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Capítulo dos: Aplicaciones del principio de máxima certidumbre.
9) La radiación, el átomo de Bohr
Evidentemente la mecánica cuántica no puede explicar porque los electrones no
emiten radiación cuando orbitan los núcleos. Incluso Bohr solo pudo “postular” que
existían órbitas para las cuales no existía radiación; pero “postular” es lo mismo que
aceptar sin explicación. Algunos autores se atreven a decir que la explicación reside
en que esas órbitas de electrones se comportan como ondas estacionarias, sin caer
en cuenta que esto equivale a contradecir el principio de incertidumbre, pues de una
onda estacionaría se conoce exactamente la energía, posición, momento, etc., sin
incertidumbre ninguna. Claro que se puede argumentar que no se presenta la
incertidumbre si no hay medida…pero este argumento limitaría enormemente la
aplicación del principio mismo que trata de defender.
En nuestro caso la explicación es obvia: las partículas son conglomerados de
fotones que mantiene su cohesión siempre y cuando no se sometan a excitaciones
que superen el límite impuesto por el principio de mínima acción:
Δ Energía suministrada a la partícula x Δ t que dura el suministro = h
Pero energía es fuerza por distancia:
EnergíaxF .
txm
hnaceleració
htxam
EnergíaxnaceleraciómasaxF
Esta sería la aceleración máxima que permitiría el cambio de velocidad sin emisión
de fotones.
Por ejemplo en el movimiento orbital (figura)
en un Δt (medio período) el electrón cambia su velocidad de +v a –v, siendo la
aceleración en este proceso
t
v
t
va
2
Si igualamos a la aceleración límite:
txm
h
t
v
2
Y como el espacio recorrido Δx, es πR tendremos:
v
hRm
Rm
hv
22
Ahora, combinamos este resultado con la ecuación de fuerzas:
Obtenemos así la velocidad en la primera órbita de Bohr.
Para una órbita oscilatoria (figura) el modelo propuesto implica una transformación
de energía cinética a potencias varias veces durante la órbita total. Asumiremos el
siguiente modelo para entender de algún modo ese proceso cíclico, aclarando que
los semiciclos mostrados alrededor de la órbita no son semicírculos en la realidad,
sino fluctuaciones que no somos capaces de describir pormenorizadamente por el
momento. Ahora el cambio de la velocidad se da en cada semiperiodo y podemos
calcular la aceleración:
E igualando a la aceleración límite:
txm
ha
t
v
2
Como:
n
Rx
2
2
tn
Rm
ha
t
v
2
2
2
Donde n es el número de ciclos de la órbita:
La ecuación de fuerzas es
Siendo alfa, para nosotros la constante de estructura fina,
272 102 ce
hc
Obtendríamos las velocidades de las otras órbitas estables del átomo de Bohr. El
modelo incluye la propuesta de que la velocidad promedia orbital es la misma
velocidad que cambia en cada semiciclo. Por lo tanto no es que existan “orbitas
estables” ni cosas por el estilo, como propiedad intrínseca de los sistemas cuánticos,
lo que existe es un límite en los cambios de movimiento ante el cual los fotones
siguen unidos a la partícula y no existe radiación.
Mucha atención con nuestra constante de estructura fina. Nosotros la definimos
como el inverso de la constante de estructura fina de Sommerfeld; es decir, para
nosotros la constante de estructura fina es el famoso número 137.035999679.
Número con propiedades extrañas, una de las más sencillas es su relación con las
constantes universales h, constantes de Planck, e carga elemental y G constante de
Newton:
60210/254 10*.....22227222222222.2 Geh
10) Aplicación a la gravitación
Veamos qué ocurre si en lugar de la fuerza eléctrica como en el caso anterior,
encaramos una fuerza gravitatoria que hace orbitar una masa m, respecto a otra
masa M. La aceleración límite sin radiación es
Pero
De donde
Resultados que combinados con la fuerza gravitacional
2v
mMGRm
v
h
v
mMGRm
22
2
v
h
mMG
Con estas fórmulas es difícil resolver, por ahora, el sistema solar, pues no se trata
de un caso límite, por eso veamos que ocurre en ejemplos extremos. Si hacemos
, la velocidad de la luz, y a las dos masas las igualamos llegamos a
O sea la famosa “masa de Planck”. Si con este valor de la masa calculamos el radio
de la órbita obtenemos
Es decir, la llamada “longitud de Planck”. No es tiempo aun de tratar estas
cantidades de Planck y solo diremos que están ligadas a procesos cuánticos límites,
como la emisión fotónica por masas orbitantes. Para nosotros un fotón es solo un
cuanto llevado a la velocidad límite, o casi a la velocidad límite, y, por lo tanto, no se
diferencia intrínsecamente de los demás cuantos.
11) Ecuación de Schrodinger
Como siempre partimos de la ecuación fundamental
vc
vVvmdVcmd
2
2 )(
En la que m: masa de la partícula
V: potencial
v: velocidad de la partícula
Pero como aceptamos que en los procesos cuánticos
Escribimos la ecuación así
hxdc
vVvmdtdVcmd
2
2 )(
Que dividiremos en los términos
Cambiando el diferencial por el incremento como corresponde en procesos
cuánticos.
Ahora, si , en lugar de corresponder a una partícula, corresponde a un grupo de
partículas que experimentan el mismo proceso, y multiplicamos y dividimos por
2 , tendremos:
Si asumimos que el número de partículas involucradas es función del tiempo,
podemos escribir:
t
t
t
N
2
El signo
significa que “definimos”, creamos una función de tiempo cuya
derivada en el tiempo nos suministra el número de partículas multiplicado por y
dividido por el cambio cuántico del tiempo
Para la otra parte de la ecuación escribimos
hxmovimientodecantidadxc
vVvm )()(
2
Si se trata de las partículas mencionadas tendremos, con el mismo
procedimiento anterior
2
2)(
x
Nh
x
Nhmovimientodecantidad
Aceptando que el número de partículas también puede variar con la posición, por
ejemplo, por efectos de dispersión, escribimos o mejor definimos:
x
x
x
N
2
El resultado de ambos términos será
t
thEnergía
2)(
x
xhmovimientodecantidad
2)(
Por fin, construimos la función compleja
Siendo “a” un parámetro para determinar, e “i” el “versor” de la parte compleja de los
complejos. Obteniendo la derivada parcial respecto al tiempo de la nueva función
=
De donde despejamos
t
i
tit
t
1
Y llegamos a lo que llamamos el operador energía
t
ihenergíaOperador
2
Del cual obtenemos la energía:
)(22
energíaOperador
t
ih
t
thEenergía
Para la cantidad de movimiento transformada en el proceso escribimos
x
xh
c
vVvmmovimientodecantidadp
2)(
2
Aceptamos que la función es “entrópica” o sea simplemente cumple una
relación del tipo de las ecuaciones de gradiente
Lo cual es regla común para los conglomerados.
Derivando parcialmente respecto al espacio
2
21
tanx
x
x
xtecons
x
x
Para abreviar llamaremos a la constante que precede la expresión de la izquierda,
y despejamos
2
22
x
xA
x
x
Ahora volvamos a la función compleja y derivémosla respecto al espacio
x
xaieeee
xx
xaitixaiti
x
xai
)(
Derivemos de nuevo respecto al espacio
Y reemplazando x
xai
x
)(
Pero como se cumple
A
aia
x
x
x
2
2
2
2
Volviendo al momento involucrado en el proceso
A
aia
x
hp
22
2
2
22 1
2
Escogemos los parámetros y de modo que cumplan
12 A
aia
Por ejemplo 3
22 Ayia
Remplazando estos valores
132
3
2
22
22
iii
A
aia
Al fin y al cabo se trata de una simple cuadrática
012 A
aia
Con solución
14
1
2 2
AA
ia
Bastaría dar valores a A para obtener los apropiados de a.
Remplazamos los valores de A y a en la expresión de
2
22
2 1
2 x
hp
Ahora tomamos el “Hamiltoniano”, una función que expresa la energía
Y remplazamos las expresiones de y
Vx
h
mt
ih
2
22
1
22
1
2
Ecuación que llevamos a la forma
V
x
h
mti
h
2
22
22
1
2
En definitiva llegamos a la ecuación de Schrodinger. Y nuestra interpretación nos
permite discutir el significado físico de la ecuación famosa sin recurrir a
elucubraciones más o menos fantásticas, como las de la Escuela de Copenhague.
El que usamos se puede interpretar como el número total de partículas de una
mayor partícula que sufre el proceso, y en este caso se entiende como la “función
de onda” de la partícula mayor. También, puede interpretarse como el número
de cuantos por diferencial de volumen de una masa mayor y en este supuesto se
interpreta como una densidad de probabilidad de encontrar la partícula. En este
último caso, la ecuación con que introdujimos el quedaría
Por lo tanto, el máximo valor de la función de onda sería una medida de donde se
encuentra el mayor número de cuantos de la partícula “dueña” de esa función de
onda, y resulta que la función de onda se puede interpretar como medida de
probabilidad de encontrar una partícula en un punto dado del espacio en un tiempo
dado. Sin embargo, un análisis más profundo nos permite concluir que no se trata
simplemente de la medida de probabilidad de encontrar un electrón, por ejemplo, en
un punto dado, sino de una medida de la intensidad de la energía transformada por
el electrón en ese punto. Por lo tanto, un electrón libre tiene una función de onda
“monoperiódica”, extendida por todo el Universo, no porque se encuentre en
cualquier punto con igual probabilidad, sino porque su energía es constante en toda
su trayectoria. El valor de nulo en las paredes de las cajas donde se estudian los
electrones confinados no es porque en esos puntos nunca se encuentra el electrón
sino porque ahí se detiene, y no recibe ni entrega energía.
12) Valores esperados
Cuando se desea rescatar de la función la información de la energía y la del
momento se procede así:
Donde es la conjugada de la función
Veamos cómo se procede con la energía
De la misma forma puede calcularse el momento.
13) Temperatura, definición
¿Es la temperatura un concepto solo aplicable a grandes conglomerado de
partículas en estado de equilibrio? Loa respuesta manida a esta pregunta es no y se
complementa con la idea de que temperatura y estadística son inseparables. Nos
permitimos discrepar de la física convencional también en este punto y nos
preguntamos ¿Cómo este concepto, generalmente empleado en grandes
concentraciones de partículas, se puede extender al nivel de los cuanto? Veamos
nuestro punto de vista.
Para lograr que el concepto de temperatura se generalice para todo tipo de
procesos, aventuramos esta nueva definición:
“Temperatura es la cantidad total de acción transformada en un proceso, dividida por
el tiempo de duración de la transformación” los modos de transformación, se suelen
llamar “grados de libertad” Esta cantidad, la temperatura, se representa por el
producto , donde es la constante de Boltzman y la temperatura propiamente
dicha. Como la acción es el producto de la energía por el tiempo, al dividir por el
tiempo del proceso parece que se anulara esa dimensión, pero en realidad no es
así, pues se puede tratar de tiempos diferentes.
Como el número de modos de transformación es adimensional, resulta que las
unidades de son las mismas de la energía.
Si en una caja imaginamos tres partículas sincronizadas para chocar con las
paredes en las tres dimensiones, veremos que la temperatura se puede definir
como:
213
*2
1*3 2
2
vm
tiempo
tiempovm
TK
Obsérvese que el número de modos de transformación es uno (solo energía de
traslación) y el número de partículas es tres, una en cada dirección.
No teniendo en cuenta sino las transformaciones correspondientes a los
movimientos en las tres dimensiones, la “temperatura” de N partículas encerradas en
una “caja” será:
21
*2
1* 2
2
vm
tiempoN
tiempovmN
TK
Pero la transformación de una cantidad de energía está regida por el principio de
mínima acción:
htvm
tdatransformaenergía *2
*2
Así que:
2
2vm
tiempo
hTK
Tomando como energía transformada la energía cinética promedia:
Por lo tanto para encontrar la cantidad bastaría medir esa energía cinética media
o el intervalo que dura su trasformación. Pero la definición de temperatura se
asoció también con el concepto de estado en equilibrio. Para asociarla se empleó la
idea de que las partículas se comportan como ondas. Esta idea concuerda
perfectamente con nuestra teoría de que las partículas no se mueven en el vacío,
sino en un mar de otras partículas transformando su energía en cantidad de
movimiento como se vio en los primeros numerales.
Entonces, el equilibrio se puede considerar como un movimiento de partículas cuya
longitud de onda dividida por 2, cabe un número entero de veces entre las paredes
opuestas del recipiente (figura)
Esa longitud de onda depende del , el tiempo que dura la transformación de la
energía, y queda así:
tc *
Longitud de onda que puede relacionase con el radio clásico de la partícula, y la
constante de estructura fina :
c
R
ct
22
El radio clásico de una partícula se expresa como:
Y la “constante de estructura” fina se toma como el inverso de la constante usada
comúnmente:
035999679.137102 72
ce
h
El de transformación queda
mc
e
ct
72 1022
Y expresando
Obtenemos
2
272
1102
c
v
mc
e
ct
o
Expresión que llevamos a la definición de temperatura:
2
272
0
1102c
ve
mch
tiempo
hTK
La velocidad a la que se define la constante de Boltzman se encuentra con los
valores conocidos de esas mismas constantes que aparecen en la ecuación. En
realidad se definieron simultáneamente la constante y la temperatura
correspondiente. Para ello se dividió la expresión anterior en factores:
7
2
0
2
2 102*
1
*
e
cm
c
vce
hTK
k
k
Por definición
Y
7
2
0
102
e
cmTk
De donde despejamos
)(
132
32
c
Kce
hcvk
smvk /07.12171738
Velocidad que debe tener una importante interpretación física, pero que no hemos
dilucidado hasta el momento. Por ahora, definimos la constante de Boltzmann como
skmtrsunidadesce
hK lg*10*380650417.1 23
32
La temperatura correspondiente es
7
2
0
102
e
cmTk
kg
kelvin
e
c
m
T
k
k 39
7
2
0
10*51503137.6102
En general la temperatura de un proceso cuántico se define así: se parte de:
7
2
0
2
2 102*
1
*
e
cm
c
vce
hTK
Remplazamos la constante de Boltzmann
h
ce
e
cm
c
vce
h
Ke
cm
c
vce
hT
32
7
2
0
2
27
2
0
2
2 1021
1
102*
1
Y obtenemos la temperatura
2
272
322
0
1102c
ve
cmT
Volviendo a la expresión de la masa actual:
72
322
102
e
cmT
Comprobemos la ecuación anterior para la temperatura con el caso de límite de
Planck, aunque sabemos que las unidades de Planck se definen bajo otros criterios
kgmPlanckdemasa p
810*176508293.2 :
Ahora, remplazando en la expresión mencionada
kelvine
cmT
planck 32
72
322
10*416830847.1102
Temperatura que nos da exactamente temperatura de Planck.
Para no definir una nueva escala de temperatura simplemente aceptamos el
concepto de temperatura tradicional, pero interpretado como lo acabamos de hacer
que permite cubrir los fenómenos cuánticos individuales.
Por lo tanto al incluir este factor se obtiene una “definición de la temperatura” en
función de la energía promedia por partícula en un estado dado de la materia,
expresada en Kelvin o en grados Kelvin, pues en último término toda unidad
establece una graduación en las escalas de medida.
kelvine
cmT
72
322
102
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