3 + 6 + 0; 1 + 5 + 2) = (9; 8)
A�B + C = (3� 6 + 0; 1� 5 + 2) = (�3;�2)2A+B � 3C = (2 (3) + 6� 3 (0) ; 2 (1) + 5� 3 (2)) = (12; 1)3A� 2B + 4C = (3 (3)� 2 (6) + 4 (0) ; 3 (1)� 2 (5) + 4 (2)) = (�3; 1)
5. Demostrar: A+(B + C) = (A+B)+C; A+(�A) = 0; k (A+B) = kA+kB;(k + r)A = kA+ rA.
Solución. Sea los vectores:
A = (ax; ay)
B = (bx; by)
C = (cx; cy)
entonces
A+ (B + C) = (ax + (bx + cx) ; ay + (by + cy))
= ((ax + bx) + cx; (ay + by) + cy)
= (A+B) + CAlvaro Cabrera Javier 11 CALCULO I - CHUNGARA
6. Demostrar: A � (B + C) = A �B + A � C; A �B = jAj jBj cos �.
7. Efectuar: A � B, si: (a) A = (1; 3); B = (2; 4), (b) A = (3;�1); B = (�2; 4),(c) A = (2;�1); B = (3; 6) y (d) A = (a1; a2); B = (�a2; a1).
Solución. (a)
A �B = (1) (2) + (3) (4) = 14
(b)
A �B = (3) (�2) + (�1) (4) = �10
(c)
A �B = (2) (3) + (�1) (6) = 0
son vectores perpendiculares..
(d)
A �B = (a1) (�a2) + (a2) (a1) = 0
son vectores perpendiculares.
8. Determinar si existe paralelismo (//), perpendicularidad (?) o ninguna deestas características entre los siguientes pares de vectores: (a) (3; 1) y (�1; 3),(b) (2;�3) y (�4; 6), (c) (4;�2) y (1; 2), (d) (2; 4) y (6; 4), (e) (3; 0) y (6; 4)y (f) (2; 6) y (0; 0).
Solución. (a)
(3; 1) � (�1; 3) = (3) (�1) + (1) (3) = 0 Perpendiculares
(b)
(2;�3) � (�4; 6) = (2) (�4) + (�3) (6) = �26
(c)
(4;�2) � (1; 2) = (4) (1) + (�2) (2) = 0 Perpendiculares
(d)
(2; 4) � (6; 4) = (2) (6) + (4) (4) = 28
(e)
(3; 0) � (1; 0) = 3 (1) + (0) (0) = 3
(f)
(2; 6) � (0; 0) = (2) (0) + (6) (0) = 0
9. Hallar el ángulo entre los siguientes pares de vectores: (a) (6; 8); (4; 3), (b)(1; 1); (1; 0), (c) (3; 1); (�2; 6).
Alvaro Cabrera Javier 12 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 2. VECTORES EN EL PLANO
Solución. (a) Gra�cando:
6.2553.752.51.250
8
6
4
2
0
x
y
x
y
Aplicando la ecuación
A �B = jAj jBj cos �
sustituyendo
cos � =(6) (4) + (8) (3)p62 + 82
p42 + 32
=24
25
donde � = 16;26o
(b) Gra�cando:
21012
2
1
0
1
2
x
y
x
y
Aplicando la ecuación
A �B = jAj jBj cos �
sustituyendo
cos � =(1) (1) + (1) (0)p12 + 12
p12 + 02
=
p2
2
donde � = 45;00oAlvaro Cabrera Javier 13 CALCULO I - CHUNGARA
(c) Gra�cando:
3.752.51.2501.252.5
8
6
4
2
0
x
y
x
y
Aplicando la ecuación
A �B = jAj jBj cos �
sustituyendo
cos � =(3) (�2) + (1) (6)
p32 + 12
q(�2)2 + 62
= 0
donde � = 90;00o .
10. Hallar x para que sean paralelas y luego perpendiculares los vectores: (a)A = (x; 2); B = (3; 6); (b) A = (x; 8) y B = (2; x).
Solución. (a) Condición de paralelismo
(x) (3) + (2) (6)�px2 + 22
� �p32 + 62
� = 1
(3x+ 12)2 =�px2 + 22
�2 �p32 + 62
�29x2 + 72x+ 144 =
�x2 + 4
�(45)
9x2 + 72x+ 144� 45x2 � 180 = 0
�36x2 + 72x� 36 = 0 j� � 36x2 � 2x+ 1 = 0
(x� 1)2 = 0
x = 1
Condición de perpendicularidad
(x) (3) + (2) (6)�px2 + 22
� �p32 + 62
� = 0 =) x = �4Alvaro Cabrera Javier 14 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 2. VECTORES EN EL PLANO
(b) Condición de paralelismo
(x) (2) + (8) (x)�px2 + 82
� �p22 + x2
� = 1
(10x)2 =�px2 + 82
�2 �p22 + x2
�2100x2 =
�x2 + 64
� �4 + x2
�100x2 = x4 + 68x2 + 256
x4 � 32x2 + 256 = 0�x2 � 16
�2= 0
x2 = 16
x = �4
condición de perpendicularidad
(x) (2) + (8) (x)�px2 + 82
� �p22 + x2
� = 0 =) x = 0
11. Demostrar que: A es paralelo a B, si se cumple: a1b2 � a2b1 = 0; cuando setiene: A = (a1; a2); B = (b1; b2).
Solución. Condición de paralelismo
a1b1 + a2b2pa21 + a
22
pb21 + b
22
= 1
(a1b1 + a2b2) =
�qa21 + a
22
�2�qb21 + b
22
�2a21b
21 + 2a1a2b1b2 + a
22b22 =
�a21 + a
22
� �b21 + b
22
�a21b
21 + 2a1a2b1b2 + a
22b22 = a21b
21 + a
21b22 + a
22b21 + a
22b22
2a1a2b1b2 = a21b22 + a
22b21
a21b22 � 2a1a2b1b2 + a22b21 = 0
(a1b2 � a2b1)2 = 0
�nalmentea1b2 � a2b1 = 0
12. A los vectores (2; 3); (5;�4) y (�1; 1), determinar un vector perpendicular:Solución.
13. Efectuar la proyección ortogonal de A sobre B si: (a) A = (5; 10) y B = (2; 1),(b) A = (8; 2) y B = (1;�1).Solución.
14. Hallar las áreas del paralelogramo y triángulo conformado entre los siguientespares de vectores: (a) (2; 4); (5; 3); (b) (3; 2); (1; 5) y (c) (0; 4); (3; 0).
Solución.Alvaro Cabrera Javier 15 CALCULO I - CHUNGARA
15. Hallar el área del triángulo, que se encuentra entre los siguientes trios depuntos: (a) (2; 1); (3; 4); (6; 2), (b) (1; 1); (4; 2); (2; 4), (c) (1; 2); (4; 5); (5; 1),(d) (�1; 1); (1; 2); (3; 3).Solución.
16. Hallar el área del polígono que se encuentra situado entre los siguientes puntos(El polígono no es regular). (a) (2; 0); (7; 3); (1; 5)m; (�2; 4); (0; 0), (b) (5; 0);(6; 2); (2; 5); (�2; 3); (1; 1).Solución.
17. Demostrar: jAj =Solución.
18. Demostrar: jA+Bj � jAj+ jBjSolución.
19. Hallar las ecuaciones de recta y gra�carlas, si cumplen con: (a) L para porP0 (2; 3) dirección: A = (1; 4).
Solución.
20. Escribir en forma general las anteriores rectas: (a) 4x�y�5 = 0, (b) 2x�3y =0; 2x� y � 3 = 0; 2x+ y � 5 = 0.Solución.
21. Determinar si es verdadero (V) o falso (F), que los puntos: (1; 4); (2; 5); (0; 7);(1; 10) pertenecen a la recta: L = f(2; 1) + t (�1; 3)g.Solución.
22. Hallar las rectas paralelas y perpendicular a: L dada, que pasan por P dado.(a) f(1; 3) + t (2; 4) ; P (6; 5)g, (b)Solución.
23. Hallar la distancia entre la recta: L y el punto externo: Pe. (a) f(1; 2) + t (4; 3) ; Pe (5; 8)g,(b)
Solución.
24. Cuál es el punto P de la recta L, que está más cerca al punto Pe dado: (a)L = f(2; 3) + t (6; 8) ; Pe (6; 5)g, (b)Solución.
25. Hallar el ángulo entre las rectas: (a) L1 = f(3; 1) + t (2; 1)g; L2 = f(7; 6) + t (1; 3)g,(b)
Solución.
26. Hallar el cuarto vértice del cuadrado ubicado entre los puntos: (a) (4; 1);(3; 6); (1; 3), (b)
Solución.Alvaro Cabrera Javier 16 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 2. VECTORES EN EL PLANO
27. Si xA+ yB = 0, donde: A 6= 0; B 6= 0, A no es paralelo a B, demostrar quela igualdad se veri�ca cuando: x = y = 0.
Solución.
28. Demostrar que cuando: A 6= 0; B 6= 0, A no es paralelo a B. Si: x1A+y1B =x2A+ y2B =) x1 = x2; y1 = y2.
Solución.
29. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo, se intersectan en suspuntos medios.
Solución.
30. Demostrar que la recta que une los puntos medios de los lados de un triánguloes paralelo al tercer lado y posee la mitad de su longitud.
Solución.
31. Demostrar que las medianas de un triángulo, se cortan en un punto (llamadobaricentro), ubicado a un tercio de un lado y a dos tercios del vértice opuesto.
Solución.
32. Demostrar que la diagonal de un paralelogramo, es dividida en tres partesiguales, por dos rectas, que partiendo de un vértice lateral, van a los puntosmedios del lado opuesto.
Solución.
33. Demostrar que la mediana de un triángulo isósceles, que va al lado distinto,el perpendicular a ese lado.
Solución.
34. Demostrar que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un trián-gulo rectángulo.
Solución.
35. Demostrar que las diagonales de un rombo, se intersectan en sus puntosmedios.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier 17 CALCULO I - CHUNGARA
Alvaro Cabrera Javier 18 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
Capítulo 3 GEOMETRIA ANALITICA1. Hallar Distancias y Puntos Medios entre los Pares de Puntos:
(2; 1) ; (6; 4) (0; 3) ; (8; 9)(0; 2) ; (4; 0) (3a; 0) ; (0; 4a)
Solución. La distancia entre los puntos:
d1 =
q(6� 2)2 + (4� 1)2 = 5
d2 =
q(8� 0)2 + (9� 3)2 = 10
d3 =
q(4� 0)2 + (0� 2)2 = 2
p5
d4 =
q(0� 3a)2 + (4a� 0)2 = 5a
Los puntos medios:
x1 =2 + 6
2= 4 ; y1 =
1 + 4
2=5
2=) P1
�4;5
2
�x2 =
0 + 8
2= 4 ; y2 =
3 + 9
2= 6 =) P2 (4; 6)
x3 =0 + 4
2= 2 ; y3 =
2 + 0
2= 1 =) P3 (2; 1)
x4 =3a+ 0
2=3a
2; y4 =
0 + 4a
2= 2a =) P4
�3a
2; 2a
�
2. Hallar la coordenada: u, de manera que se cumpla:
a) P1 (5; 2); P2 (1; u); d = 5
d =
q(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2
sustituyendo
5 =
q(1� 5)2 + (u� 2)2
25 = 16 + (u� 2)2q(u� 2)2 =
p9
u� 2 = �3
entonces: u1 = 5 y u2 = �1.b) P1 (u; 1); P2 (2; u); d =
p5
d =
q(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2
Alvaro Cabrera Javier 19 CALCULO I - CHUNGARA
sustituyendo
p5 =
q(2� u)2 + (u� 1)2
5 = 4� 4u+ u2 + u2 � 2u+ 12u2 � 6u = 0
2u (u� 3) = 0
entonces: u1 = 0 y u2 = 3.
c) P1 (6; 3); P2 (4; u); P (5; 4)Solución. El punto medio está dado por:
y =y1 + y22
sustituyendo:
4 =3 + u
2=) u = 5
3. Hallar los Puntos que dividen al Segmento entre: P1 (2; 6) y P2 (8; 3) en trespartes iguales.
Solución. De la fórmula
x =x1 + rx21 + r
; y =y1 + ry21 + r
Para el punto P , el problema es encontrar r. Según la relación
P1P
PP2= r
de la grá�ca P1P = a y PP2 = 2a, entonces r =a
2a=1
2, sustituyendo:
x =2 +
1
2(8)
1 +1
2
= 4; y =6 +
1
2(3)
1 +1
2
= 5
entonces P (4; 5) :
Para el punto P 0, según la relación
P1P0
P 0P2= r
de la grá�ca P1P 0 = 2a y P 0P2 = a, entonces r =2a
a= 2, sustituyendo:
x =2 + 2 (8)
1 + 2= 6; y =
6 + 2 (3)
1 + 2= 4
entonces P 0 (6; 4).Alvaro Cabrera Javier 20 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
4. Demostrar que es Restángulo el Triángulo ubicado entre: A (1; 5); B (4; 4);C (3; 1). Demostrar que es Isosceles el Triángulo ubicado entre: A0 (1; 5);B0 (6; 2); C 0 (5; 6).
Solución. La solución consiste en todo triángulo rectángulo cumple la Leyde Pitágoras
AB =
q(4� 1)2 + (4� 5)2 =
p10
BC =
q(3� 4)2 + (1� 4)2 =
p10
AC =
q(3� 1)2 + (1� 5)2 = 2
p5
�2p5�2
=�p10�2+�p10�2
20 = 10 + 10
20 = 20
entonces el triángulo es rectángulo y también isosceles.
Para el segundo caso el problema consiste en que dos lados son iguales:
A0B0 =
q(6� 1)2 + (2� 5)2 =
p34
B0C 0 =
q(5� 6)2 + (6� 2)2 =
p17
A0C 0 =
q(5� 1)2 + (6� 5)2 =
p17
ya que dos lados con iguales el triángulo es isósceles, también es rectángulo.
5. Indicar si pertenece (V ) o nó (F ) a la recta: 3x+ 4y � 24 = 0, los siguientespuntos: (4; 3); (�2; 9); (0; 6).
Solución.24� 3x4
Para: (4; 3) 3 (4) + 4 (3)� 24 = 0 =) 0 = 0 (V )Para: (�2; 9) 3 (�2) + 4 (9)� 24 = 0 =) 6 = 0 (F )Para: (0; 6) 3 (0) + 4 (6)� 24 = 0 =) 0 = 0 (V )
11.25108.757.56.2553.752.51.2501.252.53.75
10
8.75
7.5
6.25
5
3.75
2.5
1.250
1.25 x
y
x
y
Alvaro Cabrera Javier 21 CALCULO I - CHUNGARA
6. Gra�car las siguientes rectas: 3x�2y+12 = 0; 2x+3y�12 = 0; 4x�y�8 = 0;y � 3 = 0.
Solución. Para:
6 4 2 2
2
4
6
x
y
3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
2
4
6
x
y
3x� 2y + 12 = 0 2x+ 3y � 12 = 0
1 1 2 3
8
6
4
2
2
x
y
4 2 2 41
1
2
3
4
5
x
y
4x� y � 8 = 0 y � 3 = 0
7. Hallar los Puntos de Interesección de los siguientes Pares de Rectas:
Solución.
2 2 4 6
2
4
6
8
x
y
1 1 2 3 4 5 6 7
2
4
6
x
y
�2x+ y � 8 = 03x� 4y � 1 = 0 =) P (3; 2)
�2x� 3y � 2 = 05x� y � 18 = 0 =) P (4; 2)
Alvaro Cabrera Javier 22 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
4 2 2 4
2
2
4
x
y
��x+ 3y � 6 = 02x� 6y � 6 = 0 =) �
8. Hallar las ecuaciones de recta, que poseen las siguientes características:
a) Pendiente: m = 3; pasa por: P (2; 1).
Solución. Aplicando la condición punto pendiente: y� y1 = m (x� x1)
y � 1 = 3 (x� 2)y � 1 = 3x� 6
�nalmente:
3x� y � 5 = 0
1 1 2 3 4 5
5
5
10
x
y
b) Pendiente: m = �1; pasa por: P (1; 4).Solución.
y � 4 = � (x� 1)
simpli�cando:
x+ y � 5 = 0Alvaro Cabrera Javier 23 CALCULO I - CHUNGARA
1 1 2 3 4 5 6
2
4
6
x
y
c) Pendiente: m = 0; pasa por: P (3; 2).
Solución.
y � 2 = 0 (x� 3)
simpli�cando:
y = 2
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
1
1
2
3
4
x
y
d) Pendiente: m =1; pasa por: P (4; 6).Solución.
y � 6 =1 (x� 4)
aplicando1
1 = 0
y � 61 = x� 4 =) x� 4 = 0
simpli�cando:
x = 4Alvaro Cabrera Javier 24 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
1 1 2 3 4 51
1
2
3
4
5
x
y
e) Pendiente: m = 2; intersecta al eje y en: 3.Solución. Pasa por el punto (0; 3)
y � 3 = 2 (x� 0)�nalmente:
2x� y + 3 = 0
2 1 1 2
2
4
6
x
y
f ) Pendiente: m =1
2; intersecta al eje x en: 1:
Solución. Pasa por el punto (1; 0)
y � 0 =1
2(x� 1)
2y = x� 1�nalmente:
x� 2y � 1 = 0
1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.5
0.5
1.0
x
y
Alvaro Cabrera Javier 25 CALCULO I - CHUNGARA
g) Pasa por los puntos: (2; 6); (8; 2).
Solución. Aplicando la fórmula: y � y1 =y2 � y1x2 � x1
(x� x1)
y � 6 =2� 68� 2 (x� 2)
y � 6 = �23(x� 2)
3y � 18 = �2x+ 4
�nalmente:2x+ 3y � 22 = 0
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
4
6
8
10
x
y
h) Pasa por los puntos: (3; 3); (6; 5).
Solución. Aplicando la fórmula: y � y1 =y2 � y1x2 � x1
(x� x1)
y � 3 =5� 36� 3 (x� 3)
y � 3 =2
3(x� 3)
3y � 9 = 2x� 62x� 3y + 3 = 0
4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
2
2
4
6
x
y
i) Interscta a los ejes x, y en: 3; 4 respectivamente.Alvaro Cabrera Javier 26 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
Solución. Aplicando la forma canónica:x
a+y
b= 1
x
3+y
4= 1
4x+ 3y � 12 = 0
4 2 2 4 6 8
2
2
4
6
x
y
j ) Interscta a los ejes x, y en: 6; 2 respectivamente.
Solución. Aplicando la forma canónica:x
a+y
b= 1
x
6+y
2= 1
x+ 3y � 6 = 0
1 1 2 3 4 5 6 7
1
1
2
3
x
y
k) Interscta a los ejes x, y en: �2; 1 respectivamente.
Solución. Aplicando la forma canónica de la recta:x
a+y
b= 1
x
�2 +y
1= 1
x� 2y + 2 = 0Alvaro Cabrera Javier 27 CALCULO I - CHUNGARA
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
1
1
2
3
x
y
l) Intersecta al eje y en: 5, pasa por P (4; 2).Solución. Pasa por los puntos (0; 5) y P (4; 2)
y � 5 =2� 54� 0 (x� 0)
4y � 20 = �3x3x+ 4y � 20 = 0
1 1 2 3 4 5 6 7 8
2
4
6
x
y
m) Intersecta al eje x en: 3, pasa por P (5; 4).Solución. Pasa por los puntos (3; 0) y P (5; 4)
y � 0 =4� 05� 3 (x� 3)
y = 2x� 62x� y � 6 = 0
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
8
6
4
2
2
4
x
y
Alvaro Cabrera Javier 28 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
n) Pasa por P (4; 3) con inclinación de: � = 45o.
Solución. Pasa por el punto P (4; 3) y tiene pendiente m = 1
y � 3 = x� 4x� y � 1 = 0
9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
54321
12345
x
y
ñ) Pasa por P (3; 1) con inclinación de: � = 68;2o.
Solución. Pasa por el punto P (3; 1) y tiene pendiente m =5
2
y � 1 =5
2(x� 3)
2y � 2 = 5x� 155x� 2y � 13 = 0
8 6 4 2 2 4 6 8
8
6
4
2
2
x
y
9. Hallar el ángulo de inclinación de las rectas:
a) 3x� 2y � 12 = 0.Solución.
m = �AB= � 3
(�2) =3
2=) � = tan�1
�3
2
�= 56;3o
Alvaro Cabrera Javier 29 CALCULO I - CHUNGARA
1 1 2 3 4 5 6
6
4
2
2
x
y
b) 5x+ 3y � 17 = 0.Solución.
m = �AB= �5
3=) � = tan�1
��53
�= 121o
1 1 2 3 4 5
2
2
4
6
x
y
c) 2x+ y � 4 = 0.Solución.
m = �AB= �2 =) � = tan�1 (�2) = 116;5o
1 1 2 3
2
2
4
6
x
y
d) 3x� 4y + 12 = 0.Solución.
m = �AB= � 3
�4 =) � = tan�1�3
4
�= 36;9o
Alvaro Cabrera Javier 30 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
2
2
4
x
y
e) 2x� 6 = 0Solución.
m = �AB= �2
0=) � = tan�1 (1) = 90o
2 1 1 2 3 4 5
4
2
2
4
x
y
.
f ) 3y � 7 = 0.Solución.
m = �AB= �0
3=) � = tan�1 (0) = 0o
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
2
1
1
2
3
4
x
y
10. Hallar las Ecuaciones de Recta Paralela y Perpendicular a las siguientes Rec-tas que pasen por el Punto indicado:
Alvaro Cabrera Javier 31 CALCULO I - CHUNGARA
a) 3x+ 2y � 6 = 0; P (3; 2).Solución. La recta paralela. Por condición de paralelismo:
m1 = m2 = �3
2
por punto y pendiente
y � 2 = �32(x� 3) =) 3x+ 2y � 13 = 0
La recta perpendicular. Por condición de perpendicularidad:m1m2 =�1, sustituyendo
�32m2 = �1 =) m2 =
2
3
por punto y pendiente
y � 2 = 2
3(x� 3) =) 2x� 3y = 0
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
2
4
6
x
y
b) x� 2y � 2 = 0; P (4; 3).Solución. La recta paralela. Por condición de paralelismo:
m1 = m2 =1
2
por punto y pendiente
y � 3 = 1
2(x� 4) =) x� 2y + 2 = 0
La recta perpendicular. Por condición de perpendicularidad:m1m2 =�1, sustituyendo
1
2m2 = �1 =) m2 = �2
por punto y pendiente
y � 3 = �2 (x� 4) =) 2x+ y � 11 = 0Alvaro Cabrera Javier 32 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
4 2 2 4 6 8 10
2
2
4
6
x
y
c) y � 2 = 0; P (5; 3).
11. Hallar los Angulos de Intersección entre los siguientes Pares de Rectas:
x� 2y + 2 = 0 2x� y + 2 = 0. x� 2y + 2 = 0.6x+ 3y � 15 = 0 2x+ 3y � 12 = 0. Eje y.
12. Hallar las Distancias entre las Rectas y los Puntos indicados:
3x+ 4y � 24 = 0; Pe (8; 5) 6x� 8y + 8 = 0; Pe (2; 5)2x+ 3y � 12 = 0; Pe (4; 5) x� 2y + 2 = 0; Pe (4; 3)
13. Hallar el Baricentro, Ortocentro e Incentro del triángulo ubicado entre lospuntos: A (1; 4); B (6; 8); C (9; 2).
14. Determinar a que tipo de Cónica, pertenecen las siguientes Ecuaciones:
a) 2x2 + 2y2 � 4x� 8y � 12 = 0.Solución. A = B = 2 signo iguales: Circunferencia.
4 2 2 4 6
2
2
4
6
x
y
b) x2 + 4y2 � 4 = 0.Alvaro Cabrera Javier 33 CALCULO I - CHUNGARA
Solución. A = 1 y B = 4 signos iguales: Elipse.
2 1 1 2
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
c) 4x2 + y2 � 16x+ 2y � 18 = 0.Solución. A = 4 y B = 1 signos iguales: Elipse.
8 6 4 2 2 4 6 8 10
6
4
2
2
4
x
y
d) x2 + y � 2 = 0.Solución. A = 1 y B = 0: Parábola.
3 2 1 1 2 3
4
2
2
x
y
e) x2 � y2 � 6x+ 8y � 12 = 0.Alvaro Cabrera Javier 34 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
Solución. A = B = 1 signos diferentes: Hipérbola.
4 2 2 4 6 8 102
2
4
6
8
10
x
y
f ) x2 � y2 � 4 = 0.Solución. A = B = 1 signos diferentes: Hipérbola.
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
2
2
4
x
y
g) 7x2 + 7y2 � x� 14y � 11 = 0.Solución. A = B = 7 signos iguales: Circunferencia.
4 3 2 1 1 2 3 4
1
1
2
3
x
y
h) x2 + 2y2 � 1 = 0.Alvaro Cabrera Javier 35 CALCULO I - CHUNGARA
Solución. A = 1 y B = 2 signos iguales: Elipse.
1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
1.0
0.5
0.5
1.0
x
y
15. Hallar la Ecuación General de Circunferencia, que posee los siguientes datos:
a) Centro: (0; 0); Radio: 5.
Solución. Dada la forma
(x� h)2 + (y � k)2 = R2
sustituyendo los valores
x2 + y2 = 25
8 6 4 2 2 4 6 8
4
2
2
4
x
y
b) Centro (2; 3); Radio: 4.
Solución. Dada la forma de la circunferencia:
(x� h)2 + (y � k)2 = R2
sustituyendo
(x� 2)2 + (y � 3)2 = 16
simpli�cando
x2 + y2 � 4x� 6y + 13 = 16Alvaro Cabrera Javier 36 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
21
12345678
x
y
c) Centro (2; 1); Para por el origen.Solución. Centro (2; 1) y pasa por el origen, quiere decir que el radioes la distancia entre el punto y el origen
R =
q(2� 0)2 + (1� 0)2
R =p5
sustituyendo
(x� 2)2 + (y � 1)2 =�p5�2
x2 � 4x+ 4 + y2 � 2y + 1 = 5
x2 � 4x+ y2 � 2y = 0
8 6 4 2 2 4 6 8
4
2
2
4
x
y
d) Centro (3; 2); Diámetro: 8.Solución. Aplicando la forma (x� h)2 + (y � k)2 = R2, entonces
(x� 3)2 + (y � 2)2 = 42
e) Tiene un diámetro entre: (�1; 2); (7; 8).Solución. El punto medio es el centro, entonces
h =�1 + 72
= 3; k =2 + 8
2= 5
y el radio
D =
q(�1� 7)2 + (2� 8)2 = 10
Alvaro Cabrera Javier 37 CALCULO I - CHUNGARA
entonces el radio es 5. La ecuación de la circunferencia
(x� 3)2 + (y � 5)2 = 52
f ) Tiene un diámetro entre: (2; 1); (5; 4).
Solución. El punto medio es el centro, entonces
h =2 + 5
2=7
2; k =
1 + 4
2=5
2
y el radio
D =
q(2� 5)2 + (1� 4)2 = 3
p2
entonces el radio es3
2
p2. La ecuación de la circunferencia
�x� 7
2
�2+
�y � 5
2
�2=9
2
g) Centro: (3; 4); Tangente al Eje y.
Solución. Como es tangente al eje y, entonces el radio es la abscisa delcentro, luego
(x� 3)2 + (y � 4)2 = 32
h) Centro: (3; 4); Tangente al eje x.
Solución. Como es tangente al eje x, entonces el radio es la ordenadadel centro, luego
(x� 3)2 + (y � 4)2 = 42
16. Hallar el Centro y Radio de las siguientes circunferencias.
a) x2 + y2 � 36 = 0.Solución. Es una circunferencia con centro en el origen y radio 6
x2 + y2 = 62
b) x2 + y2 � 2x� 6y + 9 = 0.Solución. Completando cuadrados perfectos
x2 + y2 � 2x� 6y + 9 = 0
x2 � 2x+ y2 � 6y = �9x2 � 2x+ 1 + y2 � 6y + 9 = �9 + 1 + 9
(x� 1)2 + (y � 3)2 = 1Alvaro Cabrera Javier 38 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
tiene centro en el punto C (1; 3) y radio 1.
6 4 2 2 4 6
2
4
6
x
y
c) x2 + y2 + 6x� 4y � 12 = 0.Solución. Completando cuadrados perfectos
x2 + y2 + 6x� 4y � 12 = 0
x2 + 6x+ y2 � 4y = 12
x2 + 6x+ 9 + y2 � 4y + 4 = 12 + 9 + 4
(x+ 3)2 + (y � 2)2 = 52
tiene centro en el punto C (�3; 2) y radio 5
14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8
4
2
2
4
6
8
x
y
d) 2x2 + 2y2 � 6x� 14y � 3 = 0.Solución. Completando cuadrados perfectos
2x2 + 2y2 � 6x� 14y � 3 = 0
2x2 + 2y2 � 6x� 14y = 3 j�2
x2 � 3x+ y2 � 7y =3
2
x2 � 3x+ 94+ y2 � 7y + 49
4=
3
2+9
4+49
4�x� 3
2
�2+
�y � 7
2
�2= 42
Alvaro Cabrera Javier 39 CALCULO I - CHUNGARA
tiene como centro el punto C�3
2;7
2
�y radio 4
8 6 4 2 2 4 6 8
2
2
4
6
8
x
y
17. Hallar la Ecuación General de la Circunferencia, que posee los siguientesdatos:
a) Pasa por: (8; 6); Centro (0; 0).
Solución. Dada la ecuación general de la circunferencia
x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0
donde D = �2h = 0, E = �2k = 0 y F = h2 + k2 � R2, el radio es ladistancia del punto al centro
R2 = (8� 0)2 + (6� 0)2 = 100
sustituyendo F = �100. Entonces la ecuación general
x2 + y2 � 100 = 0
2017.51512.5107.552.502.557.51012.51517.520
12
10
8
6
4
20
2
4
6
8
10
12
x
y
x
y
b) Pasa por: (1; 3); (3; 7); (10; 6).
Solución. Dada la ecuación general de la circunferencia
x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0Alvaro Cabrera Javier 40 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
sustituyendo los puntos:
8 (1; 3) : (1)2 + (3)2 +D (1) + E (3) + F = 0 =) D + 3E + F + 10 = 0
8 (3; 7) : (3)2 + (7)2 +D (3) + E (7) + F = 0 =) 3D + 7E + F + 58 = 0
8 (10; 6) : (10)2 + (6)2 +D (10) + E (6) + F = 0 =) 10D + 6E + F + 136 = 0
resolviendo el sistema: D = �12, E = �6 y F = 20, la ecuación general
x2 + y2 � 12x� 6y + 20 = 0
11.25108.757.56.2553.752.51.2501.252.5
9
8
7
6
5
4
3
2
10
1
2
3
x
y
x
y
c) Pasa por: (1; 7); (4; 6); (5;�1).Solución. Dada la ecuación general de la circunferencia
x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0
sustituyendo los puntos:
8 (1; 7) : (1)2 + (7)2 +D (1) + E (7) + F = 0 =) D + 7E + F + 50 = 0
8 (4; 6) : (4)2 + (6)2 +D (4) + E (6) + F = 0 =) 4D + 6E + F + 52 = 0
8 (5;�1) : (5)2 + (�1)2 +D (5) + E (�1) + F = 0 =) 5D � E + F + 26 = 0
resolviendo el sistema: D = �2, E = �4 y F = �20, la ecuación general
x2 + y2 � 2x� 4y � 20 = 0
107.552.502.557.5
7.5
5
2.5
0
2.5
x
y
x
y
Alvaro Cabrera Javier 41 CALCULO I - CHUNGARA
d) Centro: (2; 3); tangente a: 3x+ 4y � 43 = 0.Solución. D = �2h = �4, E = �2k = �6 y F = h2 + k2 �R2
R =3 (2) + 4 (3)� 43�p32 + 42
= 5
sustituyendo F = 22 + 32 � 52 = �12, la ecuación general de la circun-ferencia:
x2 + y2 � 4x� 6y � 12 = 0
1510505
10
7.5
5
2.5
0
2.5x
y
x
y
e) Centro: (3; 2); tangente a: 5x+ 12y + 26 = 0.Solución. D = �2h = �6, E = �2k = �4 y F = h2 + k2 �R2
R =5 (3) + 12 (2) + 26p
52 + 122= 5
sustituyendo F = 32 + 22 � 52 = �12, la ecuación general de la circun-ferencia:
x2 + y2 � 6x� 4y � 12 = 0
11.25108.757.56.2553.752.51.2501.252.53.7556.257.5
8
7
6
5
4
3
2
10
1
2
3
4
x
y
x
y
18. Hallar la Ecuación General de la Circunferencia, que posee los siguientesdatos:
a) Pasa por: (8;�2); tangente a: 3x+ 4y � 41 = 0; en: (7; 5).Solución. Sea C (h; k), el centro entonces
R =3h+ 4k � 41�p32 + 42
=) 3h+ 4k + 5R = 41
Alvaro Cabrera Javier 42 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
tambiénR2 = (h� 7)2 + (k � 5)2
�nalmenteR2 = (h� 8)2 + (k + 2)2
resolviendo el sistema: R = 5, h = 4 y k = 1, entonces D = �2h = �8,E = �2k = �2 y F = 42 + 12 � 52 = �8, la ecuación general de lacircunferencia
x2 + y2 � 8x� 2y � 8 = 0
1412108642024
7
6
5
4
3
2
10
1
2
3
4
x
y
x
y
b) Pasa por: (�3; 2); (4; 1) tangente al eje x.Solución. Aplicando la distancia entre dos puntos
R2 = (h+ 3)2 + (k � 2)2
R2 = (h� 4)2 + (k � 1)2
R = k
resolviendo el sistema se tiene dos soluciones: R = 145, h = 21 y k = 145también: R = 5, h = 1, k = 5. Finalmente las ecuaciones:
x2 + y2 � 42x� 290y + 441 = 0
x2 + y2 � 2x� 10y + 1 = 0
37.52512.5012.5
20
15
10
5
0
5
10
x
y
x
y
c) Pasa por: (1;�4); (5; 2); centro sobre: x� 2y + 9 = 0.Alvaro Cabrera Javier 43 CALCULO I - CHUNGARA
Solución. Se tiene las siguientes ecuaciones
(h� 1)2 + (k + 4)2 = R2
(h� 5)2 + (k � 2)2 = R2
h� 2k + 9 = 0
resolviendo el sistema: R =p65; h = �3; k = 3, entonces la ecuación
de la circunferencia F = 32 + 32 � 65 = �47
x2 + y2 + 6x� 6y � 47 = 0
105051015
10
7.5
5
2.5
0
2.5
5
x
y
x
y
d) Pasa por: (�2; 3); (4; 5); centro sobre el eje x.Solución. Sea la ecuación de la circunferencia que pasa por el eje x
(x� h)2 + y2 = r2
sustituyendo los puntos�(�2� h)2 + 32 = r2(4� h)2 + 52 = r2
Resolviendo el sistema:�h =
7
3; r2 = �250
9
�y�h =
7
3; r =
250
9
�. La ecuació
de la circunferencia es: �x� 7
3
�2+ y2 =
250
9
10864202468
6
4
2
0
2
4
6
x
y
x
y
Alvaro Cabrera Javier 44 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
e) Radio: 10 tangente a: 3x� 4y � 13 = 0 en: (7; 2)Solución. La distancia de un punto a una recta y la ecuación de lacircunferencia, tenemos:8<: 10 =
3h� 4k � 135
(7� h)2 + (2� k)2 = 100
Resolviendo el sistema: h = 13 y k = �6. Entonces la ecuación es:
(x� 13)2 + (y + 6)2 = 102
2520151050510
5
0
5
10
15
x
y
x
y
f ) Inscrita al triángulo de lados: 4x � 3y � 65 = 0; 7x � 24y + 55 = 0;3x+ 4y = 5.
Solución. Aplicando distancia de un punto a una recta:8>>>><>>>>:d =
4h� 3k � 655
d =7h� 24k + 55
�25d =
3h+ 4k � 55
Resolviendo el sistema: d = �10, h = �3 y k = �9. La ecuación buscadaes:
(x+ 3)2 + (y + 9)2 = 102
12.5012.525
5
0
5
10
15
20
25
x
y
x
y
Alvaro Cabrera Javier 45 CALCULO I - CHUNGARA
g) Circunscrita al triángulo de lados: x � y + 2 = 0; 2x + 3y � 1 = 0;4x+ y � 17 = 0.Solución. Hallamos los tres puntos donde pasa la circunferencia�
x� y + 2 = 02x+ 3y � 1 = 0
El punto A (�1; 1). Luego�x� y + 2 = 04x+ y � 17 = 0
El punto B (3; 5) �nalmente�2x+ 3y � 1 = 04x+ y � 17 = 0
El punto C (5;�3).Sea la ecuación de la circunferencia: x2 + y2 +Cx+Dy + E = 0, sustituendo estos tres puntos en esta ecuación:8<:
2� C +D + E = 034 + 3C + 5D + E = 034 + 5C � 3D + E = 0
Resolviendo el sistema: C = �325, D = �8
5y E = �34
5. La ecuación de
la circunferencia
5x2 + 5y2 � 32x� 8y � 34 = 0
1086420246810
5
2.5
0
2.5
x
y
x
y
h) Circunscrita al triángulo de lados: 3x + 2y � 13 = 0; x + 2y � 3 = 0;x+ y � 5 = 0.Solución. Hallamos los tres puntos donde pasa la circunferencia�
3x+ 2y � 13 = 0x+ 2y � 3 = 0
El punto A (5;�1). Luego�3x+ 2y � 13 = 0x+ y � 5 = 0
Alvaro Cabrera Javier 46 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
El punto B (3; 2) �nalmente�x+ 2y � 3 = 0x+ y � 5 = 0
El punto C (7;�2).Sea la ecuación de la circunferencia: x2 + y2 +Cx+Dy + E = 0, sustituendo estos tres puntos en esta ecuación:8<:
26 + 5C �D + E = 013 + 3C + 2D + E = 053 + 7C � 2D + E = 0
Resolviendo el sistema: C = �17, D = �7 y E = 52. La ecuación de lacircunferencia
x2 + y2 � 17x� 7y + 52 = 0
1510505
10
7.5
5
2.5
0
2.5
x
y
x
y
i) Tangente a: 4x + 3y � 40 = 0; centro en la intersección de: x + y = 4;x� y = 2.Solución. Hallamos el centro�
x+ y = 4x� y = 2
C (3; 1). Distancia de un punto a una recta
r =
����4 (3) + 3 (1)� 405
����r = 5
entonces la circunferencia
(x� 3)2 + (y � 1)2 = 52
19. Hallar la Ecuación General de la Parábola, que satisface los siguientes datos:
a) Vértice: (0; 0); foco: (6; 0).Solución. Dada la forma (y � h) = 4a (x� h)2, donde V (h; k) = (0; 0)y a = 6. Sustituyendo
y = 24x2
Alvaro Cabrera Javier 47 CALCULO I - CHUNGARA
10.500.51
25
20
15
10
5
0
x
y
x
y
b) Vértice: (0; 0); foco (�2; 0).Solución. Dada la forma (y � k)2 = 4a (x� h)2, donde V (h; k) = (0; 0)y a = �2. Sustituyendo
y2 = �8xy =
p�8x
012.52537.55062.5
25
12.5
0
12.5
25
x
y
x
y
c) Vértice: (2; 4); foco (7; 4).Solución. Dada la forma (y � k)2 = 4a (x� h), donde V (h; k) = (2; 4)y a = 7� 2 = 5. Sustituyendo
(y � 4)2 = 10 (x� 2)
10987654321012
14131211109876543210
123456
x
y
x
y
d) Vértice: (3; 1); foco (3; 5).Alvaro Cabrera Javier 48 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
Solución. Dada la forma (y � k) = 4a (x� h)2, donde V (h; k) = (3; 1)y a = 5� 1 = 4. Sustituyendo
y � 1 = 8 (x� 3)2
= 8 (x� 3)2 + 1= 8x2 � 48x+ 73
54.543.532.521.51
15
12.5
10
7.5
5
2.5
0
x
y
x
y
e) Vértice: (3; 2); Directriz: x� 1 = 0.f ) Vértice: (2; 1); Latus rectum entre: (5;�5); (5; 7).g) Foco: (4; 3); Directriz: x+ 2 = 0.
20. Hallar Vértice y Foco de las siguientes Parábolas:
a) y2 � 16x = 0.b) y2 � 8x� 6y + 17 = 0.c) x2 � 24y = 0.d) x2 � 4x� 12y + 64 = 0.
21. Hallar la Ecuación General de la Parábola que satisface los siguientes datos:
a) Eje paralelo al eje x; pasa por: (3; 6); vértice: (0; 0).
b) Eje paralelo al eje y; pasa por: (4; 1); vértice: (0; 0).
c) Eje paralelo al eje x; pasa por: (5; 7); (5;�5); (2; 1).d) Eje paralelo al eje y; pasa por: (6; 2); (2; 1); (�6; 5).e) Eje paralelo al eje x; pasa por: (3; 5); (6;�1); vértice sobre: 2y�3x = 0.f ) Latus rectum entre: (3; 3); (3;�2).
22. Un cable colgante forma una parábola, las torres de soporte son de 220 m dealtura, separadas entre sí por 1500 m. El punto más bajo del cable está a 70m de altura. Hallar la altura entre el cable y la base a 150 m de una torre.
23. Hallar la ecuación general de la elipse, que satisface los siguientes datos:
a) Centro: (0; 0); semiejes: 6; 2.Alvaro Cabrera Javier 49 CALCULO I - CHUNGARA
b) Centro: (2; 1); semiejes: (4; 2).
c) Vértices: (�5; 0); focos (�3; 0).d) Focos: (�4; 0); excentricidad: e = 0;8.e) Vértices: (�8; 0); e = 0;5.f ) Vértices: (0;�10); focos: (0;�8).g) Vértices: (0;�4); e = 0;25.h) Vértices: (�1; 3), (9; 3); focos: (1; 3), (7; 3).
i) Vértices: (1; 2), (7; 2); e =1
3.
j ) Focos: (3; 1); (7; 1); e =2
3.
k) Vértices: (2; 1), (2; 5); focos: (2; 2), (2; 4).
l) Un foco: (�1; 1); directriz: x = 0; e =p2
2.
24. Hallar el Centro y Semieje Mayor y Menor de las siguientes Elipses:
a) x2 + 9y2 � 9 = 0.b) x2 + 4y2 � 2x� 24y + 21 = 0.c) 4x2 + 9y2 � 36 = 0.d) 9x2 + 4y2 � 36x� 8y � 104 = 0.
25. Hallar la ecuación general de la elipse que satisface los siguientes datos:
a) Pasa por: (0; 1), (2; 0); Centro: (0; 0).
b) Pasa por:�6;29
5
�, (2; 7),
�5;32
5
�, (7; 4).
c) Pasa por: (1; 0), (�1; 1), (2; 2), (0; 4).
26. Un arco de 80 m de base, tiene forma semielíptica, sabiendo que su altura esde 30 m. Hallar la altura cuando se recorre 15 m del centro.
27. Hallar la ecuación general de la hipérbola que satisface los siguientes datos:
a) Centro: (0; 0); semieje real e imaginario: 4; 2; Eje paralelo al eje x.
b) Centro: (3; 2); semiejes: 6; 3; eje real paralelo al eje x.
c) Vértices: (�5; 0); focos: (�13; 0).
d) Vértices: (�6; 0); Excentricidad: e = 5
3.
e) Focos: (�4; 0); e = 2.f ) Vértices: (0;�3); focos: (0;�5).g) Vértices: (0;�2); e = 1;5.
Alvaro Cabrera Javier 50 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA
h) Vértices: (1; 3), (7; 3); focos: (�1; 3), (9; 3).i) Vértices: (1; 2); (3; 2); focos: (�1; 2), (5; 2).j ) Vértices: (2; 3); (6; 3); e = 3.
k) Focos: (3; 4), (3;�2); e = 1;5.
28. Hallar el centro y semiejes real e imaginario de las siguientes hipérbolas:
a) 4x2 � y2 � 16 = 0.b) 9x2 � 16y2 � 36x+ 128y � 796 = 0.c) 4x2 � y2 + 36 = 0.d) 4x2 � y2 � 16x+ 2y + 19 = 0.
29. Hallar la ecuación de la hipérbola que satisface los siguientes datos:
a) Pasa por:�20
3; 4
�; (4; 0); centro: (0; 0).
b) Pasa por: (12; 1);�52
3; 9
�, (�4; 1),
��283;�7
�.
c) Pasa por: (2; 2),�2p2; 3�,��2p2; 1�, (�2; 2).
d) Vértices: (�6; 0); asíntotas: y = �7x6.
e) Centro: (0; 0); latus rectum: 36; c = 12; eje paralelo al eje y.
30. Hallar la resolución de los siguientes problemas de geometría analítica.
a) Hallar la ecuación de la esfera de radio 4 cuyo centro está en la inter-sección de las rectas: x+ 2y � 5 = 0; 2x� y � 5 = 0.
b) Hallar la mínima distancia entre la recta: 3x+4y� 36 = 0; y la circun-ferencia: x2+y2�6x�2y+6 = 0. Hallar también los puntos de la rectay circunferencia que determinan esa mínima distancia.
c) Hallar la ecuación de circunferencia, que pasa por los puntos: (�1; 1);(8;�2) es tangente a la recta: 3x+ 4y � 41 = 0.
d) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el centro de la cir-cunferencia x2 + y2 � 4x � 8y + 11 = 0. Su latus rectum entre (3; 2) y(3; 6).
e) Hallar la ecuación de la elipse, cuyo centro coincide con el vértice de laparábola: y2 � 12x� 2y + 25 = 0. Sus semiejes son: 4; 2.
f ) Hallar el lugar geométrico de puntos, que dividen a las ordenadas de los
puntos de una circunferencia x2 + y2 = R2, en la relación:1
2.
g) Un punto P se mueve de manera que el producto de pendientes de lasdos rectas que unen al punto P con los puntos �jos (�2; 1); (6; 5) esconstante e igual a �4. Hallar la ecuación del lugar geométrico.
Alvaro Cabrera Javier 51 CALCULO I - CHUNGARA
h) La órbita de la tierra es una elipse, en uno de sus focos está el sol; elsemieje mayor es de 148;5 � 106 km, su excentricidad 0;017. Hallar lamáxima distancia entre la tierra y el sol.
i) Hallar el lugar geométrico de los puntos, cuya distancia al punto �jo
(0; 6) sea3
2de la correspondiente distancia a la recta y � 8
3= 0.
Alvaro Cabrera Javier 52 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
Capítulo 4 LIMITESHallar los siguientes Límites Algebraicos con radicales
1. l��mx�!9
9� x3�
px
Solución.
l��mx�!9
9� x3�
px= l��m
x�!9
32 � (px)2
3�px
= l��mx�!9
(3�px) (3 +
px)
3�px
= l��mx�!9
�3 +
px�= 3 +
p9 = 6==
2. l��mx�!4
px� 2x� 4
Solución.
l��mx�!4
px� 2x� 4 = l��m
x�!4
px� 2
(px)2 � 22
= l��mx�!4
px� 2
(px� 2) (
px+ 2)
= l��mx�!4
1px+ 2
=1p4 + 2
=1
4==
3. l��mx�!1
px+ 8� 3x� 1
Solución.
l��mx�!1
px+ 8� 3x� 1 = l��m
x�!1
�px+ 8� 3
� �px+ 8 + 3
�(x� 1)
�px+ 8 + 3
� = l��mx�!1
�px+ 8
�2 � 32(x� 1)
�px+ 8 + 3
�= l��m
x�!1
x+ 8� 9(x� 1)
�px+ 8 + 3
� = l��mx�!1
x� 1(x� 1)
�px+ 8 + 3
�= l��m
x�!1
1px+ 8 + 3
=1p9 + 3
=1
6==
4. l��mx�!2
x� 2px+ 2� 2
Solución.
l��mx�!2
x� 2px+ 2� 2
= l��mx�!2
(x� 2)�px+ 2 + 2
��px+ 2� 2
� �px+ 2 + 2
�= l��m
x�!2
(x� 2)�px+ 2 + 2
��px+ 2
�2 � 22 = l��mx�!2
(x� 2)�px+ 2 + 2
�x+ 2� 4
= l��mx�!2
(x� 2)�px+ 2 + 2
�x� 2 = l��m
x�!2
�px+ 2 + 2
�=
p4 + 2 = 4==
Alvaro Cabrera Javier 53 CALCULO I - CHUNGARA
5. l��mx�!3
2�px+ 1
3� xSolución.
l��mx�!3
2�px+ 1
3� x = l��mx�!3
�2�
px+ 1
� �2 +
px+ 1
�(3� x)
�2 +
px+ 1
�= l��m
x�!3
22 ��px+ 1
�2(3� x)
�2 +
px+ 1
� = l��mx�!3
4� x� 1(3� x)
�2 +
px+ 1
�= l��m
x�!3
3� x(3� x)
�2 +
px+ 1
� = l��mx�!3
1
2 +px+ 1
=1
2 +p3 + 1
=1
4==
6. l��mx�!2
px+ 7� 3x2 � 4
Solución.
l��mx�!2
px+ 7� 3x2 � 4 = l��m
x�!2
�px+ 7� 3
� �px+ 7 + 3
�(x� 2) (x+ 2)
�px+ 7 + 3
�= l��m
x�!2
�px+ 7
�2 � 32(x� 2) (x+ 2)
�px+ 7 + 3
�= l��m
x�!2
x+ 7� 9(x� 2) (x+ 2)
�px+ 7 + 3
�= l��m
x�!2
x� 2(x� 2) (x+ 2)
�px+ 7 + 3
�= l��m
x�!2
1
(x+ 2)�px+ 7 + 3
� = 1
(2 + 2)�p2 + 7 + 3
�=
1
(4) (6)=1
24==
7. l��mx�!3
x�px+ 6
x� 3Solución.
l��mx�!3
x�px+ 6
x� 3 = l��mx�!3
�x�
px+ 6
� �x+
px+ 6
�(x� 3)
�x+
px+ 6
�= l��m
x�!3
x2 ��px+ 6
�2(x� 3)
�x+
px+ 6
� = l��mx�!3
x2 � x� 6(x� 3)
�x+
px+ 6
�= l��m
x�!3
(x� 3) (x+ 2)(x� 3)
�x+
px+ 6
� = l��mx�!3
x+ 2
x+px+ 6
=3 + 2
3 +p3 + 6
=5
3 + 3=5
6==
Alvaro Cabrera Javier 54 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
8. l��mx�!1
p5x+ 4� 3x� 1
Solución.
l��mx�!1
p5x+ 4� 3x� 1 = l��m
x�!1
�p5x+ 4� 3
� �p5x+ 4 + 3
�(x� 1)
�p5x+ 4 + 3
�= l��m
x�!1
�p5x+ 4
�2 � 32(x� 1)
�p5x+ 4 + 3
� = l��mx�!1
5x+ 4� 9(x� 1)
�p5x+ 4 + 3
�= l��m
x�!1
5x� 5(x� 1)
�p5x+ 4 + 3
� = l��mx�!1
5 (x� 1)(x� 1)
�p5x+ 4 + 3
�= l��m
x�!1
5p5x+ 4 + 3
=5p
5 (1) + 4 + 3=
5p9 + 3
=5
6==
9. l��mx�!2
px+ 2� 2
x2 � 3x+ 2Solución.
l��mx�!2
px+ 2� 2
x2 � 3x+ 2 = l��mx�!2
�px+ 2� 2
� �px+ 2 + 2
�(x� 2) (x� 1)
�px+ 2 + 2
�= l��m
x�!2
�px+ 2
�2 � 22(x� 2) (x� 1)
�px+ 2 + 2
�= l��m
x�!2
x+ 2� 4(x� 2) (x� 1)
�px+ 2 + 2
�= l��m
x�!2
x� 2(x� 2) (x� 1)
�px+ 2 + 2
�= l��m
x�!2
1
(x� 1)�px+ 2 + 2
� = 1
(2� 1)�p2 + 2 + 2
� = 1
4==
10. l��mx�!3
2�px+ 1
1�px� 2
Solución.
l��mx�!3
2�px+ 1
1�px� 2
= l��mx�!3
�2�
px+ 1
� �2 +
px+ 1
� �1 +
px� 2
��1�
px� 2
� �1 +
px� 2
� �2 +
px+ 1
�= l��m
x�!3
h22 �
�px+ 1
�2i �1 +
px� 2
�h12 �
�px� 2
�2i �2 +
px+ 1
�= l��m
x�!3
[4� x� 1]�1 +
px� 2
�[1� x+ 2]
�2 +
px+ 1
� = l��mx�!3
[3� x]�1 +
px� 2
�[3� x]
�2 +
px+ 1
�= l��m
x�!3
1 +px� 2
2 +px+ 1
=1 +
p3� 2
2 +p3 + 1
=1
2==
Alvaro Cabrera Javier 55 CALCULO I - CHUNGARA
11. l��mx�!2
px� 1� 1px+ 7� 3
Solución.
l��mx�!2
px� 1� 1px+ 7� 3
= l��mx�!2
�px� 1� 1
� �px� 1 + 1
� �px+ 7 + 3
��px+ 7� 3
� �px+ 7 + 3
� �px� 1 + 1
�= l��m
x�!2
h�px� 1
�2 � 12i �px+ 7 + 3�h�px+ 7
�2 � 32i �px� 1 + 1�= l��m
x�!2
[x� 2]�px+ 7 + 3
�[x� 2]
�px� 1 + 1
� = l��mx�!2
px+ 7 + 3px� 1 + 1
=
p2 + 7 + 3p2� 1 + 1
=6
2= 3==
12. l��mx�!4
p2x+ 1�
px+ 5
x� 4Solución.
l��mx�!4
p2x+ 1�
px+ 5
x� 4 = l��mx�!4
�p2x+ 1�
px+ 5
� �p2x+ 1 +
px+ 5
�(x� 4)
�p2x+ 1 +
px+ 5
�= l��m
x�!4
�p2x+ 1
�2 � �px+ 5�2(x� 4)
�p2x+ 1 +
px+ 5
�= l��m
x�!4
2x+ 1� x� 5(x� 4)
�p2x+ 1 +
px+ 5
�= l��m
x�!4
x� 4(x� 4)
�p2x+ 1 +
px+ 5
�= l��m
x�!4
1p2x+ 1 +
px+ 5
=1p
2 (8) + 1 +p4 + 5
=1
6==
13. l��mx�!1
3x�px+ 8
2x�px+ 3
Solución.
l��mx�!1
3x�px+ 8
2x�px+ 3
= l��mx�!1
�3x�
px+ 8
� �3x+
px+ 8
� �2x+
px+ 3
��2x�
px+ 3
� �2x+
px+ 3
� �3x+
px+ 8
�= l��m
x�!1
h(3x)2 �
�px+ 8
�2i �2x+
px+ 3
�h(2x)2 �
�px+ 3
�2i �3x+
px+ 8
�= l��m
x�!1
(9x2 � x� 8)�2x+
px+ 3
�(4x2 � x� 3)
�3x+
px+ 8
�= l��m
x�!1
(x� 1) (9x+ 8)�2x+
px+ 3
�(x� 1) (4x+ 3)
�3x+
px+ 8
�= l��m
x�!1
(9x+ 8)�2x+
px+ 3
�(4x+ 3)
�3x+
px+ 8
� = (9 + 8)�2 +
p1 + 3
�(4 + 3)
�3 +
p1 + 8
� = 34
21==
Alvaro Cabrera Javier 56 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
14. l��mx�!2
px2 + 5� 3x� 2
Solución.
l��mx�!2
px2 + 5� 3x� 2 = l��m
x�!2
�px2 + 5� 3
� �px2 + 5 + 3
�(x� 2)
�px2 + 5 + 3
�= l��m
x�!2
�px2 + 5
�2 � 32(x� 2)
�px2 + 5 + 3
� = l��mx�!2
x2 + 5� 9(x� 2)
�px2 + 5 + 3
�= l��m
x�!2
x2 � 4(x� 2)
�px2 + 5 + 3
� = l��mx�!2
(x� 2) (x+ 2)(x� 2)
�px2 + 5 + 3
�= l��m
x�!2
x+ 2px2 + 5 + 3
=2 + 2p22 + 5 + 3
=2
3==
15. l��mx�!5
p2x� 1�
px+ 4p
2x� 6�px� 1
Solución.
= l��mx�!5
�p2x� 1�
px+ 4
� �p2x� 1 +
px+ 4
� �p2x� 6 +
px� 1
��p2x� 6�
px� 1
� �p2x� 6 +
px� 1
� �p2x� 1 +
px+ 4
�= l��m
x�!5
�p2x� 1
�2 � �px+ 4�2 �p2x� 6 +px� 1��p2x� 6
�2 � �px� 1�2 �p2x� 1 +px+ 4�= l��m
x�!5
(2x� 1� x� 4)�p2x� 6 +
px� 1
�(2x� 6� x+ 1)
�p2x� 1 +
px+ 4
�= l��m
x�!5
(x� 5)�p2x� 6 +
px� 1
�(x� 5)
�p2x� 1 +
px+ 4
�= l��m
x�!5
p2x� 6 +
px� 1p
2x� 1 +px+ 4
=
p2 (5)� 6 +
p5� 1p
2 (5)� 1 +p5 + 4
=2 + 2
3 + 3=2
3==
16. l��mx�!1
1� x1� 3
px
Solución.
l��mx�!1
1� x1� 3
px= l��m
x�!1
(1� x)�1 + 3
px+
3px2�
(1� 3px)�1 + 3
px+
3px2�
= l��mx�!1
(1� x)�1 + 3
px+
3px2�
1� ( 3px)3
= l��mx�!1
(1� x)�1 + 3
px+
3px2�
1� x= l��m
x�!11 + 3
px+
3px2 = 3==
Alvaro Cabrera Javier 57 CALCULO I - CHUNGARA
17. l��mx�!1
5px� 1x� 1
Solución.
l��mx�!1
5px� 1x� 1 = l��m
x�!1
( 5px� 1)
�5px4 +
5px3 +
5px2 + 5
px+ 1
�(x� 1)
�5px4 +
5px3 +
5px2 + 5
px+ 1
�= l��m
x�!1
( 5px)5 � 15
(x� 1)�
5px4 +
5px3 +
5px2 + 5
px+ 1
�= l��m
x�!1
x� 1(x� 1)
�5px4 +
5px3 +
5px2 + 5
px+ 1
�= l��m
x�!1
15px4 +
5px3 +
5px2 + 5
px+ 1
=1
1 + 1 + 1 + 1 + 1=1
5
18. l��mx�!4
1� 3px� 3
4� x
Solución.
l��mx�!4
1� 3px� 3
4� x = l��mx�!4
�1� 3
px� 3
��1 + 3
px� 3 + 3
q(x� 3)2
�(4� x)
�1 + 3
px� 3 + 3
q(x� 3)2
�= l��m
x�!4
13 ��3px� 3
�3(4� x)
�1 + 3
px� 3 + 3
q(x� 3)2
�= l��m
x�!4
1� x+ 3
(4� x)�1 + 3
px� 3 + 3
q(x� 3)2
�= l��m
x�!4
4� x
(4� x)�1 + 3
px� 3 + 3
q(x� 3)2
�= l��m
x�!4
1
1 + 3px� 3 + 3
q(x� 3)2
=1
1 + 3p4� 3 + 3
q(4� 3)2
=1
3==
19. l��mx�!1
1� 5px
1� 3px
Alvaro Cabrera Javier 58 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
Solución.
l��mx�!1
1� 5px
1� 3px= l��m
x�!1
(1� 5px)�1 + 5
px+
5px2 +
5px3 +
5px4��1 + 3
px+
3px2�
(1� 3px)�1 + 3
px+
3px2��1 + 5
px+
5px2 +
5px3 +
5px4�
= l��mx�!1
�15 � ( 5
px)5��1 + 3
px+
3px2�
�13 � ( 3
px)3��1 + 5
px+
5px2 +
5px3 +
5px4�
= l��mx�!1
(1� x)�1 + 3
px+
3px2�
(1� x)�1 + 5
px+
5px2 +
5px3 +
5px4�
= l��mx�!1
1 + 3px+
3px2�
1 + 5px+
5px2 +
5px3 +
5px4� = 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1=3
5==
20. l��mx�!0
3px+ 1� 1px+ 1� 1
Solución.
l��mx�!0
3px+ 1� 1px+ 1� 1
= l��mx�!0
�3px+ 1� 1
��3
q(x+ 1)2 + 3
px+ 1 + 1
��px+ 1 + 1
��px+ 1� 1
� �px+ 1 + 1
��3
q(x+ 1)2 + 3
px+ 1 + 1
�
= l��mx�!0
��3px+ 1
�3 � 13� �px+ 1 + 1���px+ 1
�2 � 12�� 3
q(x+ 1)2 + 3
px+ 1 + 1
�= l��m
x�!0
(x+ 1� 1)�px+ 1 + 1
�(x+ 1� 1)
�3
q(x+ 1)2 + 3
px+ 1 + 1
�= l��m
x�!0
px+ 1 + 1
3
q(x+ 1)2 + 3
px+ 1 + 1
=
p0 + 1 + 1
3
q(0 + 1)2 + 3
p0 + 1 + 1
=2
3==
21. l��mx�!1
mpx� 1
npx� 1
Alvaro Cabrera Javier 59 CALCULO I - CHUNGARA
Solución.
l��mx�!1
mpx� 1
npx� 1 = l��m
x�!1
( mpx� 1)
�( mpx)m�1
+ ( mpx)m�2
+ :::+ mpx+ 1
�( npx� 1)
�( mpx)m�1
+ ( mpx)m�2
+ :::+ mpx+ 1
�= l��m
x�!1
(x� 1)�( npx)n�1
+ ( npx)n�2
+ :::+ npx+ 1
�(x� 1)
�( mpx)m�1
+ ( mpx)m�2
+ :::+ mpx+ 1
�= l��m
x�!1
( npx)n�1
+ ( npx)n�2
+ :::+ npx+ 1
( mpx)m�1
+ ( mpx)m�2
+ :::+ mpx+ 1
=n
m
22. l��mx�!1
3px+ 7� 2px+ 3� 2
Solución.
= l��mx�!1
�3px+ 7� 2
� ��3px+ 7
�2+�3px+ 7
�(2) + 4
� �px+ 3 + 2
��px+ 3� 2
� �px+ 3 + 2
� ��3px+ 7
�2+�3px+ 7
�(2) + 4
�= l��m
x�!1
��3px+ 7
�3 � 23� �px+ 3 + 2���px+ 3
�2 � 22��� 3px+ 7
�2+�3px+ 7
�(2) + 4
�= l��m
x�!1
(x� 1)�px+ 3 + 2
�(x� 1)
��3px+ 7
�2+�3px+ 7
�(2) + 4
�= l��m
x�!1
px+ 3 + 2�
3px+ 7
�2+�3px+ 7
�(2) + 4
=1
3==
23. l��mx�!1
px� 4
pxp
x� 3px
Solución.
= l��mx�!1
(px� 4
px)h(px)3+ (px)2( 4px) + (
px) ( 4
px)2+ ( 4px)3i
(px� 3
px)h(px)2+ (px) ( 3
px) + ( 3
px)2i
= l��mx�!1
�(px)4 � ( 4
px)4� h(px)2+ (px) ( 3
px) + ( 3
px)2i
�(px)3 � ( 3
px)3� h(px)3+ (px)2( 4px) + (
px) ( 4
px)2+ ( 4px)3i
=3
4l��mx�!1
(x� 1) (px+ 1)
(px� 1) (
px+ 1)
=3
4l��mx�!1
(x� 1) (px+ 1)
x� 1 =3
4l��mx�!1
px+ 1 =
3
2==
Alvaro Cabrera Javier 60 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
24. l��mx�!4
ppx+ 7� 3x� 4
Solución.
l��mx�!4
ppx+ 7� 3x� 4 = l��m
x�!4
�ppx+ 7� 3
��ppx+ 7 + 3
�(x� 4)
�ppx+ 7 + 3
�= l��m
x�!4
�ppx+ 7
�2� 32
(x� 4)�pp
x+ 7 + 3�
= l��mx�!4
(px� 2) (
px+ 2)
(x� 4)�pp
x+ 7 + 3�(px+ 2)
= l��mx�!4
x� 4(x� 4)
�ppx+ 7 + 3
�(px+ 2)
= l��mx�!4
1�ppx+ 7 + 3
�(px+ 2)
=1�pp
4 + 7 + 3� �p
4 + 2� = 1
24==
25. l��mx�!4
1�px+
px� 3
x� 4Solución.
= l��mx�!4
�1 +
px� 3�
px� �1 +
px� 3 +
px�
(x� 4)�1 +
px� 3 +
px�
= l��mx�!4
�1 +
px� 3
�2 � (px)2(x� 4)
�1 +
px� 3 +
px�
= l��mx�!4
2�px� 3� 1
� �px� 3 + 1
�(x� 4)
�1 +
px� 3 +
px� �p
x� 3 + 1�
= l��mx�!4
2h�p
x� 3�2 � 12i
(x� 4)�1 +
px� 3 +
px� �p
x� 3 + 1�
= l��mx�!4
2�1 +
px� 3 +
px� �p
x� 3 + 1�
=2�
1 +p4� 3 +
p4� �p
4� 3 + 1� = 1
4
26. l��mx�!1
x2 �pxp
x� 1Alvaro Cabrera Javier 61 CALCULO I - CHUNGARA
Solución.
l��mx�!1
x2 �pxp
x� 1 = l��mx�!1
(x2 �px) (x2 +
px) (px+ 1)
(px� 1) (x2 +
px) (px+ 1)
= l��mx�!1
�(x2)
2 � (px)2�(px+ 1)�
(px)2 � 12
�(x2 +
px)
= l��mx�!1
x (x3 � 1) (px+ 1)
(x� 1) (x2 +px)
= l��mx�!1
x (x� 1) (x2 + x+ 1) (px+ 1)
(x� 1) (x2 +px)
= l��mx�!1
x (x2 + x+ 1) (px+ 1)
x2 +px
=(1) (12 + 1 + 1)
�p1 + 1
��12 +
p1� = 3
27. l��mx�!1
3p7 + x3 � 2xx� 1
Solución.
l��mx�!1
3p7 + x3 � 2xx� 1 = l��m
x�!1
�3p7 + x3 � 2x
� h�3p7 + x3
�2+ 2x
�3p7 + x3
�+ 4x2
i(x� 1)
h�3p7 + x3
�2+ 2x
�3p7 + x3
�+ 4x2
i= l��m
x�!1
�3p7 + x3
�3 � (2x)3(x� 1)
h�3p7 + x3
�2+ 2x
�3p7 + x3
�+ 4x2
i= l��m
x�!1
7 (1� x3)(x� 1)
h�3p7 + x3
�2+ 2x
�3p7 + x3
�+ 4x2
i= l��m
x�!1
7 (1� x) (1 + x+ x2)(x� 1)
h�3p7 + x3
�2+ 2x
�3p7 + x3
�+ 4x2
i= l��m
x�!1
7 (1 + x+ x2)�3p7 + x3
�2+ 2x
�3p7 + x3
�+ 4x2
=7 (1 + 1 + 12)�
3p7 + 13
�2+ 2 (1)
�3p7 + 13
�+ 4 (1)2
=7
4
Hallar los siguientes límites
1. l��mx�!1
8x� 64x+ 9
.
Solución.l��mx�!1
8x� 64x+ 9
= 2
Alvaro Cabrera Javier 62 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
2. l��mx�!1
x2 + 1
x� 1 .
Solución.
l��mx�!1
x2 + 1
x� 1 =1
3. l��mx�!1
6x3 + x+ 3
2x3 + x2 + 1.
Solución.
l��mx�!1
6x3 + x+ 3
2x3 + x2 + 1= 3
4. l��mx�!1
x2 + 1
x4 + 1.
Solución.
l��mx�!1
x2 + 1
x4 + 1= 0
5. l��mx�!1
px2 + 1
x+ 1.
Solución.
l��mx�!1
px2 + 1
x+ 1= 1
6. l��mx�!1
(2x+ 3)4 (3x+ 2)3
x7 + 1.
Solución.
l��mx�!1
(2x+ 3)4 (3x+ 2)3
x7 + 1= 432
7. l��mx�!1
p1 +
pxp
1 + x.
Solución.
l��mx�!1
p1 +
pxp
1 + x= 0
8. l��mx�!1
(2x2 + 1)6
(3x3 + 1)4.
Solución.
l��mx�!1
(2x2 + 1)6
(3x3 + 1)4=64
81
9. l��mx�!1
(x+ 1)m xn
xm (xn � 1) .
Solución.
l��mx�!1
(x+ 1)m xn
xm (xn � 1) = 1
Hallar los siguientes límites:Alvaro Cabrera Javier 63 CALCULO I - CHUNGARA
1. l��mx�!1
x2 � 9x.
Solución.l��mx�!1
x2 � 9x =1
2. l��mx�!1
px+ 1�
px� 1.
Solución.l��mx�!1
px+ 1�
px� 1 =
3. l��mx�!1
px2 + 1� x.
Solución.
l��mx�!1
px2 + 1� x = l��m
x�!1
�px2 + 1� x
��px2 + 1 + xpx2 + 1 + x
= l��mx�!1
x2 + 1� x2px2 + 1 + x
= l��mx�!1
1px2 + 1 + x
=1p
1+ 1 +1=1
1 = 0
4. l��mx�!1
x�px+ 1.
Solución.
l��mx�!1
x�px+ 1 = l��m
x�!1
�x�
px+ 1
�� x+
px+ 1
x+px+ 1
= l��mx�!1
x2 � x� 1x+
px+ 1
�1
x21
x2
= l��mx�!1
1� 1
x� 1
x2
1
x+
r1
x3+1
x4
=1
0=1
5. l��mx�!1
x2 �px4 + 1.
Solución.
l��mx�!1
x2 �px4 + 1 = l��m
x�!1
�x2 �
px4 + 1
�� x
2 +px4 + 1
x2 +px4 + 1
= l��mx�!1
x4 � x4 � 1x2 +
px4 + 1
= l��mx�!1
�1x2 +
px4 + 1
=�11 = 0
6. l��mx�!1
3px+ 1� 3
px.
Solución.
l��mx�!1
3px+ 1� 3
px = l��m
x�!1
�3px+ 1� 3
px��
h�3px+ 1
�2+�3px+ 1
�( 3px) + ( 3
px)2i
h�3px+ 1
�2+�3px+ 1
�( 3px) + ( 3
px)2i
= l��mx�!1
1h�3px+ 1
�2+�3px+ 1
�( 3px) + ( 3
px)2i = 1
1 = 0
Alvaro Cabrera Javier 64 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
7. l��mx�!1
ex+1 � ex.
Solución.l��mx�!1
ex+1 � ex =
8. l��mx�!1
3x � 2x.
Solución.
9. l��mx�!1
ln (x� 1)� lnx.
Solución.
l��mx�!1
ln (x� 1)� lnx = l��mx�!1
lnx� 1x
= ln l��mx�!1
1� 1
x= 0
10. l��mx�!1
x� x2
x+ 1.
Solución.
l��mx�!1
x� x2
x+ 1= l��m
x�!1
x2 + x� x2x+ 1
= l��mx�!1
x
x+ 1= 1
11. l��mx�!1
1
x� 1 �3
x3 � 1 .
Solución.
12. l��mx�!1
1
1� x �1
1�px.
Solución.
13. l��mx�!1
px� 3
px.
Solución.
14. l��mx�!1
x3
x� 1 � x2.
Solución.
15. l��mx�!1
x3
x2 � 1 �x2
x+ 1.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier 65 CALCULO I - CHUNGARA
16. l��mx�!1
23x � 2x.
Solución.
17. l��mx�!1
x3
1� x2 � x.
Solución.
18. l��mx�!1
m
1� xm �n
1� xn .
Solución.
19. l��mx�!1
x� sen x.
Solución.
20. l��mx�!1
ln 2x� lnx.
Solución.
21. l��mx�!1
senpx+ 1� sen
px.
Solución.
22. l��mx�!0
1
x2� 1p
x.
Solución.
l��mx�!0
1
x2� 1p
x= l��m
x�!0
px� x2x2px
cambio de variables u2 = x
l��mx�!0
px� x2x2px
= l��mu�!0
u� u4u4u
= l��mu�!0
1� u3u4
=1� 00
=1
23. l��mx�!3
1
x� 3 �6
x2 � 9 .
Solución.
l��mx�!3
1
x� 3 �6
x2 � 9 = l��mx�!3
x+ 3� 6x2 � 9 = l��m
x�!3
x� 3x2 � 9 = l��m
x�!3
1
x+ 3=1
6
24. l��mx�!1
3
1�px� 2
1� 3px.
Solución.
Hallar los siguientes Límites Exponenciales y Logarítmicos:Alvaro Cabrera Javier 66 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
1. l��mx�!0
(1 + x)3x
Solución.
l��mx�!0
(1 + x)3x = l��m
x�!0
�l��mx�!0
(1 + x)1x
�3= e3
2. l��mx�!0
(1 + x)12x
Solución.
l��mx�!0
(1 + x)12x =
�l��mx�!0
(1 + x)1x
�12
= e12
3. l��mx�!0
(1 + 2x)1x
Solución.
l��mx�!0
(1 + 2x)1x =
�l��mx�!0
(1 + 2x)12x
�2= e2
4. l��mx�!0
(1� x)1x
Solución.l��mx�!0
(1� x)1x = l��m
x�!0(1 + (�x))
�1�x = e�1
5. l��mx�!0
(1 + 3x)2x
Solución.l��mx�!0
(1 + 3x)2x = l��m
x�!0(1 + 3x)
63x = e6
6. l��mx�!0
(1� 8x)14x
Solución.l��mx�!0
(1� 8x)14x = l��m
x�!0(1 + (�8x))
�2�8x = e�2
7. l��mx�!1
�1 +
1
x
�3xSolución. Aplicando un cambio de variable u =
1
x
l��mx�!1
�1 +
1
x
�3x= l��m
u�!0(1 + u)
3
u = e3
8. l��mx�!1
�1 +
2
x
�xSolución. Aplicando el cambio de variable u =
2
x
l��mx�!1
�1 +
2
x
�x= l��m
u�!0(1 + u)
2u = e2
Alvaro Cabrera Javier 67 CALCULO I - CHUNGARA
9. l��mx�!1
�1� 1
3x
�6xSolución. Aplicando el cambio de variable u =
1
3x
l��mx�!1
�1� 1
3x
�6x= l��m
u�!0(1 + (�u))
�2�u = e�2
10. l��mx�!0
�1 + 7x
1 + 2x
� 1x
Solución.
l��mx�!0
�1 + 7x
1 + 2x
� 1x
=l��mx�!0
(1 + 7x)1x
l��mx�!0
(1 + 2x)1x
=e7
e2= e5
11. l��mx�!2
(x� 1)1x�2
Solución.
l��mx�!2
(x� 1)1x�2 = l��m
x�!2(1� 1 + x� 1)
1x�2 = l��m
x�!2(1 + (x� 2))
1x�2 = e
12. l��mx�!0
�3 + x
3� x
� 1x
Solución.
l��mx�!0
�3 + x
3� x
� 1x
13. l��mx�!0
7x � 1x
Solución.
l��mx�!0
7x � 1x
14. l��mx�!0
5x � 13x � 1
Solución.
l��mx�!0
5x � 13x � 1
15. l��mx�!0
2x � 2�xx
Solución.
l��mx�!0
2x � 2�xx
Alvaro Cabrera Javier 68 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
16. l��mx�!0
8x � 4x6x � 3x
Solución.l��mx�!0
8x � 4x6x � 3x
17. l��mx�!a
xx � aax� a
Solución.l��mx�!a
xx � aax� a
18. l��mx�!a
xa � axx� a
Solución.l��mx�!a
xa � axx� a
19. l��mx�!0
ln (1� x)x
Solución.l��mx�!0
ln (1� x)x
20. l��mx�!0
1
xln1 + x
1� xSolución.
l��mx�!0
1
xln1 + x
1� x
21. l��mx�!e
x� elnx� 1
Solución.l��mx�!e
x� elnx� 1
Hallar los siguientes Límites Trigonométricos:
1. l��mx�!0
sen x
8xSolución
l��mx�!0
sen x
8x=1
8l��mx�!0
sen x
x=1
8(1) =
1
8
2. l��mx�!0
sen 7x
xSolución.
l��mx�!0
sen 7x
x= 7 l��m
x�!0
sen 7x
7x= 7 = 7
3. l��mx�!0
sen 8x
4xSolución.
l��mx�!0
sen 8x
4x=2
2l��mx�!0
sen 8x
4x= 2 l��m
x�!0
sen 8x
8x= 2
Alvaro Cabrera Javier 69 CALCULO I - CHUNGARA
4. l��mx�!0
6x
sen 2xSolución.
l��mx�!0
6x
sen 2x=
1
l��mx�!0
sen 2x
6x
=1
1
3l��mx�!0
sen 2x
2x
=11
3
= 3
5. l��mx�!0
sen 12x
sen 2xSolución.
l��mx�!0
sen 12x
sen 2x= l��m
x�!0
sen 12x
sen 2x�1
12x1
12x
= l��mx�!0
sen 12x
12xsen 2x
12x
=l��mx�!0
sen 12x
12x1
6l��mx�!0
sen 2x
2x
= 6
6. l��mx�!0
x� sen 7xx� sen 3x
Solución.
l��mx�!0
x� sen 7xx� sen 3x = l��m
x�!0
x� x sen 7xx
x� x sen 3xx
= l��mx�!0
x
�1� 7 sen 7x
7x
�x
�1� 3 sen 3x
3x
�
= l��mx�!0
1� 7 l��mx�!0
sen 7x
7x
1� 3 l��mx�!0
sen 3x
3x
=1� 71� 3 = 3
7. l��mx�!0
tan 3x
xSolución.
l��mx�!0
tan 3x
x= l��m
x�!0
sen 3x
cos 3xx
= l��mx�!0
1
cos 3x� 3 l��mx�!0
sen 3x
3x= 3
8. l��mx�!0
tan 8x
tan 4xSolución.
l��mx�!0
tan 8x
tan 4x= l��m
x�!0
sen 8x
cos 8xsen 4x
cos 4x
= l��mx�!0
cos 4x
cos 8x� 2 l��mx�!0
sen 8x
8xsen 4x
4x
= 2
Alvaro Cabrera Javier 70 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
9. l��mx�!0
sen 9x� sen 5xsen 6x� sen 4x
Solución.
l��mx�!0
sen 9x� sen 5xsen 6x� sen 4x = l��m
x�!0
1
x(sen 9x� sen 5x)
1
x(sen 6x� sen 4x)
= l��mx�!0
sen 9x
x� sen 5x
xsen 6x
x� sen 4x
x
= l��mx�!0
9 sen 9x
9x� 5 sen 5x
5x6 sen 6x
6x� 4 sen 4x
4x
=9� 56� 4 = 2
10. l��mx�!0
sen2 x
1� cosx
Solución.
l��mx�!0
sen2 x
1� cosx = l��mx�!0
1� cos2 x1� cosx = l��m
x�!0
(1� cosx) (1 + cosx)1� cosx = l��m
x�!0(1 + cos x) = 2
11. l��mx�!�
3
2 cos x� 1� � 3x
Solución. l��mx�!�
3
2 cos x� 1� � 3x =
1� 1� � � =
0
0.
Alvaro Cabrera Javier 71 CALCULO I - CHUNGARA
Primera forma: Si u = � � 3x =) x =� � u3
l��mx�!�
3
2 cos x� 1� � 3x = l��m
u�!0
2 cos��3� u3
�� 1
u
= l��mu�!0
2 cos�
3cos
u
3+ 2 sen
�
3sen
u
3� 1
u
= l��mu�!0
cosu
3+p3 sen
u
3� 1
u
= l��mu�!0
cosu
3� 1
u+
p3
3l��mu�!0
senu
3u
3
= l��mu�!0
cosu
3� 1
u�cos
u
3+ 1
cosu
3+ 1
+
p3
3
= l��mu�!0
cos2u
3� 1
u� 1
cosu
3+ 1
+
p3
3
= � l��mu�!0
senu
u� senu
cosu
3+ 1
+
p3
3
= 1 � 02+
p3
3=
p3
3
12. l��mx�!�
3
sen�x� �
3
�1� 2 cos x
Alvaro Cabrera Javier 72 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
Solución. l��mx�!�
3
sen�x� �
3
�1� 2 cos x =
sen��3� �3
�1� 2
�1
2
� =0
0. Si u = x� �
3
l��mx�!�
3
sen�x� �
3
�1� 2 cos x = l��m
u�!0
senu
1� 2 cos�u� �
3
�= l��m
u�!0
senu
1� 2 cosu cos �3� 2 senu cos �
3
= l��mu�!0
senu
1� cosu�p3 senu
= l��mu�!0
senu
u1� cosu
u�p3 senu
u
=1
l��mu�!0
1� cosuu
�p3
=1
l��mu�!0
1� cosuu
� 1 + cos u1 + cos u
�p3
=1
l��mu�!0
senu
u� senu
1 + cos u�p3
= �p3
3
13. l��mx�!1
sen �x
1� x
Solución. l��mx�!1
sen �x
1� x =0
0. Si u = 1� x
l��mu�!0
sen (� � �u)u
= l��mu�!0
sen � cos �u� cos � sen �uu
= � l��mu�!0
sen �u
�u= �
14. l��mx�!1
x+ cosx
x+ sen xSolución.
l��mx�!1
x+ cosx
x+ sen x
15. l��mx�!�
4
cosx� sen xcos 2x
Solución.l��mx�!�
4
cosx� sen xcos 2x
Alvaro Cabrera Javier 73 CALCULO I - CHUNGARA
16. l��mx�!0
1� cosxx2
Solución.
l��mx�!0
1� cosxx2
= l��mx�!0
1� cosxx2
� 1 + cos x1 + cos x
= l��mx�!0
sen2 x
x2� 1
1 + cos x
=1
2
17. l��m
x�!�
2
(1� sen x)23
cosx
Solución.
l��m
x�!�
2
(1� sen x)23
cosx
18. l��mx�!0
�1
sen x� 1
tan x
�Solución.
l��mx�!0
�1
sen x� 1
tan x
�19. l��m
x�!�
sen x
cosx
2Solución.
l��mx�!�
sen x
cosx
2
20. l��mx�!0
cosx� cos 2xx2
Solución.l��mx�!0
cosx� cos 2xx2
21. l��mx�!�
4
sen x� cosxtan x� 1
Solución.l��mx�!�
4
sen x� cosxtan x� 1
22. l��mx�!1
sen �x
1�px
Solución.l��mx�!1
sen �x
1�px
Alvaro Cabrera Javier 74 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
23. l��mx�!1
x2�1� cos 1
x
�Solución.
l��mx�!1
x2�1� cos 1
x
�
24. l��mx�!0
cosmx� cosnxx2
Solución. Utilizando la identidad cosA�cosB = 2 sen�A+B
2
�sen
�A�B2
�
l��mx�!0
cosmx� cosnxx2
= l��mx�!0
2 sen
�mx+ nx
2
�sen
�mx� nx
2
�x2
= 2m+ n
2l��mx�!0
sen x
�m+ n
2
�x
�m+ n
2
� ��m� n2
�l��mx�!0
sen x
�m� n2
�x
�m� n2
�=
m2 � n22
25. l��mx�!0
1�pcosx
x2
Solución.
l��mx�!0
1�pcosx
x2
26. l��mx�!�
2
��2� x�tan x
Solución.l��mx�!�
2
��2� x�tan x
27. l��mx�!0
arcsenx� arctanxx3
Solución.l��mx�!0
arcsenx� arctanxx3
Hallar los siguientes Límites de Funciones Especiales (Evaluar previamente elLímite Lateral Derecha, luego el izquierdo).
1. l��mx�!3
1
x� 3Solución.
l��mx�!3
1
x� 3Alvaro Cabrera Javier 75 CALCULO I - CHUNGARA
2. l��mx�!2
jx� 2j
Solución.l��mx�!2
jx� 2j
3. l��mx�!3
kxk
Solución.l��mx�!3
kxk
4. l��mx�!1
fxg
Solución.l��mx�!1
fxg
5. l��mx�!0
e1x
Solución.l��mx�!0
e1x
6. l��mx�!2
sgn (x)� jxj
Solución.l��mx�!2
sgn (x)� jxj
7. l��mx�!2
jx� 2jx� 2
Solución.l��mx�!2
jx� 2jx� 2
8. l��mx�!0
x� jxjx
Solución.l��mx�!0
x� jxjx
9. l��mx�!0
jxj � kxkfxg � x
Solución.l��mx�!0
jxj � kxkfxg � x
Hallar los siguientes Límites de Funciones de distinta naturaleza:
1. l��mx�!0
3p1 + x� 1p1 + x� 1
Solución.
l��mx�!0
3p1 + x� 1p1 + x� 1
Alvaro Cabrera Javier 76 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
2. l��mx�!2
(2x� 3)2 � (x� 1)4
x3 � 3x2 + 4Solución.
l��mx�!2
(2x� 3)2 � (x� 1)4
x3 � 3x2 + 4
3. l��mx�!1
(xm + 1)n (xn � 1)m
x2mn � 1Solución.
l��mx�!1
(xm + 1)n (xn � 1)m
x2mn � 1
4. l��mx�!0
ex2 � cosxx2
Solución.
l��mx�!0
ex2 � cosxx2
5. l��mx�!0
esen 3x � esenxx
Solución.
l��mx�!0
esen 3x � esenxx
6. l��mx�!0
(1 +mx)n � (1 + nx)x2
Solución.
l��mx�!0
(1 +mx)n � (1 + nx)x2
7. l��mx�!0
2x � 2�xtan x
Solución.
l��mx�!0
2x � 2�xtan x
8. l��mx�!6
px� 2� 3
px+ 2p
x+ 3� 3px+ 21
Solución.
l��mx�!6
px� 2� 3
px+ 2p
x+ 3� 3px+ 21
9. l��mx�!1
x+ x2 + x3 + x4 � 4x� 1
Solución.
l��mx�!1
x+ x2 + x3 + x4 � 4x� 1
Alvaro Cabrera Javier 77 CALCULO I - CHUNGARA
10. l��mx�!1
�x2 + 2
x2 � 1
�x2Solución.
l��mx�!1
�x2 + 2
x2 � 1
�x2
11. l��mx�!0
�1 + x4x
1 + x2x
� 1x2
Solución.
l��mx�!0
�1 + x4x
1 + x2x
� 1x2
12. l��mx�!1
x+ x2 + :::+ xn � nx� 1
Solución.
l��mx�!1
x+ x2 + :::+ xn � nx� 1
13. l��mx�!0
ln (cos 4x)
ln (cos 2x)
Solución.
l��mx�!0
ln (cos 4x)
ln (cos 2x)
14. l��mx�!0
(cosx)1
senx
Solución.l��mx�!0
(cosx)1
senx
15. l��mx�!0
(1 + senx)cotx
Solución.l��mx�!0
(1 + senx)cotx
16. l��mx�!1
ln (1 + 4x)
ln (1 + 2x)
Solución.
l��mx�!1
ln (1 + 4x)
ln (1 + 2x)
17. l��mx�!0
� cosxcos 3x
� 1x2
Solución.
l��mx�!0
� cosxcos 3x
� 1x2
Alvaro Cabrera Javier 78 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
18. l��mx�!0
(tanx+ cosx)cscx
Solución.l��mx�!0
(tan x+ cosx)cscx
19. l��mx�!1
x
�e1x � 1
�Solución.
l��mx�!1
x
�e1x � 1
�
20. l��mx�!1
�1 + x4x
1 + x2x
� 1x2
Solución.
l��mx�!1
�1 + x4x
1 + x2x
� 1x2
21. l��mx�!0
�sen xx
� senxx�senx
Solución.
l��mx�!0
�sen xx
� senxx�senx
22. l��mx�!1
lnx
log x
Solución.
l��mx�!1
lnx
log x
23. l��mx�!�
4
cosx� sen xsen 4x
Solución.l��mx�!�
4
cosx� sen xsen 4x
24. l��mx�!1
x [ln (x+ a)� lnx]
Solución.l��mx�!1
x [ln (x+ a)� lnx]
25. l��mx�!1
x sen1
x
Solución.
l��mx�!1
x sen1
xAlvaro Cabrera Javier 79 CALCULO I - CHUNGARA
26. l��mx�!0
(sen x)1
tanx
Solución.l��mx�!0
(sen x)1
tanx
27. l��mx�!1
�x2 � 2x+ 1x2 � 4x+ 2
�xSolución.
l��mx�!1
�x2 � 2x+ 1x2 � 4x+ 2
�x28. l��m
x�!2jx� 1j
Solución.l��mx�!2
jx� 1j
29. l��mx�!a
axa � aax
xa � axSolución.
l��mx�!a
axa � aax
xa � ax
30. l��mx�!0
2x� arcsenx2x+ arctanx
Solución.l��mx�!0
2x� arcsenx2x+ arctanx
31. l��mx�!2
kxkx
Solución.
l��mx�!2
kxkx
32. l��mx�!0
ln (cos x)
xSolución.
l��mx�!0
ln (cos x)
x
33. l��mx�!1
x32�px3 + 1�
px3 � 1
�Solución.
l��mx�!1
x32
�px3 + 1�
px3 � 1
�34. l��m
x�!0(sgn (x))2
Solución.l��mx�!0
(sgn (x))2
Alvaro Cabrera Javier 80 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 4. LIMITES
35. l��mx�!1
jxj � kxksgn (x)� fxg
Solución.l��mx�!1
jxj � kxksgn (x)� fxg
36. l��mx�!0
sgn (x) + kxkjxj+ fxg
Solución.l��mx�!0
sgn (x) + kxkjxj+ fxg
Determinar si son continuas (C) o No Continuas (NC) las siguientes Funciones,indicar además los Puntos de Discontinuidad si los hubiera.
1. f = 3x+ 1
Solución.
2. f = 5x2 � 2Solución.
3. f =1
x� 3Solución.
4. f = ex
Solución.
5. f = cos x
Solución.
6. f = tanx
Solución.
7. f =�2� x x � 1x2 x > 1
Solución.
8. f =�4� x x � 2x� 1 x > 2
Solución.
9. f =�2x+ 1 x 6= 23 x = 2
Solución.
10. f =�4� x2 x < 1x+ 2 x � 1
Solución.Alvaro Cabrera Javier 81 CALCULO I - CHUNGARA
11. f = jx� 1jSolución.
12. f =jx� 3jx� 3
Solución.
13. f = x+ kxkSolución.
Hallar el valor de A para que las siguientes funciones sean continuas:
1. f =�2x� 1 x 6= 3A x = 3
2. f =�x ln (x� 2) x 6= 3A x = 3
3. f =
8<: x3 � 1x� 1 x 6= 1A x = 1
4. f =
8<:3� x x < 1A x = 11 + x2 x > 1
Alvaro Cabrera Javier 82 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 5. DERIVADAS
Capítulo 5 DERIVADASPor de�nición, hallar las derivadas de las siguientes funciones:
1. f (x) = 5x2 + 7
Solución.
l��m�x�!0
f (x+�x)� f (x)�x
= l��m�x�!0
5 (x+�x)2 + 7� (5x2 + 7)�x
= l��m�x�!0
5x2 + 10x�x+ 5�x2 + 7� 5x2 � 7�x
= l��m�x�!0
10x�x+ 5�x2
�x= l��m
�x�!0
5�x (5x+�x)
�x= l��m
�x�!05 (5x+�x) = 10x==
2. f (x) = 5x3 + 1
Solución.
l��m�x�!0
f (x+�x)� f (x)�x
= l��m�x�!0
5 (x+�x)3 + 1� (5x3 + 1)�x
= l��m�x�!0
5x3 + 15x2�x+ 15x�x2 + 5�x3 + 1� 5x3 � 1�x
= l��m�x�!0
15x2�x+ 15x�x2 + 5�x3
�x
= l��m�x�!0
5�x (3x2 + 3x�x+�x2)
�x= 5 l��m
�x�!03x2 + 3x�x+�x2 = 15x2==
3. f (x) = 1
Solución.
l��m�x�!0
f (x+�x)� f (x)�x
= l��m�x�!0
1� 1�x
= 0
4. f (x) = 3px
Alvaro Cabrera Javier 83 CALCULO I - CHUNGARA
Solución.
= l��m�x�!0
�3px+�x� 3
px��
3
q(x+�x)2 + 3
px+�x 3
px+
3px2�
�x
�3
q(x+�x)2 + 3
px+�x 3
px+
3px2�
= l��m�x�!0
�3px+�x
�3 � ( 3px)3
�x
�3
q(x+�x)2 + 3
px+�x 3
px+
3px2�
= l��m�x�!0
x+�x� x
�x
�3
q(x+�x)2 + 3
px+�x 3
px+
3px2�
= l��m�x�!0
1
3
q(x+�x)2 + 3
px+�x 3
px+
3px2=
13px2 +
3px2 +
3px2
=1
33px2
5. f (x) =1
x+ 2
Solución.
l��m�x�!0
f (x+�x)� f (x)�x
= l��m�x�!0
1
x+�x+ 2� 1
x+ 2�x
= l��m�x�!0
x+ 2� x��x� 2(x+�x+ 2) (x+ 2)
�x
= l��m�x�!0
�1(x+�x+ 2) (x+ 2)
=�1
(x+ 2)2==
6. f (x) =px+ 7
Solución.
= l��m�x�!0
�px+�x+ 7�
px+ 7
� �px+�x+ 7 +
px+ 7
��x�px+�x+ 7 +
px+ 7
�= l��m
�x�!0
�px+�x+ 7
�2 � �px+ 7�2�x�px+�x+ 7 +
px+ 7
�= l��m
�x�!0
x+�x+ 7� x� 7�x�px+�x+ 7 +
px+ 7
� = l��m�x�!0
1px+�x+ 7 +
px+ 7
=1
2px+ 7
==
Por de�nición, hallar las derivadas de las siguientes funciones:Alvaro Cabrera Javier 84 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 5. DERIVADAS
1. f (x) = 3x.
Solución.
l��m�x�!0
f (x+�x)� f (x)�x
=
2. f (x) = log x.
Solución.
l��m�x�!0
f (x+�x)� f (x)�x
=
3. f (x) = coshx.
Solución.
l��m�x�!0
f (x+�x)� f (x)�x
=
4. f (x) = tan x.
Solución.
l��m�x�!0
f (x+�x)� f (x)�x
=
5. f (x) = sec x.
Solución.
l��m�x�!0
f (x+�x)� f (x)�x
=
6. f (x) = g�1.
Solución.
l��m�x�!0
f (x+�x)� f (x)�x
=
Derivar:
1. f (x) = 3x+ x3 + 3x + 3.
Solución.f 0 (x) =
2. f (x) = 2 ln x+ x ln 2.
Solución.f 0 (x) =
3. f (x) = 5 cos x+ x cos 5.
Solución.f 0 (x) =
4. f (x) =px+
1px.
Solución.f 0 (x) =
Alvaro Cabrera Javier 85 CALCULO I - CHUNGARA
Derivar (por la regla del producto)
1. f (x) = x3 sen x.
Solución.f 0 (x) =
2. f (x) = x6 lnx.
Solución.f 0 (x) =
3. f (x) = x27x.
Solución.f 0 (x) =
4. f (x) = ex cosx.
Solución.f 0 (x) =
5. x3ex cosx.
Solución.f 0 (x) =
Derivar (por la regla del cociente)
1. f (x) =cosx
x5.
Solución.f 0 (x) =
2. f (x) =x5 + 1
x3 � 1 .
Solución.f 0 (x) =
3. f (x) =x2
lnx.
Solución.f 0 (x) =
4. f (x) =2x � 12x + 1
.
Solución.f 0 (x) =
Derivar (por la regla de la cadena).
1. f (x) = sen (x2 + 1).
Solución.f 0 (x) =
Alvaro Cabrera Javier 86 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 5. DERIVADAS
2. f (x) = (x3 + 1)7.
Solución.f 0 (x) =
3. f (x) = 3p1 + x6.
Solución.f 0 (x) =
4. f (x) = ln (1 + x4).
Solución.f 0 (x) =
5. f (x) = sen (1 + x2ex).
Solución.f 0 (x) =
6. f (x) = etanx.
Solución.f 0 (x) =
Derivar:
1. f (x) = arcsenx2 � 1x2
.
Solución.f 0 (x) =
2. f (x) = arcsenxp1 + x2
.
Solución.f 0 (x) =
3. f (x) =1
3tan3 x+ tan x+ x.
Solución.f 0 (x) =
4. f (x) = ln�x+
pa2 + x2
�.
Solución.f 0 (x) =
5. f (x) =pa2 � x2 + a arcsen x
2.
Solución.f 0 (x) =
Alvaro Cabrera Javier 87 CALCULO I - CHUNGARA
6. f (x) = sen x� 13sen3 x.
Solución.f 0 (x) =
7. f (x) =x
2
pa2 � x2 + 1
2a2 arcsen
x
a.
Solución.f 0 (x) =
8. f (x) =x
2
px2 � a2 � 1
2a2 ln
�x+
px2 � a2
�.
Solución.f 0 (x) =
9. f (x) = ln�p1 + ex � 1
�� ln
�p1 + ex + 1
�.
Solución.f 0 (x) =
10. f (x) =1
2ln
px2 + a2 + xpx2 + a2 � x
.
Solución.f 0 (x) =
11. f (x) =1
3lnx2 � 2x+ 1x2 + x+ 1
.
Solución.f 0 (x) =
12. f (x) =1
2ln�tan
x
2
�� 12
cosx
sen2 x.
Solución.f 0 (x) =
13. f (x) =m
2ln (x2 � a2) + n
2aln
�x� ax+ a
�.
Solución.f 0 (x) =
Hallar el valor de la derivada de las funciones, en los puntos indicados:
1. f (x) = x2 � 6x+ 3; x = 5..Solución.
f 0 (x) =
2. f (x) =x� 1x+ 1
; x = 0..
Solución.f 0 (x) =
Alvaro Cabrera Javier 88 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 5. DERIVADAS
3. f (x) = ex sen x; x = 0..
Solución.f 0 (x) =
4. f (x) = x3 cosx; x = 0..
Solución.f 0 (x) =
5. f (x) = x3 lnx� x3
3; x = 1..
Solución.f 0 (x) =
6. f (x) =x2
lnx; x = e..
Solución.f 0 (x) =
7. f (x) =xp1 + x2
; x = 0..
Solución.f 0 (x) =
8. f (x) = tan x� x; x = �
2..
Solución.f 0 (x) =
Hallar la derivada en x = a.
1. f (x) = 5px; a = 0..
Solución.f 0 (x) =
2. f (x) = jx� 2j; a = 2..Solución.
f 0 (x) =
3. f (x) =1
x� 3 ; a = 4..
Solución.f 0 (x) =
4. f (x) = kxk; a = 3..Solución.
f 0 (x) =
Indicar:Alvaro Cabrera Javier 89 CALCULO I - CHUNGARA
1. Una función no derivable en: x = 2.
2. Indicar una función de�nida para todo x; no derivable en x impar.
3. Indicar una función continua para todo x; no derivable en x entero.
Hallar la segunda derivada en las funciones indicadas:
1. f (x) = x3 � 1.Solución.
f 0 (x) =
f 00 (x) =
2. f (x) = x5 lnx.
Solución.
f 0 (x) =
f 00 (x) =
3. f (x) =x2 � 1x2 + 1
.
Solución.
f 0 (x) =
f 00 (x) =
4. f (x) =sen x+ 1
sen x� 1 .
Solución.
f 0 (x) =
f 00 (x) =
5. f (x) =x
2
px2 + a2 +
a2
2ln�x+
px2 + a2
�.
Solución.
f 0 (x) =
f 00 (x) =
Hallar la derivada enésima de:
1. f (x) = e3x.
2. f (x) = sen 2x.Alvaro Cabrera Javier 90 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 5. DERIVADAS
3. f (x) =1 + x
1� x .
4. f (x) =5x� 23
x2 � 9x+ 20 .
5. f (x) = log x.
Demostrar la fórmula de Leibnitz:
(uv)n =nXk=0
�nk
�ukvn�k
Derivar (implícitamente) las siguientes funciones implícitas:
1. y4 + x3 + y2 + x = 0.
Solución. Derivando:
4y3y0 + 3x2 + 2yy0 + 1 = 0
y0�4y3 + 2y
�+ 3x2 + 1 = 0
y0 = � 3x2 + 1
4y3 + 2y
2. 3x5 � y3 = x2 � 2y4.Solución. Derivando:
15x4 � 3y2y0 = 2x� 8y3y0
y0�8y3 � 3y2
�= 2x� 15x4
y0 =2x� 15x48y3 � 3y2
3. x3y5 + y2 � x4 = 0.Solución. Derivando:
3x2y5 + 5x3y4y0 + 2yy0 � 4x3 = 0
y0�5x3y4 + 2y
�+ 3x2y5 � 4x3 = 0
y0 =x2 (4x� 3y5)y (5x3y3 + 2)
4. 2x2y4 + 3x6y2 = 1.
Solución. Derivando:
4xy4 + 8x2y3y0 + 18x5y2 + 6x6yy0 = 0
y0�8x2y3 + 6x6y
�+ 4xy4 + 18x5y2 = 0
y0 = �2y (2y2 + 9x4)
x (8y2 + 7x4)Alvaro Cabrera Javier 91 CALCULO I - CHUNGARA
5.x2 � y4x3 + y6
= 1.
Solución. Derivando:
x2 � y4 = x3 + y6
2x� 4y3y0 = 3x2 + 6y5y0
y0�6y5 + 4y3
�= 3x2 � 2x
y0 =3x2 � 2x6y5 + 4y3
=x (3x� 2)2y3 (3y2 + 2)
6.x2 + 1
y2 + 1= 1.
Solución. Derivando:
x2 + 1 = y2 + 1
x2 = y2
2x = 2yy0
y0 =x
y
7. exy + 1 = x2
Solución. Derivando:
exy (y + xy0) = 2x
exyy + exyxy0 = 2x
y0 =2x� yexyxexy
8. sen (x2y3 + 1) = x.
Solución. Derivando:
cos�x2y3 + 1
� �2xy3 + 3x2y2y0
�= 1
2xy3 cos�x2y3 + 1
�+ 3x2y2y0 cos
�x2y3 + 1
�= 1
y0 =1� 2xy3 cos (x2y3 + 1)3x2y2 cos (x2y3 + 1)
Hallar la derivada implícita indicada:
1. x4 + y2 = 1, y00.
Solución. Derivando dos veces:
2x3 + y � y0 = 0
6x2 + y0y0 + y � y00 = 0
y00 = �6x2y2 + 4x6
y3
Alvaro Cabrera Javier 92 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 5. DERIVADAS
2. ex + ey = 1, y00.
Solución. Derivando dos veces
ex + eyy0 = 0
ex + eyy0y0 + y00ey = 0
ex + ey��e
x
ey
���e
x
ey
�+ eyy00 = 0
ex +e2x
ey+ eyy00 = 0
ex+y + e2x + e2yy00 = 0
despejando
y00 = �ex+y + e2x
e2y= �
�ex�y + e2(x�y)
�= �ex�y
�1 + ex�y
�3. x5 + y5 + x2 + y2 = 1, y00.
Solución.
4. x6 + y6 + x4 + y4 = 1, y0 (0; 1), y00 (1; 1).
Solución.
5. xy � 1 = 0, y0.Solución.
Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes en las curvas y puntos dados:
1. y = x2 � 6x+ 11; P (2;�1).Solución.
2. y = 2px� 4 + 3; P (2; 2).
Solución.
3. y = �x2 + 6x� 5; P (5; 9).Solución.
Determinar las rectas tangentes y rectas normales a las curvas de las funciones,en los puntos indicados:
1. y = 6x� x2; P (4; 8).Alvaro Cabrera Javier 93 CALCULO I - CHUNGARA
2. y = x3 � 3x2 + 3x+ 2; P (2; 4).
3. y = ex�1; P (1; 1).
4. y = sen 2x; P��4; 1�.
Hallar los ángulos de inclinación de las curvas dadas en los puntos indicados:
1. y = x2 � 4x+ 6; P (3; 3).
2. y = ex�2; P (3; e).
3. y =2
x2 + 1; P (1; 1).
4. y =lnx
x; P (1; 0).
5. y = x2 � 4x+ 5; P (2; 1).
6. y =1
x� 2 ; x = 2.
Hallar los ángulos de intersección entre las curvas de las funciones:
1. y = x2 � 6x+ 10
2. y =15 + 6x� x2
4
3. y = x2 � 4
4. y = x� 2
5. y = 2x
6. y =1
2x
7. y = senx
8. y = sen 2x
9. y = x2
10. y =px
Hallar el valor c que veri�ca el teorema del valor medio (teorema de Lagrange)en las funciones indicadas y sus respectivos intervalos:
1. y = 1 + 4x� x2; 0 � x � 3
2. y = x2 � 6x+ 10; 2 � x � 5
3. y = senx; 0 � x � 3�
4Alvaro Cabrera Javier 94 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 5. DERIVADAS
4. y =x� 1x2 � 4 ; 1 � x � 3
5. y = x2 � 2x� 3; �1 � x � 3Responder:
1. ¿Toda función continua cumple con el Teorema del valor medio?
2. ¿Toda función continua es derivable?
3. ¿Es igual la expresiónd2y
dx2=
�dy
dx
�2?
4. ¿Las rectas tangentes siempre se intersectan con las normales?
Hallar los puntos críticos de las siguientes funciones:
1. f (x) = x2 � 6x+ 10Solución. Derivando: f 0 (x) = 2x� 6
2x� 6 = 0 =) x = 3
reemplazando enf (3) = 32 � 6 (3) + 10 = 1
un punto crítico es P (3; 1). Gra�cando:
53.752.51.250
5
3.75
2.5
1.25
0
x
y
x
y
2. f (x) = x2 � 4
52.502.55
20
15
10
5
0
x
y
x
y
Alvaro Cabrera Javier 95 CALCULO I - CHUNGARA
3. f (x) = x3 � 6x2 + 9x+ 1
53.752.51.250
20
10
0
10
20
x
y
x
y
4. f (x) = 1� x2
52.502.55 0
5
10
15
20
xy
xy
5. f (x) = x4 � 8x2 + 18
2.51.2501.252.5
25
20
15
10
5
0
x
y
x
y
Alvaro Cabrera Javier 96 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 5. DERIVADAS
6. f (x) = x3 + 1
52.502.55
100
50
0
50
100
x
y
x
y
7. f (x) = x2e�x
52.502.55
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
x
y
x
y
8. f (x) = ex2�4
52.502.55
1.25e+9
1e+9
7.5e+8
5e+8
2.5e+8
0
x
y
x
y
9. f (x) = ln (1 + 6x� x2)
10. f (x) = ln (ex�1 � x+ 1)Alvaro Cabrera Javier 97 CALCULO I - CHUNGARA
11. f (x) =� p
x� 5 if x > 5
2017.51512.5107.5
5
3.75
2.5
1.25
x
y
x
y
12. f (x) = 5px� 1 + 1
52.502.55
2
1.5
1
0.5
0
x
y
x
y
13. f (x) =1
x� 4
52.502.55
50
25
0
25
x
y
x
y
Alvaro Cabrera Javier 98 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 5. DERIVADAS
14. f (x) =jxjx
52.502.55
1
0.5
0
0.5
1
x
y
x
y
Hallar los máximos y mínimos en las siguientes funciones:
1. f (x) = x2 � 10x+ 27
1510505
100
75
50
25
x
y
x
y
2. f (x) = x3 � 3x2 � 9x+ 30
52.502.5
75
50
25
0
25
50
75
x
y
x
y
Alvaro Cabrera Javier 99 CALCULO I - CHUNGARA
3. f (x) = x4 � 2x2 + 4
21012
15
12.5
10
7.5
5
2.5
0
x
y
x
y
4. f (x) = ln (9� x2)
5. f (x) = x3e�x
6. f (x) = jx� 2j+ 3
7. f (x) = 3px� 4 + 1
Hallar los intervalos de crecimiento e intervalos de concavidad respectivamentede las siguientes funciones:
1. f (x) = x2 � 8x+ 1
2. f (x) = x3 � 6x2 + 9x+ 12
3. f (x) = x4 � 2x2 + 4
4. f (x) = ln (�x2 + 6x� 8)
Gra�car, analizando sus características las siguientes funciones:
1. f (x) = x2 � 12x+ 38
2. f (x) = 8x� x2
3. f (x) = x3 � 6x2 + 9x+ 1
4. f (x) = x3 � 12x
5. f (x) = x4 � 2x2 + 3
6. f (x) = 3x5 � 25x3 + 60x
7. f (x) = ln (1 + 6x� x2)
8. f (x) =lnx
x2
9. f (x) = 15xe�x3
Alvaro Cabrera Javier 100 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 5. DERIVADAS
10. f (x) = e4�x2
11. f (x) = jx� 1j+ jx� 3j
12. f (x) = jx2 � 4x+ 3j
Demostrar:
1. Si f (x) = 3x2 � 5x+ 1; demostrar que se cumple: y00 + xy0 � 2y � 5x = 4.
2. Si f (x) = e2x � 1, demostrar que se cumple: y00 + y0 � 6y � 6 = 0.
3. Si f (x) = esenx, demostrar que se cumple: y00 � cosxy0 = �y sen x
Hallar las derivadas indicadas:
1. f (x� 2) = 2x3 + 7x; f 0 (x) =?
2. f�x+ 1
3
�= 4x2 � 2x+ 1; f 0 (x) =?
3. f (2x+ 1) = e4x+1; f 0 (x) =?
4. f (4x� 1) = 8x2 � 6x+ 1; f 0 (3x+ 1) =?
5. f (5x+ 2) = 23x�1; f 0 (10x+ 2) =?
6. f (x) = x2 � 6x+ 6; f 0 (x) = f (x)
7. f (x) = sen x; f 0 (x) = f (x)
Alvaro Cabrera Javier 101 CALCULO I - CHUNGARA
Alvaro Cabrera Javier 102 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Capítulo 6 APLICACIONES DE LASDERIVADAS
1. Hallar dos número (x; u) de producto p máximo; sabiendo que la suma delprimero más el doble del segundo es de 24.
Solución. �p = xu (1)x+ 2u = 24 (2)
resolviendo:p = (24� 2u)u = 24u� 2u2
derivando:dp
du= 24� 4u = 0 =) u = 6
yx = 24� 2 (6) =) x = 12
Resp. u = 6, x = 12 y p = 72.
2. Hallar dos números (x; u) de producto igual a 64, de manera tal que su sumas sea mínima.
Solución. �xu = 64 (1)p = x+ u (2)
(1) en (2):
p =64
u+ u
derivando:dp
du= �64
u2+ 1 = 0 =) u = �8
y
x =64
�8 =) x = �8
Resp. u = �8, x = �8 y p = +16.
3. Hallar el valor del área A máxima del rectángulo inscrito en un triánguloequilátero de lado igual a 4.
Solución. El grá�co del problema:
ED
FG HA B
C
Alvaro Cabrera Javier 103 CALCULO I - CHUNGARA
4. Hallar dos números (x; u) de suma igual a 20 de manera tal que la suma s desus cuadrados sea mínima.
Solución. �x+ u = 20 (1)s = x2 + u2 (2)
(1) en (2)s = x2 + (20� x)2
derivando:ds
dx= 2x+ 2 (20� x) (�1)
igualando a cero
x� 20 + x = 0 =) x = 10; u = 10
5. Hallar las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro de volumen máximo,que posee la super�cie conocida s.
Solución. El volumen máximo: V = �r2h, donde la super�cie está dada por:
s = 2�r2 + 2�rh =) h =s� 2�r22�r
sustituyendo en el volumen
V = �r2�s� 2�r22�r
�=1
2
�rs� 2�r3
�derivando el volumen con respecto al radio
dV
dr=1
2
�s� 6�r2
�= 0 =) r =
rs
6�
la altura
h =s� 2�
� s6�
�2�
rs
6�
= 2
rs
6�
6. Hallar las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro de volumen máximo,que puede inscribirse en un cono de radio basal: R = 9 y altura h = 12.
Solución. De la grá�ca12
9=y
r=) y =
4
3r.
12
9
r
y
h
Alvaro Cabrera Javier 104 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
donde h = 12� y = 12� 43r, sustituyendo en el volumen del cilindro
V = �r2h = �r2�12� 4
3r
�= �
�12r2 � 4
3r3�
derivandodV
dr= �
�24r � 4r2
�= 0
donde r = 6 y h = 4.
7. Hallar las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro de área lateral máximaque se puede inscribir en una esfera de radio R = 8.
Solución. De la �gura 82 = r2 +h2
4=) r =
r64� h
2
4
h/2
r
8
El área lateral está dado por:
A = 2�rh = 2�
r64h2 � h
4
4
derivando con respecto a h
dA
dh=� (128h� h3)r64h2 � h
4
4
= 0 =) h = 8p2
y el radio
r =
r64� 128
4= 4
p2
8. El material que se usa para fabricar las tapas y los fondos de los envasesde cierta bebida de forma cilíndrica, cuesta el doble que el material usadopara los lados. Hallar la razón de la altura h al radio r; para que el costo deproducción de los envases sea mínimo, si su volumen es �jo.
Solución. ****
C = 2�r2p1 + 2�rhp2
p1 = 2p2Alvaro Cabrera Javier 105 CALCULO I - CHUNGARA
entonces
C =�4�r2 + 2�rh
�p2
dC
dp2= 4�r2 + 2�rh = 0 =) h
r= �2
9. Un granjero desea cercar un terreno rectangular, uno de cuyos lados, ya estácubierto por una cadena de cerros, dispone para ello de 500 m de mallaolímpica, hallar el área A máxima que se puede cercar.
Solución.
A = ab
2a+ b = 500
entonces
A = 500a� 2a2dA
da= 500� 4a = 0
donde a = 125 m y b = 250 m.
A = (125) (250) = 31250 m2
10. Hallar el área Amáxima del rectángulo que puede inscribirse entre: y = 4�x2con el eje de abcisas.
Solución. �A = xy (1)y = 4� x2 (2)
A = x�4� x2
�= 4x� x3
Derivando:dA
dx= 4� 3x2 = 0 =) x =
2p3
3y
y = 4� 43=8
3
Resp. El área es: A =16p3
3.
11. Hallar el área A máxima del rectángulo que puede inscribirse entre y = e�x2
con el eje de abcisas.
Solución. �A = xy (1)
y = e�x2
(2)Alvaro Cabrera Javier 106 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
(2) en (1):A = xe�x
2
derivando:dA
dx= e�x
2
+ xe�x2
(�2x)
igulando a cero:
e�x2 �1� 2x2
�= 0 =) x =
p2
2
entonces:
y = e�1
2 =1pe
Resp. El área A =1
2
r2
e.
12. Hallar la mínima distancia D del origen a la parábola: y =px+ 1.
Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos:D =q(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2,
donde (x1; y1) = (0; 0) el origen
D =px2 + y2
sustituyendo la ecuación de la parábola
D =px2 + x+ 1
derivandodD
dx=
1
2px2 + x+ 1
(2x+ 1) = 0
donde x = �12. La distancia mínima es:
D =
r1
4� 12+ 1 =
p3
2
:
13. Hallar la mínima distancia D entre el punto P (1; 2) a la recta 3x+ 4y = 5.
Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D2 =
(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2, donde (x1; y1) = (1; 2) y (x2; y2) =�x;5� 3x4
�,
sustituyendo:
D2 = (x� 1)2 +�5
4� 3x4� 2�2
derivando:
2dD
dx= 2 (x� 1) + 2
�5� 3x4
� 2��
�34
�= 0
Alvaro Cabrera Javier 107 CALCULO I - CHUNGARA
donde x =7
25, entonces la mínima distancia es
D2 =
�7
25� 1�2+
�5
4� 21
100� 2�2=36
25
donde D =6
5.
14. Hallar las coordenadas del punto (x; y) que pertenece a la parábola: y = 2x2;que está más cercano al punto P (9; 0).
Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D2 =(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2, donde (x1; y1) = (9; 0) y (x2; y2) = (x; 2x2), susti-tuyendo:
D2 = (x� 9)2 +�2x2 � 0
�2= (x� 9)2 + 4x4
derivando:2dD
dx= 2 (x� 9) + 16x3 = 0
donde la solución real es: x = 1 y y = 2.
15. Hallar la mínima distancia D entre la parábola: y =p6x al punto (3; 2).
Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D2 =
(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2, donde (x1; y1) = (3; 2) y (x2; y2) =�y2
6; y
�, susti-
tuyendo:
D2 =
�y2
6� 3�2+ (y � 2)2
derivando:
2dD
dx= 2
�y2
6� 3��y
3
�+ 2 (y � 2)
=y3
9� 4 = 0
donde y = 3p36 = 3: 301 9, sustituyendo en la ecuación de la distancia:
D2 =
(3;3019)2
6� 3!2+ ((3;3019)� 2)2
donde la distancia mínima es: D = 1;759.
16. Hallar el punto de la elipse:x2
a2+y2
b2= 1; que tenga máxima distancia al
vértice: (0;�b).Solución.
Alvaro Cabrera Javier 108 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
17. Hallar el punto (x; y) de la elipse:x2
a2+y2
b2= 1; cuya tangente, forma con los
ejes coordenados del primer cuadrante un triángulo de área mínima.
Solución.
18. Hallar las dimensiones (a; a; b) de un triángulo isósceles, de área máxima, quepuede inscribirse en una semicircunferencia de radio R; si el vértice opuesto,al lado b, debe estar en el centro de la base.
Solución.
19. Inscribir en una semiesfera de radio R un paralelepípedo de base cuadrada,de manera que su volumen V sea máximo.
Solución.
20. A un río de ancho A se le construye en ángulo recto un canal de ancho B;cual es la longitud L máxima de los barcos, para que puedan doblar por estecanal.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier 109 CALCULO I - CHUNGARA
Alvaro Cabrera Javier 110 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 7. EXTREMOS DE UNA FUNCION
Capítulo 7 EXTREMOS DE UNAFUNCION
Example 1 y = x+1
x1. Dominio:
y = x+1
x=x2 + 1
x
0
– ++∞–∞
Dom f (x) : (�1; 0) [ (0;+1)
Análisis de simetría:f (�x) = f (x): la función es par (simetría respecto al eje y.f (�x) = �f (x): La función es impar (simetría con respecto al orígen de co-
ordenadas).En otro caso no es simétrica.
f (�x) = �x+ 1
�x = �f (x) es par.
2. Continuidad:La función es continua en (�1; 0) o (0;+1) porque es la suma de las funciones
continuas x y1
x. La función es discontinua en x = 0 porque no existe f (0).
Clasi�cación de la discontinuidad:
l��mx�!0+
f (x) = l��mx�!0+
x2 + 1
x= +1
l��mx�!0�
f (x) = l��mx�!0�
x2 + 1
x= �1
9>=>; Divergente
3. Asíntotas.a) Asíntotas verticales. La recta x = 0 es asíntota vertical.b) Asíntotas oblícuas. y = mx+ b, a la derecha:
m = l��mx�!+1
x2 + 1
x2= 1
b = l��mx�!+1
�x2 + 1
x� x�= l��m
x�!+1
�1
x
�= 0
la asíntota a la derecha es: y = x.A la izquierda:
m = l��mx�!�1
x2 + 1
x2= 1
b = l��mx�!�1
�x2 + 1
x� x�= l��m
x�!+1
�1
x
�= 0
Alvaro Cabrera Javier 111 CALCULO I - CHUNGARA
la asíntota a la izquierda es: y = x.4. Construcción de un esquema.5. Cálculo de los puntos críticos.Monótona y extremos. Condiciones necesarias de extremos:
f (x) = x+1
x
f 0 (x) = 1� 1
x2=x2 � 1x2
=(x+ 1) (x� 1)
x2
puntos críticos de primera especie.a) Puntos de dominio de f donde no existe la derivada de f la derivada no
existe en x = 0 pero no es punto crítico, porque x = 0 no pertenece al dominio def .b) f 0 (x) = 0
–1 0 1k = 2k = 1 k = 1
– – +++∞–∞
(�1;�1) la función es estrictamente creciente.(�1; 0) la función es estrictamente decreciente.(0; 1) la función es estrictamente monótona decreciente.(1;+1) la función es estrictamente creciente.
En x = 1 hay un punto de máximo local. Máximo local en
f (�1) = (�1) + 1
(�1) = �2 =) P1 (�1;�2)
En x = 1 hay un punto de mínimo local en
f (1) = 1 +1
1= 2 =) P2 (1; 2)
6. Intervalos de concavidad y convexidad y puntos de in�exión.Condición necesaria de puntos de in�exión.
f 0 (x) = 1� x�2
f 00 (x) =2
x3
Puntos extremos de segunda especie:a) Puntos del dominio de f donde no existe f 00 (x). La segunda derivada no
existe en x = 0, pero no es punto crítico de segunda especie porque no pertenece aldominio de f .b) Puntos donde la segunda derivada se anula
f 00 (x) =2
x3Alvaro Cabrera Javier 112 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 7. EXTREMOS DE UNA FUNCION
0
– ++∞–∞
7. Trazado del grá�co de la función:
15105051015
10
5
0
5
10
x
y
x
y
Example 2 y =x2px2 � 1
1. Dominio:
y =x2px2 � 1
=x2p
(x+ 1) (x� 1)
1
++∞–∞ –1
+
0
Dom f (x) : (�1; 0) [ (0;+1)Análisis de simetría:f (�x) = f (x): la función es par (simetría respecto al eje y.f (�x) = �f (x): La función es impar (simetría con respecto al orígen de co-
ordenadas).En otro caso no es simétrica.
f (�x) = (�x)2q(�x)2 � 1
= f (x) es simétrica con respecto a y.
2. Continuidad:Clasi�cación de la discontinuidad:
l��mx�!�1�
f (x) = l��mx�!�1�
x2px2 � 1
= +1
l��mx�!+1�
f (x) = l��mx�!+1�
x2px2 � 1
= +1
9>>=>>; Divergente
La función es continua en (�1;�1), imaginaria (�1; 1) y continua en (1;+1).La función es discontinua en x = �1 porque no existe f (�1).3. Asíntotas.
Alvaro Cabrera Javier 113 CALCULO I - CHUNGARA
a) Asíntotas verticales. La recta x = �1 y x = 1 son asíntotas verticales.b) Asíntotas oblícuas. y = mx+ b, a la derecha:
m = l��mx�!+1
xpx2 � 1
= 1
b = l��mx�!+1
�x2 � x
px2 � 1p
x2 � 1
�= 0
la asíntota a la derecha es: y = x.A la izquierda:
m = l��mx�!�1
xpx2 � 1
= �1
b = l��mx�!�1
�x2px2 � 1
+ x
�= l��m
x�!+1
�1
x
�= 0
la asíntota a la izquierda es: y = �x.4. Construcción de un esquema.5. Cálculo de los puntos críticos.Monótona y extremos. Condiciones necesarias de extremos:
f (x) =x2px2 � 1
f 0 (x) =
2xpx2 � 1� x3p
x2 � 1x2 � 1 =
2 (x2 � 1)� x2
xpx2 � 1
=2x2 � 2� x2
xpx2 � 1
=x2 � 2xpx2 � 1
puntos críticos de primera especie.a) Puntos de dominio de f donde no existe la derivada de f la derivada no
existe en x = �1 pero no es punto crítico, porque x = �1 no pertenece al dominiode f y x = 0 no existe la derivada.b) f 0 (x) = 0En x = +
p2 hay un punto de máximo local. Máximo local en
f�p2�=
�p2�2q�p
2�2 � 1 = 2 =) P1
�p2; 2�
En x = �p2 hay un punto de mínimo local en
f (1) =
��p2�2q�
�p2�2 � 1 = 2 =) P2
��p2; 2�
1
++∞–∞ –1
–
0–1.41 1.41
+ –
Alvaro Cabrera Javier 114 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 7. EXTREMOS DE UNA FUNCION
��1;�
p2�
la función es estrictamente decreciente.��p2;�1
�la función es estrictamente creciente.�
1;p2�
la función es estrictamente decreciente.�p2;+1
�la función es estrictamente creciente.
6. Intervalos de concavidad y convexidad y puntos de in�exión.Condición necesaria de puntos de in�exión.
f 0 (x) =x2 � 2xpx2 � 1
f 00 (x) =
2x2px2 � 1�
�px2 � 1 + xp
x2 � 1
�x
x2 (x2 � 1)
=
2x2px2 � 1� x
3 + x2 � xpx2 � 1
x2 (x2 � 1)
=2x4 � 2x2 � x3 � x2 + xx2 (x2 � 1)
px2 � 1
=2x3 � x2 � 3x+ 1x (x2 � 1)
px2 � 1
Puntos extremos de segunda especie:a) Puntos del dominio de f donde no existe f 00 (x). La segunda derivada no
existe en x = �1.b) Puntos donde la segunda derivada se anula
f 00 (x) =2x3 � x2 � 3x+ 1x (x2 � 1)
px2 � 1
0
– ++∞–∞
7. Trazado del grá�co de la función:
1–1x
y
Alvaro Cabrera Javier 115 CALCULO I - CHUNGARA
Alvaro Cabrera Javier 116 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 8. INTEGRALES
Capítulo 8 INTEGRALESHallar las siguientes integrales inmediatas.
1.Z(x9 + 9x + 9x+ 9) dx.
Solución.Z �x9 + 9x + 9x+ 9
�dx =
1
10x10 +
9x
ln 9+9
2x2 + 9x+ c==
2.Z �
9px+
1
x9+9
x+x
9
�dx.
Solución.Z �9px+
1
x9+9
x+x
9
�dx =
Z �x19 + x�9 +
9
x+x
9
�dx
=9
10x109 � 1
8x8+ 9 lnx+
1
18x2 + c
3.Zx2 � 1x+ 1
dx.
Solución. Zx2 � 1x+ 1
dx =
Z(x� 1) dx = 1
2x2 � x+ c==
4.Z p
x+ 3px
xdx.
Solución. Z px+ 3
px
xdx =
Z �x12x�1 + x
13x�2
�dx
=
Z �x�
12 + x�
53
�dx
= 2x12 � 3
2x�
23 + c==
5.Z
6x2
x� 1dx.
Solución. Z6x2
x� 1dx = 6
Z �x+ 1 +
1
x� 1
�dx
= 3x2 + 6x+ 6 ln (x� 1) + c==
6.Z(ex3x) dx.
Solución. Z(ex3x) dx =
Z(3e)x dx =
(3e)x
ln 3e=
(3e)x
ln 3 + 1+ c==
Alvaro Cabrera Javier 117 CALCULO I - CHUNGARA
7.Zx1�nn dx.
Solución. Zx1�nn dx =
x1�nn+1
1�nn+ 1
+ c
= nx1n + c
Aplicando el Método de Sustitución, calcular las siguientes integrales:
1.Z(2x� 5)7 dx.
Solución. u = 2x� 5 =) du = 2dxZ(2x� 5)7 dx = 1
2
Zu7dx =
1
16(2x� 5)8 + c
2.Z45x4 (1 + x5)
8dx.
Solución. u = 1 + x5 =) du = 5x4dxZ45x4
�1 + x5
�8dx = 9
Zu8du
= u9 + c
=�1 + x5
�9+ c
3.Z
10xp3 + 5x2
dx.
Solución. u = 3 + 5x2 =) du = 10xdxZ10xp3 + 5x2
dx =
Zdupu
=
Zu�
12du
=pu+ c = 2
p3 + 5x2 + c
4.Z
2x3p1 + x4
dx.
Solución. u = 1 + x4 =) du = 4x3dxZ2x3p1 + x4
dx =1
2
Zdupu
=1
2
Zu�
12du
=pu+ c =
p1 + x4 + c
Alvaro Cabrera Javier 118 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 8. INTEGRALES
5.Zex + 1
ex � 1dx.
Solución. Zex + 1
ex � 1dx =
Z �1 +
2
ex � 1
�dx
=
Zdx+ 2
Z1
ex � 1 �e:�x
e�xdx
=
Zdx+ 2
Ze�x
1� e�xdx
si u = 1� e�x =) du = e�xdx
=
Zdx+ 2
Zdu
u
= x+ 2 ln juj+ c= x+ 2 ln
��1� e�x��+ c6.Z
e2xpex + 1
dx.
Solución. u = ex + 1 =) du = exdxZe2xpex + 1
dx =
Zexexpex + 1
dx
=
Z(u� 1) dup
u=
Z �u12 � u�
12
�du
=2
3u32 � 2u
12 + c
=2
3(ex + 1)
32 � 2 (ex + 1)
12 + c
7.Z
6 senx
5� 2 cos xdx.
Solución. u = 5� 2 cos x =) du = 2 senxdxZ6 senx
5� 2 cos xdx = 3
Zdu
u
= 3 ln juj+ c= 3 ln j5� 2 cos xj+ c
8.Zlnx
xdx.
Solución. u = ln x =) du =dx
xZlnx
xdx =
Zudu =
1
2u2 + c
=ln2 x
2+ c
Alvaro Cabrera Javier 119 CALCULO I - CHUNGARA
9.Zxex
2�1dx.
Solución. u = x2 � 1 =) du = 2xdxZxex
2�1dx =1
2
Zeudu
=1
2eu + c
=1
2ex
2�1 + c
10.Zesenx cosxdx.
Solución. u = senx =) du = cos xdxZesenx cosxdx =
Zeudu
= eu + c = esenx + c
11.Ztan x ln (cos x) dx.
Solución. u = ln (cosx) =) du = �sen xcosx
dx
Ztan x ln (cos x) dx = �
Zudu
= �12u2 + c
= �12ln2 jcosxj+ c
12.Zcospx
2pxdx.
Solución. u =px =) du =
dx
2pxZ
cospx
2pxdx =
Zcosudu
= senu+ c
= senpx+ c
13.Z
1
1 +px+ 1
dx.Alvaro Cabrera Javier 120 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 8. INTEGRALES
Solución. u = 1 +px+ 1 =) du =
dx
2px+ 1Z
1
1 +px+ 1
dx =
Z2px+ 1du
u
= 2
Zu� 1u
du
= 2
Z �1� 1
u
�du
= 2u� 2 lnu+ c= 2
�1 +
px+ 1
�� ln
�1 +
px+ 1
�2+ c
14.Z
dxpx+ 1�
px� 1
.
Solución. Zdxp
x+ 1�px� 1
=
Z �px+ 1 +
px� 1
�dx�p
x+ 1�2 � �px� 1�2
=
Z �px+ 1 +
px� 1
�dx
x+ 1� x+ 1
=1
2
Z �px+ 1 +
px� 1
�dx
=1
3
�(x+ 1)
32 + (x� 1)
32
�+ c
15.Z
4x3
1 + x8dx.
Solución. u = x4 =) du = 4x3dxZ4x3
1 + x8dx =
4
4
Zdu
1 + u2
= arctanx4 + c
16.Z
sen x
1 + cos2 xdx.
Solución. u = cos x =) du = � sen xdxZsen x
1 + cos2 xdx = �
Zdu
1 + u2
= � arctanu+ c= � arctan cos x+ c
Aplicando el Método de Integración por Partes, calcular:Alvaro Cabrera Javier 121 CALCULO I - CHUNGARA
1.Zx cos 3xdx.
Solución.u = x =) du = dx
dv = cos 3xdx =) v =1
3sen 3x
Zx cos 3xdx =
x
3sen 3x� 1
3
Zsen 3xdx
=x
3sen 3x+
1
9cos 3x+ c
2.Zxe5xdx.
Solución.u = x =) du = dx
dv = e5xdx =) v =e5x
5Zxe5xdx =
xe5x
5� 15
Ze5xdx
=xe5x
5� e
5x
25+ c
3.Zx sec2 xdx.
Solución.u = x =) du = dxdv = sec2 dx =) v = tanx
Zx sec2 xdx = x tan x�
Ztan xdx
= x tan x� ln jcosxj+ c
4.Zx3 sen xdx.
Solución.
5.Z p
x lnxdx.
Solución.
6.Z4x arcsenxdx.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier 122 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 8. INTEGRALES
7.Zx3 arctanxdx.
Solución.
8.Ze2x cos 3xdx.
Solución.
9.Zcosm xdx.
Solución.
10.Zxm sen xdx.
Solución.
11.Z81x8 lnxdx.
Solución.
12.Z2x3ex
2dx.
Solución.
13.Zx2ex sen xdx.
Solución.
Aplicando el método de expresiones cuadráticas, integrar:
1.Z
6
5x2 + 1dx.
Solución.
2.Z
4dx
x2 + 4x+ 20.
Solución.
3.Z
x+ 3
x2 + 6x+ 1dx.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier 123 CALCULO I - CHUNGARA
4.Z(x3 + 2x) dx
x4 + 4x2 + 1.
Solución.
5.Z5x2 + 12x+ 26
x2 + 6x+ 34dx.
Solución.
6.Zx2 � x+ 1x2 + x+ 1
.
Solución.
7.Z
cosx
1 + sen2 xdx.
Solución.
8.Z
2x
1 + 4xdx.
Solución.
Aplicando el Método de las Integrales trigonométricas, calcular:
1.Zsen6 x cosxdx.
Solución.
2.Zsen4 cos3 xdx.
Solución.
3.Zsen3 x cos2 xdx.
Solución.
4.Zsen5 x cos3 xdx.
Solución.
5.Zsen4 x cos2 xdx.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier 124 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 8. INTEGRALES
6.Zcos4 xdx.
Solución.
7.Zsen 3x cos 5xdx.
Solución.
8.Zsen
x
3cos
2x
3dx.
Solución.
9.Zcosx cos2 2xdx.
Solución.
10.Zsen3 x
cos43 xdx.
Solución.
11.Ztan x sec2 xdx.
Solución.
12.Ztan2 x sec4 xdx.
Solución.
13.Ztan3 xdx.
Solución.
14.Zsec7 xdx.
Solución.
15.Zcot6 xdx.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier 125 CALCULO I - CHUNGARA
16.Zsec x csc3 xdx.
Solución.
Aplicando el Método de Sustitución Trigonométrica, integrar:
1.Z
dx
x2p22 � x2
.
Solución.
2.Z
x3dxpa2 � x2
.
Solución.
3.Z
dx
x2p22 + x2
.
Solución.
4.Z p
x2 � 1x
dx.
Solución.
5.Z p
x2 � a2dx.
Solución.
6.Z
x2dxpx2 � a2
.
Solución.
7.Z
1p4x� x2
dx.
Solución.
8.Z
54dx
(x2 + 4x+ 13)2.
Solución.
Aplicando el Método de las Fracciones Parciales, integrar:Alvaro Cabrera Javier 126 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 8. INTEGRALES
1.Z
3x� 9x2 � 5x+ 4dx.
Solución.
x� 3x2 � 5x+ 4 =
A
x� 4 +B
x� 1
=Ax� A+Bx� 4B(x� 4) (x� 1)
=(A+B)x� (A+ 4B)
(x� 4) (x� 1)
donde A + B = 1 y A + 4B = 3, resolviendo este sistema: A =2
3y B =
1
3,
sustituyendo2
3 (x� 4) +1
3 (x� 1)
Z3x� 9
x2 � 5x+ 4dx = 2
Z1
x� 4dx+Z
1
x� 1dx
= 2 ln jx� 4j+ ln jx� 1j+ C
2.Z5x� 2x2 � 4dx.
Solución. Aplicando fracciones parciales
5x� 2x2 � 4 =
5x� 2(x+ 2) (x� 2)
=A
x+ 2+
B
x� 2
=Ax� 2A+Bx+ 2B(x+ 2) (x� 2)
=(A+B)x� 2 (A�B)
(x+ 2) (x� 2)
luego �A+B = 5A�B = 1
La solución es: [A = 3; B = 2], entoncesZ5x� 2x2 � 4dx =
Z �3
x+ 2+
2
x� 2
�dx
= 3
Z1
x+ 2dx+ 2
Z1
x� 2dx
= 3 ln jx+ 2j+ 2 ln jx� 2j+ C
3.Z
x2
x2 � 3x+ 2dx.Alvaro Cabrera Javier 127 CALCULO I - CHUNGARA
Solución. Dividiendo:
x2 x2 � 3x+ 2�x2 +3x �2 1
3x �2
entoncesx2
x2 � 3x+ 2 = 1 +3x� 2
x2 � 3x+ 2Aplicando fracciones parciales
3x� 2x2 � 3x+ 2 =
A
x� 2 +B
x� 1
=(A+B)x� (A+ 2B)
(x� 2) (x� 1)
luego: �A+B = 3A+ 2B = 2
La solución es: A = 4 y B = �1, entoncesZx2
x2 � 3x+ 2dx =
Z �1 +
4
x� 2 �1
x� 1
�dx
=
Zdx+ 4
Z1
x� 2dx�Z
1
x� 1dx
= x+ 4 ln jx� 2j � ln jx� 1j+ C
4.Z
1
x2 � 4dx.
Solución. Aplicando fracciones parciales:
1
x2 � 4 =A
x+ 2+
B
x� 2
=(A+B)x+ 2 (B � A)
(x+ 2) (x� 2)
luego �A+B = 02 (B � A) = 1
La solución es: A = �14y B =
1
4, entonces
Z1
x2 � 4dx =1
4
Z1
x� 2 �1
4
Z1
x+ 2dx
=1
4ln jx� 2j � 1
4ln jx+ 2j+ C
Alvaro Cabrera Javier 128 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 8. INTEGRALES
5.Z
x2 + 2
x3 + 4x2 + x� 6dx.
Solución. Aplicando Ru¢ ni
1 +4 +1 �61 1 5 6
1 5 6 0�2 �2 �6
1 3 0
entonces: x3 + 4x2 + x � 6 = (x� 1) (x+ 2) (x+ 3). Aplicando fraccionesparciales
x2 + 2
x3 + 4x2 + x� 6 =A
x� 1 +B
x+ 2+
C
x+ 3
=A (x+ 2) (x+ 3) +B (x� 1) (x+ 3) + C (x� 1) (x+ 2)
(x� 1) (x+ 2) (x+ 3)
=(A+B + C)x2 + (5A+ 2B + C)x+ (6A� 3B � 2C)
(x� 1) (x+ 2) (x+ 3)
donde: 8<:A+B + C = 15A+ 2B + C = 06A� 3B � 2C = 2
La solución es: A =1
4, B = �2 y C = 11
4, entonces:Z
x2 + 2
x3 + 4x2 + x� 6dx =1
4
Z1
x� 1 � 2Z
1
x+ 2dx+
11
4
Z1
x+ 3dx
=1
4ln jx� 1j � 2 ln jx+ 2j+ 11
4ln jx+ 3j+ C
6.Z
2x2 + 41x� 91x3 � 2x2 � 11x+ 12dx.
Solución.Z2x2 + 41x� 91
x3 � 2x2 � 11x+ 12dx = 4
Z1
x� 1dx� 7Z
1
x+ 3dx+ 5
Z1
x� 4dx
= 4 ln jx� 1j � 7 ln jx+ 3j+ 5 ln jx� 4j+ C
7.Zx2 + 6x+ 2
x3 + 2x2 + xdx.
Solución.
8.Z
4x2 + 7x+ 30
(x+ 3) (x2 + 4x+ 8)dx.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier 129 CALCULO I - CHUNGARA
9.Zx2 + 3x� 3x3 � x2 dx.
Solución.
10.Z3x4 + 5x3 � 2x+ 2(x2 + 1)2 (x� 1)
dx.
Solución.
11.Z2x2 + 3x+ 8
x3 + 4xdx.
Solución.
12.Z(x4 � 2x2 + 1) dx(x+ 1) (x2 � 1)2
.
Solución.
13.Z
1
x (x+ 1)2dx.
Solución.
14.Z
x4
x4 � 1dx.
Solución.
15.Z
1
x6 + 1dx.
Solución.
Aplicando el Método de las Racionales Trigonométricas, integrar:
1.Z
dx
2 + 3 cosx.
Solución.
2.Z2� sen x2 + cos x
dx.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier 130 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 8. INTEGRALES
3.Z
dx
2� sen x .
Solución.
4.Z
dx
4 cos x+ 3 sen x+ 5.
Solución.
5.Z1 + cotx
1� cotxdx.
Solución.
6.Z
dx
3� 2 senx+ cosx .
Solución.
Aplicando la Sustitución Inversa y otras sustituciones, integrar:
1.Z
1p8x� x2
dx.
Solución.
2.Z
dxp1� 4x� x2
.
Solución.
3.Z
dx
xpx2 � 2x� 1
.
Solución.
4.Z
(x� 3) dxpx2 � 6x+ 1
.
Solución.
5.Z
dx
xpx2 + 8x+ 1
.
Solución.
6.Z
x5dxp1� x2
.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier 131 CALCULO I - CHUNGARA
Aplicando el Método de las Integrales Binómicas, calcular:
1.Z
dxpx ( 4px+ 1)
10 .
Solución.
2.Z
dx
x3 3p2� x3
.
Solución.
3.Z
dx
x4p1 + x2
.
Solución.
4.Zxp1 + x2dx.
Solución.
Aplicando alguno de los Métodos de Integración, calcular:
1.Zx7p1 + x4dx.
Solución.
2.Z
dx
xp2 + 3x
.
Solución.
3.Z
dx
x2 � xpx2 � 1
.
Solución.
4.Z
dx
x4 + x2.
Solución.
5.Zx2 � 5x+ 9x2 � 5x+ 6dx.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier 132 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 8. INTEGRALES
6.Z r
x
1� xdx.
Solución.
7.Ze3x (x3 � 2x2 + 5) dx.
Solución.
8.Ze3pxdx.
Solución.
9.Z
exdx
e2x + 4ex � 5 .
Solución.
10.Zearcsenxdx.
Solución.
11.Zlnx� 1ln2 x
dx.
Solución.
12.Zlnx
x3dx.
Solución.
13.Zarcsenx
x2dx.
Solución.
14.Zsen
pxdx.
Solución.
15.Zx+ sen x
1 + cos xdx.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier 133 CALCULO I - CHUNGARA
16.Z
dx
1 + tanx.
Solución.
17.Z
dx
1 + senx+ cosx.
Solución.
18.Z
dx
1 + cos2 x.
Solución.
19.Z
dx
(x� 1)p6x� x2 � 5
.
Solución.
20.Z
dx
(x+ 2)px2 + 2x
.
Solución.
21.Z
dx
xp1 + x3
.
Solución.
22.Z
dx
x2 (2 + x3)53
.
Solución.
23.Z p
tan xdx.
Solución.
Usando la de�nición de la Integral De�nida, calcular:
1.Z 3
1
8xdx.
Solución.3Z1
8xdx = 4 x2��31= 4
�32 � 12
�= 32==
Alvaro Cabrera Javier 134 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 8. INTEGRALES
2.Z 5
0
6x2dx.
Solución.5Z0
6x2dx = 2 x3��50= 2
�53 � 03
�= 150==
Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow), integrar:
1.Z 2
0
9x3dx.
Solución.2Z0
9x3dx =9
4x4��20=9
4
�24 � 04
�= 36==
2.Z 5
2
(6x+ 3) dx.
Solución.5Z2
(6x+ 3) dx = 3x2 + 3x��50= 3
��52 + 5
�� (5� 0)
�= 75==
3.Z 3
1
(6x2 � 2x+ 1) dx.
Solución.3Z1
�6x2 � 2x+ 1
�dx = 3x3 � x2 + x
��31
=�3 (3)3 � 32 + 3
���3 (1)3 � 12 + 1
�= 72==
4.Z �
3
0
tan xdx.
Solución.�3Z0
tan xdx = � ln cos xj�30 = 1 + cos
�
3
5.Z 1
0
xexdx.
Solución.1Z0
xexdx
Alvaro Cabrera Javier 135 CALCULO I - CHUNGARA
6.Z 2
0
2 (�x+ 1)x2 + 3x+ 2
dx.
Solución.2Z0
2 (�x+ 1)x2 + 3x+ 2
dx
7.Z 1
0
xp1 + x2dx.
Solución.1Z0
xp1 + x2dx
8.Z e
1
x2 lnxdx.
Solución.eZ1
x2 lnxdx
Alvaro Cabrera Javier 136 CALCULO I - CHUNGARA
CAPÍTULO 9. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
Capítulo 9 APLICACIONES DE LASINTEGRALES
1. Resolver las siguientes diferenciales:
a)dy
dx= 9x2 P (1; 5)
b)dy
dx= 8x P (2; 8)
c)dy
dx= ex P (0; 0)
d)dy
dx= 8x2 + 1 P (0; 0)
2. Hallar las ecuaciones de las Curvas, que poseen la Pendiente: m y pasan porel punto indicado.
a) m = 2x (0; 1)
b) m = 4� 2x (2; 4)
c) m = 2x� 6 (7; 9)
d) m =�bx
apa2 � x2
(a; 0)
3. Hallar las Areas comprendidas entre las Funciones e Intervalos indicados:
a) y = x2; 0 � x � 2b) y = 4� x2; 0 � x � 2c) y = x2 � 4x+ 5; 0 � x � 3d) y = x3 + 1; 0 � x � 1e) y = 2x; 0 � x � 2f ) y = cos x; 0 � x � �
2
4. Hallar las áreas comprendidas entre las curvas de:
a) y = x2; y = x+ 2Solución. Para hallar los límites resolvemos el sistema:�
y = x2
y = x+ 2
cuya solución es: [x = �1; y = 1] ; [x = 2; y = 4]. Entonces los límites son[�1; 2].
A =
Z 2
�1
�(x+ 2)� x2
�dx =
Z 2
�1xdx+ 2
Z 2
�1dx�
Z 2
�1x2dx
=1
2
�x2�2�1 + 2 [x]
2�1 �
1
3
�x3�2�1 =
1
2[4� 1] + 2 [2 + 1]� 1
3[8 + 1]
=3
2+ 6� 3 = 3
2+ 3 =
9
2Alvaro Cabrera Javier 137 CALCULO I - CHUNGARA
:
b) y = x2 � 4; y = 3� 2x2Solución. Para hallar los límites resolvemos el sistema:�
y = x2 � 4y = 3� 2x2
El intervalor está en:�x = �1
3
p21;
1
3
p21
�
c) y = 9� x2; y = x+ 3Solución. Para hallar los límites resolvemos el sistema:�
y = 9� x2y = x+ 3
El intervalor esta en: [�3; 2]
d) y = ex; y = e�x; 0 � x � 2Solución. La grá�ca de las funciones:
e) y =1
1 + x2; y = 0
Solución. La grá�ca de las funciones
f ) y (x) = e�x sen x; 0 � x � �Solución.
g) y = x2; y =px
Solución.h) y = x2; y = x3
Solución.i) y2 + 8x = 16; y2 � 24x = 48Solución.
j ) y = e2x � 3; x = 0; y = ex � 1k) x2=3 + y2=3 = a2=3
l) y = x2; y =x2
2; y = 2x
m)x2
a2� y
2
b2= 1; x = 2a
n) x2 � y2 = 16ñ) x2 = 12 (y � 1)
Alvaro Cabrera Javier 138 CALCULO I - CHUNGARA
Recommended