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Material original de M.A. González-MedieroActualizado por M.J. León-Bonillo y M. González-Cuadrado

Bloque 5 - Tema 16: Medida Indirecta de

Alturas

TOPOGRAFÍADepartamento de Ingeniería Gráfica

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Creative Commons

G. Mediero 1

P1

P2

MÉTODO I

H= T’ + i - D

DAB= ± T + i - m

T= DR / tg Z

T’= DR’ / tg Z’

A

B

DRDR’

i

V

AV’

i

HT’

D V’

Z’DI

Z

½a

m

DR

A

B

B’

G. Mediero 2

Ejemplo Método I

A la vista del croquisadjunto y de los datos quea continuación se facilitan,se desea conocer la alturade la torre, representadaen el dibujo, desde la baseP1-P2 hasta el vértice V,sabiendo que el vértice seencuentra en el centrogeométrico de la basesuperior del edificio.

Visuales i. m. Áng. Horiz. Áng. Cenit. Dist. Incl.E-P1 1,58 1,30 118,7008 83,7113 87,091E-V " - - 61,6921 -E-P2 " 1,30 123,4930 84,4492 91,135

G. Mediero 3

Croquis de Posición

Ejemplo Método I

G. Mediero 4

Ejemplo Método I

P2

P1E

Croquis vista en planta

Coordenadas de P:XP=XP1+XP2= 180,647 + 182,477= 181,562

2 2YP=YP1+YP2= 75,604 + 68,103= 71,854

2 2Distancia E-P:E-P= ΔX2 + ΔY2= 81,5622 + 28,1462 = 86,283

DR1= DI1 * sen Z1= 87,091 * sen 83,7113= 84,256 m

DR2= DI2 * sen Z2= 91,135 * sen 84,4492= 88,430 m

Suponiendo unas coordenadas para E (100,000 / 100,000)

Coord. de P1 XP1= 180,647 YP1= 75,604

Coord. de P2 XP2= 182,477 YP2= 68,103

N

P

G. Mediero 5

Desnivel E-P1 y E-P2 :DE

P1= T’ + i - m= (87,091*cos 83,7113) +1,58 - 1,30= 22,041 + 1,58 - 1,30= 22,321 mDE

P2= T’’ + i - m= (91,135*cos 84,4492) +1,58 - 1,30= 22,041 + 1,58 - 1,30= 22,321 m

Desnivel E-V:DE

V= T + i= (DR / tg Z) + i= (86,283 / tg 61,6921) + 1,58= 59,245 + 1,58= 60,823 m

Altura de la Torre: H = DEV - DE

P = 60,823 - 22,321= 38,509 m

Ejemplo Método I

G. Mediero 6

MÉTODO IIV

B

A

DImB

V’’

V’Z’ Z

Z’’

DR

T

T’’

Ángulos:A’= Z+Z’B’= (200–Z’) - Z’’V= 200 – (A’+B’)

i

B’

A’

i’DI= DR / sen Z’

DI = a = b sen V sen A’ sen B’

a= DI * sen A’sen V

b= DI * sen B’sen V

T’’= a * cos Z’’

T = b * cos Z

Restricciones:

A, B y V están en el mismo plano vertical, es decir, en planta estarían los tres puntos alineados.

i= mA e i’= mB

a

b

G. Mediero 7

MÉTODO II

Cota de A = Cota V – (T + i)

Cota de B = Cota V – (T’’+ i’)

V

B

A

DI

V’’

V’Z’ Z

Z’’

DR

T

T’’

i

B’

A’

i’

a

b

DAB= Cota B – Cota A

G. Mediero 8

MÉTODO II (Tipología 1)

B

A

V

A

B

V

A' B'V' V' A'B'

Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 142,2563 58,6020A-B 342,2563 64,3225B-A 52,9640 132,8132B-V 52,9640 89,1141

Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 34,6589 89,1141A-B 34,6589 132,8132B-A 95,4621 64,3225B-V 295,4621 58,6020

G. Mediero 9

MÉTODO II (Tipología 2)

BA

V V

B A

A' B'V' B' A'V'

Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 175,6915 48,6523A-B 375,6915 115,1630B-A 210,1645 91,7822B-V 210,1645 70,2444

Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 235,4632 70,2444A-B 235,4632 91,7822B-A 324,8563 115,1630B-V 124,8563 48,6523

G. Mediero 10

MÉTODO II (Tipología 3)

V

A

BV

B

A

A' B'V' B' A'V'

Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 235,2615 103,2666A-B 35,2615 70,6565B-A 202,5020 135,8899B-V 202,5020 120,4000

Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 35,2615 103,2666A-B 35,2615 70,6565B-A 112,4211 135,8899B-V 312,4211 120,4000

G. Mediero 11

MÉTODO II (Tipología 4)

VAB

V' B'A'

Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 180,6514 108,1226A-B 180,6514 97,3324B-A 89,5412 102,5476B-V 89,5412 112,3057

G. Mediero 12

Situados en un punto A, se ha visado al vértice V, anotando los ángulos cenitaly horizontal; tras esto hemos visado un prisma situado en un punto B, que seencuentra en la misma dirección que el vértice visado anteriormente, tomandolos ángulos cenital y horizontal así como la distancia reducida. Trasladados alpunto B se han visado un prisma situado en A, leyendo su ángulo horizontal.Con los datos obtenidos y sabiendo que la cota del vértice V= 168,452 m. Sepide calcular la cota del punto A y el desnivel existente entre el punto B y elvértice V.

Est. P.O. i. m. Áng. Horiz. Áng.Cenit. Dis. Red.A V 1,61 1,61 142,6524 79,7792 -A B " " 142,6524 115,4468 26,908B A " " 12,4612 - -B V " " 212,4612 53,0265 -

Ejemplo Método II

G. Mediero 13

A V

Croquis de Posición

B

A

V

B

Vista en planta

Vista de alzado

Ejemplo Método II

G. Mediero 14

Áng. A‘ = (Z' - Z) = (115,4468 - 79,7792) = 35,6676g

Áng. B‘ = (200 - Z') + Z '' = (200 - 115,4468) + 53,0265 = 137,5797g

Áng. V = 200 - (A' + B') = 200 - (35,6676 + 137,5797) = 26,7527g

DI = DR = 26,908 = 27,720 msen Z' sen 115,4468

ZZ' a

I Z''

b

Ejemplo Método II

G. Mediero 15

a= DI * sen A'= 27,720 * sen 25,6676 = 36,107 msen V sen 26,7527

b= DI * sen B'= 27,720 * sen 137,5797 = 56,448 msen V sen 26,7527

T= b * cos Z= 56,448 * cos 79,7792 = 17,629 m

ZZ' a

I Z''

b

Cota A = Cota de V - (T + i) = 168,452 - (17,629 + 1,61) = 149,213 m

DI = b = a .sen V sen B' sen A'

Aplicamos el teoremadel seno en el triánguloA’B’V

Ejemplo Método II

G. Mediero 16

Comprobación

T’’= (a * cos Z'') = (36,107 * cos 53,0265) = 24,289 mCota de B = Cota de V - (T’’ + i') = 168,452 - (24,289 +1,61) = 142,553 mDESB

V= Cota de V - Cota de B= 168,452 - 142,553= 25,899 m

ZZ' a

I Z''

b

DESAB= T’ + i - m = (DR / tg Z') + i – m = (26,908 / tg 115,4468) + 1,61 -1,61 = 6,660 m

Cota de B = Cota de A + DESAB = 149,213 - 6,660 = 142,553 m

DESBV = Cota de V - Cota de B = 168,452 - 142,553 = 25,899 m

Ejemplo Método II

G. Mediero 17

MÉTODO III

Z’’

Z’

a

b

T’

B’

A’

V’

a?b?

DR

T’’

V2

V1

Proyección de A, B y V

V

A

i

i’B

ZDI

Cálculo de ángulos interiores:

A’, B’ y V’, por diferencia angular.

DR = a = b sen V’ sen A’ sen B’

a = DR * sen A’sen V’

T’’= a / tg Z’’

b = DR * sen B’sen V’

T’= b / tg Z’

Cota de A = Cota de V – (T’ + i)

DR = DI * sen Z

Cota de B = Cota de V – (T’’+ i’)

DesnivelAB = Cota B – Cota A

DAB = ±T + i - m ComprobaciónComprobación

m

Cota conocida

G. Mediero 18

Estacionados en un punto M, se ha visado al vértice V, apuntando los ánguloscenital y horizontal; posteriormente hemos visado un prisma situado en unpunto N, tomando los ángulos cenital y horizontal así como la distanciainclinada. Trasladados al punto N se ha visado un prisma situado en M,leyendo sus ángulos cenital, horizontal y la distancia inclinada. Con los datosobtenidos y sabiendo que la cota del vértice V= 200,252 m.

A la vista de los siguientes datos:Est. P.O. i. m. Áng. Horiz. Áng.Cenit. Dis. Incli.M V 1,65 - 20,3214 68,9761 -M N " 1,72 387,1075 97,4357 197,255N M 1,60 1,58 318,5802 102,5482 197,257N V " - 280,6551 69,2202 -

Se pide determinar la cota del punto M y el desnivel existente entre el vértice Vy el punto N.

Ejemplo Método III

G. Mediero 19

Ejemplo Método III

M

N'

V'

M'

i= 1,60N

Z'''

N'

Z''

T2

I

V2

V1

T1

M'

ZZ'

i'=1,65

V(200,259)

M'N'= (DI1+ sen Z’) = (197,255 * sen 97,4357) = 197,095 mM’N’= 197,097 m.

N‘M'= (DI2+ sen Z’’’) = (197,257 * sen 102,5482) = 197,099 m

Áng M'= (400 - 387,1075) + 20,3214 = 33,2139g

Áng N'= 318,5802 + 280,6551= 37,9251g

Áng V'= 200 - (M’+N’)= 200 - (33,2139 + 37,9251) = 128,8610g

Cálculo de la distancia reducida M’N’ y los ángulos M’, N’ y V’

G. Mediero 20

M'V'= M'N' * sen N'= 197,097 * sen 37,9251= 123,020 msen V' sen 128,9610

N'V'= M'N' * sen M'= 197,097 * sen 33,2139= 109,265 msen V' sen 128,8610

Ejemplo Método III

M

N'

V'

M'

i= 1,60N

Z'''

N'

Z''

T2

I

V2

V1

T1

M'

ZZ'

i'=1,65

V(200,259)

M'N' = M'V’ = N'V’ sen V' sen N' sen M'

VV1= M’V1 / tg Z = 123,020 / tg 68,9761= 65,195 mVV2= N'V2 / tg Z'' = 109,265 / tg 69,2202 = 57,370 m

Cálculo de los lados del triángulo M’V’ y N’ V’

Aplicamos el teorema del seno en el M’N’V’

Cálculo de las tangentes T1 y T2

G. Mediero 21

Cota de M = cota V - VV1 - i’= 200,259 - 65,195 - 1,65 = 133,414 mCota de N = cota V - VV2 - i = 200,259 - 57,370 - 1,60 = 141,289 m

DESMN = Cota de M - Cota de N = 141,289 - 133,414 = 7,875 m

DMN = (M’N’ / tg Z’ ) + i’ - m’ = 7,943 + 1,65 - 1,72 = 7,873 m

DNM = (M’N’ / tg Z’’’) + i - m = -7,893 + 1,60 - 1,58 = -7,873 m

Cálculo de las cotas de M y N y Desnivel MN

Ejemplo Método III

M

N'

V'

M'

i= 1,60N

Z'''

N'

Z''

T2

I

V2

V1

T1

M'

ZZ'

i'=1,65

V(200,259)

M.J. León Bonillo 22

ALTURA REMOTA

Altura Remota es la denominación adoptada por la casa comercial Leicapara uno de los programas internos de las Estaciones Totales.

Con este programa podemos:• Determinar la altura de

puntos inaccesibles.• Número ”ilimitado” de

mediciones de cota.• Calcula cotas relativas y

absolutas.• Trabaja aunque se desconozca

la altura del reflector.• Guarda los resultados.