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Flujo Adiabático 9- 35
A FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL
Es el más elemental de los flujos compresibles; su simplicidad, de análisis lo convierte en un instrumento sumamente útil.
Un flujo se puede considerar unidimensional cuando la rapidez de cambio
de las propiedades del fluido en una dirección perpendicular a la línea de corriente es despreciable, comparada con la rapidez de cambio de tales propiedades en la dirección de la corriente.
Cuando la transferencia de calor puede ser considerado despreciable, el
flujo se denomina adiabático. Si los efectos de fricción y arrastre son relativamente pequeños, el flujo puede ser considerado también como reversible, y se denomina flujo isentrópico.
El flujo isentrópico define las condiciones ideales a utilizar en la
computación de las eficiencias en los diferentes dispositivos de flujo, como son las toberas y los difusores.
9.3 FLUJO CON AREA VARIABLE
1 2
A mínima A As
Po pB
To TB
o m B
Vo = 0
p, T, m
V, M,
Fig. 9.13 Conducto de área variable A (x).
Conociendo las propiedades del reservorio y las del medio ambiente a donde
descarga, se desea determinar las condiciones del flujo en una sección
cualquiera del conducto: presión, temperatura, densidad, velocidad, flujo másico,
número de mach, así como la eficiencia del dispositivo utilizado.
x
RESERVORIO AMBIENTE CONDUCTO
FLUJO COMPRESIBLE
DATOS CONOCIDOS
DATOS CONOCIDOS
Flujo compresible 9- 36
9.3.1 FLUJO ADIABÁTICO IRREVERSIBLE
Considere una expansión adiabática o una compresión adiabática desde
la sección 1 a la sección 2.
El estado de estancamiento y el estado crítico correspondiente a la
sección 1 se obtiene trazando una vertical, que representa un proceso
isentrópico, de manera que po1 sería su presión de estancamiento y el área
crítica A*1, sería el área en la cual se alcanzaría el estado crítico a partir del
punto 1. Igual significado para po2 y A*2.
Fig. 9.1.4 Proceso adiabático: (a) Expansión adiabática.
En una sección A, cualquiera, del proceso de (1) a (2):
11
211
2
kk
k oTo k poM
T p
[ ]
El flujo másico en dicha sección cualquiera: m = V A
o o
o o
p Tpm M KRT A
R T p T
o
o
TK pm po M A
R To p T [ ]
To
T*
p2* p1*
A1* A2*
p0 po2
0
p1
p2
p
1
2
T
S S1
S2 S
p*
A*
p01
A
Flujo Adiabático 9- 37
i) Si se conoce el área A y la presión p:
De la ecuación (): 𝑀 = √ [ (𝑝𝑜
𝑝)
𝑘−1
𝑘− 1]
2
𝑘−1
√ 𝑇𝑜
𝑇 = (
𝑝𝑜
𝑝)
𝑘−1
2 𝑘
En la ecuación ():
�� = √ 𝐾
𝑅 𝑇𝑜 𝑝𝑜 𝐴 √
2
𝑘 − 1 [ (
𝑝𝑜
𝑝)
𝑘−1𝑘
− 1] 𝑝
𝑝𝑜 (
𝑝𝑜
𝑝)
𝑘−12 𝑘
�� = √ 𝐾
𝑅 𝑇𝑜 𝑝𝑜 𝐴 √
2
𝑘 − 1 [ (
𝑝𝑜
𝑝)
𝑘−1𝑘
− 1] (𝑝𝑜
𝑝)
− (𝑘+1) 2 𝑘
�� = √ 𝐾
𝑅 𝑇𝑜 𝑝𝑜 𝐴 √
2
𝑘 − 1 [ (
𝑝𝑜
𝑝)
−2𝑘
− (𝑝𝑜
𝑝)
− (𝑘+1) 𝑘
]
�� = √ 𝐾
𝑅 𝑇𝑜 𝑝𝑜 𝐴 √
2
𝑘 − 1 [ (
𝑝
𝑝𝑜 )
2𝑘
− (𝑝
𝑝𝑜 )
(𝑘+1) 𝑘
]
�� = √ 𝐾
𝑅 𝑇𝑜 𝑝𝑜 𝐴 √
2
𝑘 − 1 (
𝑝
𝑝𝑜 )
2𝑘
[ 1 − (𝑝
𝑝𝑜 )
(𝑘−1) 𝑘
]
Para M = 1 y A = A* = A G:
De (a): 𝑝
𝑝𝑜= (
2
𝑘+1 )
𝑘
𝑘−1 �� = √
𝐾
𝑅 𝑇𝑜 𝑝𝑜 𝐴∗ √ (
2
𝑘+1 )
𝑘+1
(𝑘−1)
O �� = √ 𝐾
𝑅 𝑇𝑜 𝑝𝑜 𝐴∗ (
2
𝑘+1 )
𝑘+1
2 (𝑘−1)
Flujo compresible 9- 38
ii) Si se conoce el área A y el número de Mach:
0
( 1)
1 2( 1)
k k
k kp To T To To
po T T T T
Se obtiene: )1(2
)1(
2
2
11
k
k
Mk
MApoToR
Km [ 9.32 ]
Esta ecuación muestra que para un número de mach dado, el flujo es proporcional a su presión de estancamiento e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura de estancamiento, por esta razón los datos de prueba de flujo sobre compresores, turbinas y realmente sobre cualquier paso de flujo el cual opera sobre un amplio rango de niveles de presión y temperatura,
son usualmente ploteadas con po/Tom como variable de flujo. De esta
manera el resultado de una prueba dada, llega a ser aplicable para operación en niveles de temperatura y presión diferentes a las condiciones originales de prueba.
( 1)
2 ( 1)211
2
kkm To K k
M MA po R
0,10 0,001 M 0,10 1,0 10
Fig. 9.15 Flujo másico
Considerando el peso molecular del gas w = R / R, de ( ) se obtiene:
22
11
1M
kM
R
k
wp
T
A
m o
=
Aplicando la ecuación anterior (9.32) a las condiciones críticas:
)1(2
)1(
2
11*
k
k
kApo
ToR
Km [ 9.33 ]
Flujo Adiabático 9- 39
Igualando (9.32) y (9.33), se obtiene:
( 1)
2 ( 1)
2
11 2
1*1
2
k
kkA
kA MM
)1(2
1
2
2
12
11
1
*
k
k
k
Mk
MA
A [ 9.34 ]
Esta ecuación está representada en la Figura 9.12, donde se observa que la selección de A, determina un valor único de M siempre que Mach en la garganta sea uno.
Aplicando la ecuación (9.33) al estado 1 y 2 del proceso adiabático, e
igualando, resulta:
po1 A*1 = po2 A*2 [ 9.35 ]
Mediante esta ecuación, se puede determinar las propiedades en
cualquier punto del flujo adiabático. Así:
2
* *
1 2 12
*11 2 2*
1
A
A A Apox
Apo A A
A
[ 9.36 ]
Si se conocen po2 / po1; A1 / A2 y M1, se pueden determinar el resto de
propiedades del flujo en el estado 2.
Con M1, en la ecuación ( 9.34 ) se obtiene A1 / A*1.
Con A1 / A*1 , en la ecuación ( 9.36 ) se obtiene A2 / A*2 .
Nuevamente ( 9.34 ) para obtener M2 .
Con M2 se puede determinar el resto de propiedades en el estado
o sección 2.
Para un punto cualquiera del flujo adiabático, se puede formar una
relación que sea función del número de Mach local. Así:
1
2( 1)2
2 1
11
1 1 21* 1
1 22
k
k
k
k
kM
p A
kpo A MkM
Flujo compresible 9- 40
1
2( 1)
1
2 1 2( 1)
1 1 1
1* 11 22
k
k
k k
k k
p A
kpo A MkM
1
2( 1)
1
2 2
1 1 1
1* 11 22
k
k
p A
kpo A MkM
Finalmente: 1
12
1 1
*1 1
12 2
k
k
p A
po A Mk k
M
[ 9.37 ]
que normalmente se encuentra tabulada en las tablas de flujo isentrópico.
Volviendo la atención a la ecuación [9.33]:
)1(2
)1(
2
11*
k
k
kApo
ToR
Km
El flujo másico es el flujo másico máximo que el conducto de área variable
descarga al medio ambiente.
��𝑚á𝑥 √ 𝑇𝑜
𝐴∗ 𝑝𝑜
= √
𝐾
𝑅 [ 1 +
𝑘 − 1
2 ]
− (𝑘+1)
2 (𝑘−1)
Fig. 9.1.4 Proceso adiabático: ( b) Compresión adiabática
To
T*
p2* p1*
A1* A2*
p0 po2
p1
p2
p
1
2
T
S S1
S2 S
p*
A*
p01
Flujo Adiabático 9- 41
EJEMPLO 9.11: Determinar una expresión para el cálculo del cambio de
entropía en función de las presiones de estancamiento.
SOLUCION
De la 1ra. Y 2da. Ley de la termodinámica: T ds = dh - dp /
de la Figura 9.14 : So2 –So1 = S2 – S1 = ∆S
dSo = ds
dho = 0; ho = constante
To dso = - dpo / o
Ecuación del gas ideal : o . To = po / R
y dso = - R ( dpo / po )
So2 –So1 = - R Ln ( po2 / po1 ) = ∆S
También: po. e - S / R = constante
EJEMPLO 9.12: Aire fluye isentrópicamente a través de un ducto circular de
área variable. En el punto donde D1 = 34,4 cm, se tiene V1 = 184 m / s, p1 =
574,263 kPa y T1 = 200º C.
a. Calcular po, To, o, M, A*, correspondiente al estado 1. b. Calcular el número de Mach, la presión estática en un punto aguas
abajo donde D2 = 29,8 cm, si V2 es subsónica y si V2 es supersónica.
SOLUCION
a) En la sección 1 :
3
1
5742634,2303 /
287,13 / 473
Pakg m
J kg K x K
1 20,045 473 436 /C m s
11
1
1840,422
436
VM
C
Usando la relación isentrópica:
11
211
2
kk
kTo k po oM
T p
Flujo compresible 9- 42
se tiene: 1
1
2 1 1
3
11 0,422
473 2 574,263 4,2303 /
kk
kTo k po o
KPa kg m
To = 489,85 K
Po1 = 649,094 KPa
1 = 4,6171 kg / m 3
Usando la ecuación: )1(2
1
2
2
12
11
1
*
k
k
k
Mk
MA
A ( )
Con M1 = 0,422, se obtiene: 1
*
1
A= 1,52314
A
Como 2 2
1A (0,344) 0,092944
m
→ * 2
1 0,0610A m
b)
1 2 1 2
A1 = 0,09294 m2 A1 = 0,09294 m2
A2 = 0,06975 m2 A2 = 0,06975 m2
V2 subsónica V2 supersónica
Se observa que el valor del área A2 = 0,06975 m2, se encuentra en la parte
convergente del conducto así como en parte divergente:
Caso de flujo subsónico:
2
*
0,069751,1434
0,0610
A
A
En ( ): M 2 = 0,0642
m x
m x
Flujo Adiabático 9- 43
luego: 2
2
0,4
1,4649,0941 0,2 0,642
p
p2 = 491,931 KPa
Caso de flujo supersónico:
2
*
0,069751,1434
0,0610
A
A
En ( ): M 2 = 1,449
luego: 2
2
0,4
1,4649,0941 0,2 1,449
p
p2 = 190,276 KPa
9.3.2 FLUJO ADIABATICO REVERSIBLE
( FLUJO ISENTROPICO UNIDIMENSIONAL )
Ecuaciones básicas
Ecuación de estado para un gas ideal: p / = R T = constante.
Ecuación de continuidad: 1 1 1 2 2 2m V A V A V A constante
Ecuación de energía:
2 2 2
1 21 2
2 2 2
V V Vho h h h constante
Ecuación de impulso: 1 1 1 2 2 2p A mV p A mV p A mV constante
Proceso isentrópico: 1 2
1 2
k k k
p p p
constante
Segunda ley de la termodinámica: S1 = S2 = constante
Ahora, para un gas ideal: 1
K ph Cp T
k
tank
pcons te
Flujo compresible 9- 44
La ecuación de energía queda:
2 2
1 1 2 2
1 21 2 1 2
p V p VK K
k k
2 2
2 1 1 2
1 2
( )2 1
V V p pK
k
de la ecuación de continuidad : 2 2
1 2
1 1
AV V
A
y 1 2 1
22 2
1 1 22 1 2 1
1 21
11 ( / ) ( / )
p pKV
k pA A
proceso isentrópico: 1/
1 2 1 2/ ( / ) kp p
1
12 2 1
1
21 ( / )
1
k
kpK
V fc p pk
donde
2 2
2 1 2 1
1
1 ( / ) ( / )fc
A A
es un factor de corrección por aproximación de velocidad.
Considerando p/ =R T y condiciones de estancamiento para el punto 1:
V = 0; A1 ∞ y V 2 = Vs, velocidad en cualquier sección del conducto, se
tiene que fc = 1 y
12
1 ( / )1
k
ko
K R ToV p p
k
[9.38]
Flujo Adiabático 9- 45
12
1 ( / )1
k
o ko
o
pKV p p
k
El flujo másico por unidad de área:
1
( / ) ko o
mG V p p V
A
2 12
( / ) ( / )1
k
k ko o o
K RToG p p p p
k
[9.39]
Es decir G = G (K, R, To, po, , p) G = G ( p )
9.3.2.1 Flujo másico máximo
Para condiciones de reservorio fijadas, G depende de la relación de presiones y
tiene un valor máximo para:
12
2 10 ( / ) ( / )
( / )
k
kkdG k
p po p pod p po k k
1
0
2( )
1
k
kp
p k
[9.40]
Para: K p/po
Aire 1,4 0,5283
Gases en turbina a gas 1,402 0,5279
Vapor sobrecalentado 1,30 0,5457
Vapor saturado 1,135 0,5774
* Vapor húmedo 1,035 + 0,1 x
* Ecuación de Zeuner, válido para pequeñas diferencias de presión entre la
entrada y la salida de la tobera.
Reemplazando en [9.39]:
2 1
1 1
max
2 2 2( ) ( )
1 1 1
k
k k
o
K RG To
k k k
Flujo compresible 9- 46
2
1
max
2 2 2( ) 1 ( )
1 1 1
k
o
K RG To
k k k
2
1
max
2 2 1( )
1 1 1
k
o
K R kG To
k k k
1
1
max
2 2( )
1 1
k
oG Cok k
Como. 2
*1
C Cok
1
10 2( )
* 1
k
k
G max = * c* = G* [9.41]
O sea que en una expansión isentrópica, el estado en que se alcanza Gmàx es
el estado crítico.
Aplicando la ecuación de conservación de masa:
max *m G A G A
es evidente que dentro del conducto de área variable, G tendrá su máximo
valor en aquella sección donde el área tenga su mínimo, o sea en la garganta,
donde reinan las condiciones críticas. Luego:
A min = A* = A G [9.42]
En conclusión, para que se esté produciendo la máxima descarga, se
requiere que se alcance las condiciones críticas en la garganta
Graficando la ecuación ( 9.39 ), la gráfica teórica sería una parábola, pero como para p / po < p* / po el flujo es sónico en la garganta, la onda (señal enviada) creada por una disminución de presión de descarga que viaja con velocidad sónica no puede alcanzar al reservorio y transmitir el mensaje de variar el flujo
Flujo Adiabático 9- 47
másico; y este último, permanece constante ( recta horizontal en el gráfico ), por lo que se dice que el flujo está chocado y alcanzó su máxima descarga.
Fig. 9.16 : Variación de flujo másico por unidad de área en un flujo isentrópico
Volviendo la atención a la ecuación (9.39):
2 12
( / ) ( / )1
k
k ko o o
K RToG p p p p
k
Con 0 = po / R To y 1
0
2( )
1
k
kp
p k
1
1max 0
0
2max ( )
* 1
k
km pkG
A R k T
se obtiene:
1
0 0 1maxmax
0 0
2( )
* 1
k
kT Tm k
Gp A p R k
[9.43]
Para un gas dado, el máximo flujo másico depende solamente de la relación
Topo / . Si po se duplica, el flujo máximo se duplica, en cambio, si To se
duplica Gmàx se reduce en aproximadamente 29%.
Real
p/po p*/po 1 0
G
G máx
Ecuación [9.39]
Flujo compresible 9- 48
Para aire : k = 1,4, R = 287 J / kg – K
0 0
max
0 0
0,0404*
T TmG
p A p [9.44]
Esta ecuación permite establecer el valor del área de garganta ( A* ) para descargar flujo másico máximo cuando las condiciones de estancamiento po, To están dadas. Caso de tanques y reservorios. P. 9.013: Se desea expansionar isentropicamente aire desde un reservorio que
se encuentra a po = 200 kPa y To = 500 K, a través de un conducto convergente
divergente circular hasta un número de Mach de salida Ms = 2,5. Si el gasto es de 3 kg / s, calcular:
a. El diámetro del conducto en la garganta. b. Las propiedades del flujo en la sección de salida: p, T, V y A.
a. Cálculo del diámetro en la garganta: DG
Como se trata de un conducto de sección transversal circular, en la garganta se tiene:
2
4
GG
DA
[ f ]
Como en la salida se tiene Ms = 2,5; en la garganta se han alcanzado las condiciones críticas, es decir M = 1,0 y AG = A*.
EL flujo másico. VAm , está dado por: ( 1)
2( 1)2
( 1)
2 ( 1)max
11 ( )
2
1* .......... ( )
2
o
o
o
o
k
k
k
k
pK km M A M
R T
pK km A
R T
Para aire:
(9.44)
Reemplazando valores:
5003 /
0,040418* 200 000
Kkg s
A Pa
A* = 0,0082985 m 2 DG = 10,28 cm
po=200 KPa
p*
ps
500 k=To
As
AG
T
S
Ms = 2,5
1
1max2
0,040418* 1
k
ko
o
Tm k
A p R k
Flujo Adiabático 9- 49
b. Como se conoce el número de Mach en la salida, utilizando la ecuación () , se determina As = 0,021880676 m2
(1,4 1)2 2(1,4 1)1,4 200 000 1,4 1
3 / 2,5 1 2,5 ( )2500287,13
/
S
Pakg s A
J K
kg K
As = 0,021880676 m2
y usando: k
k
ps
pMs
k
Ts
T oo
1
2
2
11
kk
spTs
1
2 200)5,2(2,01
500
pS = 11,706 kPa.
Ts = 222,22 K
Cs = 298,812 m / s
2,5 Vs 747,03 /298,8
V VsM m s
C
P. 9.014: Aire a condiciones de p = 8 bar y T = 1100 K ingresa a un conducto y se
expande adiabáticamente y politrópicamente con n = 1,3 hasta la presión de 3,5 bar. Calcular la temperatura, la velocidad y el número de Mach en la sección de salida.
Solución
Proceso politrópico de (1) a (2); y la ecuación de estado:
nn
n
T
T
p
p
p
p
constantep
1
2
2
1
22
1 1
)(
1
1
2
1
1
2
1
2 bp
p
T
Tn
n
n
Reemplazando valores en (b):
T2 = 908,95 K nT 3,1
13,1
2
8
5,3
1100
1 2 n = 1,3
p1 = 8 bar T1 = 1100 K
p2 = 3,5 bar
3 kg / s
1
2
2s
p2S = p2
T To
S
Flujo compresible 9- 50
La ecuación de energía: constanteV
hV
hho 22
22
11
Gas ideal: h = Cp T
)(22
22
11 aconstante
Cp
VT
Cp
VTTo
Cp
VK
Cp
VKTo
295,908
21100 21
No considerando la velocidad de ingreso a la turbina (V1): V2 = 619,53 m / s:
También C2 = 20,045 2T = 604,33 m / s
y 2
619,53M = = 1,025
604,33
se trata de un flujo supersónico en la salida del conducto.
9.3.2.2 EFECTO DE LA VARIACIÓN DE ÁREA EN LOS FLUJOS SUBSÓNICOS Y SUPERSÓNICOS
9.3.2.1 LA FUNCION IMPULSO
9.3.4 FLUJO EN TOBERAS Y DIFUSORES Ya està màs adelante.
Los conductos en los cuales la velocidad se incrementa, se denominan toberas;
y cuando es la presión la que se incrementa, se denominan difusores.
Flujo Adiabático 9- 51
9.3.3 LA FUNCIÓN IMPULSO
En problemas relacionados con propulsión de cohetes es conveniente el empleo
de una cantidad denominada función impulso, definida por:
I = p A + A V 2 [9.50]
Empleando la ecuación de momentum, se tiene:
I = ( p A + A V 2 ) 2 - ( p A + A V 2 ) 1 [9.51]
Donde I es la fuerza externa que actúa sobre el conducto para equilibrar la fuerza
o empuje producido por la corriente fluida entre las secciones (1) y (2). En este
caso I actúa en dirección contraria al flujo.
p1
T1
V1
p2
T2
V2 x
1 2
Flujo compresible 9- 52
Flujo Adiabático 9- 53
9.3.4
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