Cálculo de Volumen

1Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Cálculo de Volumen

Integral

2Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Habilidades

1. Identifica los dos tipos de regiones regulares con respecto a los ejes coordenados.

2. Calcula área entre curvas.3. Calcula volúmenes por el método de las

secciones transversales.4. Calcula volúmenes por el método del disco.5. Calcula volúmenes por el método de la arandela.

3Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

INTRODUCCIÓN

Al tratar de calcular el volumen de un sólido enfrentamos el mismo problema que al tratar de calcular un área.Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una definición exacta.

Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos sencillos como cilindros y prismas.

4Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ah

Cilindro RectoV = Ah

r

h

Cilindro circularV = r2h

ab

c

ParalelepípedoRectangular

V = abc

El volumen de un sólido cualquiera podrá descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos elementales como los anteriores

5Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Volumen de un sólido de revolución

Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.

6Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Diferencial de volumen

∆xi

f(xi)

a xi b

xi

y=f(x)

f(xi)

MÉTODO DEL DISCO

iii xxfV 2 iii xxfV 2

7Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:

2

1

2

lim [ ( )]

[ ( )]

n

i ini

b

a

V f x x

f x dx

8Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

9Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 2:Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1.

y

10Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R, alrededor del eje y.

y

xyyxR2

0;41/, 2

11Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:

El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c < d), alrededor del eje Y será igual a:

d

c

dyygV 2 d

c

dyygV 2

12Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Método de la arandelaCuando la región a girar está limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.

Diferencial de volumen

f(xi)g(xi)

xi

ii xxgxfV 22 ii xxgxfV 22

a bx

x

(*)

y= f(x)

y= g(x)

13Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

TEOREMA

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:

2 2

1

2 2

lim ([ ( )] [ ( )] )

([ ( )] [ ( )] )

n

i i ini

b

a

V f x g x x

f x g x dx

14Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 4:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

15Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 5:

16Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 6:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

17Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 7:Halle el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3, alrededor del eje y.

Método de los cascarones cilíndricos

18Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Método de los cascarones cilíndricos

En algunos casos se desea calcular el volumen de una región limitada por una función y = f(x) al girar alrededor del eje y, para lo cual se deben hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es muy complicado por lo que se usará otro método: los cascarones cilíndricos.

¿Cómo escogería el elemento diferencial de volumen?

19Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

xixi

f(xi)

Diferencial de volumen

xi xi

f(xi)

Para espesores lo suficientemente pequeños, el volumen será igual a:

iiii xxfxV 2 iiii xxfxV 2

20Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

21Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el volumen obtenido será:

dxxfx

xxfxV

b

a

i

n

iiix

2

2lim1

dxxfx

xxfxV

b

a

i

n

iiix

2

2lim1

22Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 8:Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la recta y = 2.

23Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 9:La región limitada por la curva y = x2, las rectas y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3. Calcule el volumen generado.

y = -3

24Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

x

xi

A(b)

A(a)

ba xi

A(xi)

El diferencial de volumen

A(xi)

xi

Vi = A(xi) xi

Cálculo de volúmenes de sólidos que no son de revolución

25Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

El volumen del sólido será aproximadamente:

Se define el volumen V como el límite de la suma de Riemann

26Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 10: Calcular el volumen de una esfera de radio R.

x

y

x

Ry

27Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo 11: Utilice la definición anterior para calcular el volumen de una pirámide de altura h y base cuadrada de lado b.

h

b

yi