Calculo Vectorial. Examen Sustitutorio y Solucionario 2010-1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA 21/07/2010 FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA P.A. 2010-I DPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS Y HUMANIDADES MB148 A, C, D, E

1

EXAMEN DE SUBSANACIÓN DE CÁLCULO VECTORIAL PROBLEMA 1

Evalúe la integral doble ∫∫ +

−

R

xydA

xye

2

4, donde R es la región limitada por las

rectas y = 4x + 2, y = 4x + 5, y = 3 – 2x, y=1 - 2x. Solución:

5,2,4 ==−= uuxyu

1,3,2 ==+= vvxyv

∫ ∫∫∫

−==

+

− 3

1

5

2

25

)3ln(66

12

4 eedvduv

edAxy

e u

R

xy

PROBLEMA 2 Evalúe ∫

C

drF. donde

a) C es el triángulo de (0,1,0) a (0,0,4), a (2,0,0) y

( ) ( ) kjiF 322232 32),,( yxyzyxzxyxzyx +−++=

b) C es el cuadrado de (0, 2, 2) a (2, 2, 2) a (2, 2, 0) a (0, 2, 0)

( ) kjiF zyxyxzyx cos3),,( 232 +++=

Solución

a) 0=),,( zyxrot F y la curva C es cerrada

∫ =C

d 0rF.

b) ( )1,0,cos6),,( zyzyxrot =F , la curva C es cerrada

Usando el Teorema de Stokes

0)0,1,0( === ∫∫∫∫∫ dSrotdSrotdSSC

.. FNFrF.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA 21/07/2010 FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA P.A. 2010-I DPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS Y HUMANIDADES MB148 A, C, D, E

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PROBLEMA 3 Calcule el flujo del campo vectorial

++++++

= 222222222 .,zyx

zzyx

yzyx

xF

a través de la superficie esférica 4222 =++ zyx

Solución Por teorema de la divergencia

π8.. === ∫∫∫∫∫VS

divFdVNdsFI

usar coordenadas esféricas. PROBLEMA 4 Calcule la integral de superficie ∫∫

S

dSyz , donde S es la porción de la

esfera 4222 =++ zyx , que se encuentra arriba del cono 22 yxz += Solución:

S: 4222 =++ zyx dAyx

dS224

2−−

=

0=∫∫ dSzy

S

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