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7/24/2019 Breviario de Logaritmos
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LOGARITMOS
I.
DEFINICION DE LOGARITMO
El logaritmo de un nmero positivo N en base b, positivo y distinto de la
unidad, es el exponente X al que hay que elevar la base para obtener dicho
nmero. Es decir bx =N , o bien x= logbN .
Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, porque elevando la base ( 3 ) al
nmero obtenido ( 2 ) resulta 9 , que es el nmero del logaritmo. Esto escrito
se denota de la siguiente manera:
Log 3 9 = 2, es decir 32 = 9 (se eleva la base al resultado para
obtener el nmero.)
Otro ejemplo puede ser el de log 28,que es un nmero x al que se debe
elevar la base 2 para obtener 8, es decir, 2x= 8. X=3, por lo tanto log 28 = 3.
Las relaciones bx= N y x = log bN son equivalentes: bx =N es la
forma exponencial y x= log bN es la forma logartmica. Como consecuencia,
a cada propiedad de la potenciacin, le corresponde una propiedad de la
logaritmizacin.
I.I PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS :
1. La suma de logaritmos de dos nmeros es igual al logaritmo de la
multiplicacin de los nmeros. Es decir:
Log xy + log x z = logxy z
EJEMPLO: log 23(5) = log 23 + log 25
2. El logaritmo del cuociente de dos nmeros positivos es igual a la diferencia
de los logaritmos de ambos. O sea:
Log xy log xz = log x y: z
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EJEMPLO: log 517: 24 = log 517 log 524
3. Cambio de base
Logxy =x
y
z
z
log
log
EJEMPLO: log 215 =2log
15log
3
3
4. logxx = 1
EJEMPLO: log 55 = 1 porque 51= 5
5.
Igualdad de Logaritmos.
log xy = logxk slo si y = k
EJEMPLO: log 7(3x+4) = log 7(4x+3) => 3x+4 = 4x+3 => -x =-1
Luego x = 1
6.
yx
xlog
= y
7.
Logaritmo de un argumento elevado a una potencia
log xyz = z log xy
8. Logaritmo elevado a una potencia
( log xy ) z= log z xy
I.II ECUACIONES EXPONENCIALES LOGARITMICAS
Se llaman ecuaciones exponenciales logartmicas, aquellas ecuaciones
que presentan la incgnita en el exponente.
EJEMPLOS: 3x= 1 23x-1= 3x+2
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Se llaman ecuaciones logartmicas, aquellas ecuaciones que presentan la
incgnita como argumento de una funcin logartmica.
EJEMPLOS: log x = 2 log (3x-1) = log (x+2)
Para resolver ecuaciones exponenciales podemos igualar las bases y
aplicar.
EJEMPLO: 3X= 1
luego 3X= 30
entonces x = 0
I.III COLOGARITMOS
El cologaritmo de un nmero positivo es el logaritmo de su recproco.
Por ejemplo:
colog N = log 1 = log 1- log N = -log N ya que log 1 = 0
N
II EJERCICIOS RESUELTOS DE COMPRENSION
II.I RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES
a) log 3x = 2
32= x , x = 9
b) log 4y = - 3
2
4 3/2= y , y = 1
8
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II.II RESOLVER:
a) logx 25 = 2
x2= 25 , x = + 5 luego x = 5 es solucin y x = -5 no es solucin
porque la base de un logaritmo no puede ser negativa.
b) log (3x2+2x 4 ) = 0
100=3x2+2x 4 luego 3x2+ 2x 5 = 0 , finalmente
x1= - 5/3 y x2= 1
II.II PROBLEMAS EXPLICATIVOS DE ECUACIONES LOGARITMICAS
1.
Calcular x
52x+2= 35x-1
(2x+2) log 5 = (5x-1) log 3
2x log 5- 5x log 3 = - log 3 2log 5
x(2log 5 5log 3) = - log 3 2log 5
x = log 3+ 2log 5 = 1,898 x = 1,8985log 3- 2log 5
2. Calcular x
log 2(9x-1+ 7) = 2+log 2(3x-1+ 1)
log2(3 2x-2+ 7) = 2+log2(3 x-1+ 1)
log 2(3 2x-2+7) = log 24 +log 2(3x-1+ 1)
log 2(32x-2 +7) = log 2 4 (3x-1+ 1)
(32x-2+7) = 4 (3x-1+ 1)
32(x-1) 4(3x-1) + 3 = 0 u = 3x-1
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u2 4u +3 = 0
(u-1) (u-3) = 0
u1= 1
u2= 3
1 = 3x-1 y 3 = 3 x-1
30=3x-1 x = 2
x = 1
3.
x2 + y 2= 425 |log x + log y =2 |
----------------------
x2 +y2 = 425
log 10xy = 2 / 10x
x2+ y2 = 425
10log xy= 102
x2+ y2= 425
xy= 100 / 2
x2+ y2=425
2xy = 200
x2+ 2xy + y2= 625
x + y = 25 => y1=25 x , y2= -25 - x
x( 25- x ) = 100 x(-25- x) = 100
25x x2=100 -25x x2= 100
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x2 25x + 100 = 0 x2+25x +100 = 0
x = 25 15 x=-25 15
2 2
Soluciones: (20,5); (5,20);
Estas soluciones no cumplen (-5,-20); (-20,-5)
4.
RESOLVER LA ECUACION:
6x 32x+2 = 20
6x 32x= 18 , luego se aplica logaritmo
log 6x+ log 32x = log 18log 6x+ log 32x= log 3 + log 6
x log 6 + 2x log 3 = log 3 +log 2 + log 3
x(log 2 +log 3 + 2 log 3) = 2 log 3 +log 2
x = 2log3+log2
3log3+log2
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III. GUIA DE EJERCICIOS PROPUESTOS
III.I EXPRESA EN FORMA DE LOGARITMO CADA IGUALDAD
a)
4x= 16
b) 10x= 1,48
c)
ax= bc
d
d)
px = a+b
a-b
e)
( 2/3)x= 27
8
III.II EXPRESA EN LA FORMA EXPONENCIAL LAS SIGUIENTES
IGUALDADES.
a)
log ax = y
b)
log101000 = x
c)
logaa2=2
d) log(1/8) = 3
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e) log p/qq = -1
f) log (x-y)(x3-3x2y+3xy2-y3) =3
III.III CALCULA EL VALOR DE X EN LAS SIGUIENTES
EXPRESIONES
a)
log 4x = 1
b)
log 9/16x = 3/2
c)
log x 27 = 3
d) log x243 = 5
e)
log x = -2
III.IV DESARROLLA
a)
log 36/256/5 = x
b) log 64x = 5/6
c) log aac+ log pp3+ log bb- log ac =
d)
log 0,0001 =
e)
log 10-4+log 1 =
100
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III.V APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
DESARROLLA
a)
log 3 a =
b
b)
log (a5b4) =
c) log (a4-b4) =
d)
log (a2b3)4=
III.VI CALCULA EL VALOR DE LOS SIGUIENTES LOGARITMOS
a)
log 2(832)=
b) log 5(25125) =
c)
log1/5(625125) =
d)
log 1/3(27243) =
e) log3(1000)log3=
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III.VII RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES
a)
log(x+3)+log(x-5) = 2 log(x-b)
b)
m3x+1/3=q3/7x+1
c)
log (3x-4)-log x+log 5= log (15x+2)-log(x+2)
d)
1/5 log (x+5) = log 2
e) log (x+7)+1/2 log(x+5) = log (x2+10x+43)
f) log3(log3(5x+2)) = 1
III.VIII RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS
a) 3 log2x+5 log2y =13
4 log2x+7 log2y = 18
b) 6 log7x- 7 log7 y =-8
log 7x-4 log7y = -7
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c) 5 log2x-log2y4= -11
log2 x7log2y3= -5
d) 2 log x-log y =3
log x+log y =1
e)
log(x+1)-log 2 = log y
log x-log (y+1) = log 3
f)
log2(x+2y) = 1
log3(2x+y) =0
g) log2(x+y)-log2 (x-y) = -2
3x 3y=81
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RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
I. V.
a) log 4 16=x a)log3+loga-logb
b)
log 101,48=x b)5loga+4logb
c)
log a(bc/d)=x c)log(a2+b2)+log(a+b)+log(a-b)
d)
log p(a+b/a-b)=x d)8loga+12logb
e)
log 2/3(27/8)=x
II. VI.
a)ay=x a)8
b)10x=1000 b)5
c)a2=a2 c)-7
d)(1/2)3=1/8 d)-8
e)(p/q)-1=q/p e)3
f)(x-y)3=(x-y)3
III. VII.
a)x=4 a)5,1
b)x=27/64 b)log q - 1/3log m
c)x=3 3(log m 1/7 log q)
d)x=3 c)x=5
e)x=2 d)x=27
e)x=4
f)x=5
g)x=6IV. h)x=2
a)x=1/2
b)x=32
c)x=5
d)x=-4
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e)x=-6 VIII.
a)x=2 y=4
b)x=7 y=49
c)2,16
d)
e)no tiene solucin
f)(0,1)
g)(10,-6)
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