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Mecnica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas
Profesor: Jos Acero Martnez 254
5.4. Seccin Rectangular. Solucin por el mtodo de series
Para resolver este caso se utilizar tambin el mtodo de la analoga de la membrana. En
este caso sin embargo, ya no se tiene la peculiaridad de que b >> a. El problema se reduce a
determinar las deflexiones de la membrana en la direccin z (ecuacin a), adems se cumplir que z=0 en los bordes.
s
p
y
z
x
z
2
2
2
2
(a)
La condicin de simetra con respecto al eje y y las condiciones de lmite
correspondientes a los lados ax , del rectngulo quedan satisfechas si se expresa z bajo forma de una serie:
nn
n
Ya
xnbz
2cos
...5,3,1
(b)
Donde:
.....,, 531 bbbbn son coeficientes constantes
.....,, 531 YYYYn son funciones de y
Adems por series de Fourier para axa , se tiene:
a
xn
ns
p
s
pn
n 2cos)1(
42
1
...5,3,1
(*)
Derivando (b) con respecto de x, se tiene
nn
n
Ya
xnsen
a
nb
x
z
22...5,3,1
nn
n
Ya
xn
a
nb
x
z
2cos
2
2
...5,3,12
2
(**)
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CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas
Profesor: Jos Acero Martnez 255
Derivando (b) con respecto de y, se tiene
'2
cos...5,3,1
nn
n
Ya
xnb
y
z
''2
cos...5,3,1
2
2
nn
n
Ya
xnb
y
z
(***)
Reemplazando (*), (**) y (***), en la ecuacin (a), se tiene:
a
xn
ns
pY
a
xnbY
a
xn
a
nb
n
n
nn
n
nn
n 2cos)1(
4''
2cos
2cos
22
1
...5,3,1...5,3,1
2
...5,3,1
2
1
...5,3,1...5,3,1
2
...5,3,1
)1(4
''2
n
n
nn
n
nn
n ns
pYbY
a
nb
Para el trmino n simo, se tiene:
2
12
)1(4
2''
n
nnnns
pY
a
nYb
2
12
)1(4
2''
n
n
nnbns
pY
a
nY
(c)
Esta ecuacin tiene la siguiente solucin:
2
1
33
2
)1(16
2cosh
2
n
n
ns
p
bn
a
a
ynB
a
ynAsenhY
(d)
Como se puede observar los dos primeros trminos de la ecuacin es una solucin
transiente, mientras el tercer trmino es la solucin particular. La simetra de la superficie
de la membrana deformada, con respecto al eje x, exige la nulidad de la constante de
integracin A. En cuanto a la constante B, queda definida por la deformacin nula para
by , es decir, 0)( bynY resultando
a
bn
a
yn
s
p
bn
aY
n
n
n
2cosh
2cosh
1)1(16
2
1
33
2
(e)
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CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas
Profesor: Jos Acero Martnez 256
Reemplazando la ecuacin (e) en la ecuacin (b), se tiene
a
xn
a
bn
a
yn
ns
paz
n
n 2cos
2cosh
2cosh
1)1(116
2
1
3...5,3,1
3
2
(f)
Aplicando la analoga de la membrana, es decir z y Gs
p2 se tiene:
a
xn
a
bn
a
yn
nG
an
n 2cos
2cosh
2cosh
1)1(132
2
1
3...5,3,1
3
2
(g)
Ahora se calcula la componente de esfuerzos cortantes
a
bnn
a
ynsenh
a
xn
aG
y
n
n
xz
2cosh
22cos)1(
16
2
2
1
...5,3,12
(h)
a
bnn
a
yn
a
xnsen
aGxG
x
n
n
yz
2cosh
2cosh
2)1(
162
2
2
1
...5,3,12
(i)
Por ejemplo, para el caso de x=a con y=0, en la ecuacin (i), se tiene el mximo absoluto
del esfuerzo cortante .mx de la seccin:
a
bnn
nsen
aGaG
x
n
n
yzmx
2cosh
)0cosh(2
)1(
162
2
2
1
...5,3,12.
a
bnn
aGn
mx
2cosh
1
812
2...5,3,12.
(j)
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Profesor: Jos Acero Martnez 257
Donde se puede definir:
a
bnn
kn
2cosh
1
81
2...5,3,12
(k)
kaGmx 2. (5.35)
Calculando el valor de k, para una relacin b/a=1, se tiene:
b/a n n(b/a)/2 cosh(n(b/a)/2) 1/(n2cosh(n(b/a)/2))
1
1 1.57079633 2.509178479 0.398536815
3 4.71238898 55.66338089 0.001996126
5 7.85398163 1287.985442 3.10563E-05
7 10.9955743 29804.87075 6.84726E-07
9 14.1371669 689705.3529 1.78999E-08
11 17.2787596 15960259.58 5.17815E-10
13 20.4203522 369331461.3 1.60213E-11
15 23.5619449 8546585824 5.20026E-13
17 26.7035376 1.97774E+11 1.74958E-14
19 29.8451302 4.57663E+12 6.05268E-16
21 32.9867229 1.05906E+14 2.14111E-17
23 36.1283155 2.45074E+15 7.71341E-19
25 39.2699082 5.67119E+16 2.82128E-20
27 42.4115008 1.31235E+18 1.04525E-21
Sumatoria 0.400564701
k= 0.675314483
Si el valor de b>>a, caso de rectngulo muy delgado, el resultado coincide con las ecuacin
de esfuerzo mximo de barra de seccin delgada
aGmx 2.
Donde se puede decir que:
675314483.0k para 1a
b
00.1k para a
b
Ahora calculemos el momento torsor T
b
b
a
a
dxdyT 2
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CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas
Profesor: Jos Acero Martnez 258
b
b
a
a
n
n
dxdya
xn
a
bn
a
yn
nG
aT
2cos
2cosh
2cosh
1)1(164
2
1
3...5,3,1
3
2
a
bntagh
nG
a
nG
baT
nn 2
1)2(641)2()2(325
...5,3,15
4
4...5,3,1
4
3
Adems se sabe que96
1 4
4...5,3,1
nn, teniendo finalmente:
a
bn
nG
aG
baT
n 2tanh
1)2(64
3
)2()2(5
...5,3,15
43
a
bn
nb
aG
baT
n 2tanh
11921
3
)2()2(5
...5,3,15
3
Despejando el ngulo por unidad de longitud se tiene:
)2()2(2
tanh1192
13
1 35
...5,3,15
baGa
bn
nb
a
T
n
(l)
Donde podemos definir la variable k1, como:
a
bn
nb
ak
n 2tanh
11921
3
15
...5,3,151
(m)
b/a n n(b/a)/2 tanh(n(b/a)/2) 1/(n5tanh(n(b/a)/2))
1
1 1.57079633 0.917152336 0.917152336
3 4.71238898 0.999838614 0.004114562
5 7.85398163 0.999999699 0.00032
7 10.9955743 0.999999999 5.9499E-05
9 14.1371669 1 1.69351E-05
11 17.2787596 1 6.20921E-06
13 20.4203522 1 2.69329E-06
15 23.5619449 1 1.31687E-06
17 26.7035376 1 7.04296E-07
19 29.8451302 1 4.03861E-07
21 32.9867229 1 2.44852E-07
23 36.1283155 1 1.55368E-07
25 39.2699082 1 1.024E-07
27 42.4115008 1 6.96917E-08
Sumatoria 0.921675232
k1= 0.140577057
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CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas
Profesor: Jos Acero Martnez 259
)2()2( 31 baGk
T (5.36)
Reemplazando la ecuacin (5.36) en (5.35)
kabaGk
TGmx
)2()2(2
3
1
.
)2()2)(/( 21.
bakk
Tmx
)2()2)(( 22.
bak
Tmx (5.37)
Donde kkk /12 y el esfuerzo cortante mximo absoluto esta en funcin del momento
torsor T. Tambin de la ecuacin (5.36), se puede definir la constante torsional equivalente.
)2()2( 31 bakJequiv (5.38)
Para el caso de x=0 con y=b, en la ecuacin (h), se tiene el mximo relativo del esfuerzo
cortante de la seccin:
a
bnn
a
bnsenh
aG
y
n
n
xzmx
2cosh
2)0cos()1(
16'
2
2
1
...5,3,12.
a
bn
n
aG
y
n
n
xzmx2
tanh)1(
16'
2
2
1
...5,3,12.
Reemplazando el valor de , se tiene:
a
bn
nbak
Ta
y
n
n
xzmx2
tanh)1(
)2()2(
16'
2
2
1
...5,3,13
1
2.
a
bn
nbak
T
n
n
mx2
tanh)1(
)2()2(
8'
2
2
1
...5,3,12
1
2.
Denominando 3k como:
a
bn
n
kk
n
n 2tanh
)1(
82
2
1
...5,3,12
13
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Profesor: Jos Acero Martnez 260
)2()2('
2
3
.bak
Tmx (5.39)
Los valores de .mx es positivo por que para la coordenada x=a con y=0 coincide con la
direccin del eje y, sin embargo '.mx es negativo por que para la coordenada x=0 con
y=b est en contra de la direccin x. Para fines prcticos '.mx se puede considerar en
valor absoluto. A continuacin se muestra el valor de k3, para una relacin b/a=1
b/a n n(b/a)/2 tanh(n(b/a)/2) (-1) (n-1)/2tanh(n(b/a)/2)
1
1 1.57079633 0.917152336 0.917152336
3 4.71238898 0.999838614 -0.111093179
5 7.85398163 0.999999699 0.039999988
7 10.9955743 0.999999999 -0.020408163
9 14.1371669 1 0.012345679
11 17.2787596 1 -0.008264463
13 20.4203522 1 0.00591716
15 23.5619449 1 -0.004444444
17 26.7035376 1 0.003460208
19 29.8451302 1 -0.002770083
21 32.9867229 1 0.002267574
23 36.1283155 1 -0.001890359
25 39.2699082 1 0.0016
27 42.4115008 1 -0.001371742
Sumatoria 0.832500509
k3= 0.208324188
Si queremos correlacionar los esfuerzos '.mx (en valor absoluto) y .mx , se obtendr un
factor 3
24
k
kk , tal como se muestra
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CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas
Profesor: Jos Acero Martnez 261
3
24
.
. '
k
kk
mx
mx
A continuacin se muestra una tabla con los valores de 321 ,, kkk y 4k para diferentes
relaciones b/a
Tabla para torsin de vigas rectangulares
b/a k k1 k2 k3 k4
1 0.67531448 0.14057706 0.208165323 0.20832419 0.99923741
1.2 0.75876408 0.16611895 0.218933592 0.23549301 0.92968193
1.4 0.82215118 0.18690403 0.227335352 0.25878282 0.87847931
1.5 0.84756223 0.19576074 0.23096916 0.26908493 0.85835041
1.6 0.86944359 0.20373562 0.234328743 0.27856666 0.84119451
1.8 0.90438332 0.21743118 0.240419268 0.2953089 0.81412808
2 0.93006027 0.2286817 0.245878365 0.30948225 0.79448294
2.2 0.94887634 0.23803032 0.250854946 0.32152126 0.78021262
2.4 0.96264373 0.24589136 0.255433404 0.33180245 0.76983579
2.5 0.96806992 0.24936509 0.257589959 0.33638451 0.76576046
3 0.98543788 0.26331695 0.267208061 0.35496647 0.75276987
4 0.99697263 0.28081297 0.281665676 0.37848826 0.74418603
5 0.99937067 0.29131676 0.291500213 0.39264273 0.74240573
6 0.99986917 0.29831951 0.298358547 0.40208106 0.74203582
7 0.9999728 0.30332149 0.303329737 0.40882281 0.74195894
8 0.99999435 0.30707297 0.307074705 0.41387913 0.74194295
9 0.99999882 0.30999079 0.309991151 0.41781183 0.74193963
10 0.99999976 0.31232504 0.312325118 0.42095798 0.74193894
20 1 0.32282919 0.322829188 0.43511568 0.74193876
50 1 0.32913168 0.329131675 0.4436103 0.74193876
200 1 0.33228292 0.332282919 0.44785761 0.74193876
500 1 0.33291317 0.332913168 0.44870707 0.74193876
1000 1 0.33312325 0.33312325 0.44899023 0.74193876
2000 1 0.33322829 0.333228292 0.4491318 0.74193876
5000 1 0.33329132 0.333291317 0.44921675 0.74193876
kaGmx 2.
)2()2( 31 baGk
T
)2()2)(( 22.
bak
Tmx
)2()2('
2
3
.bak
Tmx
.4. ' mxmx k
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CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas
Profesor: Jos Acero Martnez 262
5.5. Secciones tubulares de pared delgada
Se analizar en primer lugar el comportamiento de una seccin de forma cualquiera, con
una abertura cualquiera, y la manera como se comportar la membrana correspondiente.
Es obvio que len la zona de la abertura no habr esfuerzo cortante; por lo tanto la pendiente
de la membrana en esa regin ser NULA. Este comportamiento puede conseguirse
preparando, para el experimento de analoga de la membrana, una placa exactamente igual
a la abertura, que deber estar a una altura ,1z que no se conoce.
Este procedimiento, aplicado a diversas secciones con diferentes aberturas, permite afirmar
que, en general, la disminucin de la capacidad resistente a la torsin no es proporcional a
la abertura.
En el caso de secciones tubulares de pared delgada, es posible hacer una simplificacin: si
el espesor "t" es pequeo, las secciones transversales, para planos paralelos al eje z, sern
aproximadamente rectas. La simplificacin es asumir que estas interseciones son lneas
rectas.
Dado que el esfuerzo cortante es proporcional a la pendiente de la membrana, la
simplificacin anterior equivale a afirmar que, si el espesor "t" es constante, el esfuerzo
cortante tambin es constante en la seccin transversal. sabiendo que:
Figura 5.14. Analoga de la membrana para una seccin tubular cerrada
yXZ
xYZ
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CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas
Profesor: Jos Acero Martnez 263
n
Donde "n" es una normal a una curva de la membrana, definida por un plano horizontal
paralelo al plano XY. Como = z/c, es posible escribir que:
senc
tgcn
z
c
111
(si es pequeo)
se denomina "flujo de corte" a:
c
ztgt
cqt 1
1
Como " "1z y "c" con constantes, el valor de "q" tambin lo ser, alrededor de la seccin
transversal.
Si mA es el rea encerrada por el permetro medio de la seccin transversal, el volumen
encerrado por la membrana ser aproximadamente igual a mA 1z y entonces:
tAqAc
zAT mm
m 222 1 (5.32)
mA
Tq
2
mA
T
2
Para hallar una relacin entre , G y se puede utilizar la ecuacin de equilibrio de fuerzas con respecto a eje "z":
0 dlSsenpAm
como: ScGp 2 y csen
dlSccSAG m 2 (5.33)
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CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas
Profesor: Jos Acero Martnez 264
dlt
q
AG m 2
1
tdl
AG m2
4
1
Cuando el espesor es pequeo (menor o igual a la dcima parte de la menor dimensin de la
seccin de la seccin transversal), el error que se comete al aplicar estas expresiones es
despreciable.
Elemento de pared delgada con varios compartimientos
Si se aplica la analoga de la membrana a una seccin transversal de pared delgada, en la
cual existen varios compartimientos o paneles, en cada uno de ellos ser necesario colocar
una placa rgida, de la misma forma que la abertura correspondiente a diferentes alturas z ,1
que corresponder a distintos valores del flujo de corte q .i
Si la seccin consta de "n" panelas, har "n+1" incgnitas:
- Los "n" valores de q.i
- El ngulo de torsin por unidad de longitud, que ser comn a todos los panelers.
Las ecuaciones a utilizar son.
ii
n
qAT
...3,2,1
2 (5.34)
dlt
GA
i
mi
i
2
1 (5.35)
La ecuacin (5.35) se puede escribir "n" veces, una para cada panel; los valores i
son
todos iguales. La nomenclatura utilizada en esta ecuacin es:
- :miA el rea encerrada por el panel i.
- q : el flujo de corte en el panel adyacente (los paneles estn separados por elementos
dl). El valor de q' es CERO en la frontera exterior.
- t : el espesor del tramo dl.
- l :i el permetro del panel i.
El esfuerzo cortante mximo ocurre cuando la membrana tiene la mayor pendiente, esto es
cuando (q i -q')/t toma su mximo valor.
Mecnica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas
Profesor: Jos Acero Martnez 265
Ejemplo 5.4. La seccin tubular hueca de varios compartimientos tiene los espesores
indicados. Si el material tiene un G = 270000 kg/cm2 y el esfuerzo cortante admisible es de
l00 kg/cm2, determinar los flujos de corte en cada parte, el momento torsor mximo
aplicable, y el ngulo de giro por unidad de longitud asociado a dicho momento torsor.
De donde los espesores de las paredes de las secciones tubulares es de espesor de 4 mm,
mientras tanto de las paredes inclinadas laterales son de espesor de 3 mm.
2
7
1
7211
1
1 10315.210259.94
200)(
4
600
2
1qq
qqq
GA
3
7
1
7
2
732122
2
2 10315.210315.210259.94
200)(
4
200)(
4
400
2
1qqq
qqqqq
GA
2
7
3
6233
3
3 10716.710607.14
200)(
3
41.312
2
1qq
qqq
GA
21
3
7
1
7
2
7
2
7
1
7 10315.210315.210259.910315.210259.9 qqqqq
3
7
21
7
21
7 10315.2)(10315.2)(10259.9 qqqqq
3
7
21
7 10315.2)(10574.11 qqq
)(0.5 123 qqq
32
Mecnica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas
Profesor: Jos Acero Martnez 266
2
7
3
6
3
7
1
7
2
7 10716.710607.110315.210315.210259.9 qqqqq
3
6
1
7
2
7 108385.110315.210975.16 qqq
Adems: )(0.5 123 qqq
)(101925.910315.210975.16 126
1
7
2
7 qqqq
1
7
2
7 1061.891095.74 qq
12 196.1 qq
13 978.0 qq
Asumimos que 2/1 mmkgmx se produce en t1:
mmkgtq mx /412
entonces:
mmkgq /344.31
mmkgq /27.33
Comprobando que el mximo cortante se da en el punto asumido:
2/1...........................2/836.04
344.3
1
11 mmkgmmkg
t
q
2/1...................2/164.04
656.0
1
122 mmkgmmkg
t
2/11
23 mmkg
t
q
2/1...................2/1825.04
73.0
1
32
4 mmkgmmkgt
2/1............................2/09.13
27.3
2
3
5 mmkgmmkgt
q
El momento torsor mximo aplicable:
T = 2A1q1 + 2A2q2 + 2A3q3 T = 78008q1 + 78008q2 + 23520q3
T = 642083.456 kg-mm
El ngulo de giro por unidad de longitud:
21 07326.207377.9 qEqE
)4(07326.2)552.3(07377.9 EE
mmrad /0000024.0
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