Calculo I Fisica Dic 2011(1)

Universidad de la Repblica

Facultad de Ciencias

Centro de Matemtica

Clculo Diferencial e Integral I

Licenciatura de Fsica

Primer semestre 2011

Exmen del 6 de Diciembre del 2011

1. a) Calcular las siguientes integrales: e1

dx

x log(x)2 + x,

pi0

cos(x)(x2 + 1

)dx.

b) Clasicar:

+n=1

n22n + 1

log(

1 + en).

c) Se dene una sucesin por recurrencia mediante

d0 = 100, dn =1

11dn1, n = 1, 2, . . . .

Probar que la serie

n=0

1211dn es convergente y calcular su suma.

2. Denimos F : [0,+) R como

F (x) =

x0

et(t2 + 1) + 1t2 + 1

dt

a) Calcular F (x) y F (x).b) Determinar si existe y en dicho caso calcular lmx F (x).c) Determinar si existe y en dicho caso hallar el mximo absoluto de la funcin g(x) = x2F (x) en elintervalo [0, 1].

3. Sea f : (0, 1) R denida por

f(x) = log

(1 +

1 x2x

)

1 x2, x (0, 1).

a) Probar

f (x) =

1 x2x

, x (0, 1).b) Calcular

lmx0+

f(x)

log(x).

c) Bosquejar el grco de f .

d) Fijado x (0, 1) denimos g(x) como el valor tal que la recta que pasa por los puntos (0, g(x))y (x, f(x)) es tangente al grco de f en el punto (x, f(x)). Demostrar que el segmento que une(0, g(x)) con (x, f(x)) tiene longitud igual a 1 (sugerencia: Calcular g(x) f(x) sin calcular g(x)explcitamente).

e) Encontrar todas las soluciones y : (0, 1) R a la ecuacin diferencialxy +

1 x2 = 0, 0 < x < 1.