Calculo Integral

UNAC-FIEE MATEMÁTICA II

PRACTICA Nº 1

A) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

1.- Solución:

2.- Solución:

3.- Solución:

4.- Solución:

5.- Solución:

6.- Solución:

7.- Solución:

8.- Solución:

Solución:

10.- Solución:

Solución:

15.- Solución:

Solución:

19.- Solución:

Solución:

25.- Solución:

26.- Solución:

Solución:

PRACTICA Nº 2

A) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

1.- Solución:

2.- Solución:

Solución:

5.- Solución:

Solución:

7.- Solución:

8.- Solución:

9.- Solución:

Solución:

11.- Solución:

12.- Solución:

13.- Solución:

; reemplazando en la integral dada:

14.- Solución:

15.- Solución:

Solución:

17.- Solución:

18.- Solución:

Solución:

22.- Solución:

23.- Solución:

24.- Solución:

Solución:

26.- Solución:

27.- Solución:

28.- Solución:

29.- Solución:

30.- Solución:

31.- Solución:

32.- Solución:

33.- Solución:

34.- Solución:

35.- Solución:

36.- Solución:

37.- Solución:

38.- Solución:

39.- Solución:

40.- Solución:

41.- Solución:

42.- Solución:

43.- Solución:

44.- Solución:

45.- Solución:

46.- Solución:

47.- Solución:

48.- Solución:

Solución:

52.- Solución:

53.- Solución:

54.- Solución:

55.- Solución:

56.- Solución:

Solución:

59.- Solución:

60.- Solución:

PRÁCTICA N° 3

1. POR EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES CALCULAR

2. CON LA INTEGRACIÓN POR PARTES DEDUCIR LA FÓRMULA

3. INTEGRANDO POR PARTES DEDUCIR LA FÓRMULA

4. CON LOS RESULTADOS DE 2 Y 3 DEDUCIR LAS SIGUIENTES FÓRMULAS

5. CON LA INTEGRACIÓN POR PARTES Y LOS RESULTADOS DE 2 Y 4 DEDUCIR

6. INTEGRANDO POR PARTES DEDUCIR LA FÓRMULA RECURRENTE

8. UTILIZANDO 6 DEDUCIR LAS FÓRMULAS

9. INTEGRANDO POR PARTES DEMOSTRAR

10. DEDUCIR LAS SIGUIENTES FÓRMULAS

11. CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES

MISCELANEA

CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES

IGUALANDO LOS RESULTADOS Y REEMPLAZANDO EN LA PRIMERA ECUACIÓN

PRACTICA Nº4

INTEGRACION Y SUS APLICACIONES PRELIMINARES

I) INTEGRALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES:

A) RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES:

II) INTEGRALES INDEFINIDAS Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CON VALORES INICIALES:

1) LA VELOCIDAD DE UN MÓVIL EN EL INSTANTE “T” ESTA DADO POR V=AT DONDE A = CONSTANTE. SI LA POSICIÓN DEL CUERPO EN EL INSTANTE T=0 ES SO, HALLAR “S” EN FUNCIÓN DE “T”:

PARA :

2) HALLAR LA CURVA QUE PASA POR EL PUNTO (1,-1) Y CUYA PENDIENTE EN EL PUNTO (X, Y) EX 3X2 :

DE LA CONDICIÓN SE TIENE:

DE DONDE:

SE REEMPLAZA:

3) HALLASE LA ECUACIÓN DE LA CURVA CUYA PENDIENTE EN EL PUNTO (X, Y) ES 3X2 + 2, SABIENDO QUE PASA POR EL PUNTO (1,-1):

DE LA CONDICIÓN SE TIENE:

DE DONDE:

SE REEMPLAZA:

4) POR EFECTO DE PÉRDIDAS, UN CONDENSADOR ELÉCTRICO SE DESCARGA CON UNA VELOCIDAD PROPORCIONAL A SU CARGA .SI “R” TIENE EL VALOR “RO” EN EL INSTANTE T=0 .HALLAR “Q” EN FUNCIÓN DE “T”:

5) EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS HALLESE LA FUNCIÓN “S” DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE “T”, CONOCIDA LA VELOCIDAD V=DS/DT, ASI COMO LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN PARA QUE SE TENGA S=SO EN T=0:

6) EN CADA UNO DE LOS PROBLEMAS SIGUIENTES HALLASE LA VELOCIDAD “S” QUE DETERMINA LA POSICIÓN DEL MÓVIL COMO FUNCIONES DEL TIEMPO “T”, CUANDO SE CONOCE LA ACELERACIÓN A=DV/DT.HALLAR LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN PARA QUE SE TENGA V=VO ,Y S=SO PARA T=0:

7) RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES CON LAS CONDICIONES INICIALES QUE SE INDICA:

A) PARA

B) PARA

C) PARA

D) PARA

E) PARA

F) PARA

III) INTEGRACION Y FUNCIONES HIPERBOLICAS (CABLES SUSPENDIDOS):

1) PROBAR QUE ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL:

CON /H, W SON CONSTANTES.

2) RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL:

CUYAS CONDICIONES SON:

, PARA

3) PRUÉBESE QUE LA TENSIÓN DEL CABLE EN EL PUNTO P(X, Y) DE LA FIGURA ADJUNTA ESTA DADA POR T=W.Y:

4) LA LONGITUD DEL ARCO AP DE LA FIGURA ANTERIOR ES

.PROBAR QUE LAS COORDENADAS P(X, Y) SE PUEDEN EXPRESAR COMO FUNCIONES DE LA LONGITUD DEL ARCO “S” EN LA FORMA SIGUIENTE

5) CALCULAR Y DEL PROBLEMA ANTERIOR Y COMPRUÉBESE QUE

6) UN CABLE DE 32M DE LONGITUD, CUYO PESO ES 2KG/M, TIENE SUS EXTREMOS FIJOS EN LOS PUNTOS AL MISMO NIVEL SOBRE DOS POSTES SEPARADOS 30M.

IV) PROBLEMAS PROPUESTOS:

1) RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES:

2) UNA PARTÍCULA SE MUEVE A LO LARGO DEL EJE X CON ACELERACIÓN A=T2, HALLÁNDOSE EN EL ORIGEN EN EL INSTANTE T=0.EN EL TRANSCURSO DE SU MOVIMIENTO LA PARTÍCULA LLEGA AL PUNTO X=B /B>0, PERO NO TRANSPONE B.HALLESE SU VELOCIDAD EN T=0:

VELOCIDAD EN T=0:

3) UNA PARTÍCULA SE MUEVE CON UNA ACELERACIÓN , SUPONIENDO

QUE V=2 Y S=5 PERA T=0, HALLASE:

A) LA VELOCIDAD V EN FUNCIÓN DE T.

B) EL ESPACIO S EN FUNCIÓN DE T.

4) LA VELOCIDAD DE UNA PARTÍCULA, SOMETIDA A LA ACELERACIÓN 3+2T, EN EL INSTANTE T=0 VALE 4.HALLASE SU VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO Y LA DISTANCIA ENTRE LAS POSICIONES DE LA PARTÍCULA EN LOS INSTANTES T=0 T=4:

PARA T=0 LA VELOCIDAD ES 4:

SE REEMPLAZA Y SE OBTIENE LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO:

HALLAMOS LA DISTANCIA ENTRE POSICIONES DE LA PARTÍCULA EN LOS INSTANTES T=0 T=4:

PARA T=0:

PARA T=4:

DISTANCIA:

5) LA ATRACCIÓN EJERCIDA POR LA TIERRA SOBRE UNA PARTÍCULA DE MASA “M” A LA DISTANCIA “S” DEL CENTRO, ESTÁ DAD POR F=M.G. R2. S-2, EN DONDE R ES EL RADIO DE LA TIERRA Y F ES NEGATIVA PORQUE ACTÚA DE FORMA “S” DECRECE.SI UNA PARTÍCULA SE LANZA VERTICALMENTE HACIA ARRIBA DESDE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA CON VELOCIDAD INICIAL , APLÍQUESE

LA SEGUNDA LEY DE NEWTON F=M.A, TAL QUE , PARA PROBAR QUE

Y QUE .

NOTA: =VELOCIDAD DEL ESCAPE EN LA SOLUCIÓN SE DESPRECIA LA RESISTENCIA OPUESTA POR EL AIRE.

DE DONDE:

REEMPLAZANDO EN:

PRÁCTICA Nº5

POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA, CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

1.-SOL:

2.-SOL:

13.-SOL:

14.-SOL:

28).-SOL:

PRACTICA Nº 6

A) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES RACIONALES:

SOLUCIÓN:

LUEGO:

SOLUCIÓN:

LUEGO:

SOLUCIÓN:

LUEGO:

SOLUCIÓN:

LUEGO:

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:FALTA

SOLUCIÓN:

LUEGO:

SOLUCIÓN:

RESOLVIENDO I:

RESOLVIENDO II:

SUMANDO

SOLUCIÓN:

722 xx

SOLUCIÓN:

LA INTEGRAL I. LO DESARROLLAMOS POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN

SOLUCIÓN:

B) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES RACIONALES DE SENO Y COSENO.

SOLUCIÓN:

HACIENDO

SOLUCIÓN:

C) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES IRRACIONALES

SOLUCIÓN:

SEA COMO

SOLUCIÓN:

COMO Z ADEMÁS

SOLUCIÓN:

SEA COMO

SOLUCIÓN:

SEA ADEMÁS

SOLUCIÓN:

SEA ADEMÁS

SOLUCIÓN:

RESOLVIENDO

SOLUCIÓN:

HACEMOS

SOLUCIÓN:

PRACTICA 7

A) POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA, CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

SOLUCIÓN:

APLICANDO LA SUSTITUCIÓN DEL CASO:

SE TOMA LA FUNCIÓN:

ADEMÁS:

AHORA HACEMOS LAS SUSTITUCIONES:

SOLUCIÓN:

SI CAMBIO DE VARIABLE SE CUMPLE

SOLUCIÓN:

HACIENDO

5.- DEMOSTRAR

SOLUCIÓN:

SI SUSTITUCIÓN SE CUMPLE

SOLUCIÓN:

B) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES RACIONALES:

EL SISTEMA DE ECUACIONES

DONDE:

REEMPLAZANDO

SISTEMA DE ECUACIONES

REEMPLAZANDO

(POR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS)

ENTONCES

REEMPLAZANDO:

REEMPLAZANDO LOS VALORES

REEMPLAZANDO:

C) CALCULAR LAS SIGUIENTE INTEGRALES IRRACIONALES

SOLUCIÓN:

CALCULANDO LOS VALORES DE SE TIENE:

SOLUCIÓN:

DERIVANDO

EL SISTEMA DE ECUACIONES:

SOLUCIÓN:

(MULTIPLICANDO )

REEMPLAZANDO

SOLUCIÓN:FALTA

SOLUCIÓN:

AHORA APLICANDO CHEBICHEV

SOLUCIÓN:

SEA SE ELEVA AL CUADRADO

REEMPLAZANDO

9.- SOLUCIÓN:

REEMPLAZANDO

10.- SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

, APLICANDO CHEBICHEV

NO ES UN NÚMERO ENTERO.

ES UN NÚMERO ENTERO.

POR IDENTIDAD DE POLINOMIOS SE TIENE:

...(2)

AHORA REEMPLAZANDO ESTOS VALORES DE (2) EN (1)

SOLUCIÓN:

PRACTICA Nº 8

I) EFECTUAR COMO UNA INTEGRAL DEFINIDA EL LIMTE DE LAS

SIGUIENTES SUMAS:

SOLUCIÓN:

SI X = 1/N, ENTONCES EL INTERVALO SE TIENE [0, 1]

ADEMÁS:

SOLUCIÓN:

[A, B] = [1, 9]

DONDE P ES PARTICIÓN DE

SOLUCIÓN:

DONDE P ES PARTICIÓN DE

SOLUCIÓN

DONDE:

DONDE B > 0

SOLUCIÓN

DONDE:

DONDE P ES UNA PARTICIÓN DE [2, 6]

SOLUCIÓN

DONDE P ES PARTICIÓN DE [-4, 12]

SOLUCIÓN:

DONDE:

DONDE P ES UNA PARTICIÓN

SOLUCIÓN

II. INTEGRALES DEFINIDAS

1) HALLAR F’(X) SABIENDO QUE:

2) HALLAR F(X) SABIENDO QUE F ES CONTINUA X R Y

SOLUCIÓN:

DERIVANDO AMBOS MIEMBROS:

3) CALCULAR LA INTEGRAL DEFINIDA DE:

SOLUCIÓN:

4) CALCULAR LA INTEGRAL DEFINIDA DE

SOLUCIÓN:

POR DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO SE TIENE QUE:

ENTONCES:

5) MEDIANTE LA DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA COMO UN LÍMITE,

CALCULAR:

SOLUCIÓN:

REEMPLAZANDO EN LA INTEGRAL SE TIENE:

POR TANTO:

SOLUCIÓN:

REEMPLAZANDO EN LA INTEGRAL SE TIENE:

POR TANTO:

PRACTICA 9

Y = 4X – X2

Y = 4 – (X - 2)2

x-9 0R

x=3y 2-9

Y = 4 – X2

3. X = 3Y2 – 9 , Y = 0, Y = 1 Y X = 0

xa0 R 2a

XY = M2 Y =

A(R) = M2LN 3A - M2 LN A = M2 LN 3 U2

y = 9 - x 2

y2 = x + 1

CALCULANDO LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN

= 14, 11 U2

2x + y = 6

4x - y = 3

Y = - X2 + 4X – 3

L1: Y – 0 = -2 (X - 3) = 2 X + Y = 6

Y = - X2 + 4X – 3

L2: Y + 3 = 4 (X - 0) = 4 X - Y = 3

CALCULAMOS EL PUNTO MÁXIMO

Y = X E–X2

1 – 2X2 = 0 X = 0.7

y = x e–x2

y = -2 x

y = 2 x x =

Y = X =

CUANDO X Y = 0

LUEGO Y = 0 ES AL ÚNICA ASINTOTA.

A(R) = A1 + A2 = 2 A2

X2 – Y2 = 3 XY = 2 Y = 4

GRAFICANDO

PARA X = 2, Y = 1 POR SIMETRÍA SE TIENE AR = 4R1

y = x2

y = x3

PARÁBOLA DE V (2, 0)

PARÁBOLA DE V (-7, 0)

1 e x 0

y = ln2x

y = ln xx

LN X (LN X - 1) = 0

LN X = 0 LN X = 1

X = E0 X = E1

X = 1 X = E

= (3 - E) U2

-2 -1 0

(-1, -4)

Y = X2 – 2X – 3

Y = (X - 1)2 – 4, X = -2 X = 0

Y = - X2 + 9, Y = X2 + 1

= 32 U2

PRACTICA Nº 10

I) VOLUMEN1) Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar alrededor del eje X,

la región limitada por las gráficas y = x², y = , x = 2.

Solución

Se cortan en (0, 0) y (1, 1)

2) Encontrar por integración el volumen de un cono circular recto de altura h

unidades y de radio de la base “a” unidades.

Solución:

Sabemos que:

Derivando se tiene:

Entonces:

3) Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar

alrededor del eje X, la región limitada por el eje X y la curva

y = -x² + 2x + 3

Solución:

Completando cuadrados se tiene

y = -x² + 2x + 3 y = - (x² - 2x – 3 + 1 - 1)

y = - (x – 1)² + 4 y – 4 = - (x – 1)² que es una parábola de vértice V(1, 4)

Para y = 0 x² - 2x + 3 = 0 x = -1 , x = 3

4) Encontrar el volumen del sólido generado por la rotación de la región

entre las curvas y = x² + 4 e y = 2x² alrededor del eje X.

Solución

y = x² + 4 ; y = 2x²

x² + r = 2x² x² = 4 | x | = 2

5) Hallar el volumen del paraboloide de revolución si el radio de su base es

R y su altura es H.

Solución

La ecuación de la parábola es x² = ky como x = R, y = H

6) Encontrar el volumen cuando el área plana encerrada por y = -x² -3x +6,

y, x + y – 3 = 0 gira alrededor de y = 0.

Solución

y = - x² - 3x + 6

7) Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la

región acotada por la curva y = x³ y las rectas y = 0, x = 2

Solución

Reemplazando el valor de y

se tiene:

8) Encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región del ejercicio

anterior alrededor del eje Y.

Solución.

9) Hallar el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje

OX, la superficie limitada por la curva y las rectas x = 0, y

Solución

Sabemos que:

Luego:

10) Calcular el volumen del sólido que genera la circunferencia x² + (y – 3)² =

1 al girar alrededor del eje X.

Solución

II. INTEGRALES IMPROPIAS

1) Determinar si las siguientes integrales impropias es convergente o

divergente:

2) Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de agnesi

y el eje de abcisas.

Solución

Como la gráfica de la curva es simétrica respecto al eje Y, se tiene:

3) Hallar el área de la figura limitada por la cisoide y su

asíntota x = 2a (a > 0)

Solución

; x = 2a a >

4) Calcular el área de la región limitada por las curvas ,

Solución

5) Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada

por las líneas y = ex , x = 0 e y = 0 alrededor del eje X

Solución

6) Determinar el volumen de revolución engendrado al girar la curva

alrededor del eje X.

Solución

7) Hallar el volumen del cuerpo que

se engendra al girar la cisoide

alrededor de su

asíntota x = 2a.

Solución

III. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES PARAMETRICAS1) Hallar el área contenida en el interior de la astroide x = a cos³ t, y = b

sen³ t.

Solución

Aplicando la simetría, el área de la región está dado por:

2) Hallar el área de la región bajo un arco de la curva x = at, y = a(1–cos t)

Solución

3) Hallar el área limitada por la cicloide dada por x(t) = a(t – sen t), y(t) =

a(1 – cos t), y por el eje X entre dos puntos sucesivos de intersección con

el eje X.

Solución

4) Hallar el área de la región limitada por la cardioide

Solución

Sabiendo que:

5) Hallar la longitud del arco de la curva x = t³, y = t² desde t =0 hasta t=4.

Solución

6) Hallar la longitud de la cicloide

Solución:

7) Calcular el área de la superficie por la rotación alrededor del eje X, del

arco de la curva x = et sen t, y = et cos t desde t = 0 hasta t =

Solución

8) Hallar el área de la superficie generada por la rotación alrededor del eje

Y, del arco de la curva

Solución

calculando sus derivadas se tiene:

9) Hallar la superficie engendrada al girar la elipse alrededor

del eje OX

Solución

10) Calcular el área de la superficie obtenida al rotar un arco comprendido de

la cicloide alrededor de la tangente a la cicloide

en su punto mas alto.

Solución

Un arco completo de la cicloide se obtiene cuando t varía desde 0 hasta 2

en donde el punto más alto en este intervalo es cuando:

Luego la ecuación de la tangente es y = 2ª. Como la distancia del punto

(x,y) de la cicloide a la recta tangente es (2a-y) por lo tanto el área pedida

Sabemos que:

IV. COORDENADAS POLARES

1) x² + y²+ 4x = 0

r² + 4r cos = 0 r²= -4 r cos

2) x² + y²+ 4x + 4y = 0

r² + 4r (cos + sen ) = 0 r²= -4 ( cos + sen )

3) x² = 6y - y²

r² = 6 r sen

4) x³ = 4y² r² cos³ = 4r² sen²

5) (x² + y²) = 4(x² - y²)

r4 =4r²(cos 2)

r2 =4 (cos 2)

6) x³ = 3axy - y³

r³ (cos³ + sen³ ) = 3ar²cos sen

3ar²cos sen

r³ = ----------------------- (cos³ + sen³ )

1) r = a (1 + cos )

2) r² =5 cos 2

3) r = 2 sen 3

4) r = a (1 – 2 cos )

6) r = 3 cos 2

7) r = 2 – 2 sen

8) r = 2 [0, 2 ]

C) Áreas y volúmenes1) r = a (1 + cos )

2) r = 2ª cos 3, r = a

3) r = a cos²

4) r² = 9 cos 2

5) r² = a² sen 4

6) r = a

7) r = a (1 + cos )

8) parte de la parábola

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